Limita a spojitost funkcí více proměnných

Transkript

1 30

2 Kapitola 3 Limita a spojitost funkcí více proměnných 1 Limita funkcí Limita popisuje chování hodnot vyšetřované funkce, blížíme-li se k danému bodu. V případě funkce definované na reálné ose se k danému bodu můžeme přibližovat zprava, zleva nebo současně z obou stran. Tomu v jedné proměnné odpovídají pojmy ita zleva, ita zprava a ita oboustranná. Již v případě funkce dvou proměnných, tedy funkce definovanévrovině,mámemnohemvícemožností,jaksekdanémubodublížit,vizobrázek 3.1. Obr. 3.1 Do libovolné blízkosti bodu v rovině se můžeme dostat po polopřímkách, spirálách, kruhových výsečích, apod. Abychom postihli všechny tyto možnosti v jedné univerzální definici, budeme definovat pojem ity vzhledem k množině. V ostatním je definice vícerozměrné ity zcela stejná jako v případě funkce jedné proměnné. Definice 3.1. Nechť f je funkce definovaná na podmnožině N euklidovského prostoru. Předpokládejme,žebod ajehromadnýmbodemmnožiny N.Řekneme,žefunkce f má vbodě aitu b R(vzhledemkmnožině N),píšeme f(x)=b, x a x N 31

3 32 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH jestližeprokaždéokolí U(b)bodu bexistujeprstencovéokolí P(a)bodu a,že f(p N) U. Vyjádřenopomocínerovnostítoznamená,žeprokaždé ε >0existuje δ >0takové,že platí následující implikace 0 < x a < δ, x N= f(x) b < ε. Použijeme-lizápis x a f(x)bezspecifikovánímnožiny N,budemetímrozumět itu funkce vzhledem k jejímu definičnímu oboru. Funkce f nemusí být v itním bodě a definována, tento bod však musí být hromadným bodem jejího definičního oboru. Příklad3.2.Budemesezabývatitoufunkce f: R n R f(x)= x vbodě a R n.protože D(f)jecelýprostor R n,nenítřebauvádět,vzhledemkjaké množině itu počítáme. Z geometrického názoru je zřejmé, že tato ita je rovna normě a. Ověříme situto hypotézu přímozdefinice 3.1. Ktomu jezapotřebíukázat, že k libovolně zvolenému okolí U bodu a (řekněme o poloměru ε) existuje prstencové okolí Pbodu a(řekněmeopoloměru δ)tak,žeprovšechna x Pje f(x) U.Zapsánopomocí nerovností (3.1) 0 < x a < δ x a < ε. Díky trojúhelníkové nerovnosti(viz cvičení 3, Kap. 1) máme x a x a. Implikacev(3.1)budesplněnanapř.přivolbě δ= ε.závěremvidíme,že prokaždé a R n. x = a x a Zcela stejně jako v případě funkce jedné proměnné je možno ukázat, že funkce má nejvýše jednu itu. Předpokládejme, že x a f(x)=baže M N.Je-libod a x N rovněžhromadnýmbodemmnožiny M,paksenutněmusímedostatkestejnéhodnotě b, budeme-lisekbodu ablížitpouzepomocíbodůmnožiny M.Má-litedynapříkladfunkce f itu v daném bodě, pak musí mít stejnou itu vzhledem ke všem podmnožinám svého definičního oboru. Tuto skutečnost často používáme při vyšetřování existence ity a stanovení její možné hodnoty. Příklad 3.3.(i) Zabývejme se itami funkce f(x,y)= x2 y 2 x 4 + y 4vbodě(0,0). Uvažujmenejdříveityvzhledemkpřímce y=kx.podívejmesenahodnotyfunkce f napřímce y= kx: f(x,kx)= x2 k 2 x 2 k2 x 4 + k 4 x4= 1+k 4.

4 1. LIMITA FUNKCÍ 33 Funkce fjenatétopřímcekonstantní.jejíitavzhledemkpřímce y= kxje k 2 1+k 4. Prorůznéhodnoty k tytoityvycházejírůzně,aproto (x,y) (0,0) f(x,y)nemůže existovat. (ii) Vyšetřujme existenci ity funkce f(x,y)= x2 y x 4 + y 2vbodě(0,0). Stejnějakodřívebudemezkoumatityvůčipřímkám y= kx.pro k 0dostaneme (x,y) (0,0) y=kx f(x,y)= x 0 f(x,kx)= x 0 x 3 k x 4 + k 2 x 2= x 0 kx x 2 + k 2=0. Protože f má hodnotu nula na souřadnicových osách, můžeme konstatovat, že f má nulovou itu na všech přímkách procházejících počátkem. To nás ovšem ještě neopravňuje tvrdit, že f má nulovou dvojrozměrnou itu v tomto bodě. Uvažujeme-li totiž ity pouzepopřímkáchklesá xiyknulelineárně,tedyrychlostí stejnéhořádu.bude-li však konvergence x-ových a y-nových souřadnic rozdílná, může se chování výrazu x 2 y x 4 + y 2 vblízkostinulyvýraznězměnit.uvažujmenapříkladparabolu y= x 2.Pohybempotéto křivce klesá x s mocninou první zatímco y s mocninou druhou. Pro itu vůči parabole máme f(x,y)= f(x,x 2 x 4 )= (x,y) (0,0) x 0 x 0 x 4 + x 4=1 2. y=x 2 Tatoitaseovšemlišíoditpopřímkách,aproto fnemáituv(0,0). Tento příklad ilustruje jev, se kterým se ještě setkáme vícekrát a který nemá analogii v jednorozměrném případě. Asymptotické chování funkce vůči přímkám ještě nezaručuje stejné asymptotické vícerozměrné chování funkce. Při výpočtu vícerozměrných it často používáme pravidla shrnutá v následující větě. Jejich důkazy jsou naprosto stejné jako v případě funkce jedné proměnné, a proto je nebudeme uvádět. Věta 3.4. Nechť f a g jsou funkce definované na stejné množině v euklidovském prostoru. Předpokládejme,že x a f(x)=b, x a g(x)=c.pakplatínásledujícítvrzení: (i) x a (f(x)+g(x))=b+c. (ii) x a f(x)g(x)=bc. f(x) (iii) x a g(x) = b,zapředpokladu,že c 0. c

5 34 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH (iv) Nechťexistuje t b h(t)anechťexistujeprstencovéokolí P(a)bodu a,že f(x) b pro x P.Pak h(f(x))= h(t). x a t b (v) Je-li f gnajistémprstencovémokolíbodu a,pak b c. (vi) Je-li f omezenánajistémprstencovémokolíbodu aasoučasně x a g(x)=0, paki x a f(x)g(x)=0. (vii) Platí-liprofunkci hnajistémprstencovémokolíbodu anerovnost f h gaje-li přitom x a f(x)= x a g(x),pak x a h(x)= x a f(x). Příklad3.5.(i)Stanovmeitufunkce f(x,y,z)=x 2 yzvbodě(2,2,1).podlebodu (ii) Věty 3.4 je výpočet jednoduchý (x,y,z) (2,2,1) x2 yz= (x,y,z) (2,2,1) x2 y (x,y,z) (2,2,1) (x,y,z) (2,2,1) z =4 2 1=8. (ii) Stanovme itu sin(x 2 + y 2 + z 2 ) (x,y,z) (0,0,0) x 2 + y 2 + z 2. Můžemevyužítskutečnosti,že (x,y,z) (0,0,0) x 2 + y 2 + z 2 =0aprovéstsubstituci t= x 2 + y 2 + z 2.Aplikacípravidla(iv)Věty3.4,kdepoložíme h(t)= sint,dostaneme t sin(x 2 + y 2 + z 2 ) sin t (x,y,z) (0,0,0) x 2 + y 2 + z 2 = =1. t 0 t (iii) Určeme itu xsin 1 (x,y,z) (0,0,0) x y+ z. Na základě odhadu sin 1 1 x y+ z askutečnosti,že (x,y,z) (0,0,0) x =0,mámepodleVěty3.4(vi),že xsin 1 (x,y,z) (0,0,0) x y+ z =0. Provýpočetvícerozměrnýchitneexistuježádnáanalogie mechanického l Hospitalova pravidla, které máme k dispozici pro reálné funkce. Příklady jsou proto více výzvou pro naši intuici. Při jejich řešení musíme často kombinovat pravidla Věty 3.4 s vyšetřováním it vůči podmnožinám. Zjistíme-li například itu funkce vůči některé přímce, pak celková ita je jí buďto rovna anebo vůbec neexistuje.

6 2. SPOJITOST FUNKCÍ 35 2 Spojitost funkcí Intuitivní představa spojitosti zobrazení je vlastnost, že body ležící blízko sebe se zobrazí opět na body s malou vzdáleností. Tuto představu lze matematicky precizovat pomocí pojmu ity zcela stejně jako v případě teorie funkcí jedné proměnné. Definice3.6.Nechť f: M Rjefunkcedanánamnožině Meuklidovskéhoprostoru. Řekneme,žefunkce fjespojitávbodě x 0 M,jestližejebod x 0 buďtoizolovanýbod množiny Mneboplatí,že x x 0 x M f(x)=f(x 0 ). Funkce f je spojitá, je-li spojitá v každém bodě svého definičního oboru. Protožekaždýbodmnožiny Mjebuďizolovanýbodmnožiny Mnebohromadnýbod množiny M,mámepojemspojitostidefinovanýprovšechnybodyzM. Přepíšeme-li definici spojitosti pomocí okolí, dostaneme následující ekvivalentní vyjádření: fjespojitávx 0,jestližeprokaždéokolí U(f(x 0 ))bodu f(x 0 )existujeokolí V(x 0 ) bodu x 0,že f(v(x 0 )) U(f(x 0 )). Tato verze je občas výhodnější než vyjádření pomocí ity. Větu 3.4 o itách funkcí můžeme pro spojité funkce přeformulovat následovně. Věta3.7.Nechť fa gjsouspojitéfunkce.pak f+g, fga f (při g 0)jsouopětspojité. g Je-li h spojitá funkce jedné proměnné, pak složená funkce h(f) je spojitá. Věta 3.7 říká, že jakoukoli manipulací se spojitými funkcemi, která zahrnuje konečně mnoho aritmetických operací a vytváření složených funkcí, dostaneme opět spojitou funkci. Z těchto důvodů je například funkce f(x,y,z)= argsinh(x2 y 2 ) x 2 + y 2 e tg(xyz) +cos(xy) spojitá ve svém definičním oboru. Příklad 3.8. (i)funkce f(x) = x jespojitávcelémeuklidovskémprostoru.tato skutečnost je důsledkem Příkladu 3.2. Jiné zdůvodnění plyne také z Věty 3.7. (ii)každálineárnífunkcejespojitá.takováfunkce f: R n Rjevždytvaru f(x 1,x 2,...,x n )=a 1 x 1 + a 2 x 2 + +a n x n, kde a 1,a 2,...,a n R.BezprostřednězVěty3.7vidíme,žefunkce fjespojitá. V následujícím příkladě uvedeme ukázky nespojitých funkcí. Příklad 3.9.(i) Funkce f(x,y)= { 1 x 0 1 x <0.

7 36 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH je nespojitá ve všech bodech ležících na ose y. Důvodem je neexistence ity v žádném boděnaose y.grafpočástechkonstantnífunkce fmázlompodélosy y. (ii) Funkce x 2 y f(x,y)= x 4 + y 4 (x,y) (0,0) 0 (x,y)=(0,0). nemádlepříkladu3.3(i)ituvbodě(0,0).protonemůžebýtvtomtoboděspojitá, ačkoliv je například spojitá vůči každé přímce procházející počátkem. 3 Cvičení Úloha: Ověřte přímo z definice ity, že (x,y) (0,0) exy =1. Řešení:Našímcílemjekdanému ε >0nalézt δ >0tak,žeprobody x=(x,y) snormou x < δplatí e xy 1 < ε.rozepišmnesioběnerovnostidetailněji.taprvní dává x 2 + y 2 < δadruhá 1 ε < e xy <1+ε. Můžemepředpokládat,že0<ε<1.Logaritmovánímnerovnosti1 ε < e xy <1+ε dostaneme ln(1 ε) < xy <ln(1+ε). Dolnímezln(1 ε)jezápornáahornímezln(1+ε)kladná.kdanému εteďmusíme volbou δzaručit,žesoučin xyležívintervalu(ln(1 ε),ln(1+ε)).jaksouvisívelikost součinu xysnormou x 2 + y 2?Jesnadnéověřit,že 1 2 (x2 + y 2 ) < xy < 1 2 (x2 + y 2 ), tj. 1 2 x 2 < xy < 1 2 x 2. Můžemetakpoložit δ=min{ ln(1+ε), ln(1 ε)}.tatovolbapři x 2 + y 2 δ implikuje 1 2 (x2 + y 2 ) < δ 2 ln(1+ε). Úloha: Stanovte itu(existuje-li) funkce ln(1 ε)= ( ln(1 ε)) δ 2 < 1 2 (x2 + y 2 ) xy f(x,y)= xy x 2 + y 2

8 3. CVIČENÍ 37 vbodě(0,0). Řešení:Bod(0,0)jehromadnýmbodemdefiničníhooboru,aprotomátatoúloha smysl.zkoumánízadanéityvedenavyšetřováníneurčitéhovýrazu 0 0,atedyna srovnání velikostí funkce v čitateli a jmenovateli pro malé hodnoty argumentů. Protože xyjepolynomdruhéhostupněvedvouproměnných,zatímco x 2 + y 2 x,tušíme,že ita bude nulová. Důvodem pro naši hypotézu je, že čitatel klesá k nule rychleji než jmenovatel. Přesné matematické zdůvodnění je následující: f(x,y) = xy x 2 + y y x = y. 2 x Fakt,že (x,y) (0,0) y =0,implikujepodleVěty3.4(vi),že (x,y) (0,0) f(x,y)=0. Jiný způsob řešení příkladů tohoto typu je založen na použití polárních souřadnic. Polárnísouřadnicepopisujíbod(x,y)vroviněpomocídvojice(,ϕ),kde (0, )je vzdálenostodpočátku, ϕ 0,2π)jeúhel,kterýsvíráprůvodičdanéhobodusosou x, viz. obr 3.2. y A ϕ x Obr. 3.2 Platí tedy x = cos ϕ y = sin ϕ. Transformací funkce do polárních souřadnic máme f(x,y)= cos ϕ sin ϕ = cos ϕsin ϕ. Nyní f(x,y)= cos ϕsin ϕ. (x,y) (0,0) 0+ Protože cos ϕsin ϕ 1nezávislenaúhlu ϕa 0,mámeopětpodleVěty3.4(vi),že f(x,y)=0. (x,y) (0,0)

9 38 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Úloha: Nalezněte itu(existuje-li) x (x,y) (0,0) e x 2 +y 2. Řešení: Využijeme polárních souřadnic. Funkce má v těchto souřadnicích tvar e cos ϕ 2cos 2 ϕ+ 2sin 2 ϕ= e cos ϕ 2. Vidíme,žetentovýrazzávisínaúhlu ϕ:je-linapř. ϕ=0,je ale dostáváme e e =0.Pro ϕ=π/2 2=1.Závěrje,žezadanáfunkcenemávbodě(0,0)itu. Úloha: Stanovte itu(existuje-li) funkce vbodě(0,0,0). f(x,y,z)= 2 4 xyz xyz Řešení: Úlohu je možno jednoduchou substitucí t = xyz převést na případ zkoumání jednorozměrnéityfunkce 2 4 t t pro t 0. Pomocí l Hospitalova pravidla vypočteme: Úloha: Vypočtěte 2 4 t = 1 t 0 t 4. (x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,0) 2x 3 1 x2 2 3x3 2 x2 3 +5x3 3 x2 4 x x4 2 + x x4 4 Řešení: Abychom získali jistou představu o vyšetřované funkci, pokusíme se nejdříve porozumětjejímuchovánínaose x 1,tj.namnožině {(x 1,0,0,0) x 1 R}.Zdeplatí f(x 1,0,0,0) =0.Uvažovanáitatedybuďtoneexistujenebojenulová.Prodruhou možnost svědčí intuitivně fakt, že čitatel zkoumaného zlomku je polynom pátého stupně ve čtyřech proměnných, zatímco jmenovatel je takovýmto polynomem stupně pouze čtyři. Zlomek si rozepíšeme na tři části: 2x 3 1 x2 2 3x3 2 x2 3 +5x3 3 x2 4 x x4 2 + x4 3 + x4 4 = = 2x 3 1 x2 2 x x4 2 + x4 3 + x4 4 3x 3 2 x2 3 x x4 2 + x4 3 + x4 4 5x 3 3 x2 4 + x x4 2 + x x4 4 Pomocíznáménerovnosti xy 1 2 (x2 + y 2 )použitépro x=x 2 1 a y=x2 2 můžemeprvní sčítanec odhadnout

10 3. CVIČENÍ 39 2x 3 1 x2 2 x x4 2 + x4 3 + x4 = 2x 1 x 2 1 x2 2 4 x x4 2 + x4 3 + x x 1 (x4 1 + x4 2 ) x x4 2 + x4 3 + x4 4 x 4 1 = x 1 + x4 2 x x4 2 + x4 3 + x4 4 x 1. Provedením analogických odhadů pro ostatní členy nakonec dostaneme Protože mámepodlevěty3.4(vi) f(x 1,x 2,x 3,x 3,x 4 ) x x x 3. (x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,0) x x x 3 =0, 2x 3 1 x2 2 3x3 2 x2 3 +5x3 3 x2 4 (x 1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,0) x x4 2 + x4 3 + x4 4 =0. Úloha:Rozhodnětezdajemožnonalézthodnotu c Rtak,abyfunkce f(x,y)= { (x+y) 2 c x y x y x=y=0. bylaspojitávbodě(0,0). Řešení:Funkce f jespojitávbodě(0,0), je-lijejíitavtomto boděrovna c. Otázkatakvedenazkoumáníityfunkcevbodě(0,0).Pokusímesezjistit,coseděje shodnotamifunkce f,blížíme-lisekhranicijejíhodefiničníhooboru,tj.kpřímceorovnici y= x.vtomtopřípaděmůžebýtvýraz x ylibovolněmalýatoipřikonstantníhodnotě členu x + y v čitateli. Celkově může být hodnota funkce blízko hranice definičního oboru libovolněvelká.formálněji,volmebody(x n,y n )napřímceorovnici x+y= K, K >0, takové,žejejichsložky x n a y n navícsplňují x n y n = 1 n. Body(x n,y n )takvyhovujítěmtodvěmarovnicím x n + y n = K a x n y n = 1 n Dosazením do f lze vypočítat, že tj. x n = 1 2 ( 1) K+ n a y n = 1 2 ( 1) K. n f(x n,y n )=nk 2. Funkce f je proto neomezená na sebemenším okolí počátku. To vylučuje existenci vlastní ity v tomto bodě. Žádnou volbou hodnoty c tedy nelze dosáhnout spojitosti funkce f vbodě(0,0).

11 40 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH Skutečnost,žefunkce fnemáituvbodě(0,0)jemožnoilustrovattaképozorováním,že fmávbodě(0,0)rozdílnéityvůčiose xavůčiparabole y= x+x 2.Snadný výpočet přenecháváme čtenáři. Úloha:Ukažte,žefunkce f(x)=dist(x,m)(vizcvičení16,kap.1)jespojitá. Řešení:Mějme x R n azvolmesilibovolnéokolí U ε (f(x))bodu f(x).chcemenalézt okolí V δ (x)takové,žeprovšechna y V δ (x)platí f(y) U ε (f(x)),tj. f(y) f(x) < ε. Hledané okolí bude mít velikost δ = ε/2. Ověříme, že takto zvolené okolí vyhovuje požadavku.nechť y V δ (x),tj. y x < ε 2. Zdefinicefunkce fnaleznemebody uavzmnožiny Mtakové,že f(x)+ ε 2 x u, f(y)+ ε 2 y v. Nyní počítejme f(y) y u = y x+x u y x + x u < ε 2 + f(x)+ ε 2 = f(x)+ε. Toznamená,že f(y) f(x) < ε.podobněprovedemevýpočetpro f(x): f(x) x v = x y+ y v x y + y v < ε 2 + f(y)+ ε 2 = f(y)+ε. Atedy f(x) f(y) < ε.spojenímobounerovnostímáme f(x) f(y) < ε, což jsme chtěli dokázat. Úloha: Determinant det A přiřadí každé čtvercové matici A řádu n číslo det A. Jestliže reprezentujemematiciajakovektoremsestavenýzjejíchprvků,můžemefunkci det chápatjakofunkcidefinovanouna R n2.ukažte,žetatofunkcejespojitá.pomocíspojitosti odvoďte, že množina všech regulárních matic je otevřená množina v euklidovském prostoru R n2.

12 3. CVIČENÍ 41 Řešení: Připomeňme, že determinant je možno vyjádřit ve tvaru deta= P Π n ( 1) sgn P a 1P(1) a 2P(2) a np(n), kdeπ n jemnožinavšechpermutací n-prvkovémnožiny {1,2,...,n}.FunkcedetAproměnných a 11,a 12,...,a nn vzniknekonečnýmsoučtemakaždýsčítanecjekonečnýsoučin proměnných. Podle Věty 3.7 je tato funkce spojitá. Regulární matice jsou matice s nenulovým determinantem. Množina M všech regulárníchmaticje M = {A deta 0}.ZvolmelibovolnouregulárnímaticiA 0.Spojitost funkcedeterminantuzaručí,žeexistujetakovéokolí U(A 0 )maticea 0 v R n2,nakterém jedeterminantstálenenulový.takže U(A 0 ) M.NašlijsmekekaždémuprvkuA 0 jeho okolí,kteréjeceléobsaženévm. Mjeprotootevřenámnožina. 1. Ověřte na základě definice ity, že Vypočtěte následující ity(existují-li) 2. (x,y) (0,0) xsin 1 y + ysin1 x ; 3. (x,y,z) (0,1,0) sin(xy 2 z 2 ) xyz ; 4. (x,y) (4,0) tg(xy) y ; 5. (x,y) (0,0) x 3 +y 3 x 2 +y 2 ; 6. (x,y) (1,2) 1+xy 1 xy ; 7. (x,y) (0,1) x 2 +(y 1) x 2 +(y 1) 2 ; 8. (x,y) (0,0) x 2 +y 2 +xy 2 x 2 +y 2 ; 9. (x,y) (0,0) 1 x 4 +y 4 e 1 x 2 +y 2 ; 10. (x,y) (0,0) xy+1 1 x+y ; 11. (x,y) (0,0) (x 2 + y 2 ) x2 y 2 ; ln(x+e 12. y ) (x,y) (1,0) x 2 +y 2; 13. (x,y) (0,0) (1+xy) 1 x+y; 14. (x,y) (0,0) e x2 +y 2 1 x + y ; (x,y) (4,1) x2 +3y 2 =19.

13 42 KAPITOLA 3. LIMITA A SPOJITOST FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH 15. (x,y) (0,0) (1+xy) 1 x + y ; 16. (x,y,z) (0,0,0) yx 2 +z 3 x 2 +y 2 +z 2 ; 17. (x1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,0) 2x 1 x 2 x 3 x 4 ; x 2 1 +x 2 2 +x2 3 +x (x1,x 2,x 3,x 4 ) (0,0,0,0) x 1+x 2 +x 3 +x 4 x 1 x 2 +x 3 x 4 ; 19. Funkce fmávbodě x 0 itu.čemujerovenprůnik P f(p)branýpřesvšechna prstencováokolí Pbodu x 0? 20. Nalezněte c Rtak,abyfunkce f(x,y)= { xy x + y c (x,y) (0,0) (x,y)=(0,0). byla spojitá. 21. Nalezněte funkci g(x) tak, aby funkce bylaspojitávr Rozhodněte zda funkce f(x,y)= můžebýtspojitěrozšířenana R 3. f(x,y,z)= { x 2 y 2 x y x y g(x) x=y, yz x2 x 2 + y 2 + z Funkce f(x,y)jeprokaždépevné xspojitávproměnné yaprokaždépevné yspojitá v proměnné x. a) Ukažte, že f nemusí být spojitá. b)(obtížnější) Předpokládejme navíc,že fjemonotonnívproměnné x.ukažte,žepakje fspojitá. Výsledky 2.0;3.0;4.4;5.0;6.-3; ;8.1;9.0;10neexistuje;111;12ln2;13neexistuje;14.0; 151;160;170;18neexistuje;19 { x x0 f(x)};20. c=0;21. g(x)=2x;22.nelze neexistenceityvbodě(0,0,0);24.a)viznapř.funkcizpříkladu3.3(ii).