VLASTNOSTÍ Z ROVINY DO PROSTORU

Transkript

1 South Bohemia Mathematical Letters Volume 0, (01), No. 1, ZOBECNĚNÍ NĚKTERÝCH MNOŽIN BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ Z ROVINY DO PROSTORU JAKUB JAREŠ Abstrakt. Tento článek je zaměřen na vyšetřování množin bodů daných vlastností užitím technologií DGS a CAS. Zobecnění rovinného příkladu do prostorového a jeho kompletní rozbor. Úvod Hledání množin bodů daných vlastností patří mezi složitá témata na všech stupních školské matematiky. Avšak tyto příklady (popř. problémy, jak se mohou studentům předkládat) mohou velmi dobře rozvíjet myšlení studentů. Rozvíjí hlavně geometrickou představivost, pomáhají chápat vztahy mezi objekty a jejich vlastnosti. Při zapojování nových technologií do vyučovacího procesu se tyto příklady dají řešit opravdu efektivně. Uvidíme také, že nerozvíjíme pouze matematické schopnosti, ale také počítačovou gramotnost, kterou jistě dnes studenti potřebují mnohem více, než dříve. Zapojení matematického softwaru při hledání množin bodů daných vlastností se nejvíce opírá o tzv. programy DGS (dynamic geometry system), což jsou programy dynamické geometrie (Cabri [9], GeoGebra [5] - s tou pracujeme). Ale pro určení rovnice hledané křivky / plochy nám tyto programy zatím odpověď nedají (GeoGebra připravuje příkaz LocusEquation, který by rovnici množiny v rovině měl nalézt). Proto potřebujeme využít programy CAS (computer algebra system), tj. systémy počítačové algebry (CoCoA [3], Maple - Epsilon [10, 13, 14]). Tyto programy pomohou nalézt hledanou rovnici množiny ze systému rovnic, které sestavíme na základě sestrojené geometrické situace v DGS [7]. Užití programů DGS zpravidla vypadá tak, že danou geometrickou situaci narýsujeme a musíme v konstrukci nalézt dva důležité body. První z nich se nazývá driving point nebo mover, pohybem tohoto bodu získáme hledanou množinu. Druhý se nazývá locus point nebo tracer, je na prvním bodě nějakým způsobem závislý a vykresluje hledanou množinu [1]. Správné sestrojení konstrukce a rozpoznání těchto dvou bodů je zásadní částí hledání množin bodů. Pro nalezení podoby množiny můžeme v programu GeoGebra využít hned dvou nástrojů. Pro demonstraci klikneme na locus point pravým tlačítkem myši a zvolíme volbu Stopa zapnuta, pohybem moveru se hledaná množina začne vykreslovat. K verifikaci pak použijeme nástroje Množina bodů, který je přímo v nabídce nástrojů. Nejprve klikneme na locus point, poté na mover a hledaná množina se vykreslí. Toto nám pomůže hlavně v představě o jakou množinu bodů se jedná. Received by the editors datum odevzdani redakci casopisu Mathematics Subject Classification. cislo nebo cisla systemu Mathematics Subject Classification. Key words and phrases. množina bodů dané vlastnosti, DGS, CAS, Gröbnerova báze. 10

2 MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 11 Poslední částí je nalezení rovnice příslušné množiny. K tomu nám slouží programy CAS. Tyto programy pracují na základě eliminace proměnných ze systému rovnic, které sestavíme (CoCoA - eliminace pomocí Gröbnerových bází [, 4, 11], Epsilon - eliminace pomocí metody Wu-Ritt [1]). Tyto programy nám dají odppověď, kterou je třeba dále upravit a zjistit jaké možnosti mohou nastat. V rovnicích, které zadáváme na základě narýsované geometrické situace se objevují proměnné, pro jejichž různé hodnoty se musí výsledek prozkoumat [8]. 1. Množiny bodů v rovině Pro příklady řešené v rovině obecně můžeme využít více matematických programů než v prostoru. V následujícím kapitole ukážeme celý postup k nalezení rovnice množiny bodů dané vlastnosti. Také naznačíme klasický důkaz řešení. Problém v rovině je definován nasledujícím způsobem: Příklad 1.1. V rovině jsou zadány dvě kružnice k 1 (S 1, e) a k (S, f). Určete množinu středů kružnic, které se dotýkají kružnic k 1 a k. (obr. 1) Tento příklad jsme zvolili záměrně, protože se vyskytuje ve středoškolských učebnicích. Tato úloha není euklidovsky řešitelná (pomocí kružítka a pravítka) a použití matematických programů nám může řešení usnadnit. Jak bylo naznačeno v úvodu kapitoly, využijeme nejprve programu GeoGebra a zadanou geometrickou situaci si narýsujeme. Konstrukci provedeme následujícím způsobem: - narýsujeme si dvě libovolné kružnice, - na libovolnou přímku, naneseme úsečku, která bude představovat délku o kterou budeme poloměry těchto kružnic měnit, - k jednomu koncového bodu úsečky (mover) přidáme poloměry kružnic k 1 a k - tím získáme poloměry kružnic, jejichž průsečíkem budou body tvořící hledanou množinu (locus point) (obr. ). Obrázek 1. Náčrtek zadané situace Obrázek důležité body. Dva Zamyslíme se nad konstrukcí této geometrické situace. V tomto případě jsme pomocí GeoGebry našli pouze část řešení. Konstrukci jsme sestrojili tak, že jsme k poloměrům e a f přidali vzdálenost r, kterou jsme měnili (obr. ) - případ, kdy sestrojená kružnice má s kružnicemi k 1, k vnější dotyk.

3 1 JAKUB JAREŠ Konstruovat zadanou geometrickou situaci lze i jinýmy způsoby: (1.1) (1.) (1.3) (1.4) k 3 (S 1, e + r) a k 4 (S, f + r) k 3 (S 1, e r) a k 4 (S, f r) k 3 (S 1, e + r) a k 4 (S, f r) k 3 (S 1, e r) a k 4 (S, f + r) Dále se již budeme zabývat řešením pro konstrukci (1.1). K nalezení hledané množiny nejprve použijeme nástroje Stopa bodu (klikneme pravým tlačítekm myši na locus point a poté volně pohybujeme moverem) (obr. 3). Dalším krokem je nástroj Množina bodů, tento nástroj nám hledanou množinu vykreslí (klikneme nejprve na locus point a poté na mover) (obr. 4). Obrázek Stopy bodu 3. Využití Obrázek 4. Využití Množiny bodů Vidíme, že hledanou množinou by mohla být nějaká kuželosečka (obr. 3 a 4). Toto tvrzení se nejdříve pokusíme dokázat klasicky a poté se pomocí programu CoCoA pokusíme nalézt rovnici hledané množiny. Klasický důkaz. Ukážeme, že hledanou množinou je hyperbola s ohnisky v bodech S 1, S (obr. 5). V první části dokážeme, že rozdíl průvodičů bodu M od středů kružnic je konstantní: S 1 M S M = c (konstanta) e + r (f + r) = c e f = c Pro pevně zvolené e a f je rozdíl konstantní. Opačnou implikaci dokážeme obdobným způsobem. Pro nalezení rovnice množiny s využitím počítače budeme nejdříve potřebovat vhodně zavést soustavu souřadnic. Označme S 1 = [b, 0], S = [b, 0] a M = [m, n] (obr. 6). Pro kružnice k 3 = (S 1, e + r) a k 4 = (S, f + r) je: Platí následující vztahy: k 3 : (x + b) + y (e + r) = 0 k 4 : (x b) + y (f + r) = 0 M k 3 H 1 := (m + b) + n (e + r) = 0 M k 4 H := (m b) + n (f + r) = 0

4 MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 13 Obrázek 5. Hledaná množina Obrázek 6. Vhodně zvolená soustava souřadnic Eliminaci neznámé r v systému rovnic H 1 = 0 a H = 0 v programu CoCoA zapíšeme: Use R::=Q[m,n,b,e,f,r]; I:=Ideal((m+b)^+n^-(e+r)^,(m-b)^+n^-(f+r)^); Elim(r,I); Dostáváme výsledek: Ideal(- m^b^ + 1/m^e^ + 1/n^e^ + 1/b^e^ - 1/8e^4 - m^ef - - n^ef - b^ef + 1/e^3f + 1/m^f^ + 1/n^f^ + 1/b^f^ - - 3/4e^f^ + 1/ef^3-1/8f^4) Po substituci proměnných m, n za x, y a přepsáním do tvaru rovnice získáváme: ( (1.5) x b e + ef f ) ( e + y + ef f ) ( e + b + ef f ) e4 8 + e3 f 3e f + ef 3 4 f 4 8 = 0. Úpravou rovnice (1.5) dostaneme: ( ) ( ) (e f + b)(e + f + b) (e f) (1.6) x y ( (e f) ) (e f + b)(e + f + b) = 0. 8 Vidíme, že rovnice (1.6) je rovnicí kuželosečky závislé na volbě parametrů e, f a b. Řešení pomocí konstrukce (1.1) jsme ukázali výše. Pokud bychom hledali řešení i pro zbylé možnosti konstrukce, tak bychom došli k závěru, že konstrukce případu (1.) vede na stejnou rovnici množiny. V případech (1.3) a (1.4) nalezneme, jinou rovnici, která po úpravě vypadá následujícím způsobem: ( ) ( ) (e + f + b)(e f + b) (e + f) (1.7) x y ( (e + f) ) (e + f + b)(e f + b) = 0. 8 Tento výsledek nás vede k tomu, že řešením tohoto příkladu budou dvě různé kuželosečky, které budou závislé na parametrech e, f a b.

5 14 JAKUB JAREŠ Rozebereme všechny možnosti, které mohou nastat: (1) Pokud b = 0 a zároveň (a) e = f = 0 pak kružnice splývají v jediný bod a řešením je celá rovina kromě tohoto bodu, (b) e = f > 0 pak kružnice splývají v jednu a množinou bodů je celá rovina kromě této kružnice, (c) e > f resp. e < f množinou bodů jsou dvě kružnice se stejným středem jako k 1, k (obr. 7a). () Pokud b 0 a zároveň (a) e = f = 0, kružnice splývají v body, množinou je osa úsečky S 1 S, (b) e = f a kružnice mají společné body - řešením je elipsa a přímka x = 0 (obr. 7b), (c) e = f a kružnice mají 1 společný bod - e = f = b množinou jsou přímky x = 0 a y = 0 (obr. 7c), a) b) c) Obrázek 7. Různé možnosti řešení v rovině (d) e = f a kružnice nemají společný bod - řešením je hyperbola a přímka x = 0 (obr. 8a), (e) e > f resp. e < f a kružnice mají společné body - řešením je hyperbola a elipsa (obr. 8b), (f) e > f resp. e < f a kružnice mají 1 společný bod a mají - vnější dotyk - řešením je hyperbola a přímka y = 0 (obr. 8c), - vnitřní dotyk - řešením je elipsa a přímka y = 0 (obr. 9a), a) b) c) Obrázek 8. Různé možnosti řešení v rovině

6 MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 15 (g) e > f resp. e < f a kružnice nemají společný bod a - kružnice leží vně - řešením jsou dvě hyperboly (obr. 9b), - menší kružnice leží uvnitř větší - řešením jsou dvě elipsy (obr. 9c), (h) e > f f = 0 resp. e < f e = 0 - bod leží vně kružnice - řešením je hyperbola, - bod leží uvnitř kružnice - řešením je elipsa, - bod leží na kružnici - řešením je přímka y = 0. a) b) c) Obrázek 9. Různé možnosti řešení v rovině Domníváme se, že počítačové řešení je v tomto případě vhodné. Hledat klasické důkazy pro všechny volby parametrů by bylo časově náročné. Pro případy ostatních kuželoseček by se klasický důkaz provedl obdobným způsobem.. Množiny bodů v prostoru Hledání množin bodů v prostoru nepatří do středoškolského učiva, ale využití technologií umožňuje tyto příklady řešit stejně efektivně jako rovinné. Proto se domníváme, že řešení těchto problémů by mohlo být pro studenty zajímavou zkušeností. Zobecněním předchozího příkladu do prostoru formulujeme problém následujícím způsobem: Příklad.1. V prostoru jsou zadány dvě kulové plochy κ 1 (S 1, e) a κ (S, f). Nalezněte množinu středů kulových ploch, které se dotýkají kulových ploch κ 1 a κ. Pro názorný popis problému jsme zvolili 3D okno programu GeoGebra 5 [6] (obr. 10). V prostoru bohužel nemáme takové možnosti, jako jsme měli v rovině. Použití nástrojů Stopa bodu pro demonstraci a Množina bodů pro verifikaci v této části odpadá. Nemáme tedy jasnou představu o jakou křivku nebo plochu půjde. Přejdeme tedy rovnou k hledání rovnice množiny pomocí počítače. Soustavu souřadnic budeme volit obdobným způsobem jako v rovinném příkladu: S 1 = [b, 0, 0], S = [b, 0, 0] a bod M = [m, n, o] (obr. 11). Budeme potřebovat následující rovnice pro kulové plochy: κ 3 : (x + b) + y + z (e + r) = 0 κ 4 : (x b) + y + z (f + r) = 0

7 16 JAKUB JAREŠ Obrázek 10. Zadaná situace v 3D okně GeoGebry 5 Obrázek 11. Zavedení kartézské soustavy souřadnic Bod M leží na kulových plochách κ 3 a κ 4, které mění svůj poloměr o velikost proměnné r. Budeme potřebovat následující rovnice: M κ 3 H 1 := (m + b) + n + o (e + r) = 0 M κ 4 H := (m b) + n + o (f + r) = 0 V systému rovnic H 1 = 0 a H = 0 potřebujeme eliminovat neznámou r. Do programu CoCoA zapíšeme: Use R::=Q[m,n,o,b,e,f,r]; I:=Ideal((m+b)^+n^+o^-(e+r)^, (m-b)^+n^+o^-(f+r)^); Elim(r,I); Dostáváme výsledek: Ideal(-m^b^ + 1/m^e^ + 1/n^e^ + 1/o^e^ + 1/b^e^ - 1/8e^4 - -m^ef - n^ef - o^ef - b^ef + 1/e^3f + 1/m^f^ + 1/n^f^ + +1/o^f^ + 1/b^f^ - 3/4e^f^ + 1/ef^3-1/8f^4) Po převedení do tvaru rovnice, substituci proměnných m, n, o za x, y, z a úpravě dostáváme následující rovnici: ( ) ( ) ( ) (e f + b)(e + f + b) (e f) (.1) x y (e f) z ( (e f) ) (e f + b)(e + f + b) = 0. 8 Rovnice (.1) je rovnicí kvadriky. Bude záležet na volbě parametrů e, f a b jaká plocha bude řešením. Stejně jako v rovinném případě i zde budou dvě možnosti konstrukce zadané geometrické situace, a tak i hledané množiny budou dvě. Rovnice (.) ukazuje druhou kvadriku, která je hledanou množinou. ( ) ( ) ( ) (e + f + b)(e f + b) (e + f) (.) x y (e + f) z ( (e + f) ) (e + f + b)(e f + b) = 0. 8

8 MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 17 V tomto případě provedeme podrobný rozbor výsledků následujícím způsobem: (1) Pokud b = 0 a zároveň (a) e = f = 0 jde o triviální případ, kde splývají kulové plochy v jediný bod, (b) e = f množinou je celý prostor kromě zadaných kulových ploch, (c) e > f resp. e < f množinou jsou dvě kulové plochy se středem v S1 = S (obr. 1a). () Pokud b 6= 0 a zároveň (a) e = f = 0 poté kulové plochy splývyjí v body, řešením je rovina x = 0, (b) e = f a kulové plochy mají průsečnici - řešením je elipsoid a rovina x = 0 (obr. 1b), a) b) c) d) Obrázek 1. Různé možnosti řešení v prostoru (c) e = f a kulové plochy mají 1 společný bod - e = f = b množinou je rovina x = 0 a průsečnice rovin y = 0 a z = 0 (přímka),

9 18 JAKUB JAREŠ (d) e = f (e) e > f (f) e > f (g) e > f (h) e > f - a kulové plochy namají společný bod řešením je dvoudílný hyperboloid a rovina x = 0 (obr. 1c), resp. e < f a kulové plochy mají průsečnici řešením je dvoudílný hyperboloid a elipsoid (obr. 1d), resp. e < f a kulové plochy mají 1 společný bod kulové plochy mají vnější dotyk - řešením je dvoudílný hyperboloid a průsečnice rovin y = 0 a z = 0 (obr. 13a), kulové plochy mají vnitřní dotyk - řešením je elipsoid a průsečnice rovin y = 0 a z = 0 (obr. 13b), resp. e < f a kulové plochy nemají společný bod kulové plochy leží vně - řešením jsou dva dvoudílné hyperboloidy (obr. 13c), menší kulová plocha leží uvnitř větší - řešením jsou dva elipsoidy (obr. 13d), f = 0 resp. e < f e = 0 bod leží vně kulové plochy - řešením je dvoudílný hyperboloid, bod leží uvnitř kulové plochy - řešením je elipsoid, bod leží na kulové ploše - řešením je průsečnice rovin y = 0 a z = 0. a) b) c) d) Obrázek 13. Různé možnosti řešení v prostoru

10 MNOŽINY BODŮ DANÝCH VLASTNOSTÍ 19 V těchto příkladech jsme využili všech prostředků, které nám matematický software nabízí. A věříme, že obdobné příklady na řešení množin bodů daných vlastností si najdou své místo ve středoškolské matematice. Obvzláště rovinné příklady jsou vhodné s přihlédnutím na využitím DGS. Závěr Na řešených příkladech bylo vidět, jak efektivní je vyšetřování množin bodů daných vlastností pomocí počítače. Jeho využití v přípravě učitelů a posléze v hodinách matematiky je jednoduché. Studenti tak mohou hledat nové, jim neznámé křivky, mohou se o nich dozvědět další informace a hlavně mohou sami experimentovat. Studenti nenabudou pouze znalosti týkající se hledání množin, ale také se učí algoritmizaci geometrických situací. Dále, dnes tak potřebné, počítačové gramotnosti s programy, které zajisté využijí i v dalším studiu. Počítač se stává nedílnou součástí kažodenního života. Proto i v hodinách matematiky se s ním studenti setkávají mnohem častěji a matematické programy by jim měly sloužit jako nástroj pochopení podstaty problému. Acknowledgment. Autor by chtěl poděkovat recenzentům za cenné a užitečné rady. Článek vznikl za podpory Grantové agentury Jihočeské univerzity GAJU 089/010/S. Reference [1] Botana, F., Valcarce, J.L.: A Software Tool for the Investigation of Plane Loci. Math. Comput. Simul.61() (003), [] Buchberger, B.: Groebner bases: an algoritmic method in polynomial ideal theory. In: Multidimensional Systems Theory, Bose, N.K., ed. Reidel, Dordrecht (1985), [3] Capani, A., Niesi, G., Robbiano, L.: CoCoA, a System for Doing Computations in Commutative Algebra. Dostupné z: [4] Cox, D., Little, J., O Shea, D.: Ideals, Varieties, and Algorithms. Third edition, Springer (000). [5] GeoGebra [online]. [cit ]. Dostupné z: [6] GeoGebra 5.0 Beta [online]. [cit ]. Dostupné z: [7] Günzel, M., Hašek, R., Jareš, J., Lombart, J., Pech, P., Šimandl, V., Štěpánková, R., Vaníček, J.: Integrace elektronických prostředí pro počítačem podporovanou výuku matematiky. České Budějovice: Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích, 01. ISBN [8] Jareš, J., Pech, P.: Exploring loci of points by DGS and CAS in teaching geometry. The electronic journal of mathematics [online]. 013, roč. 7, č.. ISSN Dostupné z: [9] Laborde, J.M., Bellemain, F.: Cabri Geometry II. Texas Instruments, Dallas (1998). [10] Maplesoft [online]. [cit ]. Dostupné z: [11] Pech, P.: Selected Topics in Geometry with Classical vs. Computer Proving. World Scientific, Singapore (007). [1] Wang, D.: Elimination practice: Software Tools and Applications. Imperial College Press, London (004). [13] Wang, D.: GEOTHER: A geometry theorem prover. In: Automated deduction - Cade-13, McRobbie, M.A., Slaney, J.K., eds.,lnai 1104, Springer, Berlin Heidelberg (1996), [14] Wang, D.: Epsilon: A library of software tools for polynomial elimination. In: Mathematical Software, Cohen, A.,Gao, X.-S., Takayama, N., eds., World Scientific, Singapore New Jersey (00), KMA, PF JČU, České Budějovice, Česká republika address: kuba.jares@seznam.cz