Upřesnění dráhy české družice MIMOSA

Transkript

1 Západočeská unveta v Pln Fakulta aplkovaných věd Kateda matematk Dplomová páce Upřesnění dáh české dužce MIMOSA Pleň, 4 Vojtěch Šejbe

2 Poděkování Rád bch na tomto místě poděkoval panu Pof. Ing. Josefu Kabeláčov, Csc., vedoucímu mé dplomové páce, a ochotné posktnutí řad studjních mateálů a konultací a příjemnou spolupác. 3

3 Upřesnění dáh české dužce MIMOSA. Abstakt: Dplomová páce se abývá pohbem umělé dužce obíhající kolem Země. Na n působí řada pouchových vlvů, kteé j vchlují elptcké dáh. Nejvýnamější nch jsou de popsán a působení gavtačního pole Země a Měsíce a Slunce je ahnuto do výpočetního pogamu. Vpočítané dáhové element jsou v další část konfontován se souřadncem přímo měřeným apaatuou GPS umístěnou na palubě dužce. Jsou sestaven postředkující ovnce a docháí k vovnání dáhových elementů metodou nejmenších čtveců. Zvláštní poonost je věnována české dužc MIMOSA. Klíčová slova: umělé dužce Země, kepleov ákon, dáhové element, numecká ntegace, ušený pohb, pouch od Země, pouch od Měsíce a Slunce, postředkující ovnce, metoda nejmenších čtveců, MIMOSA 4

4 PODĚKOVÁNÍ... 3 ABSTRAKT... 4 PROHLÁŠENÍ... 7 ÚVOD NERUŠENÝ POHYB DRUŽICE KEPLEROVY ZÁKONY POHYBOVÉ ROVNICE DRÁHOVÉ ELEMENTY.... RUŠENÝ POHYB DRUŽICE.... POHYBOVÉ ROVNICE.... NUMERICKÁ INTEGRACE PORUCHY DRÁHY DRUŽICE GRAVITAČNÍ PORUCHY Vlv gavtačního pole Země Rodělení sféckých funkcí podle geometckého výnamu Vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce Vlv otačních defomací Země NEGRAVITAČNÍ PORUCHY Vlv atmosfé Vlv slunečního áření a funkce stínu Vlv adace PŘEHLED DRUHŮ PORUCH ZÁKLADNÍ POZNATKY VYROVNÁVACÍHO POČTU METODA NEJMENŠÍCH ČTVERCŮ VYROVNÁNÍ ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ PRAKTICKÉ APLIKACE VÝPOČETNÍCH PROGRAMŮ NUMERICKÁ INTEGRACE VLIV GRAVITAČNÍHO POLE ZEMĚ Výpočt vlvu gavtačního pole Země GRAVITAČNÍ VLIV MĚSÍCE A SLUNCE Výpočt vlvu gavtačního pole Měsíce a Slunce URČOVÁNÍ DRÁHOVÝCH ELEMENTŮ VYROVNÁNÍM ZPROSTŘEDKUJÍCÍCH MĚŘENÍ Sestavení lneaovaných ovnc opav Sestavení lneaovaných postředkujících ovnc Vtvoření totálních dfeencálů Pacální devace Lneaované ovnce opav Konkétní příklad vovnání dáhových elementů VÝPOČTY PRO PŘÍPAD DRUŽICE MIMOSA KEPLEROVSKÝ POHYB VLIV GRAVITAČNÍHO POLE ZEMĚ GRAVITAČNÍ VLIV MĚSÍCE A SLUNCE ZÁVĚR POUŽITÁ LITERATURA PŘÍLOHY A SEZNAM KONSTANT A PROGRAMOVÁ DOKUMENTACE... 5 A. Pogam nteg

5 A. Pogam vovnan... 5 A3 VÝPISY ZDROJOVÝCH KÓDŮ PROGRAMŮ A3. nteg.dp A3. un_ni.pas A3.3 vovnan.dp... 6 A3.4 Un_MNC.pas... 6 A4 OBSAH CD

6 Pohlášení Pohlašuj, že jsem dplomovou pác vpacoval samostatně a výhadně s použtím ctovaných pamenů. V Pln dne 3. května 4. podps autoa 7

7 Úvod Tématem této dplomové páce je pohb umělých dužc kolem Země a přesňování jejch souřadnc. Výpočt, kteé blo třeba k tomuto cíl povést, jsem pováděl pomocí pogamů vtvořených ve vývojovém postředí Delph. Pvní kaptola pojednává o neušeném pohbu dužc a slouží spíše jako nutné teoetcké mnmum, kteé je nutné k pochopení dalších úvah. Je de pojednáno o Kepleových ákonech, jsou tu uveden pohbové ovnce a vsvětlen pojem dáhových elementů. Ve duhé kaptole se jž abývám eálnou stuací, př kteé se dužce nepohbují po elptckých dahách, ale jsou nejůnějších příčn těchto dah vchlován na dáh odpovídající víceméně obecné křvce. Dále de teoetck popsuj metodu numecké ntegace, kteá takový pohb řeší. Konkétně se jedná o metodu Runge-Kuttovu, kteá je také mplementována pomocí pogamu nteg.ee. Třetí kaptola popsuje nejvýnamnější pouch působící na dáhu dužce, a to jak gavtačního tak negavtačního chaakteu. Nejpodobněj jsou popsán pouchové vlv gavtačního pole Země a gavtačního pole Měsíce a Slunce, po jejchž výpočt jsem opět sestavl výpočetní pogam. Čtvtá kaptola je věnována metodě nejmenších čtveců a vovnání postředkujících velčn. Na teoetckých ákladech de popsaných je následně postavena úloha přesňování vpočtených dáhových elementů, jsou-l nám souřadnce přímo měřené apaatuou GPS umístěné na palubě dužce. Tento výpočet se děje postupným vovnáváním pomocí sestaveného pogamu vovnan.ee. Zatímco předchoí kaptol se abýval především teoí a jednotlvé příklad řešl spíše obecně, kaptola pátá jž testuje sestavené výpočetní pogam na konkétních datech, přčemž se aměřuje především na poovnání s výsledk jných autoů. V poslední šesté kaptole jsou pomocí výše uvedených pogamů sledován půběh pouch na dáe dužce MIMOSA. Nedílnou součástí této dplomové páce je přložené CD, kteé obsahuje použté pogam. 8

8 . Neušený pohb dužce Dříve než přstoupíme k popsu pouchových vlvů na dáhu dužce, budeme se abývat jednodušším případem neušeného (kepleovského) pohbu dužce. Jedná se o případ, kd planeta její dužce jsou považován a hmotné bod, jejchž dáhu ovlvňuje poue gavtační síla, kteou působí na sebe navájem. Ostatní gavtační pouch, jako ejména vlv nepavdelného oložení hmot Země a další, an pouch negavtačního chaakteu de nejsou ahnut.. Kepleov ákon Kepleov ákon popsují neušený pohb tělesa m obíhajícího kolem tělesa M. Dnes se Kepleov ákon uvádějí ve tvau:. Planet se pohbují v elpsách blíkých kužncím o společném ohnsku ve Slunc. (Přesněj: o společném těžšt v těžšt sluneční soustav.). Plošná chlost, tj. plocha původče opsaná na jednotku času, je konstantní. 3. Pomě duhé mocnn oběžné dob vhledem k třetí mocnně hlavní poloos je konstantní. T T a a Tto ákon bl Kepleem odvoen na ákladě četných pooování, především planet Masu. Jejch teoetcký důka posktl až Newtonův gavtační ákon. Ten také umožnl ákon obecnt na jakoukol dvojc těles, na kteé nepůsobí žádné jné síl. 3 (.). Pohbové ovnce Základem po odvoení pohbových ovnc je Newtonův gavtační ákon popsující slové působení dvou hmotných bodů o hmotnostech M a m, kteý je vjádřen ovncí: M m F G 3 (.) 9

9 V tomto vtahu je G Newton-Cavendshova gavtační konstanta (G 6,67. - N.m.kg - ), M udává hmotnost centálního tělesa (Země) a m hmotnost tělesa obíhajícího (dužce), je vekto vájemné poloh těles M a m v pavoúhlé souřadncové soustavě s počátkem v bodě M. Znaménko mínus udává smě vektou síl působící na těleso m a před-pokladu, že vekto směřuje od tělesa m k tělesu M. Ze vtahu (.) le odvodt tř pohbové ovnce Konstanta µ µ 3 µ 3 µ 3 (.3) k ( M m) je gavtační konstanta dužce m, k je Newton-Cavendshova konstanta. Tto ovnce popsují pohb tělesa m vůč tělesu M v pavoúhlé souřadncové soustavě (,, ) s počátkem v M. Řešením těchto ovnc ískáme šest ntegačních konstant, kteé představují soustavu dáhových elementů..3 Dáhové element Dáhovým element oumíme soustavu šest na sobě neávslých paametů, kteé jednonačně popsují pohb dužce př neušeném pohbu. Klascké kepleov element tvoří šestce (a, e, τ, Ω, ω, ). Element a, e chaakteují tva elps, po kteé dužce obíhá a je velkost hlavní poloos a e ecentcta. Element τ udává čas půchodu dužce ovnou pegeem. Element ω, Ω, učují polohu elps v postou. Ω se naývá ektascene výstupního ulu a je to odchlka půsečnce ovn elps s ovnou ovníku od kladné poloos souřadncového sstému vtaženého k janímu bodu, ω je odchlka původče pegea (bodu, kd je dužce nejblíže geocentu) a element udává sklon ovn dáh vůč ovně eklptk. Gafcké náonění kepleovských dáhových elementů je náoněno na obáku (.)

10 Ob..: Kepleovské dáhové element Místo klasckých kepleovských elementů (a, e, τ, Ω, ω, ) je možné použít také složek vektou poloh a složek vektou postupné chlost (,,,,, ) v lbovolném bodě dáh dužce, kteé představují ntegační konstant ískané řešením ovnc (.3). Po neušený pohb jsou dáhové element konstantní. Po pohb ušený jsou ovšem funkcem času.

11 . Rušený pohb dužce Jak jž blo napsáno, předchoí kaptola se abývala nejjednodušším a načně dealovaným případem pohbu (umělých) dužc Země. Ve skutečnost ovšem působí na dužce celá řada ušících vlvů, kteé ovlvňují její dáhu. To v pa namená, že se dužce nepohbuje po elpse, jak to popsuje Kepleův ákon po pohb neušený (kap..). Nejvýnamnější nch budou podobněj popsán v následující kaptole. Zde se budeme obecně abývat jejch vlvem na podobu pohbových ovnc a jejch následným řešením.. Pohbové ovnce Výchoím vtahem po matematcké vjádření ušeného pohbu budou pohbové ovnce po pohb neušený (.3). T umožňují počítat duhou devac souřadnc původče,,, ted chlení dužce v daném čase. Záoveň však na dužc působí ůná pouchová chlení F, kteá le sečíst a výsledek (přoeně oepsaný do složek F, F, F ) přčíst ke chlení kepleovského pohbu. Tímto dostaneme obecný áps pohbových ovnc po ušený pohb dužce:. Numecká ntegace µ F 3 µ F 3 µ F 3 (.) U kepleovského pohbu můžeme počítat dáhové element dužce (ať už kepleovské nebo pavoúhlé) analtck pomocí počátečních dáhových elementů a ovnce elps. Působí-l však na dužc ušvé vlv, její dáha se mění a přecháí v obecnou, matematck nedefnovatelnou křvku. V takovém případě musíme řešt úlohu učení dáhových elementů dužce někteou numeckých metod aplkovanou na pohbové ovnce (.). Základní úlohu numeckého řešení dfeencálních ovnc pvního řádu s počáteční podmínkou apíšeme obecně ve tvau

12 ( ) ( ) ( ) ( ) ( )., t t t f t kde budeme hledat funkc. Po řešení blo použto klascké Runge-Kuttov, což je metoda jednokoková čtvtého řádu. Předps příslušného algotmu je () t ( ) ( ) ( ) ( ) ,,.3,, 6 hk h t f k hk h t f k hk h t f k t f k k k k k h n n n n n n n n n n Jak je vdět, po výpočet funkčních hodnot n v čase t n je nutno nát poue hodnot předcháejícího koku n-, t n- a velkost koku h. Po úplnost dodejme, že v ovnc (.) můžeme považovat a vekto a f a vektoovou funkc a metoda le potom aplkovat na soustavu dfeencálních ovnc s podmínkou. Abchom mohl použít tuto metodu na pohbové ovnce (.), musíme je nejpve převést na dfeencální ovnce pvního řádu. Potože se jedná o ovnce ve tvau ( ) ( ).4 f použjeme de klasckou substtuc ( ) s s s s s s s s s.5 a pohbové ovnce (.) můžeme apsat jako s s ( ) F s s s s s 3 µ s s ( ) ( ).6 3 F s s s s s µ s s ( ) F s s s s s 3 µ 3

13 s počátečním podmínkam: s s v s s (.7) v s s v Hodnot,, v, v v jsou počáteční pavoúhlé dáhové element příslušné času t.,, Tuto úlohu paktck řeší pogam nteg, kteý se nacháí na přloženém CD. 4

14 3. Pouch dáh dužce Pouch dáh dužce onačují odíl me deální (elptckou) a skutečnou dáhou dužce. U řad nch můžeme pooovat peodcký půběh a tohoto hledska je dělíme na pouch kátkopeodcké, dlouhopeodcké a sekulání (věkovté). Další odělení pouchových vlvů souvsí s jejch sváaností s pouchovým potencálem. Rolšujeme tak pouch gavtační (též konevatvní) a negavtační (nekonevatvní). 3. Gavtační pouch Gavtační (nebo také konevatvní) pouch působují síl gavtačního chaakteu, kteé le vjádřt pomocí funkce pouchového potencálu R R(,, ), esp. R(,ϕ,λ) R. Nejslnější gavtačních pouch jsou působen nehomogenností gavtačního pole Země. Následují působení gavtace Měsíce a Slunce, slapové vlv, vlv pecese, nutace a pohbu pólů a elatvstcké jev. 3.. Vlv gavtačního pole Země Po kepleovský pohb dužce blo nutno považovat emské těleso a homogenní koul a jeho gavtační pole a středově souměné, což ovšem nevsthuje skutečný stav. Výstžný po pops gavtačního pole Země je geod, kteý však nele defnovat matematck. Používá se ted tv. pouchový gavtační potencál Země. Ten vhovuje Laplaceově ovnc V V V V ( 3.) vjádřené ale ve sféckých souřadncích. Získáváme ted pacální dfeencální ovnc duhého řádu, kteá má nekonečně mnoho řešení. Dost složtým odvoením le ískat vjádření pouchového gavtačního potencálu ve tvau řad sféckých funkcí: µ R a n l m kde µ načí geocentckou gavtační konstantu, l m m m [ C cos( mλ) S sn( mλ) ] P ( snφ) ( 3. l l l a střední polomě Země a ), ϕ,λ, m m geocentcké souřadnce dužce. a jsou beoměná čísla, tv. hamoncké C l geopotencální (Stokesov) koefcent, S l m l ( snφ ) P Legendeov přdužené funkce (po m ), esp. Legendeov polnom (po m ). Inde m udávají stupeň a nde 5

15 l řád. Hodnot hamonckých geopotencálních koefcentů jsou tabelován až po stupeň a řád 36. Po výpočet Legendových polnomů platí tv. Rodguesův voec P l l l l d ( ) ( sn φ ) snφ l l! [ ] ( 3.3) l dφ a po výpočet Legendových přdužených funkcí voec P m l ( snφ) ( sn φ) m d m [ P ( snφ) ] l dφ m ( 3.4) 3... Rodělení sféckých funkcí podle geometckého výnamu Vtah (3.) nabývá př ůných volbách stupně a řádu m, l specálních podob, kteým odpovídají příslušné geometcké ntepetace. Ob. 3.: Geometcké náonění sféckých funkcí Př volbě řádu m přejde sfécká funkce poue v Legendeův polnom, kteý ávsí poue π π na ϕ a nkol na λ. Tento polnom má l eálných kořenů na ntevalu,, kteé defnují l ovnoběžek o konstantní ϕ. Tak vnkne l oblastí (ón), kteé střídavě nabývají kladných a áponých hodnot. Těmto funkcím se říká funkce onální. Další specální případ nastává př volbě m l. V takovém případě je sféa odělena do m poledníkových pásů, opět s pavdelně se střídajícím naménk. Tto funkce se naývají sektoální. Po ostatní hodnot stupně a řádu, ted po l a l m, platí, že funkce, vané v tomto případě teseální, 6

16 odělují sféu na sfécké čtřúhelník esp. tojúhelník (v oblastech kolem pólů). Geometcké náonění sféckých funkcí po výše popsané případ volb stupně a řádu popsuje ob. (3.). 3.. Vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce Dosud jsme se abýval úlohou umělých dužc Země poue jako poblémem dvou těles. Ve skutečnost ovšem na soustavu Země dužce působí další gavtační vlv, především působení gavtačních sl Měsíce a Slunce. Nejvýnamnější jsou jejch přímé gavtační vlv. Bude ted nutné počítat gavtační potencál. K jeho výpočtu musíme nát po daný čas komě poloh dužce také polohu Měsíce a Slunce. Voec po výpočet gavtačního potencálu Měsíce pak bude: R M ( 3.5) 3 M M M µ M, ρ M M kde µ M je selenocentcká gavtační konstanta, ρ M vdálenost me těžštěm dužce a 3 těžštěm Měsíce,,, souřadnce Měsíce v ovníkové souřadncové soustavě a je M M M geocentcký původč těžště Měsíce. Analogckým působem sestavíme ovnc po Slunce: M R S 3 S S S µ S ρ S S ( 3.6) Výsledné jev potom můžeme sečíst. Obdobným působem b se postupovalo př výpočtu gavtačních vlvů dalších těles, kteé jsou ovšem tak malé, že je můžeme anedbat. Komě přímého gavtačního působení Měsíce a Slunce na dáhu dužce, defomují lunsolání gavtační síl emské těleso a tím působují měn jeho gavtačního pole. Tto tv. slapové pouch působují jednak pohb vodních mas v oceánech, jednak defomace samotné Země. Tento poblém je často jednodušován tím, že je Země bána jako dokonale tuhé těleso a počítá se poue slapový potencál. Je-l uvažován fakt, že Země je ve skutečnost elastcká a působením slapů v ní docháí k přesunům hmot, musíme počítat ještě btkový potencál. Tuto úlohu le řešt pomocí tv. Loveových čísel, kteé popsují elastcké odev uvntř emského tělesa na působení slapů Měsíce a Slunce Vlv otačních defomací Země Me gavtační pouch působící na dáhu dužc patří také pouch působené měnam tvau Země v důsledku peodckého pohbu os otace Země vůč emské kůře. Tento pohb 7

17 má peodu huba 433 dn a emské pól se v jejím důsledku pohbují po přblžně kuhové dáe o poměnném poloměu řádově v metech. Tvaovým defomacím podléhá také vekto otace. Tento efekt se naývá seónní kolísání chlost otace. 3. Negavtační pouch Negavtační pouch dáh umělých dužc Země jsou působen nekonevatvním slam, ted slam, kteé nele vjádřt pomocí slového potencálu. V následujících odstavcích se podobněj míním o dvou nejvýnamnějších: o vlvu odpou atmosfé a o tlaku slunečního áření. 3.. Vlv atmosfé Na dužc obíhající kolem Země působí odpo atmosfé, a to působí pot směu pohbu dužce. Vekto pouchového chlení F působícího na dužc le spočítat podle vtahu A F C V D ρ v m ( 3.7) V tomto voc je C D koefcent odpou, A efektvní půře (půře dužce kolmý na smě pohbu), m hmotnost dužce, ρ hustota atmosfé. Výa V v vjadřuje odíl me obtální chlostí a chlostí otace atmosfé a naývá se vekto aeodnamcké chlost dužce, V je velkost tohoto vektou a v je jednotkový vekto. Hustota atmosfé ávsí na výšce dužce nad povchem Země, což vjadřuje vtah ρ ηη H ρe ( 3.8), kde ρ je námá hustota atmosfé vtažená k výšce η nad emským povchem, η je výška dužce a H hustotní škála výšek. Ze vtahu (3.7) je nutné vjádřt součn koefcentů C D A. Po jednodušení le sce považovat tuto hodnotu a časově neměnnou, ale po všší přesnost pováděných výpočtů je nutné vužívat modelů, kteé popsují měn této hodnot, např. počítáním úhlu dopadu molekul vduchu. Me vlv atmosfé řadíme ještě vlv atmosféckého vtlaku. Po tento jev platí vtah analogcký ke vtahu po výpočet pouchového chlení působeném odpoem atmosfé (3.7), ted A F C V L ρ v m ( 3.9) 8

18 V tomto případě představuje výa V v vekto vtlaku a koefcent C L de má podobný výnam jako C D ve vtahu (3.7). U kulových dužc je hodnota vtlaku nulová. Vlv atmosfé působuje kátkopeodcké pouch u všech kepleovských dáhových elementů, nejvýnamnější pak na velkost hlavní poloos a na hodnotu ecentct. Tto dva element se působením atmosfé menšují, což namená přblžování se dáh dužce od elptckého tvau ke kužnc a její klesání. Jak je vdět e vtahu (3.8), hustota atmosfé klesá eponencálně se vůstající výškou, čímž přoeně klesá také příslušné pouchové chlení, takže po dužce na vsokých dahách nad Zemí můžeme tuto pouchu cela anedbat. 3.. Vlv slunečního áření a funkce stínu Vlv slunečního áření le odělt do dvou skupn. Pvní je tlak samotného poudu fotonů na těleso dužce, kteé se pohbuje mmo stín Země, duhou pak áření (včetně tepelného nfačeveného) odažené od Zemského povchu (podobněj v dalším odstavc). Pvní faktoů učujících celkový vlv slunečního áření na dáhu dužce je tv. sluneční konstanta: 4 RS E σ T DS ( 3.) V tomto vtahu σ představuje Stefan-Boltmannovu konstantu, T teplotu v kelvnech, R S polomě Slunce a D S vdálenost Slunce-Země. Dále áleží účnek slunečního áření na vlastnostech povchu částí dužce, na kteou papsk dopadají. Účnek le v tomto případě odělt do tří složek: absopce - enege je povchem dužce absobována popustnost - po část áření, kteou plocha dužce popustí; dělíme j dále na cadlovou a dfúní. Př cadlové popustnost pocháí papsek bee měn směu, př dfúní se řídí kosnovým ákonem. oda po papsk, kteé se odáží od povchu dužce; opět dělíme na cadlový (odáží se do jednoho směu) a dfúní (optýlí se ovnoměně do všech směů) Tto tř vlv jsou defnován elatvním koefcent α (absopce), τ (popustnost), ρ (oda). Dolní nde s, esp. d představují složk cadlové, esp. dfúní. Po tto koefcent platí: α ( τ τ ) ( ρ ρ ) ( 3.) s d s d 9

19 Pokud neuvažujeme vlv několkanásobných odaů, můžeme po vekto elementání síl psát: E ρ d τ d df ( τ s ρ s ) d ρ s cosθ n ( 3.) c 3, kde c je chlost světla, d jednotkový vekto ležící ve směu dopadu částce, Θ je úhel me vektoem nomál k ploše dopadu částce a směem dopadu částce, n jednotkový vekto nomál a enege E nesená fotonem je dána výaem E Se cosθe E ( 3.3), N e ve kteém je S e obsah ploch, e kteé je foton vjádřen, Θ e je úhel me její nomálou a směem ke Slunc a N e počet vjádřených částc. Výslednou hodnotu F působící na dužc dostaneme sumací elementáních sl přes všechn ploch dopadu a všechn elementání částce. Je řejmé, že výše uvedené úvah se týkají poue dužce, kteá se nacháí mmo emský stín. Poto se avádí tv. stínová funkce Ψ, kteou se násobí vtah (3.). Tato je dána předpsem:, Ψ, Výnam úhlů Φ, Λ je patný ob. (3.): Φ < Λ < Φ π < Λ < Φ, Φ < Λ < π ( 3.4) Ob. 3.: Funkce stínu Př analtckém řešení úloh vlvu slunečního áření je výhodné nahadt stínovou funkc nějakým analtckým výaem, např. mocnnnou nebo Foueovou řadou. Po numecké řešení je ovšem lepší testovat po každý kok ntegace vájemnou polohu Slunce, Země a dužce a podle toho učt hodnotu Ψ. Po přesnější výpočt je nutné ještě ahnout vlv polostínu. V tomto případě nabývá funkce Ψ hodnot

20 < Ψ < ( 3.5) 3... Vlv adace Z celkového množství slunečního áření dopadnuvšího na Zem se huba % odaí (tv. albedo) a as 4% se přemění na tepelné (nfačevené áření). Po výpočet síl df použjeme voec (3.), kde a E dosaujeme: E S e cosθ kde ϕ m je součet toku tepelného, esp. odaženého áření. N e e ϕ m ( 3.6) 3.3 Přehled duhů pouch Na ávě uvádím tabulku s přehledem ákladních tpů pouchových vlvů a jejch elatvní velkost. duh síl příčna pouch elatvní účnek konevatvní tíhové pole Země ploštění anomální tíhové pole Země -3 gavtace Měsíce -5 gavtace Slunce -6 slap -7-8 elatvstcké efekt - nekonevatvní atmosféa -6-7 áření přímé sluneční -6-7 adace -7-8 příčna v dužc áření dužce - odpo částc - Tab. 3.: Přehled duhů pouchpůsobících na dužc

21 4. Základní ponatk vovnávacího počtu V této kaptole bude teoetck popsán působ učení nejpavděpodobnějších hodnot dáhových elementů,, jsou-l po časový nteval,,,, T Tk nám vpočtené dáhové element a přímo měřené souřadnce. V pvním odstavc bude popsána metoda nejmenších čtveců, dále pak bude objasněn pncp vovnání postředkujících měření a jeho konkétní aplkace po výše uvedený případ. 4. Metoda nejmenších čtveců Před samotným popsem metod uveďme nejpve ákladní vtah: l l v ( 4.) Zde je l naměřená hodnota, l opavená hodnota a v náhodná opava. Inde n, kde n onačuje počet měření. Základním plířem metod nejmenších čtveců (dále jen MNČ) je Gaussův ákon, kteý popsuje oložení náhodných velčn (v našem případě náhodné opav v ). Podle něj splňují náhodné velčn tto vlastnost: velkost kladné a áponé opav téže absolutní velkost je stejně pavděpodobná malé opav jsou pavděpodobnější než opav velké Matematcký áps Gaussova ákona je ϕ h π ( () v ) v e h ( 4.) Půběh funkce vjadřuje tv. Gaussova křvka četnost (ob. 4.). Její stmost ávsí na paametu h (v uvedeném případě je h > h ). Ob. 4.: Gaussova křvka četnost

22 Pavděpodobnost, že se opava v objeví v ntevalu ( v v dv) p, je Pavděpodobnost, že opava v bude ntevalu (, ) je. ( v) ϕ( v) dv ( 4.3) Komě náhodných opav v se v soubou měření mohou vsktovat ještě chb sstematcké (po celou oblast měření) a polosstematké (po učtou část oblast měření), se kteým pacuje ošíření MNČ, tv. metoda kolokace. Dále pak to mohou být chb hubé, se kteým MNČ nepacuje a je třeba je vovnání předem vloučt. Podmínku mnmalace duhých mocnn v od nejpavděpodobnějších hodnot měřené velčn l apíšeme ve tvau: kde je vekto náhodných opav a v p... P v T Pv mn ( 4.4) ( v v... v ) ( 4.5) n... p p n ( 4.6) matce vah. Volbou členů p je možné chaakteovat kvaltu jednotlvých měření. Mají-l všechna měření kvaltu stejnou, je tato matce jednotková. Metod vovnání pomocí MNČ dělíme na: vovnání měření přímých po opakované měření téže velčn vovnání měření postředkujících nenámé velčn nejsou měřen přímo, místo nch jsou měřen velčn jné, kteé jsou s hledaným ve námém funkčním vtahu; o vovnání postředkujících měření bude podobněj pojednáno v kaptole 4. vovnání měření podmínkových naměřené velčn musí splňovat učté předem dané podmínk vovnání kombnovaná kombnuje někteé výše uvedených metod vovnání 4. Vovnání postředkujících měření Vovnání postředkujících měření je v dnešní době daleka nejpopulánější vovnávací metodou a to především poto, že je nejsnadněj pacovatelné pomocí výpočetní technk. Často se na ně převádějí jné metod vovnání. Jak už blo uvedeno výše, u postředkujících pooování nejsou k dspoc přímo naměřené hodnot nenámé velčn, 3

23 ale poue jné postředkující hodnot, kteé jsou s hledaným ve námém funkčním vtahu. Onačme nejpve vekto nenámých hledaných hodnot (... ) nějž platí d k, po ( 4.7) kde (... k ) onačuje námý vekto přblžných hodnot a ( d d dk d... (4.) po naměřené velčn. Onačíme-l pak (4.) a (4.7) řejmě platí: ) je vekto jejch vovnaných nenámých příůstků. Dále platí vtah ( ) ( 4.8) F l ( d L d ) l v ( 4.9) F k k Po další výpočt je nutné funkc F lneaovat. To povedeme nejlépe použtím Taloova ovoje a dostaneme: F d F F d... dk k F ( ) l v ( 4. ) kde L F ( ) l je tv. absolutní člen. Po lepší přehlednost nahadíme výa pacálních devací poměnnou a j a můžeme sestavt soustavu ovnc: a a... a n d d d a a a n d d d... a k... a... a k nk d l d l d l n v v v n ( 4.) kde n je počet postředkujících ovnc a k je počet hledaných nenámých. Tuto soustavu můžeme apsat také v matcovém tvau: A d L v ( 4.) Nní tuto ovnc dosadíme do vtahu (4.4). V našem případě budeme považovat matc vah P a jednotkovou a apíšeme opět v matcovém tvau: d T A T T ( Ad L) ( Ad L) T T T ( d A L )( Ad L) Ad L T Ad d Po ískání mnma devujeme tento výa podle T A T Ad A T L T mn mn T T A L L L mn a položíme oven nule. ( 4.3) ( 4.4) 4

24 Nní povedeme substtuc N A T A a vjádříme vekto nenámých opav jako: d N A T L ( 4.5) V dalším koku dosadíme do ovnce (4.) a dostaneme vekto náhodných opav v. Ten dosadíme do následujícího vtahu po výpočet střední jednotkové chb: m T v v n k ( 4.6) Výa n-k je počet nadbtečných měření. Na ávě vpočteme střední chbu jednotlvých nenámých d podle vtahu: m m q ( 4.7) kde q jsou dagonální pvk matce váhových součntelů Q, po kteou platí: Q N ( 4.8) 5

25 5. Paktcké aplkace výpočetních pogamů 5. Numecká ntegace Dáha dužce je počítána pogamem nteg, kteý vužívá Runge-Kuttovu metodu numecké ntegace. Tato metoda je podobněj popsána v kap. (.). V této kaptole se budu abývat testováním této metod na konkétních datech, včetně poovnání s výsledk jných autoů. Kontola přesnost Runge-Kuttov metod je testována tak, že se poovnávají souřadnce dužce v čase t se souřadncem po uplnutí jedné otočk (tt). Př neušeném pohbu b měl být tto souřadnce shodné a skutečný odíl me nm můžeme považovat a chbu metod. Př tomto postupu je délka koku numecké ntegace jako lomek času jedné otočk. Tento čas musí být adán a dáhovým element ve vstupním soubou na sedmém řádku. Pvní případ se bude týkat dužce tpu GPS s těmto vstupním hodnotam: [m] v [m/s] [m] v [m/s] [m] v [m/s] T[h] Tab 5. Dáhové element dužce GPS Odchlka poloh v jednotlvých souřadncích a celková všla: kok h[s] [m] [m] [m] [m] T/ E -5.53E 5.7E 8.8E T/ E-3-4.3E-3 4.9E-3 6.E-3 T/ E E-6 6.4E E-7 T/ E E E-7 5.5E-8 T/ E E-9-4.7E-8 7.6E-8 T/ E-8.44E E E-8 T/ E-8.93E-8-7.5E E-8 T/ E-8 3.3E-8-7.3E E-8 T/ E-8.3E-8-6.3E E-8 T/ E-8 3.E-8-7.8E-8 8.E-8 Tab 5.: Výsledk numecké ntegace Délka koku vpočtená tohoto údaje se dále používá po dobu celého výpočtu, kdž adaná délka otočk se vtahuje poue k příslušným dáhovým elementům a dále se s časem mění. 6

26 V tabulce jsou kuívou výaněna data, kteá blo možno poovnávat s výsledk Tomáše Peška uveřejněným v jeho dplomové pác [8]. Tomáš Pešek použl ve své pác stejnou (ted Runge-Kuttovu) metodu numecké ntegace, a to v postředí pogamu MATLAB. Zde uvádím jím vpočtené hodnot: kok h [s] [m] [m] [m] [m] T/ E -5.54E 5.7E 8.8E T/ E-3-4.3E-3 4.9E-3 6.E-3 T/ E E-6.6E-6.35E-6 T/ E-8-6.4E-7 8.6E-7.7E-6 T/ E E-7 3.9E-7 5.7E-7 T/ E-7 -.4E-6.79E-6.4E-6 Tab. 5.3: Výsledk numecké ntegace převaté [8] Dále uvedu ještě řešení téhož příkladu pogamem HUPO3.bas posktnutým pof. Kabeláčem vtvořeným v postředí Q-Basc. Používá algotmck dost složtou Evehatovu metodu numecké ntegace, kteá nepacuje s postupným výpočtem podle nastavené délk koku, jako je tomu např. u metod Runge-Kuttov. Není úkolem této páce podobně popsovat její pncp, poto uvedu poue fakt, že přesnost této metod ávsí především na nastavení poměnných OPA počtu opakování vntřního apomačního cklu a CAST, což je délka koku v jednotkách kepleovské otočk. Hodnota OPA je v našem případě ovna 9 a nemění se, snžování hodnot poměnné CAST je uvedeno v tabulce: CAST [m] [m] [m] [m].5.76e-.4e -.3E.74E.5 9.5E-6 5.7E E-5 8.E-5.5.E-8.4E-7 -.5E-7.6E-7..E -.E-7.E-7.57E E-8-6.3E-8 3.E-8 8.4E-8 Tab.5.4: Výsledk numecké ntegace pogamem pof. Kabeláče Volbu délk koku jsem ve svém případě (tab. 5.) voll tak, ab je blo možné konfontovat s výsledk Tomáše Peška (tab. 5.3, převato [8]). Toto poovnání ukauje, že moje vee výpočetního pogamu dosahuje př vhodné volbě délk koku huba o jeden řád lepší přesnost, což je však řejmě jen důsledek volb pogamovacího jaka. Nutno také počítat s faktem, že po skutečně sgnfkantní sovnání b blo nutno aplkovat pogam na více konkétních příkladů. Poovnání s pogamem pof. Kabeláče (tab. 5.4) nemůže podobné poovnání posktnout kvůl pncpálně načně odlšné metodě numecké ntegace. Tato data de uvádím spíše po ukáku přesnost dosažtelné touto metodou. 7

27 Po další ukáku jsem povedl výpočet souřadnc ještě u dalších dužc GPS (tab. 5.5, 5.6) a MIMOSA (tab. 5.7, 5.8). GPS [m] v [m/s] 496,538 [m] v [m/s] -38,433 [m] v [m/s] -35,56 T[h], Tab.5.5: Dáhové element dužce GPS kok h [s] [m] [m] [m] [m] T/ 43,76.33E -8.7E -.6E 8.76E T/ 43,8 8.56E E-3-5.5E-4 6.6E-3 T/3 4, E E E E-5 T/5 8,6-3.68E-6.777E-5.4E-6.8E-5 T/ 4, E E-5.95E-6 3.7E-5 T/3, E E-5.998E E-5 T/8, E E-5.998E E-5 Tab. 5.6: Výsledk NI po dužc GPS MIMOSA [m] v [m/s] 3373,5 [m] v [m/s] 5777,853 [m] v [m/s] -4,84 T[h],654 Tab.5.7: Dáhové element dužce MIMOSA kok h [s] [m] [m] [m] [m] T/ E.565E E.67E T/5.53.3E-.887E- -.6E-.58E- T/ E-4 9.9E-4-6.6E-4.34E- T/ E E-4.6E-4.5E-4 T/ E-4 -.6E-4.575E-4 3.E-4 T/ E E-4.64E E-4 T/ E-4 -.6E-4.64E-4 3.7E-4 Tab. 5.8: Výsledk NI po dužc MIMOSA Po shlédnutí výše uvedených tabulek můžeme konstatovat, že snžováním délk koku numecké ntegace se odchlka souřadnc snžuje, ovšem poue do jsté mee, od kteé se tato chba udžuje na přblžně stejné hodnotě. Hanc, od kteé jž nemá smsl snžovat délku koku, le předem těžko odhadnout. Je odílná nejen u ůných dužc, ale nejspíše také u stejné dužce po ůné dáhové element (po ůné čas t ). Tuto domněnku potvuje poovnání dvou dužc tpu GPS (Tab. 5. a 5.6), kteé mají velce podobné dáh letu, a přesto je u nch ona lomová hodnota délk koku h načně odílná. Po její spávné učení bch dopoučl povést test popsaný v úvodu tohoto odstavce před každým výpočtem. 8

28 V případě pochbností je sce možné volt délku koku co nejmenší, ale to bude vžd jž na úko výpočetní dob, kteá může být př apočtení pouch načná. Dále vdíme, že největší chba v poloe dužce bla anamenána u dužce MIMOSA (tab. 5.8). Tato chba je sce několkanásobně větší než u mmořádně přínvých výsledků pvní dužc GPS (tab. 5.), je však dobé s uvědomt, že se stále pohbuje v řádu desetn mlmetů. A to je odchlka naposto přjatelná, obvláště pokud uvážíme, že očekávané odchlk př počítání jednotlvých pouch budou patně o řád všší. 5. Vlv gavtačního pole Země Přpomeňme, že doposud bl pováděn všechn výpočt souřadnc dužce v pavoúhlé souřadncové soustavě vtažené k janímu bodu, ted neávslé na čase. Výpočet pouchového chlení od gavtačního pole Země však bepostředně souvsí s polohou dužce vůč Zem a je ted nutné jej povádět v soustavě teestcké. V poceduře VlvZeme, kteá je součástí mého pogamu a počítá pávě pouchové chlení od Země, jsou tak vstupním paamet nejen pavoúhlé souřadnce vtažené k janímu bodu, ale také čas. Pvním kokem pocedu VlvZeme je převedení souřadnc vtažených k janímu bodu do teestcké soustav. To se povede otočením soustav o úhel EE, kteý představuje geenwchský světový čas, podle voců π XT X cos( EE) Y sn( EE) XP 648 π YT X sn EE Y cos EE YP 648 ZX π 648 [ X ( XP cos( EE) YPsn( EE) ) Y ( XPsn( EE) YPcos( EE) )] Z ( 5.) V pogamu jsem anedbal pohb pólů, souřadnce jejch okamžté poloh XP, YP jsem položl ovn nule. Dalším kokem je převedení pavoúhlých souřadnc na souřadnce geocentcké ϕ,λ,. XT ZT ϕ acsn λ acsn YT XC ZT YT YC ( 5.) 9

29 Následuje výpočet Legendových polnomů a Legendových přdužených funkcí. Voce po jejch výpočet jsou míněn v kaptole 3.. (vtah 3.3 a 3.4). V uvedeném tvau však nejsou vhodné po počítačové pacování. Poto použjeme ekuentních vtahů ve tvau: () () ( ) () ()( ) ( ) () ()( ) ()( ) [ ] k k t P t t P t P t t P t P t t P t P k k k 5.3 V našem případě po dosaení paametu ϕ sn t (onačme ( ) k k P P ϕ sn ): ( ) ( ) ( ( ) ( ) [ ] ) k k P P P c P P b P P a k k k sn ) ( 5.4 sn ) ( cos ) ( ϕ ϕ ϕ Na ačátku výpočtu Legendových polnomů a přdužených funkcí volíme hodnotu a dále pokačujeme podle výše popsaného algotmu (5.4) a to tak, že nejpve počítáme po jednotlvých kocích ovnce (a) a (b) a až poslée na ákladě jejch nalost dosaujeme do ovnce (c). P Podobným působem bude pobíhat také výpočet devací Legendových polnomů a přdužených funkcí, kteé budeme dosaovat poděj do (5.8). Po tto platí ovněž ekuentní vtah, po dosaení a paamet ϕ sn t : ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ϕ ϕ ϕ ϕ ϕ cos sn ) ( 5.5 sn sn ) ( cos ) ( k P P P c P P b P P a k k k Tento voec platí po >, musíme ted učt, esp. Ručně vpočítat hodnot ( ) ϕ ϕ cos sn 5.6 P P P 3

30 Nní je třeba spočítat devace pouchového potencálu, kteé představují pouchové chlení. Potože se pohbujeme v pavoúhlé souřadncové soustavě a voec ( R ) je ávslý na geocentckých souřadncích F F F ϕ,λ,, budeme postupovat podle vtahů: R R R ϕ R λ ϕ λ R R R ϕ R λ ϕ λ R R R ϕ R λ ϕ λ Voce po výpočet devací pouchového potencálu ískáme devací vtahu (3.) podle složek ϕ,λ, : R µ ϕ R µ λ R µ V tomto vtahu vstupují člen l m a l m m ( Cl cos mλ Sl sn mλ) l m m ( P ) ( 5.7) m m m ( C sn mλ S cos mλ) P ( 5.8) l a m m ( l ) ( Cl cos mλ Sl sn mλ) l m a m l n n l m l m n l C, S, což jsou jak jž blo míněno v kaptole (3..) Stokesov koefcent. T popsují model tíhového pole Země WGS84-EGM96 (Wold Geodetc Sstém 984 Eath Gavtonal Model 996) a jsou uložen v tetovém soubou neno_egm.tt až do stupně a řádu 5. Tento soubo načítám podle adaného stupně a řádu na samém ačátku pogamu, ted dříve, než apočne cklus numecké ntegace včetně počítání pouchových vlvů. Z (5.) le dále odvodt vtah po výpočet bývajících členů v ovncích (5.7), ted devace geocentckých Geenwch,,. souřadnc ϕ,λ, podle souřadnc pavoúhlých vtažených ke l d l dϕ l P m l ϕ snϕ cosλ ϕ snϕ cos λ ϕ cosϕ λ sn λ λ cos λ λ cosϕ cosϕ cosϕ cosλ cosϕ cos λ snϕ ( 5.9) Výsledné pouchové chlení ískáme jednoduchým dosaením ovnc (5.8) a (5.9) do vtahu (5.7). Potože se po celou dobu výpočtů nacháíme v souřadncové soustavě vtažené 3

31 ke Geenwch (F T ), musíme ještě na ávě tto souřadnce převést do soustav vtažené k janímu bodu (F). To se povede pětným otočením soustav kolem os. Stejně jako u nveního vtahu (5.) uvádím voce v jejch plném nění včetně apočtení aktuálních souřadnc pólů, kdž v pogamu je stavím ovn nule. F F F F F T T cos sn T ( EE) F sn( EE) ( XP cos( EE) YPsn( EE) ) T T ( EE) F cos( EE) ( XP cos( EE) YPsn( EE) ) F ( 5.) T T π T ( XP F YP F ) F 648 F T π 648 π Výpočt vlvu gavtačního pole Země Konkétní data na testování pogamu jsem našel v dplomové pác Tomáše Peška [8]. Ten vbal na testování dužc GPS s počátečním element uvedené v tabulce (5.9). T platí po julánské datum (.VIII., h) a počáteční čas h. [m] v [m/s] [m] v [m/s] [m] v [m/s] T[h] Tab. 5.9: Dáhové element dužce GPS V následujících třech tabulkách jsou uveden postupně souřadnce X, Y, Z počítané po ntevalu jedné hodn po dobu necelé jedné otočk. Inde p, k, s oačují výsledné hodnot vpočtené Tomášem Peškem, pof. Kabeláčem a mnou. Po svoje výpočt jsem voll délku koku numecké ntegace.s a stupeň a řád Stokusových koefcentů. Čas[h] p [m] k[m] s[m] Tab. 5.: Vlv Země na dužc GPS, souřadnce 3

32 Čas[h] p [m] k [m] s [m] , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,3978 Tab. 5.: Vlv Země na dužc GPS, souřadnce Čas[h] p [m] k [m] s [m] 7894, , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , , ,56947 Tab. 5.: Vlv Země na dužc GPS, souřadnce V poovnání s pogam pof. Kabeláče docháí u mých výsledků k odchlce řádově v mlmetech, mamálně v centmetech, př konfontac s výsledk Tomáše Peška je shoda ještě huba o jeden řád přínvější. To je řejmě dáno stejnou metodou numecké ntegace. Na ávě tohoto odstavce ještě přkládám gaf, kteý náoňuje půběh odchlk (celkovou a v jednotlvých souřadncích) od dáh be apočtení vlvů Země. 33

33 Vlv pouch od Země na dáhu dužce GPS odchlka [m] čas [h] dx dy dz d Gaf 5.: Vlv pouch od Země na dáhu dužce GPS 5.3 Gavtační vlv Měsíce a Slunce Po výpočt pouchového chlení je na patřčných místech pogamu volána pocedua VlvMescSlunce. V tomto případě jsem převal algotm pogamu pof. Kabeláče a poue je přepsal do jaka Delph a akomponoval v podobě míněné pocedu do celého pogamu. Vstupním paamet po výpočet pouchového potencálu Měsíce a Slunce jsou přoeně pavoúhlé souřadnce dužce a dále čas a julánské datum, kteé jsou potřebné po jštění aktuálních pavoúhlých souřadnc (efemed) Slunce a Měsíce. Po Měsíc (esp. Slunce) jsou nejpve učen eklptkální souřadnce. Potože na odíl od pouchového chlení od Země nesouvsí vlv Země a Slunce s otací Země, jsou tto eklptkální souřadnce převeden poue do soustav vtažené k janímu bodu, ve kteé pak pokačují další výpočt. Na odíl od Země můžeme považovat gavtační pole Měsíce a Slunce a homogenní, takže po pouchové chlení můžeme použít jednodušší voce: kde F F F M M M X M X µ M 3 ρ M YM Y µ M 3 ρ M Z M Z µ M 3 ρ M X Y M 3 M Z M 3 M M 3 M ( 5.) 34

34 M ρ M X M Y M Z M ( X X ) ( Y Y ) ( Z Z ) M M M ( 5.) F, F, F jsou složk pouchového chlení, X, Y, Z souřadnce Měsíce a M M X, Y, Z M M souřadnce dužce, vše v geocentcké soustavě vtažené k janímu bodu. Dále načí geocentckou vdálenost těžště Měsíce a M M M ρ M vdálenost těžšť dužce a Měsíce. Po Slunce jsou vtah ekvvalentní. Celkový pouchové chlení dostaneme sečtením jednotlvých chlení od Slunce a Měsíce Výpočt vlvu gavtačního pole Měsíce a Slunce Výsledk svých výpočtů budu opět poovnávat s dat, kteé jsem převal [dplomka peska]. Zde jsou uveden výsledk T. Peška a D. Šamana po dužc GPS PRN 4 s dáhovým element [m] v [m/s] [m] v [m/s] [m] v [m/s] T[h] Tab. 5.3: Dáhové element dužce GPS PRN 4 kteé se vtahují po julánské datum Pešek sestavoval pogam v postředí MATLABu a použl stejné algotm výpočtu jako já, Šaman použl řejmě algotm jné. Následující tabulk obsahují souřadnce dužce po pvních hodn. Čas[h] X pe [m] X sa [m] X s [m] Tab. 5.6: Vlv Měsíce a Slunce na dužc GPS PRN 4, souřadnce 35

35 Čas[h] Y pe [m] Y sa [m] Y s [m] Tab. 5.7: Vlv Měsíce a Slunce na dužc GPS PRN 4, souřadnce Čas[h] Z pe [m] Z sa [m] Z s [m] Tab. 5.8: Vlv Měsíce a Slunce na dužc GPS PRN 4, souřadnce Moje výsledk jsou podle očekávání dík stejné použté metodě výpočtu velm podobné výsledkům Tomáše Peška (odchlka řádově v mlmetech, ma. centmetech). Př poovná s výsledk Šamanovým vdíme odchlku nejvýše kolem jednoho decmetu. Ještě uvádím gaf nanačující velkost odchlk dáh dužce se apočteným vlv Měsíce a Slunce od dáh kepleovského pohbu. 36

36 Vlv pouch od Měsíce a Slunce na dáhu dužce GPS PRN 4 5 odchlka [m] dx dy dz d -5 - čas [h] Gaf 5.: Vlv pouch Měsíce a Slunce na dáhu dužce GPS PRN Učování dáhových elementů vovnáním postředkujících měření Sestavení lneaovaných ovnc opav Teoetcké ponatk uvedené v kaptole (4.) aplkujeme nní na konkétní příklad přesňování dáhových elementů dužce MIMOSA. V tomto případě nám jako postředkující velčn poslouží souřadnce,, o o o po lbovolný čas T přímo měřené přístojem GPS umístěným na palubě dužce. Lneaované ovnce opav pak budou: c c c o o o v v v ( 5.3) V těchto ovncích jsou,, totální dfeencál. Inde c onačuje hodnot vpočtené a nde o hodnot přímo měřené. Jejch odíl je absolutním členem. Výa v na pavé staně jsou náhodné opav. 37

37 5.4. Sestavení lneaovaných postředkujících ovnc Nejpve uveďme ákladní vtah, na kteý se budeme poděj odvolávat. Jsou to ovnce, pomocí nchž vpočteme polohu dužce pohbující se po dáe kepleovské elps v lbovolném čase T. Vstupním hodnotam jsou de dáhové element,,,,, vtažené k času T. F F F G G G ( 5.4) Funkce G F, G n jsou de: a F sn kde jsou ( E E ) [ sn( E E ) E E ] ( T T ) geocentcký původč v postupná chlost W µ / v pomocná velčna, a µ /W hlavní poloosa n W 3 / / µ střední úhlový pohb dužce e cos E / a e výstřednost e sn E / / µ E ecentcká anomále W ( T T ) sn( E E ) ecos E [ cos( E E ) ] e E E E n sn ( 5.5) ( 5.6) Vtvoření totálních dfeencálů Následující úvah se budou týkat lbovolného časového ntevalu T - T. Po počáteční čas T estují v bodě P přesné dáhové element (,,,, ) ( 5.7), kteé však nenáme. Pokud b na dužc nepůsobl pouchové vlv, snadno bchom podle vtahů (5.4) vpočítal dáhové element k po čas T a bod P. Ve skutečnost se však dužce pohbuje po víceméně obecné křvce a počátečním elementům tak odpovídají element obsevované: o (,,,, ) ( 5.8) o, o o o o o 38

38 Počáteční hodnot dáhových elementů jsou však atížen chbou a m ted náme jen ( ) 9 5.,,,,, d d d d d d d ( ) Z těchto elementů můžeme numeckou ntegací a apočtením pouchových vlvů ískat dáhové element po čas T : ( ) ( ) 5.,,,,, c c c c c c c Rodíl jsou absolutní člen a jejch funkcem jsou pávě hledané opav c o. Pomocí nch pak apíšeme vtah po výpočet opav jako: ( ) Ekvvalentní vtah přoeně platí také po složk d d, Pacální devace Pacální devace vstupující ve vtahu (5.) vjádříme jako devac ovnc (5.4): ( ) 5. / / / / / / / / / G G F F Navíc de uvažujeme jednodušení: ( ) ( ) ( ),,,,,,,,,,,,,,, Pacální devace ( ) /, G F ískáme devováním vtahů (5.5). Po úpavách dostaneme: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) [ ] ( ) cos cos / E E E E n T T n G n n G E E E E a a F F ( ).3 5 Zde musíme učt pacální devace ( ) /, / E E a. To povedeme devací vtahů (5.6). Nejpve (po další výpočt) učíme ( ) 5.4 v v W µ kde uvažujeme jednodušení,,,,,,,,,, v. 39

39 Potom můžeme psát ( ) 5.5 3, / W W n W W a µ µ A po dalším odvoení ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) [ ] ( ) h a E e E E E e E E n T T E E sn cos cos sn 36 ( ).6 5 Zde platí ( ) ( ) ( ) e W W W E e a a a E e / / sn cos µ µ ( ).7 5 kde ( ) ( ) 8 5.,,,,,, ( ) Lneaované ovnce opav Nní můžeme konečně dosadt totální dfeencál,..., do lneaované ovnce opav (5.).: ( ) ( ) ( ) ( ) o c o c o c v o v o v o 5.9 Sum v těchto ovncích načí opav absolutních členů, kteé v našem případě nebudeme uvažovat Konkétní příklad vovnání dáhových elementů Početně řeší úlohu vovnání dáhových elementů pogam vovnan.ee, kteý je na přloženém CD. Tento pogam jsem vtvořl v pogamovacím jaku Delph přepsáním 4

40 pogamu HPHAN.BAS posktnutým pof. Kabeláčem a jeho úpavou a jednodušením po naš úlohu. Do pogamu vovnan.ee vstupují tetové soubo s dáhovým element po čas T, s dáhovým element vpočteným pogamem nteg.ee po čas T - T k a konečně soubo se souřadncem měřeným apaatuou GPS na palubě dužce, kteé odpovídají týmž časovým údajům ntevalu T - T k. Potože se však nepodařlo sehnat skutečná naměřená data, bude pogam testován na fktvním případě. V něm jsem bal a nepoušené dáhové element hodnot dužce MIMOSA uvedené v tabulce (5.9). Pomocí nch bl dále vpočten (se apočtením vlvu gavtačních polí Země a Měsíce a Slunce) souřadnce,, o o o, kteé dále sloužl jako obsevované velčn. Tto hodnot bl vpočten po 6 mnutách po dobu jedné otočk (celkem.7 h). [m] E- v [m/s] [m] v [m/s] e-3 [m] v [m/s] E-3 Tab. 5.9: Bevadné dáhové element dužce MIMOSA Do pogamu numecké ntegace bl adán hodnot: stupeň a řád Stokesových koefcentů délka koku NI s Julánské datum - JD Dáhové element, kteé jsme považoval a vpočtené vnkl poušením dáhových elementů o hodnot: d[m] dv [m/s] -. d[m] dv [m/s] -. d[m] dv [m/s] -. Tab. 5.: Zavedené pouch dáhových elementů Tto počáteční dáhové element jsou vstupním hodnotam po výpočet přblžných souřadnc,, c c c. Výsledkem výpočetního pocesu je soubo s vovnaným dáhovým element, kteé poslée mohou vstupovat do dalšího cklu jako. Celý postup je náoněn na obáku (5.). 4

41 Ob. 5.: Schema výpočetních pogamů numecké ntegace a vovnání dáhových elementů Po výše uvedený příklad jsem opakoval cklus třkát, což stačlo k uspokojvým výsledkům. V následující tabulce jsou uveden odchlk dáhových elementů po jednotlvých vovnáních od elementů obsevovaných. v. d[m] d[m] d [m] dv [m/s] dv [m/s] dv [m/s].,, 5,,,,. -,68,598,334,37E-4 -,88E-3-6,56E-4. -,E-,88E-,49E-,674E-5 -,483E-5 -,396E ,66E-4,34E-4,9E-4,9E-7-8,445E-8 -,676E-7 Tab. 5.: Odchlk počátečních dáhových elementů od bevadných hodnot po jednotlvých vovnáních Jak je vdět, jž po malém počtu opakovaní dostáváme velm dobou shodu vovnaných a obsevovaných souřadnc v tomto případě v desetnách mlmetu u souřadnc. Podobným úloham se ve své dplomové pác [9] aobíala také Hana Žlábková. Ta však došla k podobně přesným výsledků až po načném počtu řádově až po stovkách - opakování vovnání. 4

42 6. Výpočt po případ dužce MIMOSA V této kaptole budou aplkován pogam po výpočet gavtačních pouch na případu dužce MIMOSA. Vstupním hodnotam budou dáhové element (tab. 6.), kteé se vtahují k julánskému datu 458. To odpovídá 3.VI. 3, kd bla dužce vpuštěna. MIMOSA [m] v [m/s] [m] v [m/s] [m] v [m/s] Tab. 6.: Dáhové element dužce MIMOSA V následujících odstavcích budou postupně uveden výsledk numeckého řešení kepleovského pohbu dužce MIMOSA a dále pak vlv gavtačního pole Země a gavtačního pole Měsíce a Slunce. Tto úloh jsou řešen po dobu tří otoček, což ční v případě dužce MIMOSA necelých pět hodn. Délka koku numecké ntegace je defnována jako /5 délk otočk, což odpovídá úseku přblžně.5 s. 6. Kepleovský pohb Tabulka (6.) udává hodnot geocentckých souřadnc vtažených k janímu bodu a velkost původče dužce MIMOSA. čas[h] [m] [m] [m] [m] Tab 6.: Výpošt kepleovského pohbu. Jak je dobře vdět na gafckém vjádření (gaf 6.), hodnot jednotlvých souřadnc odpovídají funkc snus s peodou jedné otočk dužce. Součtu těchto složek je křvka 43

43 udávající půběh velkost původče, na kteé je patná ecentcta elps, po kteé dužce obíhá. Geocentcké souřadnce dužce MIMOSA [m] X Y Z,,38,77,5,54,9,3,69 3,7 3,46 3,84 4,3 4,6 čas [h] Tab 6.: Geocentcké souřadnce dužce MIMOSA 6. Vlv gavtačního pole Země V následující tabulce (6.3) uvádím odíl me kepleovským pohbem dužce a pohbem se apočteným vlvem gavtačního pole Země. Hodnot,, onačují odchlk v jednotlvých souřadncích a je celková odchlk původče. čas [h] [m] [m] [m] [m] Tab. 6.3: Vlv gavtačního pole Země 44

44 Po lepší náonost opět uvádím příslušný gaf (6.). Velkost odchlk se jž během pvních tří otoček pohbuje řádově ve stovkách klometů a její půběh má peodcký chaakte. Vlv gavtačního pole Země [m] ,,9,58,86,5,44,73,,3,59 čas [h],88 3,7 3,46 3,75 4,4 4,3 4,6 Gaf 6.: Vlv gavtačního pole Země na dužc MIMOSA 6.3 Gavtační vlv Měsíce a Slunce Poslední pouchou na dáhu umělých dužc Země, kteou jsem se abýval, je vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce. Podobně jako v předchoím odstavc uvedu odchlk souřadnc a původče od kepleovského pohbu (odstavec 6.). čas [h] [m] [m] [m] [m],,,,,,9,8,8 -,4,4,58,43,88 -,4,73,86 3,84,6 -,57 4,67,5, -,34-5,33 5,6,44-3,9 -, -,8 4,38,73 -,76 -,6,6 3,,,78,33,57 3,56,3 6,9 3, -,7 6,79,59 6,56 -, -7,57,,88 -,4-4,7-8,5 9,77 3,7-6,9-3,9 -,57 7,59 3,46-3,,7 4,93 6, 3,75 4,85 5,5 4,34 8,36 4,4,48 3,38-4,,66 4,3 4,4-3,56-3,77 4,89 4,6-8,8-6,66-7,8 3,9 Tab 6.4: Vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce 45

45 Také v následujícím gafu je možné v jednotlvých souřadncích v původč pooovat peodcký chaakte pouch. Jejch půběh je v tomto případě složtější křvka, kteá vnkla součtem pouch od Měsíce a od Slunce. Každá těchto pouch má jnou délku peod, což b se př dlouhodobějším pooování pojevlo na výsledné křvce. Vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce 5 [m] ,,38,77,5,54,9,3,69 3,7 3,46 3,84 4,3 4,6 čas [h] Gaf 6.3: Vlv gavtačního pole Měsíce a Slunce 46

46 Závě Hlavní výsledk této dplomové páce se dají odělt na dvě část. Pvní nch je pogam po výpočet souřadnc numecké ntegace. Ten umožňuje komě počítání neušeného kepleovského pohbu také apočítání vlvu gavtačního pole Země a/nebo vlvu gavtačního pole Měsíce a Slunce. Snažl jsem se, ab tento pogam nejen posktoval přesné výsledk, ale také ab bl přehledný, a ab blo možné snadno a chle adávat a edtovat vstupní hodnot. Výsledk samé bl vesměs úspěšně poovnán s výsledk stejných úloh od jných autoů. Robo výsledků paktckých úloh bla povedena ejména v páté a šesté kaptole. Duhá výnamná část této páce blo sestavení pogamu, kteý umožní postupným vovnáním přesňovat vpočtené dáhové element dužce, jsou-l po daný časový nteval nám souřadnce přímo pooované. Já jsem se abýval konkétně případem dužce MIMOSA, kteá má na své palubě umístěn přístoj GPS, kteý b měl přímo měřené souřadnce posktovat. Bohužel se nepodařlo tato data ískat a tak testování pogamu muselo poběhnout poue na fktvních datech (podobněj popsáno v příslušných patích této páce), což je jstě škoda. Tato páce s přoeně nemůže čnt náok na včepávající řešení dané poblematk. Naskýtá se celá řada dalších možných ošíření a lepšení. V případě numecké ntegace to může být ejména apočítání dalších pouchových vlvů působících na dáhu dužce. U vovnání dáhových elementů b mohl být komě souřadnc měřen také složk chlost, kteé b pak do vovnání vstupoval společně se souřadncem. Z hledska užvatele se nabíí možnost oba mňované pogam spojt a tím celý výpočetní postup přehlednt. 47

47 Použtá lteatua [] M. Buša, J. Kostelecký: Kosmcká geodee a kosmcká geodnamka. MO, Geneální štáb AČR, 993. [] M. Buša, G. Kaský, J. Kostelecký: Dnamka umělých dužc v tíhovém pol Země. Academa, Paha 993. [3] O. Montenbuck, E. Gll: Sattelte Obts Models, Methods, Applcatons. Spnge Velag, Beln, Hedelbeg, New Yok,. [4] J. Kabeláč: Kosmcká geodee II. Skptum ČVUT. [5] J. Kabeláč: Geodetcké metod vovnání, díl. Skptum ZČU, Pleň, 4. [6] J. Kabeláč: Učení dáhových elementů dužce MIMOSA přístojem GPS umístěným na její palubě. Geodetcký a katogafcký obo, oč.9, č. 3, 3. [7] J. Kabeláč: Obtální úloha dužcové geodee. Sboník ke. výočí naoení pof. E. Buchaa. [8] T. Pešek: Pouchové vlv Země, Měsíce, Slunce, planet a slapové účnk Měsíce a Slunce na dužc MIMOSA. Dplomová páce ZČU, Pleň, 3. [9] H. Žlábková: Učení dáhových elementů umělé dužce Země, jsou-l měřen jejch postoové souřadnce. Dplomová páce, ZČU, Pleň,. [] E. Vtásek: Numecké metod. Nakladatelství techncké lteatu, Paha 987. [] P.Přkl, M. Bandne: Numecké metod II. Skpta ZČU, Pleň,. [] S. Písek: Delph ačínáme pogamovat. Gada Publshng a. s., Paha. [3] J. Kabeláč: Přednášk předmětu Geodetcká astonome. Pleň, 3. [4] P. Tomášek: [5] kolektv autoů: Astonomcký slovníček. [6] Astonomcký ústav AV ČR. 48

48 Příloh A Senam konstant konstanta omě hodnota náev µ (GM) [m 3 s ] geocentcká gavtační konstanta µ M (GM M ) [m 3 s ] 498 selenocentcká gavtační konstanta µ S (GM S ) [m 3 s ],3744E helocentcká gavtační konstanta a m polomě ovníku Země AU m astonomcká jednotka 49

49 A Pogamová dokumentace V této část příloh popíšu hledska užvatele pogam nteg.ee a vovnan.ee, kteé jsou součástí této dplomové páce. A. Pogam nteg.ee Pogam nteg.ee je napogamován v jaku Delph a je učen po opeační sstém Wndows 95 a novější. Po spuštění soubou otevřeme následující okno: Fungování pogamu popíšu stučně v bodech a uvedu také fomát souboů, se kteým pogam pacuje:. Zadání vstupního soubou dáhových elementů Po stsknutí tlačítka Pocháet se objeví klascké dalogové okno po výbě soubou. Cestu k němu je samořejmě také možno adat učně přímo do edtační řádk. Fomát tetového soubou s dáhovým element je následující: <[m]> <[m]> <[m]> <d[m/s]> <d[m/s]> <d[m/s]> <doba otočk[hod]>, 5

50 kde poslední řádek je nepovnný. Po stsknutí tlačítka Načt se dáhové element obaí v příslušných edtačních řádkách. Komě načítání e soubou je můžeme adat také učně.. Volba délk a počtu koků numecké ntegace Pomocí přepínacích tlačítek se ohodneme, chceme-l adat délku a počet koků NI přímo, č jako lomek délk otočk dužce. V duhém případě musí být v edtačním okně Otočka adána doba oběhu. 3. Započtení pouch Chceme-l do numecké ntegace adat také pouchové vlv, onačíme příslušná ašktávací políčka. Po výpočet alespoň jedné obou možných pouch je nutné, ab blo adáno Julánské datum. Po pouch od Země je navíc potřeba defnovat hodnotu stupně a řádu Stokesových koefcentů. 4. Výstupní soubo Výstupní soubo adáme standadním působem, podobně jako tomu blo u volb soubou vstupního. Dále vbeeme, po kolka kocích se mají vpočtené dáhové element vpsovat. Fomát výstupního soubou bude: <kok NI> <čas od počátku NI [hod]> <[m]> <[m]> <[m]> <d[m/s]> <d[m/s]> <d[m/s]> <další kok NI> 5. Výpočet Stskem tlačítka Výpočet se spustí poces numecké ntegace. Jeho půběh můžeme sledovat na ukaatel. A. Pogam vovnan.ee Př popsu fungování pogamu vovnan se budu džet stejného postupu jako v předchoí kaptole. Spustíme soubo vovnan.ee a otevře se úvodní okno: 5