DIPLOMOVÁ PRÁCE. Martin Kalousek Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu

Transkript

1 Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Martin Kalousek Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu Katedra matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Studijní program: Matematika Studijní obor: Matematická analýza Praha 011

2 Na tomto místě chci poděkovat vedoucímu práce Mgr. Petru Kaplickému, Ph.D za veškerou jeho pomoc při tvorbě práce. Prohlašuji, že jsem tuto diplomovou práci vypracoval samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů, literatury a dalších odborných zdrojů. Beru na vědomí, že se na moji práci vztahují práva a povinnosti vyplývající ze zákona č. 11/000 Sb., autorského zákona v platném znění, zejména skutečnost, že Univerzita Karlova v Praze má právo na uzavření licenční smlouvy o užití této práce jako školního díla podle 60 odst. 1 autorského zákona. V Praze dne... podpis

3 Obsah 1 Úvod 5 Značení 6 3 Pomocná tvrzení 8 4 Existence řešení Řešitelnost systému s aproximativním potenciálem Vylepšení regularity řešení aproximativní úlohy Limitní přechod Hölderovská spojitost gradientů řešení Částečná regularita pro d = 3, q 0 = Úplná regularita ve D, q 0 = Literatura 59 3

4 Název práce: Systémy rovnic s anizotropním růstem disipativního potenciálu Autor: Martin Kalousek Katedra: Katedry matematické analýzy Vedoucí diplomové práce: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. vedoucího: Petr.Kaplicky@mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci studujeme existenci a vlastnosti řešení systému nelineárních parciálních diferenciálních rovnic, které popisují ustálené proudění newtonovské tekutiny. Pro tento systém uvažujeme disipativní potenciál s anizotropním růstem. Ukážeme, že existuje slabé řešení systému, a jeho částečnou C 1,α -regularitu ve 3D a úplnou C 1,α -regularitu ve D. Klíčová slova: potenciál s anizotropním růstem, částečná a úplná regularita Title: Systems of equations with anisotropic dissipative potential Author: Martin Kalousek Department: Department of mathematical analysis Supervisor: Mgr. Petr Kaplický, Ph.D. Supervisor s address: Petr.Kaplicky@mff.cuni.cz Abstract: In the present work we study the existence a properties of solution of the system of partial differential equations describing steady flow of Newtonian fluid. We consider that this system has anisotropic dissipative potential. We prove existence of weak solution to this system and its partial C 1,α -regularity in 3D and full C 1,α -regularity in D. Keywords: potential with anisotropic growth, partial and full regularity 4

5 Kapitola 1 Úvod V předložené práci budeme studovat systém parciálních diferenciálních rovnic div { T (ε(u) } u + u k + P = g v, x k (1.1) div u = 0 v, u = u 0 na, který pochází z mechaniky kontinua. Množina R d, d = nebo d = 3 bude omezená oblast s lipschitzovskou hranicí. Funkce P představuje tlak, g : R d vnější síly a u 0 : R d je zadaná okrajová podmínka. Budeme uvažovat g L (; R d ), u 0 = 0. (1.) O tenzoru T předpokládáme, že je gradientem potenciálu f : S d [0, ), který je třídy C a splňuje podmínku anizotropního růstu λ, Λ > 0, p, q 0, 1< p q 0, q 0 τ, σ S d : λ(1 + τ ) p σ D f(τ)(σ, σ) Λ(1 + τ ) q 0 σ. (1.3) Pro exponenty p, q 0 vyskytující se v anizotropní růstové podmínce (1.3) budeme uvažovat 6 pro d= p > 5 d + a zároveň q 9 0 <p 5 pro d=3 d. (1.4) Pro takto zadaná data ukážeme ve Větě 4.11 existenci slabého řešení systému (1.1), ve Větě 5.5 částečnou regularitu slabého řešení pro d = 3 a ve Větě 5.8 jeho úplnou regularitu pro d =. 5

6 Kapitola Značení Číselné množiny N, R přirozená a reálná čísla R d d-dimenzionální eukleidovský prostor nad R s bází {e 1,..., e d } S d d d symetrické matice B(x, r) koule se středem v bodě x a poloměrem r Prostory funkcí. Nechť je oblast v R d. W k,p () Sobolevův prostor C k,ν () prostor funkcí s hölderovsky spojitými parciálními derivacemi řádu k Matice a vektory Nechť u, v R d u v skalární součin vektorů u, v u v = d i=1 u iv i u v tenzorový součin vektorů u, v u v = (u i v j ) d i,j=1 u v symetrická část u v u v = 1 (u v + v u) 1 jednotková matice Nechť σ, ρ R d d σ :ρ skalární součin matic σ, ρ σ :ρ= d i,j=1 σ ijρ ij σ norma matice σ σ = σ :σ 6

7 Derivace k ε D parciální derivace podle k-té proměnné gradient symetrická část gradientu derivace podle maticové proměnné Nechť X je Banachův prostor a X jeho duál. Pro F X a x X bude F, x značit hodnotu F v x. Druhý diferenciál potenciálu f v ε S d definuje bilineární formu D f(ε) : S d S d R, její vyčíslení na prvcích ρ, σ S d budeme značit D f(ε)(ρ, σ). Oscilací funkce h na množině U R d definujeme jako osc U g := sup { g(x) g(y) }. x,y U Na V U definujeme pro h < dist(v, U) a k {1,..., d} diferenční podíl g ve směru e k jako h g(x):= g(x + he k) g(x). h c bude značit univerzální konstantu. 7

8 Kapitola 3 Pomocná tvrzení V této kapitole je uvedeno několik tvrzení, na která se budeme několikrát odvolávat v dalších kapitolách. Nejdříve uvedeme [16, Theorem 1.10 (a)], tvrzení (b) je odvozeno během důkazu (a) tamtéž. Lemma 3.1. Nechť 1 < p <, R d je omezená, otevřená a má lipschitzovskou hranici. Potom existují konstanty c 1 = c 1 (p, ) a c = c (p, ) taková, že (a) pro každou v W 1,p 0 (, R d ) platí (b) pro každou v W 1,p (, R d ) platí v W 1,p (;R d ) c 1 ε(v) Lp (;R d ). (3.1) v W 1,p (;R d ) c ( v Lp (;R d ) + ε(v) L p (;R d ) ). (3.) Následující Lemma odpovídá na otázku, jak vypadá jádro operátoru ε. Jedná se o upravenou verzi věty [14, Theorem 3.], která je formulována pro W 1, (; R 3 ). Lemma 3.. Nechť u W 1,q (; R d ), je oblast v R d. Pak ε(u) = 0 v právě když u T := {v = a + Bx; a R d, B je antisymetrická matice d d}. Důkaz. Zřejmě pro každou u T je ε(u) = 0. Ukažme opačnou implikaci. Zvolme 0 konvexní. A pro u takovou, že ε(u) = 0, ukážeme u = a + Bx na 0. Pro h < 1dist( 0, ) definujeme u h (x):= 1 ( ) x y ϕ u(y) dy, (3.3) h R d h d 8

9 kde ϕ je regularizátor s nosičem v B(0, 1). Potom u h C ( 0 ; R d h 0 ) a u h u ve W 1,q ( 0 ; R d ). Navíc je ε(u h ) = 0 v 0, neboť j u i h(x):= 1 ( ) x y ϕ h R d j u i (y) dy. (3.4) h d Tvrzení dokážeme pro v C ( 0 ; R d ). Z předpokladu ε(v) = 0 vyplývá Nyní uvažujme d=3. Z (3.5) a 3.6 vyplývá i v i = 0 i = 1,..., d (3.5) i v j = j v i i, j = 1,..., d. (3.6) j k v i = 0, (3.7) pokud i = j nebo i = k nebo j = k. Z (3.5) musí mít v tvar v 1 = a 1 + w 1 (x, x 3 ) v = a + w (x 1, x 3 ) v 3 = a 3 + w 3 (x 1, x ). Z faktu i w k = 0, což je speciální případ (3.7), dostaneme po integraci w 1 (x, x 3 ) = B(x 3 )x + B(x 3 ) = C(x )x 3 + C(x ) (3.8) w (x 1, x 3 ) = D(x 3 )x 1 + D(x 3 ) = E(x 1 )x 3 + Ẽ(x 1) (3.9) w 3 (x 1, x ) = F (x )x 1 + F (x ) = G(x 1 )x + G(x 1 ). Derivací (3.9) podle x obdržíme B(x 3 ) = C (x )x 3 + C (x ), odkud je okamžitě vidět, že C (x ) a C (x ) jsou konstantní a proto jsou C(x ) a C(x ) lineární. Potom je zřejmě i B(x 3 ) lineární. Podobně se ukáže, že i B, D, D, E, Ẽ, F, F, G, G jsou ve svých proměnných lineární. Dohromady proto dostaneme v 1 = a 1 + b 1 x + b 13 x 3 + c 1 x x 3 v = a + b 1 x 1 + b 3 x 3 + c x 1 x 3 (3.10) v 3 = a 3 + b 31 x 1 + b 3 x + c 3 x 1 x Po aplikaci (3.5) v (3.10)získáme c 1 = c = c 3 = 0. Navíc je matice (b ij ) d i,j=1 antisymetrická, protože pro i j b ij = i v j = j v i = b ji. Tedy v má požadovaný tvar. Pokud d = můžeme podobně jako v případě d = 3 odvodit, že v 9

10 má požadovaný tvar. T 0 (v definici T vezmeme = 0 ) je konečně dimenzionální podprostor W 1,q ( 0 ; R 3 ) h 0 a je tudíž uzavřený. Je-li {u h } T a u h u ve W 1,q ( 0 ; R d ) pak i u T 0. A jelikož byla 0 zvolena libovolně je u T. V důkazu odhadu Cacciopoliho typu použijeme nerovnost z [10, Lemma 3.1], kde je ale uvažována pouze pro funkce z W 1, (; R d ). V následujícím lemmatu bude tato nerovnost dokázána pro funkce z W 1,q (; R d ) q (1, ). Lemma 3.3. Nechť je oblast v R d. Potom existuje c > 0 tak, že pro každou v W 1,q (; R d ) q (1, ) existuje w T v w L q (;R d ) c ε(v) L q (;R d ). (3.11) Důkaz. Uvažujme prostor T, ten je konečně dimenzionálním podprostorem ve W 1,q (; R d ), proto existuje jeho topologický doplněk S ve W 1,q (; R d ). Zřejmě stačí dokázat v L q (;R d ) c ε(v) L q (;R d ) (3.1) pro v z S. Tvrzení ukažme sporem. Nechť k N existuje v k S tak,že Přejdeme k přeškálované posloupnosti v k := v k L q (;R d ) > k ε(v k ) L q (;R d ). (3.13) v k v k L q (;R d ) a z (3.13) dostaneme ε(v k ) L q (;R d ) < 1 k. (3.14) Podle Kornovy nerovnosti (3.) je posloupnost v k omezená ve W 1,q (; R d ) a z reflexivity tohoto prostoru existuje v 0 a podposloupnost ve {v k } (značená stejně) tak, že v k v 0 slabě ve W 1,q (; R d ). Slabá zdola polospojitost normy a (3.14) implikuje ε(v 0 ) = 0 a podle Lemmatu 3. je v 0 T. Konvexita a uzavřenost S implikují slabou uzavřenost S, tedy speciálně v 0 S. Již víme, že v 0 T, a proto je v 0 = 0. Z kompaktního vnoření W 1,q (; R d ) do L q (; R d ) dostaneme silnou konvergenci v k v 0 v L q (; R d ) a tudíž v 0 L q (;R d ) = 1 a to je spor s v 0 = 0. Dále uvedeme [17, Theorem 3.6.8]. Věta 3.4. Nechť ϕ L s (; R d ), D. Pro h ( 1dist(, D), 1 dist(, D), ) definujeme ψ h (x):= 1 0 ϕ(x + the i ) dt Potom platí ψ h L s (D; R d ) a ψ h h 0 ϕ v L s (D; R d ). 10

11 Dále použijeme variantu Brouwerovy věty o pevném bodě z knihy [6, p.493]. Věta 3.5. Nechť P : R N R N je spojité zobrazení. Nechť existuje r > 0 takové, že ξ R N, ξ = r : P (ξ) ξ 0. (3.15) Pak existuje ξ 0 B(0, r), pro které je P (ξ 0 ) = 0. Následují lemmata [1, Chapter III Lemma.1., Chapter V Lemma 3.1.] Lemma 3.6. Nechť A, B, α, β > 0, α > β a nechť ϕ : [0, R 0 ] [0, ) je neklesající funkce taková, že [ ( ) α ρ ρ, R (0, R 0 ), ρ < R : ϕ(ρ) A + ε] ϕ(r) + BR β R Pak existuje konstanta ε 0 = ε 0 (A, α, β) taková, že pro všechna ε (0, ε 0 ) existuje konstanta c závisející na ε, A, α, β taková, že [ ( ) ] β ρ ρ, R (0, R 0 ), ρ < R : ϕ(ρ) c ϕ(r) + Bρ β. R Lemma 3.7. Nechť f(t) : [τ 0, τ 1 ] [0, ) 0 τ 0 < τ 1. Nechť pro s, t, τ 0 t < s τ 1 platí f(t) [A(s t) α + B] + θf(s), kde A, B, α, θ jsou nezáporné konstanty, θ [0, 1). Potom existuje c = c(α, θ) taková, že pro τ 0 ρ < R τ 1 platí f(ρ) c[a(r ρ) α + B]. 11

12 Kapitola 4 Existence řešení Nejdříve se budeme zabývat definicí slabého řešení úlohy (1.1). Od slabého řešení (1.1) je přirozené požadovat splnění Df(ε(u)) : ε(ϕ) dx (u u) : ε(ϕ) dx = g ϕ dx, (4.1) div u = 0 v, u = 0 na. pro každou ϕ C 0,div(; R d ) = {v C (; R d ); spt v ; div v = 0}. Pokud bychom dále vyžadovali pouze u W 1,p (; R d ) dostaneme další podmínku pro q 0. Pro splnění Df(ε(u)) L 1 (; S d ) je totiž třeba q 0 < p + 1, což je pro p uvažované v (1.4) silnější podmínka než q 0 < p d+. Abychom se této d podmínce vyhnuli, nebudeme proto teď psát do jakého prostoru má slabé řešení patřit. V následující sekci budeme studovat existenci a vlastnosti slabého řešení modifikované úlohy a ve Větě 4.11 ukážeme v jakém smyslu řešení této modifikované úlohy konverguje k řešení systému (1.1). 4.1 Řešitelnost systému s aproximativním potenciálem Zvolme q q 0 splňující p d + d > q > d, (4.) 1

13 existenci takového q zaručuje (1.4). Pro (0, 1) položme f (σ) := (1 + σ ) q + f(σ), σ S d, (4.3) a hledáme u W 1,q 0,div (; Rd ) := C0,div (; Rd ) 1,q, které řeší Df (ε(u )) : ε(ϕ) dx (u u ) : ε(ϕ) dx = g ϕ dx, ϕ C 0,div(, R d ). (4.4) Poznámka 1. Na množině s lipschitzovskou hranicí platí W 1,q 0,div (; Rd ) = {u W 1,q, u = 0 ve smyslu stop na, div u = 0 s.v. v } viz [11, Theorem 1.4]. Potom je W 1,q 0,div (; Rd ) uzavřený podprostor reflexivního prostoru W 1,q, tudíž je i W 1,q 0,div (; Rd ) reflexivní. Lemma 4.1. Pro f definované v (4.3) platí: (a) (b) (c) f C (S d ), σ, ρ S d : D f (σ)(ρ, ρ)=q[(q )(1 + σ ) q 4 σ +(1 + σ ) q ] ρ +D f(σ)(ρ, ρ) (4.5) c 1, c > 0, (0, 1), σ, ρ S d : c 1 max{(1 + σ ) p, (1 + σ ) q } ρ D f (σ)(ρ, ρ) (4.6) D f (σ) c (1 + σ ) q (4.7) c 3, c 4 > 0, (0, 1), σ, ρ S d : c 3 max{(1 + σ ) q, (1 + σ ) p } σ Df (σ):σ (4.8) Df (σ) c 4 (1 + σ ) q 1 (4.9) (d) Definujeme operátor K, který funkci σ : S d přiřadí funkci K(σ) : S d, předpisem K(σ)(x) := Df (σ(x)). Potom K je spojitý operátor z L q (; S d ) do L q q 1 (; S d ). 13

14 Důkaz. Identitu (4.5) pro D f v (a) obdržíme okamžitě dvojím zderivováním f, spojitost D f je zřejmá. Všechny členy v (4.5) jsou kladné, proto zřejmě platí (4.6). Nerovnost (4.7) je důsledkem 0 D f (σ)(τ, τ) c(1 + σ ) q τ a D f (σ) = max τ 1 {D f (σ)(τ, τ)}. Tato nerovnost platí díky symetrii D f Tvrzení (c) plyne z Df (σ):σ = 1 0 D f (sσ)(σ, σ) ds a odhadů v (b). Důkaz (d) je založen na Větě o spojitosti Němyckého operátoru [18, Theorem 10.58]. Definujme funkci h(x, ρ) pro x a ρ S d předpisem h(x, ρ):=df (ρ). Funkce h je zřejmě pro každé x spojitá v ρ, pro každé ρ S d měřitelná v x a platí K(σ)(x)=h(x, σ(x)). Navíc z (iii) máme odhad K(σ) (1 + σ q 1 ). Operátor K splňuje předpoklady Věty o spojitosti Němyckého operátoru, podle které je K spojitý operátor z L q (; S d ) do L q q 1 (; S d ). Lemma 4.. Pro v W 1,q 0,div (; Rd ) je v v :ε(v) dx = 0. Důkaz. Díky symetrii tenzorového součinu v v máme v v :ε(v) dx = v v : (v) dx = v i v j i v j dx = Integrujme per partes a dostaneme 1 v i v n i ds div v 1 v dx. v i 1 i v dx. Tvrzení dostaneme použitím předpokladů v = 0 na ve smyslu stop a div v = 0 s.v. v. 14

15 Věta 4.3. Nechť f splňuje (1.3) s p (1, ) a jistým q 0, nechť je q >d, q q 0 a data úlohy jsou daná v (1.). Potom existuje slabé řešení u W 1,q 0,div (; Rd ) úlohy (4.4). Navíc platí sup u W 1,p (;R d ) <. (4.10) (0,1) Důkaz. V důkazu jsou použity techniky z [15]. KROK 1 Nechť {w j } j=1 lineárně nezávislá množina ve W 1,q 0,div (; Rd ) splňující Lin{w j } = W 1,q 0,div (; Rd ). Pro pevné N N definujme Galerkinovy aproximace v N předpisem N v N (x) = c N j w j (x), (4.11) j=1 přičemž koeficienty c N R N řeší soustavu rovnic Df (ε(v N )) : ε(w j ) dx v N v N : ε(w j ) dx = g w j dx, j = 1,..., N. (4.1) Nyní ukažme, že pro pevné N N existuje řešení soustavy (4.1). Definujme zobrazení P : R N R N předpisem P j (c) := Df (ε(v)) : ε(w j ) dx v v : ε(w j ) dx g w j dx, kde v(x) = N c j w j (x), j = 1,..., N. j=1 Abychom mohli použít Větu 3.5, musíme ukázat, že P je spojité a splňuje podmínku (3.15). Nejdříve dokažme spojitost P. Nechť {c l } l=1 RN, c R N, c l l c. Každému c l, l N, je přiřazena funkce v l (x) := N j=1 cl jw j (x) a c je přiřazena v(x) := N j=1 c jw j (x). Potom P j (c l ) P j (c) (Df (ε(v l )) Df (ε(v))) : ε(w j ) dx + (v l v l v v) : ε(w j ) dx =: I 1 + I. 15

16 Ukažme I l 1 0. Definujme K(ε(u))(x) := Df (ε(u(x))) pro u W 1,q 0,div (; Rd ), podle Lemmatu 4.1 (d) je K spojitý operátor z L q (; S d ) do L q q 1 (; S d ). V našem případě ε(v l ) l ε(v) v L q (; S d ), potom z Hölderovy nerovnosti dostaneme I 1 K(ε(v l )) K(ε(v)) q L q 1 (;S d ) ε(wj ) l L q (;S d ) 0. Ještě zbývá ukázat, že I l 0. I = N i,k=1 (c l ic l k c i c k ) w i w k :w j dx Z konvergence c l l c v R N okamžitě plyne, že I jde k nule, a tudíž zobrazení P je spojité. Nyní ověříme, že P splňuje podmínku (3.15), c R N je přiřazena funkce v = N j=1 c jw j. P (c) c = Df (ε(v)) : ε(v) dx v v : ε(v) dx g v dx Po použití (a) Lemmatu 4.1, Lemmatu 4. a Kornovy nerovnosti (3.1) dostáváme P (c) c= Df (ε(v)):ε(v) dx g v dx q (1 + ε(v) ) q ε(v) dx g v 1 c ε(v) q q g v 1 c v q q g v 1 N q c c q c j N c wj g c c j c wj. (4.13) 1 j=1 q Ukažme, že existuje konstanta M >0 taková, že pro všechna c R d, c 0 j=1 j=1 N q c j c wj M. (4.14) Jelikož je funkce H(α) := N j=1 α j w j q spojitá pro α S = {y L q (;R d d ) R N, y = 1}, nabývá funkce H na kompaktní množině S minima a minimální hodnotu označme M. Ukažme, že je toto minimum kladné. K tomu bude stačit ukázat, že α S je H(α) > 0. Pro spor předpokládejme, že existuje α S tak, 16 q

17 že H( α) = 0. Z ekvivalence norem q a 1,q na W 1,q 0 (; R d ) dostaneme N j=1 α jw j = 0 s.v. na. To implikuje α j = 0 j = 1,, N, jelikož množina {w j } N j=1 je z lineárně nezávislá. Máme tedy spor s předpokladem α S a (4.14) platí. Dále zřejmě c j c 1 a protože c q jde pro q >1 k nekonečnu rychleji než c plyne z (4.13) podmínka (3.15). KROK Ukážeme, že v N je omezená ve W 1,q 0 (; R d ). Násobením j-té rovnice v (4.1) koeficientem c N j a součtem přes j obdržíme, při použití Lemmatu 4., Df (ε(v N )) : ε(v N ) dx = g v N dx. (4.15) Levou stranu (4.15) odhadneme zdola, použijeme přitom bod (a) Lemmatu 4.1 a Kornovu nerovnost z Lemmatu 3.1 Df (ε(v N )) : ε(v N ) dx c (1 + ε(v N ) ) q ε(v N ) dx c v N q q. (4.16) Pravou stranu (4.15) odhadneme shora pomocí Poincarého a Youngovy nerovnosti g v N dx c g v N 1 c g v N 1,q c g v q q γ v N q q + c(γ 1 q 1 ) g. (4.17) Pro γ (0, 1) dostatečně malé pak z (4.16) a (4.17) dostáváme sup v N W 1,q 0 (;R d ) c <. (4.18) N KROK 3 Díky reflexivitě W 1,q 0,div (; Rd ) implikuje (4.18) existenci podposloupnosti {v N k } {v N } a u W 1,q 0,div (; Rd ) takových, že v N k u ve W 1,q 0,div (; } Rd ) (4.19) v N k u v L q (; R d ) pro k. 17

18 Definujme operátor T předpisem T u, ϕ := Df (ε(u)) : ε(ϕ) dx Potom T : W 1,q 0,div (; Rd ) (W 1,q 0,div (; Rd )). Nejdříve ukažme spojitost T. Nechť u k k u ve W 1,q 0,div (; Rd ), opět položíme K(ε(u ))(x) := Df (ε(u (x)), podle (d) Lemmatu 4.1 je K spojitý operátor z L q (; S d ) do L q q 1 (; S d ) a můžeme provést odhad T u k T u, ϕ K(ε(u k )) K(ε(u)) L q q 1 (;S d ) ε(ϕ) L q (;S d ) k 0. Dále z (4.18) plyne T v N (W 1,q 0,div (;Rd )) c <. Pro ϕ W 1,q 0,div (; Rd ), ϕ 1,q 1 totiž platí T v N, ϕ = Df (ε(v N )) : ε(ϕ) dx c (1 + ε(v N ) ) q ε(v N ) ε(ϕ) dx tedy c T v N (W 1,q 0,div (;Rd )) = ( (1 + ε(v N ) ) q 1 ε(ϕ) dx c sup ϕ W 1,q 0,div (;Rd ), ϕ W 1,q 0,div (;Rd ) 1 (1 + ε(v N ) ) q dx ) q 1 q T v N, ϕ c <. Předchozí odhad implikuje existenci podposloupnosti {T v N k } {T v N } a Ψ ( W 1,q 0,div (; Rd ) ) takových, že ε(ϕ) L q (), T v N k Ψ ve (W 1,q 0,div (; Rd )). (4.0) Navíc je operátor T je monotónní, neboť 1 d [ ( ) ] T u T v, u v = Df ε(v) + sε(u v) :ε(u v) ds dx 0 ds 1 ( ) = D f (ε(v) + sε(u v) (ε(u v), ε(u v)) ds dx 0 1 c ε(u v) (1 + ε(v) + sε(u v) ) q ds dx

19 KROK 4 Nyní máme vše připraveno k provedení limitního přechodu v systému rovnic (4.1). S využitím silné konvergence {v N q k } v L q 1 (; R d ) a vnoření W 1,q do L proveďme v konvektivním členu limitní přechod k. (v N k v N k u u ):ε(w j ) dx v N k v N k u ε(w j ) dx+ u v N k u ε(w j ) dx v N k v N k u q q 1 ε(wj ) q + u v N k u q q 1 ε(wj ) q, (4.1) což jde k nule, neboť pro námi uvažované q je q. Nyní zbývá ukázat, že pro Ψ z (4.0) je Ψ = T (u ). Se znalostí (4.19), (4.0) a (4.1) obdržíme limitním přechodem k v (4.1) Ψ, w j u u : ε(w j ) dx = g w j dx j N, tudíž platí také Ψ, ϕ u u : ε(ϕ) dx = q q 1 g ϕ dx ϕ W 1,q 0,div (; Rd ), (4.) a speciálně pro ϕ = u díky Lemmatu 4. Ψ, u = g u dx. (4.3) Z monotonie T dostáváme T v N k T v, v N k v 0, v W 1,q 0,div (; Rd ), a z (4.15) již víme, že proto platí 0 g v N k dx T v N k, v N k = g v N k dx, T v N k, v T v, v N k v 19 v W 1,q 0,div (; Rd ).

20 Pro k plyne z předchozí nerovnosti 0 g u dx Ψ, v T v, u v v W 1,q 0,div (; Rd ). Rovnost (4.3) implikuje 0 Ψ, u v T v, u v = Ψ T v, u v v W 1,q 0,div (; Rd ). Zvolme v = u ± λϕ, kde ϕ W 1,q 0,div (; Rd ) je libovolná, λ R, potom 0 ± Ψ T (u ± λϕ), ϕ Nechť λ 0 potom spojitost T implikuje 0 = Ψ T u, ϕ ϕ W 1,q 0,div (; Rd )), odtud Ψ = T u. Dosazením T u namísto Ψ v (4.) zjistíme, že u je slabé řešení úlohy 4.4. KROK 5 Nyní zbývá ukázat stejnoměrný odhad Pro ϕ = u ve slabé formulaci (4.4) je s využitím odhadu (c) Lemmatu 4.1 a Lemmatu 4. ) ε(u ) p dx c (1 1 + Df (ε(u )) : ε(u ) dx ) = c (1 1 + g u dx. (4.4) Proveďme odhad posledního členu na pravé straně. g u dx c g u 1,p c g u p γ ε(u ) p dx+c(γ 1 ) Pro γ dostatečně malé potom z (4.4) a Kornovy nerovnosti (3.1) je sup u W 1,p (;R d ) c <. (0,1) 0

21 4. Vylepšení regularity řešení aproximativní úlohy Nejprve provedeme rekonstrukci tlaku p. K tomu využijeme Lemma o existenci tlaku [11, Lemma 1.1]. Lemma 4.4. Nechť R d má lipschitzovskou hranici, q (1, ) a nechť F ( W 1,q 0 (; R d ) ) je takový, že ϕ W 1,q 0,div (; Rd ) : F, ϕ = 0. (4.5) Pak existuje právě jedna funkce p {v L q (); } v dx = 0 taková, že F, ϕ = p div ϕ dx, ϕ W 1,q (; R d ). S využitím minulého lemmatu ukážeme existenci funkce p : R takové, } že p {v L q q 1 (); v dx = 0 splňující ( ) σ u u :ε(ϕ) dx g ϕ dx = p div ϕ dx. (4.6) B(x,R) Označme σ =Df (ε(u )). Definujme funkcionál Φ předpisem ( ) Φ, ϕ := σ u u :ε(ϕ) dx g ϕ dx. (4.7) Růstová podmínka (4.9) implikuje σ L q q 1 (; S d ). Zřejmě je u u L q q 1 (; R d d ) a připomeňme, že g L (; R d ). Z těchto informací plyne Φ (W 1,q 0 (B(x 0, R); R d )). Pro každou ϕ W 1,q 0,div (; Rd ) vychází díky (4.4) Φ, ϕ =0. Následující [, Lemma 3.1] bychom získali po otestování rovnice (4.6) funkcí k u, k {1,..., d}. Tento postup by ale nebyl korektní, neboť nevíme zda k u je vhodná testovací funkce v (4.6). Za testovací funkci v (4.6) je třeba vzít vhodný diferenční podíl a poté ukázat, že je možné ho nahradit příslušnou derivací. Podobné úvahy provedeme v Lemmatu 4.7 Lemma 4.5. Za předpokladů Věty 4.3 platí: (i) u W, loc (; Rd ); 1

22 (ii) (1 + ε(u ) ) q 4 W 1, loc () a (iii) Df (ε(u )) W 1, q (1 + ε(u ) ) q 4 = q (1 + ε(u ) ) q 4 4 ε(u ) ε(u ) ; q 1 loc (; S d ) a ρ S d k [Df (ε(u ))]:ρ = D f (ε(u ))( k ε(u ), ρ), k = 1,..., d. Ještě uveďme [, Lemma 3.], ze kterého plyne stejnoměrná omezenost u v L loc (; Rd ) vzhledem k (0, 1). Lemma 4.6. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 4.3 a platí (1.4). Potom pro existuje c nezávislá na tak, že u dp d p c. (4.8) Poznámka. Jelikož exponent dp d p dp 1, v minulém lemmatu je pro p uvažované v (1.4) větší než d, díky vnoření W d p do L existuje pro každou konstanta c nezávislá na tak, že platí u L ( ;R) c. (4.9) V důkazu věty se stejnoměrným odhadem u využijeme nerovnost Caccioppoliho typu obsaženou v následujícím lemmatu, citujeme [, Lemma 3.3]. V jeho důkazu jsou použity techniky z důkazů [, Lemma 3.1, Lemma 3.3]. Lemma 4.7. Nechť B(x 0, R) a 0 < r < r < R < 1, k {1,..., n}. Pak existuje γ > 0 takové, že B(x 0,r) D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) dx c 1 (r r) Γ q u Q dx + c (r ) γ, (4.30) kde Γ = 1+ ε(u ), c 1, c jsou konstanty nezávislé na a Q R d d je libovolná matice.

23 Důkaz. KROK 1 Slabou formulaci (4.6) použijeme v důkazu nerovnosti (4.30). Nejdříve ukažme, že můžeme vylepšit regularitu tlaku. Formulace v (4.6) a (iii) v Lemmatu 4.5 implikují s.v. v p = div(σ u u ) + g. (4.31) Z (iii) Lemmatu 4.5 a předpokladu g L (; R d ) vyplývá p W 1, q q 1 loc (). (4.3) Díky regularitě z Lemmatu 4.5 víme, že klasická formulace rovnice v (4.4) platí bodově s.v. v a je možné ji derivovat ve slabém smyslu. Pro získání nerovnosti (4.4) bychom chtěli otestovat výslednou (4.31) s u, ale informace v Lemmatu 4.5 pro tento postup nestačí, jelikož pro pevné k {1,..., d} není zřejmé, že k σ :ε( k u ) L 1 loc (). Budeme proto pracovat s diferenčními podíly a později ukážeme, že je možné diferenční podíly nahradit derivací. Zvolme libovolnou d d matici Q a funkci η C0 (B(x 0, r )) takovou, že η 1 v B(x 0, ( r) a η c(r r) 1, kde r, r jsou z předpokladu lemmatu. Volbou ϕ = h η h (u Qx) ) pro h< 1(R r ), to je vhodná testovací funkce v (4.6), dostaneme ( ) ( h σ u u :ε η h (u Qx) ) ( dx + g h η h (u Qx) ) dx = h p div ( η h (u Qx) ) dx. (4.33) 3

24 Navíc platí ε( h u ) = ε ( h (u Qx) ), div h (u Qx) = 0 a z (4.33) vyplývá η h σ :ε( h u ) dx = η h σ :ε ( h (u Qx) dx = h σ :ε ( η h (u Qx) ) dx h σ : ( η h (u Qx) ) η dx = h (u u ):ε ( η h (u Qx) ) dx ( g h η h (u Qx) ) dx + h p div ( η h (u Qx) ) dx h σ :ε ( η h (u Qx) ) η dx = h σ : ( η h (u Qx) ) η dx + h (u u ):ε ( η h (u Qx) ) dx ( g h η h (u Qx) ) dx + h p 1: ( η h (u Qx) ) η dx. (4.34) KROK Nyní proveďme limitní přechod h 0. Začněme u členu na levé straně rovnosti (4.34). Platí h σ :ε( h u ) 0, (4.35) neboť h σ :ε( h u ) = D f (ε(u ) + thε( h u ))(ε( h u ), ε( h u )) dt (1 + ε(u ) + thε( h u ) ) p ε( h u ) dt a člen na pravé straně poslední nerovnosti je zřejmě nezáporný, odtud dostáváme 4

25 (4.35). Dále s.v. v B(x 0, r ) platí h σ :ε( h u ) h 0 k σ :ε( k u ). (4.36) K důkazu tohoto tvrzení použijeme Větu 3.4. Podle Lemmatu 4.5 je σ W 1, q q 1 loc (; S d ) a u W, loc (; Rd ). Zvolíme nejdřív ϕ = k σ, ψ h = h σ a poté ϕ = ε( k u ), ψ h = ε( h u ) dostáváme konvergenci respektive h σ h 0 k σ v L q q 1 (B(x0, r ); S d ) ε( h u ) h 0 ε( k u ) v L (B(x 0, r ); R d ). Odtud plyne bodová konvergence pro s.v. x v B(x 0, r ) h σ (x) h 0 k σ (x) a ε( h u (x)) h 0 ε( k u (x)), což implikuje (4.36). Použitím Fatouova lemmatu, v (4.35) a (4.36) jsou ověřeny jeho předpoklady, dostaneme η k σ :ε( k u ) dx lim inf η h σ :ε( h u ) dx. (4.37) h 0 B(x,r ) B(x,r ) V prvním a posledním členu na pravé straně v (4.34) provedeme limitní přechod zároveň. Označme τ = σ p 1, pak z (iii) v Lemmatu 4.5 a (4.31) je zřejmě τ W 1, q q 1 loc (; R d ). Odhadněme η h τ :( η h (u Qx)) η k τ :( η k (u Qx)) dx = η h τ : ( η ( h (u Qx) k (u Qx)) ) + η( h τ k τ ):( η k (u Qx))) dx ( ) q 1 c(r r) 1 h τ q q q 1 dx + c(r r) 1 ( =: c(r r) 1 q 1 q (I1 I 1 q 1 q q + I ( h u k u q dx B(x0,r ) ) 1 q ) q 1 ( ) 1 h τ k τ q q q 1 dx k (u Qx) q q dx B(x0,r ) 3 I 1 q 4 ) (4.38) 5

26 Jelikož je τ W 1, q q 1 (B(x0, R); R d ), máme I 1 omezený stejnoměrně vzhledem h 0 k h a I 3 0. Protože je u W 1,q 0,div (; Rd h 0 ), máme I 0 a omezenost I 4. Ukázali jsme tedy η h τ : ( η h (u Qx) ) dx h 0 η k τ σ : ( η k (u Qx) ) dx. (4.39) Nyní proveďme limitní přechod ve druhém členu na pravé straně (4.34). Nejdřív odhadněme h (u u ):ε(η h u ) k (u u ):ε(η h u ) dx = h (u u ): ( ε(η h u ) ε(η k u ) ) + ( h (u u ) k (u u ) ) :ε(η k u ) dx ( h (u u ) dx ε(η h u ) ε(η k u ) dx ( + ( + ) 1 ( B(x0,r ) k (u u ) h (u u ) dx ( h u u ) dx ) 1 ( c(r r) 1 ε( h u ) ε( k u ) dx ) 1 + c ( ) 1 ( B(x0,r ) ( ) 1 ε(η k u ) 1 dx =: ci 1 ((r r) 1 I + I 3 ) ci ) 1 ) 1 ε(η k u ) dx h u k u dx ( h u k u u ) dx ) 1 4 I 1 5. Z (i) Lemmatu 4.5 víme, že u W, (B(x 0, R); R d ), to implikuje stejnoměrnou omezenost vzhledem k h pro I 1 a I 5. Dále to implikuje, že členy I, I 3, I 4 jdou k nule pro h 0. Máme dokázáno h (u u ):ε(η h u ) dx h 0 k (u u ):ε(η k u ) dx. (4.40) Proveďme limitní přechod ve zbývajícím členu na pravé straně (4.34). Nejdříve 6

27 odhadněme g h (η h u ) g k (η k u ) dx = g h (η )( h u k u ) + η ( h ( h u ) k ( h u )) + k u ( h (η ) k (η )) [( ) q 1 + η ( h k u k k u ) dx c h η q q q 1 dx ( ) 1 ( h u k u q q dx + h ( h u ) k ( h u ) dx ( + ( + k u q dx ) 1 q ( B(x0,r ) h k u k k u dx ) q 1 h (η ) k (η ) q q q 1 dx ) 1 ] = c(i q q 1 1 I 1 q + I I 1 q q 1 q 4 I 5 + I 1 Hladkost η zaručuje stejnoměrnou omezenost vzhledem k h pro I 1 a dále také h 0 to, že I 5 0. Ze znalosti u W 1,q 0,div (; Rd h 0 ) dostaneme I 0 a omezenost I 4, z u W, (B(x 0, R); R d h 0 h 0 ) dostaneme I 3 0, I 6 0. Ukázali jsme tedy ( ) g h η h 0 ( ) h u dx g k η k u dx. (4.41) Celkem dostaneme z (4.37), (4.39), (4.40) a (4.41) η k σ :ε( k u ) dx k σ 1: ( η k (u Qx) ) η dx + k (u u ):ε ( η k (u Qx) ) dx ( g k η k (u Qx) ) dx + k p 1: ( η k (u Qx) ) η dx (4.4) KROK 3 Postupně odhadneme všechny členy na pravé straně nerovnosti (4.4). Pro odhad prvního si nejdříve odvodíme následující nerovnost Γ q 4 6 ) ) 1 σ c ( d k σ :ε( k u ) ) 1. (4.43) k=1 7

28 Podle formule z Lemmatu 4.5 (iii) a odhadu z Lemmatu 4.1 (b) dostaneme Γ q cγ q cγ q 4 k σ = Γ q k σ : k σ = cγ q D f (ε(u ))( k ε(u ), k σ ) ( D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) ) 1 ( D f (ε(u ))( k σ, k σ ) ) 1 ( D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) ) 1 k σ, tedy (4.43). V odhadu prvního členu na pravé straně (4.4) použijeme Youngovu nerovnost. k σ : ( η k (u Qx) ) η dx α η σ Γ q dx + c(α) η Γ q u Q dx B(x,r ) (4.43) cα η k σ :ε( k u ) dx + c(α) η Γ q u Q dx (4.44) α zvolíme tak malé, aby bylo možné zahrnout první integrál na pravé straně poslední nerovnosti do levé strany (4.4). Nyní proveďme odhad druhého členu na pravé straně (4.4). k (u u ):ε ( η k (u Qx) ) dx (4.9) ( c + ( c u η η u Q dx + u dx + (r r) η u Γ p 4 ε(u ) Γ p 4 ) dx u Q dx ) u η ε(u ) dx Na poslední integrál použijeme Youngovu nerovnost s β, dále růstovou podmínku 8

29 v (4.6) a (b) z Lemmatu 4.1 k (u u ):ε ( η k (u Qx) ) dx ( c u dx + (r r) + β η k σ :ε( k u ) dx + c(β) ( =:c I 1 + I + β u Q dx Γ p η k σ :ε( k u ) dx + I 3 ), ) dx kde ( I 1 c u dp ) (d p) pd d p dx (r ) pd (d p) p (4.8) c(r ) pd (d p) p, připomeňme, že Γ q 1, odhadujme I (r r) na I 3 použijeme Hölderovu nerovnost a dostaneme Γ p ( dx c(r ) d (p 1) p Γ q u Q dx, Γ p dx ) p (4.10) c(r ) d (p 1) p. (4.45) Celkem vychází k (u u ):ε ( η k (u Qx) ) dx c(r r) Γ q u Q dx + (r ) (p 1) p + βi 0, (4.46) protože β je voleno tak, aby člen s β bylo možné zahrnout do levé strany (4.4). Odhadneme třetí člen na pravé straně (4.4). ( g k η k (u Qx) ) ( ) dx c η η u Q + η u dx =:c(i 1 + I ), 9

30 kde ) I 1 c ((r r) u Q dx + B(x, r ) c ((r r) I c η ε(u ) dx γ Nerovnost plyne okamžitě z identity Γ q u Q dx + (r ) ), d η Γ p ε(u ) dx+c(γ) Γ p u c ε(u ) (4.47) j k u i = j ε ik (u ) + k ε ij (u ) i ε jk (u ). Poslední integrál odhadneme stejně jako v (4.45) a dostaneme ( g k η k (u Qx) ) dx c(r ) (p 1) p + c(r ) d + γ η k σ :ε( k u ) dx + c(r r) Γ q u Q dx, (4.48) opět volíme γ tak, aby bylo možné člen s γ zahrnout do levé strany (4.4). Odhadněme ještě zbylý člen na pravé straně (4.4), použijeme rovnici v (4.31). k p 1: ( η k (u Qx) ) η dx c σ η u Q η dx + c (u u ) η u Q η dx + c g η u Q η dx=:i 1 + I + I 3. I 1 cβ η σ Γ q dx + c(β) η u Qx Γ q dx. dx. 30

31 Odtud dostaneme použitím (4.43) stejný odhad jako pro první člen v nerovnosti (4.4). Připomeňme, že Γ q 1, odhadujme (4.9) I c u dx + c(r r) u Q dx ( ) (d p) pd d p dx (r ) pd (d p) p + c(r r) (4.8) u dp c(r ) pd (d p) p + c(r r) Γ q u Q dx Γ q u Q dx a nakonec I 3 c dx + c(r r) c(r ) d + c(r r) Γ q u Q dx Γ q u Q dx, konečně máme k p 1: ( η k (u Qx) ) η dx c(r ) d + c(r ) dp (d p) p + c(r r) + cβ Γ q u Q dx (4.49) η k σ :ε( k u ) dx. (4.50) Z nerovností (4.4),(4.44),(4.46),(4.48),(4.50) zřejmě plyne nerovnost (4.30). Věta 4.8. Nechť jsou splněny předpoklady Věty 4.3 a platí (1.4). Potom u W 1, q loc (; Rd ) stejnoměrně vzhledem k (0, 1), kde q = 3p v případě d = 3, pokud d = je q libovolné konečné číslo větší než 1. Důkaz. V důkazu použijeme hlavní kroky důkazu [4, Lemma 4.4]. Nejdříve se budeme zabývat případem d=3. V tomto případě ukážeme Γ L 3 p loc (). Buď B(x 0, R) a R < 1. Zvolme libovolně 0 < r < r < R. Uvažujme funkci η C (B(x 0, r r )) s kompaktním nosičem v B(x 0, r r) takovou, že η 1 na B(x 0, r) a η c na B(x r r 0, R). Definujme funkci h := Γ p 4 na. 31

32 Odhadujme ( ) 3 Γ 3p dx (ηh ) 6 dx c (ηh ) dx B(x 0,r) ( ) 3 c (η) h dx + η h dx =:c(i 1 + I ) 3 Potom zřejmě I 1 η L ( h ) dx. Ještě zbývá odhad I = η p (1 + ε(u ) ) p 4 1 ε(u ) ε(u ) p c ε(u ) dx (4.30) Γ B(x 0, r +r ) c ((r r) ( ( ) q c (r r) Γ q q dx ) Γ q u Q dx + (r ) γ ( ) q u Q q + (r ) γ ). Podle Lemmatu 3.3 k u existuje antisymetrická matice B a a R d tak, že u Bx a L q () c ε(u ) L q (). (4.51) Potom po použití Kornovy nerovnosti (3.) získáme (u Bx a) L q () = u B L q () c ( u Bx a L q () Volbou Q = B dostaneme Tedy celkem ( Γ 3p B(x 0,r) dx ) ε(u ) L q ()) c ε(u ) L q (). I c ( (r r) c(r r) ( 3 Γ q dx + (r ) γ). (4.5) Γ p dx + ) Γ q dx + c (r ) γ. (4.53)

33 Nyní odhadneme druhý člen na pravé straně. Předpoklad q > p a fakt, že z (4.) plyne q <3p, zaručuje existenci θ (0, 1) takového, že Toto θ použijeme v interpolační nerovnosti 1 q = θ p + 1 θ 3p. (4.54) Γ 1 Lq (;R d ) Γ 1 θ L p (;R d ) Γ 1 1 θ L 3p (;R d ), ze které dostaneme ( Γ q dx Γ p dx ) θ q p ( Podmínka q 0 <p d+ v (1.4) respektive q <p d+ d d Γ 3p ) (1 θ) q 3p je volena tak, aby platilo. (4.55) (1 θ) q p < 1. (4.56) Pravou stranu (4.55) potom můžeme odhadnout pro (0, 1) za pomoci Youngovy nerovnosti výrazem ( ) 1 3 Γ 3p dx ( ) κ + c β Γ p dx pro jisté β >0 a κ>0. Volbou = (r r), (0, 1) dostaneme ( Γ 3p B(x 0,r) dx ) 1 3 ( c Γ 3p c(r r) dx ) 1 3 ( κ + c( )(r r) β Γ p dx) + Γ p dx + C, kde β >0. Nakonec položíme c = 1 a jelikož r r <1, obdržíme ( Γ 3p B(x 0,r) ) ( dx Γ 3p dx ) 1 3 {( κ + c( )(r r) max{ β,} max Γ p dx), 33 Γ p dx } + C.

34 Funkce f(t) definovaná předpisem ( f(t) := Γ 3p B(x 0,t) dx ) 1 3 pro t (0, R) splňuje předpoklady Lemmatu 3.7, podle kterého dostáváme r (0, R) ( ) 1 {( 3 κ Γ 3p dx c(r r) max{ β,} max Γ p dx), B(x 0,r) Γ p dx Integrál vyskytující se na pravé straně předchozí nerovnosti můžeme odhadnout ) c (1 + ε(u ) ) p dx c (1 + ε(u ) p dx. Podle Lemmatu 4.10 je pravá strana odhadnuta stejnoměrně vzhledem k, tedy i pro u W 1,3p (;R d ) máme stejnoměrný odhad vzhledem k. Ještě zbývá případ kdy d =. Zvolíme χ>1, pak B(x 0,r) Γ pχ dx (ηh ) χ dx c ( (ηh ) t dx kde t (1, ) volíme tak, aby χ = t. Použitím Hölderovy nerovnosti v posledním členu předchozí nerovnosti dostaneme t ( χ Γ pχ dx c (ηh ) dx), B(x 0,r) dále pokračujeme jako v případě d = 3. Pro ověření (4.56) nejdříve poznamenejme, že θ = pχ q. Požadujeme tedy χ q p = ( q (1 θ) < 1. Z (4.) víme q(χ 1) χ 1 p p q p <1, dále χ χ 1 a tudíž (4.56) platí pro dostatečně velká χ. Stačí zvolit p χ 1 χ> p p q. Nakonec tohoto oddílu uveďme triviální důsledek [, Corollary 3.1] předchozí věty. Lemma 4.9. Nechť α [ 1, 3p p+1) pro d = 3, α [ 1, ) v případě d =. Potom pro každou existuje konstanta c nezávislá na tak, že u W,α ( ;R d ) c. ) χ t, } +C. 34

35 4.3 Limitní přechod Nyní se budeme zabývat existencí řešení systému (1.1). Ukážeme, že s využitím odhadů z Věty 4.8 můžeme provést limitní přechod 0 v rovnici (4.4). Lemma Pro f : S d [0, ) splňující podmínku anizotropního růstu (1.3) je Df homeomorfismus S d na S d. Důkaz. Nejdříve ukažme, že Df je prosté. Pokud jsou σ, ρ S d, potom (Df(σ) Df(ρ)):(σ ρ) = = D f(ρ + s(σ ρ))(σ ρ, σ ρ) ds 0 d D(ρ + s(σ ρ)):(σ ρ) ds ds 1 A aplikací Cauchy-Schwarzovy nerovnosti obdržíme odhad Df(σ) Df(ρ) c c(1 + ρ + s(σ ρ) ) p ds σ ρ. (1 + ρ + s(σ ρ) ) p ds σ ρ. (4.57) Tedy Df(σ) = Df(ρ) implikuje σ = ρ a Df je tudíž prosté. Nyní ukažme, že Df je na. Nechť ρ S d, ukážeme, že existuje σ 0 S d tak, že Df(σ 0 ) = ρ. Pro důkaz tohoto tvrzení použijeme Větu 3.5. Definujme zobrazení P : S d S d předpisem P (σ):=df(σ) ρ. Ověřme splnění podmínky (3.15). Použijeme odhad (4.8) a Cauchy-Schwartzovu nerovnost, dostaneme P (σ):σ =(Df(σ) ρ):σ c( σ p 1) ρ:σ c σ p ρ σ c. Jelikož je p > 1 a σ p jde k nekonečnu rychleji než σ, určitě existuje r tak, že pro σ = r je výraz na pravé straně poslední nerovnosti nezáporný a podle Věty 3.5 tedy existuje σ 0 takové, že Df(σ 0 ) ρ = 0 a máme dokázáno, že Df je na. Nakonec ověřme, že (Df) 1 je spojité zobrazení. Z předpokladu f C (S d ) zřejmě vyplývá Df C 1 (S d ; S d ). Z podmínky (1.3) plyne, že σ, ρ S d, ρ 0 : D f(σ)(ρ, ρ)>0, to znamená, že D f je pozitivně definitní matice pro libovolné σ S d a nutně musí být regulární. Podle Věty o inverzním zobrazení dostaneme (Df) 1 C 1 (S d, S d ). Ukázali jsme dokonce, že Df je difeomorfismus. 35

36 Věta Za předpokladů Věty 4.3 existuje posloupnost {u n } n=1 řešení (4.4) s = n taková, že pro n 0, u n ū ve W 1, q ( ; R d ) u n ū ve W,α ( ; R d ) Df n (ε(u n )) Df(ε(ū)) ve W 1, q q 1 ( ; S d ), kde pro d = 3 máme q = 3p, α (1, 3p ), pro d = je q (1, ) a α (1, ). p+1 Navíc ū je slabé řešení úlohy (4.1). Důkaz. V důkazu jsou použity hlavní kroky důkazu [, Theorem 1.3]. Existence slabě konvergentní posloupnosti {u n } n=1 plyne ze stejnoměrného odhadu ve Větě 4.8, Lemmatu 4.9, reflexivity W 1, q ( ; R d ) a W,α ( ; R d ) pro každou. Díky vnoření W 1, q loc (; Rd ) do W 1,q loc (; Rd ), kompaktnímu vnoření W 1, q loc (; Rd ) do L q loc (; Rd ) máme existenci vybrané posloupnosti {u n }, že pro n 0 a pro každou } u n ū ve W 1,q ( ; R d ) (4.58) u n ū v L q ( ; R d ). Ještě ukažme ε(u n ) n 0 ε(ū) v L q loc (; Sd ). (4.59) Zvolme B(x, R) a F L q (B(x, R)); S d ) potom 1 F :ε(u n ) dx = F ij B(x,r) B(x,r) ( iu j n + j u i n ) dx i,j n 0 1 F ij ( iū j + j ū i ) dx = B(x,r) i,j B(x,r) F :ε(ū) dx a (4.59) platí. Odvoďme nerovnost ( Df (ε(u )) ) c D f (ε(u )) 1 ( D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) ) 1. (4.60) Jelikož je D f (ε(u )) pozitivně definitní, to plyne z formule pro D f v Lemmatu 4.1 a růstové podmínky (1.3), a symetrická bilineární forma na S d S d, můžeme 36

37 v následujícím použít Cauchy-Schwarzovu nerovnost. { k Df (ε(u )) } { = D f (ε(u ))( k ε(u ), k Df (ε(u )) } ) ( D f (ε(u ))(( k ε(u ), k ε(u ))) ( { D f (ε(u ))( k Df (ε(u )) } {, k Df (ε(u )) } ) ) 1 ( D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) ) 1 D f (ε(u )) 1 { k Df (ε(u )) } ) 1 a odtud vychází (4.60). Nyní ukážeme, že stejnoměrně vzhledem k platí Df (ε(u )) W 1, q q 1 loc (; S d ). (4.61) Zvolme B(x 0, R) a nechť r, r jsou takové, že 0 < r < r < R. Potom integrováním (4.60) přes B(x 0, r) a použitím Hölderovy nerovnosti dostaneme B(x 0,r) ( Df (ε(u )) ) ( ) q q q 1 dx c D f (ε(u )) q q dx B(x 0,r) ( q (q 1) =ci1 I q (q 1). Pro I máme odhad z Lemmatu 4.7 I c 1 (r r) (q 1) D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) dx B(x 0,r) Γ q u Q dx + c (r ) γ. Obdobně jako v důkazu nerovnosti (4.5) obdržíme ( I c Γ q dx + (r ) ), γ ) q (q 1) kde konstanta c nezávisí na a stejnoměrná omezenost integrálu na pravé straně vzhledem k vyplývá z Věty 4.8. Omezenost I 1 plyne z odhadu (4.7) a Věty 4.8. Tím je ukázáno (4.61). 37

38 Teď se zaměříme na limitní přechod n 0 v eliptickém členu rovnice (4.4). Položme W n := Df n (ε(u n )) = n q(1 + ε(u n ) ) q ε(un ) + Df(ε(u n )) Odhad (4.61) implikuje existenci W W 1, q q 1 loc (; S d ) a vybrané posloupnosti značené stejně {W n } n=1 tak, že pro n 0 a každou W n W ve W 1, q q 1 ( ; S d ) (4.6) W n W v L q q 1 ( ; S d ) Navíc podle Věty 4.8 je ε(u ) L q loc (; Sd ) stejnoměrně vzhledem k, proto pro n 0 a pro každou n q(1 + ε(u n ) ) q ε(un ) 0 0 v L q q 1 ( ; S d ) a to implikuje Df(ε(u n )) W v L q q 1 ( ; S d ) a s.v. v. (4.63) Z (4.63) a spojitosti (Df) 1 pak vyplývá pro n 0 ε(u n ) (Df) 1 W s.v. v. (4.64) Z (4.59) dostáváme omezenost ε(u n ) v L q loc (; Sd ), což spolu s konvergencí u n 0 dα 1, n ū ve W d α ( ; R d ) pro každou, plynoucí z (4.58), dává Z (4.59) navíc plyne ε(u n ) (Df) 1 W v L t loc( ; S d ) t < q. ε(ū) = (Df) 1 W neboli Df(ε(ū)) = W. Potom můžeme (4.6) přepsat pro n 0 a každou W n Df(ε(ū)) ve W 1, q q 1 ( ; S d ) W n Df(ε(ū)) v L q q 1 ( ; S d ) a s.v. v. (4.65) Nyní zvolme ϕ C0,div (; Rd ). Připomeňme rovnici (4.4) pro u Df (ε(u )) : ε(ϕ) dx u u : ε(ϕ) dx = g ϕ dx. 38

39 Proveďme limitní přechod v členech na levé straně. (Df n (ε(u n )) Df(ε(ū))) : ε(ϕ) dx ( ) q 1 Df n (ε(u n ) Df(ε(ū)) q q q 1 dx ( ) 1 ε(ϕ) q q dx a podle (4.65) jde první integrál na pravé straně poslední nerovnosti k nule. Nakonec provedeme limitní přechod v konvektivním členu. S využitím stejnoměrné omezenosti u pak (u n u n ū ū) : ε(ϕ) dx ( u n + ū ) u n ū ε(ϕ) dx ( M ) q 1 u n ū q q q 1 dx spt ϕ ( ) 1 ε(ϕ) q q dx, z (4.58) vyplývá, že první integrál na pravé straně poslední nerovnosti jde k nule, q vzhledem k námi uvažovanému q totiž je q. Máme tedy ověřeno, že ū je q 1 řešení (4.1). Poznámka 3. Ukázali jsme, že existuje řešení, které má jistou regularitu. Z informací, které máme k dispozici, neplyne jeho jednoznačnost. 39

40 Kapitola 5 Hölderovská spojitost gradientů řešení 5.1 Částečná regularita pro d = 3, q 0 = V této sekci ukážeme, že slabé řešení systému (4.1) zkonstruované ve Větě 4.11 má hölderovsky spojité první derivace na otevřené množině, jejíž doplněk do má nulovou míru. Poznámka 4. Prostorem C 0,µ (; R d ), kde µ (0, 1) a R d je otevřená, budeme rozumět prostor funkcí {v; K kompaktní v C 0,µ (K; R d )}. Pro účely této kapitoly zaveďme funkci E(x, r):=e(ū, B(x, r)):= B(x,r) ε(ū) (ε(ū)) x,r dy, kde (..) x,r a značí integrální průměr přes B(x, r). Několikrát se odvoláme B(x,r) na větu o charakterizaci hölderovsky spojitých funkcí [1, Theorem 1.3]: Věta 5.1. Nechť existuje R 0 > 0 a c > 0 takové, že pro všechna x a všechna ρ < min{r 0, dist(x, )} platí u u x,ρ p dx cρ d+pα, α (0, 1] B(x,ρ) potom u C 0,α (; R d ). 40

41 Pro specifikaci konstanty C, která se vyskytuje v Lemmatu 5.3, uveďme [, Lemma 5.1]. Lemma 5.. Nechť A S 3 je taková, že A L. Nechť w W 1, div (B(0, 1); R3 ) splňuje D f(a)(ε(w), ε(ϕ) dy = 0 ϕ W 1, 0,div (B(0, 1); R3 ). B(0,1) Pak existuje konstanta C = C (p, L) tak, že ε(w) (ε(w)) τ dy C τ B(0,τ) platí pro každé τ (0, 1). B(0,1) ε(w) (ε(w)) 1 dy Nyní uvedeme tvrzení [, Lemma 5.], na jehož použití je založen důkaz lemmatu o existenci otevřené podmnožiny, na níž je symetrický gradient řešení ū hölderovsky spojitý. Lemma 5.3. Nechť L > 0 a µ (0, µ 0 ), kde µ 0 := 3 p. Nechť C := C, kde C (p, L) je zvolena jako v Lemmatu 5.. Potom pro každé τ (0, 1 4 ) existuje λ = λ(l, τ) s vlastností: pokud existuje koule B(x, r), pro kterou platí ε(ū) x,r L a E(x, r) + r µ < λ, potom E(x, τr) C τ ( E(x, r) + r µ). Lemma 5.4. Existuje otevřená množina 0 tak, že \ 0 = 0 a ε(ū) C 0,α ( 0, S d ) pro jisté α (0, 1). Navíc množinu 0 můžeme popsat jako 0 = {x : sup (ε(ū)) x,r < ; lim inf E(x, r) = 0}. (5.1) 1 dist(x, )>r>0 r 0 Důkaz. V důkazu využijeme techniku použitou v důkazu [9, Theorem 1.1]. Ukážeme, že pro každé x 0 0 existuje B(x 0, s) taková, že ū C 0,α (B(x 0, s)) pro jisté α (0, 1). Ze Sobolev-Poincarého nerovnosti dostaneme ( ε(ū) (ε(ū)) x,r dy r β B(x,r) 41 B(x,r) ε(ū) β ) β, (5.)

42 kde < 3β t.j. β > 6,α. Protože je ū W 3 β 5 loc (; R3 ), kde α [1, 3p ), podle p+1 Lemmatu 4.9 a protože 6 < 3p pro námi uvažované p, plyne z Lebesgueovy věty 5 p+1 o hustotě a (5.) plyne pro skoro všechna x 0 E(x 0, r) r 0 0, sup (ε(ū)) x0,r } <. (5.3) 1 {dist(x, )>r>0 Zvolme takové x 0 a zvolme L > 3 sup r>0{ (ε(ū)) x0,r }. Zvolme µ (0, µ 0 ) a zvolme τ (0, 1 ), aby platilo 4 C τ 1 a τ µ < 1, (5.4) C (p, L) je jako v Lemmatu 5.3. Díky (5.3) existuje B(x 0, r) taková, že (ε(ū)) x0,r < 3 L (5.5) E(x 0, r) + r µ < λ 0, kde číslo λ 0 je voleno tak, aby platilo λ 0 τ 3 (1 τ µ ) 1 i L < 3 i=0 λ 0 1 min{1, 1 τ µ }λ, (5.6) λ(l, τ) je z Lemmatu 5.3. Díky spojitosti funkcí x E(x, r)+r µ a x (ε(ū)) x,r existuje koule B(x 0, s) taková, že pro každé x B(x 0, s) E(x, r) + r µ < λ 0 (ε(ū)) x,r < 3 L < L. (5.7) Ukažme x B(x 0, s) odhady Nejdříve indukcí dokažme, že x B(x 0, s) platí E(x, τ k r) k E(x, r) + (ε(ū)) x,τ n r L (5.8) E(x, τ n r) + (τ n r) µ λ. (5.9) k j τ µ(k j) r µ, k = 1,,.... (5.10) j=1 4

43 Nechť je tedy x B(x 0, s). Z (5.7) vyplývá podle Lemmatu 5.3 platnost (5.10) pro k = 1. Nechť (5.10) platí pro k = 1,..., n. Potom E(x, τ n r) n E(x, r) + τ µn n( E(x, r) + n j τ µj r µ = n E(x, r) + n τ µn rµ 1 τ µ j=1 1 1 τ rµ) n 1 ( ) E(x, r) + r µ. (5.11) µ 1 τ µ Odtud dostaneme díky (5.9), (5.7) a protože je τ µ < 1 E(x, τ n r) + (τ n r) µ n 1 τ µ λ 0 + τ µn r µ 1 τ µ λ 0 < λ, a tudíž (5.9) platí. Ukažme odhad (5.8). ( n 1 τ µ λ 0 + τ µn r µ) n=1 (ε(ū)) x,τ n r = n 1 ( ) (ε(ū))x,r + (ε(ū))x,τ k+1 r (ε(ū)) x,τ k r k=0 n 1 (ε(ū)) x,r + (ε(ū)) x,τ k+1 r (ε(ū)) x,τ r k k=0 n 1 (ε(ū)) x,r + k=0 B(x,τ k+1 r) ε(ū)(y) (ε(ū)) x,τ k r dy ( n 1 B(x, τ k r) 1 (ε(ū)) x,r + B(x, τ k+1 r) k=0 ( n 1 = (ε(ū)) x,r + τ 3 ε(ū)(y) (ε(ū)) x,τ r dy k k=0 B(x,τ k r) n 1 ( = (ε(ū)) x,r + τ 3 E(x, τ k r) ) 1. k=0 Z platnosti (5.10) pro k = 1,..., n vychází k=0 ε(ū)(y) (ε(ū)) x,τ r dy k B(x,τ k r) n 1 ( (ε(ū)) x,τ n r (ε(ū)) x,r + τ 3 k( ) 1 1 E(x, r) + rµ) 1 τ µ 43 ) 1 ) 1

44 jako důsledek (5.11). Odhadujme dále (ε(ū)) x,τ n r (ε(ū)) x,r + τ 3 (ε(ū)) x,r + τ 3 k=0 k=0 k (1 τ µ ) 1 ( E(x, r) + r µ ) 1 k (1 τ µ ) 1 λ0 < 1 3 L + 3 L = L, a máme dokázán odhad (5.8). Použijeme Lemma 5.3 s odhady (5.8) a (5.9), dostaneme E(x, τ n+1 r) 1 ( E(x, τ n r) + (τ n r) µ) 1 ( n n E(x, r) + j τ µ(n j) r µ) j=1 + 1 ( n ( ) τ µn r µ = n 1 E(x, r) + j 1 τ µ (n+1) (j+1) + 1 ) τ µn = (n+1) E(x, r) + ( n+1 j=1 j τ )r µ(n+1 j) µ, j=1 čímž je dokázáno (5.10). Pro libovolně zvolené ρ (0, r) existuje k N tak, že Využijeme-li nerovnosti ε(ū) ε(ū) x,r p dy c B(x,r) platné pro p 1, máme pro ρ odhad ( ) d ρ E(x, ρ) E(x, ρ) c τ k+1 r cτ 3 E(x, τ k r). Odtud s využitím (5.11) dostaneme τ k+1 r < ρ τ k r. (5.1) ( ρ τ k+1 r inf λ R d d B(x,r) ε(ū) λ p dy, ) d ε(ū) (ε(ū) x,τ r) dy k B(x,ρ) E(x, ρ) cτ 3 k (1 τ µ ) 1 (E(x, r) + r µ ) c k. (5.13) r µ Dále máme ρ r τ k+1 > τ k = ( M ) k 44

45 pro M zvolené tak, aby τ = M. Z (5.13) proto dostaneme ( ) 1 ρ M E(x, ρ) c. (5.14) r Pro všechna x B(x 0, s) potom z (5.14) vyplývá pro α = M 1 ε(ū)(y) (ε(ū)) x,ρ dy cρ α ρ r B(x,ρ) a podle Věty 5.1 je ε(ū) C 0,α (B(x 0, s); S 3 ). Ukázali jsme, že pro každý bod x 0 0 existuje okolí B(x 0, s) tak, že ε(ū) C 0,α (B(x 0, s); S 3 ). Potom zřejmě B(x 0, s) 0, tudíž je 0 otevřená. Navíc ε(ū) C 0,α (; S 3 ) a \ 0. Věta 5.5. Za předpokladů Věty 4.11 existuje množina 0 tak, že \ 0 = 0 a ū C 1,ν ( 0 ; R 3 ) pro každé ν (0, 1). Důkaz. V důkazu věty jsou použity hlavní kroky z důkazu [, Theorem 1.4]. Z minulého lemmatu máme existenci množiny 0 takové, že ε(ū) C 0,α ( 0, R 3 ) pro jisté α (0, 1). Ukážeme, že ū C 1,ν ( 0 ; R 3 ) pro každé ν (0, 1). Zvolme funkci ψ C0,div ( 0; R 3 ). V (4.1) použijeme testovací funkci ϕ = k ψ pro pevné k {1,..., d}. Potom integrací per partes, tu můžeme provést, neboť podle Věty 4.11 máme Df(ε(ū)) W 1, q q 1 loc (; R d ), dostaneme D f(ε(ū))(ε(v), ε(ψ)) dx= k (ū ū):ε(ψ) dx g k ψ dx (5.15) ψ C 0,div( 0 ; R 3 ) kde v := k ū. Pro x 0 0 označme ε 0 := ε(ū)(x 0 ). Nechť B(x 0, R) 0 a v 0 W 1, (B(x 0, R), R 3 ) je řešení rovnice D f(ε 0 )(ε(v 0 ), ε(ϕ)) dx = 0 (5.16) v 0 = v na B(x 0, R), div v 0 = 0 v B(x 0, R) ϕ C0,div(B(x 0, R), R 3 ). Potom pro r (0, R] dostaneme podle [1, Theorem.1] využitím Kornovy nerovnosti (3.1) a vlastností systému v (5.16) ( ) 3 ( ) 3 r r v 0 dx c v 0 dx c v dx. B(x 0,r) R R (5.17) 45

46 Odtud okamžitě vyplývá [ v dx c B(x 0,r) c v 0 dx + B(x 0,r) ) 3 [ ( r R v dx + v v 0 dx ] v v 0 dx ]. (5.18) Nyní odhadneme poslední integrál na pravé straně. Po použití růstové podmínky (1.3) a Kornovy nerovnosti (3.1) dostaneme D f(ε 0 )(ε(v) ε(v 0 ), ε(v) ε(v 0 )) dx λ(1 + ε 0 ) p ε(v) ε(v 0 ) dx c(p, d, λ, ε 0 ) (v) (v 0 ) dx. Odtud díky rovnici v (5.16) vyplývá v v 0 dx c D f(ε 0 )(ε(v) ε(v 0 ), ε(v) ε(v 0 )) dx =c D f(ε 0 )(ε(v), ε(v) ε(v 0 )) dx ( =c + D f(ε(ū))(ε(v), ε(v) ε(v 0 )) dx [ D f(ε 0 ) D f(ε(ū)) ] (ε(v), ε(v) ε(v 0 )) dx =c(i 1 + I ) (5.19) Použijeme-li nyní rovnici (5.15) a Youngovu nerovnost s γ > 0 dostaneme I 1 c k (ū ū):ε(v v 0 ) dx + c g k (v v 0 ) dx γ (v v 0 ) dx + c(γ) ū ū dx + c(γ) g R 3. ) 46

47 Dále I c osc B(x0,R) D f(ε(ū)) v (v v 0 ) dx γ (v v 0 ) dx + c(γ) [ osc B(x0,R) D f(ε(ū)) ] v dx. Pokud zvolíme γ dost malé, můžeme členy s γ zahrnout do výrazu na levé straně (5.19). Díky spojitosti ε(ū) a D f můžeme při pevném γ ke zvolenému α > 0 najít takové R 0, že platí ( c(γ) osc B(x0,R) D f(ε(ū))) <α pro každé R R 0. Jelikož víme, že ū L 3p loc (), je ū dx cr 3p p = cr 1+µ (5.0) pro µ := 1 1. Z (5.18) a (5.19) vyplývá p B(x 0,r) [ ( ] 3 r v dx<c 1 + α v R) dx + c R 1+µ pro všechna r R R 0. Podobně dostaneme existenci B(x 0, s), s < R 0, takové, že pro každé x B(x 0, s) a pro všechna r R R 0 platí [ ( ] 3 r v dx<c 1 + α v B(x,r) R) dx + c R 1+µ (5.1) B(x,R) Nyní volbou α dostatečně malého obdržíme podle Lemmatu 3.6 pro každé x B(x 0, s) odhad růstu v dx cr 1+µ. B(x,r) Poincarého nerovnost dává v v x,r dx r B(x,r) B(x,r) v dx cr 3+µ, 47

48 odtud je podle Věty 5.1 v C 0,µ (B(x 0, s)) a proto ū C 1,µ ( 0 ; R 3 ). Tudíž je zřejmě ū L loc ( 0), což implikuje ū dx cr 3. B(x,R) Díky předchozímu odhadu můžeme (5.1) nahradit B(x,r) [( 3 ] r v dx<c 1 + α v R) dx + c R 3 B(x,R) [( 3 ] r <c 1 + α v R) dx + c R 1+ν R (1 ν) 0, B(x,R) kde ν (0, 1) je libovolné. Opět použijeme Lemma 3.6, Poincarého nerovnost a dostáváme ν (0, 1) v v x,r dx r v dx cr 3+ν. B(x,r) B(x,r) Podle Věty 5.1 potom máme ν (0, 1) v C 0,ν (B(x 0, s)) a proto ū C 1,ν ( 0 ; R 3 ). 48

49 5. Úplná regularita ve D, q 0 = Ve dvou dimenzích ukážeme, že řešení ū z Věty 4.11 má lokálně hölderovsky spojité první derivace na. Uveďme [8, Lemma 4.1], na jehož použití je založen důkaz hlavní věty této sekce. Lemma 5.6. Nechť 0 R. Nechť existují β > α > 0, c 1, c > 0, R 0 > 0 tak, že funkce H L ( 0 ), h W 1, ( 0 ) splňují pro každé x 0 0 a R (0, R 0 ) takové, že B(x 0, R 0 ) 0, T (x 0, R) = B(x 0, R) B(x 0, R) H dx c 1 R ( H + R α dx T (x 0,R) ) 1 T (x 0,R) Potom pro každé t 1 existuje c = c(c 1, c, t, h 1,;0, H,0, α, R 0 ) takové, že pro každou kouli B(x 0, R) platí H dx c ln R t. hh dx + c r β. (5.) Důkaz. Důkaz tohoto tvrzení získáme modifikací důkazu [8, Lemma 4.1]. Provedeme pouze náznak důkazu. Je třeba odvodit nerovnost ( T (x 0,R) ( h T (x 0,R 0 ) ) 1 h dx) dy c1 log (R 0 R která je následně použita pro odhad ( ) hh dx h h dy + h dy H dx T T T 0 T 0 [( ) 1 ( h h dy dx + h T T dy 0 T 0 ( R 0 c (R 0, h W 1, ( 0 )) log H dx R T ) ( ) 1 h dx, B(x0,R0) (5.3) ) 1 ]( ) 1 T ) 1 H dx. (5.4) Po použití odhadu (5.4) v (5.) dostaneme pro R (0, R 0 ] a B(x 0, R 0 ) 0 (log H R 0 ) ( dx c 3 (c 1, R 0, h W 1, ( 0 )) H dx+r )+c α 4 R β. R T (x0,r) (5.5) 49

50 Nyní využijeme β >α a získáme ( H R 0 ) ( dx c 3 (c 1, R 0, h W 1, ( 0 )) H dx + R ). α (5.6) R T (x0,r) A dále je odtud třeba odvodit H dx e N+1 c 3 +1 e 3 c 3 +1 B(x 0,R 0 ) ( H dx + R α 0 iα e i=0 i+ c 3 +1 ), (5.7) kde N = [ R log 0 ] R. Jelikož pro každé t > 1 existuje c(t) tak, že s > 0 e s c(t) s t a řada v (5.7) konverguje, dostaneme z (5.7) H R 0 ) t. dx c(c 1, R 0, h W 1, (B(x 0,R 0 )), t)(log (5.8) R Nakonec poznamenejme, že ke každému t existuje konstanta K = K(t) taková, že ( ) t R 0 log K( log R R) t. Dále uveďme [7, Lemma p. 87]. Lemma 5.7. Nechť 0 R je oblast. Nechť pro u W 1, ( 0 ; R ) existuje t > tak, že pro každou podoblast 0 0 a každou B(x 0, R) 0 u splňuje u dx K ln R t, kde K závisí na 0. Pak u je spojitá na 0, existuje K B(x 0, R) 0 platí osc B(x0,R) u K ln R 1 t > 0 a pro každou Věta 5.8. Nechť d =, q 0 = a jsou splněny předpoklady Věty Pak s použitím značení téže věty je pro každé ν (0, 1) ū C 1,ν (; R ). 50

51 Důkaz. Důkaz této věty je proveden kombinací technik obsažených v důkazech [, Theorem 1.5.], [4, Theorem.1. b)]. Zvolme pevně B( x, r) B(x 0, R). Uvažujme funkci η C (B( x, r)) s kompaktním nosičem v B( x, r), η 1 na B( x, r) a η cr 1. Označme σ = Df(ε(ū)). KROK 1 Proveďme limitní přechod 0 v odhadu (4.4). Z (iii) Lemmatu 4.5 plyne, že rovnice (4.31) je splněna bodově s.v. na. Odtud máme p c(1 + ε(u ) ) q ε( k u ) + u u + g. S využitím Hölderovy nerovnosti obdržíme pro každé s < a každou kompaktní (1 + ε(u ) q ) ε( k u ) L s ( ; R ). Navíc z Věty 4.8 plyne u u L r loc () pro každé r (1, ) stejnoměrně vzhledem k a podle předpokladu je g L (; R ). Můžeme proto vybrat k 0 tak, že t<, p k p ve W 1,t ( ). (5.9) Pro limitní přechod v členu na levé straně (4.4) definujme funkci F předpisem F (x, ρ, σ):=η (x)d f(ρ)(σ, σ). Zřejmě je F spojitá v x, ρ, nezáporná a konvexní v σ. Z konvergence posloupnosti {u n } n=1 popsané ve Větě 4.11 potom plyne podle [13, Theorem 1, p. 13] F (x, ε(ū), k ε(ū)) dx lim inf F (x, ε(u n ), k ε(u n )) dx B( x,r) n 0 B( x,r) lim inf D f (ε(u n ))( k ε(u n ), k ε(u n )) dx, n 0 jelikož B( x,r) D f (ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) D f(ε(u ))( k ε(u ), k ε(u )) + c(1 + ε(u ) ) q ε(u ) 51