Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového
|
|
- Dušan Hruda
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 9.1 Základní vlastnosti IIR filtrù byly uvedeny v odst Je významné, že pøi jejich návrhu mùžeme vycházet z charakteristik vzorového analogového filtru požadovaných vlastností, jehož parametry transformujeme z analogové oblasti do digitální oblasti. Výhodnost takového postupu spoèívá v tom, že pro návrh analogových filtrù existuje øada velmi dobøe propracovaných postupù, jako napø. pro Butterworthovy, Èebyševovy, Cauerovy, Besselovy, eliptické ajiné analogové filtry. Postup návrhu IIR filtru mùžeme rozdìlit do ètyø krokù: 1. Formulace požadavkù na vzorový analogový filtr, obvykle na jeho frekvenèní charakteristiku nebo na impulzní odezvu. 2. Ze zadaných požadavkù navrhneme klasickou teorií pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru. 3. Pøenosovou funkci Ha (p) analogového filtru transformujeme podle použité metody návrhu zp-roviny do z-roviny na systémovou funkci H(z) digitálního filtru. Získaná funkce H(z) již specifikuje koeficienty ok a bk navrhovaného digitálního filtru. 4. Pro kontrolu mùžeme ze systémové funkce H(z) substitucí z = ejfjj stanovit odpovídající frekvenèní charakteristiku H(m) takto navrženého digitálruno filtru a porovnat ji s výchozími požadavky. Existuje nìkolik standardních metod návrhu IIR filtrù, které se liší zpùsobem transformace Ha(P) na H(z), pøi zachování stability filtru. V jednoduchých pøípadech lze rekurzivní filtr navrhnout intuitivnì na základì døíve uvedených poznatkù o vlivu pozice nul a pólù na frekvenèní charakteristiku -viz pøíklady v odst.6.4. Pøed uvedením standardních metod návrhu!ir filtrù si pøipomeneme základní vztahy pro pøenosovou funkci Ha (p) analogových filtrù: -112-
2 , 2. (9.1) nebo Ha(p)=!!.SJ!2=K (p-zt)(p-z2) (P-ZM) A(p) (p -Pt) (p -P2)"" (p -P) kde ak, bk jsou koeficienty pøíslušné diferenciální rovnice, Zl' Z2, PI, P2, P jsou póly pøenosové funkce Ha (p) V komplexní p-rovinì. Z M jsou nuly a Pro stabilitu analogového filtru je nutné, aby všechny póly Pk jeho pøenosové funkce Ha (p) ležely v levé polorovinì. Uvedeme ještì souvislost H(z) a Ha(P) ve spektrální oblasti. 1. Pro systémovou funkci H(z) platí: H(z) = Z[h(n)]. Pro z = ejiii jednotkové kružnici (r = 1 ) v komplexní z-rovinì bude: tj. pro body ležící na cožje frekvenèní charakteristika digitálního filtru. Pro pøenosovou funkci Ha(P) platí: Ha(P) = L[h(t)]. Pro P = io, tj. pro body ležící na imaginární ose io v p-rovinì bude: což je frekvenèní charakteristika analogového filtru, kde.q je úhlová frekvence v [rad/s] na rozdíl od {ij [rad]. Dále ještì frekvenèní charakteristika Ha (.Q) analogového filtru má aperiodický prùbìh (není periodická). Podle (9.3) a (9.4) se body z imaginární osy j.q v p-rovinì transformují (mapují) na jednotkovou kružnici (r = 1 ) v z-rovinì a obrácenì. Existuje tedy pøímá souvislost mezi frekvencemi v tìchto dvou rovinách (ovšem H(iii) je periodická, kdežto Ha(.Q) je aperiodická). 9.2 Metoda aproximace derivací diferencemi Již v odst. 5.5 byl uveden elementární pøíklad transformace analogového filtru (RC obvodu) na digitální strukturu s použitím aproximace derivace:
3 b) a) Derivaci na levé stranì si pøedstavíme jako výstup analogového systému s pøenosovou funkcí H~(P) podle obr. 9.1a). _~~r-~ ~~ ~L_~ ~ y(n)-y(n-1).--!j~~~~[~~-~=::::!:=.. Obr. 9.1 K aproximaci derivace diferencerni Pøenosová funkce H~(P) je dána pomìrem L-obrazu vstupu, tj. Ya(p), kl-obrazu výstupu, tj. pya(p), takže bude: H~(P) = p Tento analogový systém aproximujeme digitálním systémem se systémovou funkcí H'(z) podle obr. 9.1b). Systémová funkce H'(z) je dána pomìrem Z-obrazu vstupu, tj. Y(z), k Z- obrazu výstupu, tj.! T ~(z) -z-i Y(z)l takže bude: H'(z) = 1- z-i T Tato systémová funkce aproximuje pøenosovou funkci H~(p). Tedy z dané H~(P) pøejdeme na H'(z) substitucí p= I-z' T -1 Obecnì, bude-li zadána pøenosová funkce Ha (P) vzorového analogového filtru, která má tvar podle (9.1), potom systémová funkce H(z) odpovídajícího digitálního filtru bude: Z rovnice (9.9) dostaneme pro z: 1z=l-=-p"T (9.10) Tato rovnice vyjadøuje, jak se body p transformují z p-roviny do bodù z v z-rovinì (mapuje p- rovinu do z-roviny)
4 ~ --~ Zvolíme-li p = j.q, pak analýzou zjistíme, že imaginární osa j.q v p-rovinì se takto mapuje na kružnici o polomìru 0,5 se støedem v bodì z = 0,5 v z-rovinì a levá polorovina do plochy této kružnice -viz obr.9.2. j.qt joo p-rovina ~,--- Imzt jednotková kružnice ~, z-rovina '.' ~ o O' I, 1 Rez J.Q ~ -JOO ;/,/ Obr. 9.2 Mapování osy j.q zp-roviny do z-roviny pøi aproximaci derivací diferencemi Z uvedeného vyplývá: -bude-li vzorový analogový filtr stabilní, bude stabilní i takto navržený digitální filtr (transformace zachovává stabilitu) frekvenèní charakteristika takto navrženého digitálního filtru bude odlišná, nebo pro její zachování by bylo tøeba, aby se osa io transformovala na jednotkovou kružnici. Pouze v malé oblasti v okolí bodu z = 1 (tj. v oblasti nízkých frekvencí m«7t/2) se budou body na malé kružnici pøibližovat bodùm na jednotkové kružnici, takže v této oblasti frekvencí se bude také H(m) digitálního filtru pøibližovat Ha (O) analogového filtru. To by mohlo vyhovìt návrhu filtrù typu DP, nikoliv PP nebo HP. 9.3 Metoda impulznì invariantní transformace Tato metoda zachovává hodnoty impulzní odezvy h(t) analogového filtru. Impulzní odezva h(n) navrženého digitálního filtru totiž vychází z jejích vzorkù h(n): h(n) = h(t)1 t=nt n=o,1,2, (9.11 ) kde T je vzorkovací interval. Tyto hodnoty h(n) ovšem nemùžeme pokládat za koeficienty digitálního filtru, nebo h(t) má teoreticky neomezenou délku. Postup návrhu bude následující. Ze zadaných požadavkù na filtr navrhneme nìkterou známou metodou pøenosovou funkci Ha (p) vzorového analogového filtru ve tvaru: _11,-
5 (9.12) kde Zk jsou nuly a Pk jsou póly vzorového analogového filtru v p-rovinì. Za pøedpokladu, že tato Ha (p) neobsahuje násobné póly, vyjádøíme Ha (p) rozkladem v parciální zlomky, který bude ve tvaru: AJ Ha(P) =-:~ Az++... p-pz (9.13) kde Ak jsou reálné nebo komplexní konstanty (podle povahy pólu Pk). Tím jsme vlastnì analogový filtr vyjádøili ve tvaru paralelní kombinace elementárních filtrù s jednoduchými (reálnými nebo komplexními) póly Pk -viz obr.9.3. Obr. 9.3 Rozklad Ha (p) na paralelní kombinaci elementárních filtrù Tuto Ha (p) budeme nyní transformovat do digitální oblasti na systémovou funkci H (z). Hledaný vztah pro H(z) odvodíme následovnì. Impulzní odezva hk (f) jednoho elementárního analogového filtru na obr. 9.3 je dána inverzní LT: a hk(t) = L-1 = Ak epkt hk(t)=o pro «o pro t~o (9.14) Výsledná impulzní odezva uvedené paralelní kombinace bude dána sumací odezev jednotlivých elementárních filtrù: h(t) = Lhk(t) = LAk epkt k=l k=l (9.15) -116-
6 1 Impulzní odezva odpovídajícího impulznì invariantního filtru pak bude dána podle (9.12) diskrétními hodnotami (vzorky) h(n): h(n) = LAk k=l epknt n~o (9.16) Její Z-transformací již získáme odpovídající systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru: CX> H(z) = L h(n) z-n = L LAk epknt z-n= LAk L(z-l epkt )n n=o n=o k=l k=l n=o (9.17) S použitím vzorce pro sumaci souètu neomezené geometrické øady dostaneme: H(z) = LAk k=l 1- z-i epkt =LAk k=l z z -epkt (9.18) Podle (9.18) bude systémová funkce digitálního filtru obsahovat jednoduchých (reálných nebo komplexních) pólù k = 1,2, (9.19) kde Pk jsou jednoduché póly vzorového analogového filtru. Dále bude obsahovat nul v poèátku. Ze znalosti Ha(P) ve tvaru podle (9.13) tedy mùžeme ihned vyjádøit vztah pro H(z) podle (9.18). Obdobnì jako na obr. 9.3 pøedstavuje také sumace (9.18) paralelní kombinaci elementárních digitálních filtrù se systémovými funkcemi: k=1,2, Bude-li H k (z) v sumaci (9.18) obsahovat komplexní pól zk = exp(pkt), pak ovšem musí tato sumace obsahovat také Hk(z) s komplexnì sdruženým pólem. Obì takové èásti mùžeme slouèit do jedné dílèí systémové funkce, obsahující dva komplexnì sdružené póly. Realizace výsledné H(z) mùže odpovídat paralelnímu tvaru dílèích H k (z) podle (9.18). ebo mùžeme vztah (9.18) upravit na sériový tvar (souèet zlomkù pøevedeme na spoleèného jmenovatele). Pøíklad 9.1 Pøenosová funkce vzorového analogového filtru je dána ve tvaru: Ha(P) = 0,2 + p (0,2+p)
7 -j4t Zøejmì obsahuje nulu v bodì p = -0,2 a pár komplexnì sdružených pólù Pl,2 = -0,2 :t j 4. ejprve rozložíme Ha (p) na parciální zlomky: medanou H(z) získáme podle vztahu (9.18): 0,5 1 -z-i e-o,2t e Zøejmì obsahuje dva komplexnì sdružené póly ZI,2 = e-o,2t:tj4t.mùžeme tedy dva èleny H(z) upravit do jediného èlenu: v Podle vztahu (9.19) mùžeme vyjádøit souvislost mezi body v z-rovinì a body v p-rovinì: z = exp(pt). Zavedeme-li substituci z = r exp(jm) a p = O' + j,q" dostaneme: r = exp(at) a m =,Q,T. Z toho vyplývá, že pro O' < O bude O < r < 1, takže levá polorovina p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice v z-rovinì. Dále pro O' = O bude r = 1, takže imaginární osa j,q, se bude mapovat na jednotkovou kružnici. Tato metoda tedy zachovává stabilitu filtru a zaruèuje shodu impulzních odezev digitálního filtru a vzorového analogového filtru. A však souvislost mezi frekvenèními charakteristikami Ha(Q) a H(iiJ) nebude tak jednoznaèná. Spojité impulzní odezvì h(t) pøísluší pøenosová funkce Ha(.Q) = F[h(t)] -viz obr.9.4. o Ov Q Obr. 9.4 Impulzní odezva a frekvenèní charakteristik analogového filtru Potom vzorkované h(n) = h(nt) bude podle vzorkovacího teorému -viz odstavce 2.3 a 3.1 -pøíslušet periodické opakování Ha(Q) s periodou Qv = 2n/T (Ha(Q) je spektrum impulzní odezvy h(t)). Bude tedy analogicky ke vztahu (2.17) pro frekvenèní charakteristiku digitálního filtru platit: -llr-
8 00 H(ilJ) = H(.Q.T) = Fv LHa k=-oo (.Q. + k.qv) (9.20) Pak ovšem budou platit také poznatky z odst. 3.1 o pøekrývání (aliasing) sousedních prùbìhù Ha (O + k.o.v) -viz obr.9.5. Výsledná frekvenèní charakteristika bude dána souètem pøekrývajících se èástí, takže bude odlišná od Ha (O). Tento negativní vliv mùžeme zmenšit volbou menší hodnoty T, tj. hustìjším vzorkováním odezvy h(t). - H(ro ):H(OT) Ha(O-Ov)/ Ha(O-20v) ~~~/"--~~,,,/a ( o ) JI'. \: ~ \: ~,/"Y, '/,,~, " " '-. I I ---I-r-- o 1t 21t 31t ro=.gt Q o 1/2.o.v Oy Ov.Q Obr. 9.5 Vzorky impulzní odezvy h(n) a odpovídající frekvenèní charakteristika H(iJJ) 9.4 Metoda bilineární transformace Odvození transformaèního vztahu mezi komplexními promìnnými p a z vychází z diferenciální rovnice analogového filtru, kde se derivace neaproximuje diferencí jako v odst. 9.2, ale derivace se integruje a integrál se aproximuje podle trojúhelníkového pravidla. Po úpravì pak získáme transformaèní vztah ve tvaru: 2 (I-Z-l ) 2 z-i P=r ~=t =r;+i (9.21) nazývaný bilineámí transformace, kde T je èinitel úmìrnosti. Bude-li zadána pøenosová funkce Ha(P) vzorového analogového filtru, pak systémovou funkci H(z) odpovídajícího digitálního filtru získáme substitucí: H(z) = Ha(P) 2 z-i p=-- T z+1 (9.22) Abychom poznali vlastnosti bilineární transformace, zavedeme v rov. (9.21) substituci z = r exp(jm) a p = a + j.q. Z výsledku zjistíme, že pro a < O bude r < O a pro a = O bude r = 1, takže levá polorovina z p-roviny se bude mapovat do plochy jednotkové kružnice -119-
9 v z-rovinì a body z imaginární osy j.o. v p-rovinì se budou mapovat do bodù z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì. Stabilní analogový filtr se tak bude transformovat na stabilní digitální filtr. Uvedenou substitucí z = exp(j m) a p = j.o. (O" = O) do rov. (9.21) získáme vztah mezi body na ose j.o. v p-rovinì a body z = exp(jm) na jednotkové kružnici v z-rovinì, tj. mezi frekvencemi.o. a m : Bude tedy platit: "A 21-z-1 p = J~~ =-=-= 21-exp(-jiiJ) "2 J-tgiiJ T 1+z-1 T l+exp(-jiij) T >.Q =rtg2.ar nebo iij = 2 arctg. (9.23) 2 kde je.q v [rad/s] a iij v [rad]. Závislost mezi frekvencemi.qt a iij podle rov. (9.23) je graficky znázornìna na obr Obr. 9.6 Závislost mezi frekvencemi analogového a digitálního filtru pøi bilineární transformaci V oblasti nižších hodnot iij je závislost témìø lineární, ale se stoupající hodnotou iij se stává silnì nelineární. Dále celý frekvenèní interval O ~.Q ~ 00 analogového filtru se u digitálního filtru komprimuje na koneèný interval odpovídající pùlkružnici jednotkové kružnice v z- rovinì, tj. na interval O ~ iij ~ 7t. Potlaèení vlivu této nelinearity vyžaduje trochu pozmìnìný postup návrhu proti pøedchozím metodám. ávrh vychází ze specifikace požadavkù na frekvenèní charakteristiku digitálního filtru. Specifikují se významné frekvence, napø. frekvence vymezující pøechodové oblasti frekvenèní charakteristiky digitálního filtru -viz pøíklad na obr.9.7 v dolní èásti, kde jsou specifikovány frekvence iij1, iij2 [rad]
10 Podle vztahu (9.23) se k tìmto frekvencím urèí odpovídající frekvence ni, n2 v analogové oblasti -viz graf vlevo nahoøe na obr.9. 7, kde je tato transformace znázornìna graficky s využitím závislosti mezi (jj a.o. podle obr.9.6. Podle hodnot takto získaných frekvencí.o. i se potom navrhne nìkterou známou metodou pøenosová funkce Ha (p) vzorového analogového filtru. Obr. 9.7 K souvislosti mezi frekvenèními charakteristikami H(iiJ) a H(.aT) a stanovení významných frekvencí u metody bilineámí transformace S použitím bilineární transformace podle rov. (9.22) již získáme systémovou funkci H(z) navrhovaného digitálního filtru, u kterého budou zaruèeny jako významné frekvence ml' m2. Tato metoda návrhu IIR filtrù nemá omezení jako pøedchozí metody, je použitelná pro filtry typu DP, PP, a HP, vyluèuje pøekrývání (aliasing) frekvenèních charakteristik a zachovává stabilitu filtru. Avšak impulzní odezva takto navrženého digitálního filtru neodpovídá výchozímu analogovému filtru
7.1. Číslicové filtry IIR
Kapitola 7. Návrh číslicových filtrů Hraniční kmitočty propustného a nepropustného pásma jsou ve většině případů specifikovány v[hz] společně se vzorkovacím kmitočtem číslicového filtru. Návrhové algoritmy
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceDiskretizace. 29. dubna 2015
MSP: Domácí příprava č. 3 Vnitřní a vnější popis diskrétních systémů Dopředná Z-transformace Zpětná Z-transformace Řešení diferenčních rovnic Stabilita diskrétních systémů Spojování systémů Diskretizace
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceFlexibilita jednoduché naprogramování a přeprogramování řídícího systému
Téma 40 Jiří Cigler Zadání Číslicové řízení. Digitalizace a tvarování. Diskrétní systémy a jejich vlastnosti. Řízení diskrétních systémů. Diskrétní popis spojité soustavy. Návrh emulací. Nelineární řízení.
VíceAutomatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností
Automatizace je proces při němž je řídicí funkce člověka nahrazována činností různých přístrojů a zařízení. (Mechanizace, Automatizace, Komplexní automatizace) Kybernetika je Věda, která zkoumá obecné
VíceModelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček. 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015
Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 8. přednáška 11MSP pondělí 20. dubna 2015 verze: 2015-04-14 12:31
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceAntonín Kamarýt Opakujeme si MATEMATIKU 3 doplnìné vydání Pøíprava k pøijímacím zkouškám na støední školy Pøíruèka má za úkol pomoci ètenáøùm pøipravit se k pøijímacím zkouškám na støední školu Pøíruèka
Vícev trojúhelníku P QC sestrojíme vý¹ky na základnu a jedno rameno, patu vý¹ky na rameno oznaèíme R a patu na základnu S
Øe¹ení 5. série IV. roèníku kategorie JUNIOR RS-IV-5-1 Pro na¹e úvahy bude vhodné upravit si na¹í rovnici do tvaru 3 jx 1 4 j+2 = 5 + 4 sin 2x: Budeme uva¾ovat o funkci na pravé stranì na¹í rovnice, tj.
VíceAbychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem
Abychom se vyhnuli užití diferenčních sumátorů, je vhodné soustavu rovnic(5.77) upravit následujícím způsobem I 1 = 1 + pl 1 (U 1 +( )), = 1 pc 2 ( I 1+( I 3 )), I 3 = pl 3 (U 3 +( )), 1 U 3 = (pc 4 +1/
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VícePři návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:
Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně
Lineární a adaptivní zpracování dat 2. SYSTÉMY a jejich popis v časové doméně a frekvenční doméně Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály a systémy Vlastnosti systémů Systémy
VíceÚPGM FIT VUT Brno,
Systémy s diskrétním časem Jan Černocký ÚPGM FIT VUT Brno, cernocky@fit.vutbr.cz 1 LTI systémy v tomto kursu budeme pracovat pouze se systémy lineárními a časově invariantními. Úvod k nim jsme viděli již
VíceInverzní Laplaceova transformace
Inverzní Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 6. přednáška MSP čtvrtek 30. března
VíceGymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora
Předmět: Náplň: Třída: Počet hodin: Pomůcky: Cvičení z matematiky algebra (CZMa) Systematizace a prohloubení učiva matematiky: Číselné obory, Algebraické výrazy, Rovnice, Funkce, Posloupnosti, Diferenciální
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceVlastnosti členů regulačních obvodů Osnova kurzu
Osnova kurzu 1) Základní pojmy; algoritmizace úlohy 2) Teorie logického řízení 3) Fuzzy logika 4) Algebra blokových schémat 5) Statické vlastnosti členů regulačních obvodů 6) Dynamické vlastnosti členů
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti
Lineární a adaptivní zpracování dat 3. SYSTÉMY a jejich popis ve frekvenční oblasti Daniel Schwarz Osnova Opakování: systémy a jejich popis v časové oblasti Fourierovy řady Frekvenční charakteristika systémů
Vícezákladní vlastnosti, používané struktury návrhové prostředky MATLAB problém kvantování koeficientů
A0M38SPP - Signálové procesory v praxi - přednáška 4 2 Číslicové filtry typu FIR a IIR definice operace filtrace základní rozdělení FIR, IIR základní vlastnosti, používané struktury filtrů návrhové prostředky
VíceAutor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics s
Pavel Nevøiva ANALÝZA SIGNÁLÙ A SOUSTAV Praha 2000 Autor by chtìl podìkovat všem svým spolupracovníkùm a kolegùm, kteøí mu pomohli s pøípravou textu. K vydání knihy pøispìla firma Newport Electronics spol.
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
VíceVážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceÚvod do zpracování signálů
1 / 25 Úvod do zpracování signálů Karel Horák Rozvrh přednášky: 1. Spojitý a diskrétní signál. 2. Spektrum signálu. 3. Vzorkovací věta. 4. Konvoluce signálů. 5. Korelace signálů. 2 / 25 Úvod do zpracování
VíceÚvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali
NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro
VíceMatematika II Lineární diferenciální rovnice
Matematika II Lineární diferenciální rovnice RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Lineární diferenciální rovnice Denice
VícePODROBNÝ OBSAH 1 PØENOSOVÉ VLASTNOSTI PASIVNÍCH LINEÁRNÍCH KOMPLEXNÍCH JEDNOBRANÙ A DVOJBRANÙ... 9 1.1 Úvod... 10 1.2 Èasové charakteristiky obvodu pøechodné dìje... 10 1.3 Pøechodné charakteristiky obvodù
VíceLaplaceova transformace
Laplaceova transformace Modelování systémů a procesů (11MSP) Bohumil Kovář, Jan Přikryl, Miroslav Vlček Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 5. přednáška 11MSP pondělí 23. března
VíceX31EO2 - Elektrické obvody 2. Kmitočtové charakteristiky
X3EO - Elektrické obvody Kmitočtové charakteristiky Doc. Ing. Petr Pollák, CSc. Letní semestr 5/6!!! Volné šíření není povoleno!!! Fázory a spektra Fázor harmonického průběhu Û m = U m e jϕ ut) = U m sinωt
VíceAproximace funkcí. Chceme þvzoreèekÿ. Známe: celý prùbìh funkce
Aproximace funkcí 1/13 Známe: celý prùbìh funkce Chceme þvzoreèekÿ hodnoty ve vybraných bodech, pøíp. i derivace Kvalita údajù: známe pøesnì (máme algoritmus) známe pøibli¾nì (experiment èi simulace) {
VícePředmět A3B31TES/Př. 13
Předmět A3B31TES/Př. 13 PS 1 1 Katedra teorie obvodů, místnost č. 523, blok B2 Přednáška 13: Kvantování, modulace, stavový popis PS Předmět A3B31TES/Př. 13 květen 2015 1 / 28 Obsah 1 Kvantování 2 Modulace
VícePři návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy:
Návrh FIR filtrů Při návrhu FIR filtru řešíme obvykle následující problémy: volba frekvenční odezvy požadovaného filtru; nejčastěji volíme ideální charakteristiku normovanou k Nyquistově frekvenci, popř.
Více7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí
202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
Víceteorie elektronických obvodů Jiří Petržela obvodové funkce
Jiří Petržela obvod jako dvojbran dvojbranem rozumíme elektronický obvod mající dvě brány (vstupní a výstupní) dvojbranem může být zesilovač, pasivní i aktivní filtr, tranzistor v některém zapojení, přenosový
VíceKTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace. Pavel Karban. Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni
KTE/TEVS - Rychlá Fourierova transformace Pavel Karban Katedra teoretické elektrotechniky Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni 10.11.011 Outline 1 Motivace FT Fourierova transformace
VíceMatematika II Funkce více promìnných
Matematika II Funkce více promìnných RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Euklidovský n-rozmìrný prostor Def. Euklidovským
VíceLineární a adpativní zpracování dat. 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita
Lineární a adpativní zpracování dat 3. Lineární filtrace I: Z-transformace, stabilita Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Opakování: signály, systémy, jejich vlastnosti a popis v časové
VíceTeorie měření a regulace
Ústav technologie, mechanizace a řízení staveb Teorie měření a regulace 22.z-3.tr ZS 2015/2016 2015 - Ing. Václav Rada, CSc. TEORIE ŘÍZENÍ druhá část tématu předmětu pokračuje. oblastí matematických pomůcek
VíceFiltrace v prostorové oblasti
prostorová oblast (spatial domain) se vztahuje k obrazu samotnému - metody zpracování obrazu jsou zalo¾eny na pøímou manipulaci s pixely v obraze transformaèní oblast (transform domain) - metody zpracování
VícePříloha č. 1. amplitudová charakteristika filtru fázová charakteristika filtru / frekvence / Hz. 1. Určení proudové hustoty
Příloha č. 1 Při hodnocení expozice nízkofrekvenčnímu elektromagnetickému poli (0 Hz 10 MHz) je určující veličinou modifikovaná proudová hustota J mod indukovaná v tělesné tkáni. Jak je uvedeno v nařízení
VíceInverzní z-transformace. prof. Miroslav Vlček. 25. dubna 2013
Modelování systémů a procesů 25. dubna 2013 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Obsah Inverzní z-transformace 1 Inverzní z-transformace 2 Metody výpočtu inverzní z-transformace Zpětná
VíceVlastnosti a modelování aditivního
Vlastnosti a modelování aditivního bílého šumu s normálním rozdělením kacmarp@fel.cvut.cz verze: 0090913 1 Bílý šum s normálním rozdělením V této kapitole se budeme zabývat reálným gaussovským šumem n(t),
VíceMKI Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0.
MKI -00 Funkce f(z) má singularitu v bodě 0. a) Stanovte oblast, ve které konverguje hlavní část Laurentova rozvoje funkce f(z) v bodě 0. V jakém rozmezí se může pohybovat poloměr konvergence regulární
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 1. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 2013 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
VíceLineární a adaptivní zpracování dat. 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY
Lineární a adaptivní zpracování dat 1. ÚVOD: SIGNÁLY a SYSTÉMY Daniel Schwarz Investice do rozvoje vzdělávání Osnova Úvodní informace o předmětu Signály, časové řady klasifikace, příklady, vlastnosti Vzorkovací
VíceMĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH. Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky
MĚŘENÍ A ANALÝZA ELEKTROAKUSTICKÝCH SOUSTAV NA MODELECH Petr Kopecký ČVUT, Fakulta elektrotechnická, Katedra Radioelektroniky Při návrhu elektroakustických soustav, ale i jiných systémů, je vhodné nejprve
VíceMaturitní otázky z předmětu MATEMATIKA
Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti
VíceIdeální frekvenční charakteristiky filtrů podle bodu 1. až 4. v netypických lineárních souřadnicích jsou znázorněny na následujícím obrázku. U 1.
Aktivní filtry Filtr je obecně selektivní obvod, který propouští určité frekvenční pásmo, zatímco ostatní frekvenční pásma potlačuje. Filtry je možno realizovat sítí pasivních součástek, tj. rezistorů,
VíceMatematika 1 Jiˇr ı Fiˇser 19. z aˇr ı 2016 Jiˇr ı Fiˇser (KMA, PˇrF UP Olomouc) KMA MAT1 19. z aˇr ı / 19
Matematika 1 Jiří Fišer 19. září 2016 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MAT1 19. září 2016 1 / 19 Zimní semestr KMA MAT1 1 Úprava algebraických výrazů. Číselné obory. 2 Kombinatorika, základy teorie
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VícePŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII
PŘÍMKA A JEJÍ VYJÁDŘENÍ V ANALYTICKÉ GEOMETRII V úvodu analytické geometrie jsme vysvětlili, že její hlavní snahou je popsat geometrické útvary (body, vektory, přímky, kružnice,...) pomocí čísel nebo proměnných.
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceKniha je urèena všem zájemcùm o teorii elektrických obvodù Poslouží jako pøíruèka pro praxi, ale i jako uèebnice pro studenty støedních a vysokých ško
Jiøí Myslík Elektrické obvody (Pøíruèka pro praxi a uèebnice pro støední a vysoké školy) Kniha je urèena všem zájemcùm o teorii elektrických obvodù Poslouží jako pøíruèka pro praxi, ale i jako uèebnice
VíceDigitalizace převod AS DS (analogový diskrétní signál )
Digitalizace signálu v čase Digitalizace převod AS DS (analogový diskrétní signál ) v amplitudě Obvykle převod spojité předlohy (reality) f 1 (t/x,...), f 2 ()... připomenutí Digitalizace: 1. vzorkování
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceVlastnosti IIR filtrů:
IIR filtry Vlastnosti IIR filtrů: Výhody: jsou výrazně nižšího řádu než Fir filtry se stejnými vlastnostmi a z toho vyplývá že mají: Nevýhody: nižší výpočetní složitost v porovnání s Fir filtrem kratší
VícePříklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1
Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceP P P ) Mw Mj = = + ,P H,P H H,P H H. ww j ww j ww = + , P H j
Vážení zákazníci dovolueme si Vás upozornit že na tuto ukázku knihy se vztahuí autorská práva tzv. copyright. To znamená že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupuícího aby ètenáø
VíceMatematika II Limita a spojitost funkce, derivace
Matematika II Limita a spojitost funkce, derivace RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Prstencové a kruhové okolí bodu
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
Více1 Zpracování a analýza tlakové vlny
1 Zpracování a analýza tlakové vlny 1.1 Cíl úlohy Prostřednictvím této úlohy se naučíte a zopakujete: analýzu biologických signálů v časové oblasti, analýzu biologických signálů ve frekvenční oblasti,
VíceFrekvenční charakteristiky
Frekvenční charakteristiky EO2 Přednáška Pavel Máša ÚVODEM Frekvenční charakteristiky popisují závislost poměru amplitudy výstupního ku vstupnímu napětí a jejich fázový posun v závislosti na frekvenci
VíceUrčete a graficky znázorněte definiční obor funkce
Určete a grafick znázorněte definiční obor funkce Příklad. z = ln( + ) Řešení: Vpíšeme omezující podmínk pro jednotlivé části funkce. Jmenovatel zlomku musí být 0, logaritmická funkce je definovaná pro
Více5.3. Implicitní funkce a její derivace
Výklad Podívejme se na následující problém. Uvažujme množinu M bodů [x,y] R 2, které splňují rovnici F(x, y) = 0, M = {[x,y] D F F(x,y) = 0}, kde z = F(x,y) je nějaká funkce dvou proměnných. Je-li F(x,y)
VíceMatematika II Urèitý integrál
Matematika II Urèitý integrál RNDr. Renata Klufová, Ph. D. Jihoèeská univerzita v Èeských Budìjovicích EF Katedra aplikované matematiky a informatiky Motivace Je dána funkce f(x) = 2 + x2 x 4. Urèete co
VíceGyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu. 2 Nerovnoměrný pohyb po kružnici v R 2
Gyrační poloměr jako invariant relativistického pohybu nabité částice v konfiguraci rovnoběžného konstantního vnějšího elektromagnetického pole 1 Popis problému Uvažujme pohyb nabité částice v E 3 v takové
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceII. 3. Speciální integrační metody
48 II. Integrální počet funkcí jedné proměnné II.. Speciální integrační metody Integrály typu f ( x, r x, r x,..., r k x ), tj. integrály obsahující proměnnou x pod odmocninou, kde k N a r,..., r k jsou
VíceKomplexní analýza. Laplaceova transformace. Martin Bohata. Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze
Komplexní analýza Laplaceova transformace Martin Bohata Katedra matematiky FEL ČVUT v Praze bohata@math.feld.cvut.cz Martin Bohata Komplexní analýza Laplaceova transformace 1 / 18 Definice Definice Laplaceovou
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceZápadočeská univerzita. Lineární systémy 2
Západočeská univerzita FAKULTA APLIKOVANÝCH VĚD Lineární systémy Semestrální práce vypracoval: Jan Popelka, Jiří Pročka 1. květen 008 skupina: pondělí 7-8 hodina 1) a) Jelikož byly měřící přípravky nefunkční,
VíceMezi elementární komplexní funkce se obvykle počítají tyto funkce: f(z) = az + b,
Elementární funkce Mezi elementární komplení funkce se obvykle počítají tyto funkce:. Lineární funkce Lineární funkce je funkce tvaru f(z) az + b, kde a a b jsou konečná komplení čísla. Její derivace je
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
Vícer Odvoď te přenosovou funkci obvodů na obr.2.16, je-li vstupem napě tí u 1 a výstupem napě tí u 2. Uvaž ujte R = 1Ω, L = 1H a C = 1F.
Systé my, procesy a signály I - sbírka příkladů NEŘ EŠENÉPŘ ÍKADY r 223 Odvoď te přenosovou funkci obvodů na obr26, je-li vstupem napě tí u a výstupem napě tí Uvaž ujte Ω, H a F u u u a) b) c) u u u d)
Více6. DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH
Funkce více proměnných 6 DIFERENCIÁLNÍ POČET FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH Ve čtvrté kapitole jsme studovali vlastnosti funkcí jedné nezávisle proměnné K popisu mnoha reálných situací však s jednou nezávisle
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceDodatky k FT: 1. (2D digitalizace) 2. Více o FT 3. Více k užití filtrů. 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů
Dodatky k FT:. (D digitalizace. Více o FT 3. Více k užití filtrů 7. přednáška předmětu Zpracování obrazů Martina Mudrová 4 Pořízení digitálního obrazu Obvykle: Proces transformace spojité předlohy (reality
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceZápadočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2. Plzeň, 2008 Pavel Jedlička
Západočeská univerzita v Plzni Fakulta aplikovaných věd KKY/LS2 Semestrální práce Plzeň, 2008 Jan Krčmář Pavel Jedlička 1 Měřený model Je zadán systém (1), který budeme diskretizovat použitím funkce c2d
Více3/ %,1'(& 83'1 &( &3 )XQNFH. + ; ; ; ; / ; ; + ; EH]H]PuQ\
Vážení zákazníci, dovolujeme si Vás upozornit, že na tuto ukázku knihy se vztahují autorská práva, tzv. copyright. To znamená, že ukázka má sloužit výhradnì pro osobní potøebu potenciálního kupujícího
VíceTeoretická elektrotechnika - vybrané statě
Teoretická elektrotechnika - vybrané statě David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Fakulta elektrotechnická Západočeská univerzita v Plzni September 26, 202 David Pánek EK 63 panek50@kte.zcu.cz Teoretická
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Vícefiltry FIR zpracování signálů FIR & IIR Tomáš Novák
filtry FIR 1) Maximální překývnutí amplitudové frekvenční charakteristiky dolní propusti FIR řádu 100 je podle obr. 1 na frekvenci f=50hz o velikosti 0,15 tedy 1,1dB; přechodové pásmo je v rozsahu frekvencí
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
Vícearcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.
Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
Více( x) ( ) ( ) { } Vzorce pro dvojnásobný úhel II. Předpoklady: Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je. 2. x x x
9 Vzorce pro dvojnásobný úhel II Předpoklady: 08 Př : Urči definiční obor výrazů a zjednoduš je a) ( sin cos ) sin x + cos x sin x x + x sin x b) cos x + cos x + sin x + cos x sin x a) x R sin x + cos
VíceMichal Zamboj. January 4, 2018
Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Průběh funkce Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Průběh funkce Průběhem funkce rozumíme určení vlastností funkce
VíceAnalýza a zpracování signálů. 5. Z-transformace
Analýa a pracování signálů 5. Z-transformace Z-tranformace je mocný nástroj použitelný pro analýu lineárních discretetime systémů Oboustranná Z-transformace X k jf j xk, je komplexní číslo r e r e k Oboustranná
VíceFunkce zadané implicitně
Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf
VíceVzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory. Lenka Dohnalová
1 / 40 Vzpěr jednoduchého rámu, diferenciální operátory Lenka Dohnalová ČVUT, fakulta stavební, ZS 2015/2016 katedra stavební mechaniky a katedra matematiky, Odborné vedení: doc. Ing. Jan Zeman, Ph.D.,
VíceDiferenciální rovnice
Diferenciální rovnice Průvodce studiem Touto kapitolou se náplň základního kurzu bakalářské matematiky uzavírá. Je tomu tak mimo jiné proto, že jsou zde souhrnně využívány poznatky získané studiem předchozích
VíceA7B31ZZS 10. PŘEDNÁŠKA Návrh filtrů 1. prosince 2014
A7B3ZZS. PŘEDNÁŠKA Návrh filtrů. prosince 24 Návrhy jednoduchých filtrů Návrhy složitějších filtrů Porovnání FIR a IIR Nástroje pro návrh FIR filtrů v MATLABu Nástroje pro návrh IIR filtrů v MATLABu Kvantování
Více3. Reálná čísla. většinou racionálních čísel. V analytických úvahách, které praktickým výpočtům
RACIONÁLNÍ A IRACIONÁLNÍ ČÍSLA Význačnými množinami jsou číselné množiny K nejvýznamnějším patří množina reálných čísel, obsahující jako podmnožiny množiny přirozených, celých, racionálních a iracionálních
VíceČíslicová filtrace. FIR filtry IIR filtry. ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická
ČESKÉ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V PRAZE Fakulta elektrotechnická Ing. Radek Sedláček, Ph.D., katedra měření K13138 Číslicová filtrace FIR filtry IIR filtry Tyto materiály vznikly za podpory Fondu rozvoje
Více