Robotika sbírka řešených příkladů

Transkript

1 FAKULTA ELEKTROTECHNIKY A KOMUNIKAČNÍCH TECHNOLOGIÍ VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ Roboika sbírka řešených příkladů Auor exu: pro. Ing. Franišek Šolc, CSc 4 Komplexní inovace sudijních programů a zvyšování kvaliy výuky na FEKT VUT v Brně OP VK CZ..7/../8.9

2 FEKT VUT v Brně Obsah ÚVOD.... PŘÍKLAD HOMOGENNÍ TRANSFORMACE.... PŘÍKLAD HOMOGENNÍ TRANSFORMACE PŘÍKLAD HOMOGENNÍ TRANSFORMACE - ORIENTACE PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY A JAKOBIÁN PŘÍKLAD PŘÍMÁ A INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY, JAKOBIÁN PŘÍKLAD INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET RYCHLOSTÍ PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET ZRYCHLENÍ PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET ZRYCHLENÍ PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET ZRYCHLENÍ.... PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET ZRYCHLENÍ.... PŘÍKLAD PŘÍMÁ ÚLOHA KINEMATIKY, VÝPOČET ZRYCHLENÍ PŘÍKLAD INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY, PLÁNOVÁNÍ DRÁHY PŘÍKLAD INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY PŘÍKLAD INVERZNÍ ÚLOHA KINEMATIKY PŘÍKLAD DYNAMIKA PŘÍKLAD DYNAMIKA A PLÁNOVÁNÍ DRÁHY PŘÍKLAD DYNAMIKA A PLÁNOVÁNÍ DRÁHY PŘÍKLAD PLÁNOVÁNÍ DRÁHY PŘÍKLAD PLÁNOVÁNÍ DRÁHY... 66

3 Roboika sbírka příkladů Úvod Následující ex obsahuje řešené příklady z oblasi průmyslové roboiky. Jedná se o někeré řešené problémy kinemaiky a dynamiky manipuláorů a jim podobných kinemaických řeězců. Jsou o především úlohy přímé a inverzní kinemaiky. Uvedeny jsou aké někeré úlohy plánování dráhy. Z oblasi dynamiky jsou uvedeny úlohy výpoču pořebných výkonů pro provedení předepsané manipulační operace. Uváděné příklady jsou vhodné pro vedení numerických cvičení. Prakicky ve všech příkladech je pro numerické výpočy použi soware MATLAB a vzhledem k vyšší výpočení náročnosi je v někerých příkladech použi pro výpoče jeho symbolický oolbox.. Příklad Homogenní ransormace Na následujícím obrázku je nakreslen robo obsluhující pracovišě. S ělem roboa je spojen souřadný sysém xyz umísěný pevně v rovině podlahy dílny ak, že rovina podlahy a rovina xy jsou oožné. Ve vzdálenosi m od roboa je na podlaze umísěn sůl ve varu kvádru, s jehož horní hranou je spojen souřadný sysém xyz jehož počáek leží v rovině yz. Na sole je položen kvádr, se kerým je spojen souřadný sysém xyz. Počáek ohoo sysému je umísěn na pracovní ploše solu přesně v jejím sředu. Kvádr má výšku,m a rozměry ve směru z,m a ve směru x,m. Nad solem je umísěna sereo kamera, se kerou je spojen souřadný sysém xyz jehož počáek je ve výšce m nad pracovní plochou solu. Jeho osa z je oožná s osou y, kerá je kolmá k podlaze a pracovní ploše solu. Jednolivé osy sysémů jsou rovnoběžné, jak ukazuje následující obrázek. Obr.. Roboické pracovišě

4 4 FEKT VUT v Brně Vypočíeje maice homogenních ransormací mezi jednolivými sysémy a sysémem xyz. Výpoče zdůvodněe kompozicí elemenárních ransormací (nesačí uvés jen výsledné maice) Řešení: Maice homogenních ransormací mezi jednolivými sysémy a sysémem xyz získáme kompozicí elemenárních ransormací (posupným pohybem sysému xyz ), např. H =Trans(;;.5)Ro y (-9 o )Ro x (-9 o ) H =Trans(-.5;.5;.5)Ro z (9 o )Ro x (9 o ) H =Trans((-.5;.5;.5)Ro z (9 o )Ro x 8 o ) Elemenární ransormace jsou uvedeny ve skripech Roboika. Po provedení výpoču dosaneme.,5,5 H H H,5.5.5

5 Roboika sbírka příkladů 5. Příklad Homogenní ransormace Pro koniguraci pracovišě uvedenou v obrázku v předchozím příkladu určee souřadnice horních rohů kvádru, kerý leží na sole, jak se jeví v sysému sereo kamery xyz. Výpoče zdůvodněe. Řešení: Pozice jednolivých bodů, keré známe v souřadném sysému xyz, p i,, přepočeme do souřadného sysému xyz nejsnadněji pomocí maice homogenní ransormace H,. Tedy pozice bodů v sysému xyz, p i,, budou dány výrazem p H p i,, i, Prvky maice homogenní ransormace budou vekor posunuí d a maice roace R. R d H, Vekor posunuí říká, jak posuneme sysém xyz v jeho souřadnicích ak, aby počáky posunuého sysému a sysému xyz byly sejné. Z geomerie obrázku je zřejmé, že musíme provés posunuí v ose z sysému xyz o m. Vekor posunuí edy bude d Vekor roace říká jak odroujeme sysém xyz ak, aby jednolivé osy odroovaného sysému a sysému xyz byly rovnoběžné. Z geomerie obrázku je zřejmé že musíme provés roaci okolo osy x sysému xyz o -9 o. Maice roace edy bude, viz skripa Maice H, bude edy ve varu vhodném pro použií v MATLABu H=[ - ]; R Homogenní souřadnice jednolivých bodů v sysému xyz jsou dány geomerií zadání. Uvedeny jsou ve varu vhodném pro použií v MATLABu p=[. ]' p=[.. ]' p=[... ]' p4=[.. ]' Homogenní souřadnice ěcho bodů v sysému xyz pak jsou

6 6 FEKT VUT v Brně p, p, p, p 4, H, *p, H, *p, H, *p, H, *p 4,

7 Roboika sbírka příkladů 7. Příklad Homogenní ransormace - orienace Na následujícím obrázku je nakresleno kinemaické schéma robou PUMA-56. Hodnoy konsanních veličin jsou uvedeny v merech a =.; d =.5; d 4 =.; d 6 =.. Robo je nakreslen v nulové poloze kloubových proměnných. Kladný směr pohybu všech kloubových veličin je uvažován ve sandardním smyslu. Jednolivé kinemaické členy mají přiděleny své souřadné sysémy. a) Zdůvodněe, zda přidělení souřadných sysémů odpovídá DH konvenci. b) Vypočíeje homogenní ransormaci H 6 pro obecné hodnoy kloubových proměnných. c) Vypočíeje polohu počáku O 6 v pevném souřadném sysému pro hodnoy kloubových proměnných o o o o o o d) Nakreslee obrázek ukazující vzájemnou orienaci sysémů 6 a. Obr.. Robo Puma

8 8 FEKT VUT v Brně Řešení: a) Z obrázku je zřejmé, že pokud je robo v obecné poloze (např. všechny klouby jsou mírně pooočeny o malý poziivní úhel): Sysém dosaneme ze sysému posupně poočením sysému v kloubu okolo osy Z o úhel θ a oočením okolo osy X o úhel -9 o. Sysém dosaneme ze sysému posupně poočením sysému v kloubu okolo osy Z o úhel θ, posunuím podél Z o délku d a posunuím podél osy X o délku a. Sysém dosaneme ze sysému posupně poočením sysému v kloubu okolo osy Z o úhel θ a oočením okolo osy X o úhel +9 o. Sysém 4 dosaneme ze sysému posupně poočením sysému v kloubu 4 okolo osy Z o úhel θ 4, posunuím podél osy Z o délku d 4 a oočením kolem osy X o úhel -9 o. Sysém 5 dosaneme ze sysému 4 posupně poočením sysému 4 v kloubu 5 okolo osy Z 4 o úhel θ 5 a oočením okolo osy X 4 o úhel +9 o. Sysém 6 dosaneme ze sysému 5 posupně poočením sysému 5 v kloubu 6 okolo osy Z 5 o úhel θ 6 a posunuím podél osy Z 5 o délku d 6. Souřadné sysémy jsou edy přiděleny podle DH konvence a kinemaika robou je popsána abulkou člen θ i d i a i α i θ -9 o θ d a θ +9 o 4 θ 4 d 4-9 o 5 θ 5 +9 o 6 θ 6 d 6 b) Jednolivé ransormační maice edy jsou c,, - s, c, - s, H s,, c,, -,, H s, c,,,,,,,,,,,,.c.s.5 H c,, s,,,,,, s, - c,,, H 4 c4,, - s4, s4,, c4,, -,,,,,. H 45 c5, s5,,,,, - c5,,, s5,,, H 56 c6, s6,,, - s6,, c6,,,,,,.

9 Roboika sbírka příkladů 9 Transormace H 6 je dána součinem H 6 HHHH4H45H56 Vzhledem ke složiosi celkového výrazu napíšeme výsledek ve varu H 6 H H 6 ccc - css, - s, ccs csc,.cc -.5s c4c5c6 - s4s6, - c4c5s6 - s4c6, c4s5,.c4s5 H 6 scc - sss, - sc - cs, c,, scs ssc, - ss cc,.sc -.s.5c s4c5c6 c4s6, - s5c6, - s4c5s6 s5s6, c4c6, s4s5, c5,.s4s5..c5,,,,,, c) Po dosazení numerických hodno dosáváme H 6 H H H Souřadnice počáku O 6 v syému jsou edy [ ] d) Orienace sysému 6 je dána roační maicí z H 6. Předsavu o orienaci si můžeme uděla podle velikosi směrových cosinů, nebo pomocí průměů bázových vekorů sysému 6 do sysému. Např. i j 6 =.77. zn., že osy X a Y 6 svírají úhel 45. Jednolivé složky vekoru j 6 v sysému jsou dány. sloupcem roační maice R 6,.j j 6 =-.77i -.77k ad. Orienace sysému je nakreslena na následujícím obrázku.

10 FEKT VUT v Brně Obr.. Robo Puma s přidělenými souřadnými sysémy Obr.. Orienace zápěsí

11 Roboika sbírka příkladů 4. Příklad Přímá úloha kinemaiky a Jakobián Na následujícím obrázku je nakreslen planární robo ypu TTR. Obr. 4. Kinemaické schéma roboa Koncový bod H robou se má pohybova po kružnici konsanní rychlosí v=,m/s ve směru šipky ak, že v čase = je v bodě Z. Koncový člen roboa má při om bý uvniř kružnice a v každém okamžiku musí bý ke kružnici kolmý. Rozměry roboa a souřadnice význačných bodů jsou na obr. uvedeny v cm. Na obr. jsou aké uvedeny kladné směry počíání kloubových veličin. Koncový bod H má při pohybu oběhnou celý kruh. Kloubové souřadnice nemají žádné omezení.. Vypočíeje přímou úlohu kinemaiky pro eno robo.j. unkce x ( q, q, q) y ( q, q, q) ( q, q, q) kde x,y jsou souřadnice bodu H v pracovním prosoru x,y roboa. Uveďe analyické výrazy unkcí.. Vypočíeje inverzní úlohu kinemaiky pro požadovaný pohyb,.j. unkce q ( ) q( ) q( ), keré zaručí požadovaný pohyb koncového členu roboa. Uveďe analyické výrazy a gray ěcho unkcí.. Vypočíeje Jakobián ohoo roboa a určee jeho singulární koniguraci. Řešení:. Vzhledem k jednoduchosi geomerie manipuláoru je úloha jednoduchá

12 FEKT VUT v Brně x y q q cos q sin q q. Inverzní úlohu můžeme řeši pomocí dekompozice ak, že pro danou žádanou orienaci koncového členu φ najdeme žádanou polohu zápěsí a následně vypočíáme kloubové souřadnice ramene q q. Ze znalosi kloubových souřadnic ramene a žádané orienace koncového členu pak najdeme kloubovou souřadnici zápěsí (viz příklady v elekronických exech). V našem příkladu je však řešení inverzní úlohy jednoduché. Z () dosáváme () q q q x y sin cos () Požadovaný pohyb koncového členu manipuláoru je rovněž jednoduchý v ž R x 7 R cos y ž ž 9 R sin ž ž () Po dosazení numerických hodno x y ž ž ž 7 9. cos sin ž ž (4) Dosazením (4) do () dosaneme požadované průběhy kloubových souřadnic, keré zaručí požadovaný pohyb q q ž ž 7 9 cos sin ž ž cos sin ž 9 ž 5 cos sin ž ž (5) q ž. Koncový bod oběhne celý kruh za čas k k R sec (6) v Průběhy kloubových souřadnic podle () jsou uvedeny na následujícím obrázku

13 q [cm] q [cm] q [deg] Roboika sbírka příkladů [sec] [sec] [sec] Obr. 4. Časové průběhy kloubových souřadnic. Jakobián manipuláoru (D) získáme parciálními derivacemi rovnic () sin q J cosq (7) Jeho deerminan je vždy - a jeho hodnos je edy. Manipuláor edy nemá žádnou singulární koniguraci.

14 4 FEKT VUT v Brně 5. Příklad Přímá a inverzní úloha kinemaiky, Jakobián Na následujícím obrázku je uvedeno kinemaické schéma anropomorního manipuláoru. Obr. 5. Kinemaické schéma manipuláoru Manipuláor je vořen řemi roačními klouby,, s kloubovými proměnnými. Pevný souřadný sysém dílny XYZ je umísěn v průsečíku os Z kloubů a. Osy Z,Z souřadných sysémů a jsou umísěny v kloubech a. Počáek souřadného sysému je na konci ramene a. Osy Z Z a Z jsou vzájemně rovnoběžné a jsou rovnoběžné s rovinou XY. Délky ramen jsou a a. Osy X a X jsou oožné s osami odpovídajících ramen.. Vyřeše přímou úlohu kinemaiky,.j. polohu koncového bodu P ramene a v pevném souřadném sysému XYZ.. Kolik řešení má inverzní úloha kinemaiky?. Vypočíeje Jakobián manipuláoru. 4. Nalezněe singulární konigurace manipuláoru.

15 Roboika sbírka příkladů 5 Řešení:. Z geomerie manipuláoru přímo vyplývá Souřadnice z koncového bodu ramene z a sin( ) asin( ) Délka kolmého průměu ramene do roviny XY r a cos( ) acos( ) Průměy r do os X a Y pak dávají souřadnice x a y koncového bodu. x r cos( ) ( a cos( ) a cos( ))cos( ) y rsin( ) ( a cos( ) a cos( ))sin( ). Pokud je koncový bod manipuláoru mimo osu Z má inverzní úloha 4 řešení, obr.. Obr. 5. Možné řešení inverzní úlohy Pokud je koncový bod manipuláoru na ose Z, má úloha nekonečně mnoho řešení ( ), viz obr..

16 6 FEKT VUT v Brně Obr. 5. Singulární poloha manipuláoru. Jakobián manipuláoru x x x J y z y y y y kde x y z x y z x y z ( a cos( ) a cos( ))sin( ) ( a cos( ) a cos( ))cos( ) ( a sin( ) a sin( ))cos( ) ( a sin( ) a sin( ))sin( ) a cos( ) a cos( ) asin( )cos( ) a sin( )sin( ) a cos( ) Po dosazení do J dosaneme ve zkrácené ormě

17 Roboika sbírka příkladů 7 4. J s ( a c c ( a c a c a c ) ) c ( a s a c s ( a s a a a c de( J ) aas( ac ac) s s ) ) a c s a s s a c Délky a a ramen jsou zřejmě nenulové. V singulární pozici je de(j)= což nasává o ) pro s =.j. nebo 8 rameno manipuláoru je plně naaženo nebo naopak zkráceno a manipuláor je na okraji svého pracovního prosoru. ) pro a c ac koncový bod manipuláoru se nachází na ose Z o a inverzní úloha má nekonečně mnoho řešení.

18 8 FEKT VUT v Brně 6. Příklad Inverzní úloha kinemaiky Na následujícím obrázku je uvedeno kinemaické schéma anropomorního manipuláoru popsaného v předchozí domácí úloze. Obr. 6. Kinemaické schéma manipuláoru Kladné směry počíání kloubových veličin jsou (z pohledu na obrázek):. kloub se oáčí proi směru hodinových ručiček.. a. kloub pohybují příslušnými rameny nahoru.. kloub je nakreslen v poloze. Osaní dva klouby jsou v nulové poloze když jsou oba členy a a a ve vodorovné poloze. (členy a a a jsou edy nakresleny v poloze ).. Vyřeše inverzní úlohu kinemaiky,.j. hodnoy kloubových souřadnic v závislosi na poloze (x,y,z) koncového bodu P manipuláoru. Inverzní úlohu řeše za předpokladu a aan( y, ). x. Nalezněe časový průběh kloubových veličin za předpokladu že délky ramen jsou a =a =m a koncový bod se pohybuje po přímce z bodu (.; -;) do bodu (.; ;) konsanní rychlosí m/s. Časové průběhy vyjádřee graicky (alespoň v desei časových okamžicích). Řešení:. Ze zadání přímo vyplývá kloubová souřadnice aan( y, ) () x

19 Roboika sbírka příkladů 9 Další kloubové souřadnice vypočíáme z rojúhelníku, jehož odvěsny voří ramena manipuláoru a přeponou je spojnice koncového bodu manipuláoru s počákem souřadného sysému XYZ. Využijeme k omu m.j. věy sinové a kosinové viz např. elekronický ex (Šolc: Roboika). kde aan( a, a) a a L a cos Pozn. věa cosinová a a L R kde R x z y () aan( z, ) () R aan( b, b ) b a sin L sin Pozn. věa sinová Pozn. γ,α jsou úhly v rojúhelníku, jehož odvěsny voří ramena manipuláoru a přeponou je spojnice koncového bodu manipuláoru s počákem souřadného sysému XYZ.. Ze zadání je zřejmé, že koncový bod manipuláoru se pohybuje po vodorovné přímce o délce m a požadovanou dráhu urazí za sec. Pro jednolivé souřadnice edy plaí x( ) y( ) z( ). ; Tyo hodnoy dosadíme do ()-() a dosaneme graické průběhy jednolivých kloubových veličin, keré zaručí požadovanou rajekorii koncového bodu manipuláoru.

20 [deg] FEKT VUT v Brně 5 h 5 h h [sec] Obr. 6. Průběhy kloubových veličin

21 Roboika sbírka příkladů 7. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče rychlosí Na následujícím obrázku je uvedeno kinemaické schéma anropomorního manipuláoru. Obr. 7. Kinemaické schéma manipuláoru Manipuláor je vořen řemi roačními klouby,, s kloubovými proměnnými. Pevný souřadný sysém dílny XYZ je umísěn v průsečíku os Z kloubů a. Osy Z,Z souřadných sysémů a jsou umísěny v kloubech a. Počáek souřadného sysému je na konci ramene a. Osy Z Z a Z jsou vzájemně rovnoběžné a jsou rovnoběžné s rovinou XY. Délky ramen jsou a =a =m. Osy X a X jsou oožné s osami odpovídajících ramen. (Viz předchozí úlohy) o o Manipuláor je právě v pozici ; 4,45 ; 9.4 ;. Vypočíeje rychlos pohybu jeho koncového bodu (počáku souřad. sys. ) v sysému XYZ, když rychlosi kloubových souřadnic jsou o 45 /sec; ; ; (Uveďe složky i absoluní hodnou vypočíané rychlosi).. Vypočíeje rychlos pohybu jeho koncového bodu (počáku souřad. sys. ) v sysém XYZ když rychlosi kloubových souřadnic jsou o 45 /sec; o o /sec; /sec; (Uveďe složky i absoluní hodnou vypočíané rychlosi). Řešení: V omo případě jde o řešení přímé úlohy kinemaiky pro rychlos. Tao úloha je sandardně řešena pomocí Jakobiánu manipuláoru

22 FEKT VUT v Brně X J( q) q () Jakobián byl vyřešen v minulých úlohách s ( a c a c ) c ( a s J c ( a c a c ) s ( a s a s ) a s s () a c a a c s ) a c s a c Po dosazení paramerů a konkréních hodno kloubových proměnných dosaneme v noaci MATLAB a= a= s=sin(/8*pi) c=cos(/8*pi) s=sin(4.45/8*pi) c=cos(4.45/8*pi) s=sin(( )/8*pi) c=cos(( )/8*pi) Konkréně edy J=[-s*(a*c+a*c) -c*(a*s+a*s) -a*c*s c*(a*c+a*c) -s*(a*s+a*s) -a*s*s a*c+a*c a*c] J.5 () Pro. úlohu je vekor kloubových rychlosí v rad/sec 45/8* pi q (4) Odud vekor rychlosí koncového bodu v m/sec X J( q) q.86 (5) a absoluní hodnoa vekoru rychlosi v m/sec V X T X.86 (6)

23 Roboika sbírka příkladů Pro. úlohu je vekor kloubových rychlosí v rad/sec 45/8* pi q /8* pi (7) /8* pi Odud vekor rychlosí koncového bodu v m/sec -.66 X J( q) q.86 (8) a absoluní hodnoa vekoru rychlosi v m/sec V X T X.59

24 4 FEKT VUT v Brně 8. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče zrychlení Planární manipuláor z následujícího obr. má délky ramen a =a =m. Na konci ramene a v bodě P jsou umísěny akceleromery. Akceleromer A x má svou cilivou osu v ose ramene a. Akceleromer A y má cilivou osu kolmou na osu ramene a. Obr. 8. Kinemaické schéma manipuláoru Manipuláor se pohybuje ve vodorovné rovině. Oba jeho klouby se pohybují v čase současně z počáečních hodno ( ) () do koncové polohy ( ) ( ) / konsanní úhlovou rychlosí. Vypočíeje zrychlení a x a a y, keré naměří oba akceleromery A x a A y. Uveďe analyické ormule pro výpoče veličin a x a a y a gray jejich časových průběhů pro,5 rad / sec. Řešení: Nejprve vypočíáme časové průběhy kloubových proměnných. Obě mají sejný časový průběh ( ) ( ) ( ) Z geomerie manipuláoru je zřejmé že pro polohu bodu P v sysému plaí x ( ) p y ( ) p cos sin ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) Derivací polohy podle času dosaneme rychlosi bodu P v sysému

25 Roboika sbírka příkladů 5 x ( ) p y ( ) p sin cos ( ) ( ) sin cos ( ) ( ) Derivací rychlosi podle času dosaneme zrychlení bodu P v sysému x ( ) p y ( ) p sin cos ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) sin ( ) cos ( ) 4 4 cos ( ) sin ( ) S pomocí maice roace okolo osy Z o úhel převedeme vekor zrychlení ze sousavy XY o do sousavy spojené s ramenem a. Dosaneme ak zrychlení keré naměří akceleromery a x cos sin x a y y x p p R ao y p sin cos p Po dosazení dosaneme pro zrychlení x p( ) cos 4 cos y p( ) sin 4 sin a x( ) cos 4cos 4 a y( ) sin 4sin4.5 ax ay.5 m/s s Obr. 8. Průběhy zrychlení keré naměří akceleromery

26 6 FEKT VUT v Brně 9. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče zrychlení Mějme planární manipuláor z předchozího příkladu. Oba jeho klouby se pohybují v čase současně z počáečních hodno ( ) () do koncové polohy ( ) ( ) / ak, že koncovou polohu dosáhnou v čase =.5 sec. Pohyb probíhá ak, že v čase = jsou rychlosi obou kloubových proměnných nulové a oba klouby mají konsanní zrychlení. Vypočíeje: ) Průběh polohy koncového bodu ramene robou v pracovním prosoru x, y ) Průběh rychlosi koncového bodu ramene robou v pracovním prosoru x, y ) Průběh zrychlení koncového bodu ramene robou v pracovním prosoru x, y 4) Průběh zrychlení koncového bodu ramene robou ve směru osy ramene a 5) Průběh zrychlení koncového bodu ramene robou ve směru kolmém na osu ramene a Výpoče zrychlení v případě 4 a 5 proveďe klasicky a s pomocí maic roace. U všech bodů uveďe analyické ormule pro výpoče veličin a gray jejich časových průběhů. Pozn. Koncový bod ramene robou P je na konci ramene a Řešení: Nejprve vypočíáme časové průběhy kloubových proměnných. Obě mají sejný časový průběh () Z koncové polohy a koncového času vypočíáme hodnou úhlového zrychlení,5 4 () edy ( ) () Vhodné je aké vypočía rychlos a zrychlení kloubových souřadnic ( ) 4 ( ) 4 ) Z () a geomerie manipuláoru je zřejmé (4) x ( ) p y ( ) p cos sin ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) (5)

27 y [m] [m] Roboika sbírka příkladů 7.5 xp.5 yp [sec] Obr. 9. Průběhy veličin x ( ) y ( ) p p x [m] Obr. 9. Průběh polohy koncového bodu ramene v pracovním prosoru ) Derivací (5) podle času dosaneme rychlosi x ( ) p y ( ) p sin cos ( ) ( ) sin cos ( ) ( ) (6)

28 [m/s ] [m/s] 8 FEKT VUT v Brně 5 yp d xp d [sec] Obr. 9. Průběhy rychlosí koncového bodu v pracovním prosoru ) Derivací (5) podle času dosaneme zrychlení x ( ) p y ( ) p sin cos ( ) ( ) cos sin ( ) ( ) sin ( ) cos ( ) 4 4 cos ( ) sin ( ) (6) 5 5 xp dd -5 - yp dd [sec] Obr. 9.4 Průběhy zrychlení koncového bodu v pracovním prosoru

29 [m/s ] Roboika sbírka příkladů 9 4) Zrychlení koncového bodu ve směru osy ramene (a pod ) a ve směru kolmém na uo osu (a kol ) dosaneme klasicky ak že vekory zrychlení x ( ) y ( ) promíneme kolmo do osy ramene a do osy na ni kolmé. Tedy p p a a pod kol x p x p cos( sin( ) ) y p y p sin( cos( ) ) (7) S pomocí maice roace okolo osy Z o úhel převedeme vekor zrychlení ze sousavy XY o do sousavy spojené s ramenem a a dosaneme sejný výsledek. a a pod kol x p cos( x ) sin( ) p R ao (8) y sin( ) cos( ) y p p akol 5-5 apod [sec] Obr. 9.5 Průběhy zrychlení koncového bodu ve směru ramene a a ve směru kolmém na oo rameno

30 FEKT VUT v Brně. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče zrychlení U vozíka ypu Segway, jehož schéma je uvedeno na přiloženém obrázku, je zapořebí měři úhel náklonu α. Pro měření éo veličiny byl doporučen jednoosý akceleromer, umísěný na rameni vozíka v bodě A, viz obr. Zjisěe jaké zrychlení naměří eno akceleromer při obecném pohybu vozíka když bude jeho cilivá osa leže a) v souřadnici X A b) v souřadnici Y A Obr.. Kinemaické schéma vozíka Segway Pozn. Při obecném pohybu plaí, že veličiny x i α mají nenulovou rychlos i zrychlení,.j. x, x,, jsou obecně nenulové. Řešení: Mezi sysémem a A plaí homogenní ransormace (pooočení kolem osy Z o 9 o -α). sin cos sin L cos H OA () cos x L sin Poloha bodu A v sysému je edy určena souřadnicemi x x Lsin y A A L cos () Rychlos a zrychlení bodu A v sysému jsou dány derivacemi

31 Roboika sbírka příkladů v v Ax Ay dx d dy d A A x L cos L sin () a a Ax Ay dv d dv d Ax Ay x L cos L sin L L cos sin (4) Zrychlení bodu A vyjádřené v souřadnicích A získáme s pomocí maice roace a A, A sin cos R x sin A x cos a A, cos sin L L x L cos L sin L sin L cos Akceleromer edy změří zrychlení (5) ke kerému musíme přida ješě průmě íhového zrychlení do os sysému A. V jednolivých osách edy akceleromer naměří zrychlení (5) V ose X A x sin L g cos (6) V ose Y A x cos L g sin (7)

32 FEKT VUT v Brně. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče zrychlení Na následujícím obrázku je v časovém okamžiku = nakreslena poloha dvoučlánkového mechanizmu. Člen se oáčí v roačním kloubu k kolem osy Z o proi směru hodin úhlovou rychlosí rad / sec. Člen se oáčí v roačním kloubu k kolem osy X proi směru hodin úhlovou rychlosí rad / sec. Mechanizmus je nakreslen v poloze. Rozměry mechanismu jsou l m l l,5m. Na konci členu v bodě P jsou nalepeny akceleromery ACC. Vypočíeje jaké zrychlení naměří yo akceleromery v osách X Y a Z. Uveďe posup výpoču, analyické vzorce pro výpoče zrychlení a nakreslee časové průběhy zrychlení v průběhu jedné oáčky v kloubu k. Obr.. kinemaické schéma dvoučlánkového roboa Řešení: Vzhledem k omu, že k řešení bude nakonec použi soware MATLAB jsou následující vzorce zapsány ve ormáu pro jeho přímé použií. V dalším edy znamená al ; be ; wa ; wb ; aa ; ab ; L l ; L l ; L l

33 Roboika sbírka příkladů Homogenní ransormace mezi jednolivými sysémy jsou H=[cos(al) -sin(al) ; sin(al) cos(al) ; ] H=[ ; cos(be) -sin(be) L; sin(be) cos(be) L ] %roace sys kolem osy Z o uhel al %roace sys kolem osy X o uhel be Homogenní pozice bodu P v sysému pak je P=[ L ] Homogenní pozice bodu P v sysému pak je P=H*H*P =[ -sin(al)*(cos(be)*l+l); cos(al)*(cos(be)*l+l); sin(be)*l+l; ] Pro konrolu vypočíáme souřadnice bodu pro al=be= P=[ ; L+L; L; ] Pro zjišění zrychlení bodu P musíme nejdříve zjisi jeho rychlos v sousavě. Budeme edy derivova jeho souřadnice podle času. (Je řeba si uvědomi, že půjde o derivace složených unkcí proože jak al ak be jsou unkce času.) Výsledkem derivace x y z složek polohy bodu P podle času edy bude rychlos VEL v sousavě. VEL= [ -cos(al)*wa*(cos(be)*l+l)+sin(al)*sin(be)*wb*l; -sin(al)*wa*(cos(be)*l+l)-cos(al)*sin(be)*wb*l; cos(be)*wb*l] Pro konrolu vypočíáme rychlos bodu pro al=be= VEL= [ -wa*( L+L); ; wb*l]

34 4 FEKT VUT v Brně Pro zjišění zrychlení musíme ješě derivova VEL podle času. (Je řeba si uvědomi, že půjde o derivace složených unkcí proože al; be; wa; wb jsou unkce času. Proože oáčivé rychlosi jsou konsaní budou jejich časové derivace aa=; ab=) ACC= [sin(al)*wa^*(cos(be)*l+l)+*cos(al)*wa*sin(be)*wb*l+sin(al)*cos(be)*wb^* L; -cos(al)*wa^*(cos(be)*l+l)+*sin(al)*wa*sin(be)*wb*l - cos(al)*cos(be)*wb^*l; -sin(be)*wb^*l] Pro konrolu vypočíáme zrychlení bodu pro al= be=9 ACC=[*wa*wb*L; -wa^*l; - wb^*l] Zrychlení měřené v sousavě je pak dáno průměem ACC a graviačního zrychlení do sousavy ACCg= [sin(al)*wa^*(cos(be)*l+l)+*cos(al)*wa*sin(be)*wb*l+sin(al)*cos(be)*wb^* L; -cos(al)*wa^*(cos(be)*l+l)+*sin(al)*wa*sin(be)*wb*l- cos(al)*cos(be)*wb^*l; -sin(be)*wb^*l-g] ACC=R'*ACCg = [*wa*sin(be)*wb*l; -cos(be)^*wa^*l-cos(be)*wa^*l-wb^*l-sin(be)*g; sin(be)*wa^*cos(be)*l+sin(be)*wa^*l-cos(be)*g] Pro konrolu: Naměřené zrychlení nezáleží na úhlu al. Pro be=9 dosáváme ACC= = [*wa*wb*l; -wb^*l-g; wa^*l] Časové průběhy naměřeného zrychlení pak pomocí MATLABu vypočíáme podle algorimu g=9.8 L= L=.5 L=L T=*pi/

35 az [m/s ] ay [m/s ] ax [m/s ] Roboika sbírka příkladů 5 =:.:T; wa= wb= al=*; be=*; ax= *wa*sin(be)*wb*l; ay= -cos(be).^*wa^*l-cos(be)*wa^*l-wb^*l-sin(be)*g; az= sin(be)*wa^.*cos(be)*l+sin(be)*wa^*l-cos(be)*g; subplo(,,) plo(,ax);grid subplo(,,) plo(,ay);grid subplo(,,) plo(,az);grid sec Obr.. Průběhy zrychlení, keré naměří akceleromery

36 6 FEKT VUT v Brně. Příklad Přímá úloha kinemaiky, výpoče zrychlení Na následujícím obrázku je v časovém okamžiku = nakreslena vodorovná plaorma, kerá se oáčí okolo pevné osy Z proi směru hodin oáčivou rychlosí rad / sec s oáčivým zrychlením rad / sec. Na plaormě je ve vzdálenosi m od její osym umísěno kolo o poloměru.5m keré se oáčí proi směru hodin sálou oáčivou rychlosí o / min. Souřadnice sředu kola O k v sysému, kerý je pevně spojen s plaormou jsou [;;,5]m. Sysém k je pevně spojen s kolem a oáčí se s ním. Vypočíeje rychlos a zrychlení bodu P na obvodu kola v zobrazeném okamžiku. Uveďe posup výpoču, analyické vzorce pro výpoče rychlosi a zrychlení, složky rychlosi a zrychlení v sousavě ad. Obr.. Kinemaické schéma mechanismu Řešení: Pomocí homogenních ransormací vyjádříme vzah mezi jednolivými souřadnými sysémy a posléze obecnou polohu bodu P v pevném souřadném sysému. p H H p R ( k z kx k k k ) d R ( ) d p () Kde R jsou maice roace mezi jednolivými sysémy a d jsou vekory posunuí mezi ěmio sysémy. Provedeme násobení () p R ( ) R ( ) ) d z kx z k k R ( d p () Odud pro polohu p dosáváme Jednolivé maice a vekory v () jsou zřejmě p Rz ( ) R kx( ) pk Rz ( ) d k d ()

37 Roboika sbírka příkladů 7 R d z ( ) cos sin d k sin cos.5 p k R kx (.5 ) cos sin sin cos (4) Po dosazení (4) do () dosáváme.5sin p.5cos cos cos (5).5sin cos V daném časovém okamžiku plaí ; viz. obrázek. Dosazením ěcho hodno do (4) a () resp. (5) dosáváme konkréní souřadnice bodu P v sysému pro eno časový okamžik..5.5 sin p.5 (6) Rychlos bodu P v sousavě získáme derivací polohy (), případně (5) podle času (časově proměnné argumeny roačních maic jsou pro jednoduchos vynechány) v (7) p ( RzR kx RzR kx) pk Rzd k Jednolivé derivace v (7) jsou R R z kx dr d dr d z kx sin cos sin cos cos sin cos sin (8) Po dosazení z (8) a (4) do (7) dosáváme.5 cos cos.5 sin sin cos v.5 sin cos.5 cos sin sin (9).5 cos V daném časovém okamžiku plaí ; / 6 rad / sec. Dosazením ěcho hodno do (7) resp. (9) dosáváme pro daný časový okamžik

38 8 FEKT VUT v Brně 5 v m / s ().57 Zrychlení bodu P v sousavě získáme derivací rychlosi (7) podle času (časově proměné argumeny roačních maic jsou pro jednoduchos vynechány) a v ( R ( R z z R R kx kx R R z R R z kx kx R zr R R z kx kx R ) p z k R R kx z ) p d k k R z d k () Druhé derivace maic v () jsou R R z kx dr d dr d z kx d R d d R d z kx sin cos sin cos cos sin cos sin cos sin cos sin sin cos sin cos () Po dosazení z (4), (8) a () do () dosáváme a.5(.5( cos sin sin cos )cos )cos cos sin sin sin.5 cos.5sin.5cos.5 ( sin ( sin sin cos cos ) ) cos sin () sin cos V daném časovém okamžiku plaí navíc ; rad / sec. Dosazením ěcho hodno do (),() resp. () dosáváme pro daný časový okamžik 7 a m / s (4) Zjišěné hodnoy zrychlení odpovídají základní yzikální předsavě. Zrychlení ve směru osy X je dáno angenciálním zrychlením bodu P (jeho abs. hodnoa je.5 ). Zrychlení bodu P ve směru osy Y je dáno dosředivým zrychlením v důsledku roace plaormy a dosředivým zrychlením v důsledku roace kola (abs. hodnoa je.5.5 ).

39 Roboika sbírka příkladů 9. Příklad Inverzní úloha kinemaiky, plánování dráhy Na následujícím obrázku je nakreslen planární robo se dvěma roačními klouby. Obr.. Kinemaické schéma planárního roboa Koncový bod K robou se má pohybova po kružnici ve směru šipky ak že v čase = je v bodě A a má nulovou rychlos. Do bodu se koncový bod pohybuje s konsanním angenciálním zrychlením a a od bodu do bodu A sejným způsobem zpomaluje, akže v čase = sec se opě dosává do bodu A a má nulovou rychlos. a) Vypočíeje analyický výraz pro průběh souřadnic x() a y() bodu K a nakreslee gray ěcho unkcí. b) Vypočíeje inverzní úlohu kinemaiky pro eno případ, j. analyický výraz pro průběh kloubových souřadnic q () a q (), kerý zajisí žádaný pohyb koncového bodu. Nakreslee gray ěcho unkcí. c) Nahraďe právě vypočíané průběhy q () a q () přirozenými kubickými splajny, ak, že splajny budou mí uzlové body odpovídající časům a bodům A,,,,A na kružnici. přehledně uveďe abulku koeicienů náhradních polynomů v jednolivých inervalech nakreslee gra kloubových souřadnic q () a q () keré nyní probíhají podle Vámi nalezených splajnů nakreslee gra x() a y() za předpokladu, že q () a q () probíhají podle Vámi nalezených splajnů nakreslee rajekorii y(x) koncového bodu K za předpokladu, že q () a q () probíhají podle Vámi nalezených splajnů. (pozn. Trajekorie musí procháze body A,,,,A) d) Nahraďe unkce x() a y() vypočíané v bodě a) přirozenými kubickými splajny ve sejných uzlových bodech a porovneje získané rajekorie y(x). Pozn. Rozměry na obrázku jsou uvedeny v cm. Na obrázku je uveden kladný směr počíání kloubových souřadnic. Inverzní úloha má řešení. Vole o řešení, keré dává poziivní hodnoy q. Výpoče splajnů je uveden v učebním exu Fajmon B.,Hlavičková I., Novák M.: Maemaika S.pd pro kurz BMA FEKT VUT v Brně.

40 4 FEKT VUT v Brně Řešení: a) Pro odlehlos bodu K od bodu A na kružnici při požadovaném pohybu plaí s( ) a pro ; R a( ) pro ; Pro odlehlos bodu od bodu A na kružnici plaí () R a a R () Pro úhel kerý svírá spojnice sředu kružnice s bodem K s osou x plaí Plaí edy s( ) ( ) () R x( ) 6 R cos( ) 6 s( ) R cos( ) R y( ) 4 Rsin( ) 6 s( ) Rsin( ) R b) S využiím vě pro výpoče rojúhelníků (m.j. věa sinová a kosinová) plaí, viz násl obr. (4) Obr.. Trojúhelník k řešení inverzní úlohy l x y cos sin arcg l y x l l l l sin l l arccos arcsin l l l l l sin l l (5)

41 Roboika sbírka příkladů 4 Odud q c) Uzlové body splajnů se nachází v časech,,,, Plaí (s využiím symerie úlohy) R a q Hodnoy q a q v ěcho uzlových bodech získáme dosazením časů (7) do rovnic (4) a následným dosazením hodno x a y do rovnic (5)-(6) Tabulka uzlových bodů pro výpoče splajnů [s] x [cm] y [cm] q [ o ] q [ o ] R a (6) (7) Koeicieny kubických polynomů a bx vypočeme podle doporučené lieraury cx dx vořících splajny kloubových souřadnic Koeicieny kubických polynomů pro q [ o ] čas. inerval d c b a Koeicieny kubických polynomů pro q [ o ] čas. inerval d c b a Požadované gray jsou uvedeny na následujících obrázcích. Červené průběhy jsou průběhy odpovídající splajnům.

42 y [cm] x [cm] q [o] q [o] 4 FEKT VUT v Brně cas [sec] cas [sec] Obr.. Časové průběhy kloubových souřadnic cas [sec] cas [sec] Obr..4 Časové průběhy karézských souřadnic

43 y [cm] Roboika sbírka příkladů x [cm] Obr..5 Průběh dráhy v pracovním prosoru d) Koeicieny kubických polynomů a b c a y vypočeme podle doporučené lieraury d vořících splajny karézských souřadnic x Koeicieny kubických polynomů pro x [cm] čas. inerval [s] d c b a ,68, 6,4 6, 7.7-,65 -,449-4, 8, -.989,65, -8,4 6, ,68,449-4, 4, Koeicieny kubických polynomů pro y [cm] čas. inerval [s] d c b a -7.7,57,,, ,6, 8,485 4, -.989,6-4,97, 6, ,57, -8,485 4,

44 y [cm] 44 FEKT VUT v Brně požadovaná rajekorie uzlové body splajn v kloubových souřadnicích splajn v karézských souřadnicích x [cm] Obr..6 Průběh dráhy v pracovním prosoru

45 Roboika sbírka příkladů Příklad Inverzní úloha kinemaiky Na následujícím obrázku je nakresleno kinemaické schéma eodoliu kerý má sledova leící objek. XYZ je souřadný sysém pevně spojený se Zemí. XYZ T je souřadný sysém spojený s eodoliem, kerý se může oáče kolem osy Z a kolem osy Y T. Objek leí od severu konsanní rychlosí. m/s po přímce a je sledován od bodu A do bodu B. Souřadnice ěcho bodů jsou zadány v sysému XYZ, A=[;;-] T, B=[-;;-] T. Vypočíeje časové průběhy úhlů a. (Uveďe analyické výrazy a gra. Respekuje kladný směr os Z) Obr. 4. Kinemaické schéma eodoliu Řešení: Řešení má demonsrova chování mechanické sousavy v blízkém okolí singulární polohy. Do akové polohy se řešená sousava dosává pro 9 o. K řešení využijeme jednoduchou geomerii. Úhel Ψ je úhel, kerý svírá průmě L průvodiče leícího objeku do roviny XY o s osou X o, viz obr.. kde aan je unkce deklarovaná v Malab. V našem konkréním případě je aan( yx, ) (.) y x, ;sec (.)

46 46 FEKT VUT v Brně Úhel Θ je úhel mezi průvodičem leícího objeku a jeho průměem L do roviny XY o viz obr.. kde aan z L (.) L x y (.4) V našem konkréním případě je z= -. Po dosazení konkréních hodno dosaneme požadované graické průběhy úhlů. - B [x,y,z] A - O X o L Y o Z o Obr. 4. Ilusrace úlohy

47 deg Roboika sbírka příkladů psi hea sec Obr. 4. Časové průběhy kloubových souřadnic

48 48 FEKT VUT v Brně 5. Příklad Inverzní úloha kinemaiky Orienace léajícího roboa proi Zemi je dána řemi úhly kurzem Ψ sklonem Θ a náklonem Φ (viz obr.) a jim odpovídající maicí směrových cosinů resp. maicí roace R R.. Odvoďe výraz podle kerého vypočíáe maici R R ze znalosi úhlů Ψ, Θ, Φ.. Navigační sysém robou Vám oznámil maici R R Ror = vypočíeje jí odpovídající úhly Ψ, Θ, Φ. Obr. 5. Eulerovy úhly RPY V dalším plaí psi Ψ h Θ ii Φ Řešení:.

49 Roboika sbírka příkladů 49 Rz=[cos(psi) -sin(psi) sin(psi) cos(psi) ] Ry=[cos(h) sin(h) -sin(h) cos(h)] Rx=[ cos(ii) -sin(ii) sin(ii) cos(ii)] Ror=Rz*Ry*Rx = [cos(psi)*cos(h), -sin(psi)*cos(ii)+cos(psi)*sin(h)*sin(ii), sin(psi)*sin(ii)+cos(psi)*sin(h)*cos(ii)] [ sin(psi)*cos(h), cos(psi)*cos(ii)+sin(psi)*sin(h)*sin(ii), -cos(psi)*sin(ii)+sin(psi)*sin(h)*cos(ii)] [ -sin(h), cos(h)*sin(ii), cos(h)*cos(ii) ]. inverze s kladným znaménkem cos(θ) h=aan(-ror(,),sqr(-ror(,)^)) = o psi=aan(ror(,),ror(,)) = o ii=aan(ror(,),ror(,)) = o inverze se záporným znaménkem cos(θ) h=aan(-ror(,),-sqr(-ror(,)^)) = 6 o psi=aan(-ror(,),-ror(,)) = -7 o ii=aan(-ror(,),-ror(,)) = -5 o

50 5 FEKT VUT v Brně 6. Příklad Dynamika Planární manipuláor z následujícího obrázku se pohybuje ve verikální rovině ak, že jeho o jednolivé klouby vykonávají zrychlený pohyb z počáečních poloh () 9 ; r(),5m. Kloub φ se pohybuje se zrychlením ε=8 o /s, kloub r se pohybuje se zrychlením a=,5m/s. Vypočíeje jaké momeny, síly a výkony musí vyvinou moory v kloubech manipuláoru během jedné oáčky kloubu φ. Uveďe gray jejich časových průběhů a analyické výrazy pro jejich výpoče. Paramery manipuláoru jsou m =kg, m =,5kg, r =,m. Tíhové zrychlení g=9,8ms -. Dynamický model manipuláoru je m r m r m r m r m r r ( m r m r) g cos m g sin M F Pohyb kloubu φ se řídí rovnicí Jednu oáčku vykoná kloub za čas Obr. 6. Planární manipuláor o 9 pro ; 7 8 o 6 Rychlos kloubu a zrychlení kloubu se řídí rovnicemi Pohyb kloubu r se řídí rovnicemi Vysunuí kloubu v čase edy je r a.5; r a; r a r( ) a.5 m

51 [deg/s ] [deg/s] [deg] Roboika sbírka příkladů 5 Hodnoy ( ), ( ), ( ), r( ), r( ), r( ) dosadíme do dynamického modelu manipuláoru a vypočíáme časové průběhy M() a F(). M ( ) ( m r m r ) m r r ( m r m r) g cos F( ) m r m r m g sin Časové průběhy výkonů v jednolivých kloubech získáme podle rovnic W ( ) M ; W ( ) Fr m ii iid iidd [s] Obr. 6. Průběhy polohy, rychlosi a zrychlení kloubové proměnné φ

52 [W] [N] [W] [Nm] [m/s ] [m/s] [m] 5 FEKT VUT v Brně r rd rdd [s] Obr. 6. Průběhy polohy, rychlosi a zrychlení kloubové proměnné r M Wm W F [s] Obr. 6.4 Průběhy momenů, sil a výkonů v jednolivých kloubech

53 [Nm] [N] Roboika sbírka příkladů 5 5 serv. sila -5 dosrediva sila graviace [s] Obr. 6.5 Průběhy sil v kloubu r 6 4 m coriolis servacny momen - m graviace [s] Obr. 6.6 Průběhy momenů v kloubu φ

54 54 FEKT VUT v Brně 7. Příklad Dynamika a plánování dráhy Planární manipuláor z předchozího příkladu se pohybuje ve verikální rovině ak, že jeho koncový bod m se pohybuje po přímkové dráze z bodu [.5;;] do bodu [.5;;]. (Zadány jsou souřadnice [x;y;z]). Tuo dráhu má proje za sec. ak, že do poloviny dráhy bude maximálně zrychlova a od poloviny dráhy bude maximálně zpomalova. Vypočíeje jaké momeny a síly a výkony musí vyvinou moory v kloubech manipuláoru. Uveďe gray jejich časovýh průběhů. Paramery manipuláoru jsou m=kg, m=,5kg, r=,m, Dynamický model manipuláoru je m r m r m r m r m r r ( m r m r) g cos m g sin M F Řešení: Pohyb roboa probíhá v časovém inervalu až T =sec. Při pohybu roboa je souřadnice x koncového bodu konsanní, x=.5m a y se mění v inervalu od do y =m. Pro souřadnici y při požadovaném pohybu plaí T y a pro ; () T T y a at a pro ( ; T T Z první rovnice () vypočíáme při a y y požadované zrychlení pohybu 4y a () T Po dosazení numerických hodno dosáváme edy a=m/s. K řešení úlohy musíme vypočía inverzní úlohu kinemaiky. Pro daný manipuláor a časové průběhy veličin x a y plaí r x y (.5 ) pro pro T ; T ( ; T ()

55 Roboika sbírka příkladů 55 y arcg x arcg ( ) pro ; T (4).5 T arcg pro ( ; T.5 Pro výpoče sil a momenů budeme pořebova vypočía rychlosi a zrychlení kloubových proměnných. Rychlosi a zrychlení jsou níže vyjádřeny ve ormě použielné pro výpoče úlohy v MATLABu dr d T /(+^4)^(/)*^... pro ; (-)*(-4*+^)/(5-6*+*^-8*^+^4)^(/)... pro T ( : T d r d ^*(^4+)/(+^4)^(/)... pro T ; d d (-)*(-)*(^4-8*^+9*^-*+6)/(5-6*+*^-8*^+^4)^(/) T pro ( : T T */(+^4)... pro ; (4-*)/(+(-4*+^)^)... pro T ( : T d d T -*(-+*^4)/(+^4)^... pro ; *(7-8*+68*^-4*^+*^4)/(5-6*+*^-8*^+^4)^ T pro ( : T

56 [m/s ] [m/s] [m] 56 FEKT VUT v Brně Podobně jako v předchozím příkladu časové průběhy kloubových proměnných a jejich derivací dosadíme do rovnic dynamiky a dosaneme ak časové průběhy M a F. Z časových průběhů M, F a rychlosí odpovídajících kloubových souřadnic dosaneme požadované výkony jednolivých pohonů. Nepříjemný analyický výpoče derivací kloubových proměnných lze obejí numerickou dierencí. Průběhy získané pomocí numerické dierence jsou na následujících obrázcích uvedeny modře a jsou vypočíány pro krok času.sec [sec] [sec] [sec] Obr. 7. Časové průběhy souřadnice r a jejich derivací

57 [W] [Nm] [N] [deg/s ] [deg/s] [deg] Roboika sbírka příkladů [sec] [sec] [sec] Obr. 7. Časové průběhy souřadnice φ a jejich derivací [sec] [sec] [sec] Obr. 7. Časové průběhy F, M a výkonu (červeně je uveden výkon v souřadnici φ)

58 58 FEKT VUT v Brně 8. Příklad Dynamika a plánování dráhy Planární manipuláor z 7. příkladu se pohybuje ve verikální rovině ak, že jeho koncový bod m opisuje kruhovou dráhu o poloměru,4 m se sředem v bodě [,7;,7; ] z bodu [,7;,;] do sejného bodu [,7;,;] proi pohybu hodin. (Zadány jsou souřadnice [x;y;z] v merech). Tuo dráhu má proje za sec. ak, že do poloviny dráhy bude maximálně zrychlova a od poloviny dráhy bude maximálně zpomalova. Vypočíeje jaké momeny, síly a výkony musí vyvinou moory v kloubech manipuláoru. Uveďe gray jejich časových průběhů a analyické výrazy pro jejich výpoče. Paramery manipuláoru jsou m =kg, m =,5kg, r =,m, Dynamický model manipuláoru je m r m r m r m r m r r ( m r m r) g cos m g sin M F Řešení: Pro názornos si nakreslíme dráhu po keré má obíha koncový bod a polohu ramene v časech,, a sec. Obr. 8. Požadovaná dráha mechansmu Při pohybu roboa je dráha, kerou koncový bod urazí na kružnici od počáeční polohy dána rovnicemi s S a T a at a pro pro T ; T ( ; T () Kde S=πR je celková délka dráhy o poloměru R a T je celkový čas, za kerý má bod opsa celý kruh. Z první rovnice () vypočíáme při T S a s požadované zrychlení pohybu a 4S () T

59 Roboika sbírka příkladů 59 Po dosazení numerické hodnoy T dosáváme edy a S () Po dosazení z () do () a použií T dosaneme s S S pro pro (; ; (4) Vzdálenos bodu na kružnici od počáečního bodu pohybu může bý aké vyjádřena rovnicí s R S S s (5) Dosazením do (4) dosaneme pro pro ; (; (6) Pro souřadnice polohy koncového bodu roboa plaí x y,7,7 Rsin Rcos (7) Po dosazení za α z (6) ak dosáváme souřadnice polohy koncového bodu x pro,7,4sin( ) ;,7.4sin pro (; y pro,7,4cos( ) ;,7.4cos pro (; (8) K řešení úlohy musíme vypočía inverzní úlohu kinemaiky. Pro daný manipuláor a časové průběhy veličin x a y plaí

60 6 FEKT VUT v Brně r x y,7,4sin( ),7,4cos( ) pro ;,7.4sin,7.4cos pro (; (9) arcg y x arcg,7,4cos( ),7,4sin( ) pro ; () arcg,7.4cos,7.4sin pro (; Z ěcho časových průběhů bude pořeba vypočía derivace kloubových veličin, keré pak dosadíme do rovnic dynamiky. Vzhledem ke složiosi výrazů je rozumné provés eno výpoče numericky prosou dierencí vekorů r a φ vypočíaných např. v MATLABu podle vz. (9) a () s dosaečně malým a konsanním časovým krokem. Vypočíané časové průběhy kloubových veličin a jejich derivací jsou uvedeny na obr.. Vypočíané průběhy kloubových veličin a jejich derivací pak dosadíme do levých sran rovnic dynamiky a vypočíáme průběhy požadované síly a momenu. Hodnoy výkonů jednolivých pohonů jsou pak dány součiny dr d W r F W M () d d Vypočíané průběhy síly, momenu a výkonů jsou pak uvedeny na obr..

61 [deg/s ] [deg/s] [deg] [m/s ] [m/s] [m] Roboika sbírka příkladů 6.5 r rd rdd [s] 8 ii iid iidd [s] Obr. 8. Průběhy kloubových veličin

62 [W] [N] [W] [Nm] 6 FEKT VUT v Brně 5 M Wm F W [s] Obr. 8. Průběhy sil, momenů a výkonů v jednolivých kloubech

63 Roboika sbírka příkladů 6 9. Příklad Plánování dráhy Na následujícím obrázku je nakreslen planární manipuláor, kerý obsluhuje dopravník rovnoběžný s osou y. Na dopravníku je objek ideniikovaný bodem P. Koncový bod manipuláoru E se má seka s bodem P když eno dorazí do bodu Q. Dopravník se pohybuje konsanní rychlosí v ve směru osy y. Koncový bod manipuláoru se musí pohybova po přímce E Q rovnoběžné s osou x. V čase = je bod P v pozici P a koncový bod manipuláoru je v bodě E. Pohyb koncového bodu manipuláoru po přímce E Q musí bý akový, že časový průběh souřadnice x koncového bodu se řídí zákonem x()=a + b + c +d ak, že rychlos pohybu je nulová jak v čase = a ak v čase sekání obou bodů. Obr. 9. Schéma manipuláoru a pracovního prosoru Vypočíeje časový průběh souřadnice x kloubových souřadnic s a, kerý zajisí splnění zadání. Uveďe analyické ormule pro jejich výpoče a gray jejich průběhů v čase pro h=,5m, k=m a v=,m/s. Řešení: Nejprve vyřešíme úlohu plánování dráhy. Bod P dorazí do bodu Q v čase h v Trajekorie x() koncového bodu E roboa musí splňova následující podmínky

64 64 FEKT VUT v Brně x( ) x ( ) x( ) x ( ) k odud a b b c c d d c a b k b Z posledních dvou rovnic vyřešíme koeicieny a a b. a k v h b k v h Pro x() edy plaí x v v ( ) k k h h Z geomerie konigurace a roboa vyřešíme inverzní úlohu kinemaiky s( ) x ( ) h h aan x () Po dosazení numerických hodno h=,5m, k=m a v=,m/s získáme konkréní průběhy požadovaných hodno pro časový inerval až =5s.

65 h[deg] s[m] x[m] Roboika sbírka příkladů sec Obr. 9. Průběhy veličiny x a kloubových proměnných

66 66 FEKT VUT v Brně. Příklad Plánování dráhy Planární robo se pohybuje v rovině XY jako hmoný bod po parabole zadané rovnicí y x konsanní ečnou rychlosí v =. m/s. Pohyb je zahájen v poloze x() = a končí v poloze x( ) = m. Vypočíeje. Časové průběhy jeho souřadnic x() y() v inervalu <; >. Časové průběhy jeho rychlosí v ( ) v ( ) v inervalu <; >. Časové průběhy jeho zrychlení a ( ) a ( ) v inervalu <; > Nagreslee gray ěcho závislosí x x y y Řešení: Řešení je poněkud komplikovanější, proo využijeme symbolický oolbox Malabu a někeré oázky vyřešíme numericky. K řešení lze přisoupi dvěma způsoby a) Za paramer křivky zvolíme proměnnou x. Pak pro vyjádření délky křivky plaí x s( x) ( ) d F( x) F () 4 Výpoče primiivní unkce F v symbolickém oolboxu dá poměrně komplikovaný výraz >> syms x real >>F= in(sqr(+/4/x)) (x*(/(4*x) + )^(/)*(log(x + (x^ + x/4)^(/) + /8)/(x^ + x/4)^(/) + 8))/8 x ln x x 4 8 F( x) x 8 8 4x x x 4 Tao unkce není spojiá v x=. Její limiy zprava a zleva jsou >> limi(f,x,,'righ') >> limi(f,x,,'le') -log(8)/8=-.599 (*log())/8=.599 Délka křivky je edy sx=(x*(/(4*x) + )^(/)*(log(x + (x^ + x/4)^(/) + /8)/(x^ + x/4)^(/) + 8))/8+ log(8)/8

67 Roboika sbírka příkladů 67 b) Za paramer křivky zvolíme proměnnou y. Pak pro vyjádření délky křivky plaí x ( ) ( 4 ) ( ) () s y y d F y F Výpoče primiivní unkce F v symbolickém oolboxu dá výraz F=asinh(*y)/4 + y*(y^ + /4)^(/) asinh( y) F( y) y y 4 4 kerý je jednodušší a plaí pro něj F()=. Délka křivky pak je sy=asinh(*y)/4 + y*(y^ + /4)^(/) V obou případech pak můžeme sesavi abulku, ze keré dokážeme numericky zjisi pořebné závislosi. i x y s d vx vy ax ay kde d( i) s( i ) s( i) / v i,,... ( i ) ( i) d( i) () i,,... vx( i) x( i ) x( i) / d( i) i,,... ax( i) vx( i ) vx( i) / d( i) i,,... vy( i) y( i ) y( i) / d( i) i,,... ay( i) vy( i ) vy( i) / d( i) i,,... Dělení, resp. krok abulky musí bý dosaečně jemný. Klíčový je výpoče d(i). Časové průběhy jednolivých veličin pro krok veličiny x.m jsou uvedeny na následujícím obrázku. Čas za kerou je dráha vykonána je 6.6 sec.

68 m/s m 68 FEKT VUT v Brně 8 s x y vx vy ax ay sec Obr.. Průběhy polohy, rychlosí a zrychlení roboa