SYNTÉZA MEMRISTIVNÍHO SYSTÉMU S PŘEDEPSANÝM TYPEM HYSTEREZNÍ SMYČKY

Transkript

1 D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému Roč. 7 (4) Čílo SYNTÉZA MEMRSTNÍHO SYSTÉMU S PŘEDEPSANÝM TYPEM HYSTEREZNÍ SMYČKY Prof. ng. Dalibor Biole, CS.,, ng. Zdeně Biole, Ph.D., ng. iera Biolová, Prof. Dr. ng. Zdeně Kola, ng. Zdeně Kinl, Ph.D., ng. Tomáš Tea Katedra eletrotehniy; Faulta vojenýh tehnologií, UO Brno, dalibor.biole@unob.z Útav miroeletroniy; Faulta eletrotehniy a omuniačníh tehnologií, UT Brno, biole@fee.vutbr.z Útav radioeletroniy; Faulta eletrotehniy a omuniačníh tehnologií, UT Brno, {biolova, ola}@fee.vutbr.z Abtrat článu je navržen jeden z možnýh potupů zíání modelu memritivního ytému, terý by za podmíne definovaného buzení harmoniým ignálem vyazoval hyterezní myču v ouřadné outavě napětí-proud předepanými vlatnotmi. Při yntéze e využívá nově odhalenýh ouvilotí mezi matematiým modelem obeného memritivního ytému, petrálním ložením napětí a proudu na voráh memritivního ytému a typem přílušné hyterezní myčy. Popaná yntéza je prvním roem návrhu memritivníh ytémů pro onrétní nelineární analogové apliae. Klíčová lova: memritivní ytém, memritor, petrum, hyterezní myča Abtrat One poible proedure of obtaining the model of a memritive ytem, exhibiting v-i pinhed hyterei loop with preribed parameter under ondition of defined exitation by a inuoidal ignal, i propoed. Newly diloed onnetion between the mathematial model of general memritive ytem, the petral ontent of terminal voltage and urrent and the type of the pinhed hyterei loop are utilized for the ynthei. The method deribed i a firt tep toward deigning memritive ytem for onrete non-linear analog appliation. Keyword: memritive ytem, memritor, petrum, pinhed hyterei loop Úvod ývoj nanooučáty v laboratoříh Hewlett Paard v roe [], připomínajíí vým hováním memritor, ideální obvodový prve, zavedený do teorie obvodů v roe 7 L. Chuou [], iniioval intenzívní výzumné práe v oblati memritivníh ytémů [] zejména měrem vývoji nevolatilníh pamětí pro počítačový průmyl [4]. Protože vša memritor je analogovým obvodovým prvem, byla publiována i řada tudií o poteniálníh apliaíh memritivníh ytémů pro analogové zpraování ignálů [5], []. Protože tyto ytémy doud nejou běžně dotupné jao omerční produty, významnou roli ve výzumu hrají především jejih modely pro imulae v protředíh imulačníh programů typu SPCE a dalšíh [7], [], případně jejih hardwarové emulátory [], []. Práe e oftwarovými či hardwarovými modely memritivníh ytémů vyházejí z toho, že model je vytvořen na záladě opírování vyrobeného memritivního ytému, případně na záladě napodobování harateritiýh poznávaíh znamení ideálního obvodového prvu. Poroy v nanotehnologiíh vša vedou tavu, terý umožní návrh a realizai memritivního ytému předepaným hováním. Objevují e napřílad práe, popiujíí HP memritor e peiálně upravenou geometrií, terá umožní yntézu memritoru nelineární závilotí memritane na integrálu vorového napětí [], []. Práe tohoto typu, zabývajíí e íleným návrhem memritivního ytému, terý by vyazoval předepané vlatnoti, využitelné pro onrétní apliae, e vša objevují velmi poradiy. Typiým poznávaím znamením memritivního ytému je jeho řípnutá hyterezní myča (pinhed hyterei loop) v ouřadné outavě napětí-proud, terá je dobře pozorovatelná za podmíne periodiého buzení []. Hyterezní myčy mohou nabývat různýh peifiýh tvarů i pro daný onrétní ytém za různýh podmíne jeho buzení a mohou záviet i na výhozím vnitřním tavu ytému [4]. Analýzou myče a jejih harateritiýh parametrů lze zíat řadu informaí o memritivním ytému. Napřílad podle harateru hování myčy v oolí počátu ouřadné outavy napětí-proud mohou být myčy buď typu (řížení ramen myčy) nebo typu (doty bez řížení) [4]. deální memritor podle Chuy [] vyazuje pouze myčy typu, teré naví muí být ymetrié (tzv. lihá ymetrie). O myčáh typu e začalo hovořit doela nedávno [4] v ouviloti e tudiem termitorů jao peiálníh případů memritivníh ytémů. Uazuje e, že myčy typu jou harateritié pro memritivní ytémy, jejihž memritane závií na výonu, tedy oučinu napětí a proudu [5]. Jde o přílad, dy z harateru hyterezní myčy lze uuzovat na truturu matematiého modelu memritivního ytému. Toho lze využít pro potřeby yntézy taového modelu, terý by byl hopen generovat předepaný typ hyterezní myčy. Protože hyterezní myča memritivního ytému je Liajouův obraze, ložený z periodiýh ignálů typu u (napětí) a i (proud), nabízí e analyzovat ouvilot mezi typem, případně tvarem myčy a petrálním ložením ignálů, teré ji vyrelují. ýhodou tohoto přítupu je znalot petra odezvy (napřílad proudu) na buzení (napřílad napětí), teré lze tvarovat volbou vhodné myčy ta, aby to bylo optimální pro danou apliai (napřílad vytvoření dominantní vyšší harmonié pro náobič mitočtu). Protože memritivní ytém zavádí nelineární zrelení ignálu, zejména v režimeh typu hard withing, objevují e práe, zabývajíí e analýzou tohoto zrelení, zejména v mitočtové oblati. [] je uázáno, že ve petru odezvy memritivního ytému na inuové buzení mohou být za jitýh podmíne zatoupeny významné vyšší harmonié ložy, ož je poteniálně využitelné e ontrui analogovýh ytémů, praujííh na prinipu obohaení petra nelineárním obvodem a náledné mitočtové filtrai. článu [7] je tudováno generování druhé a vyššíh harmoniýh lože v odezvě paivního memritoru na harmonié buzení v onfiguraíh ja jedním

2 Roč. 7 (4) Čílo D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému 7 memritorem, ta i čtveřií memritorů v můtovém zapojení. Je uázáno, že v porovnání laiými zapojeními diodami mohou memritivní obvody vyazovat podtatně vyšší poměry výonů vyššíh harmoniýh ve vztahu výonu budiího ignálu. Tento článe uazuje jednoduhý přílad yntézy memritivního ytému, terý je hopen generovat hyterezní myču tzv. dotyem vyššího řádu v počátu. Při yntéze e využívá poznatu, že tento typ dotyu je možný pouze při peifiém petrálním ložení proudu memritivním ytémem. Uvedená metodia je využitelná i pro různé modifiae zadání a louží jao úvodní tudie do problematiy yntézy memritivního ytému předepaným typem hování. Teoretiá výhodia yntézy Uvažujme memritivní ytém. řádu řízený napětím, popaný portovou a tavovou rovnií i ( t) g( x, v( t), () dx f ( x, dt. () Zde i, v a x jou obvodové proměnné typu proud, napětí a vnitřní tavová proměnná, g je memdutane a f je po čáteh pojitá fune. Závěry z tohoto článu lze použít i pro duální případ memritivního ytému řízeného proudem. S výjimou peiálníh případů, jaým je zejména ideální memritor ve mylu jeho axiomatié definie [], je obor hodnot tavové proměnné x omezen na určitou podmnožinu R x reálnýh číel. Je to dáno prinipem fungování mem-ytému. Napřílad v známém modelu TiO memritoru [], [] je tavovou proměnnou normovaná šířa dopované vrtvy, terá může nabývat hodnot z intervalu (,). Předpoládejme, že v čae t začneme memritivní ytém, terý je v počátečním tavu x ϵ R x, budit ze zdroje inuového napětí o rovnii v(t) in(ωt), () de je amplituda, ω π/t je ruhový opaovaí mitočet, a T je opaovaí perioda. Dále e zabývejme pouze taovými memritivními ytémy (), (), u nihž za danýh podmíne dojde přehodu do periodiého utáleného tavu, popatelnému periodiou funí x(t) ϵ R x, jejíž záladní harmoniá loža bude mít opaovaí mitočet ω. Pa proud i v () bude periodiou funí čau, terou lze rozložit do Fourierovy řady i( t) [ o( t) + in( ωt ] + ) ω. (4) Sřípnutá hyterezní myča v ouřadniíh v i je Liajouovým obrazem, vyrelovaným inuovým napětím v a periodiým proudem i podle (), (4). Obráze hrnuje záladní laifiai bodů dotyu ramen myčy v počátu ouřadné outavy podle []. Kromě bodů dotyu typu a je vhodné dále rozlišovat, zda v bodeh dotyu jou trmoti ramen myčy různé nebo tejné. prvním případě hovoříme o dotyu nultého řádu (hodují e pouze ouřadnie řive v mítě dotyu), v druhém případě o dotyu vyššího řádu n neboli dotyu tangeniálním (n je nejvyšší řád hodnýh derivaí obou řive). Záladní podmínou právné fune memritivního ytému je nulový proud při nulovém napětí, neboli průhod hyterezní myčy počátem ouřadné outavy napětí-proud. Pro buzení () a odezvu (4) z toho vyplývá podmína pro oinové ložy proudu +. (5) Pro ideální memritor tomu přitupuje další obená podmína: je-li napětí vyjádřené lihou funí čau, pa i proud muí být lihou funí čau []. Z toho plyne zjednodušení petra proudu pro ideální memritor,,,,... () Z toho mimo jiné plyne, že ideální memritor buzený ignálem () nemůže vyazovat myčy typu []. Pro obený memritivní ytém omezení () neplatí. Obr.. a) b) ) d) Různé typy bodů dotyu: a), b) typ, ), d) typ ; b), ), d) doty vyššího řádu (n, tangeniální) []. Podle [] jou pro typ myčy ( nebo ) rozhodujíí velioti derivaí rozdílového ignálu i d (t) i(t)-i(t/-t) v čae podle hématu typ (n ): i d (t), di d (t)/dt typ (n ): i d (t), di d (t)/dt, d i d (t)/dt typ (n ): (7) i d (t), di d (t)/dt, d i d (t)/dt, d i d (t)/dt typ (n ): i d (t), di d (t)/dt, d i d (t)/dt, d i d (t)/dt, d 4 i d (t)/dt 4 Ze hématu je patrné, že myča typu () muí být vždy dotyem udého (lihého) řádu v počátu. Podle výše uvedeného tedy platí, že ideální memritory mohou při buzení () vyazovat pouze myčy typu dotyem udého řádu v počátu. yjádříme-li diferenční proud i d podle řady (4) a potupně derivujeme podle (7), dopějeme outavám rovni

3 D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému Roč. 7 (4) Čílo pro oinové a inové harmonié ložy proudu, teré muí být plněny pro daný typ myčy [5]:, +, (a) ( + ), + jejihž poračování závií na typu myčy: typ (n udé): typ (n lihé): n (), ( + ) n, (b) + n+ (). n ( + ), + () n, () n+ ( + ). + Porovnáním první rovnie v (a) podmínou (5) zjišťujeme, že i oučet oinovýh lože proudu udýh řádů e tejnoměrnou ložou muí být nulový: +. () Rovnie () a (5), případně () předtavují teoretiá výhodia pro yntézu memritivního ytému. Obený potup yntézy zore () pro udý nebo lihý řád dotyu n předtavují outavu n+ rovni o neonečně mnoha neznámýh, omezujíí podmínou ve tvaru nerovnoti (b), rep. (). Soutava má neonečně mnoho řešení, terým odpovídá neonečně mnoho různýh memritivníh ytémů danou petrální ladbou proudu při inuovém buzení (). Úolem je nalezení modelu ytému e myčou doteem n-tého řádu, terý vybereme z uvedené množiny na záladě dalšíh onrétníh omezujííh podmíne. Přílady omezujííh podmíne: ) Sytém muí být ideálním memritorem (poud je to ale prinipiálně možné, tedy jen pro udé n). ) Šířa páma proudu muí být o nejmenší. ) Součané plnění podmíne ) a ), poud je to prinipiálně možné. Syntézu přílušného memritivního ytému bez ohledu na řád dotyu je možné provét náledujíím potupem: a) ybereme množinu inovýh a oinovýh lože proudu, terá vyhovuje vzorům () pro daný řád dotyu n. b) Formálně zapíšeme memdutani ytému g jao poměr [ o( ωt) + in( ωt) ] i g. () v in( ωt) ) Koiny a iny víenáobnýh úhlů ωt vyjádříme pomoí inů a oinů jednoduhýh úhlů ωt. K tomu je možno využít řady známýh vzorů, napřílad [] o( ω t) T (o( ωt)), () in( ωt) in( ωt) U (o( ωt)), () de T a U jou Čebyševovy polynomy prvního a druhého druhu. Pa memdutane bude nelineární funí inu a oinu úhlu ωt: [ T (o( ωt)) + in( ωt) U (o( ωt)) ] g () in( ωt) Je tedy zřejmé, že čitatel () je moninným polynomem inů a oinů úhlu ωt a jao taový jej lze dále různě upravovat využitím známýh pouče typu in (α) - o (α). Do dalšího rou yntézy ta může vtupovat elá řada různýh tvarů vzorů (), teré povedou na různé modely memritivníh ytémů. šehny vša budou mít identié hování při dodržení onrétní podmíny (typ buzení a počáteční ta. šehny matematié úpravy muí být naproto oretní, neboli muí vyházet z identit, teré jou platné pro jaýoliv rozah argumentů funí. Napřílad známé identity in o, (4) o in (5) nejou oretní, protože odmonina generuje pouze nezáporné čílo. Koretní verze identit (4), (5) jou in gn(in) o, () o gn(o) in, (7) de gn je znaménová fune, terá je rovna pro ladný argument, - pro záporný argument a pro nulový argument. Koretně upravené vzore () mohou generovat třídu modelů memritivníh ytémů jednotným a oretním hováním za výše popanýh podmíne. d) Funi in(ωt) v oretně upraveném vzori () pro memdutani nahradíme podle () normovaným napětím, tedy v/, a funi o(ωt) tavovou proměnnou x. Memdutane () pa bude mít po přílušné úpravě tvar (). Pro tavovou proměnnou x bude platit difereniální rovnie dx ω v, x,, () dt de ω, jou parametry (tedy ontanty) budiího ignálu, použitého tvorbě hyterezní myčy. Koretní řešení této

4 Roč. 7 (4) Čílo D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému rovnie, tedy ignál o(ωt), zíáme při uvažování počáteční podmíny x. Rovnie () polu rovnií pro memdutani, terá je závilá na tavové veličině a napětí, již předtavují úplný matematiý model (), () navrženého memritivního ytému. Tento model je většinou nutné v závěrečné fázi optimalizovat ílem imálního možného zjednodušení. Záladní možnoti počívají v tranformai tavového popiu () (přehod na jinou tavovou proměnnou, terý by znamenal zjednodušení modelu), v úpravě výhozí formule () pro memdutani (detaily viz níže) nebo v dodatečné modifiai petrální ladby proudu, terá by vedla zjednodušení vzore pro memdutani (). 4 Přílad yntézy memritivního ytému e myčou dotyem. řádu Potup yntézy objaníme na příladu hledání modelu memritivního ytému, terý je hopen generovat při buzení () hyterezní myču typu dotyem. řádu. Pa vzore () pro petrální ložy proudu mají tvar: , , , () , () Odhlédneme-li od nerovnoti (), pa () je outava čtyř rovni o neonečně mnoha neznámýh. Jedná e ovšem o dvě nezávilé outavy rovni, tj. dvě rovnie pro oinové ložy a dvě rovnie pro inové ložy proudu: , , () , () 4 Každé netriviálního řešení outavy () je předtavováno minimálně trojií nenulovýh oinovýh lože proudu. yberme za tuto trojii harmonié ložy řádu, a 5 a předpoládejme, že všehny vyšší oinové ložy jou zanedbatelné. Pa () poytuje řešení v tvaru, 5, 5, 5, (), de je volný parametr. Toto řešení oučaně vyhovuje nerovnoti (). zájmu imálního zjednodušení yntézy v této první fázi uvažujme triviální řešení outavy (), tj. všehny inové ložy proudu budou nulové. Dále vynulujeme i všehny otatní ložy petra, na nihž nezávií plnění podmíne dotyu (). Po doazení () do () dotáváme pro memdutani g [ o( ωt),5o(ωt ) +,5o(5ωt )]. (4) in( ωt) S využitím () a po úpraváh vyjde g o( ωt)in ( ωt). (5) Nyní máme něoli možnotí, ja funím typu inu a oinu v (5) přiřadit tavovou proměnnou a budií napětí. Níže uvedeme tři z nih. a) g ( in( ωt) ) ( x, o( t) xv 4 ω, () b) g( x, o( ωt)( o ( ωt)) in( ωt), (7) x( x ) v ) g( x, o( ωt) ω / x( x ) gn( ( gn(in( ωt)) o ( t) ). () Rozborem vztahů () () pro memdutane zjitíme, že memdutane může nabývat ja ladnýh, ta i zápornýh hodnot. Pa by e přílušné hyterezní myčy vyrelovaly i mimo protor. a. vadrantu v ouřadné outavě napětí proud. Poud by měl být předmětem yntézy paivní memritivní ytém, potačí rozšířit čitatel () o vhodný člen, terý oučaně nenaruší podmíny dotyu. řádu () a (). Napřílad přidáním první inové harmonié dojde nálednému rozšíření vzore (5) pro memdutani g ω ) +. () o( t)in ( ωt olba první udé harmonié 5 >, () zajití paivitu ytému. Z hledia modelů ()-() má pa polední přidaný člen v () význam ladné fixní vodivoti, terá poouvá obor hodnot memdutane do intervalu ladnýh číel. Je zřejmé, že analogiým způobem je možné vyjít při yntéze z požadavů na inové, nioliv oinové petrální ložy proudu (rovnie ). Dopěli byhom ta další množině memritivníh ytémů evivalentním hováním za danýh podmíne. Navržené memritivní ytémy ()-() byly podrobeny analýze v SPCE. ýledy jou hrnuty v další čáti. 5 Simulae Pro ytémy () (), yntetizované v čáti 4, byly etaveny SPCE modely a provedeny imulae pro tyto numerié hodnoty parametrů:, f ω/(π) Hz, ma, 7 ma.

5 D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému Roč. 7 (4) Čílo Shéma, na jehož záladě byl etaven model memritivního ytému () pro implementai v SPCE, je uvedeno na obr.. Shémata pro další modely (7) a () jou pratiy hodná, liší e jen ve vzori pro proměnnou čát memdutane, terá je modelována řízeným proudovým zdrojem Gmem. Fixní čát je modelována rezitorem R.. []. *in(*π*f*time) - *v(x)*v(in)** in -. - a) R time [] - in Gmem G [ms] {/(7 - )} *π*v(in) vir _ Cint + x 5 Obr.. Gint F Cx limit(a*v(vir),-,) Ea.πaram A - x F ýhodio pro ontrui SPCE modelu memritivního ytému o rovniíh () a (). podní čáti obrázu je model difereniální rovnie (). Stavová proměnná x je modelována napětím uzlu x. Řízený zdroj Ea modeluje operační zeilovač v invertujíím zapojení, vytvářejíí apaitorem Cint převodní proudu zdroje Gint na napětí, teré je rovno čaovému integrálu proudu. Zeilovač má implementovánu limitaí výtupního napětí v intervalu -,, čímž je zabezpečena limitae tavové proměnné v tomto intervalu podle rovnie (). ýledy imulaí jou znázorněny na obr.. Z hyterezní myčy je dobře patrný její tangeniální harater v oolí počátu ouřadni. Spetrální analýza potvrzuje petrální ladbu proudu, terá vtupovala do proeu yntézy. šimněme i, že memdutane vyazuje dvojnáobný opaovaí mitočet oproti mitočtu budiího ignálu. Totožné výledy zíáme imulaí memritivníh ytémů (7) a () za tejnýh podmíne buzení a počátečního tavu x. Odlišné hování budou mít dané ytémy při jinýh parametreh modelu, odlišnýh od výhozího natavení {, F, x} {,, }. Zvlášť zajímavé hování je možné pozorovat u memritivního ytému (), dy vhodnou volbou parametrů lze doáhnout různýh peiálníh tvarů hyterezníh myče a jim přílušejííh petrálníh čar proudů. Syntéza ideálníh memritorů U ideálníh memritorů buzenýh ignálem () jou podle () všehny oinové petrální ložy proudu nulové. Pa lze vzore () pro memdutani reduovat na tvar g U (o( ω t)). () time [] v [] 4 [ma] [ma] - Obr.. 4 f [Hz] 4 f [Hz] ýledy imulaí modelu z obr. v SPCE: a) čaové průběhy napětí a proudu; b) čaový průběh memdutane; ) hyterezní myča typu dotyem. řádu v počátu ouřadni; d) a e) petrální čáry oinovýh a inovýh lože proudu. b) ) d) e)

6 Roč. 7 (4) Čílo D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému Při uvažování tavové proměnné x o(ωt), terá vyhovuje difereniální rovnii (), můžeme pát de g ( x) G U, () ( x) S S G,,, () jou ontanty, majíí význam dílčíh vodivotí, poměrů přílušnýh inovýh lože proudu. Pa memdutane přílušného ideálního memritoru závií pouze na tavové proměnné a je určována těmito vodivotmi, váhovanými přílušnými Čebyševovými polynomy druhého druhu. Navrhněme memritor, buzený ze inuového zdroje napětí () o amplitudě a mitočtu Hz, terý by generoval jedinou petrální ložu proudu, a to na mitočtu Hz. Jinými lovy, pouíme e o yntézu náobiče mitočtu o náobíím fatoru, terý by praoval bez nutnoti použití dodatečné mitočtové filtrae. Pa podle () a () bude platit 5 g( x) G U ( x) G (x x + ). (4) 5 x Pro SPCE imulai je možné opět použít model z obr. vyneháním rezitoru R a vzorem (4) pro proud řízeného zdroje Gmem. ýledy pro G jou uvedeny na obr. 4. Z obrázu je zřejmé, že memritor utečně generuje pouze šetou harmoniou proudu, ale memritor funguje jao ativní prve, protože jeho memdutane nabývá ja ladnýh, ta i zápornýh hodnot, a přílušná hyterezní myča e nahází ve všeh čtyřeh vadranteh. Odpomoí může být pounutí memdutane do ladnýh hodnot jejím doplněním o ladnou ontantní ložu G, napřílad ms. To ale podle vzore () znamená přidání dominantní první harmonié do petra proudu. Přílušné výledy imulaí jou uvedeny na obr. 5. Simulační experimenty uazují, že zajištění požadované fune navrženýh memritorů je nutné relativně přené dodržení výhozíh podmíne návrhu, tj. parametrů budiího ignálu a počátečního tavu paměti memritoru x.. []. [] G [ms] time [] - -. G [ms] time [] time [] time [] v [] v [] Obr. 4. ýledy imulaí modelu memritoru (4) jao náobiče mitočtu: čaové průběhy napětí a proudu, memdutane a hyterezní myča. Obr. 5. ýledy imulaí modelu (4) po jeho doplnění o vodivot ms: čaové průběhy napětí a proudu, memdutane G a hyterezní myča.

7 D. Biole a ol.: Syntéza memritivního ytému Roč. 7 (4) Čílo 7 Závěry článu jou naznačeny ouviloti mezi petrálním ložením proudu memritivním ytémem, buzeným inuovým napětím, a modelem ytému, tj. jeho tavovou rovnií a závilotí memdutane na tavu a na vorovém napětí. Přetože jou všehny závěry platné pro memritivní ytém řízený napětím, využitím prinipu duality je lze apliovat i na memritivní ytémy řízené proudem, buzené z proudového zdroje. Navržený potup yntézy je založen na něterýh zjednodušeníh. Jejih důledem je nalezení jen něterýh z mnoha memritivníh ytémů, teré vyhovují požadavům zadání. Navržené memritivní ytémy generují proudovou odezvu na inuové buzení v ohraničeném frevenčním pámu, ož vša vyplývalo ze záměrů yntézy, a tavová veličina je vybírána ta, aby odpovídala tavové veličině ideálního generiého memritoru []. Navrhovaná metoda vša vyhází z obenýh ouvilotí mezi harateritiami memritivníh ytémů a petrálním ložením jejih branovýh ignálů, taže v obě rývá poteniál přeonání uvedenýh omezení. Poděování Článe vznil v rámi ae COST C. ýzum je finančně podporován MŠMT grantem č. LD4. Literatura [] Struov, D. B., Snider, G. S., Stewart, D. R., William, R. S. The miing memritor found. Nature (London), vol. 45, May, p. -. [] Chua, L. O. Memritor The Miing Ciruit Element. EEE Tranation on Ciruit Theory, vol. CT-, No. 5, September 7, p [] Chua, L. O., Kang, S. M. Memritive Devie and Sytem. Proeeding of the EEE, vol. 4, No., February 7, p. -. [4] Perhin, Y.., Di entra, M. Memory effet in omplex material and nanoale ytem. Advane in Phyi, vol., no.,, p [5] Biole, D., Polrová, J. Analogové apliae memritivníh ytémů. Slaboproudý obzor, roční (), č. 4, [] Biole, D., Biolová,., Kola, Z. Memritive ytem for analog ignal proeing. n Pro. of SCAS 4, Melbourne, Autralia, 4, p [7] Biole, D., Di entra, M., Perhin, Y.. Reliable SPCE Simulation of Memritor, Memapaitor and Memindutor. Radioengineering, vol. (), no. 4, p SSN -5. [] Biole, Z., Biole, D., Biolová,. SPCE model of memritor with nonlinear dopant drift. Radioengineering, vol., no., Part, p. - 4, June. SSN -5. [] Biole, D. Memritor emulator. Kapitola v nize Memritor Networ (Ed. A. Adamatzy), Springer nternational Publihing, New Yor, USA, 4, p DO:.7/7----5_. [] Kim, H. et al. Memritor emulator for memritor iruit appliation. EEE Tran. on Ciruit and Sytem : Regular Paper, vol. 5, no.,, p 4-4. [] Bratovi, A. M., Stue, M., Yang, J., Wang, S. Y. Memritor with Aymmetri Eletrode. Patent Appliation No. PCT/US/5,.., Hewlett-Paard Development Company, L.P., Dotupné na: WO74. [] Biole, Z., Biole, D., Biolová,. Analytial Solution of Ciruit Employing oltage- and Current- Exited Memritor. EEE Tran. on Ciruit and Sytem : Regular Paper, vol. 5, no.,, p -. [] Chua L. O. f it pinhed it a memritor. Semiondutor Siene Tehnology, vol., 4, 4 (4pp). [4] Chua, L. O. Reitane withing memorie are memritor. Applied Phyi A, vol., no. 4,, p. 75-7, DO:.7/--4-. [5] Biole, D., Biole, Z., Biolová,., Kola, Z. Some Regularitie of the Spetral Content of the Repone of Memritive Sytem to Sinuoidal Exitation. n Pro. EEE Conf. EMS4 (Mathematial Modelling and Computer Simulation), Pia, taly, Ot. 4 (to be publihed). [] Joglear, Y. N., Meijome, N. Fourier Repone of a Memritor: Generation of High Harmoni with nreaing Weight. EEE Tran. on Ciruit and Sytem : Expre Brief, vol. 5, no.,, p [7] Cohen, G. Z., Perhin, Y.., Di entra, M. Seond and higher harmoni generation with memritive ytem. arxiv:.477v, [ond-mat.me-hall], t February. [] Biole, Z., Biole, D., Biolová,. Pinhed hytereti loop of ideal memritor, memapaitor and memindutor mut be 'elf-roing'. Eletroni Letter, vol. 47, no. 5,, p [] Biole, D., Biolová,., Kola, Z. Memritor Pinhed Hyterei Loop: Touhing Point, Part. n Pro. Applied Eletroni, Pilen, Czeh Republi, 4, p [] Biole, Z., Biole, D. How Can the Hyterei Loop of the deal Memritor Be Pinhed? EEE Tranation on Ciruit and Sytem : Expre Brief, vol., no. 7, 4, p [] Multiple-Angle Formula. Wolfram MathWorld, Dotupné na: AngleFormula.html.