Bodová a stejnoměrná konvergence
|
|
- Zdenka Černá
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Kapitola 1 Bodová a stejnoměrná konvergence Motivační otázky: 1 + x + x = 1 1 x. Můžeme tuto rovnici derivovat? Tj. platí 1 + 2x + 3x = Kdy lze zaměnit limitu a derivaci? Je limita spojitých funcí spojitá funkce? 1 (1 x) 2? Příklad 1.1 Nechť f n (x) = x n, x [0, 1]. Pak f(x) = lim n f n (x) je funkce daná předpisem f(x) = 0 pro x [0, 1) a f(1) = 1. Tedy v tomto případě limita spojitých funkcí není spojitá funkce. Definice 1.1 Nechť f n : M R a f : M R. Řekneme, že f n konvergují k funkci f bodově na množině M, jestliže x M je lim n f n (x) = f(x). Značíme f n M f. Definice 1.2 Nechť f n : M R a f : M R. Řekneme, že f n konvergují k funkci f stejnoměrně na množině M, jesliže ε > 0 n o N n > n 0 x M : f n (x) f(x) < ε. Značíme f n f (je-li množina M zřejmá z kontextu, tak používáme značení f n f, M nebo jen f n ). Řekneme, že řada v i(x) konverguje stejnoměrně na M k S(x), jestliže posloupnost jejich částečných součtů n v i(x) konverguje stejnoměrně k S(x) na M. 1
2 Poznámka 1.1 f n konvergují k funkci f bodově na množině M ε > 0 x M n o N n > n 0 : f n (x) f(x) < ε. Rozdíl je v prohození pořadí x a n 0. Zatímco u stejnoměrné konvergence volba n 0 nezávisí na bodu x (je pro všechna x stejná), u bodové konvergence záviset může. Poznámka 1.2 f n M f f n M f, f n f a f n f f n f. M 1 M 2 M 1 M 2 Pro ε > 0 n 1 N takové, že n > n 1 x M 1 : f n (x) f(x) < ε a n 2 N takové, že n > n 2 x M 2 : f n (x) f(x) < ε. Tedy n > max{n 1, n 2 } x M 1 M 2 : f n (x) f(x) < ε Cvičení 1.1 Nechť f n M omezená. Dokažte. f. Jsou-li všechny f n na M omezené, je také f na M Věta 1.1 Nechť f n f. Označme σ n = sup f n (x) f(x). M x M Pak f n f lim n σ n = 0. M Důkaz ( ) Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n > n 0 platí σ n = sup f n (x) x M f(x) < ε. Tedy pro každé x M a každé n > n 0 je f n (x) f(x) < ε, a proto f n konverguje k f stejnoměrně. ( ) Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n > n 0 a x M platí f n (x) f(x) < ε 2, tedy σ n ε 2 < ε. Věta 1.2 (B.C. podmínka pro ) Posloupnost funkcí f n je stejnoměrně konvergentní na M (existuje funkce f taková, že f n f) právě tehdy, když ε > 0 n N n, m > n 0 x M platí f n (x) f m (x) < ε (Bolzano-Cauchyova podmínka). Důkaz 2
3 ( ) Je-li posloupnost f n stejnoměrně konvergentní na M, pak existuje funkce f taková, že ε > 0 n o N n > n 0 x M: f n (x) f(x) < ε 2. Tedy f n (x) f m (x) = f n (x) f(x) + f(x) f m (x) f n (x) f(x) + f m (x) f(x) < ε n, m > n o, x M. ( ) Nejprve ukážeme bodovou konvergenci (tj. existenci limitní funkce f). Zvolme x M, pak platí B.C. podmínka pro posloupnost f n (x) (posloupnost reálných čísel), a proto je tato posloupnost konvergentní. Označme f(x) její limitu. Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že n, m > n 0 platí f n (x) f m (x) < ε 2 (B.C. podmínka). Tedy pro n > n 0 a libovolné x M platí f n (x) f(x) = f n (x) lim m f m(x) = lim m f n(x) f m (x) ε 2 < ε. Věta 1.3 (Weierstrassova) Nechť i N x M platí v i (x) w i (x). Pak w i(x) v i(x) a v i(x). Důkaz v i(x) právě tehdy, když platí B.C. podmínka pro posloupnost částečných součtů n v i(x). Zvolme ε > 0, pak existuje n 0 N takové, že m > n > n 0 x M platí n w i(x) m w i(x) = w n+1 (x)+w n+2 (x)+...+w m (x) < ε ( w i(x) a tedy platí B.C. podmínka). Jelikož v n+1 (x)+...+v m (x) v n+1 (x) v m (x) w n+1 (x)+w n+2 (x)+...+w m (x) < ε, tak platí B.C. podmínka i pro n v i(x) a n v i(x) a tedy jsou obě řady stejnoměrně konvergentní. Věta 1.4 Nechť f n je posloupnost funkcí a platí: Pak i) f n f, (a,b) ii) existuje vlastní limita lim x b f n (x), označme tuto limitu F n. a) Existuje vlastní limita F = lim n F n, 3
4 b) existuje vlastní limita lim x b f(x) a platí lim x b f(x) = F. Tedy lim lim f n (x) = lim n x b x b lim f n (x). n Důkaz a) Jelikož f n, tak platí B.C. podmínka, tedy pro každé ε > 0 n 0 N n, m > (a,b) n 0 x (a, b) : f n (x) f m (x) < ε. Pak 2 F n F m = lim x b f n (x) lim x b f m (x) = lim x b f n (x) f m (x) ε 2 < ε, tedy platí B.C. podmínka i pro posloupnost reálných čísel F n, a proto je tato posloupnost konvergentní, tedy existuje vlastní limita F = lim n F n. b) Zvolme ε > 0. Z bodů i), ii) a a) postupně máme, že n 1 0 N n > n 1 0 x (a, b) : f n (x) f(x) < ε 3, pro kažné n N δ n > 0 x (b δ n, b) : f n (x) F n < ε 3, n 2 0 N n > n 2 0 : F n F < ε 3. Pro n 3 > max{n 1 0, n 2 0} a x (b δ n 3, b) dostaneme f(x) F = f(x) f n 3(x) + f n 3(x) F n 3 + F n 3 F Tedy lim x b f(x) = F. f(x) f n 3(x) + f n 3(x) F n 3 + F n 3 F < ε. Důsledek 1.5 Nechť f n jsou spojité funkce na intervalu (a, b) a f n spojitá na (a, b). f. Pak f je (a,b) Důkaz Zvolme c (a, b), pak dle věty 1.4 platí lim n lim x c f n (x) = lim x c lim n f n (x). Tedy lim f(x) = lim lim f n(x) = lim lim f n (x) = lim f n (c) = f(c). x c x c n n x c n 4
5 Věta 1.6 Nechť f n je posloupnost reálných funkcí, které mají na intervalu J vlastní derivaci. Nechť dále platí: i) Existuje bod x J takový, že f n (x) je konvergentní. ii) f n. J Označme g = lim n f n, pak a) Existuje funkce f na J taková, že f n f na intervalu J a tato konvergence je navíc stejnoměrná na každé omezené podmnožině J o J. b) f = g na J. Jinak zapsáno Důkaz ( lim n f n (x)) = lim n f n(x). a) Nechť posloupnost {f n } konverguje v x 0 J o J a J o je omezená množina. Označme K = sup x Jo x x 0, pak pro libovolné x J o dostaneme f n (x) f m (x) = f n (x) f m (x) (f n (x 0 ) f m (x 0 )) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) f n (x) f m (x) (f n (x 0 ) f m (x 0 )) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) = [f n(ξ) f m(ξ)](x x 0 ) + f n (x 0 ) f m (x 0 ) = f n(ξ) f m(ξ) K + f n (x 0 ) f m (x 0 ), kde ξ (x, x 0 ) (nebo ξ (x 0, x)). Pro ε > 0 existuje n 1 0 N takové, že f n (x 0 ) f m (x 0 ) < ε pro všechny n, m > 2 n1 0 a existuje n 2 0 N takové, že f n(ξ) f m(ξ) < ε 1 pro všechny n, m > n 2 2K 0. Tedy f n (x) f m (x) < ε, pro všechna n, m > max{n 1 0, n 2 0} a pro všechna x J o. Tedy posloupnost {f n (x)} splňuje B.C. podmínku a proto je stejnoměrně konvergentní na J o. 1 Jelikož ξ je z omezené podmnožiny intervalu J a f n konverguje na omezené podmnožině stejnoměrně a tak pro něj platí B.C. podmínka viz věta 1.2 5
6 b) Nechť x J a označme φ n (h) = fn(x+h) fn(x), pak f h n(x) = lim h 0 φ n (h). Ukažme nejdříve stejnoměrnou konvergenci funkcí φ n. Zvolme ε > 0 a h > 0, pak φ n (h) φ m (h) = 1 h f n(x + h) f n (x) (f m (x + h) f m (x)) = f n(ξ) f m(ξ) < ε pro všechny n, m > n 0 a všechny h (0, h), kde ξ (0, h). Tedy φ n dle věty 1.2. S použitím věty 1.4 dostaneme g = lim n f n = lim n lim h 0 φ n (h) = lim h 0 lim n φ n (h) = lim h 0 lim n f n (x + h) f n (x) h = lim h 0 f(x + h) f(x) h = f (x). Příklad 1.2 Bodová konvergence v alespoň jednom bodě x 0 v předchozí větě je podstatná. Nechť f n (x) = x + n, pak f n(x) = 1, tedy f n(x) 1, ale přesto f n (x) nekonverguje. Věta 1.7 (limita a Riemannův integrál) Nechť f n (x) mají na [a, b] Riemannův integrál a f n f. Pak [a,b] Důkaz lim n b a f n (x)dx b lim n a b a f n (x)dx = b f(x)dx = lim V poslední rovnosti využíváme větu 1.1. lim a b n a b n a b n lim = lim a n b a f(x)dx. (f n (x) f(x))dx f n (x) f(x) dx sup f n (x) f(x) dx x [a,b] σ n dx = lim n (b a)σ n = 0. 6
7 Poznámka 1.3 Leibnizovo kritérium a Abel-Dirichletovo kritérium platí i pro stejnoměrnou konvergenci řad, pokud v předpokladech nahradíme konvergenci stejnoměrnou konvergencí a omezenost stejnoměrnou omezeností. Kde stejnoměrnou omezeností funkcí f n (x) na množině myslíme, že existuje K R takové, že pro všechny x M a všechny n N je f n (x) < K. 7
8 Kapitola 2 Mocninné řady v C Definice 2.1 n=0 a n(z z 0 ) n, kde a n, z, z 0 C nazýváme mocninnou řadou se středem v bodě z 0 a koeficienty a n. Substitucí u = z z 0 převedeme řadu do tvaru n=0 a nu n, což je řada se středem v nule. Věta 2.1 Nechť řada n=0 a nz n 1 konverguje pro z 1 0. Pak: a) Řada n=0 a nz n konverguje absolutně pro všechny z C, splňující z < z 1. b) Řady n=0 a nz n a n=0 a n z n konvergují stejnoměrně na každé množině M ρ = {z C : z ρ}, kde ρ < z 1. Důkaz zn z. Jelikož a 1 n n z1 n 0 (řada n=0 a nz n konverguje), tak je člen a n z1 n omezený, tedy a n z1 n < K a) Nechť z < z 1, pak a n z n = a n z1 n zn = a z1 n n z1 n R. Označme q = z z 1 < 1, pak a n z n < Kq n a jelikož je řada n=1 Kqn konvergentní, tak konverguje řada n=0 a nz n absolutně. b) Jelikož a n z n a n ρ n a řada n=0 a nρ n konverguje stejnoměrně 1. Tedy aplikací Weierstrassovy věty 1.3 dostaneme stejnoměrnou konvergenci pro řady n=0 a nz n a n=0 a n z n. 1 Konvergence plyne z bodu a), stejnoměrnost z faktu, že tato řada není řadou funkcí, ale řadou reálných čísel, a tedy konverguje stejnoměrně, jelikož se na její členy lze dívat jako na konstantní funkce. 8
9 Věta 2.2 Ke každé řadě n=0 a nz n existuje právě jedno R [0, ] takové, že platí: a) Je-li z > R, tak řada diverguje. b) Je-li z < R, tak řada konverguje. c) Řada konverguje stejnoměrně na množině M ρ = {z C : z ρ}, kde ρ < R. R pak nazýváme poloměr konvergence řady n=0 a nz n. Důkaz Definujme R = sup z C { z : n zn konverguje}. Ukážeme, že takto definované R má vlastnosti a), b) a c). a) Z definice R plyne, že R z pro všechna z C, ve kterých řada konverguje. Proto řada nekonverguje pro každé z > R. b) Je-li z < R, pak existuje z 1 C takové, že z < z 1 < R a řada a n z n 1 konverguje. Tedy konverguje řada a n z n dle věty 2.1 a). c) Je-li ρ < R, pak existuje z 1 C takové, že ρ < z 1 < R a řada a n z n 1 konverguje. Stejnoměrná konvergence na množině M ρ plyne z věty 2.1 b). Jednoznačnost R plyne z bodů a) a b). Jsou-li R 1 < R 2 takové, že oba splňují body a) a b), pak pro z C splňující R 1 < z < R 2 platí, že řada a n z n musí konvergovat z bodu b) aplikovaného na R 2 a zároveň musí divergovat dle bodu a) aplikovaného na R 1. Proto je poloměr konvergence R určen jednoznačně. Příklad 2.1 z n n=0, kde z C. Jelikož řada z n n! n=0 = e z konverguje n! pro všechna z C, tedy je poloměr konvergence R =. Konvergence není stejnoměrná v celé rovině, ale pouze v každé omezené podmnožině komplexních čísel. n=0 n!zn. Tato řada konverguje jen pro z = 0, tedy je poloměr konvergence R = 0. n=0 zn. Tato řada konverguje pro z < 1, tedy poloměr konvergence je R = 1. Oblast konvergence řad v tomto príkladu lze vyšetřit pomocí limitního podílového kritéria. 9
10 V předchozím příkladu jsme si ukázali příklady řad s různým poloměrem konvergence. V následujícím příkladu si ukážeme řady se stejným poloměrem konvergence, ale s různým chováním na hranici konvergenčního kruhu. Příklad 2.2 U všech řad v tomto příkladu je poloměr konvergence R = 1. n=0 zn. Pro bod z = 1 dostaneme řadu 1 =, tedy řada diverguje. Pro z = 1 dostaneme řadu ( 1) n, tedy oscilující řadu. z n n=1. Pro bod z = 1 dostaneme řadu 1 =, tedy řada diverguje. Pro n n z = 1 dostaneme řadu ( 1) n, tedy řada konverguje dle Leibnizova kritéria. n z n n=1, pak řada konverguje na celém konvergenčním kruhu (tedy pro všechna n 2 z = 1), jelikož 1 je konvergentní řada. n 2 Věta 2.3 Buď n=0 a nz n mocninná řada. Pak a) Je-li a n 0 a existuje-li následující limita, pak R = lim n a n a n+1. 1 b) Označme R = lim sup n. Poznamenejme, že máme-li na pravé straně rovnosti a n výraz 1, tak je R = 0 a pokud je na pravé straně výraz 1 je R =. 0 Důkaz a) Použijeme limitní podílové kritérium. Označme b n = a n z n, pak řada n=0 b n = n=0 a nz n b konverguje, jestliže lim n+1 b n b n < 1 a diverguje, jestliže lim n+1 n 1. Tedy z nerovnice b n+1 lim n b n = lim n a n+1 z n+1 a n z n = lim n a n+1 a n z < 1 dostaneme, že pro z < lim n a n a n+1 řada konverguje a pro z > lim n an a n+1 řada diverguje. Proto je poloměr konvergence R = lim n a n a n+1. b) Nechť z > R, pak lim n sup n z n a n 1 pro nekonečně mnoho n N, tedy posloupnost {a n z n } nemá nulovou limitu a proto řada diverguje (neni splněna nutná podmínka konvergence). Nechť z < R, tedy lim n sup n z n a n < 1. Proto existuje n 0 N a n q < 1 takové, že n > n 0 platí z n a n < q, tedy z n a n < q n n > n 0. Jelikož řada n=0 qn konverguje, tak konverguje i řada n=0 a nz n a řada n=0 a n z n. b n > 10
11 Věta 2.4 (Abelova) Nechť n=0 a nz n má poloměr konvergence R (0, ). Jestliže konverguje řada n=0 a nr n, pak a n z n na [0, R]. n=0 Důkaz Jelikož a n z n = a n R ( n z n. R) Jelikož řada an R n konverguje stejnoměrně 2 a posloupnost ( ) z n R je stejnoměrně omezená 3 a monotónní. Tak řada a n z n konverguje dle Abel-Dirichletova kritéria. Lemma 2.5 Řady n=0 a nz n a n=0 na nz n 1 mají stejný poloměr konvergence. Důkaz Označma R 1 poloměr konvergence řady n=0 a nz n a R 2 poloměr konvergence řady n=0 na nz n 1 Nechť z < R 2, pak a n z n = na n z n 1 z n. Jelikož z 0 (omezená a klesající), tak z konvergence řady n n=0 na nz n 1 plyne konvergence řady n=0 a nz n, takže R 2 R 1. Nechť z < R 1, pak existuje z 1 C takové, že z < z 1 < R 1. Tedy na n z n 1 = a n z n n = a z nz1 n n z z n z 1. Jelikož řada an z 1 n je konvergentní a posloupnost a n z z n z 1 je omezená 4, tedy řada na n z n 1 konverguje a proto je R 1 R 2. Z předchozích bodů dostáváme R 1 = R 2. Věta 2.6 Nechť R je poloměr konvergence řady n=0 a nx n. Pak tuto řadu můžeme libovolně derivovat a integrovat uvnitř intervalu ( R, R). 2 Je ( to řada konstantních funkcí. 3 z n R) 1 pro všechna z [0, R] 4 Je klesající pro n 1 ln z a jdoucí do nuly. z 1 11
12 Důkaz Je-li R poloměr konvergence řady i=0 a ix i, pak dle lemma 2.5 je to také poloměr konvergence řady i=0 ia ix i 1. Pro všechna 0 < R < R platí, že obě řady konvergují na [ R, R] stejnoměrně. Označme S n = n i=0 a ix i, a nechť x ( R, R) 5, pak ( ) ( ( ) n ) a i x i = lim S věta 1.6 n = lim (S n ) = lim a i x i n n n i=0 i=0 ( n ) = lim ia i x i 1 = ia i x i 1. n i=0 U integrování postupujeme obdobně. i=0 Důsledek 2.7 Mocninná řada je Taylorova řada svého součtu. Důkaz Nechť S(x) = n=0 a nx n, pak S (k) (x) = n=k a nn(n 1)(n 2)...(n k + 1)x n k. Pro x = 0 dostáváme S (k) (0) = a k k! a k = S(k) (0) k!. 1 Příklad 2.3 Víme = 1 x n=0 xn 1 a = 1+x n=0 ( 1)n x n, kde rovnost platí pro x < 1, tedy poloměr konvergence je R = 1. Dle věty 2.6 lze obě řady integrovat na intervalu ( 1, 1). Pak dostaneme, že ( 1) n x n+1 ln(1 + x) = n + 1 n=0 + C, kde C je integrační konstanta. Po dosazení x = 0 dostáváme ln(1) = C = 0, tedy Jelikož řada ( 1) n+1 n=1 n ln(1 + x) = ( 1) n+1 x n. n n=1 konverguje dle Leibnizova kritéria, tak řada konverguje stejnoměrně na [0, 1] a tedy ln 2 = n=1 ( 1) n+1 n n=1 ( 1) n+1 x n n. Je třeba si uvědomit, že zde byla použita věta 2.6, která nám zaručuje rovnost ln(1 + x) = n=0 ( 1) n x n+1 n+1 na (1, 1) (pro x = 1 tato rovnost platí buď pokud větu 2.6 přeformulujeme tak, aby platila i v bodě R za předpokladu stejnoměrné konvergence na [0, R] a nebo pokud 5 Poznamenejme, že pro každé x ( R, R) existuje R < R takové, že x ( R, R). 12
13 uděláme v rovnosti limitní přechod pro x jdoucí zleva do jedné). Obecně nemusí platit, že Taylorova řada nějaké funkce f konverguje v této funkci na celém intervalu konvergence této řady. Tedy Taylorova řada pro funkci f sice může konvergovat v nějakém bodě x, ale její součet S(x) může být různý od funkční hodnoty f(x). 1 Příklad 2.4 = 1+x 2 n=0 ( 1)n x 2n pro x < 1. Integrováním dostaneme arctgx = ( 1) n x 2n+1 n=0. Pro x = 1 opět dostaneme konvergentní řadu dle Leibnizova kritéria, 2n+1 ( 1) n, tedy π = 4 ( 1) n 2n+1 n=0. 2n+1 takže π 4 = arctg(1) = n=0 Příklad 2.5 f(x) = (1 + x) p, pak f (n) (x) = p(p 1)...(p n + 1)(1 + x) p n, tedy (1 + x) p = ( p n=0 n) x n, pro x < 1 (až na výjimky (1 + x) 2 = 1 + 2x + x 2, tj, kdy p N). Zde používáme značení ( ) p n = p(p 1)...(p n+1) a ( p n! 0) = 1. ( 1 ) (1 + x) 1 2 = 2 x n = 1 + n n=0 = 1 + Pak n=1 17 = = 4 [ = ( 1 1)...( 1 n + 1) n! n=1 x n 1(1 2)...(1 2n + 2) x n = 1 + x 2 n n! 2 + n= = 4 [ ! ] ! n=2 ( 1) n (2n 3) x n 2 n n! ( 1) n (2n 3) 2 n n! ( ) ] n 1 16 (arcsinx) = 1 = ( ) 1 2 ( x 2 ) n = 1 x 2 n n=0 n=0 ( ) 1 2 ( 1) n x 2n n arcsinx = n=0 ( ) 1 2 ( 1) n x 2n+1 n 2n
14 Příklad 2.6 Rozviňte do mocninné řady 1 x 2 5x+6. 1 x 2 5x + 6 = 1 (x 2)(x 3) = 1 x x 2 = 3 = 1 3 = n=0 ( x ) n n=0 3 n+1 2 n+1 6 n+1 x n ( x ) n = 2 n=0 n=0 + 1 x 3 x n 3 + n x 2 n=0 x n 2 n+1 14
15 Kapitola 3 Funkce více proměnných 3.1 Metrické prostory Vzdálenost v R n. R n je množina uspořádaných n-tic (x 1,..., x n ), kde x i R n, i = 1,..., n. Definice 3.1 Zobrazení ρ(x, y) : M M [0, ), kde M R n se nazývá metrika (vzdálenost) na množině M, jestliže platí: 1) ρ(x, y) 0 x, y M, ρ(x, y) = 0 x = y, 2) ρ(x, y) = ρ(y, x) x, y, M, 3) ρ(x, y) + ρ(y, z) ρ(x, z) x, y, z M. Dvojici (M, ρ) nazveme metrický prostor. Příklad 3.1 d(x, y) = n (x i y i ) 2 je metrika na R n. Důkaz 1) d(x, y) 0 jelikož (x i y i ) 2 0. Je-li d(x, y) = 0 = n (x i y i ) 2, tedy n (x i y i ) 2 = 0 (x i y i ) 2 = 0 i = 1,..., n, proto x i = y i i = 1,..., n a tedy x = y. 2) Jelikož (x i y i ) 2 = (y i x i ) 2, tak d(x, y) = d(y, x). 3) Označme u i = x i y i a v i = y i z i, pak d(x, y) + d(y, z) = n (x i y i ) 2 + n (y i z i ) 2 = n (u i) 2 + n (v i) 2. Oveřme nerovnost d(x, y) + 15
16 d(y, z) d(x, z). d(x, y) + d(y, z)? d(x, z) (d(x, y) + d(y, z)) 2 = d(x, y) 2 + 2d(x, y)d(y, z) + d(y, z) 2? d(x, z) 2 n (u i ) n (u i ) 2 n n n (v i ) 2 + (v i ) 2? (u i + v i ) 2 n (u i ) n n (u i ) 2 (v i ) 2 + n n (v i ) 2? (u 2 i + 2u i v i + vi 2 ) 2 n n (u i ) 2 (v i ) 2? n (2u i v i ) ( n n n ) 2 (u i ) 2 (v i ) 2? u i v i. Stačí tedy ověřit, zda platí nerovnost n (u i) 2 n (v i) 2 ( n u iv i ) 2. Jelikož platí 0 n (u i +λv i ) 2 = n (u 2 i +2λu i v i +vi 2 λ 2 ) = n n n u 2 i +λ2 (u i v i )+λ 2 vi 2. Tedy polynom a + bλ + cλ 2, kde a = n u2 i, b = 2 n (u iv i ) a c = n v2 i má maximálně jeden kořen a tedy je jeho diskriminant D 0. ( n 2 0 D = b 2 4ac = 4 (u i v i )) 4 n u 2 i n v 2 i a tedy n n u2 i v2 i ( n (u iv i )) 2. Příklad 3.2 I. d 1 (x, y) = max,...,n x i y i je metrika. 16
17 1) d 1 (x, y) 0. Je-li d 1 (x, y) = max,...,n x i y i = 0, pak x i y i = 0 i = 1,..., n a tedy x = y. 2) Jelikož x i y i = y i x i, tak d 1 (x, y) = d 1 (y, x). 3) d(x, z) = max x i z i = max x i y i + y i z i max ( x i y i + y i,...,n,...,n,...,n z i ) max x i y i + max y i z i = d(x, y) + d(y, z).,...,n,...,n II. d 2 (x, y) = n x i y i je metrika. 1) x i y i 0 d 2 (x, y) 0. Je-li d 2 (x, y) = 0, pak x i y i = 0 pro všechny i = 1,.., 2 a tedy x i = y i i = 1,..., n x = y. 2) x i y i = y i x i d 2 (x, y) = d 2 (y, x). 3) x i z i = x i y i + y i z i x i y i + y i z i, tedy d 2 (x, y) + d 2 (y, z) = n x i y i + n y i z i = n x i z i = d 2 (x, z) n ( x i y i + y i z i ) Je dobré si uvědomit, že v jednodimenzionálním případě všechny tři uvedené metriky splývají, tedy platí d(x, y) = d 1 (x, y) = d 2 (x, y). Příklad 3.3 Diskrétní metrika d(x, y) = 1 pro x y a d(x, y) = 0 pro x = y. Ověřte, že jde o metriku. Příklad 3.4 Metriky se dají zavést i na obecnějších množinách, než je jen množina čísel. Je-li M množina funkcí definovaných na intervalu I, pak lze zadefinovat metriku třeba následujícím způsobem ρ(f, g) = sup f(x) g(x). Oveřte, že je ρ(f, g) metrika. x I Další způsob zavedení je pomocí L 1 normy. ρ(f, g) = f g L1 = f(x) g(x) dx. I Toto zavedení nesplňuje bod 1). Jelikož změna funkce jen v konečně mnoha bodech, nezmění se její vzdálenost od druhé funkce. Je-li tedy f = g až na konečně mnoho bodů (obecněji až na množinu nulové míry), tak je ρ(f, g) = 0, i když f a g nemusejí být stejné funkce. Pokud ale uvažujeme třeba jen spojité funkce, tak už tento problém nenastane. Definice 3.2 Nechť x n, x M a (M, ρ) je metrický prostor. Pak lim n x n = x lim n ρ(x n, x) = 0. 17
18 Obrázek 3.1: Jednotková kružnice v různých metrikách. 18
19 Definice 3.3 U ε (x) := {y M : ρ(x, y) < ε} nazveme okolí bodu x M. Definice 3.4 Množina V M je otevřená, jestliže pro každé x M existuje U ε (x) takové, že U ε (x) M. Tvrzení 3.1 U ε (x) je otevřená množina. Důkaz U ε (x) je otevřená množina y U ε (x) ε y > 0 takové, že U εy (y) U ε (x). Nechť y U ε (x), pak ρ(x, y) < ε. Označme ε y = ε ρ(x, y). Je-li z U εy (y), tak ρ(x, z) ρ(x, y) + ρ(y, z) < ρ(x, y) + ε y = ε, tedy z U ε (x). Věta 3.2 (Vlastnosti otevřených množin) i) a M jsou otevřené množiny. ii) Sjednocení libovolného systému otevřených množin je otevřená množina. iii) Průnik dvou otevřených množin je otevřená množina. 1 Důkaz i) je otevřená množina, jestliže y U ε (y) takové, že U ε (y). To platí, jelikož prázdná množina neobsahuje žádný prvek a tedy neexistuje žádné y, které by danou podmínku nesplňovalo. Jelikož U ε (y) M pro každé y M a ε > 0 (z definice), tak je i množina M otevřená. ii) Nechť x A i, tak existuje i takové, že x A i. Tedy existuje U ε (x) takové, že U ε (x) A i a tedy U ε (x) A i. iii) Nechť x A 1 A 2 ε > 0 a ε 2 > 0 takové, že U ε1 (x) A 1 a U ε2 (x) A 2, tedy U min{ε1,ε 2 }(x) A 1 A 2. Definice 3.5 Množina L M je uzavřená, jestliže M \ L je otevřená. Poznámka 3.1 Průnik uzavřených množin je uzavřená množina. Sjednocení dvou uzavřených množin je uzavřená množina. 1 Lze rozšířit na konečné průniky. 19
20 Důkaz Viz. vlastnosti otevřených množin a fakt, že M \ ( A i ) = (M \ A i ) a M \ ( A i ) = (M \ A i ). Poznámka 3.2 i M jsou otevřené i uzavřené množiny. Definice 3.6 Množina A M je omezená, pokud diam(a) := sup x,y A ρ(x, y) <. V opačném případě není množina A omezená. Definice 3.7 Množina všech limit posloupností {x n }, kde x n N se nazývá uzávěrem množiny N a značí se N. Příklad 3.5 Nechť N = (0, 1), pak ˆN = [0, 1] (uvažujeme-li Eukleidovskou metriku d(x, y) = (x y) 2 ). Je dobré si uvědomit, že konvergence a tedy i uzávěr je spojen s metrikou, kterou používáme. Neboť ta nám definuje pojem okolí. Zatímco použití metrik d 1 (x, y) a d 2 (x, y) by nám dalo stejný výsledek, při diskrétní metrice (příklad 3.3) by N = N = (0, 1). 2 Definice 3.8 Mějme (M, ρ) a (P, σ) dva metrické prostory. Zobrazení g : M P se nazývá spojité v bodě m M, jestliže U(g(m)) V (m) tak, že g(v (m)) U(g(m)). Označme E d := (R d, d), kde d(x, y) = n (x i y i ) 2 je Eukleidovská metrika, pak E d nazýváme Eukleidovský prostor prostor. V E d je okolí definováno U ε (x) = {y R d : d(x, y) < ε}. Věta 3.3 Konvergence v E d je konvergence po souřadnicích. Důkaz Nechť posloupnost {x n = [x 1 n,..., x d n]} konverguje v E d, pak existuje x R d takové, že pro každé ε > 0 existuje n 0 N tak, že d(x, x n ) < ε, n > n 0. Tedy x i n x i d(x n, x) < ε pro každé n > n 0. Nechť konverguje posloupnost {x n } po složkách, tedy pro každé ε > 0 existuje n i 0 N takové, že x i n x i < ε d, n > n i 0, = 1, 2,..., d. Nechť n 0 = max{n 1 0,..., n d 0}, pak d(x n, x) = d (xi n x i ) 2 < d ε 2 d = ε, pro všechna n > n 0. 2 V této metrice jsou konvergentní posloupnosti jen takové posloupnosti, které jsou od nějakého n 0 N konstantní. 20
21 Příklad 3.6 Uvažujme prostor posloupností P = {{x i }, x i R}. Jakou zvolit metriku na takovém protoru? Uvažujme posloupnost konstantních posloupností x n = { 1 n } a posloupnost samých nul y = {0}. Pak bychom asi očekávali, že x n y. Při metrice d(x, y) = (x i y i ) 2 ale takový výsledek nedostaneme, neboť d(x n, y) =, n N. Jedna z variant, jak v tomto případě volit metriku, je (x ˆd(x, y) = i y i ) 2. 2 i Definice 3.9 Buď f : M R, M E d, funkce f je definovaná na nějakém okolí U(m). Pak f je spojitá v bodě m M, jestliže ε > 0 δ > 0 tak, že d(m, x) < δ f(x) f(m) < ε. Poznámka 3.3 Pro funkce jedné proměnné máme spojitost zprava a zleva. Pro funkce více proměnných definujeme spojitost vzhledem k množině. f : M R, m Q M. f je spojitá v bodě m M vzhledem k množině Q, jestliže Příklad 3.7 V (f(m)) U(m) : (f(u(m) Q)) V (f(m)). f(x, y) = R 2 (x 2 + y 2 ). D f = {[x, y] : x 2 + y 2 R 2 }, f je spojitá na D f vzhledem k D f. Příklad 3.8 f(x, y) = x4 + y 4 x 2 + y 2. Tuto funkci lze spojitě dodefinovat v nule svou limitou lim [x,y] [0,0] f(x, y) = 0. Skutečně pro x = r sin φ a y = r cos φ dostaneme f(x, y) = r4 sin 4 φ+r 4 cos 4 φ 2r 2. Nechť r 2 ε > 0, pak pro δ = ε dostaneme, že pro (x, y) U 2 δ(0) = {(u, v) R 2 : u 2 +v 2 < δ 2 } platí 0 f(x, y) = f(x, y) < 2r 2 = 2(x 2 + y 2 ) < 2δ 2 = ε. Poznámka 3.4 Spojitost implikuje spojitost vzhledem k množině, tj. je-li f(x, y) spojitá v bodě [a, b], pak je spojitá v tomto bodě na každé přímce procházející tímto bodem. Příklad 3.9 Funkce f(x, y) = y = kx, pak f(x, kx) = xy x 2 +y 2 není spojitá v bodě [0, 0]. Uvažujme přímku kx2 = k. Tedy lim (1+k 2 )x 2 1+k 2 x 0 f(x, kx) = k. 1+k 2 21
22 3.2 Diferenciální počet funkcí více proměnných Parciální derivace, totální diferenciál a derivace ve směru Definice 3.10 Nechť je f definovaná na nějakém okolí U(a), a = [a 1,..., a d ] R d. Existuje-li vlastní limita lim h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a d ) f(a 1,..., a d ), h pak se nazývá parciální derivace funkce f v a podle proměnné x i a značí se f, f nebo f xi. Existuje-li parciální derivace funkce f xi (x 1,..., x d ) podle proměnné x j, pak tuto derivaci nazveme parciální derivací druhého řádu podle proměnných x i a x j a značíme ji 2 f x j nebo f xi,x j. Obdobně zadefinujeme parciální derivace n-tého řádu. Příklad 3.10 Nechť f(x, y) = x 2 y 3, pak f x (x, y) = 2xy 3 a f y (x, y) = 3x 2 y 2. Skutečně f x = lim h 0 f(x + h, y) f(x, y) h = lim h 0 [2xh + h 2 ]y 3 h = lim h 0 (x + h) 2 y 3 x 2 y 3 h = lim h 0 [2x + h]y 3 1 = 2xy 3. = lim h 0 [(x + h) 2 x 2 ]y 3 h Poznámka 3.5 Obecně záleží na pořadí, ve kterém derivujeme, tedy nemusí platit, že f xi,x j je rovna f xj,x i. Příklad 3.11 Nechť f(x, y) = x 2 y 3, pak f x (x, y) = 2xy 3, f y (x, y) = 3x 2 y 2 a f x,y (x, y) = 6xy 2 = f y,x (x, y). Tedy v tomto případě můžeme pořadí derivací zaměnit. Nechť Pak f x,y (0, 0) = y f(x, y) = xy, x > y, = 0, x y. ( ) f x (0, h) f x (0, 0) f(0, 0) = lim x h 0 h limĥ 0 f(ĥ,h) f(0,h) limĥ 0 f(ĥ,0) f(0,0) ĥ ĥ = lim h 0 h 0 0 limĥ 0 = lim lim ĥ 0 0 ĥ ĥ 0 ĥ = 0 h 0 h 22
23 ale f y,x (0, 0) = ( ) f y (h, 0) f y (0, 0) f(0, 0) = lim x y h 0 h limĥ 0 f(h,ĥ) f(h,0) limĥ 0 f(0,ĥ) f(0,0) ĥ ĥ = lim h 0 h limĥ 0 h ĥ limĥ 0 ĥ ĥ = lim = 1. h 0 h Tedy v tomto případě pořadí derivací prohodit nelze. Věta 3.4 Nechť f má spojité derivace až do řádu n na nějakém okolí U(a), pak nezáleží na pořadí, podle kterého derivujeme. Důkaz Důkaz provedeme jen pro funkci dvou proměnných f(x, y) a n = 2. Označme a = (a 1, a 2 ) a F (h) = f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 + h) + f(a 1, a 2 ) h 2. Pak dvojím použitím Lagrangeovy věty o střední hodnotě (nejdříve na rozdíl funkcí k(a 1 + h) k(a 1 ), kde k 1 (a 1 ) = [f(a 1, a 2 + h) f(a 1, a 2 )] a v x (0, 1) a pak na rozdíl funkcí f x (a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 ), v y (0, 1). Dostaneme F (h) = [f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 )] [f(a 1, a 2 + h) f(a 1, a 2 )] h 2 = k(a 1 + h) k(a 1 ) = k (a 1 + hv x )h h 2 h 2 = [f x(a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 )]h h 2 = f x(a 1 + hv x, a 2 + h) f x (a 1 + hv x, a 2 ) h = f x,y (a 1 + hv x, a 2 + hv y ). = f x,y(a 1 + hv x, a 2 + hv y )h h Obdobně lze postupovat pro g(a 2 ) = [f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 )]. 23
24 F (h) = f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 + h) + f(a 1, a 2 ) h 2 = [f(a 1 + h, a 2 + h) f(a 1, a 2 + h)] [f(a 1 + h, a 2 ) f(a 1, a 2 )] h 2 = g(a 2 + h) g(a 2 ) = g (a 2 + hv y )h h 2 h 2 = [f y(a 1 + h, a 2 + hv y ) f y (a 1, a 2 + hv y )]h h 2 = f y(a 1 + h, a 2 + hv y ) f y (a 1, a 2 + hv y ) h = f y,x (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = f y,x(a 1 + hv x, a 2 + hv y )h h f x,y (a 1, a 2 ) = lim h 0 f x,y (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = lim h 0 F (x) = lim h 0 f y,x (a 1 + hv x, a 2 + hv y ) = f x,y (a 1, a 2 ). Věta 3.5 (Věta o střední hodnotě) Nechť má funkce f v okolí bodu U(a) všechny první parciální derivace (vlastní). Pak x, y U δ (a) ξ i U δ (a), i = 1,..., d tak, že d f(x) f(y) = f(ξ i )(x i y i ), kde x = (x 1,..., x d ) a y = (y 1,..., y d ). Důkaz Důkaz pro jednoduchost provedeme pouze pro d = 2, tedy f : R 2 R. Nejdříve se zaměříme na to, zda pro x = (x 1, x 2 ) U δ (a) a y = (y 1, y 2 ) U δ (a) platí, že alespoň jeden z bodů (x 1, y 2 ) a (y 1, x 2 ) je také v okolí U δ (a). Jelikož x, y U δ (a), tak x a = 2 (x i a i ) 2 < δ a y a = 2 (y i a i ) 2 < δ. a) Je-li (x 2 a 2 ) 2 (y 2 a 2 ) 2, tak 2 (x i a i ) 2 (x 1 a 1 ) 2 + (y 2 a 2 ) 2, a proto (x 1, y 2 ) U δ (a). b) Je-li (x 2 a 2 ) 2 < (y 2 a 2 ) 2, tak 2 (y i a i ) 2 < (y 1 a 1 ) 2 + (x 2 a 2 ) 2, a proto (y 1, x 2 ) U δ (a). 24
25 Uvažujme nyní případ, kdy (y 1, x 2 ) U δ (a). f(x) f(y) = f(x 1, x 2 ) f(y 1, y 2 ) = f(x 1, x 2 ) f(y 1, x 2 ) + f(y 1, x 2 ) f(y 1, y 2 ) = f(ξ 1,1, x 2 )(x 1 y 1 ) + f(y 1, ξ 2,2 )(x 2 y 2 ) x 1 x 2 2 = f(ξ i )(x i y i ), kde ξ 1,1 (x 1, y 1 ), ξ 2,2 (x 2, y 2 ), ξ 1 = (ξ 1,1, x 2 ) a ξ 2 = (y 1, ξ 2,2 ). Jelikož (x 1, x 2 ), (y 1, x 2 ) U δ (a), tak i ξ 1 = (ξ 1,1, x 2 ) U δ (a) a obdobně i ξ 2 U δ (a). Věta 3.6 Nechť jsou všechny parciální derivace f pro a R d. Pak je funkce f spojitá v a. omezené na nějakém okolí U(a) Důkaz Připomeňme, že f je spojitá v a, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že x a < δ f(x) f(a) < ε a parciální derivace jsou omezené na okolí U(a), jestliže existuje K R takové, že f (x) < K x U(a) i = 1,..., d. Zvolme ε > 0, pak d f d f(x) f(a) = (ξ i )(x i a i ) f (ξ i )(x i a i ) < d K x i a i dk max,...,d x i a i dk x a. Chceme-li, aby ε > dk x a, stačí volit δ ε dk takové, že U δ(a) U(a). Potom f(x) f(a) < dk x a < dkδ ε x U δ (a). Definice 3.11 Nechť f je funkce definovaná na nějakém okolí U(a). Pak totální diferenciál d(f, a) funkce f v bodě a je lineární zobrazení d(f, a) : h = (h 1,..., h d ) d α i h i, 25
26 pro které platí f(a + h) f(a) = d α i h i + η(h), kde lim h 0 η(h) h = 0. Má-li funkce f v bodě a totální diferenciál, pak říkáme, že je v a diferencovatelná. Věta 3.7 Nechť existuje d(f, a), pak funkce f je v bodě a spojitá, existují všechny parciální derivace f Důkaz v bodě a a α i = f (a). Spojitost: Zvolme ε > 0. d d f(a + h) f(a) = α i h i + η(h) α i h i + η(h) ( d d ) α i h + η(h) = h α i + η(h) (K + 1) h, h kde K = n α i a h je dostatečně malé, aby η(h) < 1. Pak pro δ = ε h dostaneme, že f(a + h) f(a) < ε, tedy f je spojitá v a. f f(a + e i h) f(a) (a) = lim h 0 h = lim h 0 f(a 1,..., a i 1, a i + h, a i+1,..., a d ) f(a 1,..., a d ) h = lim h 0 α i h + η(h) h = α i + lim h 0 η(h) h = α i. K+1 26
27 Příklad 3.12 Nechť f(x, y) = x 2 y 3 a a = [1, 1], pak f x = 2xy 3, f y = 3x 2 y 2 a tedy kde h = (h 1, h 2 ). d(f, a)(h) = f x (1, 1)h 1 + f y (1, 1)h 2 = 2h 1 + 3h 2, f(1 + h 1, 1 + h 2 ) f(1, 1) = (1 + h 1 ) 2 (1 + h 2 ) 3 1 Tedy totální diferenciál je lineární část přírůstku. = (1 + 2h 1 + h 2 1)(1 + 3h 2 + 3h h 3 2) 1 = 2h 1 + 3h 2 + (h h 1 h ) = d(f, a)(h) + (h h 1 h ). Z definice totálního diferenciálu a věty 3.7 dostaneme f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + η(h) = f(a) + = f(a) + d f (a)h i + η(h), d α i h i + η(h) kde h = (h 1,..., h d ). Poznamenejme, že f(a) + d f (a)h i je tečná rovina k funkci f v bodě a. Definice 3.12 Nechť f : R d R n, f = (f 1,..., f n ) T. Pak d f 1 (a)h i kde d(f, a)(h) = A = f 1 x 1 (a) f n. d. f n (a)h i f 1 x 2 (a)... x 1 (a) je Jacobiho matice zobrazení f v a. = A h T, f 1 x d (a). f n x d (a) Poznámka 3.6 Z definic 3.12, 3.11 a věty 3.7 plyne, že pro funkci f : R d R n platí f(a + h) = f(a) + A h T + η(h) T, kde η(h) = (η 1 (h),..., η n (h)) : R d R n a lim h 0 η(h) h = (0,..., 0). 27
28 Věta 3.8 Nechť f : R d R n a g : R n R l, f má totální diferenciál v bodě a R d a g má totální diferenciál v bodě f(a). Označme d(f, a)(h) = A h T a d(g, f(a))(ĥ) = B ĥt. Pak g f má totální diferenciál v bodě a a platí d(g f, a)(h) = BA h T. Důkaz f(a + h) = f(a) + A h T + η(h) T, g(b + ĥ) = g(b) + B ĥt + ˆη(ĥ)T, η(h) lim h 0 h = 0, ˆη(ĥ) lim = 0. ĥ 0 ĥ g f(a + h) = g(f(a + h)) = g(f(a) + A h T + η(h) T ) = g(f(a)) + B(A h T + η(h) T ) + ˆη(A h T + η(h) T ) T = g(f(a)) + BA h T + Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T. Označme η(h) = Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T, pak η(h) lim h 0 h = lim Bη(h) T + ˆη(A h T + η(h) T ) T h 0 h = lim h 0 Bη(h) T h + lim h 0 ˆη(A h T + η(h) T ) T A h T + η(h) T jelikož A h T + η(h) T 0 pro h 0. Tedy g f(a + h) = g f(a) + BA h T + η(h), a tedy totální diferenciál g f v bodě a je d(g f, a)(h) = BA h T. A ht + η(h) T h η(h) lim h 0 h = 0, Důsledek 3.9 Nechť f : R d R n a g : R n R a nechť dále existují totální diferenciály d(f, a)(h) a d(g, b)(ĥ), kde b = f(a). Pak n g g f(a) = (f(a)) f j (a). x j j=1 28
29 Důkaz d(g f, a)(h) = BA h T = = ( g x 1 (f(a))... ( n j=1 g x n (f(a)) g x j (f(a)) f j x 1 (a)... ) n j=1 = ( x 1 g f(a)... x d g f(a) ) h T f 1 x 1 (a).... f n x 1 (a)... f 1 x d (a). f n x d (a) g x j (f(a)) f j x d (a) h T ) h T Definice 3.13 Nechť je funkce f : R d R definovaná na nějakém okolí U(a) bodu a R d a v = (v 1,..., v d ) je nenulový vektor. Pak f(a + h v) f(a) lim h 0 v h nazveme derivací funkce f v bodě a ve směru v a značíme ji f v (a).3 Poznámka 3.7 Z předchozí definice je vidět, že u směrové derivace nezáleží na velikosti vektoru v, ale pouze na jeho směru. Věta 3.10 Nechť má funkce f totální diferenciál v bodě a R d (Je diferencovatelná v a). Pak existuje derivace ve směru v a platí Důkaz f v (a) = d f (a)v i v f f(a + h v) f(a) f(a) + d(f, a)(h v) + η(h v) f(a) (a) = lim = lim v h 0 v h h 0 v h d(f, a)(h v) η(h v) d = lim + lim h 0 v h h 0 v h = lim α d ihv i = α iv i h 0 v h v = d f (a)v i v. 3 Někdy se v této definici uvažuje pouze jednotkový vektor ( v = 1), pak je derivace ve směru definovaná následující limitou lim h 0 f(a+h v) f(a) h. 29
30 Definice 3.14 Nechť má f všechny první parciální derivace v bodu a R d, pak vektor parciálních derivací ( f gradf(a) = f(a) = (a),..., f ) (a) x 1 x 1 nazveme gradientem funkce f v bodě a. Důsledek 3.11 Nechť má funkce f totální diferenciál v bodě a R d, pak f v gradf(a) v (a) =. v Tvrzení 3.12 (Vlastnosti gradientu) Nechť je f diferencovatelná v bodě a R d. Pak i) gradient gradf(a) je směr největšího růstu funkce f v bodě a, ii) gradient je kolmý na vrstevnici. Důkaz i) Hledejme směr určený vektorem v, ve kterém je parciální derivace největší, tedy směr nejvetšího růstu funkce f. Tedy f f (a) = max v u, u =1 u (a). Z předchozího důsledku víme, že f gradf(a) u (a) = = gradf(a) u, pro u = 1. u u Tedy max u, u =1 f (a) = max gradf(a) u = max gradf(a) u cos(α) u u, u =1 u, u =1 = max gradf(a) cos(α) = gradf(a), u, u =1 kde α je úhel mezi vektory u a gradf(a). Maximální hodnotu dostaneme, když cos(α) = 1, tedy α = 0, tedy vektor u má stejný směr jako gradient gradf(a) a proto v = gradf(a) a gradient určuje směr největšího růstu funkce f v a ii) Uvažujme vrstevnici k funkci f v bodě a, tedy parametricky zadanou křivku c : (x 1 (t),..., x d (t)), pro kterou platí: 30
31 a) že f(x 1 (t),..., x d (t)) = f(a), pro všechna t I (je to vrstevnice), b) existuje t 0 I takové, že (x 1 (t 0 ),..., x d (t 0 )) = a (prochází bodem a). Pak f(x 1 (t),..., x d (t)) = 0 (jde o konstantní funkci, viz bod a)), a tedy dle důsledku = f(x 1 (t 0 ),..., x d (t 0 )) = = ( f x 1 (a),..., f = gradf(a) ) (a) x d d f (a) t (t o) ( x1 ( x1 t (t 0),..., x 1 t (t 0) t (t 0),..., x ) 1 t (t 0) ). Proto je gradient kolmý na vektor ( x 1 (t t 0),..., x 1 (t t 0) ) a tedy kolmý na vrstevnici c. 4 Příklad 3.13 Uvažujme funkci dvou proměnných f(x, y), h = (h 1, h 2 ), a = (a 1, a 2 ) R 2 a nechť má funkce f všechny parciální derivace až do řádu n. Označme F (t) = f(a + th), pak F (0) = f(a) a F (1) = f(a + h). Dle pravidel o derivaci složené funkce (důsledek 3.9) dostaneme F (t) = f x (a + th)h 1 + f y (a + th)h 2, F (t) = 2 f x x (a + th)h f x y (a + th)h 1h f y x (a + th)h 2h f y y (a + th)h2 2 d F (n) n f (t) = (a + th)h i1 h i2... h in n Pak i 1,...,i n=1 kde η (0, 1). f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (0) 2! F (n 1) (0) (n 1)! 4 Vektor ( x 1 t (t 0),..., x1 t (t 0) ) určuje směr, kterým jde vrstevnice c z bodu a. + F (n) (η), n! 31
32 Definice 3.15 Nechť f má v bodě a R d spojité parciální derivace až do řádu n včetně. Diferenciálem n-tého řádu funkce f v bodě a rozumíme zobrazení d n (f, a)(h) = d i 1,...,i n=1 n f n (a)h i1 h i2... h in. Věta 3.13 Nechť f : R d R, a R d, h = (h 1,..., h d ) R d a A R d je otevřená množina splňující: Pak a, a + h A, fukce f má na A spojité všechny parciální derivace až do řádu n + 1. f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) 2! kde v (0, 1) dn (f, a)(h) n! + dn+1 (f, a + vh)(h), (n + 1!) Důkaz Zavedeme funkci F (t) = f(a+th), pak podobně jako v předchozím příkladu použijeme Taylorův rozvoj této finkce v nule. Tedy f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (0) 2! kde v (0, 1). = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) 2! F (n) (0) (n)! dn (f, a)(h) (n 1)! + F (n+1) (v) (n + 1)! + dn (f, a + vh)(h), (n + 1)! Lokální extrém funkce Definice 3.16 Nechť f : R d R je definovaná na okolí U(a), kde a R d. Pak i) f má v a lokální maximum, jestliže existuje okolí Û(a) takové, že f(x) f(a) x Û(a). Je-li f(x) < f(a) x Û (a), kde Û (a) = Û(a) \ {a}, tak jde o ostré lokální maximum. Podobně zadefinujeme lokální/ostré lokální minimum. ii) f má v a (ostré) lokální maximum vzhledem k množině M R d, jestliže existuje Û(a) takové, že f(x) f(a) x Û(a) M, (f(x) < f(a) x Û (a) M). 32
33 Věta 3.14 Nechť f má v a R d lokální extrém a existují všechny parciální derivace f v a, tak ( f gradf(a) = f(a) = (a),..., f ) (a) = 0. x 1 x d Důkaz Nechť f (a) 0, pak pro f (a) > 0 dostaneme f f(a (a) = lim 1,...,a i +h,...,a d ) f(a) h 0 > 0, tedy pro h dostatečně blízké nule platí h f(a 1,..., a i + h,..., a d ) > f(a) pro h > 0, f(a 1,..., a i + h,..., a d ) < f(a) pro h < 0. Tedy v každém okolí U(a) existují body x, y, pro které platí f(x) > f(a) > f(y) a tedy f nemá v a extrém. Obdobně pro f (a) < 0. Příklad 3.14 Nechť má funkce ( f(x 1, x 2 ) v a) R 2 spojité parciální derivace do řádu f řádu n = 2 a nechť f(a) = x 1 (a), f x 2 (a) = 0. d 2 (f, a)(h) = 2 f (a)h 1 h f (a)h 1 h f (a)h 2 h 2 x 1 x 1 x 1 x 2 x 2 x f = (a)h i h j. x j Pak dle věty 3.13 i,j=1 f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a + vh)(h) 2! = f(a) + d2 (f, a + vh)(h), 2! kde v (0, 1). Z této rovnosti se zdá, že o tom, zda má funkce f v a extrém rozhoduje tvar druhého diferenciálu. Přesneji tuto teorii formulujeme na následujících stránkách. Definice 3.17 Nechť Q(h) = d i,j=1 a i,jh i h j, kde a i,j jsou prvky symetrické matice A typu d d a h = (h 1,..., h d ) R d. Pak Q(h) nazýváme kvadratickou formou. Kvadratická forma Q(h) je 1) pozitivně definitní, jestliže Q(h) > 0 h 0, 33
34 2) pozitivně semidefinitní, jestliže Q(h) 0 h, 3) negativně definitní, jestliže Q(h) < 0 h 0, 4) negativně semidefinitní, jestliže Q(h) 0 h, 5) indefinitní, jestliže existuje h a ĥ takové, že Q(h) > 0 a Q(ĥ) < 0. Následující tvrzení uvedeme bez důkazu. Tvrzení 3.15 Kvadratická forma Q(h) určená maticí A = (a ij ) je pozitivně definitní, právě tehdy když jsou její hlavní minory matice A, tj. determinanty a 11, a 11 a 12 a 21 a 22,... a a 1d a d1... a dd = deta kladné. Kvadratická forma Q(h) je negativně definitní, právě tehdy když jsou její hlavní minory střídají znaménka a a 11 < 0. Příklad 3.15 Nechť f(x, y) = x 2 + y 2 a a = (0, 0), pak ) A = ( 2 f (a) x x 2 f (a) y x 2 f (a) x y 2 f (a) y y = ( Pozorování: Kvadratická forma Q(h) = d 2 (f, a)(h) = 2h 1 h 1 + 2h 2 h 2 = 2(h h 2 2) příslušné matice A je pozitivně definitní a funkce f má v a lokální minimum. 5 Pro f(x, y) = x 2 y 2 a a = (0, 0) dostaneme matici A = ( 2 f (a) x x 2 f (a) y x 2 f (a) x y 2 f (a) y y ) = ( Pozorování: Kvadratická forma Q(h) = d 2 (f, a)(h) = 2h 1 h 1 + = 2h 2 h 2 = 2(h h 2 2) příslušné matice A je indefinitní, jelikož Q(1, 0) = 2 > 0 a Q(0, 1) = 2 < 0 a funkce f nemá v a lokální extrém. Otázka: Platí obecně, že pozitivní definitnost (negativní definitnost) příslušné kvadratické formy, při splnění podmínky f(a) = 0, implikuje, že f má v a lokální minimum (lokální maximum)? A platí, že indefinitnost příslušné formy nám již říká, že funkce f v bodě a nemá extrém? Na tyto otázky nalezneme odpověď v následující větě. 5 Zde je možné vypozorovat podobnost s funkcí jedné proměnné, kde platilo f (a) = 0 a f (a) > 0, pak má funkce f v a lokální minimum. 34 ). ).
35 Věta 3.16 ( Nechť f má spojité ) parciální derivace až do řádu n = 3 na okolí U(a) a f f(a) = x 1 (a),..., f x d (a) = 0. Je-li kvadratická forma d 2 (f, a)(h) (Q(h)) i) pozitivně definitní, pak má f v a lokální minimum, ii) negativně definitní, pak má f v a lokální maximum, iii) indefinitní, pak funkce f nemá v a lokální extrém. Než provedeme důkaz této věty, tak si připravíme trochu teorie, která se nám bude k tomuto důkazu hodit. Tvrzení 3.17 M je uzavřená x n M, lim n x n = x implikuje, že x M. Důkaz ( ) Sporem: Nechť x n M, lim n x n = x, ale x M c, pak v každém okolí U(x) leží nějaký bod x n M, tedy celé okolí U(x) neleží v M c, proto M c neni otevřená množina a tudíž M není uzavřená. ( ) Sporem, nechť M není uzavřená, tedy M c není otevřená množina. Pak existuje x M c takové, že v každém okolí U δn (x), kde δ n = 1, existuje alespoň jeden n bod x n, který neleží v M c. Tedy x n M, x n x < δ n = 1, a proto x n n x M c. Což je ve sporu s předpokladem, že x n M, lim n x n = x implikuje, že x M. Definice 3.18 Množina A M je kompaktní z každé posloupnosti {x n }, x n A lze vybrat konvergentní podposloupnost {x nk } a platí lim k x nk = x A. Věta 3.18 Kompaktní množina je uzavřená a omezená. Důkaz (Uzavřenost) Nechť x n A a lim n x m = x. Jelikož je A kompaktní, tak existuje vybraná konvergentní posloupnost {x nk } taková, že lim k x nk = ˆx A. Jelikož vybraná podposloupnost z konvergentní posloupnosti má stejnou limitu, tak x = â A, tedy je A uzavřená. 35
36 (Omezenost) Sporem: Nechť není množina A omezená, pak diam(a) = sup x,y A ρ(x, y) =, tedy pro každé x 0 A je sup x A ρ(x 0, x) =. 6 Zvolme x 0 A, pak pro každé n N existuje x n A takové, že ρ(x 0, x n ) > n. Z posloupnosti {x n } vybereme konvergentní podposloupnost {x nk } a označme x její limitu, tedy x nk x. Pak ρ(x 0, x) = lim k ρ(x 0, x nk ) =, pak ale x neleží v A, jelikož vzdálenost dvou bodů v metrickém prostoru je vždy konečná. Tedy jsme došli ke sporu. Věta 3.19 Množina M R d je kompaktní (uvažujeme Eukleidovskou metriku) M je uzavřená a omezená. Důkaz ( ) Věta ( ) Nechť je M uzavřená a omezená, tedy existuje K takové, že x < K x M Nechť {x n } je posloupnost prvků x n = (x 1 n, x 2 n,..., x d n) M. Z omezenosti množiny M dostaneme, že reálná posloupnost prvních souřadnic {x 1 n} posloupnosti {x n } je omezená, a tedy dle Weierstrassovy věty existuje vybraná konvergentní podposloupnost {x 1 n k,1 }. Zaměříme se nyní na posloupnost druhých souřadnic vybrané podposloupnosti {x nk,1 }, tj. na reálnou posloupnost {x 2 n k,1 }. Tato posloupnost je omezená, a tak existuje vybraná konvergentní podposloupnost {x 2 n k,2 }. Poznamenejme, že podposloupnost {x 1 n k,2 } je konvergentní, protože je to podposloupnost konvergentní posloupnosti {x 1 n k,1 }. Obdobně z posloupnosti {x 3 n k,2 } vybereme konvergentní podposloupnost {x 3 n k,3 }. Tímto způsobem nakonec dostaneme konvergentní podposloupnost {x nk,d = (x 1 n k,d,..., x d n k,d )}. Že leží limita x = lim k x nk,d v M, plyne přímo z uzavřenosti množiny M a tvrzení Věta 3.20 Spojitý obraz kompaktní množiny je kompaktní množina. Důkaz Nechť f : M A je spojitá funkce, M je kompaktní množina a A = f(m). Nechť {y n } je posloupnost prvků z A, tedy y n A n N. Pak existují vzory této posloupnosti x n M, tj. y n = f(x n ). Jelikož je M kompaktní, tak z posloupnosti {x n } lze vybrat konvergentní podposloupnost {x nk } a navíc platí lim k x nk = x 6 Jelikož ρ(x, y) ρ(x, x 0 ) + ρ(x 0, y). 36
37 M. Označme y = f(x) A a zvolme ε > 0, pak existuje δ > 0 takové, že pokud x ˆx < δ, tak f(x) f(ˆx) = y f(ˆx) < ε (f je spojitá). Jelikož x nk x, tak existuje n 0 N n > n 0 x nk x < δ. Tedy f(x) f(x nk ) = y y nk < ε y nk y. Ukázali jsme, že z libovolné posloupnosti {y n } prvků množiny A lze vybrat konvergentní podposloupnost, jejíž limita lezí v A, tedy je množina A kompaktní. Důsledek 3.21 Spojitá funkce f : M A R na kompaktu nabývá svého minima i maxima. Důkaz Nechť f : M A, f je spojitá a M je kompaktní, tak z předchozí věty 3.20 víme, že A = f(m) je kompaktní. Tedy A je uzavřená a omezená (věta 3.18). Pak max y A = sup y A. Existence suprema plyne z omezenosti množiny A, existence maxima plyne z uzavřenosti množiny A. Nechť S = sup y A, pak pro každé n N existuje y n N takové, že S y n < 1 n, tedy y n S, a proto S A. Jelikož S A, tak existuje vzor tohoto bodu v M, tedy existuje x M takové, že f(x) = S = sup y A = sup x M f(x), proto f nabývá svého maxima v x. Obdobně provedeme důkaz pro minimum. Lemma 3.22 Nechť je kvadratická forma Q(h) pozitivně definitní, pak existuje β > 0 takové, že Q(h) > β h 2 h R d. Důkaz Připomeňme, že Q(h) = i,j α i,jh i h j je pozitivně definitní, když Q(h) > 0 h 0. Uvažujme kvadratickou formu Q na jednotkové sféře b(0, 1) = {x R d : x = 1}. Pak dle důsledku 3.21 nabývá Q na b(0, 1) svého minima. Označme β = min h b(0,1) Q(h) 2 > 0. Nechť h 0, pak Q(h) = d a i,j h i h j = i,j=1 d i,j=1 a i,j ( ) h i h j h h h h 2 = h 2 Q > h 2 β. h Nyní se vrátíme k důkazu věty Důkaz( Nechť f má spojité ) parciální derivace až do řádu n = 3 na okolí U(a), f f(a) = x 1 (a),..., f x d (a) = 0 a uvažujme kvadratickou formu Q(h) = d 2 (f, a)(h) = d 2 f i,j=1 x j (a)h i h j. 37
38 i) Nechť je Q(h) pozitivně definitní. Dle věty 3.13 dostaneme f(a + h) = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a)(h) + d3 (f, a + vh)(h) 2! 3! d f = f(a) + (a)h i + Q(h) d 3 f i,j,k=1 x + i x j x k (a + vh)h i h j h k. 2! 3! Tedy f(a + h) f(a) = d = Q(h) 2! f (a)h i + Q(h) d 3 f i,j,k=1 x + i x j x k (a + vh)h i h j h k 2! 3! + d3 (f, a + vh)(h). 3! Jelikož Q(h) je pozitivně definitní, pak dle lemma 3.22 Q(h) > h 2 β. Označme M = max 3 f i,j,k=1,...,d x j x k (a + vh), pak d 3 (f, a+vh)(h) d i,j,k=1 M h ih j h k Md 3 h 3. Dostáváme lim h 0 ( β f(a + h) f(a) = Q(h) 2! Md3 h 2! 3! okolí U(0)) platí + d3 (f, a + vh)(h) 3! ( ) β = h 2 2! Md3 h. 3! > β h 2 Md3 h 3 2! 3! ) = β > 0, tedy pro h dostatečně blízké nule (na nějakém 2! ) > 0, proto ( β Md3 h 2! 3! > β 4 f(a + h) f(a) > h 2 β 4 > 0, h 0. Tedy f má v a lokální minimum. ii) Pro Q(h) negativně definitní dokážeme podobně, jako v bodu i). iii) Nechť Q(h) je indefinitní, tak existují h a ĥ takové, že Q(h) > 0 a Q(ĥ) < 0. Použijeme stejný trik jako v příkladu Nechť F (t) = f(a + th), pak F (0) = f(a), F (t) = d(f, a + th)(h) F (0) = d(f, a)(h) = 0, F (t) = d 2 (f, a + th)(h) F (0) = d 2 (f, a)(h) = Q(h) > 0. 38
39 Tedy funkce F má v nule ostré lokální minimum, a proto f(a) = F (0) < F (t) = f(a + th) pro t 0. Obdobně pro ˆF (t) = f(a + tĥ) dostaneme, že funkce ˆF má v nule ostré lokální maximum a tedy f(a) = ˆF (0) > ˆF (t) = f(a + tĥ) pro t 0. Proto funkce f nemá v bodě a lokální extrém. Věta 3.23 Nechť d(f, a)(h) = 0 a d 2 (f, x)(h) je pozitivně (negativně) semidefinitní na nějakém okolí U(a), pak má funkce f v bodě a lokální minimum (maximum). Důkaz Nechť d 2 (f, x)(h) je pozitivně semidefinitní na U(a). Označme F (t) = f(a + th), kde h R d a a + h U(a). Pak f(a + h) = F (1) = F (0) + F (0) + F (v) 2! = f(a) + d2 (f, a + vh)(h) 2! Tedy f má v a lokální minimun. Obdobně pro lokální maximum. f(a). = f(a) + d(f, a)(h) + d2 (f, a + vh)(h) 2! Extrémy na množině Příklad 3.16 Určete extrémy funkce f(x, y) = x 2 + 5xy 7y 2 na množině M = {(x, y) R 2 : x 1, y 1} = [ 1, 1] Nejdříve se zaměříme na vnitřek množiny M. Má-li f extrém v bodě [x 0, y 0 ], který je vnitřním bodem množiny M, pak je tento extrém lokální, a tedy gradf(x 0, y 0 ) = 0. Určeme parciální derivace funkce f, položme je rovny nule a získáme body, ve kterých by mohl být extrém funkce (bereme jen body uvnitř množiny M). [x 0, y 0 ] = [0, 0]. f x = 2x + 5y = 0 a f 2. Teď se postupně zaměříme na hrany čtverce. y = 5x 14y = 0, tedy dostaneme hrana I. x = 1, y [ 1, 1], tedy f(x, y) = f( 1, y) = 1 5y 7y 2. Hledáme extrém této funkce, tedy f (y) = 5 14y = 0 y = 5. Je třeba ověřit, 14 že tento bod leží na první hraně. Další bod, kde by mohl být extrém, je bod [ 1, 5 ]
40 Obrázek 3.2: Množina M je znázorněna světle hnědým čtvercem s vyznačenými hranami I. II. III. a IV. Všechny body, ve kterých by mohl být extrém funkce, jsou rovněž vyznačeny v obrázku. Modrou barvou jsou vyznačeny body, ve kterých má funkce f minimum, červenou barvou body, ve kterých má f maximum. hrana II. x [ 1, 1], y = 1, tedy f(x, 1) = x 2 +5x 7. f (x) = 2x+5 = 0 x = 5 2, což ale není v množině M. hrana III. x = 1, y [ 1, 1], tedy f(1, y) = 1 + 5y 7y 2. f (y) = 5 14y = 0 y = 5 5, a tedy další hledaný bod je [1, ] hrana IV. x [ 1, 1], y = 1, tedy f(x, 1) = x 2 5x 7, f (x) = 2x 5 = 0 x = 5 / M Přidáme ještě všechny vrcholy, tedy body [1, 1], [1, 1], [ 1, 1] a [ 1, 1]. Postupně určíme hodnotu funkce f v každém z vybraných bodů. V bodě/bodech, kde bude hodnota největší, má funkce f maximum na množině M, v bodě/bodech, kde 40
41 bude hodnota nejmenší, má funkce f minimum. f(1, 1) = 1 f( 1, 1) = 11 f( 1 1) = 1 f(1, 1) = 11 f(0, 0) = 0 f( 1, 5 14 ) = = f(1, 5 14 ) = Funkce f má tedy maximum na množině M v bodech [1, 5 ] a [ 1, 5 ] a minimum v bodech [1, 1] a [ 1, 1]. V předcházejícím příkladu jsme viděli, že k určení extrémů na množině M potřebujeme určit body, ve kterých by mohl být extrém, jak uvnitř množiny M (bod 1.), tak na její hranici (body 2. a 3.). K určování bodů uvnitř množiny M, ve kterých by mohl být extrém funkce f, nám poslouží teorie o lokálních extrémech funkce. K určování bodů na hranici M, ve kterých by mohl být extrém funkce f, si teorii vyložíme nyní. Omezme se zatím na funkci dvou proměnných f(x, y) a M R 2. Jedna z variant je popsat hranici (nebo část hranice) pomocí nějaké funkce y = g(x) (v předchozím příkladu šlo třeba o funkci y = g(x) = 1 pro x [ 1, 1], tato funkce byla použita pro popis hrany II. ). Máme-li část hranice M popsanou pomocí funkce y = g(x) pro x I, pak přejdeme k funkci jedné proměnné ˆf(x) = f(x, y) = f(x, g(x)), x I. Tuto funkci můžeme derivovat a body [x 0, g(x 0 )], pro které platí, že ˆf (x 0 ) = 0, jsou body, které hledáme. Uvažujme pouze množiny M ve tvaru M = {x R 2 : F (x) c}, kde F : R 2 R je nějaká funkce a c R 2. Jelikož je v tomto případě často hranice množiny M popsána rovnicí F (x, y) = c, zaměříme se na to, kdy lze najít funkci g(x) = y(x) takovou, aby F (x, g(x)) = c Příklad 3.17 i) F (x, y) = x 2 + y 2 = 1. Pak g 1 (x) = y(x) = 1 x 2 a g 2 (x) = y(x) = 1 x 2, kde x [ 1, 1]. Tedy v okolí bodů [1, 0] a [ 1, 0] nejsme schopni popsat hranici množiny M pomocí jedné funkce proměnné x. ii) F (x, y) = x 2 y 2 = 0. Pak g 1 (x) = y(x) = x a g 2 (x) = y(x) = x. Problém s nejednoznačným popisem je v počátku (bod [0, 0]). 41
10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceTo je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.
STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To
VíceDefinice 1.1. Nechť je M množina. Funkci ρ : M M R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti:
Přednáška 1. Definice 1.1. Nechť je množina. Funkci ρ : R nazveme metrikou, jestliže má následující vlastnosti: (1 pro každé x je ρ(x, x = 0; (2 pro každé x, y, x y, je ρ(x, y = ρ(y, x > 0; (3 pro každé
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VícePřednáška 6, 6. listopadu 2013
Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
Více9. přednáška 26. listopadu f(a)h < 0 a pro h (0, δ) máme f(a 1 + h, a 2,..., a m ) f(a) > 1 2 x 1
9 přednáška 6 listopadu 007 Věta 11 Nechť f C U, kde U R m je otevřená množina, a a U je bod Pokud fa 0, nemá f v a ani neostrý lokální extrém Pokud fa = 0 a H f a je pozitivně negativně definitní, potom
Více11. Číselné a mocninné řady
11. Číselné a mocninné řady Aplikovaná matematika III, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2017/18 11.1 Základní pojmy Definice Necht {a n } C je posloupnost komplexních čísel. Pro m N položme s m = a 1 +
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
VíceDefinice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f
Výklad Globální extrémy mají stejný význam jako u funkcí jedné proměnné. Hledáme je bud na celém definičním oboru dané funkce, nebo na předem zadané podmnožině definičního oboru. Definice 6..1. Řekneme,
Více17. Posloupnosti a řady funkcí
17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.
Více5. Lokální, vázané a globální extrémy
5 Lokální, vázané a globální extrémy Studijní text Lokální extrémy 5 Lokální, vázané a globální extrémy Definice 51 Řekneme, že f : R n R má v bodě a Df: 1 lokální maximum, když Ka, δ Df tak, že x Ka,
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Extrémy funkcí více proměnných
Matematická analýza pro informatiky I. 12. přednáška Extrémy funkcí více proměnných Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 12. dubna 2011
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory
Texty k přednáškám z MMAN3: 3. Metrické prostory 3. července 2012 1 Metrika na množině, metrický prostor Pojem vzdálenosti dvou reálných (komplexních) čísel, nebo bodů v rovině či prostoru je známý ze
VíceRiemannův určitý integrál
Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
Víceverze 1.3 kde ρ(, ) je vzdálenost dvou bodů v R r. Redukovaným ε-ovým okolím nazveme ε-ové okolí bodu x 0 mimo tohoto bodu, tedy množinu
Úvod Diferenciální počet více proměnných verze.3 Následující text popisuje základy diferenciálního počtu více proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na Univerzitě Hradec Králové
VíceDrsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál
Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a
VíceŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ
ŘADY KOMPLEXNÍCH FUNKCÍ OBECNÉ VLASTNOSTI Řady komplexních čísel z n byly částečně probírány v kapitole o číselných řadách. Definice říká, že n=0 z n = z, jestliže z je limita částečných součtů řady z
VíceI. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou
Typy příkladů pro I. část písemky ke zkoušce z MA II I. Diferenciální rovnice. 1. Určete obecné řešení rovnice y = y sin x.. Určete řešení rovnice y = y x splňující počáteční podmínku y(1) = 0. 3. Rovnici
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceÚvod základy teorie zobrazení
Úvod základy teorie zobrazení V přednášce se budeme zabývat diferenciálním a integrálním počtem funkcí více proměnných. Přednáška navazuje na přednášku atematická analýza 1 z prvního semestru. Proto se
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 14. přednáška Číselné a mocninné řady Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceHome. Obsah. Strana 1 MATEMATIKA. Fullscreen PRO LETECKÉ. Tisk OBORY II. Konec
Kurzy celoživotního vzdělávání Fakulta dopravní ČVUT MATEMATIKA Strana 1 PRO LETECKÉ OBORY II PŘEHLED LÁTKY 1 Metrické a normované prostory 2 Posloupnosti v metrických prostorech 3 Reálné funkce více reálných
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 10. přednáška Diferenciální počet funkcí více proměnných (II) Jan Tomeček jan.tomecek@upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Základy teorie funkcí více proměnných študenti MFF 15. augusta 2008 1 5 Základy teorie funkcí více proměnných Požadavky Parciální derivace a totální
VíceMichal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62
Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria
VícePosloupnosti a řady. 28. listopadu 2015
Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj
VícePřednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce
Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VícePrimitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program
Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní
VíceMichal Bulant. Masarykova univerzita Fakulta informatiky
Matematika III 3. přednáška Funkce více proměnných: derivace vyšších řádů, lokální a absolutní extrémy Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 6. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2
VíceHledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky
6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme
VíceDnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.
Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,
Více8.1. Určete všechny lokální extrémy funkce f(x, y) = x 2 + arctg 2 x + y 3 + y, x, y R.
Řešené příklady k extrémům funkcí více proměnných 8 Určete všechny lokální extrémy funkce fx y x + arctg x + y + y x y R Řešení Funkci f si vyjádříme jako součet f + f kde f x x + arctg x x R f y y + y
VíceUzavřené a otevřené množiny
Teorie: Uzavřené a otevřené množiny 2. cvičení DEFINICE Nechť M R n. Bod x M nazveme vnitřním bodem množiny M, pokud existuje r > 0 tak, že B(x, r) M. Množinu všech vnitřních bodů značíme Int M. Dále,
VíceMatematika pro informatiky
(FIT ČVUT v Praze) Konvexní analýza 13.týden 1 / 1 Matematika pro informatiky Jaroslav Milota Fakulta informačních technologíı České vysoké učení technické v Praze Letní semestr 2010/11 Extrémy funkce
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
VíceMatematika V. Dynamická optimalizace
Matematika V. Dynamická optimalizace Obsah Kapitola 1. Variační počet 1.1. Derivace funkcí na vektorových prostorech...str. 3 1.2. Derivace integrálu...str. 5 1.3. Formulace základní úlohy P1 var. počtu,
Více4. Diferenciál a Taylorova věta
4. Diferenciál a Taylorova věta Definice 4.1. Buď f : R n R, a Df. Řekneme, že f je diferencovatelná v bodě a, když h V n takový, že a + h Df platí f(a + h) f(a) gradf(a) h + h τ(h), kde lim τ(h) 0. Funkce
VíceNechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady.
Číselné řady Definice (Posloupnost částečných součtů číselné řady). Nechť je číselná posloupnost. Pro všechna položme. Posloupnost nazýváme posloupnost částečných součtů řady. Definice (Součet číselné
VíceDiferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)
2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h
VíceLimita posloupnosti a funkce
Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti
VíceFunkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018
Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf
VíceExtrémy funkce dvou proměnných
Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže
Více12. Funkce více proměnných
12. Funkce více proměnných 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f je reálná funkce n proměnných, a 2 R n a 1 i n. 12.1 Parciální derivace a totální diferenciál Definice Necht f
VíceMatematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce
Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
VíceLimita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]
KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu
VíceOBECNOSTI KONVERGENCE V R N
FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce
VíceZobecněný Riemannův integrál
Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál
Více1. přednáška 1. října Kapitola 1. Metrické prostory.
1. přednáška 1. října 2007 Kapitola 1. Metrické prostory. Definice MP, izometrie. Metrický prostor je struktura formalizující jev vzdálenosti. Je to dvojice (M, d) složená z množiny M a funkce dvou proměnných
VícePísemná zkouška z Matematiky II pro FSV vzor
Písemná zkouška z Matematik II pro FSV vzor. (0 bodů) Určete a nakreslete definiční obor funkce sin x f(x, ) = (Kalenda 00/) spočtěte její parciální derivace podle všech proměnných všude, kde existují,
VíceLEKCE10-RAD Otázky
Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá
Více1 Posloupnosti a řady.
1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže
VíceObčas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:
PARCIÁLNÍ DERIVACE Jak derivovat reálné funkce více proměnných aby bylo možné tyto derivace použít podobně jako derivace funkcí jedné proměnné? Jestliže se okopíruje definice z jedné proměnné dostane se
Více6. přednáška 5. listopadu 2007
6. přednáška 5. listopadu 2007 Souvislost diferenciálu a parciálních derivací. Diferenciál implikuje parciální derivace a spojité parciální derivace implikují diferenciál. Tvrzení 2.3. Když je funkce f
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více18 Fourierovy řady Úvod, základní pojmy
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 18: Fourierovy řady 7 18 Fourierovy řady 18.1 Úvod, základní pojmy Otázka J. Fouriera: Lze každou periodickou funkci napsat jako součet nějakých "elementárních"
VíceEXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH
EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183
Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými
VíceDefinice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),
Definice 5.2.1. Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo má v tomto bodě totální diferenciál, jestliže je možné její přírůstek z na nějakém okolí bodu A vyjádřit jako
Víceprof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. BI-ZMA ZS 2009/2010
Věty o přírustku funkce prof. RNDr. Čestmír Burdík DrCs. prof. Ing. Edita Pelantová CSc. Katedra matematiky České vysoké učení technické v Praze c Čestmír Burdík, Edita Pelantová 2009 Základy matematické
VíceMatematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený
Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VíceIX. Vyšetřování průběhu funkce
IX. Vyšetřování průběhu funkce Úvodní poznámky: Cíl: vyšetřit průběh dané funkce f. Zahrnuje: základní vlastnosti: D(f), spojitost, limity v krajních bodech, průsečíky s osami souřadnic, intervaly, kde
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceLIMITA A SPOJITOST FUNKCE
PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:
Více7.1 Extrémy a monotonie
KAPITOLA 7: Průběh funkce [ZMA13-P38] 7.1 Extrémy a monotonie Řekneme, že funkce f nabývá na množině M Df svého globálního maxima globálního minima A v bodě x 0, jestliže x 0 M, fx 0 = A a pro každé x
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Skalární součin študenti MFF 15. augusta 2008 1 10 Skalární součin Požadavky Vlastnosti v reálném i komplexním případě Norma Cauchy-Schwarzova nerovnost
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceUrčete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =
. cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je
VíceUčební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Posloupnosti a řady funkcí. študenti MFF 15. augusta 2008
Učební texty k státní bakalářské zkoušce Matematika Poslounosti a řady funkcí študenti MFF 15. augusta 2008 1 3 Poslounosti a řady funkcí Požadavky Sojitost za ředokladu stejnoměrné konvergence Mocninné
Více1 Topologie roviny a prostoru
1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se
VíceMatematická analýza III.
1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )
Více1. Posloupnosti čísel
1. Posloupnosti čísel 1.1. Posloupnosti a operace s nimi Definice 1.1 Posloupnost reálných čísel ( = reálná posloupnost ) je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot je nějaká podmnožina
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VícePetr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57
Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny 2015 1 / 57 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost
VíceDerivace funkcí více proměnných
Derivace funkcí více proměnných Pro studenty FP TUL Martina Šimůnková 16. května 019 1. Derivace podle vektoru jako funkce vektoru. Pro pevně zvolenou funkci f : R d R n a bod a R d budeme zkoumat zobrazení,
Více22 Základní vlastnosti distribucí
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika IV kap. 22: Základní vlastnosti distribucí 5 22 Základní vlastnosti distribucí 22.1 Temperované distribuce Definice. O funkci ϕ C (R m ) řekneme, že je rychle klesající
VíceLimita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018
Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a
VíceDrsná matematika III 2. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení
Drsná matematika III. přednáška Funkce více proměnných: Aproximace vyšších rádů, Taylorova věta, inverzní zobrazení Masarykova univerzita Fakulta informatiky 3. 9. 6 Obsah přednášky Literatura Derivace
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)
Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené
Více9. Vícerozměrná integrace
9. Vícerozměrná integrace Aplikovaná matematika II, NMAF072 M. Rokyta, KMA MFF UK LS 2016/17 9.1 Elementy teorie míry Poznámka Na R n definujeme systém tzv. měřitelných množin, M n, který má následující
Vícei=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice
I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceINTEGRÁLY S PARAMETREM
INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE MNOŽINA KOMPLEXNÍCH ČÍSEL C. Alternativní popis komplexních čísel
KOMPLEXNÍ ČÍSLA A FUNKCE V předchozích částech byl důraz kladen na reálná čísla a na reálné funkce. Pokud se komplexní čísla vyskytovala, bylo to z hlediska kartézského součinu dvou reálných přímek, např.
Více