3 - Póly, uly a odezvy Michael Šebek Automatické řízeí 5 3--5
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Póly přeosu jsou kořey jmeovatele pro gs () = bs () as () jsou to komplexí čísla si: as ( i) = pokud přeos emá stejou ulu (a rozdíl od matematiky): Odpovídají módům přirozeé odezvy Patří mezi póly systému Póly přeosu gs ( i ) Póly systému kořey charakteristického polyomu (společého jmeovatele všech přeosů) det ( si A) vlastí čísla matice systému ve stavovém popisu λ ( ) i A charakterizují vitří dyamiku systému, jeho vitří rezoace jsou rovy komplexím frekvecím, které je systém schope sám geerovat (módy odezvy a jeho počátečí stav) ezávisí a vstupí matici B ai a výstupí matici C, tedy ezávisí a umístěí aktuátorů a sezorů (v otevřeé smyčce) = Póly Póly systému Michael Šebek ARI-3-5
Nuly přeosu Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Nuly přeosu (přeosové uly) jsou kořey jeho čitatele bs () pro gs () = jsou to komplexí čísla si: bs ( i) = as () Výzam pro řízeí uly přeosu jsou komplexí frekvece, pro které je přeos mezi vstupem a výstupem bloková měí odezvu a tím komplikují ávrh řízeí (viz dále) Michael Šebek ARI-3-5 3
Nuly systému Automatické řízeí - Kyberetika a robotika jsou uly přeosu () () před vykráceím tj. když as = si A přesěji jsou to kořey polyomu Schurův doplěk Cadj( si A) B+ det( si A) D= si A B = det( si A) C( si A) B+ D = det C D oproti ulám přeosovým jsou tu avíc vstupí uly (rové pólům eřiditelé části), tj. zi:rak[ zii A B] < bs as ( ) det( ) výstupí uly (rové pólům zii A zi :rak epozorovatelé části), tj. < C Výzam pro řízeí uly systému charakterizují, jak je systém spoje s okolím závisí a B, C, D, tedy a poloze sezorů a aktuátorů estabilí uly ztěžují řízeí, ěkdy je dokoce uto soustavu předělat Michael Šebek ARI-3-5 4
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Pól v ekoeču má eryzí racioálí fukce (přeos) Tedy, když je stupeň čitatele větší ež stupeň jmeovatele Např. s Gs () = s= lim Gs ( ) = s Póly a uly v ekoeču Takový systém emůže samostatě existovat, je zapojeí s jiými - zesiloval by i ekoečé frekvece Nula v ekoeču má striktě ryzí racioálí fukce (přeos) Tedy, pokud je stupeň čitatele ostře meší ež stupeň jmeovatele Např. Gs () = lim Gs ( ) = s s takové jsou všechy fyzikálí systémy, blokují ekoečé frekvece Počítáme-li s ásobostmi a ekoečými ulami a póly, tak má každý přeos stejý počet ul a pólů Michael Šebek ARI-3-5 5
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Systém. řádu bez ul Impulzí odezva Skoková odezva (impulzí charakteristika) (přechodová charakteristika) t t at T at T g() t = ae = e ht () = e = e T h ( + ) = a= T % a g( + ) = a = T.9 a Gs () = = s + a + Ts a Im Re.37a T = a T 3T 4T 5T.63. Doba áběhu T r.t Doba ustáleí Ts = 4T T T 3T 4T 5T Michael Šebek ARI-3-5 6
Systém. řádu bez ul (stabilí) Automatické řízeí - Kyberetika a robotika ω ω ω ω Gs () = = = = s s s j s j s s + ζω + ω ( + σ ωd)( + σ + ωd) ( + ζω) + ω( ζ ) ( + σ ) + ωd Tradičě ozačujeme přirozeou frekveci (atural frequecy) oscilací etlumeého systému ω = b Gs () = b s + as + b a b > frekveci expoeciálího útlumu (expoetial decay frequecy) σ = a obálka ± e σt poměrý útlum, tlumeí (dampig ratio) σ T a ζ = = = = cosθ ω π ω frekveci tlumeých oscilací (damped frequecy) T σ ωd = ω ζ = b ( a ( b)) Michael Šebek ARI-3-5 7
Systém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Netlumeý systém σ =, ω = ω, ζ = d ω Gs ( ) = s + ω gt ( ) = ω siω t ω ht ( ) = cosω t Im ω = ω d Re ω d Podtlumeý systém ζ <, σ = ζω, ω = ω ζ d Gs () = = s ω + ζωs+ ω ω ( s+ σ jω )( s+ σ + jω ) d d Im σ = ζω ω = ω ζ d Re ω d gt = e t σt ( ) ( ω ωd) siωd [ cos ω ( σω)siω ] σt ht () = e t+ t d d d Michael Šebek ARI-3-5 8
Systém. řádu bez ul - zajímavé případy Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Kriticky tlumeý systém ζ =, σ = ω, ω =, d ω Gs () = ( s + ω ) Přetlumeý systém ωt () = ωte g t ωt ht () = e ω te h( t) = ω t ω Gs () = s ω = ( s+ σ )( s+ σ ) + ζωs+ ω ω gt () = σ ( t σt e e ) ζ e σ σ σt σ σ + σ σ ζ : e σ = ω = + = σ ζω ω ζ σ ζω ω ζ σ t, σ Im Michael Šebek ARI-3-5 9 σ Im Re Re
Systém. řádu Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Všechy případy v jedom obrázku Avšak pozor: Je to přesě tak je když systém emá uly! Michael Šebek ARI-3-5
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Doba ustáleí (settlig time) 4 Ts = ζω Doba. maxima (peek time) π Tp = ω ζ Systém. řádu: vzorce pro podtlumeý případ Překmit, překývutí (overshoot) ( ζπ ζ ) % OS = e ζ = π ( OS ) ( OS ) l % + l % Doba áběhu T r : rozumý vzorec eí, je graf ze simulací. Přesto ěkteří užívají velmi přibližý odhad.8 r ω Michael Šebek ARI-3-5 T
Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Někdy můžeme systém s více póly aproximovat systémem s dvojicí domiatích pólů A pak můžeme vzorečky pro. řád aplikovat a tu dvojici Např. pro systém s dvojicí komplexích pólů a ještě c + ca A=, B= třetím reálým pólem je odezva a skok c + b ca bc A Bs + C D b D = ys () = = + + s ( c + b ca s + as + b)( s + c) s s + as + b s + c c a + ca bc Je-li -c blízko dvojice, zaedbat ho emůžeme! C = c + b ca Je-li hodě daleko alevo, má vliv zaedbatelý Pravidlo 5 : Třetí pól zaedbáme, je-li aspoň 5 víc alevo od imagiárí osy ež reálá část domiatí dvojice Někdo používá Pravidlo Raději to vždy ještě ověříme simulací Vliv dalších pólů Domiatí póly c : A, B, C a, D Michael Šebek ARI-3-5
Vliv uly Automatické řízeí - Kyberetika a robotika Přidáme k systému s přeosem gs () a odezvou ys () ulu v a, což změí přeos a ( + sags ) ( ) a odezvu a ( + says ) ( ) Odezva ového systému bude složeá z původí a ásobku její derivace ys ( ) = ( + says ) () = ys () + ( sa) ys ( ) Je-li ula hodě stabilí (tj. a je velké kladé), má čle s derivací ( sa) ys () zaedbatelý vliv a odezva se skoro ezměí Je-li to ula stabilí méě (tj. a meší kladé), je vliv derivace výzamý! y= ( + sy ) Skoková odezva má typicky a počátku y = derivaci kladou, tedy čle s derivací s se přičte a způsobí větší prví překmit Bude-li ula estabilí (záporé a), má derivace opačé zaméko a odezva je zpočátku dokoce obráceá sy Nuly eovlivňují typ módů, ale jejich relativí vliv, eboť v rozkladu a parciálí zlomky ovlivňují je čitatele (rezidua) ( + ) + 9 Michael Šebek ARI-3-5 3