Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27

Množiny Zavedení pojmu množina je velice složité, my budeme pod pojmem množina chápat souhrn matematických objektů, které mají společnou vlastnost a dokážeme tyto objekty tedy vymezit. Je nezbytně nutné, abychom VŽDY dokázali rozhodnout, zda matematický objekt je prvkem množiny nebo není prvkem množiny. Množinu zavedeme výčtem všech prvků {x 1, x 2,..., x n } Nebo zavedeme množinu stanovením charakteristických vlastností {x : V (x)}, kde V (x) je vlastnost prvku, např. x je sudé číslo. Typickým příkladem množiny jsou množiny čísel, ale můžeme uvažovat i množinu vektorů, množinu matic,... Pokud nad prvky množiny zavedeme algebraické operaci (sčítání, odčítání, násobení a podobně) s prvky mluvíme obvykle o algebře. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 2 / 27

Operace s množinami Základní operace s množinami lze vyjadřovat pomocí Vénnových diagramů. průnik A B sjednocení A B A B A B rozdíl A B rozdíl B A A B A B Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 3 / 27

Representace reálných čísel pomocí přímky reálná čísla R = (, + ) grafickým vyjádřením reálných čísel je přímka vlastní body -3-2 -1 0 1 2 3 + nevlastní bod nevlastní bod interval odpovídají souvislé části reálné přímky a b + a + Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 4 / 27

Omezené a neomezené intervaly v R Omezené intervaly uzavřený interval a; b... {x R : a x b} a b polouzavřený interval (a; b {x R : a < x b} a b polouzavřený interval a; b) {x R : a x < b} a b otevřený interval (a; b) {x R : a < x < b} a b Neomezené intervaly a; + )... {x R : x a} a + (a; + ) {x R : x > a} a + ( ; a {x R : x a} b ( ; a) {x R : x < a} b ( ; + ) R + Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 5 / 27

Okoĺı bodu ε okoĺı bodu x je otevřený interval, který obsahuje daný bod pro vlastní číslo zavádíme okoĺı jako symetrický interval x ± ε okoĺı vlastního bodu U(x, ε), kde ε > 0 je kladné číslo je otevřený interval (x ε, x + ε) x ε x x + ε + pro nevlastní body (± ) je okoĺı neomezený otevřený interval okoĺı nevlastního bodu + označujeme U(+, ε) je otevřený interval ( 1 ε, + ) 1 + ε Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 6 / 27

Omezenost množin M R Definice: shora omezená množina Množina M se nazývá shora omezená množina, pokud existuje reálné číslo h R tak, že pro všechny x M platí x < h. čti... pro každé číslo x z množiny M platí, že x je menší než číslo h... Definice: zdola omezená množina Množina M se nazývá zdola omezená množina, pokud existuje reálné číslo d R tak, že pro všechny x M platí d < x. Def:Množina M se nazývá omezená množina, pokud je omezená zdola i shora. Definice říkají, že musí existovat čísla h, d, ale takových čísel může existovat i více. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 7 / 27

Maximum a minimum množiny Definice: maximum množiny M Číslo a M se nazývá maximem množiny M, pokud pro každé číslo x z množiny M platí x a. Definice: minimum množiny M Číslo b M se nazývá minimem množiny M, pokud pro každé číslo x z množiny M platí a x. Maximum množiny M značíme a = max M, minimum značíme b = min M Maximum i minimum jsou vždy prvkem množiny M. Maximum množiny i minimum je určeno jednoznačně. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 8 / 27

Vztah mezi omezeností množiny a existencí minima a maxima Pokud existuje maximum množiny, pak je funkce omezené shora. Pokud existuje minimum množiny, pak je funkce omezené zdola. Ale... Příklady otevřené intervaly M1 = (2; 10), M 2 = ( ; 1000) polouzavřené intervaly M3 = 20; 0) M4 = { 1 1 n, n N} = { 1 1, 1 1 2, 1 1 3, 1 1 4,... } Množiny M 1, M 2, M 3, M 4 jsou shora omezené, ale neobsahují maximální prvek. Horní hranici omezující množinu nazýváme supremem množiny M. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 9 / 27

Supremum množiny M Definice: supremum množiny M Číslo a R se nazývá supremem množiny M, jestliže platí zároveň následující dvě podmínky (1.) pro každé x M platí, že x a (2.) číslo a je nejmenší číslo splňující podmínku (1.). Supremum množiny M značíme sup M. Supremum množiny může, ale nemusí ležet v množině M. Supremum množiny je vždy určeno jednoznačně, tj. pro jednu množinu neexistují dvě suprema. Věta: Pokud má množina maximum, pak má supremum a platí max M = sup M. Věta: Množina je omezená shora právě tehdy, když má supremum. Příkladem množiny, která nemá supremum je interval (0; + ). Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 10 / 27

Infimum množiny M Definice: infimum množiny M Číslo a R se nazývá infimem množiny M, jestliže platí zároveň následující dvě podmínky (1.) pro každé x M platí, že a x, (2.) číslo a je největší číslo splňující podmínku (1.). Infimum množiny M značíme inf M. Infimum množiny může, ale nemusí ležet v množině M. Infimum množiny je vždy určeno jednoznačně, tj. pro jednu množinu neexistují dvě infima. Věta: Pokud má množina minimum, pak má infimum a platí min M = inf M. Věta: Množina je omezená zdola právě tehdy, když má infimum. Příkladem množiny, která nemá infimum je interval ( ; + ). Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 11 / 27

Relace a funkce uvažujeme dvě množiny: definiční obor a obor hodnot relace přiřazuje prvkům z definičního oboru prvky z oboru hodnot definiční obor - rodiče, obor hodnot - potomci definiční obor - studenti, obor hodnot - předměty, které mají zapsány funkce přiřazuje prvkům z definičního oboru PRÁVĚ JEDEN prvek z oboru hodnot definiční obor - potomek, obor hodnot - matky definiční obor - rok a země, obor hodnot - výše HDP Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 12 / 27

Funkce jedné proměnné Definice: Funkce jedné proměnné f : y = f (x) x... argument funkce, nezávislá proměnná definiční obor funkce D(f ) R y... funkční hodnota, závislá proměnná obor hodnot funkce H(f ) R x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 ) = f (x 3 ) x 3 f (x 3 ) D(f ) H(f ) Pro každé x existuje právě jedno y. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 13 / 27

Funkce dvou proměnných Definice: Funkce dvou proměnných f : z = f (x, y) x, y... argumenty funkce, nezávislá proměnná definiční obor funkce D(f ) R 2 z... funkční hodnota, závislá proměnná obor hodnot funkce H(f ) R (x 1, y 1 ) f (x 1, y 1 ) (x 2, y 2 ) f (x 2, y 2 ) = f (x 3, y 3 ) (x 3, y 3 ) D(f ) H(f ) Pro každé [x, y] existuje právě jedno z. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 14 / 27

Způsoby zadávání funkcí výčtem funkčních hodnot, obvykle ve formě tabulky x 1 2 3 4... y 1 4 9 9... analytickým zápisem (vzorec, rovnice, několik rovnic pro různé části definičního oboru + definiční obor) pomocí symbolických representací Např. f : y = 2x { + 3 x 2 pro x ( 3, 3) f (x) := 9 jinak x(t) = cos t, y(t) = sin t, t 0, π 2 NE KAŽDÁ SYMBOLICKÁ REPRESENTACE ODPOVÍDÁ FUNKCÍM například. y 2 = x není funkce y = f (x), protože y = ± x grafickým zadáním Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 15 / 27

Graf funkce f Vizualizace vztahu mezi prvky definičního oboru (vodorovná osa) a prvky oboru hodnot (svislá osa) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 16 / 27

Globální a lokální vlastnosti funkcí Globální vlastnosti vztahují se k celému definičnímu oboru vypovídají o chování celé funkce např. omezenost neomezenost funkce monotónnost funkce (rostoucí, klesající, konstantní) globální extrémy funkce (maxima, minima) sudost, lichost funkce periodičnost funkce Lokální vlastnosti vztahují se k okoĺı bodu popisují chování pouze v bĺızkosti bodu např. lokální omezenost lokální monotónnost lokální extrémy Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 17 / 27

Sudá a lichá funkce Definice: Sudá funkce Funkce je sudá, pokud (a) definiční obor je symetrický, tj. pro každé x D(f ) je též x D(f ) (b) pro každé x D(f ) platí f ( x) = f (x) Definice: Lichá funkce Funkce je sudá, pokud (a) definiční obor je symetrický, (b) pro každé x D(f ) platí f ( x) = f (x) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 18 / 27

Sudá a lichá funkce Graf sudé funkce je symetrický vzhledem k ose y y Graf liché funkce je symetrický vzhledem k počátku souřadných os y x x Většina funkcí není ani lichá ani sudá... Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 19 / 27

Omezená a neomezená funkce Definice: Omezená funkce Funkce je omezená, pokud má omezený obor hodnot. POZOR na rozdíl mezi funkcí z omezeným definičním oborem a omezenou funkcí. y y x x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 20 / 27

Lokální a globální extrémy (maxima a minima) Definice:Globální maximum V bodě a D(f ) má funkce globální maximum, pokud pro všechna x D(f ) platí f (x) f (a) Definice:Lokální maximum V bodě a D(f ) má funkce lokální maximum, pokud existuje okoĺı bodu a takové, že pro všechna x D(f ) U(a, ε) platí f (x) f (a) Každé globální maximum je též lokálním maximem. Existují ostrá maxima (f (x) < f (a)) a neostrá maxima (f (x) f (a)). Číslo a označujeme a = argmax f a číslo f (a) = max f Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 21 / 27

Lokální a globální extrémy II y globální maximum y max f lokální maximum lokální maximum globální minimum x argmax f globální minimum x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 22 / 27

Monotónní funkce Definice: Rostoucí funkce Funkci nazýváme rostoucí, pokud platí x 1, x 2 D(f ) : x 1 < x 2 f (x 1 ) f (x 2 ). čti... pokud pro libovolné dva body z definičního oboru x 1, x 2 splňující x 1 < x 2 platí f (x 1 ) f (x 2 )... Pokud platí f (x 1 ) < f (x 2 ) jedná se o ostře rostoucí funkci. y y x x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 23 / 27

Vztah mezi extrémy a omezeností Věta Pokud má funkce globální maximum, pak je omezená shora. Pokud má funkce globální minimum, pak je omezená zdola. Existence lokálních extrémů nepostačuje k omezenosti funkce. Opačné tvrzení: Pokud je funkce omezená, pak má globální maximum neplatí. V takovémto případě má pouze obor hodnot supremum. Pokud má funkce f v bodě a lokální maximum, pak existuje ε tak, že v intervalu (a ε, a) je funkce rostoucí a v intervalu (a, a + ε) je funkce klesající. Rostoucí funkce (i ostře rostoucí) může být omezená i neomezená. Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 24 / 27

Prostá funkce Definice:Prostá funkce Funkce f je prostá funkce, pokud x 1, x 2 D(f ) : x 1 x 2 f (x 1 ) f (x 2 ) čti... pokud pro libovolné dva různé body jsou různé jejich funkční hodnoty... x 1 f (x 1 ) x 2 f (x 2 ) = f (x 3 ) x 3 f (x 3 ) D(f ) H(f ) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 25 / 27

Inverzní funkce Definice:Inverzní funkce Pro prostou funkce f definujeme inverzní funkci f 1 vztahem y = f (x) x = f 1 (y) x 1 funkce f f (x 1 ) = y 1 inverzní funkce f 1 D(f ) = H ( f 1) H(f ) = D ( f 1) Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 26 / 27

Vlastnosti inverzní funkce inverzní funkce existuje pouze pro prosté funkce definiční obory a obory hodnot se vymění D(f 1 ) = H(f ) a H(f 1 ) = D(f ) skládáním funkce s funkcí inverzní dostanu identitu x D(f ) : f ( f 1 (x) ) = x a f 1 (f (x)) = x grafy funkce f a funkce inverzní f 1 jsou symetrické vzhledem k ose 1. a 3. kvadrantu y f 1 (x) = x 2 f (x) = x x Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 27 / 27