Deskriptivní geometrie

Deskriptivní geometrie Stavebnictví RNDr. Milan Vacka 2013 České Budějovice 1

Tento učební materiál vznikl v rámci projektu "Integrace a podpora studentů se specifickými vzdělávacími potřebami na Vysoké škole technické a ekonomické v Českých Budějovicích" s registračním číslem CZ.1.07/2.2.00/29.0019. Tento projekt je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. 1. vydání ISBN Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 2013 Vydala: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, Okružní 10, 370 01 České Budějovice Za obsahovou a jazykovou správnost odpovídají autoři a garanti příslušných předmětů. 2

Obsah Kapitola 1... 6 1.1 Průměty bodů... 8 1.1.1 V Mongeově projekci... 8 1.1.2 V kosoúhlém promítání... 11 1.1.3 V pravoúhlé axonometrii... 14 Kapitola 2... 17 2.1 Stopník přímky... 21 2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky... 23 2.2 Vzájemná poloha přímek... 26 Kapitola 3... 31 3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách... 32 3.2 Určenost roviny... 34 3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci... 36 3.4 Vzájemná poloha rovin... 37 Kapitola 4... 40 4.1 Průsečík přímky s rovinou... 41 4.2Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci... 43 4.3Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci... 44 Kapitola 5... 45 5.1 Elipsa... 45 5.2 Hyperbola... 49 5.3 Parabola... 52 3

Kapitola 6... 55 6.1 Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci... 55 6.1.1 Obrazce ležící v některé z průměten... 55 6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten... 56 6.1.3 Otáčení roviny v obecné poloze... 57 6.1.4 Osová afinita... 59 6.1.5 Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze... 60 6.2 Průměty kružnicev Mongeově projekci... 62 6.2.1 Kružnice ležící v některé z průměten... 63 6.2.2 Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten... 63 6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze... 64 Kapitola 7... 68 7.1 n-úhelníky ležící v půdorysně... 68 7.2 Kružnice ležící v půdorysně... 71 Kapitola 8... 76 8.1 Analytické plochy... 76 8.2 Tečná rovina... 77 8.3 Plochy rotační... 77 8.3 Plochy nerotační... 78 8.3.1 Přímkové plochy... 78 Kapitola 9... 81 9.1 Nerozvinutelné přímkové plochy... 81 9.1.1 Nerozvinutelné přímkové plochy rotační... 81 4

9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační... 84 Kapitola 10... 90 10.1 Skutečná velikost úsečky... 92 10.2 Stupňování přímky, stopník přímky... 93 10.3 Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko... 94 10.4 Průsečnice různoběžných rovin... 95 10.5 Spád přímky, spád roviny, interval roviny... 96 10.6 Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu... 97 Kapitola 11... 103 11.1.1 Interkalární vrstevnice... 104 11.1.2 Rovinný řez topografickou plochou... 104 11.2 Řešení výkopů a násypů vodorovné komunikace... 105 11.3 Řešení výkopů a násypů stoupající komunikace... 108 Kapitola 12... 111 12.1 Typy střech... 112 12.2 Střechy s volnými okapy (bez zastavěných částí)... 113 12.2.1 Řešení střech se dvory... 117 Kapitola 13... 119 13.1 Střechy s rovnými zastavěnými částmi... 119 13.2 Střechy se zastavěnými rohy... 121 Použitá literatura... 125 5

Kapitola 1 KLÍČOVÉ POJMY promítání, středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání, šikmé promítání, Mongeovo promítání, půdorysna, nárysna, půdorys bodu, nárys bodu, bokorysna, pravoúhlá axonometrie, izometrie CÍLE KAPITOLY Získat úvodní informace o promítání. Seznámit se s druhy rovnoběžného promítání. Seznámit se s průměty bodů v Mongeově promítání. Seznámit se s průměty bodů v kosoúhlém promítání. Seznámit se s průměty bodů v pravoúhlé axonometrii. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Deskriptivní geometrie zobrazuje prostorové předměty útvary rovinnými. Pomocí těchto rovinných útvarů pak řeší úlohy prostorové. Zmíněné zobrazení prostorových útvarů do roviny provádí pomocí promítání.. Princip promítání třech různých bodů A,B a C je znázorněn na následujícím obrázku č. 1. 6

Obrázek č. 1 π - průmětna S ( S π ) střed promítání A 1 - průmět bodua SA - promítací paprsek V obrázku č. 1 je střed promítání vlastní (v konečnu), hovoříme o středovém promítání. Je-li střed promítání nevlastní (bod v nekonečnu v následujících obrázcích č. 2 a 3 je jeho poloha naznačena šipkou), jsou promítací paprsky jednotlivých bodů rovnoběžné a hovoříme o promítání rovnoběžném. 7

Obrázek č. 2 Obrázek č. 3 Je-li směr promítacích paprsků rovnoběžného promítání kosý k průmětně π, potom hovoříme o kosoúhlém nebo šikmém promítání, je-li tento směr kolmý k průmětně π, jedná se o pravoúhlé nebo kolmé promítání. Promítání středové není náplní tohoto textu. Nejznámějšími druhy rovnoběžných promítání jsou: - Mongeovo promítání - kosoúhlé promítání - pravoúhlá axonometrie - kótované promítání. 1.1 Průměty bodů 1.1.1 V Mongeově projekci Mongeovo promítání je pravoúhlé promítání na dvě k sobě kolmé průmětny vodorovnou, kterou značíme π a nazýváme půdorysna a svislou, značenou ν s názvem 8

nárysna. Kolmý průmět bodua do půdorysny značíme A 1 a nazýváme jej půdorys bodu A, kolmý průmět bodu A do nárysnya 2 nazýváme nárys bodu A. Obrázek č. 4 Soustava třírozměrných Kartézských souřadnic je zvolena tak, že průsečnice průměten π a ν tvoří osu x, počátkem O na této ose jsou pak proloženy kolmo osa yležící v půdorysně a osa z ležící v nárysně. V obrázku č. 4 je zobrazena i orientace os kladné části jsou označeny x +,y + a z +, záporné x -,y - a z -. Z obrázku č. 4 je také patrné, že zobrazenýboda má souřadnice x, y azkladné. Zobrazený bodb má záporné souřadnice x a z, kladnou souřadnici y. BodC ležící v π má zápornou souřadnici x, kladnou y a souřadnici z=0. Nárysna nechť nyní tvoří naši nákresnu, půdorysnu otočme tak, že její přední část se otočí podle osy x do spodní části nárysny a zadní část do horní části nárysny (otočení je v obrázku č. 4 naznačeno šipkami). Po tomto otočení zřejmě splynou osy y a z, jejich 9

orientace ale bude opačná. Situaci z obrázku pak představuje následný obrázek č. 5, půdorys a nárys konkrétního bodu se nazývají sdružené průměty. Obrázek č. 5 Příklad č. 1: Sestrojte sdružené průměty bodů: A=[2;3;4], B =[-5;2;-3], C=[-2;5;0], D =[0;-3;2], E =[4;0;3]. Řešení: V Mongeově promítání nebývá zvykem zakreslovat osy y a z ani orientaci osy x. 10

Obrázek č. 6 1.1.2 V kosoúhlém promítání Kosoúhlé promítání je kosé (šikmé) rovnoběžné promítání na některou průmětnu. V tomto textu bude touto průmětnou výhradně průmětna určená osami y a z, kterou značíme µ a nazýváme ji bokorysna - viz obrázek č. 7. 11

Obrázek č. 7 Průměty útvarů ležících v bokorysně budou tedy při tomto promítání totožné samy se sebou. Podle směru promítacích paprsků rozlišujeme 4 základní druhy kosoúhlého promítání viz následné čtyři obrázky č. 8. Obrázek č. 8 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava 12

Obrázek č. 9 nadhled zprava nadhled zleva podhled zleva podhled zprava Ve směru osy x se délky mohou zkracovat, zachovávat případně prodlužovat. Kosoúhlé promítání je tedy zadáváno dvěma prvky: úhlem ω a koeficientem q,který je poměrem délky průmětu a skutečné délky úsečky ve směru osy x(koeficient zkrácení prodloužení). Zobrazení bodu je dáno průmětem bodu a jeho půdorysu. Příklad č. 2: V kosoúhlém promítání ω =135 0, q=2/3 zobrazte průměty bodůa=[3;0;4], B=[6;5;4], C =[5;8;0], D=[-5;-2;2]. Řešení: Jak již bylo řečeno, souřadnice y a z se zobrazují nezkrácené, x-ové souřadnice je nutno zkracovat poměrem 2/3. V obrázku č. 10 byl na prodlouženou osu z vynesen trojnásobek 2 3. 2 jmenovatele koeficientu q a na průmět osy x trojnásobek čitatele koeficientu q (q= = - 3 3. 3 koeficient zkrácení byl pro přesnější konstrukci rozšířen číslem 3). Spojnice takto získaných bodů určuje směr zkrácení. Nezkrácené souřadnice jsou v obrázku č. 10 naznačeny pouze u bodů A ab (A=[x A A;y A ;z A ], B=[ =[x B ; y B ;z B ]). 13

Obrázek č. 10 1.1.3 V pravoúhlé axonometrii Pravoúhlá neboli kolmá axonometrie je pravoúhlé promítání do axonometrické průmětny θ, která je v obecné poloze vzhledem k půdorysně, nárysně i bokorysně viz obrázek č. 11. Obrázek č. 11 Axonometrická průmětna protíná půdorysnu, nárysnu a bokorysnu v axonometrickém trojúhelníkuxyz.. Pravoúhlé průměty os x, y a z do axonometrické průmětny pak leží ve výškách tohoto trojúhelníku. Chceme-li získat velikost jednotek na osách, provedeme otočení podle následujícího obrázku č. 12. ÚhlyXOY, YOZa ZOX jsou ve skutečnosti pravé. 14

Obrázek č. 12 Pokud je axonometrický trojúhelník XYZrovnostranný, tento druh nazýváme izometrie, je zkrácení na všech osách stejné a jednotky 0,81649. Ve většině příkladů tohoto textu budu používat jednotky zaokrouhlené, což na obecnosti nijak neubere. Příklad č. 3: Zobrazte v izomerii (j x =j y =j z =0,8)průměty bodů a určete polohu těchto bodů vzhledem k průmětnám: A = [ 5 ;4;3], B = [ 6;1;5 ], C = [ 3; 4;1 ], D = [ 4;2; 2 ], E = [ 0;5;2 ], F = [ 2;4;0], G = [ 6;0;3]. Řešení: 15

Obrázek č. 13 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická omická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. 16

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co znamená středové promítání, rovnoběžné promítání, kosoúhlé promítání. 2. Jaký je rozdíl mezi půdorysem bodu a nárysem bodu? 3. Co označujeme pravoúhlou axonomitrií? 4. Co je to izometrie? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. Výklad Kapitola 2 KLÍČOVÉ POJMY stopník přímky, půdorysný stopník přímky, nárysný stopník přímky, bokorysný stopník přímky, sklopené body, přímky rovnoběžné, přímky různoběžné, přímky mimoběžné CÍLE KAPITOLY Získat informace o průmětech přímek a úseček. Znát pojem stopník přímky. Seznámit se s průmětem úseček v Mongeově projekci. Seznámit se se vzájemnými polohami přímek. 17

ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Průmětem přímky je přímka, ve zvláštním případě (je-li tato přímka rovnoběžná se směrem promítání) je jím bod. Pro všechna rovnoběžná promítání dále platí: Průmětem dvou různých rovnoběžných přímek jsou dvě rovnoběžky (různé nebo totožné) nebo dva body. Vzhledem k průmětnám může být přímka pvv obecné poloze, rovnoběžná s některou průmětnou nebo kolmá k některé z průměten. V axonometrickém promítání je zobrazena přímka v obecné poloze. p = AB,která je vůči průmětnám 18

Obrázek č. 14 V dalším obrázku č. 15 jsou zakresleny v kosoúhlém promítání průměty přímek a //π, b // µ a c //ν. 19

Obrázek č. 15 V Mongeově projekci jsou zobrazeny sdružené průměty přímky p =AB, A = Obrázek č. 16 [ 0;3;5], B = [ 5;7; 4] ;. Na obrázku č. 17 jsou v Mongeově projekci zobrazeny průměty přímek a// π, c//ν, q π. 20

Obrázek č. 17 2.1 Stopník přímky Stopníkem přímky nazýváme průsečík této přímky s průmětnou. Průsečík přímky s půdorysnou nazýváme půdorysný stopník přímky a obvykle jej značíme P, průsečík přímky s nárysnou nazýváme nárysný stopník přímky a obvykle jej značíme N,případně průsečík přímky s bokorysnou nazýváme bokorysný stopník přímky, který obvykle značíme M. Pokud se v daném příkladu vyskytuje více půdorysných nebo nárysných případně bokorysných stopníků, přidáváme na rozlišení k jejich označení jméno přímky např. P a,p b,n p,.. stopníky stopníky V obrázku č. 18 v izomerii, který obsahuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné p P a p M a q P, nárysný stopník q M. q N (nárysný stopník přímky pneexistuje) a bokorysné 21

Obrázek č. 18 Obdobně v Mongeově projekci, která zobrazuje přímky p a q, jsou vyznačeny půdorysné stopníky p P a Obrázek č. 19 q P a nárysný stopník q N. 22

Příklad č. 4: V izomerii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průměty přímek [ 1;4;2 ], B = [ 5;4;6 ], [ 5;0;2] p = AB, q = AC, A = C = k průmětnám a určete jejich stopníky.. Určete jejich polohu vzhledem Řešení: Obrázek č. 20 2.1 Úsečka v Mongeově projekci, skutečná velikost úsečky Průmětem úsečky v Mongeově projekci je buď úsečka s délkou kratší (viz obr.). 23

Obrázek č. 21 Průmětem úsečky v Mongeově projekci může také být úsečka s délkou stejnou (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka rovnoběžná s průmětnou π. Obrázek č. 22 Nebo je jejím průmětem bod (viz obr.) v uvedeném případě je úsečka kolmá k průmětně π. Obrázek č. 23 24

Skutečnou velikost úsečky ABv prvém případě můžeme určovat sklápěním do půdorysny viz obr., body (A) a (B) nazýváme sklopené bodya a B. Obrázek č. 24 Pokud jsou z-ové souřadnice bodů A a B rozdílného znaménka, sklopení bodů se provádí na opačné strany viz obr. 25

Obrázek č. 25 2.2 Vzájemná poloha přímek Rozeznáváme tři vzájemné polohy přímek. 1) Přímky rovnoběžné Obrázek č. 26 26

Obrázek č. 27 2) Přímky různoběžné Obrázek č. 28 27

Obrázek č. 29 3)Přímky mimoběžné Obrázek č. 30 28

Obrázek č. 31 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. 29

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to stopník přímky? 2. Co může být průmětem úsečky v Mongeově projekci? 3. Jak určit skutečnou velikost úsečky? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být přímky? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 30

Kapitola 3 KLÍČOVÉ POJMY průmětna, stopy roviny, průsečnice CÍLE KAPITOLY Seznámit se s rovinou zadanou pomocí úseků na osách. Získat informace o tom, jak se určuje rovina. Seznámit se se vzájemnými polohami rovin. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Průmětem roviny je celá průmětna,, ve zvláštním případě (je-li rovina rovnoběžná se směrem promítacích paprsků) pak je jím přímka. Stopami roviny nazýváme průsečnice roviny s průmětnami. Průsečnici roviny s půdorysnou nazýváme půdorysná stopa roviny a obvykle ji značíme ρ p, kde, kde ρ je označení dané roviny. Průsečnici ρ s nárysnou nazýváme nárysná stopa roviny a značíme ji n případně průsečnici roviny ρ ρ s bokorysnou nazýváme bokorysná stopa a značíme ji m. ρ, 31

Obrázek č. 32 3.1 Rovina zadaná pomocí úseků na osách označeny V předchozím obrázku č 32 jsou úseky, které daná rovina vytíná na osách x y, z ρ ρ ρ x, y, z,. Tyto úseky pak jsou jedním ze způsobů zadání roviny - ρ [ x ; y ; z ] =. ρ ρ ρ Příklad č. 5: Sestrojte stopy rovin α = [ 3;3;2 ] a β = [ 4; 3;2] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č. 33 32

Je zřejmé, že roviny α a β mají vzhledem k průmětnám obecnou polohu. Příklad č. 6: Sestrojte stopy rovin γ = [ 3;4; ], δ = [ ;2;3 ], ε = [ ; ;1] a) v kosoúhlém promítání 135, Obrázek č. 35 b) v Mongeově projekci Obrázek č. 36 33

Polohy rovin γ, δ, ε jsou γ π, δ µ, ε // π. 3.2 Určenost roviny Rovina je obvykle určena jedním ze čtyř následujících způsobů: a) Třemi body, které neleží v přímce b) Přímkou a bodem, který na ní neleží c) Dvěma různoběžkami d) Dvěma různými rovnoběžkami. Pro práci s rovinou používáme velmi důležitou následující větu: Leží-li přímka v rovině, potom její půdorysný stopník leží na půdorysné stopě roviny, nárysný stopník leží na nárysné stopě roviny, případně bokorysný stopník leží na bokorysné stopě roviny. Obrázek č. 37 34

Příklad č. 7: Sestrojte stopy roviny ρ = a) v kosoúhlém promítání ABC. A = [ 1 ; 2;4], B = [ 2 ;4;1], C = [ 4;5;3] Řešení: Byly zvoleny přímky Obrázek č. 38 c = AB a a = CB a určeny stopníky. b) v Mongeově projekci Obrázek č. 39 35

3.3 Hlavní přímky roviny v Mongeově projekci Úkol, kdy k danému půdorysu bodu máme určit jeho nárys, obvykle řešíme pomocí zvláštních přímek roviny, tzv. hlavních přímek 1. případně 2. osnovy. Hlavní přímky 1. osnovy jsou rovnoběžné s půdorysnou, hlavní přímky 2. osnovy jsou rovnoběžné s nárysnou. Obrázek č. 40 1. osnovy 2. osnovy Příklad č. 8: V Mongeově projekci sestrojte chybějící průměty bodů A [ 1;2; z ], B = [ 1; 0,8; ] hlavních přímek 1. osnovy tak, aby, B ρ = [ 4;3;5] A. = pomocí A z B Řešení: 36

Obrázek č. 41 3.4 Vzájemná poloha rovin Dvě různé roviny v prostoru mohou být rovnoběžné nebo různoběžné. Rovnoběžné roviny nemají žádný společný bod, různoběžné roviny mají společnou přímku průsečnici. Rovnoběžné roviny Vzhledem k tomu, že nemají žádný společný bod, jsou jejich odpovídající stopy, které existují, rovnoběžné. 37

Obrázek č. 42 Různoběžné roviny Vzhledem k tomu, že tyto roviny mají společnou přímku, hledáme při řešení průsečnice q dva různé společné body těchto rovin. V obrázku č. 43je v Mongeově projekci užito průsečíku Ppůdorysných stop rovin a průsečíku N nárysných stop rovin. Obrázek č. 43 V obrázku č. 44 v kosoúhlém promítání užito průsečíku P půdorysných stop rovin a průsečíku M bokorysných stop rovin. 38

Obrázek č. 44 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. 39

OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětna? 2. Co nazýváme stopami roviny a jaké známe stopy roviny? 3. Jakými způsoby může být určena rovina? 4. V jaké vzájemné poloze mohou být roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad Kapitola 4 KLÍČOVÉ POJMY průsečík CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průsečíkem přímky s rovinou. Seznámit se s průmětem přímky k rovině. Určit vzdálenost bodu k rovině. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin 40

VÝKLAD Přímka, která v rovině neleží, může být s rovinou rovnoběžná nebo různoběžná. Přímka rovnoběžná s rovinou s ní nemá žádný společný bod, přímka různoběžná má s rovinou jeden společný bod průsečík.. Určení, kdy přímka je s rovinou rovnoběžná bez společného bodu, je složitější. Proto budeme řešit případ hledání průsečíku přímky s rovinou, pokud pak zjistíme, že žádný neexistuje, jedná se o přímku s rovinou rovnoběžnou. 4.1 Průsečík přímky s rovinou Při určování průsečíku přímky p s rovinou ρ volíme následující postup znázorněný v obrázku č. 45 v Mongeově projekci. Danou přímkou p proložíme libovolnou rovinu δ (její půdorysná stopa musí procházet půdorysným stopníkem p P a nárysná stopa nárysným p stopníkem N ), sestrojíme průsečnici qrovin ρ, přímka q pak na přímce pvytíná hledaný bod Q.. Obrázek č. 45 41

Pro jednodušší řešení tohoto problému bývá ve většině případů vhodné volit rovinu δ kolmou k některé průmětně. V obrázku č. 46 je se stejným zadáním předchozího příkladu volena rovina δ kolmá k půdorysně. Obrázek č. 46 V obrázku č. 47 je řešen v kosoúhlém promítání průsečík přímky p s rovinou ρ. Rovina δ je opět volena kolmá k půdorysně. 42

Obrázek č. 47 4.2Přímka kolmá k rovině v Mongeově projekci Průmětem přímky kolmé k rovině ρ v Mongeově projekci je v půdoryse přímka k 1 kolmá k půdorysné stopě roviny ρ a v nárysně přímka k 2 kolmá k nárysné stopě roviny ρ. V obrázku č. 48jsou průměty přímky k kolmé k rovině ρ proloženy daným bodem A. Obrázek č. 48 43

4.3Vzdálenost bodu od roviny v Mongeově projekci Při určování vzdálenosti bodu A od roviny ρ postupujeme následovně: 1. Bodem A proložíme přímku k kolmou k rovině ρ. 2. Sestrojíme průsečík přímky k s rovinou ρ - Q. 3. Určíme skutečnou velikost úsečky AQ. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to průsečík? 2. Jak postupujeme při určování vzdálenosti bodu od roviny? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. Výklad 44

Kapitola 5 KLÍČOVÉ POJMY elipsa, ohnisko, oskulační kružnice elipsy, tečna elipsy, vrcholová kružnice, řídící kružnice, hyperbola, asymptoty, oskulační kružnice, parabola CÍLE KAPITOLY Seznámit se s elipsou. Seznámit se s hyperbolou. Seznámit se s parabolou. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Jednoduché kuželosečky jsou rovinné křivky vzniklé řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy. Pokud rovina řezu protíná všechny povrchové přímky kuželové plochy, získáme elipsu, je-li rovina řezu rovnoběžná s jednou povrchovou přímkou, získáme parabolu. Je-li rovina řezu rovnoběžná se dvěma povrchovými přímkami, jedná se o hyperbolu. 5.1 Elipsa Elipsa je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý součet vzdáleností. 45

Obrázek č. 49 A, B hlavní vrcholy elipsy C, D vedlejší vrcholy elipsy - hlavní osa elipsy - vedlejší osa elipsy S střed elipsy, - ohniska elipsy - hlavní poloosy elipsy - vedlejší poloosy elipsy =e excentricita (výstřednost) elipsy, - průvodiče bodu M =2a 46

Bodová konstrukce elipsy Obrázek č. 50 Body 1, 2, 3 jsou libovolně zvoleny na hlavní ose mezi středem a ohniskem, bod má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. Oskulační kružnice elipsy Oskulační kružnice přibližně nahrazují křivost v určitém bodě. V následujícím obrázku č. 51 je znázorněna konstrukce těchto kružnic pro hlavní a vedlejší vrcholy. 47

Obrázek č. 51 Tečna elipsy Obrázek č. 52 Tečna elipsy půlí úhel průvodičů bodu dotyku. V předchozím obrázku č. 52 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 48

1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu elipsy leží na kružnici se středem S a poloměrem a - vrcholová kružnice. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen elipsy leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. Proužková konstrukce elipsy Obrázek č. 53 5.2 Hyperbola Hyperbola je množina bodů v rovině, které mají od dvou pevných bodů, zvaných ohniska, stálý rozdíl vzdáleností. 49

Obrázek č. 54 A, B hlavní vrcholy hyperboly C, D vedlejší vrcholy hyperboly - hlavní osa hyperboly - vedlejší osa hyperboly S střed hyperboly, - ohniska hyperboly - hlavní poloosyhyperboly - vedlejší poloosyhyperboly =e excentricita (výstřednost) hyperboly, - průvodiče bodu M =2a Bodová konstrukce, asymptoty, oskulační kružnice a tečna hyperboly Bodová konstrukce bod 1libovolně zvoleným prodloužení hlavní osy ve vzdálenosti větší než e od bodu S, bod M má od vzdálenost 1 a od vzdálenost 1. Další body jsou souměrné k sestrojeným podle hlavní případně vedlejší osy. 50

Asymptoty tečny, ke kterým se hyperbola nekonečně přibližuje. V obrázku č. 55 jsou označeny a a sestrojíme je jako úhlopříčky obdélníka, jehož strany procházejí hlavními a vedlejšími vrcholy rovnoběžně s osami. Oskulační kružnice v obrázku č. 55 je zobrazena konstrukce oskulační kružnice pro vrchol B. Její střed vytíná na hlavní ose kolmice k asymptotě sestrojené ve vrcholu výše zmíněného obdélníka. Oskulační kružnice v A má stejný poloměr. Obrázek č. 55 Tečna hyperboly půlí úhel průvodičů bodu dotyku. V předchozím obrázku č. 55 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohnisek na tečnu hyperboly leží na kružnici se středem S a poloměrem a vrcholová kružnice. 51

2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen hyperboly leží na kružnici se středem v druhém ohnisku a poloměrem 2a - řídící kružnice. 5.3 Parabola Parabola je množina bodů v rovině, které mají od přímky zvané řídící přímka a od pevného bodu- ohniska, stejnou vzdálenost. d - řídící přímka paraboly F ohnisko paraboly - parametr paraboly, - průvodiče bodu M o- osa paraboly V vrchol paraboly Bodová konstrukce, oskulační kružnice a tečna paraboly Bodová konstrukce - bod1 libovolně zvolený na polopřímce, bodem1sestrojíme přímku rovnoběžnou s řídící přímkou a její průsečík s kružnicí se středem v bodě F a poloměrem 1 je bodem paraboly. Další body sestrojíme podobně užitím bodů2.3,... Oskulační kružnice - v bodě V má poloměr p. Tečna paraboly - půlí úhel průvodičů bodu dotyku. 52

Obrázek č. 56 V předchozím obrázku č. 56 jsou zakresleny i dvě další vlastnosti: 1. Množina pat kolmic spuštěných z ohniska na tečnu paraboly leží na tečně sestrojené ve vrcholu V - vrcholová tečna. 2. Množina bodů osově souměrných k ohnisku podle tečen paraboly leží na řídící přímce. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. 53

SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké jednoduché kuželosečky (rovinné křivky) vzniknou řezem na kuželové ploše, přičemž rovina řezu neprochází vrcholem kuželové plochy? 2. Co to je ohnisko? 3. Charakterizujte elipsu. 4. Charakterizujte hyperbolu. 5. Co představují asymptoty? 6. Charakterizujte parabolu. KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 6. viz. výklad 54

Kapitola 6 KLÍČOVÉ POJMY osová afinita CÍLE KAPITOLY Seznámit se s průměty n-úhelníků v Mongeově projekci. Znát pojem osová afinita. Seznámit se s průměty kružnic v Mongeově projekci. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD 6.1 Průměty n-úhelníků v Mongeově projekci 6.1.1 Obrazce ležící v některé z průměten Obrázek č. 57 znázorňuje průmět čtverce ležícího v půdorysněπ. Jeho půdorys vidíme ve skutečné podobě, nárysem je úsečka. 55

Obrázek č. 57 Čtenář jistě usoudí na průměty obrazce ležícího v nárysně υ. 6.1.2 Obrazce ležící v rovině kolmé k některé z průměten V obrázku č. 58je řešen následující Příklad č. 9. Příklad č. 9: Sestrojte průměty čtverce ABCD ležícího v rovině ρ = [ 2; ;1 ], A = [ 1;1,3; z ], C = [ 1;5 ; ] A z C Řešení: Byly sestrojeny nárysy bodů A a C, které v této rovině leží. Protože se jedná o rovinu ρ 2 ρ kolmou k nárysně, leží A 2 a C 2 na n = 2. Rovina ρ byla otočena podle půdorysné stopy do půdorysny. Při otáčení se body A a C pohybují po kružnici, roviny těchto kružnic jsou kolmé ke stopě ρ p. V půdoryse jsou otočené body A 0 a C 0 na přímkách procházejících body A 1 a C 1, kolmých k p 1. Nárysem kružnic otáčení jsou kružnice (v obrázku č. 58 zakresleny čárkovanou čarou). V otočení je čtverec ve skutečné velikosti, A 0 a C0bylo doplněno na čtverec A 0B0C0D0 a provedeno zpětné otočení do nárysu a půdorysu. ρ 56

Obrázek č. 58 Student jistě sám objeví princip otáčení roviny kolmé k půdorysně podle nárysné stopy do nárysny. 6.1.3 Otáčení roviny v obecné poloze V obrázku č. 59 je znázorněno otáčení roviny ρ v obecné poloze podle půdorysné stopy do půdorysny. Poloměr otáčení bodu A lze získat z pravoúhlého trojúhelníka, jehož odvěsny tvoří vzdálenost půdorysu A 1 od ρ p a z-ová souřadnice z A bodu A. 57

Obrázek č. 59 Příklad č. 10: Je dána rovina = [ 7;7,8;6,5] ρ a body S ρ A,, A [ 5 ;9; z ], S = [ 2,5;4,5; ] A z S otočení těchto bodů podle půdorysné stopy roviny ρ do půdorysny. =. Proveďte Řešení: Viz obrázek č. 60. K půdorysům bodů A, S byly pomocí hlavních přímek určeny jejich nárysy A 2 a S 2. Roviny otáčení bodů A, S jsou kolmé k bodů A, S. ρ p, poloměr otáčení byl určen sklopením 58

Obrázek č. 60 Opět vyzývám studenta, aby si promyslel případné otáčení roviny podle nárysné stopy do nárysny. 6.1.4 Osová afinita Osová afinita je geometrická příbuznost mezi dvěma obrazci v rovině, pro kterou platí: a) Spojnice odpovídajících bodů jsou rovnoběžné se směrem afinity. b) Přímky, které si odpovídají, se protínají na ose afinity. Na obrázku č. 61 byla zadána osa afinity o a dvojice odpovídajících bodů A a Úkolem je k daným bodům B a že dvojice A a / A zadává směr afinity, pro body Přímce AB v afinitě odpovídá přímka / A. / C nalézt jejich odpovídající obrazy. Z vlastnosti a) vyplývá, / B a C tedy musí platit / / / BB // CC // AA. A / B / a tyto se podle b) musí protínat na ose afinity o 59

. Obdobně přímce odpovídá přímka BC. A / C / odpovídá AC. Na obrázku č. 61 je znázorněna i přímka B / C /, jíž Obrázek č. 61 6.1.5 Průměty obrazců ležících v rovině v obecné poloze Uveďme si velmi důležitou vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny: Pro půdorys (nárys) rovinného obrazce a jeho otočenou polohu podle půdorysné (nárysné) stopy do půdorysny (nárysny) platí vztah osové afinity. Osou afinity je stopa, podle které je rovina otáčena. Příklad č. 11: Sestrojte průměty pravidelného šestiúhelníku ABCDEF se středem v bodě S, ležícího v rovině ρ ( ρ = [ 7;7,8;6,5], A [ 5 ;9; z ], S = [ 2,5;4,5; ] = ) A z S Řešení: 60

Viz obrázek č. 62. Zadání roviny ρ a bodů A, S je shodné se zadáním předchozího příkladu. 1. K bodům A, S byly určeny nárysy A2 a S 2 hlavními přímkami. 2. Otočen bod S. 3. Otočený bod A0 sestrojen pomocí osové afinity. Osou afinity je p 1, dvojici odpovídajících bodů tvoří S 1 a S 0. 4. V otočení sestrojen pravidelný šestiúhelník A 0B0C0D0E0F0. 5. Pomocí osové afinity sestrojeny body B 1, C1, D1, E1, F1. 6. Pomocí hlavních přímek sestrojeny body B 2, C 2, D2, E2, F2 ρ 61

Obrázek č. 62. 6.2 Průměty kružnicev Mongeově projekci úsečka. V rovnoběžném promítání je průmětem kružnice elipsa (sem patří i kružnice) nebo 62

6.2.1 Kružnice ležící v některé z průměten V následujícím obrázku č. 63 je znázorněn průmět kružnice k ležící v půdorysně π. Obrázek č. 63 6.2.2 Kružnice ležící v rovině kolmé k některé z průměten Využijeme znalostí o skutečné velikosti úsečky v Mongeově projekci. Průmětem úsečky je úsečka (ve zvláštním případě bod). Délka průmětu je menší nebo rovná skutečné délce úsečky. K rovnosti dochází v případě, že úsečka je rovnoběžná s průmětnou. Ze všech průměrů kružnice se tedy promítá jako nejdelší ten, který je rovnoběžný s průmětnou. Je-li tedy průmětem kružnice elipsa, potom její hlavní osa v půdoryse leží na hlavní přímce 1. osnovy procházející středem kružnice a má délku rovnou průměru kružnice, v náryse leží na hlavní přímce 2. osnovy procházející středem kružnice a má opět délku rovnou průměru kružnice. Příklad č. 12: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 0;5; ] ležící v rovině = [ 3; ;4] z S ρ. 63

Řešení: Sestrojeno zadání příkladu. Vzhledem k tomu, že se jedná o rovinu kolmou k nárysně, je nárysem roviny přímka totožná s nárysnou stopou a nárys bodu S tedy na ní leží. ρ 1. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 2. Nárysem je úsečka 2. r = 6, která v půdoryse vymezuje vedlejší osu elipsy. Obrázek č. 64 6.2.3 Kružnice ležící v rovině v obecné poloze Půdorysem i nárysem je elipsa. 64

Příklad. 13: Sestrojte průměty kružnice k = ( S; 3 ), S = [ 3;2; ] ležící v rovině = [ 2;3;4] z S ρ. Řešení: Viz obrázek č. 64. 1. Sestrojeno zadání příkladu. Pomocí hlavní přímky 1. osnovy sestrojen nárys bodu S. ρ 2. V půdoryse sestrojena hlavní přímka 1. osnovy rovnoběžně se stopou p 1 a na ní od bodu S 1 nanesen na obě strany poloměr r = 3(hlavní osa elipsy v půdorysu). 3. Na rovnoběžce s nárysnou stopou v bodě S 2 nanesen na obě strany poloměr r = 3 (hlavní osa elipsy v nárysu). 4. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v půdorysu označen jako G a určen jeho nárys. Tento bod je obecným bodem nárysné elipsy a tuto je možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. 5. Jeden z hlavních vrcholů elipsy v nárysu označen jako H a určen jeho půdorys. Tento bod je obecným bodem půdorysné elipsy a tuto je stejně možno dodělat pomocí proužkové konstrukce. 65

Obrázek č. 65 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 66

VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je to osová afinita? 2. Definujte vlastnost platící pro průmět rovinného obrazce a jeho otočenou polohu do průmětny. 3. Co může být průmětem m kružnice? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 67

Kapitola 7 KLÍČOVÉ POJMY CÍLE KAPITOLY Seznámit se s n-úhelníky ležícími v půdorysně. Seznámit se s kružnicemi ležícími v půdorysně. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD 7.1 n-úhelníky ležící v půdorysně Provedeme otočení půdorysny π podle strany XY axonometrického trojúhelníka tak, jak bylo popsáno v 1. kapitole. Pro otočené body a jejich průměty opět platí vztah osové afinity, přičemž osou afinity je strana XY axonometrického trojúhelníka, směr afinity je kolmý k ose afinity (dvojicí odpovídajících si bodů je např. O). O 0 Příklad č. 14: Sestrojte průměty čtverce ABCD se středem S ležícího v půdorysně π, A = [ 2; 1 ;0, S = ] [ 4; 4 4 ;0] v pravoúhlé axonometrii, XY = XZ = 10 a YZ = 12. Řešení: 68

1. Sestrojen axonometrický trojúhelník XYZpodle zadání a průměty os xyz ležící ve výškách tohoto trojúhelníku. 2. Otočen trojúhelník XYO, sestrojeny osy x0a y 0. 3. Byly sestrojeny body A0 a S 0 vynesením skutečných souřadnic v osách x0 a y 0. 4. V otočení sestrojen čtverec A 0B0C0D0. 5. Afinitou, jejíž osou je přímka XY, dvojicí odpovídajících bodů O 0, O byly sestrojeny body A = A B = B, C = C, D = D, S =. 1, 1 1 1 S1 69

Obrázek č. 66 Příklad č. 15: V izometrii sestrojte průmět pravidelného čtyřbokého jehlanu s podstavou v π. [ 2 ;6;0], C = [ 5;1;0 ], = 8. A = v Řešení: 1. Jako axonometrický trojúhelník XYZ zvolíme libovolný rovnostranný trojúhelník a sestrojíme podstavu podle předchozího. 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku (protože zkrácení na všech osách je stejné, můžeme ji zkrátit např. na ose x). 70

Obrázek č. 67 7.2 Kružnice ležící v půdorysně Průmětem kružnice ležící v půdorysně je elipsa. Její hlavní osa leží na rovnoběžce se stranou XY axonometrického trojúhelníku a má délku rovnou průměru kružnice. Vedeme-li takto sestrojenými hlavními vrcholy elipsy rovnoběžky s osami x a y, protnou se (podle Thaletovy věty) v bodě, náležejícímu průmětu bodu na kružnici. Příklad č. 16: V pravoúhlé axonometrii XY = 12, XZ = 11, YZ = 10 sestrojte průměty kružnice ( S; 5), = [ 6;5;0] k = S. 71

Řešení: Viz obrázek č. 68. 1. Sestrojen průmět bodu S. 2. Bodem S sestrojena hlavní osa označená 1, 2, rovnoběžná se stranou XY délky 2 *5 = 10. 3. Body 1, 2 vedeny rovnoběžky s osami x a y s průsečíkem 3. 4. Proužkovou konstrukcí bylaurčena velikost vedlejší osy elipsy a následně celá elipsa. Obrázek č. 68 72

V následujícím učivu se u příkladů řešených v axonometrii omezím na izometrii. Jednotku na všech osách pak zaokrouhlíme na 0,8j (správná hodnota je 0,81649 j). Příklad č. 17: V izometrii (j x =j y =j z =0,8) sestrojte průmět rotačního válce s podstavou v π o středu S [ 6 ;7;0], r = 5, = 8. = v Řešení: 1. Postupem předchozího příkladu sestrojíme podstavu rotačního válce (vzhledem k tomu, že se jedná o izometrii, je bod 3 vedlejším vrcholem elipsy). 2. Ve středu podstavy vztyčíme kolmici k podstavě (rovnoběžka s osou z) a vyneseme zkrácenou výšku. Získáme střed horní podstavy. 3. Do získaného středu horní podstavy posuneme elipsu shodnou s dolní podstavou. 73

Obrázek č. 69 STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. 74

VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Co je průmětem kružnice ležící v půdorysně? 2. V jakém případě platí vztah osové afinity? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 75

Kapitola 8 KLÍČOVÉ POJMY analytická plocha, empirická plocha, stupeň plochy, tečná rovina, osa rotace,rotační plocha, meridián, nerotační plochy CÍLE KAPITOLY Znát rozdělení ploch. Seznámit se s tečnou rovinou. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Rozlišujeme plochy: Analytické vytvořené podle určitého zákona (rovina, kulová plocha,.) Empirické žádná zákonitost (topografická plocha) 8.1 Analytické plochy Stupeň plochy maximální počet průsečíků obecné přímky s plochou (rovina stupeň 1, válcová plocha stupeň 2). Plochy přímkové na jejich povrchu leží nekonečně přímek (rovina, válcová plocha, ). Plochy nepřímkové na jejich povrchu leží konečně přímek nebo žádná (kulová plocha, ). 76

8.2 Tečná rovina Vedeme-li určitým bodem T na ploše různé roviny, v bodě T ke vzniklým řezům, v tečné rovině této plochy. Obrázek č. 70,,. tečny,,,,. a sestrojíme-li,., pak všechny tyto tečny leží 8.3 Plochy rotační Rotační plochy vznikají rotací křivky podél osy o (válcová plocha, kulová plocha,.). 77

Obrázek č. 71 Pojmy: o osa rotace rovnoběžka kružnice, vzniklá rotací konkrétního bodu rotující křivky rovník rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí největší hrdlo rovnoběžka, jejíž poloměr je v blízkém okolí nejmenší k meridián (poledník), rotující křivka v jednotlivých fázích rotace hlavní meridián meridián, rovnoběžný s průmětnou, která je rovnoběžná s osou o 8.3 Plochy nerotační 8.3.1 Přímkové plochy Rozvinutelné lze je bez deformace rozvinout do roviny (válcová plocha, kuželová plocha). Pro všechny body povrchové přímky plochy jsou tečné roviny totožné. Nerozvinutelné neboli zborcené nelze je bez deformace rozvinout do roviny (plochy, které budou náplní následného učiva hyperbolický paraboloid, jednodílný 78

hyperboloid, konoid, šroubová plocha). Tečné roviny se podél povrchové přímky plochy mění. STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Jaké rozlišujeme plochy? 2. Jak rozdělujeme analytické plochy? 3. Co znamená stupeň plochy? 4. Co je tečná rovina? 5. Pojmenujte rotační a nerotační plochy. KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 79

4. viz. výklad 5. viz. výklad 80

Kapitola 9 KLÍČOVÉ POJMY jednodílný hyperboloid, hyperbolický paraboloid, šroubová plocha, konoid CÍLE KAPITOLY Seznámit se s plochami přímkovými nerozvinutelnými. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD 9.1 Nerozvinutelné přímkové plochy Nerozvinutelné přímkové plochy můžeme definovat pomocí 3 prostorových křivek (řídící křivky plochy), které každá tvořící přímka plochy tyto tři křivky protíná. 9.1.1 Nerozvinutelné přímkové plochy rotační Rotační jednodílný hyperboloid U této plochy máme několik způsobů vzniku: 1. Pomocí výše zmíněných 3 křivek. Pro jednoznačné určení zborceného hyperboloidu postačují 3 kružnice s různými poloměry, ležící ve vzájemně různých rovnoběžných rovinách, jejichž středy leží na téže přímce, která je kolmá k těmto rovinám. Podmínkou je, aby tyto kružnice neležely na jedné kuželové ploše. 2. Vyplývá z názvu. Tato plocha vzniká rotací hyperboly kolem své vedlejší osy. 81

3. Další možností je rotací přímky kolem osy s ní mimoběžné. Příklad č. 18: V Mongeově projekci sestrojte obrys jednodílného hyperboloidu vytvořeného rotací přímky [ 4;2;0 ], [ 4;2;8] p = PQ, P = Q = kolem osy o π ( o 1 = [ 0;5;0]). Plochu omezte rovinami π a / / π - π, je souměrná k π podle středu plochy S. Řešení: Zadání plochy je třetí z výše uvedených možností, tj. roací přímky kolem osy s ní mimoběžné. 1. Vzhledem k tomu, že rotující přímka je rovnoběžná s nárysnou, je její nejbližší bod k ose o(střed hrdla S) průsečíkem nárysu p a o. 2. Půdorys hrdla je kružnice dotýkající se. Nárysem hrdla je úsečka rovnoběžná s x délky průměru hrdla. 3. / je souměrná k podle S. 4. Půdorysem průsečnice plochy s a / je kružnice procházející stopníkem P přímky p. Nárysem jsou úsečky rovnoběžné s x. 5. Necháme-li bodem S rotovat přímku rovnoběžnou s p, obdržíme tzv. asymptotický kužel plochy. Jeho obrys tvoří v náryse přímky (a) a /, které jsou současně asymptotami nárysného obrysu plochy. 6. Pro nakreslení nárysu už byly sestrojeny pouze oskulační kružnice ve vrcholech hyperboly. 82

Obrázek č. 72 83

9.1.2 Nerozvinutelné přímkové plochy nerotační Hyperbolický paraboloid Řídícími křivkami, které definují tuto plochu, budou v tomto případě dvě vlastní mimoběžky a jedna nevlastní přímka. Touto nevlastní přímkou rozumíme rovinu, v níž tato přímka v pomyslném nekonečnu leží. Plochu tvoří přímky, které protínají dané mimoběžky a jsou rovnoběžné s danou rovinou. Nejjednodušší zadání bývá pomocí tzv. zborceného čtyřúhelníku. Na ploše existují dva systémy přímek reguly, kdy každá přímka jednoho regulu je různoběžná se všemi přímkami druhého regulu. Příklad č. 19: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) je dán hyperbolický paraboloid zborceným čtyřúhelníkem [ 3;9;5 ], B = [ 0;1;1 ], C = [ 5; 2;7], [ 8;6;2] ABCD, A = D =. Sestrojte po třech přímkách 1. a 2. regulu. Řešení: 1. Sestrojen zborcený čtyřúhelník ABCD, jehož půdorysem je rovnoběžník. 2. K průsečíkům rovnoběžek s se stranami a jsou nalezeny jim odpovídající průměty na stranách BC a AD. Tímto způsobem získáváme tvořící přímky jednoho regulu. 3. Přímky druhého regulu se získávají obdobným způsobem. 84

Obrázek č. 73 Konoid Konoidy jsou určené jednou vlastní přímkou, jednou nevlastní přímkou (rovinou) a vlastní křivkou. Podlé této křivky získávají jednotlivé konoidy svůj název. Body křivky spojujeme s body vlastní přímky přímkami rovnoběžnými s řídící rovinou. Příklad č. 20: V izomerii (jx=jy=jz=0,8) zobrazte kruhový konoid a 4 jeho tvořící přímky s řídící půlkružnicí ležící v µ se středem S = O, r = 5. Řídící rovinou je nárysna, řídící přímkou [ 8;0;0] / / y // y, M y, M =. Řešení: 85

1. Sestrojen průmět půlkružnice ležící v µ nad půdorysnou. Tato konstrukce je obdobou konstrukce kružnice ležící v půdorysně viz kapitola 7. tohoto textu.její hlavní osa je kolmá k ose x a má délku 2r, rovnoběžkami s osou y případně z je získán bod elipsy. 2. Tvořící přímky mají být rovnoběžné s nárysnou, tzn. dvě tvoří přímo rovnoběžky s osou x krajními body půlkružnice. 3. Další obdržíme sestrojením libovolné rovnoběžky s osou x, přičemž tvořící přímku sestrojíme jako spojnici průsečíku této přímky s průsečíku zmíněné rovnoběžky s osou x. / y a bodu na kružnici, který odpovídá Obrázek č. 74 86

Šroubová plocha Řídícími křivkamijsou jedna vlastní přímka, jedna nevlastní přímka a šroubovice, kde vlastní přímka je osou šroubovice a rovina nevlastní přímky je kolmá na tuto osu. Poté spojujeme body osy s body šroubovice a to rovnoběžně s rovinou nevlastní přímky. Pod pojmem šroubovice si představujeme prostorovou křivku obdobnou konci závitu šroubu. Rozlišujeme pravotočivé a levotočivé šroubovice. Pravotočivá šroubovice je ta, u které při pohybu shora dolů zatáčíme vůči ose doprava viz obrázek č. 75. Obrázek č. 75 Příklad č. 21: V Mongeově projekci zobrazte průmět jednoho závitu pravotočivé šroubové plochy s osou [ ] o π, o1 = 1;3;0, výška závitu v = 12, počáteční bod je A = [ 1;5;0 ]. Řešení: 1. Nejprve je sestrojována šroubovice. Jejím půdorysem je kružnice se středem v, procházející bodem. Kružnice je rozdělena na 12 dílů, body 1,2,.12 jako půdorysy dvanácti bodů šroubovice. Při pootočení šroubovice z bodu n do bodu n+1 87

vystoupá šroubovice o jednu dvanáctinu výšky závitu, tj. o jednu jednotku. Takto sestrojíme nárysy 1,2,.12 a jejich spojením s bodem A získáme nárys šroubovice. 2. Půdorysem šroubové plochy pak jsou spojnice bodů,1,2,.12 s bodem. 3. Nárysem šroubové plochy jsou rovnoběžky s osou x body,1,2,.12. Obrázek č. 76 88

STUDIJNÍ MATERIÁLY ČERNÝ, J. a M. KOČANDRLOVÁ, 2005. Konstruktivní geometrie.. Praha: Česká technika nakladatelství ČVUT, 161 s. ISBN 80-01-03296-5. KORCH, J. a K. MÉSZÁROSOVÁ, 1987. Deskriptivní geometrie pro 1. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 228 s. SETZER, O. a K. KŮLA, 1976. Deskriptivní geometrie pro 1. a 2. ročník středních průmyslových škol stavebních.. Praha: SNTL, 327 s. VACKA, M., 2014. Deskriptivní geometrie: Mongeova projekce, kosoúhlé promítání a pravoúhlá axonometrie: studijní skripta.. 1. vyd. České Budějovice: Vysoká škola technická a ekonomická v Českých Budějovicích, 70 s. ISBN 978-80-7468-064-9. OTÁZKY A ÚKOLY 1. Pomocí čeho definujeme nerozvinuté přímkové plochy? 2. Jak rozdělujeme nerozvinuté přímkové plochy? 3. Charakterizujte šroubovou plochu. 4. Co je to konoid? 5. Co znamená slovo regul? KLÍČ K ŘEŠENÍ OTÁZEK 1. viz. výklad 2. viz. výklad 3. viz. výklad 4. viz. výklad 5. viz. výklad 89

Kapitola 10 KLÍČOVÉ POJMY kótované promítání, kóta, stopník přímky, stupňovaní přímky, interval přímky, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko, průsečnice, spád přímky, spád roviny, interval roviny CÍLE KAPITOLY Seznámit se s kótovaným promítáním. Seznámit se se stupňováním přímky. Znát pojmy vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Seznámit s řešením výkopů a násypů v rovinném terénu. ČAS POTŘEBNÝ KE STUDIU U KAPITOLY 8 hodin VÝKLAD Kótované promítání je pravoúhlé promítání na jednu průmětnu. Tuto průmětnu si představujeme jako vodorovnou obdoba půdorysny z Mongeovy projekce. Pro jednoznačné určení bodu je k jeho průmětu přidávána vzdálenost od průmětny kóta, přičemž body nad průmětnou mají kótu kladnou, pod průmětnou mají kótu zápornou. 90

Obrázek č. 77 Příklad č. 22: Zobrazte průměty bodů 3,5;1;4, 2; 3,5;0, 1; 2;5, 5;3; 4, 5;0;6. Řešení: Sestrojení průmětů stejné jako sestrojení půdorysů v Mongeově projekci, z-ová souřadnice je kótou bodu. 91

Obrázek č. 78 10.1 Skutečná velikost úsečky Podobně jako v Mongeově projekci se provádí sklápěním. Obrázek č. 79 92

10.2 Stupňování přímky, stopník přímky Stupňovat přímku znamená nalézt na této přímce body, jejichž kóty jsou celá čísla. Takto nalezené body neznačíme písmeny, ale připisujeme k nim jejich kótu. V následujícím obrázku č. 80 je zadána přímka a body A a B a ze sklopení je zřejmé, že vzdálenosti 2 23 jsou stejné a nazýváme je interval přímky a. Bod 0 je zřejmě nám už známý stopník. Obrázek č. 80 Rychlejším řešením stupňování je tedy obvykle rozdělení úsečky na požadovaný počet dílů. V následujícím obrázku č. 81 je tímto způsobem vystupňována přímka k=kl. 93

Obrázek č. 81 10.3 Stopa roviny, vrstevnice, spádová přímka, spádové měřítko Stopa roviny průsečnice roviny s průmětnou (již dříve zavedený pojem). Vrstevnice přímka roviny, která je rovnoběžná s průmětnou (obdoba hlavní přímky roviny). Spádová přímka přímka roviny s největší odchylkou od průmětny. Je kolmá k vrstevnicím a i její průmět je kolmý k průmětům vrstevnic. Spádové měřítko vystupňovaná spádová přímka. Příklad č. 23: Je dána rovina, 6;3;4, 4; 10;5, 7; 1; 1. Sestrojte stopu a spádové měřítko roviny ρ. Řešení: 1. Sestrojena přímka p roviny ρ a vystupňována. 94

2. Vrstevnice v s kótou 4 je určena bodem A a bodem s kótou 4 na přímce p. 3. Stopa je rovnoběžná s vrstevnicí v a prochází bodem s kótou 0 na přímce p. 4. Spádová přímka je kolmá k stopě. V kótovaném promítání se značí zdvojenou čarou, jedna slabší a jedna silnější. 5. Spádová přímka byla vystupňována pomocí bodů na přímce p. 6. Ke spádovému měřítku se přidává šipka, která značí směr stoupání roviny Obrázek č. 82 10.4 Průsečnice různoběžných rovin V obrázku č. 83 je sestrojena průsečnice rovin ρa, které jsou zadány spádovými měřítky a. 95

Obrázek č. 83 10.5 Spád přímky, spád roviny, interval roviny Spád přímky je definován jako tangens odchylky přímky od průmětny. Spád roviny je definován jako spád spádové přímky roviny. Interval roviny je definován jako interval spádové přímky roviny. Z následujícího obrázku č. 84, který je pohledem rovnoběžným se stopou roviny ρ vyplývá vztah: případně 96

Obrázek č. 84 10.6 Řešení násypů a výkopů v rovinném terénu Příklad č. 24: Vdaném vrstevnicovém plánunavrhněte násypy a zářezy vodorovné cesty v úrovni 204dané osou o=ab, šířky 2 m, spád zářezů je tan α = 1, spád násypů je 5 tan β = 6. Měřítko M=1:200. 97