Aalýza sigálů v frvčí oblasti
Fourirova trasformac
Záladí ida trasformac () Trasformac () Zpracováí v časové oblasti Zpracováí v trasform. oblasti () Ivrzí Trasformac ()
Typy Fourirových trasformací
Discrt Tim Fourir Trasform
Symtri DTFT sptra rálého sigálu
Disrétí Fourirova trasformac -bodová DFT sigálu s vzory:,,, ) ( / DFT zpětá trasformac IDFT :,,, / DFT Jliož / priodicá, priodicá i DFT a IDFT počítám vzory pouz přs du priodu. ) / si( ) / cos( ) ( DFT
Polárí tvar DFT imag m ()= ral()+ imag() mag Ф ral mag mag ral( ) imag ( ) ta imag ral ( ) ( ) PS ( ) mag ( ) ral( ) imag ( )
Při použití polárí rprztac DFT pozor a áslduící možé problémy : správou ovrzi fáz - sw většiou vrací fázový úhl v radiách a to v rozsahu < π/, π/ > při výpočtu fáz pozor a ulovou rálou část ( přtčí) (fáz v tomto případě ±9º pozor a správou ovrzi úhlu z itrvalu < π/, π/ > a itrval <, π > fáz u vlmi ízých amplitud, tré s ztrácí v šumů můž chaoticy mitat oolo ulové hodoty
fázová charatristia s opau s priodou π to způsobu v ětrých případch spoitost v fázové charatristic Amplitudová frvčí charatristia vždy ladá problémy mohou astat poud imagiárí část trasformovaého sigálu clá ulová -> můž docházt prudé změě v fázové charatristic mzi π a π
Př.: Výpočt DFT z dfiic: ={,,,} DFT DFT DFT DFT 3 3: : : 4 : 3 3 3 3 3 3 3 DFT ={4,-,,}
Vlastosti DFT
Symtri DFT: DFT rálého sigálu vyazu omplě sdružou symtrii oolo počátu t.: DFT -= DFT* Protož DFT priodicé DFT -= DFT - Výpočt hodot pro = a =/ (pro sudé ) ) ( ) ( DFT DFT DFT DFT
Vlastosti DFT. Liarita ()+ () ()+ (). Priodičost - fuc () a () sou priodicé s priodou P= 3. Kruhový časový posu : ( ), clé posu v čas způsobí změu v fázi 4. Kruhový frvčí posu ( ), clé
4. Priodicá ovoluc v časové oblasti Priodicou ovoluci dvou svcí dély určím ao souči -bodových trasformací. 5. Priodicá orlac 6. Obraz obrácé poslouposti 7. Vlastosti sptra rálé poslouposti ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( Im ) ( Im ) ( R ) ( R *
5. Priodicá ovoluc v frvčí oblasti 8. Vlastosti sptra rálé a sudé poslouposti -li rálá a sudá i rálá sudá 9. Vlastosti sptra rálé a liché poslouposti -li rálá a lichá, pa imagiárí, lichá. Altrativí vzorc pro výpočt IDFT * * ( ) ( ) K výpočtu ivrzí trasformac možé použít algoritmů pro výpočt DFT: prv obrátím zaméa hodot imagiárí části (), vypočtm DFT obrátím zaméa imagiárích částí vypočtých hodot výsld vydělím
Vlastosti fázové charatristiy
Vliost DFT vzorů J-li () rálý vstupí sigál složý z siusov s odpovídaící amplitudou A a cločíslým počtm cylů přs vzorů, vliost DFT vzoru odpovídaící siusovy M r daá vztahm M r A Pro omplí vstupí sigál s vliostí A (t. A πft ) výstupí vliost DFT vzorů M r A
Rozliší DFT
Amplitudové, fázové, výoové sptrum
Rpliac sigálu a ulová itrpolac sptra Eistu vztah mzi rpliací v dé oblasti a ulovou itrpolací v druhé oblasti: J-li M-rát rpliová, DFT() itrpolová (ulová itrpolac) a ásob M: DFT DFT {,,, } M DFT /M M-rát M-ásobá itrpolac: /M { DFT, DFT,, DFT } M-rát
DFT dvoic Impulz : {,,,, } {,,,, } ostata Kostata: {,,,, } {,,,,, } impulz Epociála: Siusoida: cos.5.5 ( ) -bodová siusoida s priodou a F=/ má pouz dva ulové vzory
Ivrzí DFT DFT /,,, DFT a IDFT maí podobý vztah, až a zaméo u pociály a ormalizačí fator /. J-li DFT symtricá (omplě sdružá symtri) můž být vyádřa ao součt siusoid, protož dvoici A v a v - odpovídá siusoida cos A DFT odpovídá dc složc DFT / a DFT vzor DFT / (pro sudé ) odpovídá frvci F=.5 a odpovídá sigálu Kcos(), d K=(/) DFT /
Př.: DFT = {4, -,, } ) (4.5.5 3 3: ) (4.5.5 : ) (4.5.5 : ) (.5.5 : 3 3 3 3 3 3 3 3 3 DFT DFT DFT DFT IDFT ={,,,}
Altrativí vzorc pro výpočt IDFT * * ( ) ( ) K výpočtu ivrzí trasformac možé použít algoritmů pro výpočt DFT: prv obrátím zaméa hodot imagiárí části (), vypočtm DFT obrátím zaméa imagiárích částí vypočtých hodot výsld vydělím
DFT- volba frvčí osy
Prosaováí v sptru (Spctrum laag) Prosaováí s vysytu thdy, poud u vzorovaého aalogového sigálu počítám DFT z vzorů a v těchto vzorcích í obsaž cločíslý počt priod siusoid obsažých v vstupím sigálu. Při prosaováí s v DFT vysytou sptrálí čáry i id ž v ±f (f frvc vstupího sigálu Prosaováí možé limiovat, al lz odstrait úplě.
K vysvětlí prosaováí v sptru s používá Fourirův obraz rálé osiové fuc ) / ( si ) ( si ) / ( si ) ( si ) ( ), / cos( ) ( )/ ( ) ( )/ ( ) ( m m m m m K m m m m r r
K omzí vlivu prosaováí v sptru s přd provdím DFT ásobí vstupí sigál tzv. vyhlazovacím om. w ( m) w( ) ( ) m/
Maticový zápis DFT a IDFT,,...,,,..., * DFT DFT ) )( ( ) ( ) ( 4 Ozačím DFT rovic lz zapsat maticově = matic matic
Maticový zápis IDFT T IDFT matic T
Sptrálí vyhlazí časovými oy výběr vzorů vzorovaého sigálu = ásobí vzorovaého sigálu pravoúhlým om romě pravoúhlého oa lz použít i ié typy o aždé oo má určitou frvčí charatristiu a podl toho vhodé pro zpracováí určitého typu sigálu Záladí charatristiy o Amplitudová charatristia P P log.5 6dB 6 P log.77p 3dB 3
Další charatristiy o: ohrtí zsílí (cohrt gai) CG w EB (quivalt ois badwith) EB w w SL (scallop loss) SL log w w
Používaá DFT oa a ich charatristiy
Používaá DFT oa a ich charatristiy Bartltt vo Ha Hammig Blacma Kaisr
Zvětšováí dély oa (u všch o) lsá šířa hlavího lalou, vliost postraích laloů s téměř měí Idálí případ amplitudové charatristiy (pro oo daé dély) - úzý (a co vyšší) hlaví lalo a ízé postraí laloy -> protichůdé požadavy - většiou s lsaící šířou hlavího lalou rost amplituda postraích laloů Dyamicé rozliší - schopost odlišit vlé změy v amplitudě sigálu. Frvčí rozliší oa - schopost od sb odlišit siusovy s podobou amplitudou a blízou frvcí. Platí: při použití vyhlazovacích o od sb lz odlišit dvě siusovy s frvcmi ižšími ž šířa hlavího lalou oa. F f S M zmší F musím zmšit M zvětšit (al přidáím ul!!!) víc vzorů sigálu
Přílad: (t)=a cos(f t)+ A cos((f + f)t) A = A = f =3Hz S=8Hz Mám vzorů, doplit počt ulami a FFT Jaé mší f pro: pravoúhlé oo vo Haovo oo pro áslduící a FFT : a) =56, FFT =48 b) =5, FFT =48 c) =56, FFT =496 lz zvětšit rozliší přidáím ul, al pouz zvětším dély sigálu
A =.5 (6dB pod A t. log(/.5) )
Odhad sptra Výoová sptrálí hustota (PSD powr spctral dsity) R (f) aalogového výoového bo áhodého sigálu (t) Fourirova trasformac autoorlačí fuc r (t). R (f) rálá záporá sudá fuc s hodotou R () rovou průměrému výou sigálu (t). PSD s používá odhadu sptra vzorovaého sigálu očé dély Dva způsoby odhadu sptra : paramtricý odhad o sigálu ic vím a odhadum sptrum paramtricý odhad odhad sptra modlum ao oficity filtru buzého šumm paramtricé odhady: Priodogram priodogram P založa a DFT (FFT) -vzorovaé řady a dfiová ao: P DFT
dobrý odhad pro dtrmiisticé, pásmově omzé, výoové sigály, vzorovaé vyšší frvcí ž yquistova Špaté pro sigály pošozé šumm lchova mtoda založá a průměrováí přrývaících s priodogramových odhadů Pricip: sigál rozděl a přrývaících s M vzorovaých úsů (s přrytím D vzorů, D=5-75%). Každý ús ásob M vzorovým om w() vůli omzí prosaováí. PSD aždého úsu odhaduto priodogramm priodogramů zprůměrováo M-bodový průměrý priodogram Mtoda vhodá pro dtci frvcí, tré sou blízo sb (dobré frvčí rozliší) Bartlttova mtoda Jao lchova mtoda, al sgmty s přrývaí a sou ásoby om
Blacma-Tuy mtoda: mtoda urču PSD z autoorlac ásobé om Pricip: vzorový sigál doplě ulami a vzorů výsldm sigál y určí s priodicá autoorlac y alzím Y FFT a určím IFFT součiu Y FFT Y FFT * a dostam bodový autoorlačí odhad r. autoorlačí odhad r ásob M-bodovým om (vůli vyhlazí sptra a rduci vlivu špatého autoorlačího odhadu sigálu očé dély) určím FFT M-bodové autoorlac ásobé om a dostam vyhlazý priodogram mší M (užší oo) lpší vyhlazí, al můž doít masováí ětrých špič (paů) bo přrytí ostrých dtailů. Obvyl s používá M v rozsahu M=. až M=.5 ao oo pro vyhlazí s častěi používá Bartlttovo oo. mtoda vhodá pro dtci dobř oddělých paů s rozdílou vliostí (dobré dyamicé rozliší)
Rychlá Fourirova trasformac FFT
) ( ) ( ) ( 4 3 Algoritmus využívá symtri a priodicity pociály = -/ Záladí výsldy využité v FFT výpočtch: -bodová trasformac : DFT diého čísla A číslo A -bodová trasformac : DFT -bodové řady DFT = + DFT = -
Radi -FFT trasformac využívá toho, ž -bodová DFT můž být zapsáa ao součt dvou / bodových trasformací vytvořých z sudých a lichých vzorů. Ozačím sudé vzory (sudý id) a o - liché vzory (lichý id), pa ) ( DFT,,,, o DFT
,,,,,,,, o o DFT o DFT a záladě priodicity lz odvodit: tzv. Dailso-Lazos lmma A= B= o
Výpočt FFT dcimac v frvci DIF
Výpočt FFT dcimac v čas DIT
Výpočt FFT - porováí