2 Diferenciální počet funkcí více reálných proměnných

Transkript

1 - 6 - Difereciálí počet fucí více proměých Difereciálí počet fucí více reálých proměých 1 Spoitost, limity a parciálí derivace Fuce více reálých proměých Defiice Pod reálou fucí reálých proměých rozumíme zobrazeí f : přirozeé číslo, 1, de e Pozáma Zápis fučí hodoty f ( x1,, x ) budeme často používat ve zráceé formě f ( x ), de x [ x1,, x ] Pozáma V přírodovědých a techicých apliacích bývá často, 3 ebo 4 Pa hovoříme o reálé fuci dvou, tří resp čtyř reálých proměých Defiice Pod -oolím bodu [ a1,, a ] a rozumíme možiu K ( ) R : a x x a 1, de symbolem ozačueme euleidovsou ormu Reduovaé -oolí bodu a e rovo příslušému -oolí bez bodu a Spoitost Defiice Nechť e fuce f ( x ) defiováa a oolí bodu a Řeeme, že e tato fuce spoitá v bodě a, právě dyž 0 0: x D f platí xa f( x) f( a ) Limity Defiice Nechť e fuce f ( x ) defiováa a ěaém reduovaém oolí bodu a Řeeme, že tato fuce má v uvedeém bodě vlastí limitu, právě dyž 0 0: x D f platí 0 xa f( x ) Používáme stručý zápis lim f ( x) xa 1 Vitře oule o poloměru se středem v bodě a b 1 b

2 Spoitost, limity a parciálí derivace Defiice Nechť e fuce f ( x ) defiováa a ěaém reduovaém oolí bodu a Řeeme, že tato fuce má v uvedeém bodě evlastí limitu, právě dyž K 0 0: x D f platí 0 xa f ( x ) K Dále řeeme, že fuce f má v bodě a evlastí limitu, právě dyž K 0 0 : x D f platí 0 xa f ( x ) K V případě evlastích limit používáme stručý zápis lim f ( x ) Pozáma Limity v evlastích bodech ai edostraé limity esou pro fuce více reálých proměých defiováy (algebra limit) Pro limity reálých fucí více reálých proměých platí steá tvrzeí o algebře limit, aá sme zformulovali pro fuce edé reálé proměé: xa lim f ( x) g( x) lim f( x) lim g( x ), xa xa xa lim f ( x) g( x) lim f( x) lim g( x ), xa xa xa lim f ( x) g( x) lim f( x)lim g( x ), xa xa xa lim f ( x) / g( x) lim f( x) / lim g( x ), xa xa xa poud ovšem maí pravé stray uvedeých rovostí smysl Parciálí derivace Defiice Nechť e fuce f ( x ) defiováa a ěaém oolí bodu a Parciálí derivací fuce f podle proměé x v bodě a azveme lim xa f ( a1,, a 1, x, a 1,, a) f( a1,, a) x a f Užíváme pro i zpravidla ozačeí ( a ) x Pozáma Výpočet parciálí derivace podle proměé x v bodě a odpovídá výpočtu obyčeé derivace ové fuce edé reálé proměé f ( x) f( a1,, a 1, x, a 1,, a) Kromě vybraé považueme tedy během výpočtu všechy zbývaící proměé za ostaty

3 - 8 - Difereciálí počet fucí více proměých (algebra derivací) Poud maí pravé stray rovostí smysl, platí ( f g) f g ( a ) ( a ) ( a ), x x x ( f g) f g ( a ) ( a ) ( a ), x x x ( f ) f ( a ) ( a ), x x ( fg ) f g ( a ) ( a ) g ( a ) f ( a ) ( a ), x x x f g ( a) g( a) f( a) ( a) ( f / g) x ( ) x a x g( a) Pozáma Opaovaým parciálím derivováím, poud e to možé, zísáme vyšší parciálí derivace zadaé fuce více reálých proměých Opaovaé derivováí můžeme provést podle steé ezávislé proměé Zísáme ta druhou, třetí atd parciálí derivaci fuce f podle této proměé Používáme ozačeí f f, x x x 3 f f x x x 3 atd Poud opaovaé derivováí provádíme podle růzých proměých, dostáváme tzv smíšeé vyšší derivace zadaé fuce Pro smíšeou vyšší derivaci pa používáme ozačeí m f f x x x x x 1 m 1 m Nechť má fuce f v bodě a spoité obě smíšeé druhé derivace Pa sou si tyto derivace rovy f x x a i f x x a Pozáma Pro rozumé fuce ezáleží tedy ve smíšeých derivacích a pořadí derivováí Vetorová pole a omplexí fuce více reálých proměých Pozáma V apliacích e užitečý poem reálého vetorového pole Pod vetorovým polem (viz též apitola 61) chápeme zobrazeí : Často bývá m 4 a 3, dy čtyři ezávislé proměé popisuí závislost m trorozměrého vetorového pole a polohovém vetoru a čase

4 Spoitost, limity a parciálí derivace Reálá vetorová pole sou vlastě uspořádaé -tice reálých fucí více reálých proměých Podobě ao v případě vetorových fucí edé reálé proměé posuzueme spoitost vetorových polí, počítáme limity a derivueme e po složách Pozáma Zobrazeí f : azveme omplexí fucí více reálých proměých Podobě ao v případě omplexích fucí edé reálé proměé můžeme i yí psát f( x) f ( x) if ( x ), 1 de f ( x ) a f ( ) 1 x sou iž reálé fuce více reálých proměých (reálá a imagiárí část fuce f) Ve shodě s apitolou 18 platí tedy omplexí fuce více reálých proměých e spoitá, právě dyž sou taové eí reálá i imagiárí část, lim f( x) lim f ( x) ilim f ( x ), 1 xa xa xa f f1 f ( a) ( a) i ( a ) x x x Složeé fuce I fuce více proměých můžeme růzými způsoby sládatv této apitole si uážeme, a ěoli záladích typů složeých fucí více reálých proměých derivovat 1 Nechť f ( x1,, x ) e reálá fuce reálých proměých a dále echť g () t sou reálé fuce edé reálé proměé, 1,, Pa pro fuci ht ( ) f( g1( t),, g( t)) platí dh f dg ( t ) g ( t ),, g ( t ) ( t ) dt x dt Nechť f ( y ) e reálá fuce edé reálé proměé a g( x1,, x ) e reálá fuce reálých proměých Pa pro fuci hx ( 1,, x) f( gx ( 1,, x)) a pro aždé 1,, platí h df g a1,, a g( a1,, a) ( a1,, a) x dy x Nechť f ( y1,, y ) e reálá fuce reálých proměých a g ( x1,, x m), 1,,, sou reálé fuce m reálých proměých Pa pro fuci hx (,, x) f( g( x,, x),, g( x,, x)) 1 m 1 1 m 1 m a pro aždé 1,, m platí 1 V íže uvedeých větách předpoládáme, že všechy derivace existuí

5 Difereciálí počet fucí více proměých h f g,, (,, ),, (,, ) (,, ) x y x b1 bm g1 b1 bm g b1 bm b1 bm 1 Pozáma Vzorce uvedeé v předcházeících třech větách e možo psát i ve stručěší a přehleděší formě dh f dg ( t ) ( t ) ( t ) dt x dt g, h df g ( a) g( a) ( a ), x dy x h f g ( b) g( b) ( b ) x y x 1 Obecý ávod, terý pro derivováí složeých fucí více reálých proměých uvedeé věty posytuí, e možo formulovat ásleduícím způsobem: edříve derivu věší fuci podle aždé proměé, terá závisí a proměé vitří fuce, podle íž derivaci složeé fuce počítáme, pa tuto derivaci vyásob odpovídaící derivací vitří fuce, aoec všechy tato zísaé součiy sečti 3 Derivace ve směru Parciálí derivace f / x ( a ) popisue, a se v zadaém bodě měí fuce f podél -té souřadicové osy V této apitole si uážeme, a popsat změu daé fuce podél libovolé přímy procházeící bodem a Defiice Nechť e edotový vetor, t platí 1 1 Pa limitu f ( at) f( a) lim t0 t f azveme derivací fuce f v bodě a ve směru Budeme pro i používat symbol ( a) Pozáma ( ) Pro speciálí volbu [0,,1,,0], de ediča stoí a -té pozici a vetor míří ve směru -té souřadicové osy, přechází derivace v zadaém směru a prostou parciálí derivaci: f ( ) f a ( a ) ( ) x Nechť fuce f má a ěaém oolí bodu a všechy prví parciálí derivace, teré sou avíc v bodě a spoité Pa platí f f ( a) ( a), x de sou složy vetoru 1 1 Symbolem ozačueme euleidovsou ormu vetoru

6 Derivace ve směru Defiice Vetor f f ( a),, ( a) x1 x azýváme gradietem fuce f v bodě a Obvyle pro ě používáme ozačeí f ( a ) 1 Pozáma Pomocí gradietu můžeme vzorec pro výpočet derivace ve směru přepsat do stručěšího a přehleděšího tvaru f ( a) f ( a ) Současě vša můžeme zapsat salárí souči dvou vetorů ao souči eich veliostí a osiu úhlu, terý svíraí Platí tedy f ( a) f ( a) cos, de e úhel sevřeý vetorem gradietu f ( a ) a edotovým vetorem, 0, Derivace f / ( a ) bude proto abývat své maximálí hodoty pro 0 Můžeme tedy říci, že gradiet fuce zadává směr eího maximálího růstu 4 Totálí difereciál, Taylorův rozvo Totálí difereciál Nechť fuce f ( x ) má a ěaém oolí bodu a všechy prví parciálí derivace, teré sou avíc v bodě a spoité Pa platí f( ) f( ) f( )( ) o x a a x a x a Pozáma Podle této věty e možo a ěaém malém oolí bodu a, t pro ta x, terá se od a příliš eliší, ahradit obecou fuci f edodušší fucí lieárí Můžeme tedy pro tato x psát s přibližou platostí 3 f( x) f( a) f( a)( xa ) Chyby, terých se při této přibližé áhradě dopustíme, budou až druhého řádu, t úměré x a Defiice Výraz df ( xa ; ) f( a)( xa) f ( x) f ( a ) se obvyle azývá totálím difereciálem fuce f v bodě a 1 Viz též apitola 6 ox ( ) Pod symbolem o(x) rozumíme libovolou fuci, terá splňue lim 0 x0 x 3 Jistě epřevapí, že pro fuci dvou proměých f ( xy, ) tato lieárí fuce zadává tečou roviu e grafu fuce f v bodě a [ a, a ] x y

7 - 3 - Difereciálí počet fucí více proměých Taylorův rozvo (Taylorova) Nechť má fuce f má a ěaém oolí bodu a spoité všechy parciálí derivace až do řádu m Pa platí 1 f f( x) f( a) ( a)( x a) 1! x f ( a)( x a )( ) 1 x 1 a! x x m 1 f m x x ( a) ( x a )( x a ) 1 1 m m! m 1 m o( xa ) Pozáma Podle této věty e možo, podobě ao v případě fucí edé reálé proměé (viz apitola 15), ahradit a ěaém malém oolí bodu a obecou fuci f edodušším polyomem, tetorát ovšem polyomem více proměých Teto polyom azýváme Taylorovým polyomem stupě m fuce f v bodě a Používáme pro ě symbolicé ozačeí Tm ( x; f, a ) Chyby, terých se při této přibližé áhradě dopustíme, sou řádu m 1, m1 t sou úměré x a Hovoříme tedy o přiblížeí m-tého řádu m Pozáma Všiměte, že pro m 1 přechází Taylorova věta a větu o totálím difereciálu Taylorova věta e tedy zobecěím věty o totálím difereciálu 5 Loálí extrémy Loálí extrémy Defiice Nechť e fuce f ( x ) defiováa a ěaém oolí bodu a Řeeme, že tato fuce má v bodě a loálí maximum 0xD f : xa f ( x) f ( a ), ostré loálí maximum 0xD f : xa f ( x) f ( a ), loálí miimum 0xD f : xa f ( x) f ( a ), ostré loálí miimum 0xD f : xa f ( x) f ( a ) Loálí maximum a loálí miimum azýváme souhrě loálími extrémy, ostré loálí maximum a ostré loálí miimum ostrými loálími extrémy Nechť má fuce f a ěaém oolí bodu a všechy prví parciálí derivace Má-li fuce v bodě a loálí extrém, sou utě tyto derivace ulové

8 Loálí extrémy Pozáma Nulovost parciálích derivací prvího řádu e pouze utou podmíou existece loálího extrému studovaé fuce v daém bodě Obecě se eedá o podmíu postačuící - fuce s ulovými prvími derivacemi emuseí mít v zadaém bodě loálí extrém Navíc z ulovosti prvích derivací esme schopi určit typ extrému K tomu e zapotřebí zoumat derivace druhé či dooce vyšší V této apitole se omezíme a případ, dy iž samoté druhé derivace umožňuí rozhodout o povaze extrému Protože ás v případě loálích extrémů zaímá pouze chováí studovaé fuce a malém oolí vybraého bodu, můžeme použít přibližému popisu této fuce a zvoleém oolí Taylorovu větu 1 Omezíme-li se a velmi malé oolí bodu a, vystačíme s tzv vadraticou aproximací (přiblížeím druhého řádu) a pro fuci f, terá má v bodě a ulové prví derivace, můžeme psát 1 f f ( x) f( a) ( a )( xi ai)( x a)! x x i1 1 i Druhý čle a pravé straě této formule můžeme dále přepsat do formálě edoduššího tvaru i zz i, i1 1 zavedeme-li 1 f i ( a ) a zi ( xi ai)! xx Defiice Fuci i1 1 i i i F( z ) zz, de matice i e symetricá ( i i i, 1,, ), azveme vadraticou formou proměých z1,, z Předpoládeme, že fuce f má v bodě a ulové prví derivace 3, a ozačme dále 1 f D ( z ) zz i i, de i! xx ( a ) Pa platí i1 1 i e-li vadraticá forma D( z ) pozitivě defiití 4, abývá fuce f v bodě a ostrého loálího miima, e-li aopa vadraticá forma D( z ) egativě defiití, abývá fuce f v bodě a ostrého loálího maxima, poud e tato vadraticá forma idefiití, emá fuce v daém bodě loálí extrém, ale tzv sedlový bod Pozáma Poud eí splěa ai eda z uvedeých podmíe, eí možo o povaze loálího extrému rozhodout, dooce eí ai možo tvrdit, že fuce v zadaém bodě ěaý extrém má Ke oečému rozhodutí e zapotřebí studovat vyšší derivace fuce f v tomto bodě 1 Viz apitola 4 Všiměte si, že vzhledem záměosti parciálích derivací platí i = i Matice i e tedy symetricá 3 pochopitelě spoité druhé derivace a ěaém oolí tohoto bodu 4 Vysvětleí ezbytých pomů týaících se vadraticých forem podáváme íže v této apitole

9 Difereciálí počet fucí více proměých Kvadraticé formy Defiice Kvadraticou formu F( z ) azveme 1 pozitivě defiití z 0: F( z ) 0, egativě defiití z 0: F( z ) 0, idefiití z 0: F( z) 0 z 0: F( z) 0 Pozáma Vzhledem symetrii matice vlastích čísel této matice i e velmi vhodé testovat defiitost í odpovídaící vadraticé formy pomocí Defiice Vlastím číslem 3 matice i rozumíme číslo, teré splňue tzv charateristicou rovici de det e determiat matice det 0 Symetricá matice má všecha vlastí čísla reálá Kvadraticá forma F( z ) zz e i1 1 i i pozitivě defiití má všecha vlastí čísla ladá, egativě defiití má všecha vlastí čísla záporá, idefiití má alespoň edo vlastí číslo ladé a alespoň edo záporé, Loálí extrémy fuce dvou reálých proměých Nechť má fuce f ( xy, ) v bodě a [ a, a ] obě prví parciálí derivace ulové, x y f f ( a) ( a ) 0 x y 1 Podobě ao výše používáme zratu z [ z1,, z ] a 0 [0,,0] Existuí ovšem i ié postupy (apř Sylvestrovo ritérium), o ichž může čteář aít bližší poučeí apř v příručce Retorysově [5] 3 Viz též pedix 4

10 Loálí extrémy Pa v tomto bodě může studovaá fuce abývat loálího extrému Koečé rozhodutí, zda tomu ta e, a rozhodutí o povaze extrému závisí a chováí vadraticé formy de xx 1 f! x xx x xy x y yx x y yy y z z z z z z, ( a ), yy 1 f ( a ) a! y xy yx 1 f ( a )! x y O eí pozitiví či egativí defiitosti rozhodeme a záladě zamée vlastích čísel matice Odpovídaící charateristicá rovice abývá tvaru a po úpravách xx xy xy xx yy xy 0 yy xx yy xx yy xy 0 Jedá se tedy o vadraticou rovici pro ezámou, pro eíž ořey můžeme psát obecý vzorec xx yy xx yy 4xy 1, Všiměte si především, že obě zísaá čísla sou utě reálá, výraz pod odmociou e totiž vždy ezáporý Podle eich zamée pa iž můžeme sado usoudit a typ extrému: sou-li obě vlastí čísla ladá, má fuce v zadaém bodě loálí miimum, sou-li obě vlastí čísla záporá, má fuce v zadaém bodě loálí maximum, maí-li obě vlastí čísla růzá zaméa, emá fuce v zadaém bodě loálí extrém, e-li alespoň edo z vlastích čísel ulové, elze o povaze extrému ai o tom, zda e fuce f v bodě a sutečě abývá, ze samotých druhých derivací rozhodout