Stavební statika, 1.ročník bakalářského stuia Zakřivený nosník Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly Katera stavební mechaniky Fakulta stavební, VŠB - Technická univerzita Ostrava 1
Tvar a poepření rovinného zakřiveného nosníku vrchol +x Složky reakcí z pomínek rovnováhy R ax ( x) k.x z a +z symetrická geometrie oblouku rozpětí l ψ b f vzepětí tečna ke střenici prutu erivace funkce tg ψ (v kažém boě jiný směr) z tgψ [ k. x ]. k. x x x ψ z R az R bz Tvar střenice: nejčastěji oblouk kvaratické paraboly, kružnice, paraboly 4 o, řetězovky. ( x) k.x z z k x a a z x b b nesymetrická geometrie
Zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze Druhy zatížení: svislá a voorovná na jenotku élky svislá a voorovná na jenotku élky voorovného a svislého průmětu kolmé a tečné ke střenici. (a) (b) (c) () (e) q q.cosψ závěsy mostovky sníh vlastní tíha (f) (g) (h) * p q.sinψ p n.cosψ * q q.cosψ q n.sinψ p p.sinψ hyrostatický tlak, vítr Různé typy zatížení rovinně zakřiveného nosníku v rovinné úloze 3
Výpočet vnitřních sil v zaaném průřezu ψ Sklon tečny ke střenici nosníku ( x) k.x z x z z k ψ x x a a tgψ b b z x [ k. x ]. k. x z Pomocné vnitřní svislé S a horizontální H síly 5
Výpočet vnitřních sil v zaaném průřezu Rozkla S,H sil na složky rovnoběžné a kolmé k tečně S V N M tg ψ.k.x Pozn: Není nutné počítat úhel ψ. Potřebné goniometrické funkce možno stanovit ze vztahů: cosψ 1 1+ tg ψ H V S M N H ψ sinψ N V tgψ 1+ tg ψ Síly S,H možno uvažovat le znaménkové konvence v obr. vlevo, potom vžy platí: H.cosψ + S.sinψ H.sinψ + S.cosψ Nebo ve skutečných směrech S,H a řešit z pomínek rovnováhy le příklau 1 6
Příkla 1 řešení vnitřních sil pouze v zaaných boech Bue součástí písemné zkoušky. Dáno: - symetrická geometrie, l 6m, f 5m x 3 m, z m - bo, respektive x m Vzorce pro výpočet: cosψ sinψ ( ) 1 1+ tg ψ tgψ 1+ tg ψ q 10kN / a a 5 ( x) k.x z z k x a a z x b b tg ψ.k.x m Úkol: V boě spočítat vnitřní síly Řešení: Viz ále Postup výpočtu: 1) Rovnice oblouku, souřanice obou popor ) Souřanice působiště zatížení 3) Souřanice zaaných boů včetně honot goniometrických funkcí úhlu ψ v zaaných boech 4) Výpočet reakcí (3+1 pomínky rovnováhy!!!) 5) Výpočet pomocných vnitřních sil: svislá S a horizontální H síly + ohybový moment M (klaná znaménková konvence shoná s H,V,M silami přímého prutu viz ále) 6) Rozkla S a H o směrů kolmých a rovnoběžných se střenici prutu v aném boě 7) Výpočet vnitřních sil: V je součet kolmých složek S a H N je součet rovnoběžných složek S a H M je vyřešen již v 5) 7 8) Nutno oržet znaménkovou konvenci vnitřních sil N,V,M ψ
Příkla 1 geometrie, reakce (bo 1-4 le postupu řešení) x 3m, z 5m, a a ( x) k. x, z k xb 3 m, zb 5m za zb 0,555 x x a b tg ψ.k.x x m z k. x, m nebo lépe: 1 cosψ 0,410 1+ tg ψ sinψ tgψ 0,91 1+ tg ψ
Příkla 1 vnitřní síly v boě výpočet zprava (bo 5-8) N 39,5kN, V 37,05kN, M 118,056kNm
Příkla 1 vnitřní síly v boě výpočet zleva (bo 5-8) N 39,5kN, V 37,05kN, M 118,056kNm
Příkla 1 rovnováha rozěleného oblouku (ke kontrole) Pomínky rovnováhy levé části F ix 0: Σ M i, 0: M + F iz 0: Q + H 0 H 50kN + ( 3 + x ) Raz ( 0,5 f z ) Q 0 M S Raz 0 S 0, 833kN Σ M i,b 0: kontrola Pomínky rovnováhy pravé části F ix 0: F iz 0: Σ M i, 0: H Rbx 0 H 50kN S + Rbz 0 S 0, 833kN M ( 3 x ) Rbz ( 5 z ) Rbx 0 M Σ M i,b 0: kontrola
Příkla k samostatnému procvičení (návo viz samostatný soubor) Úkol: V boě c a spočítat vnitřní síly N,V,M le návou v příklau 1 Nápověa: V boě buou honoty horizontální síly H a, H b honoty N i V V boě zakreslíte pomyslný řez x: 1- těsně vlevo o bou (síla F působí v pravé části) v obou částech spočítáte honotu H a, výsleek vyje v obou částech stejně - těsně vpravo o bou (síla F působí v levé části) v obou částech spočítáte honotu H a, výsleek vyje v obou částech stejně
Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Zaání a výpočet reakcí - pomocí pomínek rovnováhy Bue součástí ústní zkoušky. 1. F ix 0: q. f Rax 0 R q. f 1kN ax ( ) +x. Σ M i,a 0: R ax +z R q. f bz + R q. f. l bz. l 0,40kN ( ) R az R bz 3. Σ M i,b 0: 4. kontrola R az q. f,40kn. l ( ) F iz 0: R az + R bz 0 13
Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vzepětí Geometrie prutu Tabulkový výpočet (Excel) ( x) k.x z tg ψ.k.x cosψ sinψ,00 4,00-5,00 4,00 3,4-4,00 1+ tg ψ -3,00 1 tgψ 1+ tg ψ -,00-1,00 Rozpětí 1,00,00,56 1,96 1,44 1,00 0,64 0,36 0,16 0,04 0,04 0,16 0,36 0,64 1,00 1,44 1,96,56 Geometrie oblouku 3,00 4,00 5,00 3,4 4,00 x z tg ψ ψ [ra] ψ [eg] cos ψ sin ψ -5,00 4,00-1,600000-1,01197-57,994617 0,59999-0,847998-4,50 3,4-1,440000-0,963809-55,169 0,570396-0,81370-4,00,56-1,80000-0,907593-5,00168 0,615644-0,78804-3,50 1,96-1,10000-0,84194-48,39700 0,666016-0,745938-3,00 1,44-0,960000-0,764993-43,830861 0,71387-0,6953 -,50 1,00-0,800000-0,674741-38,659808 0,780869-0,64695 -,00 0,64-0,640000-0,569313-3,61943 0,8471-0,539054-1,50 0,36-0,480000-0,44750-5,641006 0,90153-0,43731-1,00 0,16-0,30000-0,309703-17,74467 0,9544-0,304776-0,50 0,04-0,160000-0,158655-9,09077 0,987441-0,157991 0000 0000 0000 1,000000 0000 0,50 0,04 0,160000 0,158655 9,09077 0,987441 0,157991 1,00 0,16 0,30000 0,309703 17,74467 0,9544 0,304776 1,50 0,36 0,480000 0,44750 5,641006 0,90153 0,43731,00 0,64 0,640000 0,569313 3,61943 0,8471 0,539054,50 1,00 0,800000 0,674741 38,659808 0,780869 0,64695 3,00 1,44 0,960000 0,764993 43,830861 0,71387 0,6953 3,50 1,96 1,10000 0,84194 48,39700 0,666016 0,745938 4,00,56 1,80000 0,907593 5,00168 0,615644 0,78804 4,50 3,4 1,440000 0,963809 55,169 0,570396 0,81370 5,00 4,00 1,600000 1,01197 57,994617 0,59999 0,847998 14 6,00
Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku N Výpočet vnitřních sil M tay směry S,H sil le obr. H H R R ax ax S R az ( f z) q. levá polovina q. f 0 pravá polovina N H.cosψ + S.sinψ V H.sinψ + S.cosψ q R ax H f l R az R bz S V M H ψ N V S H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1,000000 -,400000 8,395183-8,90398 9,70000 -,400000 7,515535-6,614766 7,680000 -,400000 6,619405-4,574481 5,880000 -,400000 5,70643 -,787676 4,30000 -,400000 4,778470-1,60408 3,000000 -,400000 3,841875 0000 1,90000 -,400000,910890 0,986468 1,080000 -,400000,01199 1,696306 0,480000 -,400000 1,18865,13956 0,10000 -,400000 0,497670,350899 0000 -,400000 0000,400000 0000 -,400000-0,379177,369858 0000 -,400000-0,73146,85818 0000 -,400000-1,038555,163655 0000 -,400000-1,9379,01451 0000 -,400000-1,49968 1,874085 0000 -,400000-1,66076 1,731330 0000 -,400000-1,79050 1,598438 0000 -,400000-1,89158 1,477546 0000 -,400000-1,97188 1,368950 0000 -,400000 -,035196 1,71997 15
Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil N, V síly Normálová síla 1-1 -5,00-4,00-3,00 Normálová síla -,00-1,00 1,00,00 3,00 Rozpětí 4,00 5,00 8,40 7,5 6,6 5,71 4,78 3,84,91,01 1,19 0,50-0,38-0,73-1,04-1,9-1,50-1,66-1,79-1,89-1,97 -,04-5,00 1,00-8,90-6,61-4,00-4,57 -,79-3,00-1,6 Posouvající síla -,00 0,99 1,70-1,00,14,35,40,37 1,00,9,16,00,0 1,87 3,00 1,73 1,60 4,00 1,48 1,37 5,00 1,7 H [kn] S [kn] N [kn] V [kn] 1,000000 -,400000 8,395183-8,90398 9,70000 -,400000 7,515535-6,614766 7,680000 -,400000 6,619405-4,574481 5,880000 -,400000 5,70643 -,787676 4,30000 -,400000 4,778470-1,60408 3,000000 -,400000 3,841875 0000 1,90000 -,400000,910890 0,986468 1,080000 -,400000,01199 1,696306 0,480000 -,400000 1,18865,13956 0,10000 -,400000 0,497670,350899 0000 -,400000 0000,400000 0000 -,400000-0,379177,369858 0000 -,400000-0,73146,85818 0000 -,400000-1,038555,163655 0000 -,400000-1,9379,01451 0000 -,400000-1,49968 1,874085 0000 -,400000-1,66076 1,731330 0000 -,400000-1,79050 1,598438 0000 -,400000-1,89158 1,477546 0000 -,400000-1,97188 1,368950 0000 -,400000 -,035196 1,71997 16
Příkla 3 řešení vnitřních sil na celém nosníku Vykreslení vnitřních sil ohybové momenty M R M R Ohybový moment ax ax ( f z). R az l. l q. + x Ohybový moment ( f z) ( f z) R. + x q. f. z. az levá polovina 7,05 11,77 14,64 16,09 16,50 16,19 15,41 14,36 13,0 1,00 10,80 9,60 8,40 7,0 6,00 4,80 3,60,40 1,0-5,00-4,50-4,00-3,50-3,00 -,50 -,00-1,50-1,00-0,50 0,50 1,00 1,50,00,50 3,00 3,50 4,00 4,50 5,00 f pravá polovina -R az.(l/+x) +R ax.(f-z) -q/.(f-z) M [knm] 0000 0000 0000 0000-1,00000 9,10000-0,866400 7,053600 -,400000 17,80000-3,110400 11,769600-3,600000 4,480000-6,4400 14,637600-4,800000 30,70000-9,830400 16,089600-6,000000 36,000000-13,500000 16,500000-7,00000 40,30000-16,934400 16,185600-8,400000 43,680000-19,874400 15,405600-9,600000 46,080000 -,118400 14,361600-10,800000 47,50000-3,5400 13,197600-1,000000 48,000000-4,000000 1,000000-13,00000 47,50000-3,50000 10,800000-14,400000 46,080000 -,080000 9,600000-15,600000 43,680000-19,680000 8,400000-16,800000 40,30000-16,30000 7,00000-18,000000 36,000000-1,000000 6,000000-19,00000 30,70000-6,70000 4,800000-0,400000 4,480000-0,480000 3,600000-1,600000 17,80000 6,70000,400000 -,800000 9,10000 14,880000 1,00000-4,000000 0000 4,000000 0000 -q.f.(f/-z) 17
Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku K jakémukoliv svislému zatížení působícímu na oblouk lze teoreticky najít takový tvar střenice oblouku, při němž zatížení vyvolá v oblouku jen záporné normálové síly (tlak), zatímco ohybové momenty a posouvající síly jsou v celém oblouku rovny nule. Výhoa: menší rozměry průřezu Klenbový účinek v trojkloubovém oblouku vznikne tehy, je-li střenice oblouku (a) geometricky poobná křivce popisující průběh ohybových momentů (c) na prostém nosníku (b), který je voorovným průmětem oblouku (a) a je zatížen týmž svislým zatížením (uaným na jenotku élky voorovného průmětu) jako oblouk (a). Důkaz: využití principu superpozice: zat M M + M M M H ( x) ( x) ( x) zat ( x) Raz x q x / H ( x) Rax ( f z) Rax z (a) (b) (c) () (e) M M zat H moment o svislých sil (c.) moment o horizontálních sil (e)
Okruhy problémů k ústní části zkoušky Rovinně zakřivený nosník v rovinné úloze geometrie, reakce, vnitřní síly