Pokud napíšeme značku H a (ε), je třeba dát pozor, neboť značka je stejná u komplexního i u reálného okolí, ačkoliv jde o jinou množinu (reálné okolí je jen otevřený interval na reálné ose, komplexní zahrnuje naproti tomu celý otevřený kruh v komplexní rovině); většinou je zřejmé z kontextu, jaký typ okolí má dotyčný na mysli. a å H (å) a okolí v reálných vs. v komplexních èíslech Číselné posloupnosti 45
5.. Základní vlastnosti Posloupnost je synonymem pro zobrazení, jehož definiční obor je roven N. Místo zdlouhavého psaní f()=, g()=a, f(2)=, či g(2)=a 2, f(3)=, g(3)=a 3,... atd. používáme úspornějších zápisů pomocí kulatých 30 závorek: f =(,,,...) či g=(a n ) + n= nebo jen g=(a n). Je-li obor hodnot posloupnosti C, pak mluvíme o číselné nebo komplexní posloupnosti. Jsou-li v oboru hodnot pouze reálná čísla, mluvíme o reálné posloupnosti. Protože je posloupnost zobrazení, váží se na ní samozřejmě všechny definice uvedené v kapitole Zobrazení, takže je jasné, co znamená výrok posloupnost je konstantní, prostá,.... Např. posloupnost () + n= =(,2,3,4,5,6,...) je prostá. = (,,,,,...) je konstantní. Posloupnost přirozených čísel (n)+ n= = 30 Nikoliv složených, {2,4,6,8,...} je množina sudých čísel, ne posloupnost. 46
Posloupnost (a n ) nazýváme omezená shora, pokud je její obor hodnot množina omezená shora, omezená zdola, pokud je její obor hodnot množina omezená zdola, omezená, pokud je její obor hodnot množina omezená, rostoucí, pokud ( n N)(a n a n+ ), klesající, pokud ( n N)(a n a n+ ), ostře rostoucí, pokud ( n N)(a n <a n+ ), ostře klesající, pokud ( n N)(a n >a n+ ), monotónní, pokud je klesající nebo rostoucí, ryze monotónní, pokud je ostře klesající nebo ostře rostoucí. 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 posloupnost (ln n) je ostøe rostoucí, omezená zdola 47
5 4 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n+ posloupnost ((+/n) ) je ostøe klesající, omezená 48
0 9 8 7 6 5 4 3 2 - -2-3 -4-5 -6-7 -0-9 -8 2 3 4 5 6 7 8 9 0 posloupnost (n sin n) není monotónní, není omezená zdola ani shora 49
Posloupnost (b n ) nazveme vybranou z posloupnosti (a n ), pokud existuje ostře rostoucí posloupnost přirozených čísel (k n ) tak, že ( n N)(b n =a kn ). 2-2 3 4 5 6 7 8 9 0-2 n Posloupnost () je vybraná z posloupnosti ((-) ), kde (k n)=(2n) 50
5.2. Limita posloupnosti Buď (a n ) reálná posloupnost, a R. Říkáme, že (a n ) má limitu a v R, pokud ( ε>0)( n 0 R)( n N, n>n 0 )(a n H a (ε)), (3) kde okolí H a (ε) uvažujeme reálné, tj. R. Komplexní posloupnost (a n ) má limitu a C v C, pokud platí podmínka (3), pouze s tím, že uvažujeme okolí H a (ε) v C. Skutečnost, že posloupnost (a n ) má limitu a zapisujeme takto: lim(a n )=a resp. častěji tradičně lim a n =a. Vidíme, že definice limity posloupnosti v R a v C jsou formálně úplně stejné, liší se pouze tím, v které množině se pohybujeme (v které uvažujeme limitní body a a dotyčná okolí). Slovy se dá fakt lim a n =a vyjádřit například takto: v každém okolí H a leží všechny členy posloupnosti až na konečný počet výjimek. 5
Při počítání limit reálných posloupností musíme dávat pozor, zda je v zadání napsáno počítejte v R nebo počítejte v C : lim ( )n n v R neexistuje lim ( )n n v C=. 2 H -0-9 -8-7 -6-5 -4-3 -2-2 3 4 5 6 7 8 9 0 - -2 Na obrázku vidíme okolí H ; všechny body až na konečný počet výjimek leží v tomto okolí. 52
Platí následující věta: Číselná posloupnost může mít nejvýš jednu limitu. 3 Jednoduché příklady: Např. platí lim n =0. 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0-3 Všimněme si, že teprve toto tvrzení opravňuje naše značení lim a n. Kdyby posloupnost mohla mít dvě nebo více hodnot limit, nevěděli bychom, kterou z nich symbolem lim a n vlastně míníme. 53
Na obrázku vidíme konkrétní volbu pro ε=0,4: å=0,4 0 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - n =napø. 2,5 0 54
Na obrázku vidíme konkrétní volbu pro ε = 0,5. Vidíme, že při zmenšování okolí H 0 (ε) čím dál více výjimek padá mimo toto okolí. Je to však pořád (a to je podstatné) pouze konečný počet výjimek. 0 å=0,5 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - n =napø. 20/3 0 55
Jiný triviální příklad: konstantní posloupnost (c) + n= =(c,c,c,...) má za limitu číslo c: c å 2 3 4 5 6 7 8 9 0 n 0 56
Zavedeme následující terminologii: posloupnosti, která má konečnou limitu, říkáme konvergentní. Posloupnosti, která nemá konečnou limitu, říkáme divergentní. Posloupnost mající limitu ± nebo říkáme podstatně divergentní. Posloupnost, která limitu nemá, se nazývá oscilující. 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3 4 5 6 7 - Posloupnost (sin n) je oscilující 3 2-2 3 4 5 6 7 8 9 0 Posloupnost ( n) je podstatnì divergentní 57
3 2-2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 2n -3 n +2 Posloupnost ( 2 ) je konvergentní - má za limitu èíslo 2 58
Abychom nemuseli dokazovat hodnoty limit z definice, což v mnoha případech může být velmi obtížné, seznámíme se s některými větami, které výpočet limit usnadňují. Věta o limitě vybrané posloupnosti: Nechť posloupnost (a n ) má za limitu číslo a. Pak i každá z ní vybraná ma za limitu číslo a. Například je zřejmé (dokážeme lehce z definice limity), že lim n=+. Odtud pomocí předchozí věty dostaneme ihned, že například i lim n!+32n5 2n=+, neboť posloupnost (n!+32n 5 2n) je vybraná z posloupnosti (n). Velmi často se používá důsledek této věty pro důkaz neexistence limity posloupnosti: Lze-li vybrat z posloupnosti (a n ) dvě vybrané posloupnosti mající různé limity, pak posloupnost (a n ) limitu nemá. Posloupnost (a n ), kde a n =cos 2πn, nemá limitu, neboť obsahuje 2 posloupnosti s různými limitami. 3 Často lze s úspěchem použít následující mírnou modifikaci věty o limitě vybrané posloupnosti: Nechť (a n ) má za limitu číslo a a (k n ) je posloupnost přirozených čísel s limitou +. Pak posloupnost (a kn ) (nazýváme ji skorovybraná z posloupnosti (a n )) má také limitu a. ( ( ) Např. posloupnost má za limitu číslo 0. Tedy i skorovybraná posloupnost n) n+4+3( ) n má za limitu číslo 0. Vidíme, že nejde o vybranou posloupnost, neboť (n+4+3( ) n ) = (2,9,4,...) není ostře rostoucí. 59
Existence limity má vliv i na omezenost posloupnosti. Platí:. Má-li posloupnost konečnou limitu, je omezená. 2. Má-li reálná posloupnost limitu +, je omezená zdola a neomezená shora. 3. Má-li reálná posloupnost limitu, je omezená shora a neomezená zdola. 3 2 K - 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Posloupnost ( n) má za limitu + => je neomezená shora, omezená zdola. 60
Co na omezenost a limitu vliv nemá, je mírná modifikace posloupnosti: Přidáním, ubráním či modifikací konečně (!) mnoha členů posloupnosti se nezmění její omezenost (celková, shora, zdola) ani existence/neexistence její limity ani hodnota její limity (pokud limita existuje). Předchozí věty využíváme často automaticky bez toho, že bychom se nad jejím použitím příliš pozastavovali: představme si, že by nám někdo zadal počítat limitu lim n 3 =? Striktně správná odpověď na tento příklad zní Zadání nemá smysl, neboť třetí člen posloupnosti (pro n=3) není definován (nulou nelze dělit). Ovšem představíme-li si, že je třetí člen posloupnosti dodefinován třeba hodnotou 23,7, lze již psát, co autor příkladu chce slyšet, tj. lim n 3 =0. Situace jako v tomto příkladě se mohou čas od času objevit. Proto učiníme úmluvu, že bude-li třeba počítat limitu posloupnosti, jejíž konečně mnoho členů není definováno, představíme si vzhledem k předchozí větě, že jsou dodefinovány jakkoliv. 6
V praxi při zkoumání neznáme posloupnosti často není jasné, zda její limita vůbec existuje. Dobrou vynucovací podmínkou pro existenci limity je monotónnost dané posloupnosti: Každá monotónní posloupnost má limitu. Důležitý příklad: limita tzv. harmonické posloupnosti n lim k =+. k= Další věta říká, že problém výpočtu limity komplexní posloupnosti lze převést na zkoumání limit její reálné a imaginární části. Komplexní posloupnost (a n ), kde a n = α n +iβ n a α n,β n R, je konvergentní právě tehdy, pokud jsou konvergentní reálné posloupnosti (α n ) a (β n ). Pokud je tato podmínka splněna, platí lim a n = lim α n+i lim β n. Např. limita lim e iπn 3 nekonverguje, neboť neexistuje limita reálné části ( πn ) lim cos. 3 62
5.3. Výpočet limity posloupnosti Ačkoliv rozšířená množina reálných čísel R není tělesem, pro pohodlí se vyplatí zavést některé aritmetické operace též pro ±. Klademe pro všechna x,y R x+(+ )=(+ )+x=+ pro x>, x+( )=( )+x= pro x<+, x (± )=(± ) x=± pro x>0, x (± )=(± ) x= pro x<0, =0, ± (± )=, ± =+, x y=x+( y), x =x pokud je def. pravá strana, y y x + = + pro <x +, x 0 pro 0<x<, = 0 pro <x +, + pro 0<x<, (+ ) x =+ pro 0<x +, (+ ) x =0 pro x<0. Všimněme si, že zůstaly nedefinovány pro x R zejména následující výrazy (jak hned uvidíme, má to dobrý důvod): ± ± (± ), ± +( ), 0 (± ), ±, x 0, (+ )0, 0 0, ±. 63
Pro výpočet limit je nejdůležitější následující tvrzení, tzv. aritmetika limit: Platí vzorce lim (a n±b n )= lim a n± lim b n, lim (a n b n )= lim a n lim b n, pokud výrazy na pravé straně mají smysl (!). a lim a n n lim = b n lim b, n Tak například lim (2 n3 )=. K těmto základním větám ještě patří věta o limitě z odmocniny Buď k N, a n 0 pro všechna n. Platí lim k an = k lim a n a věta o limitě absolutní hodnoty: Platí lim a n =a lim a n = a. pokud výraz na pravé straně má smysl. Pokud a=0 nebo a=, platí zde dokonce ekvivalence, tj. i směr! (Klademe =+.) Podle věty o limitě abs. hodnoty je např. lim in n= v C. 64
Větu o aritmetice limit nesmíme používat bezmyšlenkovitě, aniž ověříme velmi podstatný předpoklad, že výraz na pravé straně musí mít smysl. Toto je špatně: lim ( n+ n)= lim n+ lim n=(+ ) (+ )=0. Toto je správně: lim ( n+ n)= lim ( n+ n++ n n) = lim n++ n = lim = lim ( n++ n) lim věta o limitě součtu lim = n++ lim n Toto je špatně: lim (n+( )n )= lim n+ lim ( )n =+. Toto je správně: + ( )n n ( ) n kde jsme využili lim =0, neboť lim n ( lim (n+( )n )= lim n ) =+ (+0)=+, ( )n n n+ n = lim n++ n (+ )+(+ ) = + =0. =0. = n++ n věta o limitě podílu 65
5.4. Věty o nerovnostech Platí-li mezi posloupnostmi nerovnosti, má to vliv i na nerovnosti mezi jejich limitami a naopak: Platí lim a n <lim b n ( n 0 )( n>n 0 )(a n <b n ). 3 2 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - lim (arctg n)= ð_, lim n+5 = _ 2, n 0=3 n + n + 2n 2 Užitečná je i opačná implikace: Nechť existují limity posloupností (a n ) a (b n ). Pak platí ( n)(a n b n ) lim a n lim b n. Protože, jak víme, konečně mnoho výjimek nehraje roli, stačí předpokládat nerovnost a n b n až od jistého indexu n 0 dál. 66
Nejdůležitější z vět o nerovnostech je tzv. věta o limitě sevřené posloupnosti: Nechť lim a n = lim b n. Pak platí ( n)(a n c n b n ) lim c n = lim a n = lim b n. Např. lim n n=. 3 2-2 3 4 5 6 7 8 9 0 Jiný příklad: Buď a > 0. Pak lim n a=. 67
n Další příklad: lim n!=+. 6 5 4 3 2 n n! _ n - 2 3 4 5 6 7 8 9 0 68
Buď a R. Pak v R platí lim an =+ pro a>, pro a=, 0 pro a <, neexistuje pro a. Buď a C. Vypočtěme v C lim an = pro a >, 0 pro a <, pro a = a neexistuje pro ost. a =. Pak Mějme posloupnost (a n ) zadanou rekurentně vztahem a =, ( n N)(a n+ = a n +2). lim a n =2. 3 2-2 3 4 5 6 7 69
5.5. Eulerovo číslo e Mezi všemi exponenciálními funkcemi zaujímá jedna z nich význačné postavení a to ta, jejímž základem je Eulerovo číslo e. Mezi logaritmy existuje jeden význačný logaritmus, přirozený, což je logaritmus také při základu e. Obě funkce jsou výjimečné už jen svými vzorci pro derivaci: např. e x je jediná funkce (až na faktor), která je zároveň i svou derivací. Proto se Eulerovo číslo e těší značné pozornosti. Jsou různé možnosti, jak jej definovat. Nejčastěji se to dělá jednou z následujících limit: Platí následující věta: ( e = lim + n ( = lim + n) n+ = lim n) Označíme-li pro všechna n N ( a n = + n, ( bn = + n) n+, cn = n) n k!, k=0 n k=0 pak posloupnosti (a n ) a (c n ) jsou ostře rostoucí, (b n ) ostře klesající, pro všechna n platí a n c n b n a všechny tři posloupnosti mají společnou limitu iracionální číslo z intervalu (2,3), které značíme e. Pro účely praktického počítání příkladů na cvičeních se hodí následující věta: Buď (p n ) reálná posloupnost splňující lim p n =+. Pak platí ( lim + ) pn =e. p n k!. 70
Přesněji platí e=2,7828... Z obrázku je hezky vidět nerovnost (pro n>) ( + ) n n < (+ n k! <e< ) n+. n k=0 4 3 e 2 (c ) n (b ) n (a ) n - 2 3 4 5 6 7 8 9 0 Také je z něj názorně vidět, že (c n ) k číslu e konverguje nejrychleji. 7
5.6. Limes superior a limes inferior Pojmy limes inferior a limes superior jsou v jistém smyslu zobecněním pojmu limity posloupnosti. Zatímco limitu každá posloupnost nemá, limes inferior a superior existují pro každou reálnou posloupnost. Hromadnou hodnotou reálné posloupnosti (a n ) nazveme každé takové a R, pro které existuje z ní vybraná posloupnost (a kn ) tak, že lim a k n =a. Počet hromadných hodnot, které posloupnost může mít, může být různý, od až po nekonečno: Posloupnost (a n ), která má limitu, má jedinou hromadnou hodnotu: svoji limitu. Posloupnost (( ) n ) má dvě hromadné hodnoty: a. Posloupnost (,,2,,2,3,,2,3,4,...) má za hromadné hodnoty všechna přirozená čísla a +. Posloupnost ( n [ n]) má za hromadné hodnoty všechna čísla z intervalu 0,. Platí: Každá reálná posloupnost (a n ) má alespoň jednu hromadnou hodnotu. Množina všech hromadných hodnot má maximum a minimum (mohou to být i hodnoty ± ). Největší hromadnou hodnotu nazýváme limes superior, značíme limsup a n, nejmenší limes inferior, značíme liminf a n. Pro limsup a liminf platí následující charakterizace: α=liminf a n. ( α R, α <α)( n 0 )( n N, n>n 0 )(a n >α ), 2. ( α R, α >α)( n N)(a n <α ). β=limsup a n. ( β R, β >β)( n 0 )( n N, n>n 0 )(a n <β ), 2. ( β R, β <β)( n N)(a n >β ). Z těchto plyne, že lim a n =a limsup a n =liminf a n =a. 72
Pro praktické určování limsup a liminf posloupnosti může posloužit následující věta: ),..., (a (m) k ) s limitami a (),..., a (m) pokrývají původní reál- n Nechť vybrané posloupnosti (a () k n nou posloupnost (a n ). 32 Pak platí lim sup a n =max{a (),...,a (m) }, Např platí lim sup cos πn 3 ), (a k (2) n πn =, liminf cos 3 =. liminf a n =min{a (),...,a (m) }. 2 3 4 5 6 7 8 9 0 2 3-32 To znamená, že {k () n }... {k (m) }=N (příp. až na konečně mnoho výjimek). n 73
5.7. Stolzův a Cauchyův vzorec Následující dva vzorce leckdy velmi zjednoduší počítání jinak obtížných limit: Nechť (b n ) je ostře rostoucí, lim b a n+ a n n = + a existuje limita lim. Pak platí tzv. Stolzův b n+ b n vzorec: a n a n+ a n lim = lim. b n b n+ b n Podle Stolzova vzorce je např. ( n + 2n + 3n +...+ ) n 2 =0. lim a n+ Nechť (a n ) je posloupnost kladných čísel, existuje limita lim. Pak platí tzv. Cauchyův vzorec: a n lim n a n+ an = lim. a n Podle Cauchyova vzorce je např. n n n=, n!=+. lim lim 74
5.8. Bolzano-Cauchyovo kritérium konvergence V důkazu následující věty je potřebné toto užitečné tvrzení: Z každé (reálné či komplexní) omezené posloupnosti lze vybrat podposloupnost, která konverguje. Někdy se může hodit rozhodnout otázku existence vlastní limity posloupnosti, i když její hodnotu neumíme vypočítat. Platí následující věta (tzv. Bolzano-Cauchyova podmínka pro konvergenci číselné posloupnosti): Posloupnost (a n ) je konvergentní je tzv. cauchyovská, tj. ( ε>0)( n 0 R)( n N,n>n 0 )( p N)( a n+p a n <ε). Představme si, že někdo nám dal za úkol spočítat limitu lim n k= sin k! 2 k. Tuto limitu neumíme přesně spočítat. Pokud ale dokážeme, že existuje a je vlastní, je zřejmé, že jako její přibližnou numerickou aproximaci pak můžeme použít hodnotu uvedené sumy pro velké n. (Pokud bychom nevěděli, že limita existuje, nedávalo by sčítání libovolně mnoha členů sumy žádný ( n smysl; nasčítáme-li např. 000. člen posloupnosti nevypovídá nic o její limitě +.) Dokázat, že vlastní limita existuje, lze např. pomocí BCP. k= k ), dostaneme přibližně 7,48547 číslo, které 75
5.9. Obecná mocnina a logaritmus Kromě trojúhelníkové nerovnosti patří k velmi užitečným základním nerovnostem tzv. AG nerovnost a Bernoulliho nerovnost. AG nerovnost. Buď n N, α j 0 pro j=,...,n. Pak n α α 2...α n α +...+α n. n Bernoulliho nerovnost. Pro x> 2 a n N platí (+x) n +nx. Platí následující základní věta o exponenciále: Existuje právě jedna funkce f: R R tak, že pro všechna x,y R platí f(x+y) = f(x)f(y), f(x) +x. Funkci z výše uvedené věty značíme expx a nazýváme (přirozená) exponenciála. Z výše uvedené věty plynou i jednoduché vlastnosti exponenciály: exp=e, ( x exp(nx)=(expx) n, exp = n) n expx pro lib. x R, n N, exp je ostře rostoucí na R, exp zobrazuje R na (0,+ ), pro libovolnou (a n ) takovou, že lim a n =a, platí lim expa n =expa. Inverzní funkci k exp nazýváme (přirozený) logaritmus a značíme ln. Obecnou mocninu pak definujeme vztahem a b =exp(bln a). 76