7 Systémy s více vstupy a výstupy Mchael Šebek Automatcké řízení 017 4-5-17
Stavový model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Má obecně m vstupů p výstupů x () t = Ax() t + Bu() t y() t = Cx() t + Du() t B, C a D už nejsou vektory, ale matce D p Z toho plynou rozdíly, např.: Kanoncké tvary jsou složtější Matce řdtelnost je obdélníková (dlouhá): x(0 ) = x : n m : p n : m n Matce pozorovatelnost je obdélníková (vysoká): Stavová ZV a výstupní njekce nejsou vektory, ale matce K L : : m n n p Mchael Šebek ARI-01-01 B C 0 mn pn n
Vnější model MIMO systému Automatcké řízení - Kybernetka a robotka u u u u 1 = m u 1 u u m Gs () y y 1 y l y y y y 1 = l ys () = Gsus ()() y 11 1 1 1() s g (), s g (), s, g m() s u1() s y() s g1(), s g(), s, gm() s u() s = yl() s g () 1(), (),, () um s l s gl s glm s Pozor na pořadí násobení! Nevadí an tak počet vstupů/výstupů, ale nterakce (= nenulové prvky mmo dagonálu) Mchael Šebek ARI-01-015 3
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Když na l-tý vstup přvedeme snusový sgnál ul( t) = ul0 sn( ωt+ αl) a na ostatní vstupy nc, bude po odeznění přechodových jevů na k-tém výstupu také snusový sgnál stejné frekvence Zesílení a fázový posun jsou kde Tedy platí Celková odezva př snusových sgnálech na všech vstupech je dána součtem y ( jω) = g ( jω) u ( ω) nebo matcově y ( t) = y sn( ωt+ β ) k k0 k [ ω ] g ( jω) = G ( j ) kl kl kl Frekvenční odezva MIMO systému y u k 0 l0 y ( jω) = g ( jω) u ( jω) k kl l k kl l l y( jω) = G( jω) u( jω) = g ( jω), β α = g ( jω) kl k l kl Mchael Šebek ARI-01-01 4
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Pro SISO systém je zesílení na frekvenc ω jednoduše y( jω) G( jω) u( jω) G( jω) u( jω) = = = u( jω) u( jω) u( jω) Zesílení tedy závsí na frekvenc, ale ne na ampltudě vstupu U MIMO to tak jednoduché není: sgnály jsou vektory a tak musíme nejdříve velkost jednotlvých prvků sečíst pomocí nějaké normy Když vybereme Eukldovskou normu pro vektory, pak 10 0 10 0 u( jω) = u ( jω) = u + u + y( jω) = y ( jω) = y + y + a zesílení systému pro daný vstup (!) u( jω) je l k y( jω) y + y + G( jω) u( jω) u( jω) ( ) 10 0 = = u u j 10 + u ω 0 + Směry pro MIMO systém G( jω) jde vykrátt nejde jednoduše vykrátt Zesílení nezávsí na ampltudě, závsí na ω a také na směru vstupu! Mchael Šebek ARI-01-01 5
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Pól je komplexní číslo, pro které je některý prvek přenosové matce =, je to tedy pól některého prvku matce je-l matce čtvercová, také se pozná z det G(s) Poloha pólů toho u MIMO systému zas tak moc toho neříká, záleží na struktuře: vz např. dva ntegrátory Příklad: Systém s přenosovou matcí má póly v s = 0, -1, -, -3 Póly přenosové matce MIMO systému 1 s 1 s s+ 1 Gs () = 1 s s+ s+ 3 det G( s) = ss ( + 5) s( s + 1) ( s + ) ( s + 3) >> G=[1./s (s-1)./(s+1);1./(s+) s./(s+3)] G = 1 (s-1) - ----- s (s+1) 1 s ----- ----- (s+) (s+3) >> (poles(g))' ans = 0-3.00 -.00-1.00 >> pformat rootr, det(g) ans = s(s+5.00) ---------------------------- s(s+3.00)(s+.00)(s+1.00) Mchael Šebek ARI-01-01 6
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Nuly přenosové matce MIMO systému Nula s je komplexní číslo, po jehož dosazení přenosová matce G(s ) ztrácí původní hodnost: rank Gs ( ) < rank Gs ( ) Na první pohled se z matce nepozná: není to nula konkrétního prvku! U matce čtvercové je to nula jejího determnantu, jnak nutno postupovat dle defnce Pozor: Po dosazení nuly matc ztrácí původní hodnost, ale obecně se nestane nulovou matcí. Vstupní sgnál příslušné frekvence tedy nemusí být blokován záleží to ještě na jeho směru! Pokračování příkladu systém z příkladu má nuly v s = 0, -5 1 s 1 s s+ 1 s( s + 5) Gs () =,det Gs () = 1 s ss ( + 1)( s+ )( s + 3) s+ s+ 3 >> r=roots(g) r = 0-5.0000 >> rank(g) ans = >> rank(value(g,r())) ans = 1 Mchael Šebek ARI-01-01 7
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Nula a směr Je-l s nulou F(s), tak nejen rank Fs ( ) < rank Fs ( ), ale ještě exstují nenulové vektory u, y : Fs ( ) u = 0y Obvykle je normalzujeme na jednotkovou délku u s je vstupní nulový směr (který směr vstupů nemá vlv na výstup) y je výstupní nulový směr (který směr výstupů je těžké řídt) s Poznámky s s 1 s s Jestlže má výstup přímou nformac o všech stavech, systém nemá nuly (tj. jestlže rank C = n a D = 0 ) U SISO systémů nelze odstrant vlv nestablní nuly U MIMO systémů je možné je obecně možné vlv nestablní nuly přesunout na méně důležtý výstup Někdy to nejde: pokud je nula přšpendlena k nějakému výstup, nejde z něj přesunout na jný (souvsí s nulovým prvky ve směrovém vektoru) Mchael Šebek ARI-01-01 8
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Také pól MIMO systému má směry: x = Ax + Bu y = Cx + Du Je-l q pravý vlastní vektor matce systému A : Aq = pq a t levý vlastní vektor matce systému A : ta = tp H Pak nazýváme up = B q vstupní vektor pólu p a y výstupní vektor pólu p p = Ct H Platí např. (pro póly různé a vlastní vektory škálované na q t = 1 ): u p ukazuje, jak moc je -tý mód vybuzen (a tedy řízen) vstupy y p ukazuje, jak moc je -tý mód pozorován výstupy Přenosová matce je ve směru pólu nekonečná G( p) u p = y u, p p = u p u p y p = y p y p y u Gs = + D = + D H H nctq B n p p 1 1 s p s p () Pól a směr Mchael Šebek ARI-01-01 9
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Interakce Řízení MIMO systémů není složtější an tak kvůl počtu vstupů a výstupů, ale kvůl nterakc: obecně každý vstup ovlvňuje každý výstup Příklad: mísící vanová batere: klascká vs. páková průtok studené průtok horké u1 g y 11() s g1() s 1 g1() s g() s u y teplota průtok Ideálně je přenosová matce je dagonální a nterakce je nulová. Pak říkáme, že systém je rozpojený (decoupled). Čím větší křížová nterakce (couplng), tím větší jsou problémy Jaká je míra nterakce? Mchael Šebek ARI-01-01 10
Problém párování Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Chceme-l využít SISO metody pro MIMO systémy musíme najít, který vstup slně ovlvňuje který výstup. To je Problém párování Pro m x m soustavu je obecně m! možností (permutací) K nalezení párování a také ke zhodnocení míry nterakce se tradčně používá Relatve Gan Array RGA Pro čtvercovou matc přenosů G(s) defnujeme vztahem 1 T RGA( G) =Λ ( G) = Gj (0) G (0) j = G(0). G (0) j. je součn po prvcích (tzv. Hadamardův, Schurův, v Matlabu array multplcaton ) G j (0) - DC zesílení z u na y j, když jsou ostatní vstupy nulové G j1 (0) - převrácená hodnota tohoto zes., když ostatní výstupy nulové Snažíme se o RGA dagonální (s kladnou dagonálou) nebo alespoň s velkým dagonálním prvky Mchael Šebek ARI-01-015 11
Automatcké řízení - Kybernetka a robotka Návrh regulátoru pro MIMO soustavy Dagonální regulátor: čtvercový, nedagonální prvky = 0 funguje pro soustavu dagonální (má nedagonální prvky nulové) a soustavu skoro dagonální (nedagonální prvky malé) navrhuje se SISO metodam, každý prvek odděleně Dvoustupňový návrh 1. Decouplng, tedy úprava přenosu na dagonální tvar: Navrhneme W () s 1, aby Gdag () s = GsW () 1() s byla dagonální matce (tzv. dynamcký decouplng), např. W 1 1 () s G = () s nebo alespoň pro nějakou frekvenc (třeba steady-state decouplng). Pak provedeme dagonální návrh pro Gdag () s, tj. několk skalárních Hlavní problém: typcky ctlvé na chyby/změny parametrů MIMO regulátor s obecnou strukturou 1 1 potřebujeme MIMO metody Fs () = A () sbs (), Ks () = QsP () () s např. polynomálně AsPs () () + BsQs () () = Cs () Mchael Šebek ARI-01-015 1