Dynamika hmotného bodu II: hybnost, energie, atd.

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.1 Hybnost Dynamika hmotného bodu II: hybnost, enegie, atd. Zdálo by se, že po numeickém řešení pohybové ovnice už k dynamice hmotného bodu není co dodat. Máme-li zadanou sílu a počáteční podmínky, s pomocí počítače umíme vypočítat, jak se daný hmotný bod pohybuje. A to přece stačí, ne? Ovšem, kdybychom takhle uvažovali, připavili bychom se o možnost získat na pohyb hmotného bodu hlubší náhled. A nesetkali bychom se s veličinami, kteé nám tento hlubší náhled umožní: s hybností, pací, enegií a momentem hybnosti. Přitom pávě tohle budou veličiny, kteé nás budou povázet všemi dalšími patiemi mechaniky a jsou klíčové vlastně po celou fyziku. 3.1 Hybnost Vztah po hybnost hmotného bodu bychom mohli jednoduše vymyslet : Hmotnost hmotného bodu je m, jeho ychlost v. Jak jednoduše zkombinovat tyto dvě veličiny? 1 Nejjednodušší je postě je vynásobit : p mv (3.1) Hybnost má tedy stejný smě jako ychlost, míří ve směu pohybu. K čemu se tato veličina hodí? Například s její pomocí můžeme lehce zapsat duhý Newtonův zákon ma F d v m a m d mv dp. 3 Duhý Newtonův zákon lze tedy psát jako 4 5. Je totiž dp F, (3.) neboli, ve slovním vyjádření: Časová změna hybnosti ovná se působící síle. Změna hybnosti a impuls síly Vztah (3.) říká, jak se mění hybnost pávě v daném okamžiku. Podívejme se, jak se hybnost mění v delším časovém intevalu, řekněme mezi počátečním časem t a koncovým časem t k. 6 Nejpve si uvědomíme, jak se hybnost změní za kátký časový inteval t. Platí 1 Tedy veličinu skalání ( m ) a vektoovou (v ). Navíc veličinu, kteá pochází z kinematiky (ychlost) a veličinu, kteá je důležitá v dynamice (hmotnost). Vidíme, že hybnost popojuje kinematiku a dynamiku. 15 3 Samozřejmě bychom si mohli vymyslet nějakou divokou kombinaci typu m v v, ale ta by se nejspíš k ničemu ozumnému nehodila, zatímco mv, jak si ukážeme, má ozumný význam. 3 Při úpavě využíváme toho, že hmotnost je v klasické mechanice konstantní, m konst. (Neuvažujeme třeba těleso, z něhož by za pohybu odpadávaly kousky. Také neuvažujeme efekty speciální teoie elativity.) 4 Stojí za zmínku, že v tomto tvau (esp. ve tvau p F ) fomuloval svůj zákon Isaac Newton. 5 Ještě jedna poznámka: Zákon ve tvau (3.) platí i po pohyb hmotného bodu podle speciální teoie elativity (STR); vztah ma F v STR neplatí. 6 Rozdíl t t může být pá sekund, milisekund, minut nebo hodin, záleží na poblému, kteý řešíme. k Příkladem může být oztlačování auta nebo těžkého vozíku: Tlačíme silou F (kteá se může s časem měnit), auto nabíá ychlost, mění se tedy i jeho hybnost. Zajímá nás, jak se hybnost změní od začátku do konce. 1

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.1 Hybnost dp p t F t. 7 8 (3.3) Změnu hybnosti můžeme napsat konkétněji jako p p ( t t) p ( t), takže (3.3) dává p ( t t) p ( t) F( t) t. (3.4) Na pavé staně jsme již eplicite napsali, že sílu beeme v čase t. 9 Změnu hybnosti jsme sice nevyjádřili přesně (ve vztahu je symbol přibližné ovnosti!), ale po malé t bude zřejmě chyba malá. 1 A co delší časový inteval? Postě ho ozdělíme na hodně malých intevalů t : Bude tedy t1 t t, t t t,, ti t i t. Změnu hybnosti (3.4) teď napíšeme postupně po všechny intevaly, p ( t ) p ( t ) F( t ) t 1 p ( t ) p ( t ) F( t ) t 1 1 p ( t ) p ( t ) F( t ) t 3. (3.5) p ( t ) p ( t ) F( t ) t k k 1 k 1 a všechny řádky sečteme: p ( tk) p ( t) F( t) t F( t1) t F( tk 1) t Celková změna hybnosti tedy je: k1 p ( tk ) p ( t) F( ti) t (3.6) i Rovnost je pořád ještě přibližná. Chybu ale zřejmě můžeme zmenšovat tím, že budeme zmenšovat t, tedy že budeme dělit daný časový inteval na ještě více ještě katších intevalů. Co dostaneme, je lépe vidět, pokud chvíli nebudeme pacovat s vektoy, ale jen s jednou složkou hybnosti a síly. Zapišme tedy jen -ovou složku vztahu (3.6): 7 Poč platí dp p t, stučně ukazuje Dodatek 3.A. 8 Při odvození jsme již využili vztah (3.). 9 Mohli jsme ji též vzít v čase t t nebo v kteémkoli čase mezi t a t t, např. v čase t t. Po naše další úvahy to však nebude podstatné. 1 Namítáte-li, že tohle je dost vágní vyjádření, máte pavdu. Jak velkou chybu zde děláme, záleží na konkétní situaci. Jistě si můžeme vymyslet patologické případy, kdy vztah (3.4) selže; třeba případ, kdy v čase t je síla nulová a o nanosekundu později je 1 meganewtonů, ale tyto případy nebudeme uvažovat. (Naše další úvahy budou platit, například pokud bude síla spojitou funkcí času; tato podmínka by šla ještě zmínit.) Fakticky nám zde půjde o to, abychom si vytvořili o vztahu mezi změnou hybnosti a silou ozumnou a názonou představu, zpřesňování podmínek, kdy co platí, necháme na matematice.

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.1 Hybnost k1 p ( t ) p ( t ) F ( t ) t. (3.7) k i i Výazu na pavé staně lze dát názonou geometickou intepetaci. Nakeslíme si půběh síly v závislosti na čase. Z obázku je vidět, že součin F ( t ) t je oven ploše vybaveného obdélníka. 11 k1 Suma F( ti) t je tedy ovna ploše pod zubatou křivkou (na obázku vpavo vyznačenou i čeveně), kteá apoimuje závislost F () t. i Budeme-li zmenšovat t, bude naše čevená křivka apoimovat závislost síly na čase stále lépe a lépe. Zmenšovat t k nule je limitní poces, t. Čevená křivka pak zřejmě splyne se závislostí síly na čase a plocha pod ní bude tedy plocha pod křivkou F () t. t k t F () t Tímto pocesem jsme se od sumy, čili součtu konečně mnoha konečně malých kousků, dostali 1 13 k učitému integálu. 11 Jeho šířka je t a výška F( t i). 1 Říci, že učitý integál je součet nekonečně mnoha nekonečně malých kousků by samozřejmě bylo velmi nepřesné, ale jistou názonou představu nám to dá. Geometický význam je takový, jaký jsme tu načtli: plocha pod gafem funkce. Matematika samozřejmě učitý integál zavádí mnohem igoózněji; v tomto tetu opět odkážeme na předmět Úvod do matematických metod fyziky (a samozřejmě na Matematickou analýzu). 13 Někteé vlastnosti učitého integálu stučně shnuje Dodatek 3.B. 3

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.1 Hybnost Vidíme, že limitou t přejde suma v integál: ve vztahu (3.7) zmenšují k nule 14, takže dospíváme k výsledku k t k 1 tk t F ( ti ) t F ( t). Současně se chyby i t tk p ( t ) p ( t ) F ( t). (3.8) Totéž samozřejmě platí po y-ovou a z-ovou složku. Ve vektoovém zápisu pak dostaneme: p( t ) p( t ) F ( t). (3.9) k tk t Integálu na pavé staně říkáme impuls síly, takže získaný výsledek můžeme vyjádřit i slovně: Změna hybnosti je ovna impulsu síly. 15 Změna hybnosti ychlejší odvození Z duhého Newtonova zákona (3.) můžeme výsledek (3.9) získat i mnohem přímočařeji, postě integací podle času: dp k Integací levé stany (3.1) dostaneme t Integál pavé stany je přímo K čemu je to dobé t k t tk t t k F (3.1) t dp t p ( t ) p ( t k ) p ( t ), tedy levou stanu (3.9). F () t, tedy pavá stana (3.9). A jsme s odvozením hotovi! 16 Z výsledku, kteý jsme dostali, je jasné, že chceme-li tělesu udělit nějakou hybnost, můžeme to udělat tak, že na něj působíme kátkou dobu velkou silou, nebo malou silou, ale dlouhou dobu. Příkladem 14 Pokud není funkce F () t nějak patologická, jak už jsme to zmiňovali výše. 15 Pokud by po nás někdo chtěl, o jakou hybnost jde a o jakou sílu, mohli bychom říci přesněji například: Změna hybnosti hmotného bodu, na kteý působí vnější síly, se ovná impulsu síly počítaného z výslednice vnějších sil. V tomto tetu budeme na mnoha místech používat spíše katší vyjádření nejůznějších vztahů, zákonů apod. Rozmyslete si přitom vždy sami, jak by šlo dané vyjádření zpřesnit či konketizovat. 16 Vidíme, že umíme-li pacovat s integály, dostaneme výsledek doslova na dvou řádcích. Rozmyslete si sami poč jsme jej tedy výše odvozovali skoo na třech stánkách? (Uvědomte si, že jsme-li zaměřeni na vzdělávání, musíme zvládat jak ychlé fomální obaty, tak názoné vysvětlení, jak pojmy a vztahy budovat a kde se beou. Navíc postup, kteým jsme pošli, nás dovedl k tomu, že učitý integál nespadl z nebe, ale dostali jsme ho jako nezbytnou věc, když jsme chtěli přesně vypočítat změnu hybnosti.) 4

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.1 Hybnost mohou být iontové motoy někteých kosmických sond. Mají sice malý tah, ale mohou pacovat velmi dlouho. Výsledek, že změna hybnosti je impuls síly, můžeme využít i naopak, k výpočtu síly například při odazu míčku od podlahy nebo kladiva od kovadliny 17 apod. Vypočíst ale můžeme jen půměnou sílu při příslušném odazu i to ale stačí, abychom získali představu, jak velké síly při náazech jsou. t k () půměná k. 18 Z (3.9) poto okamžitě t Po integál na pavé staně (3.9) totiž platí F t F t t dostáváme F půměná p( tk ) p( t), což můžeme zkáceně napsat jako t t k F půměná p. 19 (3.11) t Pokud je doba ázu velmi kátká (typicky když jsou oba předměty tvdé, třeba v případě kladiva a kovadliny), je síla velká. 17 Nebo, nedejbože, hlavy nepřipoutaného řidiče od čelního skla při pudkém zabzdění nebo sážce. 18 Fakticky se takto definuje půměná síla. (Matematici by mluvili o střední hodnotě síly.) 19 Tohle se dá lehce zapamatovat, fakticky to vypadá jako. Newtonův zákon, když místo deivace píšete p t. 5

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3. Páce 3. Páce Temín páce se v běžném životě užívá v řadě významů. Fyzikální význam tohoto pojmu známe ze školy i ze zkušenosti: Táhneme-li těžkou bednu, pak mía našeho utahání je jistě větší po těžší bednu případně po bednu taženou po dsnější podložce tedy je-li větší síla, kteou bednu táhneme a také oste, když musíme bednu táhnout na delší vzdálenost. Je tedy ozumné definovat veličinu páce jako součin síly a dáhy: W F s 1 (3.1) V páci se uplatňuje jen síla (esp. složka síly) do směu pohybu. Má-li síla jiný smě, musíme vzoec upavit na W F s cos. 3 (3.13) součinu jako Tento vztah ještě upavíme do tvau, kteý budeme moci za chvíli zobecnit. Zavedeme jednotkový vekto mířící ve směu pohybu. Výaz F cos pak můžeme napsat pomocí skaláního F cos F. Páci tedy můžeme vyjádřit jako W F s. Tento výsledek ještě upavíme. Součin jednotkového vektou ve směu pohybu a délky posunutí s je totiž vekto posunutí, s. Celkově tedy dostáváme po páci konstantní síly F, kteá těleso posune o Když síla není konstantní výaz W F. (3.14) Co když ale síla není konstantní? 4 Podívejme se na situaci nejpve v jednoozměném případě, tedy když se hmotný bod 5 pohybuje po přímce a síla míří ve směu pohybu (ale nemusí být konstantní). Česká Wikipedie jich uvádí asi sedm. Anglická Wikipedie je na tom, po temín wok, podobně. (Navíc připomíná asi dvacet písniček či hudebních děl s názvem Wok. Ostatně i v češtině máme Píseň páce; mladší geneace budou znát spíš Uhlířovo-Svěákovo Dělání. Ale to už jsme od fyziky daleko.) 1 Páci značíme symbolem W, zjevně z anglického wok. Ve staších učebnicích se užívá symbol A (z německého Abeit). Pozo, tento vzoec platí, jen když síla je konstantní. (Podobně tomu bude po několik dalších, dokud neřekneme jinak.) 3 F cos je půmět vektou síly do směu pohybu. 4 To se v pai často stává. Představte si, že táhnete sáňky chvíli po ledu, pak v hlubším sněhu, pak třeba po škváře a pak zase po sněhu. 5 Občas jsme zde už mluvili o bedně nebo o tělese, ale pořád na něj nahlížíme jako na hmotný bod. 6

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3. Páce Jak páci v tomto případě definovat a spočítat? Rozdělíme si celou dáhu na malé úseky o délce. V ámci každého úseku se síla příliš nemění 6, můžeme ji poto považovat za (přibližně) konstantní. Páce síly F na kátkém úseku je (viz výše (3.1)) W F 7 (3.15) a celkovou páci dostaneme sečtením přes všechny úseky dáhy. Pokud chceme výsledek zpřesnit, budeme dáhu dělit na katší a katší úseky směřujeme tedy k limitě. Nepřipomíná vám to něco? Jistě, stejný postup jsme pováděli v předchozí kapitolce, když jsme vyjadřovali impuls síly. Naše úvahy už tedy nemusíme podobně opakovat a je nám jasné, že výsledkem bude integál W k F( ) d (3.16) Jak to funguje se podíváme na konkétním příkladu. Příklad 1: páce při natahování pužiny Pužinu tuhosti k natahujeme z nepotaženého stavu. Je-li potažení pužiny, je síla, kteou ji natahujeme, ovna F k. 8 Celkem pužinu natáhneme o délku l. Páci, kteou přitom vykonáme, spočteme podle vztahu (3.16): l l l W F( ) d k d k d k k l l 1 1 (3.17) A když tajektoií není přímka Co když se ale hmotný bod nepohybuje po přímce, co když je jeho tajektoií křivka? Možnou situaci ukazuje obázek. 9 Křivku označujeme c, jde od počátečního bodu A do koncového bodu B. Vidíme, že i síla může mít v ůzných bodech ůznou velikost a ůzný smě. 6 Jako obvykle předpokládáme, že nenastávají nějaké patologické situace. (Tenhle předpoklad budeme používat i v dalších úvahách a už ho většinou ani nebudeme zmiňovat.) Matematik by samozřejmě řekl, že eistuje spousta kásných příkladů, kdy naše úvaha selže. Třeba kdyby síla jako funkce byla tzv. Diichletova funkce. Ta se po acionální ovná 1 a po iacionální je ovna nule. Jistě, je to kásná funkce ale takovéto chování u jakékoli eálné síly ve fyzice opavdu neočekáváme 7 Potože páce na malém kousku dáhy je malá, označujeme ji W. Můžeme říci, že jde o kousek páce. Symbolem W (bez delty) budeme označovat celkovou páci. 8 Tak je definována tuhost pužiny. (Předpokládáme přitom, že při natahování pužiny platí Hookeův zákon, tedy že mezi silou a potažením platí přímá úměnost.) 9 Představte si třeba, že po takovéto dáze táhnete sáňky. (Obázek ukazuje pohled shoa.) 7

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3. Páce Postup, kteým jsme výše definovali a počítali páci, naštěstí můžeme lehce zobecnit a použít i nyní. Křivku postě ozdělíme na malé úseky, na malá posunutí. Na každém úseku budeme považovat sílu za pakticky konstantní, takže příslušný kousek páce je 3 W F. Celková páce je součtem všech kousků, k ( i) ( i). i1 W F Podobně, jako jsme to dělali v případě přímé dáhy, nyní budeme délku posunutí limitovat k nule. 31 Výsledkem bude integál W F( ) d. (3.18) c Toto je obecný vztah po páci síly F po křivce c. Můžeme ho považovat za obecnou definici mechanické páce; můžeme tedy říci: Páce je integál síly po dáze. Matematická odbočka: křivkový integál S integálem, kteý je ve vztahu (3.18), jsme se dosud nesetkali. Není to nomální integál, tedy b integál f ( ) d a, v němž poměnná pobíhá hodnoty od a do b, ale křivkový integál 3. V něm je poměnnou vekto, v našem případě polohový vekto, jehož koncový bod pobíhá danou křivku c. Jak počítat hodnoty křivkových integálů technicky, se naučíte v dalších předmětech 33. Zde nám zatím stačí, abychom měli základní představu typu jde o součet hodně mnoha hodně malých příspěvků přes všechny části křivky (v limitě, kdy délky těch částí křivky jdou k nule). Ve stučné fomě najdete někteé základní infomace o křivkovém integálu v Dodatku 3.C. Po následující příklad z něj budeme potřebovat jen jiné vyjádření vztahu (3.18): d W F ( ) d d. (3.19) 1 3 Píšeme zde ovná se přibližně, pávě poto, že síla obecně není ani na kátkém kousku dáhy přesně konstantní. Přesně budou naše ovnosti platit, až když budeme délku kousků limitovat k nule. 31 Fomálně bychom mohli psát. 3 Přesněji řečeno, křivkový integál duhého duhu. (S křivkovým integálem pvního duhu se potkáme později.) 33 Nejpve v Matematických metodách fyziky a pak v někteých matematických předmětech. 8

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3. Páce Příklad : páce při zvedání závaží po šoubovici Představte si, že nesete těžký kuf nahou po kuhovém schodišti. Křivkou, kteá popisuje jeho pohyb, je šoubovice. 34 Její ovnice je 35 Rcos y Rsin z b (3.) Úhel zde haje oli paametu. 36 Řekněme, že vystoupáte čtyři pata, tedy čtyři závity schodiště. To znamená, že úhel se bude měnit od do 8. Vztah (3.19) po výpočet páce tedy bude konkétně Z (3.) vypočteme 8 Síla, kteou neseme kuf, je F,, mg d W F ( ) d d. 37 (3.1) d d dy dz,, Rsin, Rcos, b d. d d d tedy ( ),, sin, cos,. 38 Skalání součin, kteý v integálu potřebujeme, je d F mg R R b mg b d. Dosazení do (3.1) dá 8 8 d W F ( ) d mgb d mgb8 d. (3.) Výsledek má jasnou fyzikální intepetaci: 8 b je výška schodiště, takže k vynesení kufu jsme museli vykonat páci W mgh, kde h 8 b. 39 Podobným způsobem můžeme vypočítat páci i ve složitějších případech. Křivku vždy vyjádříme paameticky a příslušný křivkový integál se nakonec převede na obyčejný učitý integál. 34 Nomálně bychom řekli, že schodiště je kuhové nebo spiálové. V matematice se ovšem pojem spiála používá po ovinnou křivku, ta, s níž momentálně budeme pacovat, je šoubovice. Pokud vám vadí představa, že schody nejsou hladká křivka, představte si schody vyhlazené do spiálové šikmé ampy. 35 Jde o paametické vyjádření křivky. Paamet b učuje, jak stmě šoubovice stoupá; jeden závit má výšku b. (V technické pai se u šoubů toto nazývá stoupání závitu a bývá označováno symbolem P.) 36 Výše ve vztahu (3.19) jsme po obecný paamet užívali symbol, teď je naším paametem konkétně. 37 Všimněte si, že to už je obyčejný učitý integál, máme v něm jedinou poměnnou φ, přes kteou integujeme. 38 Předpokládáme, že kuf neseme pomalu, takže můžeme zanedbat dostředivou sílu, nutnou po to, aby se kuf nepohyboval přímočaře. Označení paametů je jasné: m je hmotnost, g tíhové zychlení. 39 Vidíte tu souvislost s potenciální enegií? Za chvíli si jí všimneme blíž. 9

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.3 Konzevativní síly 3.3 Konzevativní síly Než se pustíme do zavádění potenciální enegie, musíme si blíže chaakteizovat síly, po kteé budeme moci potenciální enegii definovat. Používá se po ně název konzevativní síly. Hodně volně bychom mohli říci, že konzevativní síly jsou takové, kteé nám v nějakém smyslu umožňují zakonzevovat, tedy schovat si páci. Například gavitační síla takto funguje v přečepávací elektáně Dlouhé stáně: čepadla konají páci, když ženou vodu ze spodní do honí nádže; později voda tekoucí dolů oztáčí tubíny a koná páci. 4 Pojďme výše uvedenou kvalitativní představu doplnit matematickou definicí. Dokonce hned dvěma. Dvě definice Síla F ( ) je konzevativní, jestliže křivkový integál F ( ) d nezávisí na křivce, c ale jen na jejím počátečním a koncovém bodě. To znamená, že máme-li dvě křivky c 1 a c mezi stejnými body A a B, dá integál ze síly po obou křivkách stejnou hodnotu. 41 Síla F ( ) je konzevativní, jestliže její integál po libovolné uzavřené křivce je oven nule, F( ) d. 4 jsou ekvivalentní Dokážeme, že z pvní definice plyne duhá, tj. že integál F( ) d po libovolné uzavřené křivce. Na uzavřené křivce c zvolíme libovolný bod A, viz obázek. Tento bod můžeme chápat jako počáteční a současně koncový bod. Když je síla konzevativní (podle pvní definice), nezáleží integál na křivce, ale jen na počátečním a koncovém bodě což je nyní bod A. Můžeme tedy místo původní křivky c bát křivky menší a menší, a hodnota integálu zůstává stále stejná. Tak dospějeme až ke křivce nulové délky (tj. vůbec se nepohneme z bodu A); integál přes křivku nulové délky je ale zjevně oven nule. To znamená, že i integál přes původní křivku c je oven nule, F( ) d. Původní křivka mohla být libovolná náš důkaz je u konce. 4 Předem se omlouvám všem, jimž se ze slovního spojení zakonzevovat páci ježí všechny vlasy. Tohle bylo řečeno opavdu hodně volně a nepřesně aději to nikde ani neopakujte. Naštěstí to hned v dalším odstavci těžce zfomalizujeme. 41 Konkétně například: Když budeme kuf vynášet z podchodu jednou po šikmé ampě a poduhé po schodech a pak půjdeme kus vodoovně a dojdeme na stejné místo, vykonáme v obou případech stejnou páci. 4 Tedy jestliže s kufem obejdeme učitou tasu a vátíme se na výchozí místo, vykonáme celkově nulovou mechanickou páci. (Pozo, tím není řečeno, že se neunavíme naše svaly samozřejmě spotřebovávají enegii, jenže ta se nakonec mění v teplo.) Poznámka k poznámce: Mění se v teplo je zaužívané slovní spojení, kteé není přesné a dalo by se opávněně kitizovat. Spávně bychom měli říci mění se v jiné fomy enegie. Poč tomu tak je, a poč to není poblém jen teminologický, ale na tomto místě nebudeme blíže diskutovat. 1

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.3 Konzevativní síly Dokažme nyní naopak, že z duhé definice plyne pvní. Uvažujme pevné koncové body A a B a mezi nimi dvě křivky c 1 a c, viz obázek vpavo. Chceme dokázat, že integál (ze síly F ( ), kteá je konzevativní podle duhé definice) je po obou křivkách stejný, tedy že platí F ( ) d F ( ) d. c c 1 Obě křivky ale dohomady tvoří uzavřenou křivku. Tedy, budou tvořit, pokud duhou křivku budeme pocházet v opačném směu. (Viz obázek vlevo, opačná křivka ke křivce c, tedy křivka c, je na něm vyznačena čevenou bavou.) dvou částí, části přes křivku c 1 a části přes křivku c, je tedy 43 Integál přes uzavřenou křivku je (podle duhé definice) nulový, F( ) d. Ale tento integál se skládá ze F( ) d F( ) d F( ) d F( ) d F( ) d. c c c c 1 1 Oud už okamžitě vidíme, že F ( ) d F ( ) d, což jsme chtěli dokázat. c c 1 Kteé síly jsou konzevativní Konzevativní je řada sil, s nimiž v mechanice máme co do činění. Například gavitační síla. Jednoduše to dokážeme po homogenní gavitační pole: Zvolme soustavu souřadnic tak, že osa z míří svisle vzhůu. Pak gavitační síla má složky F,, mg. Hmotný bod o hmotnosti m budeme posouvat po nějaké obecné křivce c z bodu A do bodu B. Body křivky jsou dány polohovým vektoem, y, z, posunutí je d d, dy, dz Je tedy,,,, F d mg d dy dz mg dz. 44. Křivkový integál z B zb F( ) d mg dz mg z mg z zb za (3.3) A c z A tedy závisí jen na ozdílu výšek počátečního a koncového bodu, nikoli na tvau křivky. 45 Centální gavitační pole dané Newtonovým gavitačním zákonem 46 je také konzevativní. Obecně to zde zatím dokazovat nebudeme, vátíme se k tomu v další části kapitoly. 43 Viz vlastnosti křivkového integálu uvedené v Dodatku 3.C. 44 Po náš výpočet ani nebudeme muset psát paametické vyjádření křivky. 45 A samozřejmě, je-li křivka uzavřená, tj. A B, je zbza a integál se ovná nule. 46 Např. gavitační pole Země, pokud ji beeme jako kouli, v níž je hmota ozložena sféicky symeticky. 11

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.3 Konzevativní síly Elektostatické síly dané Coulombovým zákonem jsou ovněž konzevativní. 47 Konzevativní jsou také síly pužnosti. Pokud síla pužiny závisí jen na jejím natažení a opětovném zkácení na původní délku, dá integál ze síly nulu. 48 Uvedené příklady by v nás možná mohly vzbudit dojem, že konzevativní jsou všechny ozumné síly. Ale není tomu tak. a kteé jsou nekonzevativní Důležitým případem nekonzevativních sil jsou třecí síly esp. obecně odpoové síly. Je to vidět jak z fyzikálního názou 49 tak z výše uvedených fomálních definic. Táhneme-li nějaké těleso, ať už po dsné podložce nebo třeba v bazénu, kde voda působí odpoovou silou 5, působí síla vždy poti směu pohybu. Skalání součin F d je tedy ve všech bodech křivky záponý a když se vátíme do výchozího bodu, musí být celkový součet těchto příspěvků také záponý, tedy F( ) d. Za konzevativní také nemůžeme označit síly, kteé nezávisí na poloze, ale na ychlosti. Příkladem je síla působící na nabitou částici nebo vodič s poudem v magnetickém poli. Předchozí příklady nekonzevativních sil ukazovaly případy, kdy, volněji řečeno, o páci přicházíme : těleso stčené po podlaze se za chvíli zastaví, hozený lehký míček je odpoem postředí bzděn. Nekonzevativní síly ale mohou páci i přinášet. Například plachetnice je poháněna větem; oto větné elektány je větem (tj. pohybujícím se vzduchem) oztáčen; elektomoto pohání síla, působící na vodiče otou v magnetickém poli statou 51 47 Coulombův zákon má fomálně stejný tva jako Newtonův gavitační zákon, takže jakmile dokážeme konzevativnost sil po Newtonův gavitační zákon, bude jasné, že konzevativní jsou i elektostatické síly. 48 Po případ, kdy je síla přímo úměná výchylce, by příslušný integál byl k. k d k 49 Táhnete-li těžkou bednu po dsné podlaze, můžete vykonat hodně páce, ale ozhodně jste si tuto páci nikam neschovali ani nezakonzevovali. 5 Kdybyste chtěli větší odpo, táhněte něco třeba v sudu s medem ale škoda medu. 51 Je vidět, že bez nekonzevativních sil by svět byl docela nudný a necivilizovaný A také nebezpečný, na žádném autě by nefungovaly bzdy. (Což by se dalo řešit tím, že by se při bzdění v autě natahovala nějaká pužina. Obecně se zdá, že by v nepřítomnosti konzevativních sil auta mohla jezdit jen na setvačník nebo na klíček, tedy na nataženou pužinu. Hoší by bylo, že by chybělo tření mezi koly a vozovkou; to by se možná dalo řešit nějakou zubačkou... Raději tyto úvahy už nebudeme ozvíjet, celé to začíná vypadat jako hodně divoká scifi.) Postě, buďme ádi, že nekonzevativní síly jsou! 1

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.4 Potenciální enegie 3.4 Potenciální enegie Podle slovníku cizích slov temín potenciální znamená možný, uskutečnitelný. Potenciální enegie by tedy byla, volně řečeno, enegie, kteá může něco uskutečnit. Konkétně a fyzikálně to znamená, že má-li něco potenciální enegii, pak to může vykonat páci. Zamýšlet bychom se jistě mohli i nad významem slova enegie. To má mnoho významů i v běžném životě 5. Ve školské fyzice se enegie často definuje jako schopnost konat páci a víceméně od tohoto pojetí se budou odvíjet i naše odvození v dalším tetu. Je ale dobé uvědomit si, že fyzikální význam pojmu enegie je ve skutečnosti daleko šiší. 53 V češtině se také, zejména v základo- a středoškolské fyzice, po potenciální enegii užívá temín polohová enegie. Typickým příkladem je polohová enegie v homogenním gavitačním poli: zvednu-li závaží 54 ze země na stůl, má vyšší potenciální enegii, než mělo na zemi. Při zvedání jsem konal páci a pávě o tuto páci se zvýšila potenciální enegie závaží. A teď už to jen fomalizovat s použitím tošky matematiky. Hmotný bod přemisťujeme z výchozí pozice dané polohovým vektoem do konečné pozice, kdy polohový vekto bude. Přemístění se děje po křivce c. (Po zapsání integálu bude užitečné označovat nějak polohový vekto odpovídající bodům křivky mezi počátečním a koncovým bodem; budeme ho značit.) Při přemisťování hmotného bodu musíme vyovnávat gavitační sílu F. Když zvedám závaží (= hmotný bod), musím na něj tedy působit silou F moje, přitom zřejmě Fmoje F. 55 Páce, kteou při zvedání závaží vykonám, je dána integálem Fmoje d. 5 Opět podle slovníku cizích slov: činoodost, áznost, odhodlanost. (Vedle těchto ázných fomulací část definice, kteá upomíná na fyziku, zní hodně fomálně: mía ůzných foem pohybu hmoty ve všech jejích vzájemných přeměnách. Představíte si pod tímto stohým popisem nabitou bateii vašeho smatphonu, masu sněhu ve výšce před utžením laviny, vnitřek atomového eaktou nebo aktivní galaktické jádo se supehmotnou čenou díou?) 53 Enegie patří k nejdůležitějším a nejzákladnějším fyzikálním veličinám a bylo by zřejmě těžké až nemožné snažit se ji obsáhnout jednou kátkou definicí. Spíše se s ní, s jejími fomami a s tím, jak funguje v ůzných systémech, budete ve fyzice postupně seznamovat. A zdaleka to nebude jen v mechanice. Místo fomálních definic tedy můžeme říci, že enegie je veličina, kteá nám pomáhá chápat mnohé aspekty pocesů ve všech oblastech fyziky. (A popustíme-li uzdu fyzikálnímu nadšení, můžeme dodat, že je fascinující a nádhené, že takováto základní veličina přes celou fyziku vůbec eistuje. Není přitom sama, podobně základní význam mají hybnost a moment hybnost.) 54 Konkétně třeba litovou láhev s vodou, učebnici mechaniky nebo kufřík s miliónem dolaů. (Postě běžné věci, kteé máte při studiu ozloženy kolem sebe na zemi. ) 55 Předpokládáme přitom, že s hmotným bodem hýbeme tak pomalu, že všechny síly dané tím, že bychom hmotný bod zychlovali nebo bzdili, jsou zanedbatelné. (Takový děj se někdy označuje jako kvazistatický, ale tenhle temín tu zmiňujeme jen po úplnost, znalost mechaniky na něm nestojí.) 13

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.4 Potenciální enegie Potenciální enegii tedy zřejmě můžeme definovat jako 56 moje. (3.4) V V F d Ve výsledném vztahu po potenciální enegii by ale samozřejmě neměla zbýt žádná moje síla. Měla by se tam vyskytovat jen síla příslušného silového pole (v našem případě gavitačního). S využitím toho, že Fmoje F, jde ale (3.4) okamžitě upavit na konečný tva V V F d Toto je obecný vztah, kteý můžeme vzít za definici potenciální enegie. Důležité upozonění:. (3.5) Potenciální enegie je definována jen po konzevativní síly. Je to vidět už z jejího definičního vztahu (3.5). Vyskytují se v něm počáteční bod (odkud náš hmotný bod začínáme přemísťovat) a koncový bod (v němž učujeme potenciální enegii V ). Ale nikde není řečeno, po jaké křivce bod přemísťujeme! Kdyby síla nebyla konzevativní, vyšly by po ůzných křivkách ůzné hodnoty integálu a tedy ůzné hodnoty potenciální enegie. Definice (3.5) by pak byla nepoužitelná. Takže pozo: například po třecí síly, sílu, kteou na nás působí vít, nebo sílu, kteou na vodič s poudem působí magnetické pole, žádnou potenciální enegii zavést nemůžeme! Ovšem, i po konzevativní síly máme v učení V jistou libovůli. Potenciální enegie je učena až na konstantu Ve vztahu (3.5) po potenciální enegii můžeme libovolně zvolit výchozí bod, z něhož začínáme bod přemisťovat, a také konstantu V, tedy hodnotu enegie v bodě.57 V našem příkladu se zvedáním závaží si mohu říci, že ho začnu zvedat ze země, ale mohl jsem také začít o pato níž, od hlavních dveří budovy, ode dna popasti Macocha nebo třeba od hladiny moře. A mohu si říci, jakou hodnotu potenciální enegie v tomto místě má. Obecně tedy platí, že potenciální enegie je učena až na konstantu. 56 Poznámka k symbolu po označení potenciální enegie: Z fyziky na ZŠ a SŠ jsme zvyklí označovat potenciální enegii symbolem E p. Ve vysokoškolské fyzice (a v článcích ve vědeckých časopisech apod.) se po potenciální enegii většinou používá symbol V, tohoto značení se přidžíme i v našem učebním tetu. (Obecně je značení veličin dáno histoickým vývojem a co se vžilo, to se postě používá. Jak už řekl klasik: Můžete s tím nesouhlasit, můžete poti tomu potestovat, ale to je tak vše, co s tím můžete dělat. ) 57 Dosadíme-li do (3.5), dostaneme V V. To znamená, že potenciální enegie našeho bodu v místě je ovna pávě V. 14

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.4 Potenciální enegie Jak se s takovouto neučitostí dá žít? Snadno. Samotná hodnota potenciální enegie totiž nemá žádný význam. Fyzikální význam mají pouze ozdíly potenciální enegie. 58 59 Rozdíly potenciální enegie na volbě výchozího bodu a konstanty V nezávisejí. Při odvozování vztahů po potenciální enegii obvykle volíme výchozí bod a konstantu V tak, aby výsledné vzoce byly co nejjednodušší. Ukáží to i následující příklady Potenciální enegie vybaných sil Potenciální enegie pužiny Síla, kteou pužina působí na hmotný bod, je F k, kde je natažení pužiny. Síla a posunutí působí v téže přímce, takže F d F d. Vztah (3.5) tedy dává 1 V V F d V k d V k V k Je přiozené vzít enegii nenatažené pužiny jako nulovou, poto volíme V. Výsledný vztah po enegii pužiny je tedy V 1 k. (3.6) Potenciální enegie v homogenním gavitačním poli Fakticky jsme tuto situaci již popisovali výše, takže jen stučně: Síla působící na hmotný bod o hmotnosti m je F,, mg d d, dy, dz, takže,,,, do (3.5) dostáváme. Posunutí po křivce je F d mg d dy dz mg dz. Po dosazení z z z A. A V ( ) V F d V mg dz V mg z V mg z z z A Označíme-li ozdíl svislých souřadnic je výsledkem známý vztah A ozn zz h (takže h je výška, o níž jsme hmotný bod zvedli), V mgh. (3.7) 58 Pokud je enegie závaží na zemi J a jeho enegie na stole 1 J, je ozdíl 1 J. Jestliže zvolím V = 1 J, bude enegie závaží na zemi 1 J a enegie na stole 11 J. Rozdíl bude pořád 1 J a to je to, co je fyzikálně důležité. Podobně kdybych zvolil výchozí bod na hladině moře. 59 Samozřejmě, po učení potenciální enegie v ůzných bodech už musí být výchozí bod stejný a stejná musí být i konstanta V. 15

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.4 Potenciální enegie Potenciální enegie ve sféicky symetickém gavitačním poli Jak naznačuje obázek, může jít o potenciální enegii v gavitačním poli Země. 6 Hmotnost Země označíme M, hmotnost hmotného bodu m, vzdálenost od středu Země, v níž chceme učit potenciální enegii, budeme označovat. Vzdálenost výchozího bodu označíme. (A vzdálenost bodu na křivce, po níž se budeme pohybovat, budeme značit. 61 ) F M m G. Gavitační síla je dána vztahem Křivku, po kteé se budeme pohybovat od výchozího bodu (na obázku je značena oanžově), zvolíme speciálně tak, že nejpve půjdeme po kuhovém oblouku konst. V této části křivky je síla kolmá na posunutí, takže nekoná páci tím pádem je příspěvek této části integálu nulový. Pak se budeme od středu Země adiálně vzdalovat tam mají posunutí a síla stejný smě (a opačnou oientaci). Vztah po potenciální enegii tedy dá M m 1 M m M m V V F d V G d V GM m V G G. Mm Konstanty většinou volíme tak, aby V G. Výsledný vztah po potenciální enegii hmotného bodu v gavitačním poli jiného hmotného bodu (nebo třeba v gavitačním poli Země) je pak Mm V G. (3.8) Půběh potenciální enegie v závislosti na vzdálenosti schematicky ukazuje gaf. Nevadí, že je tato enegie záponá? Nevadí. Podstatné jsou ozdíly potenciální enegie v ůzných vzdálenostech. Jak vidíme i z gafu, s ostoucí vzdáleností potenciální enegie oste. 6 Je někde potenciální enegie nulová? 63 Stiktně matematicky vzato, není. Vidíme ale, že V po. To znamená potenciální enegie je pakticky nulová v hodně velké vzdálenosti. Ze vztahu (3.8) bychom tedy mohli třeba vypočítat, jakou enegii bychom potřebovali, abychom ze Země unikli do nekonečna. Zkuste to! 64 6 Tu po náš případ považujeme za kouli, v níž je hmota ozložena sféicky symeticky. Vně takové koule je gavitační pole stejné jako gavitační pole hmotného bodu o hmotnosti Země. 61 Podobné značení jsme už užívali výše. Jde o to, abychom ozlišili integační poměnnou a mez integálu. 6 Stejně jako v homogenním gavitačním poli oste V s výškou. 63 Tedy, jak se někdy říká, je někde nulová hladina potenciální enegie? 64 Takovýto únik do nebes by se dal dělat třeba po nekonečně dlouhém žebříku vedoucím od seveního pólu vzhůu. Což asi není moc ealistické Ale jak uvidíme později, z ozdílu enegie na povchu Země a v nekonečnu se dá jednoduše odvodit duhá kosmická ychlost. 16

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.4 Potenciální enegie Potenciální enegie náboje v elektostatickém poli duhého náboje Jde o analogii k předchozímu případu. Náboj Q působí na náboj q podle Coulombova zákona silou Stejným postupem jako výše bychom evidentně dostali Q q F k 65 (3.9) Qq V k. 66 (3.3) Potenciál (a zmínka o intenzitě pole) S potenciální enegií je úzce spojen pojem potenciál. Poč a jak ho zavádíme? Vyjděme z předchozí situace týkající se elektostatiky. Řekněme, že v počátku soustavy souřadnic máme náboj Q. A chceme v místě chaakteizovat elektostatické pole ale něčím jiným, než silou. Nabízí se možnost vyžít k tomu potenciální enegii. Postě dáme do místa nějaký jiný náboj q, (říkejme mu třeba testovací náboj), učíme jeho enegii a řekneme, že ta chaakteizuje pole v daném místě. Ovšem pozo, jak vidno z (3.3), enegie závisí na velikost testovacího náboje q! Desetkát větší testovací náboj znamená desetkát větší enegii. A my chceme chaakteizovat jen pole náboje Q. Řešení se samozřejmě nabízí. Zavedeme veličinu V ( ) Q ( ) k q. (3.31) A pávě to je elektický potenciál bodového náboje Q (ve vzdálenosti od tohoto náboje). Podobně můžeme zavést gavitační potenciál. Tentokát ale potenciální enegii nedělíme nábojem, ale hmotností testovací hmoty m. Ze vztahu (3.8) dostaneme po potenciál hmotného bodu 67 ( ) V ( ) M G G m. (3.3) Poznamenejme, že podobný vztah jako mezi potenciální enegii a potenciálem je mezi silou a intenzitou pole. Například intenzitu elektického pole definujeme jako Podobné to je po intenzitu gavitačního pole; ještě se k tomu vátíme. F E. (3.33) q 65 k 1 4, kde je pemitivita vakua. 66 Pavé stany vztahů (3.8) a (3.3) se liší znaménkem, ale to je pochopitelné. Dva hmotné body se přitahují, takže když jsou blíž, je jejich vzájemná potenciální enegie nižší abychom je dostali dál od sebe, musíme je od sebe olačovat, tedy musíme konat páci. Dva náboje stejného znaménka se naopak odpuzují; páci musíme konat, když je chceme dostat blíž k sobě. Po katší vzdálenost je tedy jejich potenciální enegie (v případě Qq ) vyšší. 67 Nebo koule se sféicky symetickým ozložením hmoty ovšem jen vně koule. 17

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.5 Jak z potenciální enegie učit sílu 3.5 Jak z potenciální enegie učit sílu V předchozí části kapitoly jsme se naučili, jak ze známé síly spočíst potenciální enegii. Nešlo by to také naopak, tedy ze známé potenciální enegie učit sílu? Šlo ale budeme k tomu potřebovat znát 68 69 potenciální enegii nejen v jednom bodě, ale i v jeho okolí. Začneme tak, že učíme hodnotu potenciální enegie ve dvou blízkých bodech, a (viz obázek) podle vztahu (3.5): 7 Odečteme-li pvní řádek od duhého, dostaneme: V V F d V V F d V V F d F d F d (3.34) (3.35) Rozdíl potenciálních enegií je tedy dán integálem podél kousku křivky vyznačeném fialově). 71 (na obázku výše Ještě jednodušeji můžeme k témuž výsledku dojít z fyzikálního náhledu: Rozdíl potenciálních enegií ve dvou bodech je dán pací, kteou síla vykoná na dáze tyto body spojující. A integál na pavé staně (3.35) je pávě touto pací. (Rozmyslete si, poč je před ním znaménko mínus! 7 ) Kousek křivky je ale kátký, takže síla F je na něm pakticky konstantní. Integál na pavé staně se tedy pakticky ovná F d F. (3.36) 68 Pokud bychom znali jen hodnotu V ( ) v jediném bodě, nic bychom z ní spočíst nemohli už poto, že jak jsme viděli výše, význam mají jen ozdíly potenciální enegie v ůzných bodech. Ostatně k učení potenciální enegie nám také nestačilo znát sílu v jediném bodě, museli jsme ji znát podél celé křivky, podél níž se integovalo. 69 Když jsme potenciální enegii dostali ze síly integací, dokážeme odhadnout, jak asi učíme sílu z potenciální enegie? (Spávně, deivací ) 7 Na obázku je křivka směřující k (podél níž integujeme na pvním řádku (3.34)) vyznačena oanžově, křivka směřující k, podél níž integujeme na duhém řádku, čeveně. 71 Rozmyslete si, poč to tak je. Lze to vidět například z toho, že z téhož výchozího bodu dospějí do téhož koncového bodu jak čevená křivka, tak křivka vzniklá složením oanžové a fialového kousku. A potože síla je konzevativní, musí se ovnat integály po obou křivkách. 7 Kdyby šlo o páci, kteou jsem vykonal já poti silám pole (např. při zvedání závaží z do ), bylo by zde znaménko kladné. Ale síla pole má opačnou oientaci než moje síla, poto je znaménko mínus. Nebo ještě jinak: Aby síla pole vykonala kladnou páci, musí potenciální enegie poklesnout. (Příklady: klesající závaží v kyvadlových hodinách, voda padající na tubínu ve vodní elektáně.) 18

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.5 Jak z potenciální enegie učit sílu Chyba, kteou touto apoimací děláme, se zjevně bude zmenšovat, když budeme zmenšovat Spojením (3.35) a (3.36) dostáváme. V V F. (3.37) Teď už máme sílu F skoo spočtenou. Ovšem pozo, (3.37) nelze jednoduše vydělit. 73 Využijeme toho, že vekto je libovolný 74 a zvolíme ho ve tvau,,. Vztah (3.37) pak bude mít tva,,, y, z,, V V F F F F F. (3.38) Ten již můžeme dělit a dostaneme F,, V V. Výsledek možná bude o něco přehlednější, pokud potenciální enegii zapíšeme eplicite jako funkci poměnných, y a z : V V, y, z 75 : F,,,, V y z V y z Pořád zde ale máme učitou nepřesnost danou tím, že učili přesně, vezmeme limitu : F lim má konečnou délku 76. Takže abychom sílu,,,, V y z V y z (3.39) Výaz na pavé staně (3.39) velmi silně připomíná definici deivace. Jenom zde nyní nemáme jedinou poměnnou, ale tři poměnné, y, z. Deivujeme přitom jen podle jedné poměnné, zde podle poměnné. Volně bychom snad mohli říci, že deivujeme jenom částečně, tedy paciálně. Matematika opavdu této deivaci říká paciální deivace. Paciální deivace podle se značí symbolem Stučnou infomaci o paciálních deivacích podává Dodatek 3.D. 77 Vztah po výpočet -ové složky síly tedy můžeme psát jako, paciální deivace podle y symbolem y, atd. F V. (3.4) 73 Postě poto, že vektoem se dělit nedá. Musíme na to jít opatněji. 74 Beme ho sice jako velmi kátký, ale má libovolný smě a můžeme měnit i jeho délku. V (,,) V, y, z. 75 V tomto duchu samozřejmě také zapíšeme 76 a síla na intevalu, není přesně konstantní. 77 Pokud se s paciálními deivacemi setkáváte popvé, vězte, že se jich nemusíte bát. Paciální deivace podle je postě deivace podle písmenka, všechna ostatní písmena v deivovaném výazu (tedy i y a z) beeme jako konstantní. 19

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.5 Jak z potenciální enegie učit sílu Naposto stejně bychom získali vztah po další složky síly; ty budou dány paciálními deivacemi podle y a z. Celkově tedy platí F V F y V y V V V F,, y z (3.41) F z V z Výaz na pavé staně (3.41) se vyskytuje tak často, že po něj matematika zavedla zvláštní označení a symbol. Říká se mu gadient, symbol je gad. Obecně je gadient skalání funkce f (, y, z ) f f f definován jako gad f,,. Další infomace viz Dodatek 3.D. y z Pomocí gadientu můžeme sílu z potenciální enegie vyjádřit jednoduchým vztahem F gad V 78 (3.4) Že to funguje, si ukážeme na několika příkladech. Příklad 3: pužina Potenciální enegie pužiny je (viz (3.6)) V 1 k. V tomto případě máme jedinou dv d d d 1 poměnnou, takže ani nemusíme užívat paciální deivaci, postě je F k k k tedy tak, jak očekáváme. 1 Příklad 4: hmotný bod v homogenním gavitačním poli Potenciální enegie bodu v homogenním gavitačním poli je (viz (3.7), jen místo h teď píšeme svislou souřadnici z): V mg z. Její paciální deivace jsou V V V mgz, mgz, mgz mg y y z z Je tedy gad V,, mg. Z (3.4) esp. (3.41)pak dostáváme F gad V,, mg tedy spávnou hodnotu síly.. 79, 78 V V V Jde opavdu jen o zkácený zápis. Je gad V,,, takže (3.4) je přesně totéž, co (3.41). y z 79 Připomeňme, že při deivaci podle nebo podle y chápeme z jako konstantu.

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.5 Jak z potenciální enegie učit sílu Příklad 5: hmotný bod v centálním gavitačním poli Potenciální enegie je (viz (3.8)) Mm V G. Soustavu souřadnic zvolíme tak, jak ukazuje obázek. Vzdálenost bodů je y z. Vekto síly budeme počítat po složkách. Je F V a po dosazení: V M m 1 1 F G GMm GMm y z y z 3 1 M m GMm y z GMm GM m G 3 3 y z Podobně vyjde F y V M m y G y V M m z, takže celkově z a Fz G M m y z M m F F, Fy, Fz G,, G. (3.43) Vyšla nám tedy síla podle Newtonova gavitačního zákona. Pozo: Pávě teď jsme dokázali, že gavitační síla popsaná Newtonovým gavitačním zákonem je konzevativní. Má totiž potenciální enegii a páce síly mezi dvěma body je ovna ozdílu potenciálních enegií, tedy nezáleží na křivce. 8 8 Laskavý čtenář znalejší matematiky si může tento spíše jen lehce nahozený důkaz pecizovat tím, že bude uvažovat křivkový integál gadv B A d a ukáže, že nezáleží na křivce mezi body A a B. Ještě laskavější a ještě matematicky znalejší čtenář může uvažovat integál po uzavřené křivce gadv 1 d, pomocí Stokesovy věty ho převést na plošný integál z ot gadv a jeho nulovost už je pak zřejmá, potože ot gadv. (Pokud vám jde z toho hlava kolem, nezoufejte, na to si zvyknete a příslušné znalosti časem zvládnete. Tady to uvádíme spíš na ukázku, že věci se dají dokazovat ůzně )

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.6 Kinetická enegie 3.6 Kinetická enegie Zamysleli jste se někdy nad tím, poč je kinetická enegie třeba hozeného kamene ovna 1 mv? Poč 1 to není třeba mv nebo 6 3 15 5m v? 81 V této části kapitoly si odvodíme, poč to tak je. Nejdřív se ale podíváme, jaký je výkon síly působící na hmotný bod. Výkon síly Výkon je páce dělená časem, po kteý se vykonávala: P W 8 t (3.44) Páce síly F po malé dáze Po povedení limity tedy dostáváme výsledek je ovšem W F, takže vztah po výkon můžeme upavit na W F P F F v (v limitě t ) t t t P Fv (3.45) Po konzevativní síly můžeme výkon vyjádřit ještě jinak, pomocí změn potenciální enegie. Páce, kteou síla vykoná při přesunu bodu z místa do, je ovna poklesu potenciální enegie: W V V (3.46) Výkon je tedy P W V V V V t t t Po povedení limity t dostáváme na pavé staně deivaci: Je tedy t V V dv lim t. P dv (3.47) Tento vztah má vcelku jasnou fyzikální intepetaci: Výkon je tím vyšší, čím ychleji klesá potenciální enegie. (Pomalu klesající závaží v kyvadlových hodinách dává hodinovému stoji malý výkon, masa vody poudící z přehady na tubínu poskytuje mnoho megawattů.) 81 No dobá, členy typu m 6 ve výazu po enegii nemají co dělat, to by nevycházelo ozměově, ale o koeficientu před mv ozměová analýza nic říct nemůže. 8 To je samozřejmě půměný výkon za časový inteval t, pokud budeme chtít spočíst okamžitý výkon, (což za chvíli budeme potřebovat), uděláme limitu t.

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.6 Kinetická enegie Kinetická enegie odvození v jednoozměném případě Teď už můžeme odvodit vztah po kinetickou enegii. Po jednoduchost začneme jednoozměným případem, tedy hmotným bodem pohybujícím se podél osy. (Rovněž o síle předpokládáme, že má pouze -ovou složku.) Východiskem nám bude duhý Newtonův zákon ma F, zapíšeme jej ve tvau: dv m F. (3.48) Jak oud dostat něco, co souvisí s enegií? S enegií souvisí výkon a ten zde dostaneme, když (3.48) vynásobíme ychlostí: dv m F v. (3.49) Po úpavách 83 dostáváme dv dv m v F v P, (3.5) tedy vztah, kde na pavé staně je deivace potenciální enegie. Pokud se nám podaří upavit levou stanu také na deivaci něčeho podle času, budeme mít vyháno. Taková úpava ale je možná; je totiž dv d 1 v v. 84 Hmotnost pak vtáhneme do deivace 85 a z (3.5) vyjde d 1 dv mv, (3.51) a po převedení členu dv z pavé stany na levou a sloučení obou členů do jedné deivace pak konečně Máme zde součet výazu d také jako enegii tedy zavést kinetickou enegii 86 1 m V v. (3.5) 1 mv s potenciální enegií. Jasně se tedy nabízí intepetovat tento člen T 1 mv. (3.53) 83 Za použití vztahů (3.45) a (3.47). 84 Můžeme to ukázat hned dvěma způsoby. Jedním je deivovat podle času v () t jako složenou funkci: d ( ) dv v t v. d d dv Duhou možností je deivovat součin v v : dv dv v v v v v v. Pak už stačí výsledek jen vydělit dvěma 85 Je to konstanta, takže d 1 d 1 m v mv. 86 V češtině, zejména ve školské fyzice, ji říkáme též pohybová enegie a značíme ji obvykle E k. Označení symbolem T se užívá ve vysokoškolské fyzice, vědeckých článcích apod. a přidžíme se ho i my. Symboly T a V po kinetickou a potenciální enegii pý zavedl Joseph-Louis Lagange ve svém slavném díle Mécanique analytique v oce 1788. Uvádí se, že symbol T pochází z fancouzského slova tavail (=páce). 3

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.6 Kinetická enegie Kinetická enegie odvození v tříozměném případě Pakticky stejně můžeme kinetickou enegii odvodit i ve tříozměném případě. Vyjdeme opět z pohybové ovnice, tedy z. Newtonova zákona ve tvau dv m Vynásobíme jej (skaláně) ychlostí a upavíme levou i pavou stanu: 1 m d vv F. (3.54) dv dv m v F v P. 87 (3.55) d d Levá stana je 1 1 m v v mv, takže (3.55) dává mv d 1 dv, čili d 1 m V v. (3.56) Je tedy přiozené i ve tříozměném případě zavést kinetickou enegii vztahem T 1 mv. (3.57) Vztah (3.56) je tedy vlastně d T V. To nás přímo vybízí k tomu, abychom jejich součet E T V (3.58) označili za celkovou mechanickou enegii hmotného bodu. Vztah (3.56) má pak tva de, Z čehož okamžitě plyne E konst., (3.59) což je zákon zachování mechanické enegie. Důležité upozonění: Mechanická enegie se zachovává, jen když jsou všechny síly konzevativní. 88 87 Při úpavě levé stany používáme opět vztah po deivaci součinu: d d v d v d v v v = v v v. (Vztah po deivaci součinu platí i po funkce, kteé jsou vektoy. Můžete se o tom přesvědčit, když si skalání součin ozepíšete pomocí složek vektoů.) 88 Zákon jsme odvodili za předpokladu, že síly mají potenciální enegii (což platí, pávě když jsou konzevativní). Fyzikálně je to také jasné: Pokud v nějakém ději haje oli tření, mechanická enegie se nezachovává. 4

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.7 Moment hybnosti 3.7 Moment hybnost Hybnost a enegie, jimž jsme se věnovali výše, jsou dvě velice důležité fyzikální veličiny. Stejně důležitá je ale ještě jedna: moment hybnosti. Věnujme se ale nejdříve chvíli jiné veličině, asi o něco známější 89, kteá má ve svém názvu také moment: momentu síly. Moment síly Paktickou představu máme asi všichni. Když potřebujeme utáhnout nějaký šoub nebo povolit vzdoující uzávě zavařovací sklenice, vezmeme si na pomoc delší páku. Je to pávě poto, abychom stejnou silou dosáhli většího momentu síly. Pokud je síla F kolmá na spojnici působiště síly s osou otáčení, jak to ukazuje obázek, je moment síly M d F, (3.6) kde d je ameno síly. Takto to známe z fyziky po střední školy. Pokud má síla jiný smě, jak to vidíme na obázku vlevo, je ameno ovno d sin ; přitom, kde je vekto spojující osu otáčení s místem působiště síly a α je úhel mezi oběma vektoy. 9 Velikost momentu síly tedy je M sin F F sin (3.61) momentu síly je postě Tento výsledek můžeme ještě přepsat do stučnějšího tvau využitím vektoového součinu vektoů 91. Je totiž M F. F F sin, takže velikost Oud je už jen kůček dalšímu zobecnění: definovat moment síly jako vekto M F. (3.6) Takto se moment síly definuje ve vysokoškolské fyzice. Je to vekto kolmý na oba vektoy a F ; velikost tohoto vektou je velikost momentu, jak jsme ji dosud znali (tedy daná vztahem (3.6) esp. (3.61)). Podobně jako moment síly můžeme definovat i momenty dalších veličin třeba pávě moment hybnosti. 89 Alespoň ve školské fyzice a v technické pai. 9 Přesněji řečeno, na obázku je úhel mezi vektoy ( ) a F ; úhel mezi vektoy a F je, ovšem potože sin( ) sin, je jedno, kteý z úhlů vezmeme: d sin( ) sin. 91 Vlastnosti vektoového součinu stučně připomíná Dodatek 3.E. 5

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.7 Moment hybnosti Moment hybnosti Moment hybnosti částice o hmotnosti m pohybující ychlostí v (tedy s hybností p mv ), jejíž poloha je učena polohovým vektoem je L p, (3.63) tedy L ( mv ). (3.64) K čemu je dobá takto definovaná veličina? 9 O fyzikálních veličinách se často něco dozvíme, když se zeptáme, jak se mění s časem. 93 Zkusme z tohoto hlediska pozkoumat moment hybnosti. Na zkoumání, jak ychle se něco mění s časem, máme matematický nástoj: deivaci podle času. Zdeivujme tedy vztah (3.63) podle času. Dostaneme dále upavovat: Vidíme tedy, že dl d p, pavou stanu pak můžeme dl d d dp p p v( mv ) F M 94 (3.65) neboli: dl M, (3.66) Časová změna momentu hybnosti se ovná momentu působící síly. Jak to funguje, ukáže příklad. Příklad 6: matematické kyvadlo Matematické kyvadlo je hmotný bod kývající se na nehmotném vlákně eálně tedy malé těleso kývající se na vlákně zanedbatelné hmotnosti. Kývá se přitom v jedné ovině. 95 Naší úlohou bude najít ovnici, kteá popisuje jeho pohyb. To lze dělat ůzně, my si ukážeme způsob využívající pávě moment hybnosti. Soustavu souřadnic zvolíme tak, jak ukazuje obázek: počátek v bodě závěsu kyvadla, osu vodoovně, osu y svisle vzhůu. Úhel mezi závěsem a svislou osou označíme φ, jednoznačně učuje okamžitou polohu kyvadla. Délka závěsu je l. Gavitační síla působí svisle dolů, má tedy složky F, mg,. 9 Nadefinovat si totiž můžeme, co je nám libo, kombinací hmotnosti, ychlosti a polohového vektou by se našlo nesčetně. Ale jenom veličiny, kteé mají nějaké zajímavé vlastnosti, poskytnou nám nový pohled nebo hlubší vhled do řešených poblémů, mají šanci se uchytit. Moment hybnosti se ale ozhodně uchytil! 93 Tj. zda se mění a jak ychle, a naopak, kdy se nemění. 94 Při úpavách jsme využili toho, že vektoový součin dvou ovnoběžných vektoů je oven nule; dále jsme použili. Newtonův zákon dp F. 95 Jinak by šlo o tzv. kónické kyvadlo. 6

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.7 Moment hybnosti Složky polohového vektou jsou (viz obázek) Deivací podle času z nich učíme složky ychlosti 96 l sin, y l cos, z (3.67) d d dy d dz l cos, y l sin, z (3.68) Po učení momentu hybnosti L p, si napíšeme vektoy a p mv : Oud l sin, l cos, p ml cos, ml sin, L p,, ml Moment síly je (3.69) 97 (3.7) M F l sin, l cos,, mg, mgl sin. 98 Vidíme, že jediná nenulová složka vztahu (3.66), tj. dl dlz M je z-ová, d ml mgl M z, tedy po dosazení: sin. (3.71) Oud po další úpavě dostáváme d g sin. (3.7) l Toto je pohybová ovnice matematického kyvadla, vyšla nám přímo ze vztahu (3.66) po změnu momentu hybnosti s časem. Řešit tuto ovnici po velké ozkyvy by bylo složité. Po malé výchylky, kdy 1, můžeme d g apoimovat funkci sinus jako sin. Rovnice (3.7) pak přejde na ovnici, jejíž l řešení je podstatně jednodušší. Už jsme ho vlastně dělali v předchozí kapitole v příkladu 3 (kmity na t, kde úhlová pužině). Poto zde už jen stučně napíšeme, že řešení má tva fekvence kmitů je g a ma je amplituda kmitů. 99 l ma cos 96 Souřadnice přitom deivujeme jako složené funkce, potože l sin ( t), y l cos ( t). 97 Vidíme, že z-ová složka momentu hybnosti je kladná po. To odpovídá, potože z-ová osa na obázku míří z papíu k nám ; pokud pavou uku položíme na obázek tak, aby palec ukazoval do směu osy z, psty ukazují smě otace, v našem případě dopava nahou, jak tomu opavdu je, když se zvětšuje. 98 Vektoový součin se vám možná bude lépe počítat, když si po přehlednost opět napíšete vektoy nad sebe. 99 Zkuste si dosadit do ovnice, že jde opavdu o řešení. (Pozn.: Hodnoty a ma učíme z poč. podmínek.) 7

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.8 Pohyb v poli centální síly 3.8 Aplikace: Pohyb v poli centální síly (zejména v gavitačním poli) Pojmy a vztahy, s nimiž jsme se blíže seznámili v této kapitole, nám mohou pomoci řešit důležitý poblém: Jak se pohybuje těleso, například dužice, v gavitačním poli jiného tělesa, například Země? Situaci ukazuje obázek. Poloha dužice je učena polohovým vektoem, jeho počátek je ve středu Země. Hmotnost dužice je m, její ychlost v. Hmotnost Země je M z. Potože je mnohem větší než hmotnost dužice m M, budeme Zemi (esp. její střed) považovat za nehybné centum. 1 z Sílu působící na dužici učuje Newtonův gavitační zákon 11 : M m z Fg G 1 Okamžitě vidíme, že moment této síly je nulový. Je to vidět už z obázku: ameno síly je zjevně nulové. Fomálně to můžeme M m M m g z z dokázat výpočtem momentu síly: M F G G. 13 3 Ze vztahu dl dl M pak plyne, že L konst. To znamená, že při pohybu hmotného bodu v poli centální síly se moment hybnosti zachovává. Oud můžeme odvodit dva podstatné důsledky. 1) Potože L p, jsou na sebe vektoy L a kolmé. A když vekto L je konstantní, musí se koncový bod vektou pohybovat v jedné ovině (kolmé na L ) 14. To znamená, že pohyb dužice se 15 16 děje v ovině. ) Duhý důsledek se týká plochy, kteou opisuje polohový vekto. 17 Fakticky půjde o duhý Kepleův zákon. 1 To znamená, že budeme poblém řešit v soustavě spojené se středem Země. Osy naší soustavy přitom budou v klidu vůči vzdáleným hvězdám (soustava se netočí spolu se Zemí), takže ji budeme bát jako ineciální soustavu. Malé zychlení dané obíháním Země kolem Slunce zde zanedbáme. 11 Už výše jsme připomínali, že pole vně koule, v níž je hmota ozložena sféicky symeticky, je stejné jako pole hmotného bodu ve středu koule. (Dobné odchylky gavitačního pole Země od tohoto modelu zde také zanedbáváme.) 1 Jde tedy o sílu směřující do centa Země, poto nese tato část kapitoly název Pohyb v poli centální síly. 13 Potože vektoový součin dvou ovnoběžných vektoů je oven nule. 14 Například pokud by vekto L měl smě osy z, bude se pohyb dít jen v ovině y. (Ve složkách bude L a, y, L,, z 15 V této ovině leží i silové centum, v našem případě střed Země. 16 Popavdě řečeno, tohle není nijak zvlášť překvapující (ani z hlediska zdavého ozumu): Jestliže se dužice pohybovala v nějaké ovině, třeba v ovině y, není zde žádná síla (žádná příčina), kteá by ji přiměla tuto ovinu opustit. 17 Polohový vekto se v tomto kontetu také označuje jako původič dané dužice..) 8

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.8 Pohyb v poli centální síly Duhý Kepleův zákon Podívejme se, kam se posune polohový vekto za čas plochu S přitom opíše. t a jakou Situaci ukazuje obázek. Posunutí vektou je 18 19 vybaveného tojúhelníka je v t. Plocha S v t 1 1 Po vydělení t dostáváme S 1 p L v konst. (3.73) t m m S Jaký je význam veličiny? Učuje, jak ychle se mění plocha, opsaná původičem, s časem. Je to t tedy plošná ychlost. 11 Získaný výsledek (3.73) můžeme vyjádřit konstatováním: Plošná ychlost původiče je při pohybu hmotného bodu v centálním silovém poli konstantní. 111 Pokud tento výsledek aplikujeme na pohyb planet kolem Slunce, můžeme ho vyslovit ve tvau Plocha opsaná původičem planety za stejné časové intevaly je stejná. a vidíme, že jsme opavdu odvodili duhý Kepleův zákon. 11 Pvní Kepleův zákon Planety obíhají po eliptických dahách, v jejichž ohnisku je Slunce. I tento zákon Keple vyvodil z astonomických pozoování. Tva tajektoie planet a dalších těles v gavitačním poli Slunce také odvodíme ale analytické odvození 113 si necháme až do jedné z dalších kapitol. 114 Pohyb hmotného bodu v centálním gavitačním poli ale můžeme vcelku jednoduše spočítat numeicky příslušný algoitmus je uveden v Dodatku 3.F. 18 Můžeme ji spočítat podle školského vzoečku základna kát výška lomeno dvěma, přičemž základna je a výška sin. Díky vlastnostem vektoového součinu je sin. 19 Plocha tojúhelníka se samozřejmě nepatně liší od plochy, kteou opíše původič, potože koncový bod vektou se pohybuje po křivce, nikoli po přímce. Ovšem tato chyba (esp. její elativní velikost vůči S ) jde k nule v limitě t, kteou budeme povádět. 11 Po konečné t by šlo samozřejmě o půměnou plošnou ychlost. Okamžitou plošnou ychlost dostaneme limitou t. 111 Ani nemusíme specifikovat, že jde o gavitační pole. V odvození jsme nikde nepotřebovali vědět, jak síla závisí na vzdálenosti, podstatný byl smě síly. 11 Keple jej vyvodil z pozoování pohybu planet, my jsme jej dostali jako důsledek základních zákonů klasické mechaniky. 113 Tedy odvození s tužkou a papíem esp. s křídou a tabulí. 114 Přece jen jde o odvození tochu delší, tak s ním počkáme, až si tochu pocvičíme mozek na jednodušších příkladech. (Ale zvládneme ho, nebojte!) 9

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.8 Pohyb v poli centální síly Jak může vypadat výsledek numeického výpočtu, ukazuje obázek. Střed Země je v počátku soustavy souřadnic, její polomě není na obázku vyznačen. 115 Konkétně jde o pohyb dužice, jejíž počáteční vzdálenost od středu Země je 7 km a počáteční ychlost 9 km/s. Gaf vlastně ilustuje pvní Kepleův zákon ovšem jestli je tajektoií opavdu přesně elipsa, z něj těžko dokážeme, na to opavdu musíme počkat na analytický výpočet. Ze zobazených poloh dužice (jsou zobazeny s časovým kokem 1 minuta) kvalitativně vidíme i důsledek duhého Kepleova zákona: V blízkosti silového centa se dužice pohybuje ychleji, dál od centa pomaleji. 116 Příslušný ecelovský soubo je v doplňujících mateiálech. Pokud v paametech změníte počáteční ychlost, tva tajektoie se změní: při vyšší ychlosti bude elipsa potáhlejší a potáhlejší a nakonec se dužice k Zemi už nevátí, tajektoií bude hypebola. Poznamenejme ještě, že po platnost pvního Kepleova zákona je podstatné, že síla klesá se vzdáleností jako vzdálenosti třeba na Třetí Kepleův zákon 1. Pokud v numeickém výpočtu změníte ve vzoci po sílu závislost na,1 1, uvidíte, že tajektoií ani nebude uzavřená křivka. Třetí Kepleův zákon popisuje závislost mezi vzdáleností planety od Slunce a dobou jejího oběhu. 117 Mohli bychom ho ilustovat pomocí výsledků našeho numeického modelu. 118 Jeho analytické odvození v obecném případě si také necháme na později. Stojí ale za to, připomenout si, jak ho lze odvodit ve speciálním případě, kdy se planety pohybují po kuhových dahách. 119 Je-li polomě dáhy planety R a její úhlová ychlost, je dostředivé zychlení je tedy F R. Dostředivá síla mr. Touto dostředivou silou je gavitační síla, kteou planetu přitahuje Slunce 1. MS m MS m Její velikost je F G, kde M R S je hmotnost Slunce. Je tedy mr G. Oud po R 115 Obázek je kopií gafu v Ecelu, v němž byl poveden numeický výpočet, nic do něj není přidáno. 116 Rozmyslete si, že toto opavdu z duhého Kepleova zákona plyne. 117 Přesněji řečeno, mezi hlavní poloosou elipsy, po níž se planeta pohybuje, a peiodou oběhu. 118 Takto by šlo jeho platnost ilustovat třeba zájemcům na úovni střední školy. 119 V tomto případě jde v zásadě také o středoškolské odvození. 1 Upozonění: Jednou z chybných představ, kteé se občas vyskytnou, je představa, že dostředivá síla je jakási zvláštní síla, kteá se v dané situaci vyskytuje navíc vůči gavitační síle. Ve skutečnosti dostředivá síla musí být způsobena nějakým eálným fyzikálním působením. V případě závaží, kteé uvážeme na povázek a točíme s ním nad hlavou, je to síla, kteou na závaží působí povázek. (Pokud je vám bližší poněkud azantnější příklad, tak si představte středověký řemdih: ostnatá koule na řetězu připevněném na tyči. Paktickému povedení bych se ve škole aději vyhnul ale dostředivou silou je opět síla, kteou na kouli působí řetěz.) V případě planety obíhající kolem Slunce je dostředivou silou gavitační síla, jíž Slunce přitahuje planetu. 3

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.8 Pohyb v poli centální síly M úpavě: G S R 3 Po dosazení je tedy. Ovšem úhlová ychlost souvisí s peiodou oběhu T 11 podle vztahu. T M a oud T R 4 G S 3 T 4 R. (3.74) GM 3 To znamená, že duhá mocnina oběžné doby je úměná třetí mocnině poloměu dáhy což je pávě 1 13 to, co po kuhové dáhy tvdí třetí Kepleův zákon. S Pvní kosmická ychlost Když už jsme se dotkli pohybů dužic Země, pojďme si připomenout jednoduché odvození dvou ychlostí, kteé se u pohybu dužic zmiňují: pvní a duhé kosmické ychlosti. Pvní kosmická ychlost je ychlost, jakou se musí dužice pohybovat, aby se udžela na kuhové dáze s poloměem, kteý je oven poloměu Země R. 14 Dostředivou sílu při kuhovém pohybu teď vyjádříme jako MZ m Dostředivá síla je ealizována gavitační silou F G R v. F m R. Je tedy v m R MZ m G a oud: v R M G R Z, takže pvní kosmická ychlost je GM v Z 1. (3.75) R Dosadíme-li hodnoty příslušných veličin (viz Dodatek 3.G), je v 3 7,9 1 m/s. Pvní kosmická ychlost je tedy asi 7,9 km/s. 6,67 1 5,97 1 6,378 1 11 4 1 6 m/s 11 Padon, tady T neznačí kinetickou enegii, ale peiodu oběhu. (Z kontetu naštěstí poznáme, oč jde.) 1 V případě eliptických dah je duhá mocnina peiody úměná třetí mocnině hlavní poloosy dáhy. 13 Teminologická poznámka: Spávným temínem po označení křivky, po níž se hmotný bod pohybuje, je tajektoie. Temín dáha má sloužit k označení délky tajektoie, kteou hmotný bod uazil. Ovšem v astonomii se běžně používá temín dáha planety a myslí se tím tajektoie. Poto jej v tomto významu používáme i zde. A ještě obecnější teminologická poznámka: Fyzika je přesná věda a to s sebou nese i potřebu pecizace temínů, definic apod. Ovšem když fyzikové diskutují mezi sebou, velmi často používají temíny volněji, takže by to jazykový puista mohl snadno zkitizovat. Ovšem fyzikové z kontetu vědí, oč jde a v případě potřeby samozřejmě umí věci popsat a definovat přesněji, tak jak je to nezbytné. Takže i fyzik může říci, že elekton se v magnetickém poli pohybuje po zakřivené dáze a všem dalším fyzikům bude jasné, oč jde. V tomto duchu se poto ani na těchto stánkách, pokud nehozí nedoozumění, občas nevyhýbáme poněkud volnějšímu používání temínů. 14 Pakticky to znamená, aby nespadla, když se pohybuje na nízké oběžné dáze. 31

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 3.8 Pohyb v poli centální síly Duhá kosmická ychlost Duhá kosmická ychlost je ychlost, s jakou se těleso (např. kosmická sonda) musí pohybovat, aby se úplně odpoutalo z gavitačního pole Země. Přitom jde o ychlost ve výchozím bodě, kteý je na povchu Země. Fomálně to znamená ychlost, jakou musíme na povchu Země udělit hmotnému bodu, aby se vzdálil do nekonečna 15. Učit tuto ychlost jde jednoduše ze zákona zachování enegie. MZ m Na povchu Země, kde R, je potenciální enegie bodu V G, viz (3.8). R Kinetická enegie je T 1 m v, takže celková enegie je M m v. (3.76) 1 Z E m G R Bod má dolétnout do nekonečna; jeho potenciální enegie tam bude nulová. 16 Kinetická enegie tam bude také nulová. 17 To znamená, že po to, aby se vžený bod pávě dostal do nekonečna, je jeho celková enegie nulová, E. Kombinací s (3.76) dostáváme M m GM Z v v, 1 Z m G R R takže duhá kosmická ychlost je GMZ v. (3.77) R Vidíme, že je -kát vyšší než pvní kosmická ychlost. Po dosazení konkétních hodnot vychází, že duhá kosmická ychlost je asi 11, km/s. a výše uvedeným optimistickým konstatováním se ozloučíme s kinematikou a dynamikou jednoho hmotného bodu. Zabalo nám to sice dost času, ale zase jsme se seznámili se spoustou věcí, jak z fyziky, tak z matematiky a jejího využití ve fyzice, kteé dále budeme využívat. Třeba hned v příští kapitole, kde hmotných bodů přibude. 15 Fakticky to znamená hodně, hodně daleko. 16 Je totiž lim V ( MZ m ) lim G. 17 Záponá být nemůže. A kdyby byla větší než nula, znamenalo by to, že jsme hmotný bod hodili zbytečně velkou počáteční ychlostí že bychom mohli hodit o něco pomaleji a hmotný bod by do nekonečna stejně ještě dolétl. A my hledáme nejmenší možnou počáteční ychlost, při kteé se hmotný bod ještě do nekonečna dostane a nespadne zpět na Zem. 3

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Shnutí Shnutí Hybnost: p mv,. Newtonův zákon: dp F Páce: W F( ) d c Změna hybnosti se ovná impulsu síly: t k p( t ) p( t ) F( t) k t Konzevativní síly: F ( ) d závisí jen na počátečním a koncovém bodě F( ) d c Potenciální enegie: Spec. případy: V V F d učena až na konstantu, význam mají ozdíly V 1 Mm Qq V k, V mgh, V G, V k (pužina, homogenní a centální gavitační pole, elektostatické pole bod. náboje) V V V Výpočet síly z potenciální enegie: F gad V,, y z Výkon: Kinetická enegie: W P Fv, t T 1 mv po konzevativní síly: dv P Celková mechanická enegie: E T V Zákon zachování mechanické enegie: E konst. (platí, když jsou všechny síly konzevativní) Moment síly: M F Moment hybnosti: L p Časová změna momentu hybnosti se ovná momentu působící síly: dl M. Kepleův zákon: S konst. t 3. Kepleův zákon (po kuhový pohyb): Kosmické ychlosti: L (plochy opsané původičem planety za stejné doby jsou stejné) m 3 T R GMZ Pvní: v 1 7,9 km/s Duhá: v R Z GM R Z Z 11, km/s 33

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Dodatek 3.A: Příůstek funkce Dodatek 3.A: Příůstek funkce Je-li f( ) funkce, kteá je v okolí nějakého bodu spojitá a má tam deivaci, platí po blízké df f ( ) f ( ). (3.A.1) d Poč tomu tak je, ukazuje obázek. Výaz na pavé staně (3.A.1) je ovnicí přímky (na obázku vyznačené čeveně). Jde o tečnu ke gafu funkce v bodě. 18 Apoimace (3.A.1) tedy znamená, že Označíme-li příůstek funkce vztah (3.A.1) zapsat stučněji jako funkci v okolí bodu apoimujeme její tečnou. Platnost vztahu (3.A.1) jsme výše uvedenou úvahou jen naznačili. V matematice se dá samozřejmě dokázat igoózně. Fakticky jde o začátek Tayloova ozvoje funkce. Z něj plyne, že chyba, kteou apoimací (3.A.1) děláme, je typicky úměná. ozn f ( ) f ( ) f a příůstek souřadnice, můžeme f df d Podobně platí po příůstek vektoové funkce a a( ) :. (3.A.) Fakticky tento vztah vyjadřuje tři vztahy zapsané ve složkách: da a a( ) a( ). (3.A.3) d da da a a ( ) a ( ), a a ( ) a ( ),. y y y y d d 18 Přesněji: v bodě, ( ) f. 34

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Dodatek 3.B: Učitý integál Dodatek 3.B: Učitý integál Učitý integál je v matematice definován ůznými způsoby. 19 Po funkci jedné eálné poměnné, f( ), kteá je spojitá (a nezáponá) na intevalu ab, všechny dávají hodnotu, kteá je ovna ploše pod gafem funkce. Označuje se podobným symbolem jako neučitý integál: a b f ( ) d Zatímco výsledkem neučitého integálu je funkce (tzv. pimitivní funkce), výsledkem učitého integálu je číslo. Výpočet učitého integálu z neučitého Je-li ( ) pimitivní funkce k f( ), tj. ( ) f ( ) d, pak platí b b f ( ) d ( ) ( b) ( a). 13 (3.B.1) a a Pomocí tohoto vztahu také nejčastěji v jednoduchých případech učitý integál počítáme. Poznámky Už z názoné geometické intepetace uvedené výše je zřejmé, že platí f ( ) d f ( ) d f ( ) d c b. a a b Pokud je funkce na někteé části intevalu záponá, příslušnou plochu pod osou od celkové plochy odečítáme. c 19 Nesou jména slavných matematiků, např. Riemannův integál nebo Lebesgueův integál. 13 Tento vztah bývá nazýván Newtonův vzoec. Zápis ( ) b a je jen zkatkou po ozdíl ( b) ( a). 35

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Dodatek 3.C: Křivkový integál. duhu Dodatek 3.C: Křivkový integál duhého duhu Jsou-li na nějaké křivce c dány hodnoty vektoové funkce a ( ), pak křivkový integál duhého duhu podél této křivky, je, názoně řečeno, součtem příspěvků a( ) Často je křivka c zadána paameticky jako a( ) d (3.C.1) c přes všechny části křivky. 131 ( ), (3.C.) tj. ( ), y y( ), z z( ), kde je paamet 13 jdoucí od A do B. Přitom A ( A) je počáteční bod křivky, ( ) je koncový bod křivky. 133 B Křivkový integál podél křivky c lze pak vyjádřit jako Poznámka k oientaci křivky: B B d a( ) d a ( ) d d 134 (3.C.3) c Křivka c musí být oientovaná, tedy musí být jasný smě, jímž ji pocházíme. 135 A Opačně oientovanou křivku označujeme symbolem c (pocházíme ji v opačném směu). Platí Poznámka ke značení: a( ) d a( ) d. 136 (3.C.4) c Křivkový integál po uzavřené křivce označujeme koužkem kolem symbolu integálu, tedy c a d. 131 V limitě, kdy křivku dělíme na víc a víc dílů a délka každého dílku jde k nule. 13 Zde je označen řeckým písmenem ksí, jak se to často dělává; můžeme samozřejmě použít i jiný symbol. 133 Příklad: ( Rcos, Rsin,) ; A, B popisuje půlkužnici o poloměu R (a středu v počátku soustavy souřadnic), počáteční bod je R,,, koncový bod R,,. 134 d Názoně si lze představit, že, takže pod integálem v pavé části (3.C.3) opavdu sčítáme d kousky a. 135 Samozřejmě, od počátečního do koncového bodu. 136 Je to jasné i z názoného pohledu: Při pocházení opačným směem se změní na a skalání součin a tedy změní znaménko. Toto chování odpovídá i fyzikálnímu náhledu v případě páce jako křivkového integálu: Když táhneme závaží nahou, konáme páci (W > ), když závaží klesá, páci nám vací, my ji přijímáme což fomálně vyjádříme tak, že konáme páci záponou, W <. 36

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Dodatek 3.D: Paciální deivace, gadient Dodatek 3.D: Paciální deivace, gadient V tomto dodatku stučně shnujeme několik věcí týkajících se paciálních deivací. 137 Je-li f funkce tří poměnných: f f (, y, z), pak paciální deivaci f podle definujeme jako f f (, y, z) f (, y, z) lim (3.D.1) Podobně je f f (, y y, z) f (, y, z) lim y y y a f f (, y, z z) f (, y, z) lim. z z z Pakticky při výpočtu znamená paciální deivace jednoduše deivovat podle příslušného písmenka a ostatní bát jako konstanty. Příklad: Je-li f f (, y, z) y 5z, je f f f y, y, 5 y z. 138 139 Příůstek funkce f při malých změnách souřadnic je f f f f f, y y, z z f (, y, z) y z y z (3.D.) Gadient skalání funkce f f (, y, z) je vekto 14 f f f gad f,, y z. (3.D.3) Složky gadientu učují, jak ychle oste funkce f ve směech ovnoběžných s osami, y, z. Příůstek funkce můžeme vyjádřit pomocí gadientu (kombinací (3.D.) a (3.D.3)) jako f f f f,,, y, z (gad f ) y z. (3.D.4) Odsud je vidět, že po danou délku je příůstek funkce největší, když je posun ovnoběžný s gad f. To znamená, že gadient učuje smě, v němž funkce oste nejychleji. Naopak, je-li posun tečný k ploše, na níž je funkce f konstantní (tj. při posunu o se hodnota funkce nemění, je f, plyne z (3.D.4) (gad f). Oud vidíme, že gadient je kolmý na plochu, na níž je f konst. 137 Po podobnosti, zejména pokud se týká odvozování, odkazujeme na předmět Matematické metody fyziky. 138 Jde o jednoduché zobecnění vztahu (3.A.) z Dodatku 3.A po případ více poměnných. 139 Poznámka po pokočilejší čtenáře: symbolem f zde značíme příůstek funkce, ne to, že by na ni působil Laplaceův opeáto. (Poznámka po ostatní: Nevíte-li, co to je Laplaceův opeáto, nic si z toho nedělejte, potřebovat ho budete až v duhém semestu, v Elektřině a magnetismu.) 14 Přesněji: vektoová funkce. 37

K přednášce NUFY8 Fyzika I (mechanika) pozatímní učební tet, veze 3. Dynamika hmotného bodu II Leoš Dvořák, MFF UK Paha, 16 Dodatek 3.E: Vektoový součin Dodatek 3.E: Vektoový součin Vektoový součin vektoů a a b je vekto a b, kteý: Je kolmý k oběma vektoům: a b a, a b b Má velikost a b a b sin, kde je úhel sevřený vektoy a a b Jeho oientace je daná pavidlem pavé uky: Jestliže psty pavé uky směřují od konce vektou a ke konci vektou b, pak palec ukazuje smě vektou a b. Vlastnosti: o Vektoový součin dvou stejných nebo ovnoběžných vektoů je oven nule. 141 o Vektoový součin je antikomutativní, tj. a b b a. 14 o Velikost vektoového součinu je ovna ploše ovnoběžníku tvořeného z vektoů a a b. Mají-li vektoy v katézských souřadnicích složky a a, ay, az, b b, by, bz součin má složky, pak vektoový a b a b a b, a b a b, a b a b. (3.E.1) y z z y z z y y Stačí si pamatovat vztah třeba po -ovou složku, ostatní dostaneme cyklickou záměnou. Funguje také následující pomůcka, jak si pamatovat, kteé složky vektoů se mají navzájem násobit: Vektoy napíšeme pod sebe, zakyjeme vždy sloupec odpovídající složce, kteou chceme počítat a násobíme křížem : a a, a, b y y a b, b, b Jedno násobení je s plusem, duhé s minusem. Pozo jen u y-ové složky vektoového součinu, tam by bezmyšlenkovitá aplikace uvedeného pavidla dala špatné znaménko. Lze si pomoci tak, že pvní sloupec (pvní složky vektoů) si přepíšeme ještě jednou dopava a násobíme: z z a a, a, a a, b y b, b, b z b y z 141 a a a a sin 14 Takže pozo: Na ozdíl od skaláního součinu u vektoového součinu záleží na pořadí vektoů, kteé násobíme. 38