Relativní Eulerova funkce

MUNDUS SYMBOLICUS 25 (2017) Relativní Eulerova funkce J. Nečas Abstract. The article deals with the sequence of ratios between values of the Euler function of the natural number n and that number n. Klíčová slova. Nesoudělná čísla, prvočísla, Eulerova funkce, provofaktoriál. Eulerovou funkcí φ(n) rozumíme funkci definovanou na množině N všech nenulových přirozených čísel, která každému číslu n N přiřazuje počet všech čísel x N, která jsou s n nesoudělná a pro něž platí x n. Platí φ(1) = 1, pro každé prvočíslo p je φ(p) = p - 1, pro každé prvočíslo p a každé nenulové přirozené číslo k platí φ(p k ) = (p - 1) p k-1. Eulerova funkce je multiplikativní, tj. jsou-li m a n nesoudělná nenulová přirozená čísla, pak φ(mn) = φ(m). φ(n). To ovšem znamená, že je-li (1) n = (p 1 ^ k 1). (p 2 ^ k 2)..... (p m ^ k m) prvočíselný rozklad 1 čísla n, platí (2) φ(n) = (p 1 1).(p 1 ^( k 1 1)). (p 2 1).(p 2 ^( k 2 1))..... (p m 1).(p m ^ (k m 1)) Označme P množinu všech prvočísel. Parcializace 2 Eulerovy funkce na množinu P je lineární rostoucí funkcí. To je určitou motivací pro definování relativní Eulerovy funkce Φ: Pro všechna n N položme Φ(n) = φ(n) / n Ze vztahu (2) plyne, že pro číslo s prvočíselným rozkladem (1) platí (3) Φ(n) = (1 1/p 1). (1 1/p 2)..... (1 1/p m), 1 Zápis a^r znamená totéž jako a r. Závorkování ve výrazu (1) tak není nutné, avšak je použito pro větší názornost. V prvočíselném rozkladu uvádíme jen ty činitele, u nichž je mocnitel větší než 0. 2 Je-li f funkce s definičním oborem B a A B, pak parcializací funkce f na množinu A rozumíme funkci s definičním oborem A, na němž má stejné hodnoty jako původní funkce. Budeme používat takové formulace, abychom mohli pro funkci f na B a její parcializaci na A používat stejné značení.

tedy hodnota relativní Eulerovy funkce Φ(n) čísla n závisí jen na tom, jaká prvočísla se v prvočíselném rozkladu čísla n vyskytují, a tedy nezávisí na tom, v jaké mocnině se tam vyskytují. Ze vztahu (3) je vidět, že hodnoty funkce Φ leží pro všechna n N v otevřeném intervalu (0; 1). Uzávěrem množiny H (Φ) hodnot funkce Φ je celý uzavřený interval <0; 1>. Důkaz tohoto tvrzení dělat nebudeme, ukážeme jen, že oba krajní body tohoto intervalu jsou hromadnými body množiny H (Φ). Dokážeme proto, že platí (4) lim sup Φ(n) = 1, (5) lim inf Φ(n) = 0 V posloupnosti Φ(n) najdeme vybranou posloupnost mající limitu 1 a vybranou posloupnost s limitou 0. Jde tedy o to najít takové nekonečné podmnožiny argumentů A, B N, pro něž by platilo lim n A,n Φ(n) = 1, lim n B,n Φ(n) = 0. Vybrat množinu A, která bude splňovat podmínku (4), je snadné, stačí totiž položit A = P. Pro p P platí Φ(p) = 1 1/ p (jde o rostoucí shora omezenou posloupnost), a tedy (6) lim n P,n Φ(n) = 1. Než ukážeme, jak lze najít množinu B s požadovanými vlastnostmi, definujme pojem prvofaktoriál; prvofaktoriál Prfact(n) definujeme jako součin prvních n prvočísel 3, tedy Prfact (1) = 2 Prfact (2) = 2.3 = 6 Prfact (3) = 2.3.5 = 30 Prfact (4) = 2.3.5.7 = 210 Prfact (5) = 2.3.5.7.11 = 2310 Prfact (6) = 2.3.5.7.11.13 = 30030 atd. 3 Pro r-té prvočíslo budeme někdy používat označení P(r), tedy P(1)=1, P(2)=3,..., P(6) = 13,...

Položme nyní PRF = H (Prfact). Posloupnost Φ(Prfact(m)) je vybranou posloupností z posloupnosti Φ(n), je klesající (plyne to ze vztahu (3)) a zdola omezená, a tedy má limitu. Platí (7) Φ(Prfact(m)) = (1 1/P(1)).(1 1/P(2)).....(1 1/(P(m)), Protože pro všechna m N platí 0 < 1/P(m) < 1, platí také 0<1 1/P(m)<1, a tedy Φ(Prfact(m+1)) = Φ(Prfact(m)).(1 1/(P(m+1)) < Φ(Prfact(m)), je posloupnost Φ(Prfact(m)) klesající. Zároveň je zdola omezená (hodnotou 0), a tedy má limitu. Abychom ji našli, zlogaritmujme vztah (7) (8) ln Φ(Prfact(m)) = i=1 m ln (1 1/P(i)) = i=1 m ln (1 q i), kde q i = 1/P(i); pro všechna i N platí q i (0, 1). Použijeme-li Taylorův rozvoj kolem 0 pro funkci ln (1 x) pro x (0; 0,5>, dostaneme ln (1 x) = x x 2 /2 x 3 /3 x 4 /4 < x, a tedy s využitím vztahu (8) dostáváme nerovnost (9) ln Φ(Prfact(m)) < i=1 m q i = i=1 m (1/P(i)), a tedy (10) lim m-> ln Φ(Prfact(m)) i=1 q i = i=1 (1/P(i)),. Je však známo, že podobně jako harmonická řada i 1/i má součet nekonečno, součet nekonečno má i řada převrácených hodnot prvočísel 4, a tak ze vztahu (10) dostáváme lim m-> ln Φ(Prfact(m)) =, a tedy lim m-> Φ(Prfact(m)) = 0, jinak vyjádřeno lim n PRF,n Φ(n) = 0, 4 Viz [1], kap. VIII, 4

a tedy skutečně lim inf Φ(n) = 0. Pro představu o tom, jak vybraná posloupnost hodnot funkce Φ(n) omezené na argumenty z PRF konverguje pomalu, uveďme jejích prvních 10 členů: Φ(Prfact(1)) = Φ(2) = 0,5 Φ(Prfact(2)) = Φ(2.3) = Φ(6) = 0,3333 Φ(Prfact(3)) = Φ(6.5) = Φ(30) = 0,2667 Φ(Prfact(4)) = Φ(30.7) = Φ(210) = 0,2286 Φ(Prfact(5)) = Φ(210.11) = Φ(2310) = 0,2078 Φ(Prfact(6)) = Φ(2310.13) = Φ(30030) = 0,1918 Φ(Prfact(7)) = Φ(30030.17) = Φ(510510) = 0,1805 Φ(Prfact(8)) = Φ(510510.19) = Φ(9699690) = 0,1710 Φ(Prfact(9)) = Φ(9699690.23) = Φ(223092870) = 0,1636 Φ(Prfact(10)) = Φ(223092870.29) = Φ(6469693230) = 0,1579 Na závěr uveďme tabulku hodnot Eulerovy funkce φ a relativní Eulerovy funkce Φ pro argumenty od 2 do 211. Hodnoty funkce Φ pro obě zmíněné vybrané monotónní posloupnosti, konvergující k 1, resp. k 0, jsou vyjádřeny kurzívou, resp. tučně. Literatura [1] Michelovič, Š. Ch.: Těorija čisel. Moskva, Vysšaja škola 1967. RNDr. Jiří Nečas Department of Mathematics University of Economics Ekonomická 957 148 00 Prague 4 e-mail: necas@vse.cz

x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) 2 1 0,500 37 36 0,973 72 24 0,333 3 2 0,667 38 18 0,474 73 72 0,986 4 2 0,500 39 24 0,615 74 36 0,486 5 4 0,800 40 16 0,400 75 40 0,533 6 2 0,333 41 40 0,976 76 36 0,474 7 6 0,857 42 12 0,286 77 60 0,779 8 4 0,500 43 42 0,977 78 24 0,308 9 6 0,667 44 20 0,455 79 78 0,987 10 4 0,400 45 24 0,533 80 32 0,400 11 10 0,909 46 22 0,478 81 54 0,667 12 4 0,333 47 46 0,979 82 40 0,488 13 12 0,923 48 16 0,333 83 82 0,988 14 6 0,429 49 42 0,857 84 24 0,286 15 8 0,533 50 20 0,400 85 64 0,753 16 8 0,500 51 32 0,627 86 42 0,488 17 16 0,941 52 24 0,462 87 56 0,644 18 6 0,333 53 52 0,981 88 40 0,455 19 18 0,947 54 18 0,333 89 88 0,989 20 8 0,400 55 40 0,727 90 24 0,267 21 12 0,571 56 24 0,429 91 72 0,791 22 10 0,455 57 36 0,632 92 44 0,478 23 22 0,957 58 28 0,483 93 92 0,989 24 8 0,333 59 58 0,983 94 46 0,489 25 20 0,800 60 16 0,267 95 72 0,758 26 12 0,462 61 60 0,984 96 32 0,333 27 18 0,667 62 30 0,484 97 96 0,990 28 12 0,429 63 36 0,571 98 42 0,429 29 28 0,966 64 32 0,500 99 60 0,606 30 8 0,267 65 48 0,738 100 40 0,400 31 30 0,968 66 20 0,303 101 100 0,990 32 16 0,500 67 66 0,985 102 32 0,314 33 20 0,606 68 32 0,471 103 102 0,990 34 16 0,471 69 44 0,638 104 48 0,462 35 24 0,686 70 24 0,343 105 48 0,457 36 12 0,333 71 70 0,986 106 52 0,491

x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) x φ(x) Φ(x) 107 106 0,991 142 70 0,493 177 116 0,655 108 36 0,333 143 120 0,839 178 88 0,494 109 108 0,991 144 48 0,333 179 178 0,994 110 40 0,364 145 112 0,772 180 48 0,267 111 72 0,649 146 72 0,493 181 180 0,994 112 48 0,429 147 84 0,571 182 72 0,396 113 112 0,991 148 72 0,486 183 120 0,656 114 36 0,316 149 148 0,993 184 88 0,478 115 88 0,765 150 40 0,267 185 144 0,778 116 56 0,483 151 150 0,993 186 60 0,323 117 72 0,615 152 72 0,474 187 160 0,856 118 58 0,492 153 96 0,627 188 92 0,489 119 96 0,807 154 60 0,390 189 72 0,381 120 32 0,267 155 120 0,774 190 72 0,379 121 110 0,909 156 48 0,308 191 190 0,995 122 60 0,492 157 156 0,994 192 64 0,333 123 80 0,650 158 78 0,494 193 192 0,995 124 60 0,484 159 104 0,654 194 96 0,495 125 100 0,800 160 64 0,400 195 96 0,492 126 36 0,286 161 132 0,820 196 84 0,429 127 126 0,992 162 54 0,333 197 196 0,995 128 64 0,500 163 162 0,994 198 60 0,303 129 84 0,651 164 80 0,488 199 198 0,995 130 48 0,369 165 80 0,485 200 80 0,400 131 130 0,992 166 82 0,494 201 132 0,657 132 40 0,303 167 166 0,994 202 100 0,495 133 108 0,812 168 48 0,286 203 168 0,828 134 66 0,493 169 156 0,923 204 64 0,314 135 72 0,533 170 64 0,376 205 160 0,780 136 64 0,471 171 108 0,632 206 102 0,495 137 136 0,993 172 84 0,488 207 132 0,638 138 44 0,319 173 172 0,994 208 96 0,462 139 138 0,993 174 56 0,322 209 180 0,861 140 48 0,343 175 120 0,686 210 48 0,229 141 92 0,652 176 48 0,273 211 210 0,995