Mirko Navara, Petr Olšák. Základy fuzzy množin. Praha, 2001

Mrko Navara, Petr Olšák Základy fuzzy množn Praha, 2001 E

Text je šířen volně podle lcence ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/fuzzy/lcence.txt. Text ve formátech TEX (csplan), Postcrpt, dv, PDF najdete na adrese ftp://math.feld.cvut.cz/pub/olsak/fuzzy/. Verze textu: 2. 5. 2001 Copyrght c Doc. Ing. Mrko Navara, Drc., RNDr. Petr Olšák, 2001

Obsah 1. Základní pojmy.................................... 2 1.1. Základní pojmy z teore množn.......................... 2 1.2. Charakterstcká funkce.............................. 3 1.3. Základní pojmy teore fuzzy množn........................ 3 1.4. Pops fuzzy množn pomocí řezů.......................... 4 1.5. Fuzzy nkluze.................................. 7 2. Operace s fuzzy množnam.............................. 8 2.1. Ostré množny.................................. 8 2.2. Analoge pro operace s fuzzy množnam...................... 8 2.3. Fuzzy negace................................... 9 2.4. Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy)..................... 10 2.5. Fuzzy dsjunkce (trojúhelníkové konormy).................... 12 2.6. Fuzzy výrokové algebry............................. 15 2.7. Fuzzy mplkace................................ 16 2.8. Fuzzy bmplkace (ekvvalence)......................... 18 2.9. Agregační operátory.............................. 18 3. Fuzzy relace..................................... 20 3.1. Bnární relace v klascké teor množn...................... 20 3.2. Fuzzfkace bnárních relací........................... 21 3.3. Konzstence fuzzy relací............................ 21 3.4. Projekce a cylndrcké rozšíření......................... 22 4. Prncp rozšíření................................... 23 4.1. Rozšíření bnárních relací na ostré množny.................... 23 4.2. Prncp rozšíření bnárních relací na fuzzy množny................ 24 4.3. Konvexní fuzzy množny............................ 25 5. Fuzzy čísla a fuzzy ntervaly............................. 26 5.1. Zavedení pojmů a základní vlastnost...................... 26 5.2. Bnární operace s fuzzy čísly.......................... 26 1

1. Základní pojmy 1.1. Základní pojmy z teore množn V této kaptole zopakujeme základní skutečnost z teore množn, které budeme pozděj zobecňovat. Není zde místo na podrobnou výstavbu základů teore množn, která bývá často nahrazována ntutvním chápáním pojmu množna. Z předchozích kursů byste měl vědět, že např. ke každé množně A exstuje množna všech jejích podmnožn, budeme j značt P(A). Zato však neexstuje množna všech množn, neboť takový pojem vede ke sporu. Těmto problémům se snadno vyhneme tak, že se omezíme na studum podmnožn jedné (lbovolné, ale pevně dané) tzv. unverzální množny (unverza), kterou budeme značt X. Přpomeňme některé pojmy: Kardnaltou (též mohutností) konečné množny rozumíme její počet prvků. Zobecnění na nekonečné množny je obtížnějsí, ale pro tento kurs není podstatné. Kartézský součn dvou množn A, B, značíme A B, je množna všech uspořádaných dvojc, v nchž první prvek je z první množny, druhý z druhé, tedy A B = { (a, b) : a A, b B }. Množnové operace průnk a sjednocení můžeme snadno zavést pomocí výrokových operací konjunkce ( ) a dsjunkce ( ). Průnk: A B = {x : (x A) (x B)}. jednocení: A B = {x : (x A) (x B)}. Doplňkem množny A, značíme A, má být množna všech prvků, které do ní nepatří. Aby taková defnce byla korektní, musíme se omezt na prvky unverzální množny, tedy A = {x : x X, x A}. Inkluz (tj. vlastnost být podmnožnou ), A B, lze zavést několka ekvvalentním způsoby, např. (1) x A : x B, (2) x X : (x A x B), (3) A B = A, (4) A B = B. Poslední dva vztahy charakterzují nkluz pomocí množnových operací. Povšmněme s ještě, že naopak lze všechny množnové operace zavést pomocí nkluze (a z ní přrozeně odvozených operací maxma a mnma souboru množn): A B = max{c X : C A, C B}, A B = mn{c X : A C, B C}, A = max{c X : C A = } = mn{c X : C A = X}. Doplněk je také jednoznačně charakterzován vztahy A A =, A A = X. Doplněk nedostačuje k určení nkluze, splňuje však následující ekvvalenc: A B B A. 2

Základní pojmy 1.2. Charakterstcká funkce 1.2. Charakterstcká funkce Alternatvně lze množnu A popsat její charakterstckou funkcí µ A : X {0, 1}, { 1 pro x A, µ A (x) = 0 pro x A. (Zde je opět důležtá unverzální množna X jako defnční obor charakterstcké funkce.) Takto běžně reprezentujeme množny na počítač, např. v Pascalu. Množna A je svou charakterstckou funkcí µ A jednoznačně určena: A = {x X : µ A (x) = 1} = {x X : µ A (x) > 0}. I když charakterstcká funkce nebývá prostá, budeme pro n (podobně jako pro jná zobrazení) používat značení pro nverz µ 1 A, která množně obrazů M {0, 1} přřadí množnu všech odpovídajících vzorů, tj. µ 1 A (M) = {x X : µ A(x) M}. tímto značením lze psát A = µ 1 A ( ) ( ) {1} = µ 1 A (0, 1. Je-l v argumentu µ 1 A jednoprvková množna, často píšeme pouze tento prvek, tedy µ 1 A (1) znamená µ 1 ( ) A {1}. Inkluz a množnové operace lze pomocí charakterstckých funkcí vyjádřt následovně: kde značí logckou negac. A B µ A µ B, µ A B (x) = µ A (x) µ B (x) = mn ( µ A (x), µ B (x) ) = µ A (x) µ B (x), µ A B (x) = max ( µ A (x), µ B (x) ) = µ A (x) µ B (x), µ A (x) = 1 µ A (x) = µ A (x). 1.3. Základní pojmy teore fuzzy množn Zatímco zobecnění pojmu množny v původním tvaru je těžko představtelné, charakterstckou funkc lze snadno zobecnt na funkc nabývající více (pravdvostních) hodnot. Zde se až na výjmky omezíme na případ, kdy množnou pravdvostních hodnot bude nterval reálných čísel 0, 1. Opět budeme předpokládat pevně zvolenou unverzální množnu X. Fuzzy podmnožnou A unverza X (stručně fuzzy množnou) budeme rozumět objekt popsaný (zobecněnou) charakterstckou funkcí µ A : X 0, 1 (nazývanou též funkce příslušnost). Každá funkce z X do 0, 1 určuje jednoznačně nějakou fuzzy množnu. I když se v některých učebncích důsledně rozlšují fuzzy množny od jejch funkcí příslušnost, zde budeme tyto pojmy ztotožňovat; zjednoduší se tím záps a nehrozí nedorozumění. Podle této konvence tedy budeme fuzzy množnou rozumět jakoukol funkc A : X 0, 1. Pro každý prvek x X hodnota A(x) 0, 1 říká, do jaké míry je x prvkem fuzzy množny A. Záps x A nebudeme pro fuzzy množny používat, protože ztrácí původní význam. Vyhradíme jej pouze pro klascké množny (které nejsou fuzzy); těm budeme pro odlšení říkat ostré množny (angl. crsp). Naprot tomu záps A(x) budeme používat jak pro fuzzy množny, tak pro ostré množny jako specální případ (opět využíváme dohodu o ztotožnění fuzzy množny s její funkcí příslušnost). Je-l tedy A ostrá množna a x X, pak A(x) je pravdvostní hodnota výroku x A. Všechny fuzzy podmnožny unverza X tvoří množnu, kterou budeme značt F(X). Abychom s zvykl na nový přístup, přepíšeme v této notac vlastnost charakterstckých funkcí (tj. funkcí příslušnost ostrých množn) z předchozí kaptoly; některé z nch se tím zjednoduší: A B A B, (A B)(x) = A(x) B(x) = A(x) B(x) = mn ( A(x), B(x) ), (A B)(x) = A(x) B(x) = max ( A(x), B(x) ), A (x) = A(x) = 1 A(x). 3

Základní pojmy 1.4. Pops fuzzy množn pomocí řezů Zde A, B byly ostré množny. Pozděj uvdíme, že tyto vztahy lze přrozeným způsobem použít pro fuzzy množny. Nejdříve však zavedeme několk základních pojmů pro lbovolnou fuzzy množnu A na unverzu X. Obor hodnot: Range(A) = { α 0, 1 : ( x X : A(x) = α) } Výška: h(a) = sup Range(A) Je-l fuzzy množna výšky 1, nazývá se normální; v opačném případě jí říkáme subnormální. Nosč (angl. support) je ostrá množna upp(a) = { x X : A(x) > 0 }, nebol upp(a) = A 1( (0, 1 ). (Aby se nosč nepletl se supremem, píšeme zde velké a dvě p.) Jádro (angl. core) je ostrá množna core(a) = { x X : A(x) = 1 }, tj. core(a) = A 1 (1). Fuzzy množna se nazývá konečná, má-l konečný nosč. V tom případě defnujeme tzv. skalární kardnaltu předpsem card(a) = x X A(x). Je zřejmé, že stačí sčítat přes x upp(a) a že pro konečné ostré množny tento pojem splývá s klasckou kardnaltou. 1.4. Pops fuzzy množn pomocí řezů Nyní ukážeme jný způsob určení fuzzy množny než pomocí její funkce příslušnost. Ten bude mnohde výhodný, proto bude účelné naučt se oba popsy navzájem převádět. Defnce 1.1. Nechť A F(X), α 0, 1. Pak α-hladna (angl. α-level) fuzzy množny A je ostrá množna A 1 (α) = { x X : A(x) = α }. ystém řezů fuzzy množny A je zobrazení R A : 0, 1 P(X), které každému α 0, 1 přřazuje tzv. α-řez (angl. α-cut) R A (α) = A 1( α, 1 ) = { x X : A(x) α }. (1.1) Použjeme-l v předchozím vztahu ostrou nerovnost, dostaneme systém ostrých řezů A : 0, 1 P(X), kde ostrý α-řez je A (α) = A 1( (α, 1 ) = { x X : A(x) > α}. Poznámka 1.2. V lteratuře se setkáváme s mnoha jným způsoby značení α-řezu fuzzy množny A, např. [A] α, α A, α A atd. Řezy a hladny fuzzy množn mají následující vztah k dříve zavedeným pojmům: Range(A) = { α 0, 1 : A 1 (α) }, h(a) = sup { α 0, 1 : R A (α) }, upp(a) = A (0), core(a) = R A (1). Trválně platí pro všechna A F(X): R A (0) = X, A (1) =. 4

Základní pojmy 1.4. Pops fuzzy množn pomocí řezů Věta 1.3 (o systému řezů). A. Nechť M : 0, 1 P(X) je systém řezů fuzzy množny A F(X), tj. M = R A. Pak M splňuje podmínky M(0) = X, (R1) 0 α < β 1 M(α) M(β), (R2) 0 < β 1 M(β) = M(α). (R3) (Průnk v (R3) je přes všechna α 0, β).) B. Naopak, každé zobrazení M : 0, 1 P(X) splňující podmínky (R1), (R2), (R3) je systémem řezů nějaké fuzzy množny A F(X), tj. M = R A. Důkaz. A. (R1) : M(0) = R A (0) = X (0-řez). (R2) : Je-l x M(β) = R A (β), znamená to, že (R3) : A(x) β > α, tedy x R A (α) = M(α). α<β Pro rovnost dvou množn je potřeba dokázat dvě nkluze. Podle (R2) pro všechna α 0, β) platí proto M(β) M(α). α<β Pro důkaz obrácené nkluze předpokládejme, že M(β) M(α), To znamená, že pro všechna α 0, β) platí A(x) α, tedy A(x) β, nebol x R A (β) = M(β). B. Hledanou fuzzy množnu A lze defnovat v každém bodě takto: x M(α). α<β A(x) = sup { α 0, 1 : x M(α) }. (1.5) (upremum exstuje, protože podle (R1) je příslušná množna neprázdná.) Dokážeme, že systém řezů R A je roven M. Důkaz opět rozložíme na dvě nkluze. Pokud x M(β), pak přímo z defnce A vyplývá A(x) β, tj. x R A (β). Nechť x R A (β), tj. A(x) = sup { α 0, 1 : x M(α) } β. Vzhledem k (R2) to znamená, že pro všechna α 0, β) platí x M(α), a tedy s využtím (R3) x M(α) = M(β). α<β Poznámka 1.4. Kromě vztahu (R3) platí trválně také R A (β) = R A (α), α β R A (β) = R A (α), α β ale neplatí R A (β) = R A (α). Za protpříklad stačí vzít X = {x, y}, A(x) = 1, A(y) = 0. Pro β = 0 dostáváme R A (0) = X, {x}. 5 α>β α>0 R A =

Základní pojmy 1.4. Pops fuzzy množn pomocí řezů Věta o reprezentac pomocí řezů nám zajšťuje, že každá fuzzy množna je jednoznačně určena svým systémem řezů. Popsu fuzzy množny pomocí systému řezů říkáme horzontální reprezentace, na rozdíl od vertkální reprezentace pomocí funkce příslušnost. Vzájemný převod obou reprezentací zajšťují vztahy (1.1) a (1.5). Ty budeme potřebovat, neboť pro některé účely je jedna z reprezentací vhodnější než druhá. Převod z horzontální reprezentace na vertkální uvedeme ještě v jném tvaru s využtím násobku fuzzy množny skalárem. Defnce 1.5. Nechť A F(X), α 0, 1. Defnujeme α A F(X) předpsem (α A)(x) = α A(x). Věta 1.6. Nechť A F(X). Pak A(x) = sup { α 0, 1 : x R A (α) }, A = sup α R A (α) = sup α R A (α), α 0,1 α Range(A) kde supremum v posledním vztahu počítáme po bodech, tj. ( A(x) = α RA (α) ) (x). sup α 0,1 ( tímto supremem se pozděj setkáme jako se standardním fuzzy sjednocením.) Důkaz. První vztah se vyskytl jž v důkazu věty o reprezentac řezů (1.5). Další jsou jen jeho ekvvalentní formulace. Jako příklad využtí horzontální reprezentace uvažujme, jak reprezentovat v počítač fuzzy množnu reálných čísel. Vertkální reprezentace vyžaduje zadat reálnou funkc. Její hodnoty mohou být určeny s velkou přesností, ale ta nemusí být užtečná. Jelkož už sama vyjadřuje vágnost, vystačíme často s poměrně malým počtem stupňů příslušnost. V horzontální reprezentac pak stačí ke každému z nch určt příslušný řez. Často bývá řezem nterval, k jehož určení stačí dvojce čísel. Pozděj uvdíme, že tato reprezentace je vhodná pro některé operace. Příklad 1.7. Na unverzu X = {a, b, c, d} je dána fuzzy množna A = { (a, 0.3), (b, 1), (c, 0.5) }. Najděte její horzontální reprezentac. Řešení. X pro α = 0, {a, b, c} pro α (0, 0.3, R A (α) = {b, c} pro α (0.3, 0.5, {b} pro α (0.5, 1. Příklad 1.8. Fuzzy množna A má horzontální reprezentac {a, b, c, d} pro α 0, 1/3, {a, d} pro α (1/3, 1/2, R A (α) = {d} pro α (1/2, 2/3, pro α (2/3, 1. Najděte její vertkální reprezentac. Řešení. A(a) = sup { α 0, 1 : a R A (α) } = sup 0, 1/2 = 1/2, podobně A(b) = 1/3, A(c) = 1/3, A(d) = 2/3, tedy A = { (a, 1/2), (b, 1/3), (c, 1/3), (d, 2/3) }. Příklad 1.9. Fuzzy množna A má horzontální reprezentac {a, b, c} pro α = 0, R A (α) = {a} pro α (0, 1/2, {a, b} jnak. Najděte její vertkální reprezentac. Řešení. Zadání není horzontální reprezentací žádné fuzzy množny, protože není splněna podmínka (R2). Například R A (1/2) R A (1). Dostáváme A(b) = sup { α 0, 1 : b R A (α) } = sup ( {0} (1/2, 1 ) = 1, ale b R A (1/2). 6

Základní pojmy 1.5. Fuzzy nkluze Příklad 1.10. Fuzzy množna A má horzontální reprezentac {a, b} pro α = 0, R A (α) = {a} pro α (0, 1/2), jnak. Najděte její vertkální reprezentac. Řešení. Zadání není horzontální reprezentací žádné fuzzy množny, protože není splněna podmínka (R3). Dostáváme A(a) = sup { α 0, 1 : a R A (α) } = sup 0, 1/2) = 1/2, ale a R A (1/2). Příklad 1.11. Na unverzu X = R je dána fuzzy množna A: x pro x 0, 1, A(x) = 2 x pro x (1, 1.5, 0 jnak. Najděte její horzontální reprezentac. Řešení. R pro α = 0, R A (α) = α, 1.5 pro α (0, 0.5, α, 2 α pro α (0.5, 1. Příklad 1.12. Je dána horzontální reprezentace fuzzy množny A: { R pro α = 0, R A (α) = α 2, 1) jnak. Najděte její vertkální reprezentac. Řešení. { x pro x (0, 1), A(X) = 0 jnak. Příklad 1.13. Je dána horzontální reprezentace fuzzy množny A: { R pro α = 0, R A (α) = (α 2, 1) jnak. Najděte její vertkální reprezentac. Řešení. Zadání není horzontální reprezentací žádné fuzzy množny, protože není splněna podmínka (R3). Dostáváme například A(1/4) = sup { α 0, 1 : 1/4 R A (α) } = sup 0, 1/2) = 1/2, ale 1/4 R A (1/2). 1.5. Fuzzy nkluze Defnce 1.14. Nechť A, B F(X). Říkáme, že A je podmnožnou B a píšeme A B, jestlže platí x X : A(x) B(x). Protože takto je defnována nerovnost reálných funkcí, kterým fuzzy množny jsou, můžeme ekvvalentně psát též A B. Poznámka 1.15. Nemůžeme použít záps x A : defnován význam kvantfkátoru x A. Věta 1.16. Nechť A, B F(X). Pak A B právě tehdy, když x B, neboť pro fuzzy množnu A nemáme dosud α 0, 1 : R A (α) R B (α). (1.6) Důkaz. 1. Předpokládejme, že A B, x R A (α). Pak α A(x) B(x), tedy x R B (α) a R A (α) R B (α). 2. Předpokládejme, že platí (1.6). Nechť x X. Podle věty 1.6 je A(x) = sup { α 0, 1 : x R A (α) }. Protože { α 0, 1 : x R A (α) } { α 0, 1 : x R B (α) }, platí nerovnost A(x) sup { α 0, 1 : x R B (α) } = B(x). Díky této větě máme dvě ekvvalentní formulace fuzzy nkluze; jednu pro vertkální a jednu pro horzontální reprezentac. 7

2. Operace s fuzzy množnam 2.1. Ostré množny Začneme přehledem stuace pro ostré množny a zaměříme se na vztah mez množnovým a výrokovým operacem. Výrokovým operacem v tomto specálním případě míníme operace Booleovy algebry, dané známým tabulkam hodnot. množnové operace výrokové operace vztah doplněk : P(X) P(X) negace : {0, 1} {0, 1} A = { x X : (x A) } průnk : P(X) 2 P(X) konjunkce : {0, 1} 2 {0, 1} A B = { x X : (x A) (x B) } sjednocení : P(X) 2 P(X) dsjunkce : {0, 1} 2 {0, 1} A B = { x X : (x A) (x B) } Podle úmluvy o ztotožnění množn s jejch charakterstckým funkcem lze předchozí vzorce psát: A (x) = A(x), (A B)(x) = A(x) B(x), (A B)(x) = A(x) B(x). Důležtost uvedených vzorců tkví mj. v tom, že zatímco defnční obor množnových operací může být různý v závslost na volbě unverzální množny, výrokové operace zůstávají stejné. tačí tedy znát výrokové operace, aby bylo možné zavést množnové operace na lbovolném unverzu. Dalším důsledkem je, že množnové operace splňují stejné vlastnost jako odpovídající výrokové operace (např. komutatvtu, asocatvtu, dstrbutvtu), jmenovtě zákony Booleovy algebry. Ty lze vyjádřt např. následovně (není to nejúspornější soustava axomů, některé lze odvodt z ostatních): nvoluce: A = A, komutatvta: A B = B A, A B = B A, asocatvta: (A B) C = A (B C), (A B) C = A (B C), dstrbutvta: A (B C) = (A B) (A C), A (B C) = (A B) (A C), dempotence: A A = A, A A = A, absorpce: A (A B) = A, A (A B) = A, absorpce s unverzem a : A X = X, A =, neutrální prvky: A = A, A X = A, zákon kontradkce: A A =, zákon vyloučeného třetího: A A = X, de Morganovy zákony: A B = A B, A B = A B. 2.2. Analoge pro operace s fuzzy množnam Rovněž pro operace s fuzzy množnam budou základem operace fuzzy výrokového počtu, tedy operace s pravdvostním hodnotam, tentokrát z ntervalu 0, 1. Poznámka 2.1. Vycházíme z předpokladu, že stupeň příslušnost bodu x X k výsledku operace závsí jen na jeho stupních příslušnost k operandům a je jm jednoznačně určen (tomu říkáme, že fuzzy logka je funkconální). V případě ostrých množn nebyl tento předpoklad vůbec překvapvý. V případě fuzzy množn je nutno tento prncp zdůraznt, neboť mnohdy nebývá správně pochopen. Jeho první část říká, že výsledek je nezávslý na hodnotách příslušnost v ostatních bodech. Druhá část říká, že stupně příslušnost bodu k operandům poskytují dostatečnou nformac pro určení stupně příslušnost k výsledku. Tedy, že stupeň splnění konjunkce je chladno a prší je plně určen tím, nakolk je chladno a nakolk prší. To je úplně jná stuace než u pravděpodobnostní neurčtost. Kdybychom defnoval ostrá krtéra pro jevy je chladno a prší, mohl bychom stanovt (ostrou) pravdvostní hodnotu výroku dnes je chadno a prší. Mohl bychom také hovořt o pravděpodobnost jevů zítra bude chladno a bude pršet. Ta není jednoznačně určena pravděpodobností výroků zítra bude chladno a zítra bude pršet ; záleží zde navíc na závslost zkoumaných jevů. 8

Operace s fuzzy množnam 2.3. Fuzzy negace Je tedy třeba přpomenout, že fuzzy neurčtost se lší od pravděpodobnostní mj. v tom, že je funkconální. Jelkož fuzzy množnové výrokové operace vesměs zobecňují odpovídající klascké operace, budeme pro ně používat totéž značení:,,,...,,,,... a tutéž termnolog, pouze s přívlastkem fuzzy. Jak ovšem uvdíme, toto zobecnění lze zavést více způsoby, které budeme rozlšovat ndexy, např.,,, L... Index nahradíme tečkou, chceme-l hovořt o nějaké (blíže nespecfkované) fuzzy operac příslušného typu, např.. bude znamenat lbovolný fuzzy průnk. Operandy bez ndexů vyhradíme jen pro dva účely: - operace klascké logky a teore množn, - pro spojky použté v logce pro vytváření formulí, plnící tedy rol čstě syntaktckou. pojky, vyhrazujeme pouze pro klasckou mplkac a ekvvalenc ostrých výroků. 2.3. Fuzzy negace Defnce 2.2. Fuzzy negace je unární operace. : 0, 1 0, 1, splňující následující axomy: α β. β. α, Podle (N1) je fuzzy negace nerostoucí, podle (N2) je nvolutvní. (N1).. α = α. (N2) Příklad 2.3. tandardní fuzzy negace je defnována vztahem α = 1 α. Z axomů (N1), (N2) vyplývají mnohem přísnější podmínky: Věta 2.4. Každá fuzzy negace. je spojtá, klesající, bjektvní a splňuje okrajové podmínky. 1 = 0,. 0 = 1. (N0) Její graf je symetrcký podle osy 1. a 3. kvadrantu, tj.. 1 =. (nebol. je sama k sobě nverzní). Důsledek 2.5. Pro každou fuzzy negac. exstuje právě jedna hodnota e (0, 1), pro kterou. e = e. Nazýváme j rovnovážnou hodnotou (angl. equlbrum). Důkaz. Funkce f(β) =. β β splňuje f(0) = 1, f(1) = 1. Protože je spojtá, má podle věty o střední hodnotě v ntervalu (0, 1) nulové místo, které je rovnovážnou hodnotou. Jednoznačnost plyne z toho, že f je klesající. Věta 2.6 (o reprezentac fuzzy negací). A. Nechť : 0, 1 0, 1 je rostoucí bjekce. Pak funkce = 1, tj. α = 1( (α) ) je fuzzy negace. B. Naopak, každá fuzzy negace. je uvedeného tvaru pro nějakou rostoucí bjekc ; ta se nazývá generátor fuzzy negace.. Důkaz. (Dle [Nguyen-Walker].) A. (N1): Nechť α, β 0, 1, α β. Jelkož, 1 uspořádání zachovávají a obrací, dostáváme postupně tedy α β. (α) (β), (α) (β), 1( (α) ) 1( (β) ), (N2): = 1 1 = 1 = 1 = d, kde d je dentta na 0, 1. B. Defnujeme zobrazení předpsem α +. α (α) = 2 a dokážeme, že je generátorem fuzzy negace.. Je zřejmé, že je rostoucí, spojtá a splňuje (0) = 0, (1) = 1. Je to tedy bjekce na 0, 1. Dále platí α +. α 1 α + 1. α α +. α α +. α.. α +. α (α) = 1 = = = = = ( 2 2 2 2 2. α). Tím jsme dokázal, že =., nebol 1 =.. 9

Operace s fuzzy množnam 2.4. Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy) Poznámka 2.7. Pro rozlšení od jných reprezentací se někdy tomuto typu generátoru fuzzy negace říká rostoucí generátor. Poznámka 2.8. Rostoucí generátor fuzzy negace není jednoznačně určen. V předchozím důkazu jsme zkonstruoval jeden z možných rostoucích generátorů. Zcela jnou konstrukc lze najít v [Klr], je však mnohem komplkovanější. Věta o reprezentac fuzzy negací má několk důsledků. Rostoucí bjekc lze nterpretovat jako změnu měřítka na ntervalu 0, 1 ; mění se označení pravdvostních hodnot, ale zůstává zachováno jejch uspořádání. Podle reprezentační věty lze lbovolnou fuzzy negac dostat ze standardní. To ovšem neznamená, že by standardní negace měla nějaké výsadní postavení; naopak na jejím místě bylo možno použít lbovolnou jnou fuzzy negac, věta platí pro n. Různé fuzzy negace se mohou jevt odlšně z hledska užvatele, který jm chce popsat vágnost nformací, ale z matematckého hledska mez nm není (zatím) žádný podstatný rozdíl. Další text tedy neztratí přílš na obecnost, když se v něm omezíme na jednou standardní fuzzy negac. Poznámka 2.9. Někdy se uvažuje (a jako fuzzy negace označuje) zobecněná fuzzy negace, což je operace. : 0, 1 0, 1 splňující pouze (N0) a (N1). Ta nemusí být nvolutvní an spojtá. V tom případě se fuzzy negac v našem smyslu (splňující (N1),(N2)) říká slná fuzzy negace. Příklad 2.10. Gödelova zobecněná fuzzy negace: { 1 pro α = 0, G α = 0 jnak. Defnce 2.11. Fuzzy doplněk je operace na fuzzy množnách defnovaná pomocí fuzzy negace: A. (X) =. ( A(x) ). Přtom. znamená obecný fuzzy doplněk. Jednotlvé typy budeme rozlšovat stejným ndexy, jako u fuzzy negací. Například je standardní fuzzy doplněk odpovídající standardní fuzzy negac. 2.4. Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy) Defnce 2.12. Fuzzy konjunkce, (trojúhelníková norma, t-norma, angl. trangular norm) je bnární operace. : 0, 1 2 0, 1, splňující následující axomy pro všechna α, β, γ 0, 1 : α. β = β. α (komutatvta) (T1) α. (β. γ) = (α. β). γ (asocatvta) (T2) β γ α. β α. γ (monotone) (T3) α. 1 = α (okrajová podmínka) (T4) Příklad 2.13. tandardní fuzzy konjunkce (mn, Gödelova, Zadehova... ): α β = mn(α, β). Lukasewczova fuzzy konjunkce (Glesova, angl. bold, bounded dfference,... ): { α + β 1 pro α + β 1 > 0, α L β = 0 jnak. oučnová fuzzy konjunkce (produktová, pravděpodobnostní, angl. algebrac product,... ): α P β = α β. Drastcká fuzzy konjunkce (slabá, angl. weak,... ): { α pro β = 1, α D β = β pro α = 1, 0 jnak. 10

Operace s fuzzy množnam 2.4. Fuzzy konjunkce (trojúhelníkové normy) Věta 2.14. Pro každou fuzzy konjunkc. a α 0, 1 platí α. 0 = 0. Důkaz. Podle (T3) a (T4) platí: α. 0 (T3) 1. 0 (T4) = 0. Mez fuzzy konjunkcem můžeme uvažovat stejné uspořádání, jaké známe u funkcí, tj. 1 2, jestlže α, β 0, 1 : α 1 β α 2 β. Věta 2.15. Mez všem fuzzy konjunkcem je standardní největší a drastcká nejmenší, tj. pro lbovolnou fuzzy konjunkc. platí α, β 0, 1 : α D β α. β α β. Důkaz. Je-l α = 1 nebo β = 1, pak podmínka (T4) dává stejný výsledek pro všechny fuzzy konjunkce. Předpokládejme (bez újmy na obecnost) α β < 1. Pak α D β = 0 α. β α. 1 = α = α β. Věta 2.16. tandardní fuzzy konjunkce je jedná, která splňuje α α = α pro všechna α 0, 1. (Této vlastnost bnárních operací říkáme dempotence.) Důkaz. Nechť. je dempotentní fuzzy konjunkce. Dokážeme, že je standardní. Předpokládejme α, β 0, 1, α β. Pak α = α. α (T3) α. β (T3) α. 1 (T4) = α, tedy α. β = α = α β. Pro α > β zaměníme α, β a stejným postupem dostaneme α. β = β = α β. Dále se zaměříme především na spojté fuzzy konjunkce. Z fuzzy konjunkcí z příkladu 2.13 pouze drastcká je nespojtá. Defnce 2.17. Nechť. je spojtá fuzzy konjunkce. Řekneme, že. je archmedovská (angl. archmedean), jestlže strktní, (angl. strct), jestlže α (0, 1) : α. α < α (TA) α (0, 1 β, γ 0, 1 : β < γ α. β < α. γ (T3+) nlpotentní (angl. nlpotent), jestlže je archmedovská a není strktní. Poznámka 2.18. V některých pramenech jsou jako archmedovské označovány všechny nespojté fuzzy konjunkce, které splňují (TA). Je nutno se vždy přesvědčt, v jakém významu autor tento termín používá. Příklad 2.19. oučnová fuzzy konjunkce je strktní, Lukasewczova je nlpotentní, standardní a drastcká nejsou archmedovské (standardní nesplňuje (TA), drastcká není spojtá). V dalším uvdíme, že tyto příklady jsou typcké a v jstém smyslu unverzální. Poznámka 2.20. Podmínka (T3+) je slnější než (TA); stačí v ní dosadt β := α, γ := 1. Tedy každá strktní fuzzy konjunkce je archmedovská; archmedovské fuzzy konjunkce se dělí na dvě dsjunktní podtřídy, strktní a nlpotentní. Defnce 2.21. Chceme-l aplkovat fuzzy konjunkc. na n argumentů α, použjeme záps n. k=1 α k = α 1.. α n. Věta 2.22. Nechť. je archmedovská fuzzy konjunkce. Pak pro každé α (0, 1) a ε > 0 exstuje n N takové, že n. k=1 α < ε Pro strktní fuzzy konjunkce nelze předchozí větu zesílt, pro nlpotentní ano: 11

Operace s fuzzy množnam 2.5. Fuzzy dsjunkce (trojúhelníkové konormy) Věta 2.23. Nechť. je nlpotentní fuzzy konjunkce. Pak pro každé α (0, 1) exstuje n N takové, že n. k=1 α = 0 Věta 2.24 (o reprezentac strktních fuzzy konjunkcí). A. Nechť : 0, 1 0, 1 je rostoucí bjekce. Pak operace : 0, 1 2 0, 1, defnovaná vztahem α β = 1( (α) (β) ), je strktní fuzzy konjunkce. B. Naopak, každá strktní fuzzy konjunkce. je uvedeného tvaru pro nějakou rostoucí bjekc, kterou nazýváme multplkatvní generátor. Poznámka 2.25. Nechť je multplkatvní generátor fuzzy konjunkce. Defnujeme funkc h : 0, 1 0, předpsem h(α) = ln (α) (klademe ln 0 = ). Pak nverzní funkce je h 1 (t) = 1 (e t ) a pro všechna α, β 0, 1 platí α β = h 1( h(α) + h(β) ), neboť h 1( h(α) + h(β) ) = 1 (e ( ln (α) ln (β))) = 1 ( e ln (α) (β)) = 1( (α) (β) ) = α β. Funkc h nazýváme adtvní generátor fuzzy konjunkce, neboť nám dovoluje vyjádřt tuto operac pomocí součtu reálných čísel. Na rozdíl od multplkatvního generátoru, adtvní generátor je klesající funkce a jeho obor hodnot je nekonečný nterval 0,. Proto zde budeme přednostně pracovat s multplkatvním generátorem, na rozdíl od např. [chwezer-klar]. Věta 2.26 (o reprezentac nlpotentních fuzzy konjunkcí). A. Nechť : 0, 1 0, 1 je rostoucí bjekce. Pak operace : 0, 1 2 0, 1, defnovaná vztahem α β = 1( (α) L (β) ), je nlpotentní fuzzy konjunkce. B. Naopak, každá nlpotentní fuzzy konjunkce. je uvedeného tvaru pro nějakou rostoucí bjekc, kterou nazýváme Lukasewczův generátor. Defnce 2.27. Fuzzy průnk je operace na fuzzy množnách defnovaná pomocí fuzzy konjunkce: (A. B)(x) = A(x). B(x). Přtom. znamená obecný fuzzy průnk. Jednotlvé typy budeme rozlšovat stejným ndexy jako u fuzzy konjunkcí. 2.5. Fuzzy dsjunkce (trojúhelníkové konormy) Defnce 2.28. Fuzzy dsjunkce, (trojúhelníková konorma, t-konorma, angl. trangular conorm) je bnární operace. : 0, 1 2 0, 1, splňující následující axomy pro všechna α, β, γ 0, 1 : α. β = β. α (komutatvta) (1) α. (β. γ) = (α. β). γ (asocatvta) (2) β γ α. β α. γ (monotone) (3) α. 0 = α (okrajová podmínka) (4) 12

Operace s fuzzy množnam 2.5. Fuzzy dsjunkce (trojúhelníkové konormy) Příklad 2.29. tandardní fuzzy dsjunkce (max, Gödelova, Zadehova... ): α β = max(α, β). Lukasewczova fuzzy dsjunkce (Glesova, angl. bold, bounded sum,... ): { α L α + β pro α + β < 1, β = 1 jnak. oučnová fuzzy dsjunkce (produktová, pravděpodobnostní,... ): α P β = α + β α β. Drastcká fuzzy dsjunkce (slabá, angl. weak,... ): α D β = { α pro β = 0, β pro α = 0, 1 jnak. Věta 2.30. Pro každou fuzzy dsjunkc. a α 0, 1 platí α. 1 = 1. Důkaz. Podle (3) a (4) platí: α. 1 (3) 0. 1 (4) = 1. Mez fuzzy dsjunkcem uvažujeme stejné uspořádání jako u funkcí. Věta 2.31. Mez všem fuzzy dsjunkcem je standardní nejmenší a drastcká největší, tj. pro lbovolnou fuzzy dsjunkc. platí α, β 0, 1 : α β α. β α D β. Důkaz. Je-l α = 0 nebo β = 0, pak podmínka (4) dává stejný výsledek pro všechny fuzzy dsjunkce. Předpokládejme (bez újmy na obecnost) 0 < α β. Pak α β = β = 0. β α. β 1 = α D β. Věta 2.32. tandardní fuzzy dsjunkce je jedná, která je dempotentní, tj. α α = α pro všechna α 0, 1. Věta 2.33. Nechť. je fuzzy negace. A. Je-l. fuzzy konjunkce, pak de Morganova formule α. β =. (. α.. β) defnuje fuzzy dsjunkc. duální k. vzhledem k.. B. Je-l. fuzzy dsjunkce, pak de Morganova formule α. β =. (. α.. β) defnuje fuzzy konjunkc. duální k. vzhledem k.. Poznámka 2.34. Pokud u dualty neuvedeme, vzhledem k jaké negac je chápána, pak automatcky předpokládáme standardní fuzzy negac. Příklad 2.35. Lukasewczovy operace L, L jsou duální vzhledem ke standardní negac. oučnové operace P, P jsou duální vzhledem ke standardní negac. tandardní operace, jsou duální vzhledem k jakékol fuzzy negac. Drastcké operace D, D jsou duální vzhledem k jakékol fuzzy negac. Dále se zaměříme především na spojté fuzzy dsjunkce. Z fuzzy dsjunkcí z příkladu 2.29 pouze drastcká je nespojtá. 13

Operace s fuzzy množnam 2.5. Fuzzy dsjunkce (trojúhelníkové konormy) Defnce 2.36. Nechť. je spojtá fuzzy dsjunkce. Řekneme, že. je archmedovská (angl. archmedean), jestlže strktní, (angl. strct), jestlže α (0, 1) : α. α > α (A) α 0, 1) β, γ 0, 1 : β < γ α. β < α. γ (3+) nlpotentní (angl. nlpotent), jestlže je archmedovská a není strktní. Poznámka 2.37. V některých pramenech jsou jako archmedovské označovány všechny nespojté fuzzy dsjunkce, které splňují (A). Příklad 2.38. oučnová fuzzy dsjunkce je strktní, Lukasewczova je nlpotentní, standardní a drastcká nejsou archmedovské (standardní nesplňuje (A), drastcká není spojtá). Poznámka 2.39. Podmínka (3+) je slnější než (A); stačí v ní dosadt γ := α, β := 0. Defnce 2.40. Chceme-l aplkovat fuzzy dsjunkc. na n argumentů α, použjeme záps. n k=1 α k = α 1.. αn. Věta 2.41. Nechť. je archmedovská fuzzy dsjunkce. Pak pro každé α (0, 1) a ε > 0 exstuje n N takové, že. n k=1 α > 1 ε Pro strktní fuzzy dsjunkce nelze předchozí větu zesílt, pro nlpotentní ano: Věta 2.42. Nechť. je nlpotentní fuzzy dsjunkce. Pak pro každé α (0, 1) exstuje n N takové, že. n k=1 α = 1 Věta 2.43 (o reprezentac strktních fuzzy dsjunkcí). A. Nechť : 0, 1 0, 1 je rostoucí bjekce. Pak operace : 0, 1 2 0, 1, defnovaná vztahem α β = 1( (α) P (β) ), je strktní fuzzy dsjunkce. B. Naopak, každá strktní fuzzy dsjunkce. je uvedeného tvaru pro nějakou rostoucí bjekc. Věta 2.44 (o reprezentac nlpotentních fuzzy dsjunkcí). A. Nechť : 0, 1 0, 1 je rostoucí bjekce. Pak operace : 0, 1 2 0, 1, defnovaná vztahem α β = 1( (α) L (β) ), je nlpotentní fuzzy dsjunkce. B. Naopak, každá nlpotentní fuzzy dsjunkce. je uvedeného tvaru pro nějakou rostoucí bjekc, kterou nazýváme adtvní generátor. Defnce 2.45. Fuzzy sjednocení je operace na fuzzy množnách defnovaná pomocí fuzzy dsjunkce: (A. B)(x) = A(x). B(x). Přtom. znamená obecné fuzzy sjednocení. Jednotlvé typy budeme rozlšovat stejným ndexy jako u fuzzy dsjunkcí. 14

Operace s fuzzy množnam 2.6. Fuzzy výrokové algebry 2.6. Fuzzy výrokové algebry Dosud jsme zavedl 3 základní logcké spojky negac, konjunkc a dsjunkc. Pomocí nch lze vytvářet další logcké formule. V této kaptole porovnáme, jaké zákony tyto operace splňují. Východskem bude tabulka zákonů Booleových algeber. Tabulka 2.46. Zákony Booleových algeber. nvoluce:. (. α) = α, komutatvta: α. β = β. α, α. β = β. α, asocatvta: (α. β). γ = α. (β. γ), (α. β). γ = α. (β. γ), dstrbutvta: α. (β. γ) = (α. β). (α. γ), α. (β. γ) = (α. β). (α. γ), dempotence: α. α = α, α. α = α, absorpce: α. (α. β) = α, α. (α. β) = α, absorpce s jednčkou a nulou: α. 1 = 1, α. 0 = 0, neutrální prvky: α. 0 = α, α. 1 = α, zákon kontradkce: α.. α = 0, zákon vyloučeného třetího: α.. α = 1, de Morganovy zákony:. (α. β) =. α.. β,. (α. β) =. α.. β. Věta 2.47. Pro lbovolnou fuzzy negac, fuzzy konjunkc a fuzzy dsjunkc platí následující zákony z tabulky 2.46: nvoluce, komutatvta, asocatvta, absorpce s jednčkou a nulou, neutrální prvky. Věta 2.48. tandardní fuzzy operace,, splňují všechny zákony z tabulky 2.46 kromě zákona kontradkce a zákona vyloučeného třetího. Příklad 2.49. Pro α = 1/3 dostáváme Vždy však platí α α < 1, α α > 0. α α = 2 3 α α = 2 3 1 3 = 1/3 0, 1 3 = 2/3 1. Poznámka 2.50. pecálně upozorňujeme, že standardní operace splňují oba dstrbutvní zákony. Věta 2.51. Lukasewczovy operace, L, L splňují všechny vztahy z tabulky 2.46 kromě dstrbutvty, dempotence a zákonů absorpce. Poznámka 2.52. Zdůrazněme, že Lukasewczovy operace splňují zákon kontradkce a zákon vyloučeného třetího. Věta 2.53. oučnové operace, P, P splňují pouze vztahy z věty 2.47 a de Morganovy zákony. Mohlo by se zdát, že vhodnou volbou fuzzy operací by mohlo být splněno ještě více zákonů klascké logky, případně všechny. To však není možné, protože tyto zákony defnují Booleovy algebry a nemohou tudíž všechny platt pro netrvální zobecnění, jakým fuzzy operace jsou. Uvedeme ještě konkrétní příklad rozporu, jemuž se nelze vyhnout př zobecnění výrokových operací na 0, 1. Věta 2.54. plňují-l fuzzy operace.,.,. na 0, 1 de Morganovy zákony, zákon kontradkce a zákon vyloučeného třetího, pak nesplňují dstrbutvtu. Důkaz. Nechť e (0, 1) je rovnovážná hodnota fuzzy negace., tj.. e = e. Pak Z dstrbutvty by plynulo například e. e =. e. e = 1, e. e =. e. e = 0. e. (e. e) = (e. e). (e. e). Podle předchozího se však levá strana rovná e. 1 = e, zatímco pravá je 0. 0 = 0, což je spor. Není tedy možné, aby byly všechny uvedené vlastnost splněny současně. 15

Operace s fuzzy množnam 2.7. Fuzzy mplkace Poznámka 2.55. Z reprezentačních vět pro fuzzy negace a pro strktní a nlpotentní fuzzy konjunkce (resp. dsjunkce) by se mohlo zdát, že stačí změnt měřítko pomocí vhodné rostoucí bjekce : 0, 1 0, 1, abychom mohl místo obecných operací pracovat se standardní fuzzy negací a součnovou nebo Lukasewczovou fuzzy konjunkcí. Takové zjednodušení není obecně možné. Problém je v tom, že rostoucí generátor příslušné fuzzy negace nemusí být multplkatvní č Lukasewczův generátor uvažované fuzzy konjunkce. Změnou měřítka lze proto splnt jen jeden cíl buď mít pěknou (rozuměj standardní) fuzzy negac a obecnou fuzzy konjunkc, nebo mít pěknou (rozuměj součnovou nebo Lukasewczovu) fuzzy konjunkc a obecnou negac. Obojí najednou splnt obvykle nelze. Zde se kloníme k prvnímu případu, neboť každá fuzzy negace je až na změnu měřítka zomorfní se standardní fuzzy negací, kdežto reprezentační věty pro fuzzy konjunkce nejsou tak unverzální. tejná úvaha platí pro fuzzy dsjunkce místo konjunkcí. 2.7. Fuzzy mplkace Na rozdíl od předchozích operací pro. tuto není ustálená axomatcká defnce. Proto budeme za fuzzy mplkac považovat jakoukol operac. : 0, 1 2 0, 1, která se na {0, 1} 2 shoduje s klasckou mplkací. Místo podrobnější axomatky uvedeme přímo způsoby, kterým jsou nejdůležtější fuzzy mplkace konstruovány z jných fuzzy operací. Zaměříme se na 2 nejčastěj používané typy mplkací: α. β = α. β α R. β = sup{γ : α. γ β} (I) (RI) V Boolově algebře oba vzorce defnují tutéž klasckou mplkac. Ve fuzzy logce se obecně lší a vedou na 2 třídy fuzzy mplkací. Další členění závsí na volbě fuzzy operací na pravých stranách vzorců. Defnce 2.56. Vzorec (RI) defnuje rezduovanou fuzzy mplkac (rezduum, R-mplkac) příslušnou fuzzy konjunkc.. Dolní ndex použjeme stejný jako u odpovídající fuzzy konjunkce. Příklad 2.57. Od standardní fuzzy konjunkce je odvozena Gödelova fuzzy mplkace { α R 1 pro α β, β = β jnak. Tato fuzzy mplkace je po částech lneární a spojtá s výjmkou bodů (α, α), α < 1. Příklad 2.58. Od Lukasewczovy fuzzy konjunkce L je odvozena Lukasewczova fuzzy mplkace α R L β = { 1 pro α β, 1 α + β jnak. Tato fuzzy mplkace je po částech lneární a všude spojtá. Příklad 2.59. Od součnové fuzzy konjunkce P je odvozena Goguenova (též Ganesova) fuzzy mplkace { 1 pro α β, α R P β = jnak. Tato fuzzy mplkace má jedný bod nespojtost (0, 0). Věta 2.60. Každá rezduovaná mplkace R. β α splňuje následující podmínky: α R. β = 1, právě když α β, (I1) 1 R. β = β, (I2) R. je nerostoucí v 1. argumentu a neklesající v 2. argumentu. (I3) 16

Operace s fuzzy množnam 2.7. Fuzzy mplkace Věta 2.61. Nechť příslušnou rezduovanou mplkac Věta 2.62. Nechť je strktní fuzzy konjunkce s multplkatvním generátorem (dle věty??). Pak pro R pro příslušnou rezduovanou mplkac platí { 1 α R ( ) pro α β, β = 1 (β) (α) jnak. je nlpotentní fuzzy konjunkce s Lukasewczovým generátorem (dle věty??). Pak α R β = R platí { 1 pro α β, 1( 1 (α) + (β) ) jnak. Důsledek 2.63. Rezduovaná fuzzy mplkace příslušná spojté fuzzy konjunkc. je spojtá, právě když. je nlpotentní.. Defnce 2.64. Vzorec (I) defnuje -mplkac odpovídající fuzzy dsjunkc a fuzzy negac. Př konstrukc -mplkace zde uvažujeme vždy pouze standardní fuzzy negac a dolní ndex -mplkace bude označovat použtou fuzzy dsjunkc. Příklad 2.65. Ze standardní fuzzy dsjunkce dostáváme Kleeneovu-Denesovu fuzzy mplkac α β = max(1 α, β). Příklad 2.66. Z Lukasewczovy fuzzy dsjunkce dostáváme Lukasewczovu fuzzy mplkac, která se shoduje s Lukasewczovou rezduovanou fuzzy mplkací. Příklad 2.67. Ze součnové fuzzy dsjunkce dostáváme Rechenbachovu fuzzy mplkac α P β = 1 α + αβ. Na fuzzy mplkace je možno klást další požadavky. Kromě jž uvedených (I1), (I2), (I3) se často požaduje: α.. β =. β... α, α.. (β.. γ) = β.. (α.. γ), spojtost. (I4) (I5) (I6) Všechny požadavky (I1) (I6) splňují ze zde probíraných fuzzy mplkací pouze ty rezduované, které odpovídají nlpotentním fuzzy konjunkcím dle věty??. Příkladem je Lukasewczova fuzzy mplkace. Vzorec pro -mplkac používá fuzzy negac, která musí být předem dána. Naopak rezduovanou mplkac lze použít pro defnc zobecněné fuzzy negace. předpsem. α = α R. 0. Použjeme-l na pravé straně například Gödelovu nebo Goguenovu fuzzy mplkac ( R nebo R P ), dostaneme Gödelovu zobecněnou fuzzy negac G. Lukasewczova fuzzy mplkace R L dává tímto způsobem standardní fuzzy negac. Poznámka 2.68. Pojem fuzzy mplkace není dosud ustálený. Někteří autoř [Hájek, Turunen] uvažují pouze rezduované fuzzy mplkace. Naopak v některých pramenech jsou jako fuzzy mplkace označovány operace, které se an na {0, 1} 2 neshodují s klasckou mplkací. Například standardní konjunkce je někdy nevhodně označována jako Mamdanho mplkace. 17

Operace s fuzzy množnam 2.8. Fuzzy bmplkace (ekvvalence) 2.8. Fuzzy bmplkace (ekvvalence) Od mplkace.. se odvozuje komutatvní operace.., obvykle defnovaná vztahem α.. β = (α.. β). (β.. α). Pokud.. splňuje (I1) (například pro rezduovanou mplkac), je vždy aspoň jedna ze závorek na pravé straně rovna jedné, takže nezáleží na volbě fuzzy konjunkce.. Výsledná operace.. bývá označována jako fuzzy ekvvalence. Protože však pojem ekvvalence označuje specální relac (vz dále), dáváme zde přednost (rovněž častému) pojmu fuzzy bmplkace. Indexujeme j stejně jako fuzzy mplkac, z níž vznkla. Příklad 2.69. Lukasewczova fuzzy bmplkace: α R L β = 1 α β. Göedelova fuzzy bmplkace: { 1 pro α = β, α R β = α β jnak. oučnová fuzzy bmplkace: 1 pro α = β = 0, α R α β P β = jnak. α β Věta 2.70. Pro rezduovanou fuzzy mplkac R. a jí příslušnou fuzzy bmplkac platí α R. β = (α β) R. (α β). 2.9. Agregační operátory Dosud uvedené fuzzy logcké operace se snažly o zobecnění operací klascké logky. Pro zpracování vágních nformací však bývají užtečné operace, které žádnou analog v Booleových algebrách nemají. Jako příklad uvažujme sdružení nformací, které nám o téže otázce poskytne skupna expertů. Z jejch údajů chceme vypočítat jeden kolektvní názor, jakýs druh průměru. K tomu účelu se nabízejí agregační operátory a jejch podtřída, fuzzy průměry. (Zde prezentovaný přístup pochází z [Klr-Yuan].) V této kaptole se budeme zabývat operátory, jejch počet argumentů (arta) není pevně daný, ale může jím být lbovolné celé číslo n 2. Agregační operátor (angl. aggregaton operator) je zobrazení h, které každé n-tc hodnot z 0, 1 (n 2) přřadí číslo z 0, 1 v souladu s následujícím podmínkam: h(0,..., 0) = 0, h(1,..., 1) = 1, (A1) ( = 1,..., n : α β ) h(α 1,..., α n ) h(β 1,..., β n ), h je spojté. Agregační operátor se nazývá fuzzy průměr (angl. averagng operator), splňuje-l navíc podmínky (A2) (A3) pro každou permutac p čísel 1,..., n je h(α p(1),..., α p(n) ) = h(α 1,..., α n ), (A4) α 0, 1 : h(α,..., α) = α. (A5) (Podmínka (A5) je zesílením podmínky (A1).) Příklad 2.71. Všechny fuzzy konjunkce a dsjunkce splňují podmínky (A1) (A4), takže to jsou agregační operátory. tandardní fuzzy konjunkce a dsjunkce splňují dempotenc (A5), jsou to tedy fuzzy průměry. Věta 2.72. Pokud h splňuje podmínky (A2), (A5), pak mn h max (ve smyslu uspořádání funkcí). 18

Operace s fuzzy množnam 2.9. Agregační operátory Poznámka 2.73. Někdy budeme přpouštět agregační operátory, které nejsou defnovány na celém oboru 0, 1 n. Příklad 2.74. Zobecněný průměr (angl. generalzed means) h λ je pro λ R, λ 0, defnován vzorcem h λ (α 1,..., α n ) = ( 1 n (Pro λ < 0 je defnován jen pro α kladná.) Je to fuzzy průměr. pecálně dostáváme: pro λ = 1 artmetcký průměr, pro λ = 2 kvadratcký průměr, pro λ = 1 harmoncký průměr, pro λ 0 geometrcký průměr, pro λ + maxmum, pro λ mnmum. Příklad 2.75. Vážený průměr h w je pro n N určen vektorem vah w = (w 1,..., w n ) 0, 1 n splňujícím n =1 w n = 1: n h w (α 1,..., α n ) = w α. n =1 =1 α λ ) 1 λ. plňuje (A1) (A3) a (A5), je to tedy agregační operátor, který je adtvní; tj. splňuje (Adtvta je slabší forma lnearty.) h(α 1 + β 1,..., α n + β n ) = h(α 1,..., α n ) + h(β 1,..., β n ). Příklad 2.76. Uspořádaný vážený průměr (ang. ordered weghted averagng operator, OWA-operator) h w je určen vektorem vah w = (w 1,..., w n ) 0, 1 n splňujícím n =1 w n = 1: kde p je permutace ndexů taková, že h w (α 1,..., α n ) = n w α p(), =1 α p(1) α p(2) α p(n). Od váženého průměru se lší tím, že nejprve argumenty seřadíme podle velkost, a teprve pak jm přřadíme váhy (podle jejch pořadí v uspořádané posloupnost). Díky tomu je splněna podmínka (A4) a dostáváme fuzzy průměr. pecálně dostáváme pro w = (1, 0,..., 0) mnmum, pro w = (0,..., 0, 1) maxmum, pro w = (1/n, 1/n,..., 1/n) artmetcký průměr. pro w = (0, 1/(n 2), 1/(n 2),..., 1/(n 2), 0) operátor, používaný např. v hodnocení krasobruslařů napřed se vyškrtne největší a nejmenší prvek, pak se ze zbývajících vypočte artmetcký průměr. Mnoho dalších příkladů lze zkonstruovat pomocí následující věty. Věta 2.77. Nechť h, h 1,..., h k jsou agregační operátory (resp. fuzzy průměry). Pak zobrazení je agregační operátor (resp. fuzzy průměr). H(α 1,... α n ) = h ( h 1 (α 1,... α n ),..., h k (α 1,... α n ) ) 19

3. Fuzzy relace V této kaptole se budeme zabývat fuzzfkací bnárních relací. Nejprve přpomene potřebné pojmy pro ostré množny. 3.1. Bnární relace v klascké teor množn Defnce 3.1. Nechť X, Y jsou množny. Bnární relace R z X do Y je (jakákol) podmnožna kartézského součnu X Y. Ve vztahu k relac R X Y označujeme X jako množnu vzorů a Y jako množnu obrazů. Inverzní relace k R je relace R 1 z Y do X R 1 = { (y, x) Y X : (x, y) R }. Defnce 3.2. Nechť X, Y, Z jsou množny. ložená relace z relací R X Y, Y Z je relace R z X do Z { R = (x, z) X Z : ( y Y : (x, y) R, (y, z) )}. Pokud je stejná množna X množnou vzorů množnou obrazů, pak mez podmnožnam kartézského součnu X X rozlšujeme následující specální relace: Defnce 3.3. Nechť X je množna. Rovnost na X je relace Pro R X X defnujeme δ = { (x, x) : x X }. reflexvtu: x X : (x, x) R, tj. δ R, symetr: (x, y) R (y, x) R, tj. R = R 1, antsymetr: ( (x, y) R ) ( (y, x) R ) x = y, tj. R R 1 δ, tranztvtu: ( (x, y) R ) ( (y, z) R ) (x, z) R, tj. R R R, částečné uspořádání: relace antsymetrcká, reflexvní a tranztvní, ekvvalenc: relace symetrcká, reflexvní a tranztvní. Poznámka 3.4. Zde používaný termín ekvvalence pro bnární relac nemá nc společného s bmplkací (rovněž nazývanou ekvvalence) z odstavce 2.8. Bmplkace je bnární operace, tedy ternární relace. V duchu zde používané konvence ztotožňujeme množny s jejch charakterstckým funkcem (funkcem příslušnost). Přeložíme předchozí pojmy do této symbolky. Ostrá relace R z X do Y je funkce R : X Y {0, 1}. Inverzní relace R 1 : Y X {0, 1} splňuje R 1 (y, x) = R(x, y). ložená relace z relací R : X Y {0, 1} a : Y Z {0, 1} je R : X Z {0, 1} kde je klascká konjunkce. Rovnost na X je δ : X X {0, 1} { } (R )(x, z) = sup R(x, y) (y, z), y Y δ(x, y) = { 1 pro x = y, 0 pro x y, tedy jedná se o bnární operac známou jako Kroneckerovo delta. Ostatní specální relace jž byly charakterzovány ve tvarech, jaké potřebujeme pro další zobecnění. 20

Fuzzy relace 3.2. Fuzzfkace bnárních relací 3.2. Fuzzfkace bnárních relací Defnce 3.5. Nechť X, Y jsou ostré množny. Fuzzy relace R z X do Y je (jakákol) fuzzy podmnožna kartézského součnu X Y, tedy R F(X Y ), nebol R : X Y 0, 1. Inverzní relace k R je R 1 F(Y X) taková, že x X y Y : R 1 (y, x) = R(x, y). Defnce 3.6. Nechť X, Y, Z jsou ostré množny, R F(X Y ), F(Y Z). Pak -složená relace R. F(X Z) je defnována vztahem x X z Z : (R. )(x, z) = R(x, y) y Y. (y, z), kde. je pevně zvolená fuzzy konjunkce. Dostáváme různé typy skládání, které označujeme stejným ndexem jako příslušnou fuzzy konjunkc a hovoříme o -skládání (standardním skládání) apod. Poznámka 3.7. Rol exstenčního kvantfkátoru z defnce skládání ostrých relací zde přebírá standardní fuzzy dsjunkce přes všechny hodnoty y Y. I zde bychom s mohl představt jnou fuzzy dsjunkc, ale takové zobecnění by mělo podstatnou vadu: Uvažme, že množna Y může být velká, například nespočetná. Př použtí jné (například archmedovské) fuzzy dsjunkce by výsledek byl velm často jednotkový a nenesl by užtečnou nformac o argumentech takové operace. Poznámka 3.8. Pro konečné množny X, Y, Z lze fuzzy relace reprezentovat matcem a složenou relac počítat obdobně jako součn matc, kde místo součnu prvků aplkujeme fuzzy konjunkc. a místo součtu standardní fuzzy dsjunkc. pecální fuzzy relace lze zavést zcela analogcky jako pro ostré relace: Defnce 3.9. Nechť X je ostrá množna. Pro R F(X X) defnujeme reflexvtu: δ R, symetr: R = R 1, -antsymetr: R. R 1 δ, -tranztvtu: R. R R, -částečné uspořádání: fuzzy relace -antsymetrcká, reflexvní a -tranztvní, -ekvvalenc: fuzzy relace symetrcká, reflexvní a -tranztvní. Je třeba mít na pamět, že poslední čtyř pojmy závsí na volbě fuzzy konjunkce., vyskytující se v příslušných vztazích. Pro ostré množny všechny tyto pojmy mají svůj obvyklý význam z klascké teore množn. Věta 3.10 (vlastnost skládání fuzzy relací). Nechť R, a T jsou fuzzy relace s takovým defnčním obory, aby následující rovnost (postupně, ne všechny současně) měly smysl. Platí: R. (. T ) = (R. ). T (asocatvta) (R ). T = (R. T ) (. T ) (dstrbutvta zprava) R. ( T ) = (R. ) (R. T ) (dstrbutvta zleva) kde. značí -skládání vzhledem k lbovolné pevně zvolené fuzzy konjunkc.. U dstrbutvty můžeme také nahradt sjednocení průnkem. 3.3. Konzstence fuzzy relací V této část podáme některé vlastnost fuzzy množn, zejména fuzzy relací, které nemají adekvátní obdobu v ostrých množnách. Nejprve vezmeme na vědomí následující skutečnost. Věta 3.11. Vytvoření α-řezu fuzzy množny (kde α 0, 1 ) lze nterpretovat jako specfcký způsob defuzzfkace: Uvažujme zobrazení r α : F(X) P(X) vznklé aplkací skokové funkce r α bod po bodu, kde { 1 pro β α, r α (β) = 0 pro β < α. Platí R A (α)(x) = r α ( A(x) ), kde A F(X), x X. 21

Fuzzy relace 3.4. Projekce a cylndrcké rozšíření Defnce 3.12. Vlastnost fuzzy množny se nazývá konzstentní (angl. cutworthy), jestlže každá fuzzy množna A má tuto vlastnost, právě když tutéž vlastnost mají všechny α-řezy R A (α) pro α > 0. Poznámka 3.13. Trvální 0-řez R A (0) = X zde záměrně neuvažujeme. Příklad 3.14. Uvažujme následující vlastnost fuzzy množny A (tzv. zesílenou formu normalty): x X : A(X) = 1. Tato vlastnost je konzstentní. (Pro ostré množny se tato vlastnost shoduje s neprázdností.) Naprot tomu ostrost množny není konzstentní, neboť všechny řezy fuzzy množny jsou ostré, když tato fuzzy množna ostrá není. Věta 3.15. Následující vlastnost fuzzy relací jsou konzstentní: být rovností (R = δ), reflexvta, symetre, standardní antsymetre, standardní tranztvta, standardní částečné uspořádání, standardní ekvvalence. Poznámka 3.16. Konzstenc lze využít například k testování, zda daná fuzzy relace je standardní ekvvalence apod. Vše lze převést na klascký postup uplatněný pro všechny řezy. Jné než standardní druhy antsymetre a tranztvty (například součnová tranztvta) nejsou konzstentní, což komplkuje jejch ověřování a použtí. 3.4. Projekce a cylndrcké rozšíření Zde se seznámíme s dalším konstrukcem, jejchž analoge pro ostré množny buď neexstují, nebo jsou trvální. Defnce 3.17. Nechť X, Y jsou ostré množny, R F(X Y ). Levá (první) projekce R je P 1 (R) F(X), kde P 1 (R)(x) = R(x, y). Pravá (druhá) projekce R je P 2 (R) F(Y ), kde P 2 (R)(y) = y Y x X R(x, y). Vzhledem ke geometrcké analog se projekce někdy nazývá stín. Poznámka 3.18. tandardní fuzzy dsjunkce v této defnc znamená supremum. Zobecnění na jné fuzzy dsjunkce nelze doporučt ze stejných důvodů, jako v poznámce 3.7. V jstém omezeném smyslu je opačnou operací k projekc cylndrcké rozšíření: Defnce 3.19. Nechť X, Y jsou ostré množny, A F(X), B F(Y ). Cylndrcké rozšíření A a B (též kartézský součn fuzzy množn) je A B F(X Y ), kde (A B)(x, y) = A(x) B(y). Věta 3.20. Cylndrcké rozšíření A B je maxmální fuzzy relace R F(X Y ) taková, že P 1 (R) A a P 2 (R) B. Poznámka 3.21. V předchozím tvrzení nelze obecně požadovat rovnost. K tomu by musely A B mít stejnou výšku. 22

4. Prncp rozšíření Prncp rozšíření je jednou ze základních myšlenek, kterou obohatl teor L. Zadeh. Umožňuje aplkovat na fuzzy množny funkce a operace, defnované původně pro jednodušší objekty, např. čísla. 4.1. Rozšíření bnárních relací na ostré množny Zde ukážeme, jakým způsobem se například artmetcké operace na reálných číslech rozšřují na ostré množny reálných čísel. Dostaneme tak mj. tzv. ntervalovou artmetku. Celý postup uvedeme obecněj. Přpomeňme, že zobrazení je taková bnární relace R X Y, pro kterou platí: pro každý prvek z X exstuje právě jeden prvek y = r(x) Y takový, že (x, y) R. Na zobrazení r : X Y tedy můžeme pohlížet jako na relac R X Y s uvedenou vlastností. Záps (x, y) R je ekvvalentní s y = r(x). Také je R = {( x, r(x) ) : x X }. Defnce 4.1. Nechť R X Y je lbovolná relace (nemusí být nutně zobrazením). Zobrazení r : P(X) P(Y ), které každé množně A X přřadí množnu B Y podle předpsu nazýváme rozšířením relace R. r(a) = { y Y : ( x A : (x, y) R )} (4.1) Analogcky zobrazení r 1 : P(Y ) P(X) defnované vzorcem je rozšířením relace R 1. r 1 (B) = { x X : ( y B : (x, y) R )} (4.2) Poznámka 4.2. Rozšíření r a r 1 z původní defnce jsou zobrazení, když původní relace R zobrazení není. Nejsou však navzájem nverzní, tj. r r 1 nemusí být dentta, jak ukážeme v příkladech. Pokud výchozí relace R je navíc zobrazení, pak j budeme též psát ve tvaru r : X Y a podle kontextu poznáme, zda písmeno r značí původní robrazení, nebo jeho rozšíření. Vzorce (4.1) a (4.2) pak nabývají jednodušší tvar r(a) = { r(x) : x X }, r 1 (B) = { x X : r(x) B }. Použtí stejného symbolu pro dvě formálně různá zobrazení r : X Y a r : P(X) P(Y ) lze ospravedlnt tím, že první z nch splňuje rovnost r(x) = y právě tehdy, když druhé splňuje r({x}) = {y}. Příklad 4.3. Nechť R = {(x, sn x) : x R}, tj. uvažujeme funkc (zobrazení, relac) snus. Inverzní relace sn 1 není zobrazení. Rozšíříme relace sn, sn 1 na zobrazení z podmnožn reálných čísel do podmnožn reálných čísel a příslušná rozšíření značíme stejně. Pak například sn ( π 4, 2 ) 1 = 2, 1, sn 1 ({ }) { 1 2 = π 4 + 2kπ : k Z} { 3π 4 + 2kπ : k Z}, kde Z značí množnu všech celých čísel. Zde sn sn 1 je dentcké zobrazení (na 1, 1 ), ale sn 1 sn nkol. Používáme-l rozšířené operace na jednobodové množny, množnové závorky pro zjednodušení vynecháváme; zejména r 1 (y) = r 1 ({y}) = { x X : r(x) = y }. Tento záps jsme jž dříve použl, například v defnc hladny. Příklad 4.4. Nechť X = {a, b, c}, Y = {1, 2}, R = {(a, 1), (b, 1), (c, 2)}. Pak například takže r 1 není nverzní k r. r({a}) = r({b}) = r({a, b}) = {1}, r({a, c}) = r({b, c}) = r(x) = Y, r 1 ({1}) = {a, b}, r 1 ({2}) = {c}, r 1 (Y ) = X, r 1( r({a}) ) = {a, b}, 23