Příklady z předášek. Normálí rozložeí a rozložeí z ěj odvozeá.7. Příklad: Výledky u přijímacích zkoušek a jitou VŠ jou ormálě rozložey parametry µ 550 bodů, σ 00 bodů. S jakou pravděpodobotí bude mít áhodě vybraý uchazeč apoň 600 bodů? Řešeí: X výledek áhodě vybraého uchazeče, X ~ N(550, 00 ), P(X 600) P(X 600) X µ 600 µ 600 550 P(X 600) P(X 600) P - P U Φ(0,5) σ σ 00 0,6946 0,3.8. Příklad: Nechť X ~ N(-, 4). Najděte K 0,05 (X). Řešeí: X U ~ N(0,) U K ( X) u u,96 4, 9 X 0,05 0,05 0, 975.. Příklad: Najděte a) χ 0,975 (0), b) χ 0,05(3). Řešeí: ad a) χ 0,975 (0) 0,483, ad b) χ 0,05(3) 0,35.4. Příklad: Najděte a) t 0,90 (8), b) t 0,05 (6) Řešeí: ad a) t 0,90 (8),3968, ad b) t 0,05 (6) - t 0,95 (6) -,943.8. Příklad: Najděte a) F 0,975 (5,7), b) F 0,05 (8,6) Řešeí: ad a) F 0,975 (5,7) 5,85.5. Příklad: Nechť X ~ t(4). Určete kotatu c tak, aby P ( c < X < c) 0, 9. Řešeí: 0,9 P c t ( c < X < c) Φ( c) Φ( c) Φ( c) [ Φ( c) ] Φ( c) Φ( c) ( 4), 763 0,95 0,95.9. Příklad: Nechť X ~ F(5,8). Najděte kotatu c tak, aby platilo P(X < c) 0,05. Řešeí: 0,05 P( X < c) Φ( c) c F ( 5,8) 4,883 0,05 F0,95 ( 8,5) 0,075 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek. Slabý záko velkých číel a cetrálí limití věta.6. Příklad: Při výtupí kotrole bylo zjištěo, že mezi 3000 kotrolovaými výrobky je 0 zmetků. Jaká je pravděpodobot, že relativí četot výkytu zmetku e od pravděpodoboti výkytu zmetku eliší o více ež 0,0? Řešeí: Y 3000 počet zmetků mezi kotrolovaými výrobky, Y 3000 ~ Bi(3000, υ), υ. 3000 Y ϑ( ϑ) Podle Beroulliovy věty dotáváme: ε > 0 : P ϑ < ε. V ašem případě ε 988 ε 0,0, 3000, υ Y, tedy P 0,0 3000 3000 0,87. 3000 3000 ϑ < 3000 3000 0,000.. Příklad: 00x ezávile a obě hodíme kotkou. Jaká je pravděpodobot, že šetka pade apoň 0x? Řešeí: Y 00 počet šetek ve 00 hodech, Y 00 ~ Bi(00, /6) 500 ϑ ϑ 00 3,8 > 6 6 36 00 < ϑ < : < < - v pořádku 0 6 0 P Y 0 P Y < 0 P Y 9 Ověřeí podmíek dobré aproximace: ( ) 9 ( ) ( ) ( ) 00 Y P 00 500 36 00 6 00 9 00 6 500 36 Φ 00 ( 0,66) 0,73565 0, 64.5. Příklad: Během zkoušky polehlivoti e přítroj porouchá pravděpodobotí 0,05. Jaká je pravděpodobot, že při zkoušeí 00 přítrojů e jich porouchá právě 5? Řešeí: Y 00 počet porouchaých přítrojů při zkoušeí 00 přítrojů, Y 00 ~ Bi(00, 0,05) Ověřeí podmíek dobré aproximace: 00 >30, ϑ 0,05 < 0, v pořádku P ( Y 5) ( 00 0,05) 5 00 5! 5 00 0,05 5 5 e e 0,755 5! 00 5 95 5 0,05 0,95 0, 5 Přeý výpočet: P( Y ) 8 00 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 3. Základí pojmy matematické tatitiky 3.5. Příklad: 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0. Vypočtěte realizaci m výběrového průměru M, realizaci výběrového rozptylu S, realizaci výběrové měrodaté odchylky S a hodoty výběrové ditribučí fukce F 0 (x). Řešeí: m i x i 0 (,8...,) ( x i m) x i m (,8..., 0,06 ) i 0,0404 0,0 i,06 9 0,0404 Pro uaděí výpočtu hodot výběrové ditribučí fukce F 0 (x) upořádáme měřeí podle velikoti:,8,8,9,,,,3,4. x <,8 : F 0 (x) 0,8 x <,9 : F0 (x) 0, 0 3,9 x < : F0 (x) 0,3 0 5 x <,: F0 (x) 0,5 0 7, x <, : F0 (x) 0,7 0 8, x <,3 : F0 (x) 0,8 0 9,3 x <,4 : F0 (x) 0,9 0 x,4 : F (x) 0 3 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 3.6. Příklad: U áhodě vybraých aut jité začky bylo zjišťováo jejich táří (áhodá veličia X v letech) a cea (áhodá veličia Y v tiících Kč). Výledky: (5, 85), (4, 03), (6, 70), (5, 8), (5, 89), (5, 98), (6, 66), (6, 95), (, 69), (7, 70), (7, 48). Vypočtěte a iterpretujte číelou realizaci r výběrového koeficietu korelace R. Řešeí: m m i i x y i i i i x y i i ( 5 4... 7) ( 85 03... 48) m m 0 0 5,8 88,63 ( 5 4... 7 5,8 ),0 ( 85 03... 48 88,63 ) 970,85 x iyi mm ( 5 85 4 03... 7 48 5,8 88,63) 40,89 i 0 40,8 r 0,9,0 970,85 Mezi áhodými veličiami X a Y exituje ilá epřímá lieárí závilot. Čím tarší auto, tím ižší cea. 3.8. Pozámka: Typy upořádáí pokuů 4 a) Jedoduché pozorováí b) Dvojé pozorováí - dvouvýběrové porováváí - párové porováváí c) Mohoáobé pozorováí - mohovýběrové porováváí - blokové porováváí ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 4. Bodové a itervalové odhady parametrů a parametrických fukcí a úvod do tetováí hypotéz 4.0. Příklad: (Odvozeí itervalu polehlivoti pro tředí hodotu při zámém rozptylu) Nechť X,..., X je áhodý výběr z rozložeí N(µ,σ ), kde tředí hodotu µ ezáme a rozptyl σ záme. Setrojte 00(-α)% iterval polehlivoti pro ezámou tředí hodotu µ. Řešeí: V tomto případě parametrická fukce h( ϑ ) µ. Netraým odhadem tředí hodoty je výběrový průměr (viz.3.(a)) M X i. Protože M je lieárí kombiací ormálě i rozložeých áhodých veliči, bude mít také ormálí rozložeí e tředí hodotou E(M) σ µ a rozptylem D(M). Pivotovou tatitikou W bude tadardizovaá áhodá veličia M µ U ~ N(0,). Kvatil w α/ u α/ -u -α/, w -α/ u -α/. σ ϑ Ξ : α P(-u -α/ < U < u -α/ ) M µ σ σ P u α / < < u α / P M u α / < µ < M u α /. σ Meze 00(-α)% itervalu polehlivoti pro tředí hodotu µ při zámém rozptylu σ tedy jou: σ σ D M u α /, H M u α /. Při kotrukci jedotraých itervalů polehlivoti e riziko epůlí, tedy 00(-α)% σ levotraý iterval polehlivoti pro µ je M u α, a pravotraý je σ, M u α. Doadíme-li do vzorců pro dolí a horí mez číelou realizaci m výběrového průměru M, dotaeme 00(-α)% empirický iterval polehlivoti. 5 4.. Příklad: (Kokrétí aplikace odvozeých vzorců) 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0 z rozložeí N(µ, σ ), kde µ ezáme a σ 0,04. Najděte 95% empirický iterval polehlivoti pro µ, a to a) oboutraý, b) levotraý, c) pravotraý. Řešeí: Vypočteme realizaci výběrového průměru: m,06. Riziko α je 0,05. V tabulkách ajdeme kvatil u 0,975,96 pro oboutraý iterval polehlivoti a kvatil u 0,95,64 pro jedotraé itervaly polehlivoti. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek ad a) d m - σ 0, u-α/,06 -,95,94 0 h m σ 0, t-α/ (-),06,95,8 0,94 < µ <,8 pravděpodobotí apoň 0,95. σ 0, ad b) d m - u-α,06 -,64,96 0,96 < µ pravděpodobotí apoň 0,95. σ 0, ad c) h m u-α,06,64,6 0 µ <,6 pravděpodobotí apoň 0,95. 4.3. Příklad: Nechť X,..., X je áhodý výběr z N(µ, σ ), kde σ záme. Jaký muí být miimálí rozah výběru, aby šířka 00(-α)% empirického itervalu polehlivoti pro tředí hodotu µ epřeáhla čílo? Řešeí: σ σ σ Požadujeme, aby h d m u α / (m u α / ) u α /. Z této podmíky 4σ u dotaeme, že této podmíce. α /. Za rozah výběru zvolíme ejmeší přirozeé čílo vyhovující 6 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 5. Úvod do tetováí hypotéz 5.. Příklad: Nechť X,..., X 400 je áhodý výběr z N(µ,0,0). Je zámo, že výběrový průměr e realizoval hodotou 0,0. Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : µ 0 proti pravotraé alterativě H : µ > 0 a) pomocí itervalu polehlivoti b) pomocí kritického oboru c) pomocí p-hodoty. Řešeí: ad a) Při tetováí ulové hypotézy proti pravotraé alterativě používáme levotraý iterval polehlivoti. σ 0, 0, d m u α 0,0 u 0, 95 0,0,64485 0,008. 400 0 Protože čílo c 0 eleží v itervalu (0,008; ), H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ad b) Vypočteme realizaci tetové tatitiky: m c 0,0 0 0,0 0 t 0. σ 0, 0, 400 Staovíme kritický obor: u, u, ) ),64485 ) W α 0, 95, 7 Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ad c) Při tetováí ulové hypotézy proti pravotraé alterativě e p-hodota počítá podle vzorce: p P(T 0 t 0 ). V ašem případě: p P( T0 ) Φ( ) 0,9775 0, 075. Protože p-hodota je meší ež hladia výzamoti 0,05, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 6. Parametrické úlohy o jedom áhodém výběru z ormálího rozložeí 6.3. Příklad: Hmotot balíčku krytalového cukru baleého a automatické lice e řídí ormálím rozložeím e tředí hodotou 00 g a měrodatou odchylkou 8 g. Kotrolor áhodě vybírá 9 balíčků z jedé érie a zjišťuje, zda jejich průměrá hmotot je alepoň 999 g. Pokud e, podik muí zaplatit pokutu 0 000 Kč. Jaká je pravděpodobot, že podik bude muet zaplatit pokutu? Řešeí: 64 X ~ N(00, 64), M ~ N 00, 9 M 00 999 00 P 64 64 9 9 Φ ( M 999) P P U Φ Φ Φ(,5) (,3) 0,87076 0, 94 9 8 Pravděpodobot, že podik bude platit pokutu, je ai,9%. 9 8 9 8 6.5. Příklad: 0 krát ezávile a obě byla změřea jitá kotata µ. Výledky měřeí byly:,8,,4,9,,8,3,. Tyto výledky považujeme za číelé realizace áhodého výběru X,..., X 0 z rozložeí N(µ, σ ), kde parametry µ, σ ezáme. Najděte 95% empirický iterval polehlivoti pro µ, a to a) oboutraý, b) levotraý, c) pravotraý. 8 Řešeí: Vypočteme realizaci výběrového průměru: m,06, výběrového rozptylu: 0,0404 a výběrové měrodaté odchylky: 0,0. Riziko α je 0,05. Jde o ituaci popaou v bodě (b), kde využíváme pivotovou tatitiku T, která e řídí Studetovým rozložeím t(9). V tabulkách ajdeme kvatil t 0,975 (9),6 pro oboutraý iterval polehlivoti a kvatil t 0,95 (9),833 pro jedotraé itervaly polehlivoti. 0,0 ad a) d m - t -α/ (-),06 -,6,9 0 0,0 h m t -α/ (-),06,6,0 0,9 < µ <,0 pravděpodobotí apoň 0,95. 0,0 ad b) d m - t -α (-),06 -,833,94 0,94 < µ pravděpodobotí apoň 0,95. 0,0 ad c) h m t -α (-),06,833,8 0 µ <,8 pravděpodobotí apoň 0,95. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 6.7. Příklad: Podle údajů a obalu čokolády by její čitá hmotot měla být 5 g. Výrobce dotal ěkolik tížotí od kupujících, ve kterých tvrdili, že hmotot čokolád je ižší ež deklarovaých 5 g. Z tohoto důvodu odděleí kotroly áhodě vybralo 50 čokolád a zjitilo, že jejich průměrá hmotot je g a měrodatá odchylka 8,6 g. Za předpokladu, že hmotot čokolád e řídí ormálím rozložeím, můžeme a hladiě výzamoti 0,0 považovat tížoti kupujících za oprávěé? Řešeí: X,..., X 50 je áhodý výběr z N(µ, σ ). Tetujeme hypotézu H 0 : µ 5 proti levotraé alterativě H : µ < 5. Protože ezáme rozptyl σ, použijeme jedovýběrový t- tet. m c 5 Realizace tetového kritéria t 0, 4667. 8,6 Kritický obor: W ( t ( ), t ( 49) 50 ( (,, 4044, α 0, 99. Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, zamítáme ulovou hypotézu a hladiě výzamoti 0,0. Stížoti kupujících tedy lze považovat za oprávěé. 6.0. Příklad: Dvěma rozdílými laboratorími metodami e zjišťoval obah chemické látky v roztoku (v procetech). Bylo vybráo 5 vzorků a proměřeo oběma metodami. Výledky měřeí jou obažey v tabulce: čílo vzorku 3 4 5. metoda,3,9,,4,6. metoda,4,0,0,3,5 9 Za předpokladu, že data mají ormálí rozložeí, etrojte 90% empirický iterval polehlivoti pro rozdíl tředích hodot výledků obou metod. Řešeí: Přejdeme k rozdílovému áhodému výběru, jehož realizace jou: -0, -0, 0, 0, 0,. Vypočteme m 0,0, 0,0, 0,09545. Předpokládáme, že tato data pocházejí z ormálího rozložeí N(µ, σ ). Vypočteme meze 90% oboutraého itervalu polehlivoti pro µ při ezámém σ: 0,09545 0,09545 d m t α / ( ) 0,0 t 0, 95 ( 4) 0,0,38 0, 0844 5 5 0,09545 0,09545 h m t α / ( ) 0,0 t 0, 95 ( 4) 0,0,38 0, 44 5 5-0,0844 < µ < 0,44 pravděpodobotí apoň 0,9. 6.. Příklad: V áledující tabulce jou údaje o výooti doažeé áhodě vybraými firmami při ivetováí do meziárodího podikáí (veličia X) a do domácího podikáí (veličia Y): č.firmy 3 4 5 6 7 8 9 0 X 0 4 7 9 5 9 7 5 Y 4 5 3 6 0 3 7 9 9 (Výoot je vyjádřea v procetech a předtavuje podíl a ziku vložeých ivetic za rok.) ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek Za předpokladu, že data pocházejí z dvourozměrého ormálího rozložeí, a hladiě výzamoti 0, tetujte hypotézu, že eexituje rozdíl mezi tředí hodotou výooti ivetic do meziárodího a zahraičího podikáí proti oboutraé alterativě. Tetováí proveďte a) pomocí itervalu polehlivoti b) pomocí kritického oboru. (Pro úporu čau máte uvedey realizace výběrového průměru m, 3 a výběrového rozptylu 4, 78 rozdílového áhodého výběru Z i X i Y i, i,,. Řešeí: Tetujeme H 0 : µ 0 proti H : µ 0 ad a) 90% iterval polehlivoti pro tředí hodotu µ při ezámém rozptylu σ má meze: d m t, 95 4,78 ( ),3,7959, 4677 0 4,78 h m t 0, 95 ( ),3,7959 0, 989 Protože čílo c 0 eleží v itervalu (-,4677; -0,989), H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,. ad b) m c,3 Vypočítáme realizaci tetové tatitiky t 0, 085 4,78 Staovíme kritický obor, t ( ) t ( ), ) (,,7959,7959, ( ) W 0,95 0, 95 Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,. 0 7. Parametrické úlohy o dvou ezávilých áhodých výběrech z ormálích rozložeí 7.3. Věta: Vzorce pro meze 00(-α)% empirických itervalů polehlivoti pro parametrické fukce µ - µ a σ / σ a) Iterval polehlivoti pro µ - µ, když σ, σ záme b) Iterval polehlivoti pro µ - µ, když σ, σ ezáme, ale víme, že jou hodé c) Iterval polehlivoti pro polečý ezámý rozptyl σ d) Iterval polehlivoti pro podíl rozptylů σ / σ Upozorěí: Neí-li v 7.3. (b) plě předpoklad o hodě rozptylů, lze etrojit apoň přibližý 00(-α)% iterval polehlivoti pro µ - µ. V tomto případě má tatitika T ( / / ) přibližě rozložeí t( ν ), kde počet tupňů voloti ν ( / ) ( / ) celé čílo, použijeme v tabulkách kvatilů Studetova rozložeí lieárí iterpolaci.. Neí-li ν ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 7.4. Příklad: Ve dvou ádržích e zkoumal obah chlóru (v g/l). Z prví ádrže bylo odebráo 5 vzorků, z druhé ádrže 0 vzorků. Byly vypočtey realizace výběrových průměrů a rozptylů: m 34,48, m 35,59,,748,,7. Hodoty zjištěé z odebraých vzorků považujeme za realizace dvou ezávilých áhodých výběrů z rozložeí N(µ, σ ) a N(µ, σ ). Setrojte 95% empirický iterval polehlivoti pro rozdíl tředích hodot µ - µ. Řešeí: Úloha vede a vzorec 7.3. (b). Vypočteme vážeý průměr výběrových rozptylů a ajdeme odpovídající kvatily Studetova rozložeí: ( ) ( ) 4,748 9,7 *, 7384, t 0,975 (33),035. 33 Doadíme do vzorců pro dolí a horí mez itervalu polehlivoti: d m m * t -α/ ( -) 34,48 35,59 -,7384, 5 0 035 -,4 h m m * t -α/ ( -) 34,48 35,59,7384, 5 0 035-0,06 Zjitili jme, že -,4 g/l < µ - µ < -0,06 g/l pravděpodobotí apoň 0,95. 7.5. Příklad: V příkladu 7.4. yí předpokládáme, že daé dva áhodé výběry pocházejí z rozložeí N(µ, σ ) a N(µ, σ ). Setrojte 95% empirický iterval polehlivoti pro podíl rozptylů. Řešeí: Úloha vede a vzorec 7.3. (d). /,748 /,7,748 /,7 d 0, 8 F (, ) F (4,9) 3,64 -α/ 0,975 /,748 /,7,748 /,7,748 /,7 h, 76 F (, ) F (4,9) / F (9,4) /,707 α/ σ Dotáváme, že 0,8 < σ 0,05 0,975 <,76 pravděpodobotí apoň 0,95. 7.7. Příklad: V retauraci "U bílého koíčka" měřili ve 0 případech ča obluhy zákazíka. Výledky v miutách: 6, 8,, 4, 7, 6, 0, 6, 9, 8, 5,, 3, 0, 9, 8, 7,, 0, 5. V retauraci "Zlatý lev" bylo daé pozorováí ukutečěo v 5 případech těmito výledky: 9,, 0, 7, 6, 4, 8, 3, 5, 5, 8, 5, 6, 8,7. Za předpokladu, že uvedeé hodoty pocházejí ze dvou ormálích rozložeí, a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že tředí hodoty doby obluhy jou v obou retauracích tejé. Řešeí: Na hladiě výzamoti 0,05 tetujeme ulovou hypotézu H 0 : µ - µ 0 proti oboutraé alterativě H : µ µ 0. Je to úloha a dvouvýběrový t-tet. Před provedeím tohoto tetu je však uté pomocí F-tetu ověřit hodu rozptylů. Na hladiě výzamoti 0,05 tedy ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek tetujeme H 0 : σ σ proti H : σ σ. Nejprve vypočteme m 8,5, m 8,3, 6,307, ( ) ( ) 9 6,307 4 9,4 9,4, * 7, 63. 33 6,307 Podle 7.6. (c) vypočteme realizaci tetové tatitiky: t 0 0, 670. 9,4 Staovíme kritický obor: W 0,F, F,, 0,F 9,4 F 9,4, ( ) / ( ) ) 0,05( ) 0,95( ) ) ( 4,9) F ( 9,4), ) 0,/,649,8607, ) 0;0,3778,8607, ), ) α / α 0,/ F 0,95 0,95 Protože e tetová tatitika erealizuje v kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Rozptyly tedy můžeme považovat za hodé. Nyí e vrátíme k dvouvýběrovému t-tetu. Podle 7.6. (b) vypočteme realizaci tetové tatitiky: m m c 8,5 8,3 t 0 0,4. * 7,63 0 5 Staovíme kritický obor:, t ( α / ( ) t α / ( ), ), t 0,975 ( 33) t 0, ( 33 ), ) (,,035,035, ) W 975 ( Protože tetová tatitika e erealizuje v kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 8. Parametrické úlohy jedom áhodém výběru a dvou ezávilých áhodých výběrech z alterativích rozložeí 8.3. Příklad: Náhodě bylo vybráo 00 oob a zjištěo, že 34 z ich používá zubí kartáček zahraičí výroby. Najděte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro pravděpodobot, že áhodě vybraá ooba používá zubí kartáček zahraičí výroby. Řešeí: Zavedeme áhodé veličiy X,..., X 00, přičemž X i, když i-tá ooba používá zahraičí zubí kartáček a X i 0 jiak, i,..., 00. Tyto áhodé veličiy tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). 00, m 34/00, α 0,05, u -α/ u 0,975,96. Ověřeí podmíky ϑ (- ϑ ) > 9: parametr ϑ ezáme, muíme ho ahradit výběrovým průměrem. Pak 00.0,34.0,66,44 > 9. 0,34( 0,34) 0,34( 0,34) d 0,34,96 0,47, h 0,34,96 0,438. 00 00 S pravděpodobotí přibližě 0,95 tedy 0,47 < ϑ < 0,438. 8.5. Příklad: Pravděpodobot vyrobeí zmetku při výrobě určité oučátky čií ϑ 0,0. Bylo áhodě vybráo 000 výrobků a zjitilo e, že mezi imi je 6 zmetků. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : ϑ 0,0 proti oboutraé alterativě H : ϑ 0,0. 3 Řešeí: Ověřeí podmíky ϑ (- ϑ ) > 9: 000.0,0.0,99 9,9 > 9. 0,06 0,0 Realizace tetového kritéria: t 0, 907. 0,0 0,99 000 Kritický obor: W (, u 0,975 u 0, 975, ) (,96,96, ),. Protože,907 W, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 8.8. Příklad: Maagemet upermarketu vyhláil týde lev a ledoval, zda toto vyhlášeí má vliv a podíl větších ákupů (ad 500 Kč). Na základě áhodého výběru 00 zákazíků v týdu bez lev bylo zjištěo 97 velkých ákupů, zatímco v týdu e levou z 300 áhodě vybraých zákazíků učiilo velký ákup 6 zákazíků. Setrojte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro rozdíl pravděpodobotí ukutečěí většího ákupu v týdu e levou a v týdu bez levy. Řešeí: Zavedeme áhodou veličiu X i, která bude abývat hodoty, když v týdu bez levy i-tý áhodě vybraý zákazík ukutečí větší ákup a hodoty 0 jiak, i,, 00. Náhodé veličiy X,,, X,00 tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). Dále zavedeme áhodou veličiu X i, která bude abývat hodoty, když v týdu e levou i-tý áhodě ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek vybraý zákazík ukutečí větší ákup a hodoty 0 jiak, i,, 300. Náhodé veličiy X,,, X,300 tvoří áhodý výběr z rozložeí A( ϑ ). 00, 300, m 97/00, m 6/300. Ověřeí podmíek ϑ (- ϑ ) > 9 a ϑ (- ϑ ) > 9: Parametry ϑ a ϑ ezáme, ahradíme je odhady m a m. 97.(-97/00) 49,955 > 9, 6.(-6/300) 74,5 > 9. Meze 00(-α)% aymptotického empirického itervalu polehlivoti pro parametrickou fukci ϑ ϑ jou: m( m) m ( m ) d m m u α / 97 00 h m 6 300 m 97 00 ( 00 ) ( 300 m( m) m ( m ) u 97 00 6 300 6 300 ),96 0,443 97 97 6 6 97 6 ( ) ( ) 00 00 300 300,96 0,0343 00 300 00 300 Zjitili jme tedy, že pravděpodobotí přibližě 0,95 0,443 < ϑ ϑ < 0,0343. α / 8.. Příklad: Pro údaje z příkladu 8.8. tetujte a aymptotické hladiě výzamoti 0,05 hypotézu, že týde e levami ezvýší pravděpodobot ukutečěí většího ákupu. Řešeí: Tetujeme hypotézu ϑ ϑ 0 proti levotraé alterativě H : ϑ ϑ < 0 a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 00, 300, m 97/00, m 6/300, m * (97 6)/500 0,58. Podmíky dobré aproximace byly ověřey v příkladu 8.8. Tetováí pomocí itervalu polehlivoti: Pro levotraou alterativu používáme pravotraý iterval polehlivoti: m( m) m ( m ) h m m u α 97 00 6 300 97 00 ( 97 00 ) 6 300 ( 6 300 ),645 0,0 00 300 Protože čílo c 0 je obažeo v itervalu ( ;0, 0 hladiě výzamoti 0,05. Tetováí pomocí kritického oboru: Realizace tetového kritéria: m m t 0 m m 0,58 * 6 300 ( )( ) ( 0,58)( ) * 97 00 00 300, H 0 ezamítáme a aymptotické,058. Kritický obor je (, u (, u (,, 645 W α 0, 95. Protože tetové kritérium epatří do kritického oboru, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. Tetováí pomocí p-hodoty: Pro levotraou alterativu e p-hodota počítá podle vzorce p P(T 0 t 0 ): p P( T0,058) Φ(,058) Φ(,058) 0,886 0, 39 Protože p-hodota je větší ež 0,05, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 4 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 9. Aalýza rozptylu jedoduchého tříděí 9.6. Příklad: U čtyř odrůd brambor (ozačeých ymboly A, B, C, D) e zjišťovala celková hmotot brambor vyrotlých vždy z jedoho tru. Výledky (v kg): odrůda hmotot A 0,9 0,8 0,6 0,9 B,3,0,3 C,3,5,6,,5 D,,,0 Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že tředí hodota hmototi tru brambor ezávií a odrůdě. Zamítete-li ulovou hypotézu, zjitěte, které dvojice odrůd e liší a hladiě výzamoti 0,05. Řešeí: Data považujeme za realizace čtyř ezávilých áhodých výběrů ze čtyř ormálích rozložeí e tejým rozptylem. Tetujeme hypotézu, že všechy čtyři tředí hodoty jou tejé. 4, 3, 3 5, 4 3, 5, m. 0,8, m.,, m 3.,4, m 4.,, m..,4, 0,0, 0,03, 3 0,04, 4 0,0, ( ) ( ) ( 3 ) 3 ( 4 ) 4 * 4 3 0,0 0,03 4 0,04 0,0 3 0,07 0 3 SE ( 4) * 0, 3, f E 4 0 S m m m m m m m m A (... ) (... ) 3 ( 3... ) 4 ( 4... ) ( 0,8,4) 3 (,,4) 5 (,4,4) 3 (,,4) 0,86, f r 3 4 S T S A S E 0,86 0,3,6, f T 4 SA / f A 0,86 / 3 Tetová tatitika: FA 9, 97 S / f 0,3/ Kritický obor: F ( 3, ), ) 3,59; ) E E W 0, 95. Protože tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, H 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. A 5 Výledky zapíšeme do tabulky ANOVA: Zdroj variability Součet čtverců Stupě voloti podíl F A kupiy S A 0,86 f A 3 S A /3 0,7 S S reziduálí S E 0,3 f E S E / 0,077 - celkový S T,6 f T 4 - - A E f f A E 9,97 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek Nyí pomocí Scheffého metody zjitíme, které dvojice odrůd e liší a hladiě výzamoti 0,05. rovot tředích hodot µ k a µ l zamíteme a hladiě výzamoti α, když M k. M l. S* k l ( r ) F ( r, r) α. Srovávaé odrůdy Rozdíly m k. m l. Pravá traa vzorce A, B 0,4 0,4 A, C 0,6 0,36 A, D 0,3 0,4 B, C 0, 0,40 B, D 0, 0,44 C, D 0,3 0,40 Na hladiě výzamoti 0,05 e liší odrůdy A a C. 0. Neparametrické tety o mediáech 0.3. Jedovýběrový zamékový tet a jeho aymptotická variata 0.4. Příklad: U 0 áhodě vybraých vzorků bezíu byly zjištěy áledující hodoty oktaového číla: 98, 96,8 96,3 99,8 96,9 98,6 95,6 97, 97,7 98,0. Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že mediá oktaového číla je 98 proti oboutraé alterativě. 6 Řešeí: rozdíly x i 98: 0, -, -,7,8 -, 0,6 -,4-0,9-0,3 0,0 S Z 3, eulových rozdílů je 9. Ve tatitických tabulkách ajdeme pro 9 a α 0,05 kritické hodoty k, k 8. Protože kritický obor W 0, 8, 9 eobahuje hodotu 3, emůžeme H 0 zamítout a hladiě výzamoti 0,05. 0.5. Párový zamékový tet 0.6. Příklad: U omi oob byl změře ytolický kreví tlak před pokuem a po ěm. č. ooby 3 4 5 6 7 8 tlak před 30 85 6 36 47 8 38 39 tlak po 39 90 75 35 55 75 58 49 Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že poku eovliví ytolický kreví tlak Řešeí: rozdíly x i y i : -9-5 -3-8 6-30 -0 Tetová tatitika S Z.Ve tatitických tabulkách ajdeme pro 8 a α 0,05 kritické hodoty k 0, k 8. Protože kritický obor W 0 8 eobahuje hodotu, emůžeme H0 zamítout a hladiě výzamoti 0,05. Zameá to, že rizikem omylu ejvýše 0,05 je zvýšeí krevího tlaku tejě pravvděpodobé jako jeho pokle. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek 0.7. Jedovýběrový Wilcoxoův tet a jeho aymptotická variata 0.8. Příklad: Pro zadáí příkladu 0.4. proveďte jedovýběrový Wilcoxoův tet. Řešeí: Abolutí hodoty rozdílů x i 98 etřídíme vzetupě podle velikoti (přitom vyecháme ulový rozdíl a kladé rozdíly začíme tučě): ab (x i 98) 0, 0,3 0,6 0,9,,,7,8,4 pořadí R i 3 4 5 6 7 8 9 Součet pořadí pře kladé hodoty rozdílů: S W Součet pořadí pře záporé hodoty rozdílů: S W - 33 Tetová tatitika mi(,33), tabelovaá kritická hodota pro α 0,05 a a 9 je 5. Protože > 5, H 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. 0.9. Párový Wilcoxoův tet 0.0. Příklad: Pro data z příkladu 0.6. proveďte párový Wilcoxoův tet. Řešeí: Abolutí hodoty rozdílů x i y i etřídíme vzetupě podle velikoti (kladé rozdíly začíme tučě): ab (x i y i ) 5 6 8 9 0 3 0 pořadí R i 3 4 5 6 7 8 Součet pořadí pře kladé hodoty rozdílů: S W 4 Součet pořadí pře záporé hodoty rozdílů: S W - 3 Tetová tatitika mi(4,3) 4, tabelovaá kritická hodota pro α 0,05 a 8 je 3. Protože 4 > 3, H 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. 7 0.. Dvouvýběrový Wilcoxoův tet a a jeho aymptotická variata 0.. Příklad: Výrobce určitého výrobku e má rozhodout mezi dvěma dodavateli polotovarů vyrábějících je růzými techologiemi. Rozhodující je procetí obah určité látky.. techologie:,5,57,7,34,68. techologie:,75,67,56,66,7,79,64,55 Na hladiě výzamoti 0,05 pouďte pomocí dvouvýběrového Wilcoxoova tetu, zda je oprávěý předpoklad, že obě techologie pokytují tejé proceto účié látky. Řešeí: up.h.,34,5,55,56,57,64,66,67,68,7,7,75,79 pořadí 3 4 5 6 7 8 9 0 3 T 5 9 0 7, T 3 4 6 7 8 3 64 U 5.8 5.6/ - 7 8, U 5.8 8.9/ - 64 Kritická hodota pro α 0,05, mi(5,8) 5, max(5,8) 8 je 6. Protože mi(8,) >, emůžeme a hladiě výzamoti 0,05 zamítout hypotézu, že obě techologie pokytují tejé proceto účié látky. 0.3. Krukalův Walliův tet 0.4. Příklad: V roce 980 byly zíkáy tři ezávilé výběry obahující údaje o průměrých ročích příjmech (v tiících dolarů) čtyř ociálích kupi ve třech růzých oblatech USA. jiží oblat: 6 0 5 9 pacifická oblat: 3 7 3 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek everovýchodí oblat: 7 4 8 5 Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že příjmy v těchto oblatech e eliší. Zamítete-li ulovou hypotézu, vyšetřete, které dvojice výběrů e od ebe liší a hladiě výzamoti 0,05. Řešeí: Up.hodoty 6 7 0 3 4 5 7 5 8 9 3 Pořadí.výběru 3 7 Pořadí.výběru 4 5 8 Pořadí 3.výběru 6 9 0 9 7 T, T 9, T 3 7, Q 3 3 0, 5 3 4 4 4, χ 0,95 () 5,99. Protože Q < 5,99, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. Rozdíly mezi průměrými ročími příjmy v uvedeých třech oblatech e eprokázaly. 0.5. Mediáový tet 0.6. Příklad: Pro data z příkladu 0.4. proveďte mediáový tet. Řešeí: Mediá všech hodot je 4,5. V. výběru jou dvě hodoty větší ebo rovy mediáu, ve. výběru hodoty, ve 3. výběru hodoty. QM 4 ( ) 0 4, χ 0,95 () 5,99. Protože Q M < 5,99, H 0 ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 8. Tetováí ezáviloti omiálích a ordiálích áhodých veliči.6. Příklad: V ociologickém průzkumu byl z uchazečů o tudium a vyokých školách poříze áhodý výběr rozahu 360. Mimo jié e zjišťovala ociálí kupia, ze které uchazeč pochází a typ školy, a kterou e hláí. Výledky jou zazameáy v kotigečí tabulce: Typ školy Sociálí kupia j. I II III IV uiverzití 50 30 0 50 40 techický 30 50 0 0 0 ekoomický 0 0 30 50 0.k 90 00 60 0 360 Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu o ezáviloti typu školy a ociálí kupiy. Vypočtěte Cramérův koeficiet. Řešeí: Nejprve vypočteme všech teoretických četotí:.. 40 90.. 40 00..3 35, 38,9, 360 360.. 0 90.. 0 00. 7,5, 30,6, 360 360 4 40 60.. 3,3, 360 0 60. 8,3, 360.3. 4 40 0 4,8, 360 0 0 33,6, 360 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek.. 0 90.. 0 00..3 0 60.. 4 0 0 7,5, 30,6, 8,3, 33,6. 360 360 360 360 Vidíme, že podmíky dobré aproximace jou plěy, všechy teoretické četoti převyšují čílo 5. Nyí doadíme do vzorce pro tetovou tatitiku K: ( 50 35) ( 30 38,9) ( 50 33,6) K Κ 76,84, r 3, 4, χ 0,95(6),6. Protože 35 38,9 33,6 K,6, hypotézu o ezáviloti typu školy a ociálí kupiy zamítáme a aymptotické 76,4 hladiě výzamoti 0,05. Cramérův koeficiet: V 0, 367. Hodota Cramérova 360 koeficietu vědčí o tom, že mezi veličiami X a Y exituje tředě ilá závilot..0. Příklad: U 35 uchazečů o tudium a jitou fakultu byl hodoce dojem, jakým zapůobili a komii u útí přijímací zkoušky. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že přijetí a fakultu ezávií a dojmu u přijímací zkoušky. přijetí dojem j. dobrý špatý ao 7 8 e 39 58 97.k 56 69 5 Řešeí: Ověříme plěí podmíek dobré aproximace: a b 8 > 5, c d 97 > (a c)/3 56/3 8,66 v pořádku Doadíme do zjedodušeého vzorce pro tetovou tatitiku K: ( ad bc) 5 ( 7 58 39) K 3,6953 a b c d a c b d 8 97 56 69 ( )( )( )( ) Kritický obor: W χ 0, 95 ( ), ) 3,84, ). Protože tetová tatitika e erealizuje k kritickém oboru, ulovou hypotézu ezamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 9.3. Příklad: Pro údaje z příkladu.0. vypočtěte a iterpretujte podíl šací, etrojte aymptotický iterval polehlivoti pro podíl šací a jeho pomocí tetujte hypotézu, že přijetí a fakultu ezávií a dojmu u přijímací zkoušky. Řešeí: ad 7 58 OR,98. Podíl šací ám říká, že uchazeč, který zapůobil a komii bc 39 dobrým dojmem, má ai,3 x větší šaci a přijetí ež uchazeč, který zapůobil špatým dojmem. Provedeme další pomocé výpočty: l OR 0,83, 0,439, u 0,975,96 a b c d 7 39 58 Doadíme do vzorců pro meze aymptotického itervalu polehlivoti pro podíl šací: ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek l d l OR a b c u d α / 0,83 0,439,96 0,08 l h l OR u α / 0,83 0,439,96,69 a b c d Po odlogaritmováí dotaeme: 0,08,69 d e 0,97, h e 5,433 Protože iterval (0,97; 5,433) obahuje čílo, a aymptotické hladiě výzamoti 0,05 ezamítáme hypotézu o ezáviloti dojmu u přijímací zkoušky a přijetí a fakultu..8. Příklad: Dva lékaři hodotili tav edmi pacietů po témž chirurgickém zákroku. Potupovali tak, že ejvyšší pořadí dotal ejtěžší případ. Čílo pacieta 3 4 5 6 7 Hodoceí. lékaře 4 6 5 3 7 Hodoceí. lékaře 4 5 6 3 7 Vypočtěte Spearmaův koeficiet r S a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že hodoceí obou lékařů jou pořadově ezávilá. Řešeí: 6 [ ] 0, 857 ( ) ( 4 4) ( ) ( 6 5) ( 5 6) ( 3 ) ( 3) ( 7 7) 7 rs 7 Kritická hodota: r S,0,95 (7) 0,745. Protože 0,857 0,745, ulovou hypotézu zamítáme a hladiě výzamoti 0,05.. 0. Úvod do korelačí aalýzy.8. Příklad: Máme k dipozici výledky tetů ze dvou předmětů zjištěé u omi áhodě vybraých tudetů určitého oboru. Čílo tudeta 3 4 5 6 7 8 Počet bodů v. tetu 80 50 36 58 4 60 56 68 Počet bodů ve. tetu 65 60 35 39 48 44 48 6 Na hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že výledky obou tetů ejou kladě korelovaé. Řešeí: Nejprve e muíme převědčit, že uvedeé výledky lze považovat za realizace áhodého výběru z dvourozměrého ormálího rozložeí. Lze tak učiit orietačě pomocí dvourozměrého tečkového diagramu. Tečky by měly vytvořit elipovitý obrazec, protože vrtevice hutoty dvourozměrého ormálího rozložeí jou elipy. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Y Y Příklady z předášek 00 80 60 40 0 0 0 0 40 60 80 00 0 Obrázek vědčí o tom, že předpoklad dvourozměré ormality je oprávěý a že mezi počty bodů z. a. tetu bude exitovat určitý tupeň přímé lieárí záviloti. Tetujeme H 0 : ρ 0 proti pravotraé alterativě H : ρ > 0. r 0,6668 8 Výpočtem zjitíme: r 0,6668, t, 97. V tabulkách r 0,6668 ajdeme t 0,95 (6),943. Kritický obor: W,943; ). Protože t W, hypotézu o eexiteci kladé korelace výledků z. a. tetu zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. X.. Příklad: Pracovík peroálího odděleí určité firmy zkoumá, zda exituje vztah mezi počtem dí abece za rok (veličia Y) a věkem pracovíka (veličia X). Proto áhodě vybral údaje o 0 pracovících. Č.prac. 3 4 5 6 7 8 9 0 X 7 6 37 3 46 58 9 36 64 40 Y 5 6 0 8 9 7 4 5 8 Za předpokladu, že uvedeé údaje tvoří číelé realizace áhodého výběru rozahu 0 z dvourozměrého ormálího rozložeí, vypočtěte výběrový korelačí koeficiet a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že X a Y jou ezávilé áhodé veličiy. Setrojte 95% aymptotický iterval polehlivoti pro kutečý korelačí koeficiet ρ. Řešeí: Předpoklad o dvourozměré ormalitě dat ověříme orietačě pomocí dvourozměrého tečkového diagramu. 30 5 0 5 0 5 0-5 -0-0 0 0 40 60 80 00 Vzhled diagramu vědčí o tom, že předpoklad je oprávěý. Tetujeme H 0 : ρ 0 proti H : ρ 0. Vypočítáme r -0,935, tedy mezi věkem pracovíka a počtem dů pracoví echopoti exituje ilá epřímá lieárí závilot. Realizace tetové W,,306,306,. tatitiky: t -7,3053, kvatil t 0,975 (8),306, kritický obor ( ) Jelikož X t W, zamítáme a hladiě výzamoti 0,05 hypotézu o ezáviloti veliči X a Y. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek r 0,935 Vypočítáme z l l, 677. Meze 95% aymptotického itervalu r 0,935 polehlivoti pro ρ jou přibližě 0,95.,96 tgh,677 ±, tedy -0,984 < ρ < -0,7336 pravděpodobotí 7.3. Příklad: U 600 vzorků rudy byl taove obah železa dvěma aalytickými metodami výběrovým koeficietem korelace 0,85. V literatuře e uvádí, že koeficiet korelace těchto dvou metod má být 0,9. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu H 0 : ρ 0,9 proti H : ρ 0,9. Řešeí: 0,85 0,9 0,9 z l,56, u,56 l 600 3 5,976, u 0,85 0,9 ( 600 ) 0,975 W,,96,96,. Protože u W, H 0 zamítáme a aymptotické hladiě,96, ( ) výzamoti 0,05..5. Příklad: Lékařký výzkum e zabýval ledováím kocetrací látek A a B v moči pacietů trpících určitou ledviovou chorobou. U 00 zdravých jediců čiil výběrový korelačí koeficiet mezi kocetracemi obou látek 0,65 a u 4 oob trpících zmíěou chorobou byl 0,37. Na aymptotické hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že korelačí koeficiety v obou kupiách e eliší. Řešeí: 0,65 * 0,37 0,7753 0,3884 z l 0,7753, z l 0,3884, u, 94, u 0,975 0,65 0,37,96, (,,96,96, ) 00 3 4 3 W. Protože u W, H 0 zamítáme a aymptotické hladiě výzamoti 0,05. 3. Jedoduchá lieárí regree 3.8. Příklad: U šeti obchodíků byla zjišťováa poptávka po určitém druhu zboží loi (veličia X - v kuech) a leto (veličia Y - v kuech). čílo. obchodíka 3 4 5 6 poptávka loi (X) 0 60 70 00 50 60 poptávka leto (Y) 50 60 60 0 30 30 a) Orietačě ověřte předpoklad, že data pocházejí z dvourozměrého ormálího rozložeí. Vypočtěte výběrový koeficiet korelace mezi X a Y, iterpretujte jeho hodotu a a hladiě výzamoti 0,05 tetujte hypotézu, že X a Y jou ezávilé áhodé veličiy. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Y Příklady z předášek b) Předpokládejte, že závilot letoší poptávky a loňké lze vytihout regreí přímkou. Setavte regreí matici, vypočtěte odhady regreích parametrů a apište rovici regreí přímky. Iterpretujte parametry regreí přímky. c) Najděte odhad rozptylu, vypočtěte idex determiace a iterpretujte ho. d) Najděte 95% itervaly polehlivoti pro regreí parametry. e) Na hladiě výzamoti 0,05 proveďte celkový F-tet. f) Na hladiě výzamoti 0,05 proveďte dílčí t-tety. g) Vypočtěte regreí odhad letoší poptávky při loňké poptávce 0 kuů. h) Nakrelete dvourozměrý tečkový diagram proložeou regreí přímkou. Řešeí: ad a) Vytvoříme dvourozměrý tečkový diagram proložeou 95% elipou kotatí hutoty pravděpodoboti: 600 400 00 0-00 3-400 -3 00-00 -00 0 00 00 300 400 500 600 X Ze vzhledu diagramu je patré, že předpoklad dvourozměré ormality je oprávěý a že mezi loňkou a letoší poptávkou exituje vcelku ilá přímá lieárí závilot. r 0,97 6 Výpočtem zjitíme: r 0,97, t 8, 695. Kritický obor: r 0,97 (, t α / ( ) t α / ( ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Tetová tatitika e realizuje v kritickém oboru, hypotézu o ezáviloti veliči X a Y tedy zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. 0 60 70 ' ' ad b) Setavíme regreí matici X Podle vzorce b ( X X) X y zíkáme odhady 00 50 60 6 660 regreích parametrů. Nejprve vypočítáme matici X X a k í iverzí 660 09000 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek matici (X X) - 0,499084 0,0030 840. Dále zíkáme ouči X y a 0,0030 0,00007 38500 0,499084 0,0030 840 0,6868 akoec b.. 0,0030 0,00007 38500,665 Regreí přímka má tedy rovici y 0,6868,665 x. Zameá to, že při ulové loňké poptávce by letoší poptávka čiila 0,6868 kuů a při zvýšeí loňké poptávky o 0 kuů by e letoší poptávka zvedla o,665 kuů. ad c) Nyí vypočteme vektor regreích odhadů proměé Y (vektor predikce): ŷ Xb (6,0 76,68 89,34 7,34 90,66 39,97). Staovíme vektor reziduí: e y yˆ (3,98-6,68-9,34-7,34 39,34-9,97). Pomocí vektoru reziduí vypočteme reziduálí oučet čtverců: S E e e 345,. S 345, Odhad rozptylu: E 853, 78 p 6. Dále potřebujeme celkový oučet čtverců S T (y m ) (y m ), kde m je loupcový vektor typu x ložeý z průměru m závile proměé veličiy Y. V ašem případě je m 40. Po doazeí do vzorce pro celkový oučet čtverců tedy dotaeme S T 6800. (Celkový oučet čtverců lze zíkat také tak, že výběrový rozptyl veličiy Y vyáobíme -: S T 5.360 6800.) Regreí oučet čtverců pak je: S R S T S E 6800 345, 58348,89. SR 58348,89 Idex determiace: ID 0, 944. ST 6800 Zameá to, že variabilita hodot závile proměé veličiy je z 94,4% vyvětlea regreí přímkou. (V případě regreí přímky platí ID r. V ašem případě bylo zjištěo, že r 0,97, tedy ID 0,9447.) 4 ad d) Vypočteme měrodaté chyby odhadů regreích parametrů b 0 a b. Přitom i uvědomíme, že v 00 0,499084, v 0,00007 v 853,78 0,499084 0,644, b 0 00 b v 853,78 0,00007 0,53. Staovíme meze 95% itervalů polehlivoti pro regreí parametry β 0 a β. K tomu louží vzorec b j ± t α / ( p ) b, j 0,. j 95% iterval polehlivoti pro β 0 : b t 4 0,6868,7764 0,644 56, ( ) b 63 ( 4) 0,6868,7764 0,644 58 d 0,975 0 h b 0 t 0,975 b 0 0 Zameá to, že -56,63 < β 0 < 58 pravděpodobotí apoň 0,95. 95% iterval polehlivoti pro β : b t 4,665,7764 0,53 0, d 0,975 h b t 0,975 b ( ) b 84 ( 4),665,7764 0,53, 69 Zameá to, že 0,84< β <,69 pravděpodobotí apoň 0,95. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek ad e) Provedeí celkového F-tetu: a hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 proti H : β 0. S / p 58348,89 / Tetová tatitika F R 68, 384 S /( p ) 345,/(6 ), E kritický obor: F ( p, p ), ) F (,4 ), ) 7,7086 ) W α 0, 95,. Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β (tj. měrice regreí přímky) zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Výledky tetováí výzamoti modelu jako celku zapíšeme do tabulky ANOVA: zdroj variab. oučet čtverců tupě voloti podíl tatitika F model S R 58348,89 p S R /p58348,89 68,384 reziduálí S E 345, -p- 4 S E /(-p-)853,78 - celkový S T 6800-5 - - ad f) Provedeí dílčích t-tetů: Na hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 0 proti H : β 0 0. b 0 0,6868 Tetová tatitika: t 0 0, 337, 0,644 kritický obor:, t b 0 ( α / ( p ) t α / ( p ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Protože e tetová tatitika erealizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β 0 (tj. pouutí regreí přímky) ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Ke tejému výledku dopějeme, podíváme-li e a 95% iterval polehlivoti pro β 0. Vypočítali jme, že -56,63 < β 0 < 58 pravděpodobotí apoň 0,95. Protože teto iterval obahuje 0, hypotézu H 0 : β 0 0 ezamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Na hladiě výzamoti α 0,05 tetujeme H 0 : β 0 proti H : β 0. b,665 Tetová tatitika: t 8, 7, 0,53 kritický obor:, t b ( α / ( p ) t α / ( p ), ) (, t 0,975 ( 4) t 0, ( 4), ) (,,7764,7764, ) W 975 Protože e tetová tatitika realizuje v kritickém oboru, hypotézu o evýzamoti regreího parametru β (tj. měrice regreí přímky) zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. Ke tejému výledku dopějeme, podíváme-li e a 95% iterval polehlivoti pro β. Vypočítali jme, že 0,84< β <,69 pravděpodobotí apoň 0,95. Protože teto iterval eobahuje 0, hypotézu H 0 : β 0 zamítáme a hladiě výzamoti 0,05. V případě modelu regreí přímky je dílčí t-tet pro parametr β ekvivaletí celkovým F- tetem... 5 ad g) Regreí odhad pro x 0 dotaeme pouhým doazeím do rovice regreí přímky: ŷ 0,6868,665 0 40. ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007
Příklady z předášek ad h) 350 300 50 00 Y 50 00 50 0 0 0 40 60 80 00 0 40 60 80 00 0 40 60 80 X 6 ESF MUNI, PMSTII, Jaro 007