5 Smithův diagram předchoí kapitole jsme se senámili s roložením napětí a proudu podél vedení. Poměr napětí a proudu přímé vlny v libovolném místě homogenního vedení, které je akončeno libovolnou impedancí, je roven vlnové impedanci daného vedení. Totéž platí pro poměr napětí a proudu vlny odražené. Poměr celkového napětí a celkového proudu vlny U() / I(), jež vniknou složením vln přímých a odražených, je roven impedanci, kterou bychom naměřili měřičem impedance na vstupu vedení dlouhého a atíženého akončovací impedancí (=0). Na ákladě vtahů pro celkové napětí a celkový proud můžeme pro impedanci výsledné vlny psát I U U0cosh I0sinh (5.) I cosh U 0 sinh 0 (5.) 0 0 I0sinh U 0 sinh U U cosh (5.3) I I cosh Připomeňme, že načí charakteristickou impedanci vedení, je komplexní konstanta šíření, U(0) je celkové napětí na akončovací impedanci a I(0) je celkový proud touto impedancí. Jelikož poměr celkového napětí U(0) a celkového proudu I(0) na konci vedení je roven atěžovací impedanci (0), můžeme vtah (5.3) přepsat do tvaru 0 U cosh sinh (5.4) I cosh sinh 0 tah (5.4) se podstatně jednoduší pro přenosová vedení konkrétní délky akončená konkrétní impedancí. 5. edení konkrétní délky Čtvrtvlnné vedení. Je-li délka vedení rovna čtvrtině délky vlny l = /4, bude pro beetrátové vedení ( = j) argument hyperbolických funkcí v (5.4) a vtah (5.4) přejde na l j l j j 4 l 0 (5.5) (5.6) Je-li atěžovací impedance rye reálná, naměříme i na vstupu čtvrtvlnného vedení rye reálnou impedanci. Půlvlnné vedení. Je-li délka vedení rovna polovině délky vlny l = /, pro beetrátové vedení ( = j) přejde vtah (5.4) na tvar l 0 (5.7) - -
Na vstupu půlvlnného vedení tedy naměříme atěžovací impedanci. 5. edení akončená konkrétní impedancí Připůsobené vedení. Impedančně připůsobené vedení je akončeno charakteristickou impedancí (0) =. Dosaením do (5.4) dojdeme ke vtahu (5.8) libovolném místě vedení, které je akončeno odporem, jehož hodnota odpovídá charakteristické impedanci R k =, se bude impedance vedení vždy rovnat impedanci charakteristické. edení na konci nakrátko. edení nakrátko je akončeno kratem R k = 0. Dosaením nulové akončovací impedance do vtahu (5.4) dostaneme tanh Pro vedení se anedbatelnými trátami přejde (5.9) na tvar (5.9) j tan (5.0) Na vstupu libovolně dlouhého beetrátového vedení akončeného kratem naměříme čistou reaktanci. Bude-li délka vedení kratší nežli čtvrtina vlnové délky, bude mít vstupní reaktance indukční povahu. Bude-li vedení dlouhé čtvrtinu vlnové délky, budou se vstupní svorky vedení chovat jako svorky ideálního paralelního reonančního obvodu. Při délce vedení mei /4 a / bude mít vstupní reaktance úseku vedení kapacitní charakter. stupní svorky vedení dlouhého přibližně polovinu vlnové délky se budou chovat stejně jako vstupní svorky sériového reonančního obvodu. Pro vedení delší než / se průběh impedance na vstupu vedení opakuje (vi obr. 5.). Má-li vedení nenulový útlum, bude mít vstupní impedance úseku vedení i reálnou složku. Ta bude dosahovat maximální hodnoty pro délku vedení, odpovídající stavu paralelní reonance, a hodnoty minimální pro stav reonance sériové. Co se týká reaktanční složky vstupní impedance, ta bude jak v paralelní tak v sériové reonanci nulová. edení na konci naprádno. Je-li vedení na konci ropojené, blíží se atěžovací impedance nekonečnu. Dosaením nekonečné impedance do (5.4) dostáváme 0 Pro beetrátové vedení přejde (5.) na tvar cosh lim 0 sinh 0 0 0 sinh lim 0 cosh 0 cotanh (5.) cotan j (5.) stupní impedance vedení na konci naprádno je opět čistě imaginární. Samotný průběh vstupní reaktance je stejný jako u vedení nakrátko, ovšem je celý posunutý o /4. To namená, že vedení kratší než /4 má na vstupních svorkách reaktanci kapacitního charakteru, následuje sériová reonance, atd. Nenulový útlum vedení má stejné důsledky jako u vedení akončeného kratem. - -
Obr. 5. Reaktance na vstupu úseku vedení na konci nakrátko (nahoře) a na konci naprádno (dole). 5.3 Smithův diagram Nyní se vraťme pět k vedení, akončenému obecnou impedancí (0). Abychom se vyhnuli nepříjemnému vtahu (5.4), půjdeme na výpočet vstupní impedance vedení oklikou. Nejprve spočítáme činitele odrau na konci vedení 0 0 0 kde (0) = (0)/ je normovaná atěžovací impedance. druhém kroku činitele odrau transformujeme na počátek vedení l 0exp lexp j l (5.3) (5.4) Následně e námého činitele odrau na vstupu vypočteme normovanou vstupní impedanci - 3 -
l l l (5.5) Nanačený postup si graficky náorněme ve fáorové rovině činitele odrau (obr. 5.). Jelikož modul činitele odrau nemůže být nikdy větší než jedna (amplituda odražené vlny nemůže být větší nežli amplituda vlny dopadající), bude se všechen děj odehrávat v uvnitř jednotkové kružnice. prvním kroku tedy do fáorové roviny akreslíme fáor činitele odrau na konci vedení (0). Nyní tento fáor otočíme o úhel l ve směru hodinových ručiček (ve vtahu 5.4 má fáový člen áporné naménko, a tudíž musíme fáorem otáčet v áporném směru). Tím dostáváme fái fáoru na vstupu vedení. Následuje výpočet modulu na vstupu vedení (l) = (0).exp(- l) a výpočet odpovídající impedance. Obr. 5. Otáčení fáoru činitele odrau při posuvu konce vedení na počátek. Obr. 5.3 Ocejchování obvodu jednotkové kružnice vdáleností od konce vedení /. Postup, kterým jsme se vyhnuli vtahu (5.4), se může dát v tuto chvíli pracnější, než přímý výpočet impedance dle (5.4). Pokusme se ho tedy efektivnit. Prvním krokem může být ocejchování jednotkové kružnice činitele odrau (obr. 5.3). Kružnici ocejchujeme tak, abychom nemuseli počítat fái činitele odrau l = 4l/, a poté ji pomocí úhloměru vynášet do grafu. Díky cejchování nám stačí určit poměr délky vedení k délce vlny l/ a pomocí kóty vyneseme fáor činitele odrau do fáorové roviny. Navíc jsme do obráku přidali kladný směr (šipka k átěži), kterým se budeme pohybovat při výpočtu atěžovací impedance e námé impedance vstupní, a směr áporný (šipka ke droji). Dále si všimněme vtahů (5.3) a (5.5). Ty nám říkají, že ke každému fáoru činitele odrau existuje právě jedna impedance a naopak. Díky této skutečnosti můžeme celou komplexní rovinu atěžovacích impedancí obrait dovnitř naší jednotkové kružnice. Reálné části normovaných impedancí leží na kružnicích, náorněných na obr. 5.4 vlevo: Kružnice nulového normovaného odporu r = 0 odpovídá jednotkové kružnici. Pokud totiž není vedení atíženo reistivním prvkem, veškerá energie přímé vlny se odráží pět ke droji a velikost činitele odrau je jednotková. Kružnice jednotkového normovaného odporu r = procháí středem fáorové roviny. tomto případě je činitel odrau nulový, což odpovídá impedančně připůsobené átěži k =. Pokud reálná část akončovací impedance roste, poloměr odpovídající kružnice se menšuje. Pro nekonečný atěžovací odpor (vedení je naprádno), kružnice přejde v reálný bod + (činitel odrau pro vedení naprádno má právě tuto hodnotu). - 4 -
Obr. 5.4 Kružnice konstantního normovaného odporu (vlevo), kružnice konstantní normované reaktance (vpravo). Imaginární části normovaných impedancí leží na kružnicích, náorněných na obr. 5.4 vpravo: Nekonečná hodnota normované reaktance (kladná či áporná) leží ve stejném bodě jako nekonečný odpor. Pokud hodnotu reaktance menšujeme, poloměr odpovídající kružnice se většuje. Kružnice áporných reaktancí leží pod reálnou osou, kružnice kladných reaktancí nad osou. Dospějí-li reaktance do nulové hodnoty (kladné reaktance se k nulové hodnotě blíží shora, áporné dola), odpovídající kružnice mají nekonečný poloměr a jejich obvod splyne s reálnou osou. Překrytím impedančních kružnic vnikne Smithův diagram. Jeho koulo spočívá v tom, že umožňuje transformovat impedanci konce vedení na jeho vstup, aniž bychom museli cokoli počítat. Stačí nám: Normovat atěžovací (vstupní) impedanci; ynést normovanou impedanci do diagramu, akreslit odpovídající fáor činitele odrau; Pomocí cejchování na obvodu diagramu pootočit fáor činitele odrau o l/ jednotek směrem ke droji (k átěži); Je-li vedení trátové, vynásobit modul činitele odrau činitelem exp(-j l); exp(+j l); Odečíst odpovídající normovanou vstupní (atěžovací) impedanci; Normovanou impedanci vynásobit charakteristickou impedancí vedení. Uvedený postup použijeme v následujícím příkladu: Na vstupních svorkách vedení s charakteristickou impedancí = 80, činitelem krácení = 0,7, měrným útlumem = 0,05m - a délkou l = m byla naměřena na kmitočtu f = 500MH na vstupních svorkách impedance (l) = (00 j60). Jakou impedancí je vedení atíženo?. Normujeme vstupní impedanci (l) = (l)/ = (00 j60) / 80 =,5 j0,75.. ynesení normované impedance do diagramu je nanačeno na obr. 5.5. diagramu můžeme rovnou odečíst hodnotu činitele odrau na vstupu vedení; v našem případě to je (l) = 0,33 exp(j53). - 5 -
3. Délka vlny na našem vedení je = c/f = 0,7 0 8 / 50 8 = 0,4m. Poměr vlnové délky k délce vedení nám vycháí l/ = 4,76. Jelikož poměr l/ = 0.5 namená otočení fáoru o 360, a tedy jeho návrat do výchoí poice, má pro nás výnam poue bytek dělení našeho poměru l/ hodnotou 0,5. Fáor tedy budeme otáčet o (l/) mod 0,5 = = 0,6. Protože chceme na ákladě nalosti vstupní impedance vypočíst impedanci atěžovací, budeme fáorem otáčet o hodnotu 0,6 směrem k átěži. Na obvodovém cejchování Smithova diagramu naleneme na stupnici "směrem k átěži" u (l) kótu 0,77. Konci vedení bude odpovídat kóta 0,77 + 0,60 = 0,437. 4. Modul činitele odrau se směrem k átěži většuje, a tudíž (0) = (l) exp(+ l). našem případě (0) = 0,3 exp(+0,05) = 0,40. Fáor činitele odrau na konci vedení je opět nakreslen v obr. 5.5. 5. Fáoru (0) odpovídá normovaná impedance (0) = 0,48 + j0,3. 6. Hodnota absolutní atěžovací impedance je (0) = (0) = (38,4 + j6,4). Obr. 5.5 Transformace impedance počátku na konec vedení. Obr. 5.6 Určení poměru stojatých vln a normované admitance. Kromě transformace impedance na vedení a přepočtu impedance na odpovídající činitel odrau můžeme Smithova diagramu využít i k výpočtu dalších veličin: Poměr stojatých vln je sváán s modulem činitele odrau vtahem PS PS Porovnejme tento vtah se vtahem mei činitelem odrau a normovanou impedancí (5.6) (5.7) Jejich formální shoda je řejmá. Jediný rodíl spočívá v absolutní hodnotě na levé straně (5.6). To namená, že se ve Smithově diagramu omeujeme poue na kladnou část reálné osy. Chceme-li tedy ve Smithově diagramu určit poměr stojatých vln odpovídající danému činiteli odrau či dané impedanci, přeneseme velikost odpovídajícího fáoru do kladné reálné osy a e stupnice pro normované odpory čteme PS. Levá strana (5.6) bude totiž kladná reálná, právě když () = r(). Určení PS je nanačeno na obr 5.6. Normovaná admitance je převrácenou hodnotou normované impedance y Y Y Y (5.8) - 6 -
Nyní si vyjádřeme činitele odrau pomocí normovaných admitancí tak, že čitatele i jmenovatele (5.7) vydělíme členem () y y (5.9) tah (5.9) se od (5.7) liší poue ve naménku. áporné naménko činitele odrau nenamená nic jiného než měnu fáe o 80. měna fáe činitele odrau o 80 se projeví překlopením fáoru podle počátku fáorové roviny. ýpočet admitance je ilustrován obr. 5.6. Poloha kmiten a ulů. Jak jsme se již mínili, kmitna napětí (uel proudu) vniká na vedení v místech, v nichž je fáe činitele odrau 0. naší fáorové má činitel odrau žádanou fái tehdy, leží-li v kladné reálné ose. Uel napětí (kmitna proudu) je podmíněn fáí činitele odrau 80, čemuž odpovídá áporná reálná osa fáorové roviny. Na ávěr se vraťme k důvodu, jenž nás motivoval k práci se Smithovým diagramem. Tím důvodem byla snaha vyhnout se výpočetně náročným vtahům pro transformaci impedance na vedení, pro vájemný přepočet impedance a činitele odrau, atd. Milovníci MATLABu budou jistě tvrdit, že výše uvedené veličiny mnohem snadněji a mnohem přesněji vypočteme tímto programem než Smithovým diagramem. Smithův diagram však přežitkem není. Jeho popularita přetrvává, protože inženýrům pracujícím s vedeními velmi náorně pomáhá vybudovat si představu, co se na vedení děje a jakým působem k daným jevům docháí. 5.4 Příklady Smithův diagram slouží k jednoduchému grafickému přepočtu impedance v určitém místě vedení na impedanci v místě jiném. podstatě se tedy jedná o grafickou repreentaci vtahu cosh sinh cosh sinh (5.0) kde je charakteristická impedance vedení, je místo na vedení, v němž náme impedanci ( ) a je místo na vedení, v němž chceme impedanci jistit, = + j je komplexní konstanta šíření, sestávající měrného útlumu a měrné fáe = / v, v = c/f je délka vlny na vedení, je činitel krácení, f je kmitočet vlny a c je rychlost světla ve vakuu. Přímou transformaci impedance na vedení, popsanou výše uvedeným vtahem, můžeme nahradit nepřímým výpočtem:. e námé normované impedance v místě, tj. = ( ) / spočítáme činitele odrau v (5.). Činitele odrau transformujeme místa do místa na vedení exp j (5.) exp 3. e námého činitele odrau v místě vypočteme normovanou impedanci v tomto místě - 7 -
(5.3) Jelikož modul činitele odrau nemůže být nikdy větší než jedna (amplituda odražené vlny nemůže být větší nežli amplituda vlny dopadající), bude se vše odehrávat uvnitř jednotkové kružnice. prvním kroku tedy do fáorové roviny akreslíme fáor činitele odrau v místě, tj.. druhém kroku fáor otočíme o úhel ( ) ve směru hodinových ručiček pro kladnou hodnotu rodílu a proti směru hodinových ručiček v případě opačném. Tím dostaneme fái fáoru v. třetím kroku upravíme velikost modulu činitele odrau v místě dle =.exp[( )] a vypočteme normovanou impedanci.. edení s charakteristickou impedancí = 300, činitelem krácení = 0.8, měrným útlumem = 0.0868 db/m a délkou l = 4.6 m je atíženo impedancí k = (0 + j75). Pro kmitočet f = 60 MH vypočtěte: a) Impedanci a admitanci na počátku vedení; b) Činitele odrau na počátku a na konci vedení; c) Polohu první kmitny a prvního ulu napětí od konce vedení; d) Poměr stojatých vln na počátku a na konci vedení. [ a) P = ( 46 + j 66), Y P = (,33 - j 0,40) ms; b) P = 0,0 exp( j4), K = 0,3 exp( j3); c) km = 0,73 m, u =,73 m; d) PS P =,5, PS K =,6 ]. Televiní anténa má svod s parametry = 70, = 0,0 m -, = /3, který je dlouhý l = 30,5 metrů. Na kmitočtu f = 600 MH byla na konci svodu naměřena impedance Pt = (90 j 30). ypočtěte vstupní impedanci antény. [ vst = K = (,6 + j 9,4) ] 3. edení s charakteristickou impedancí = 300, činitelem krácení = 0.8, anedbatelným měrným útlumem 0 a délkou l = 4 mm je akončeno kapacitorem s kapacitou C k = 4 pf. Pro kmitočet f = 00 MH určete impedanci na vstupu vedení a dánlivé prodloužení vedení (vhledem ke kratu). [ P 0 (vedení je v reonanci), l = 0,49 m ] 4. Naleněte pomocí Smithova diagramu hodnotu Y = / pro = (50 + j0). [ Y = (3,0 j,7) ms ] 5. edení s charakteristickou impedancí = 00 a anedbatelným měrným útlumem je atíženo odporem R k = 0. jaké vdálenosti od konce vedení je reálná část impedance 00? [ l = 0,83 m ] - 8 -
6. úseku vedení, které je na konci kratované, vytvořte pro kmitočet f = 500 MH kapacitor s kapacitou C = 0 pf. edení má charakteristickou impedanci = 00, činitele krácení = 0,8 a anedbatelný měrný útlum. Řešení: Kapacitor s kapacitou C má na kmitočtu f susceptanci B = jc = j f C = j 3,4 ms. Tuto susceptanci normujeme charakteristickou admitancí vedení Y = / = 0,0 S, takže dostáváme b = 3,4. Normovanou susceptanci vyneseme do Smithova diagramu (jelikož reálná část admitance je nulová, bude příslušný bod ležet na obvodu diagramu) a fáorem otáčíme směrem k átěži (požadovanou susceptanci chceme mít na vstupu vedení) tak dlouho, dokud nedoraíme do bodu nekonečné susceptance (krat na konci). popsaného otočení fáoru nám vycháí, že vedení musí být dlouhé l = 0,45 v = 0,7 m. 7. úseku vedení, které je na konci kratované, vytvořte pro kmitočet f = 800 MH induktor s indukčností L = 0 nh. edení má charakteristickou impedanci = 50, činitele krácení = 0,8 a anedbatelný měrný útlum. Jak se mění impedance na vstupu vedení, bude-li mít vedení velký měrný útlum = 0, m -? [ l = 53 mm, vst = (,7 + j00) ] - 9 -