M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice Goniometrické rovnice jsou takové rovnice, které obsahují neznámou v argumentu goniometrické funkce. Při řešení goniometrických rovnic využijeme vztahů mezi goniometrickými funkcemi, znalosti grafů jednotlivých goniometrických funkcí a dále tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí. Vždy musíme vzít v úvahu periodu jednotlivých goniometrických funkcí. Příklad 1: Řešte rovnici sin x 0,5 Z tabulky důležitých hodnot goniometrických funkcí víme, že sin x 0,5 je splněno pro x 30. Platí tedy, že x 1 30 + k.360 Funkce sinus nabývá ale hodnoty 0,5 ještě pro úhel (180-30 ) 150 (k závěru dospějeme nejsnáze, pokud si představíme průběh grafu funkce sinus). Dostáváme tak druhé řešení: x 150 + k.360 Obě řešení lze vyjádřit i v obloukové míře: Příklad : Řešte rovnici: sin x - 3 Pokud je hodnota záporná, vytvoříme si nejprve hodnotu pomocnou, a to s kladným znménkem. Řešíme tedy nejprve pomocnou rovnici sin x 3 Vyjde nám tak pomocný úhel x 0 60. Protože ale hodnota má být ve skutečnosti záporná, určíme z grafu hodnotu neznámých: x 1 (180 + 60 ) + k.360 40 + k.360 x (360-60 ) + k.360 300 + k.360 I v tomto případě lze oba výsledky vyjádřit v obloukové míře: Příklad 3: Řešte rovnici sin x 0,5.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 9
V tomto případě je vhodné použít substituci: y x Řešíme pak rovnici sin y 0,5 Z příkladu č. 1 už víme, že tato rovnice má dvě řešení: y 1 30 + k.360 y 150 + k.360 Vrátíme se k substituci a dostaneme: x 1 30 + k.360 a odtud: x 1 15 + k.180 x 150 + k.360 a odtud: x 75 + k.180 I tyto výsledky lze vyjádřit oba v obloukové míře: Příklad 4: Řešte rovnici: cos 3x. sin x 0 Využijeme věty, že součin se rovná nule tehdy, je-li roven nule alespoň jeden z činitelů. Proto řešení rovnice rozdělíme na dvě části: 1. část: Řešíme cos 3x 0 Substituce: y 3x Rovnice cos y 0 má řešení: y 1 90 + k. 360 y 70 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 70 3. 90, vidíme, že vlastně lze oba výsledky sloučit do jednoho, protože se vlastně jedná o všechny liché násobky čísla 90. Získáme tak řešení: y 1 (k + 1). 90 Pozn.: Liché násobky vyjadřujeme (k + 1), kde k je libovolné celé číslo, a sudé násobky vyjadřujeme k, kde k je libovolné celé číslo. Vrátíme se k substituci a získáme: 3x 1 (k + 1). 90 neboli x 1 (k + 1). 30. část: Řešíme sin x 0 Substituce: y x Rovnice sin y 0 má dvě řešení: y 1 0 + k. 360 y 180 + k. 360 Vzhledem k tomu, že ale 180. 90 a 0 0. 90, vidíme, že se vlastně vždy jedná o sudé násobky čísla 90 a při představení si grafu zjistíme, že se jedná o všechny sudé násobky čísla 90. Získáme tak opět jediné řešení: y k. 90 Vrátíme se k substituci a získáme: x k. 90 neboli x k. 90 Oba konečné výsledky lze opět vyjádřit v obloukové míře: Příklad 5:.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 9
Řešte rovnici: 4cos x + 4cosx - 3 0 Substituce y cos x Získáme tak kvadratickou rovnici 4y + 4y - 3 0 Zjistíme, že tato kvadratická rovnice má kořeny: y 1-1,5 a y 0,5 Vrátíme se k substituci: cos x 1-1,5 Tato rovnice ale nemá řešení, protože obor hodnot funkce y cos x je <-1; 1> cos x 0,5 x 60 + k. 360 x 3 (360-60 ) + k. 360 300 + k. 360 Řešením tedy je x 1 60 + k. 360, x 300 + k. 360, neboli v obloukové míře: ± Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 1. Řešte rovnici: 1807. Řešte rovnici: cos x 1 1781 3. Řešte rovnici: 7sin x + 4cos x 8 180 4. Řešte rovnici: 3cos x - sin x - sin x 0 1790 5. Řešte rovnici: 188 6. Řešte rovnici: 1811 7. Řešte rovnici: 1805.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 9
8. Řešte rovnici: sin x + 1,5cos x,5sin x. cos x 1801 9. Řešte rovnici: 1804 10. Řešte rovnici: sin x. cos x 0,5 1789 11. Řešte rovnici: 185 1. Řešte rovnici: 1817 13. Řešte rovnici: 1814 14. Řešte rovnici: 1788 15. Řešte rovnici: 1809 16. Řešte rovnici: 1810 17. Řešte rovnici: 6sin x + 3sin x. cos x - 5cos x 1800.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 9
18. Řešte rovnici: sin x. cotg x 0 1786 19. Řešte rovnici: 1816 0. Řešte rovnici: 181 1. Řešte rovnici: 1818. Řešte rovnici: 1815 3. Řešte rovnici: cos x cos x 1803 4. Řešte rovnici: sin x 3cos x 1795 5. Řešte rovnici: 1819 6. Řešte rovnici: 1806 7. Řešte rovnici: 184.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 9
8. Řešte rovnici: 183 9. Řešte rovnici: tg x - 3cotg x 1 179 30. Řešte rovnici: sin x - sin x. cos x - cos x 0 1799 31. Řešte rovnici: 186 3. Řešte rovnici: 1785 33. Řešte rovnici: sin x. (1 + cos x) 0 1787 34. Řešte rovnici: sin x + sin x - 1 0 1793 35. Řešte rovnici: 187 Rovnice nemá řešení. 36. Řešte rovnici: 1813 37. Řešte rovnici: sin x 3sin x 1797 38. Řešte rovnici: sin x - cos x + sin x 0 1794 39. Řešte rovnici: cotg 6x -1 1784 40. Řešte rovnici: 1798.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 9
41. Řešte rovnici: 1830 4. Řešte rovnici: 1783 43. Řešte rovnici: 180 44. Řešte rovnici: 189 45. Řešte rovnici: 1833 46. Řešte rovnici: 181 47. Řešte rovnici: 1808 48. Řešte rovnici: 183 49. Řešte rovnici: 1791.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 9
50. Řešte rovnici: 18 51. Řešte rovnici: tg x 1 178 5. Řešte rovnici: cos x cos x 1796 53. Řešte rovnici: 1831 ± Sinová věta Sinová věta Věta: V trojúhelníku ABC platí: a : b : c sina : sinb : sing Lze zapsat i jinak: a sin a b sin b b sin sin b ; c g c a sin sin g ; a nebo a sin a b sin b c sin g Důkaz:.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 9
Volme jednotkovou kružnici. Platí: BC a a r Použijeme pro trojúhelník ZBC Pythagorovu větu: BC r a - cosa..sin a 4sin a 4sin a r sin a + ( 1- cos a ) ( 1- cos a ). ( sin a + cos a - cos a + sin a ) a sin a + 1- cos a + cos a a, r, sina jsou kladné hodnoty, proto můžeme odmocnit a dostaneme: a sin a r Obdobně bychom dokázali: b c r r sin b ; sin g Odtud tedy platí: a b c sin a sin b sin g Slovní vyjádření věty: Poměr dvou stran v trojúhelníku je roven poměru sinů protilehlých úhlů. Užití sinové věty: Známe-li buď dva úhly a jednu stranu nebo dvě strany a úhel ležící proti jedné z nich..6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 9
Sinová věta platí pro obecný trojúhelník, nikoliv tedy jen pro trojúhelník pravoúhlý. Příklad 1: Řešte trojúhelník ABC, je-li dáno: a 13,07 m b 65 30 1 g 7 0 36 ----------------------------------- Známe stranu a, proto potřebujeme znát i úhel ležící proti ní. Snadno ho vypočteme: a 180 - (b + g ) 180 - (65 30 1 + 7 0 36 ) 180-137 3 48 4 7 1 a b sin a sin b a.sin b b sin a 13,07.sin 65 30 1 b sin 4 7 1 b 165,9 m a c sin a sin g a.sin g c sin a 13,07.sin 7 0 36 c sin 4 7 1 c 173,45 m V zadaném trojúhelníku má tedy úhel a velikost 4 7 1, strana b je dlouhá 165,9 metru a strana c má délku 173,45 m. ± Sinová věta - procvičovací příklady 1. Vypočti stranu c, je-li v trojúhelníku ABC dáno: 1835 11,35 m. Určete ostatní úhly v trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1839.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 10 z 9
3. 1845 46 m 4. Určete délku strany c trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1838 319,1 m 5. 184 8 53,3 m 8 19 m 6. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu A trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1840 13 18 36 7. Určete délku strany a trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1836 3,75 m 8. Určete délku strany b trojúhelníka ABC, je-li dáno: 1837 51,6 m 9. 1848 10. 1849 094 m 11. 1846 1. Určete velikost vnitřního úhlu při vrcholu B trojúhelníku ABC, je-li dáno: 1841 1 34 48.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 11 z 9
13. 1847 14. 1844 43,3 m 15. 1843 103 m 16. 1834 107,8 m ± Kosinová věta Kosinová věta Věta: Pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly a, b, g, a stranami a, b, c platí: a b + c - bc.cosa b a + c - ac.cosb c a + b - ab.cosg Důkaz:.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 9
a BC BC b c a c æ b ö ç - cosa è c ø b + 1- cosa c + sin a b c b - cosa + cos c a + sin a a b + c - bc.cosa Je-li a > 90, pak cosa - cos(180 - a) a platí tedy: a b + c +bc.cos(180 - a) Kosinová věta platí též, podobně jako sinová věta, pro obecný trojúhelník. Příklad 1: Řešte trojúhelník, je-li dáno: a 7 cm, c 4 cm, b 78 a 7 cm c 4 cm b 78 b? [cm] a? [ ] g? [ ] -------------------------------------- b a + c - ac.cosb b 7 + 4 -. 7. 4. cos 78 b 49 + 16-56. cos 78 b 53,3576 b 7,3 cm (po zaokrouhlení) a b sin a sin b a.sin b sin a b 7.sin 78 sin a 0,9379 7,3 a 69 4 a c sin a sin g c.sin a sin g a 4.sin 69 4 sin g 0,5359 7.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 13 z 9
g 3 4 Závěr: Zbývající prvky trojúhelníka jsou b 7,3 cm, a 69 4, g 3 4. Poznámka: Úhly a a g můžeme též vypočítat podle Kosinové věty: a b + c - bc. cos a b + c - a cosa bc 7,3 + 4-7 cosa.7,3.4 0,3474 a 69 40 c a + b - ab. cos g cosg cosg a 7 + b - c ab + 7,3-4.7.7,3 0,8443 g 3 4 Výsledky jsou tedy přibližně stejné. Nepatrná odchylka vznikla zaokrouhlením úhlů na minuty. Kdybychom počítali ve vteřinách, byly by výpočty přesnější. ± Kosinová věta - procvičovací příklady 1. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 10 49 1866. 185 5 3. 188 59 70 3 50 8 4. 1850 365,3 m.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 14 z 9
5. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : 4 104 9 6. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 115 3 7. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 55 46 1869 1859 1871 8. 1851 5,6 9. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c : 3 : 4 8 57 1867 10. 1880 75 11 11. 1856 7 1. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 41 5 1870 13. 1881 117 17 14. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 9 35 30 15. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 40 m, b 3 m, c 3 m 9 35 30 16. Určete velikost strany a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 315,5 m 1864 1865 1863.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 15 z 9
17. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 9 3 1858 18. 1855,5 19. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 75 45 0. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje. 1. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 49 7. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 36 5 1879 1874 1861 1877 3. 1854 3,6 4. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje. 1875 5. 1883 1635 m 6. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 m, b 11 m, c 7 m 35 05 7. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 6 38 16, b 683,1 m, c 534,7 m 103 55 1860 186.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 16 z 9
8. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, je-li dáno: a 16,9 m, b 6 m, c 7,3 m 67 3 1878 9. 1876 70 3 38 56 30. Určete velikost úhlu a v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 1 : : 3 Trojúhelník neexistuje 31. Určete velikost úhlu b v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a: b : c : 3 : 4 46 34 1873 1868 3. 1857 1 85 N 33. Určete velikost úhlu g v trojúhelníku ABC, jehož poměr stran je a : b : c 4 : 5 : 6 8 49 187 34. 1853 5,3 35. 1884 8 885 m ± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina..6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 17 z 9
Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a 1; a ] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z a 1 + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i [0; 1]. Pro imaginární jednotku platí: i -1 i 3 -i i 4 +1 i 5 i i 6-1 atd... Algebraický tvar komplexního čísla Nechť je dáno komplexní číslo a [a 1; a ]. Jeho vyjádření ve tvaru z a 1 + a i se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a 1 představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 18 z 9
komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z a 1 + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna 1. Platí tedy z 1 Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z 1 a 1 + b 1i a z a + b i jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a 1 a a zároveň b 1 b Součet komplexních čísel.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 19 z 9
Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 0 z 9
Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a [a 1; a ] a b [b 1; b ] ve tvaru a a 1 + a i, b b 1 + b i se definuje jejich podíl takto: Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 1 z 9
Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) z 9
Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad 1: Příklad :.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 3 z 9
Příklad 3: Příklad 4: Příklad 5: Příklad 6:.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 4 z 9
Příklad 7: Příklad 8: Vypočtěte i 148 Příklad 9: Příklad 10:.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 5 z 9
Příklad 11: ± Komplexní čísla - procvičovací příklady 1. 1645. 1 169 3. 1 1630 4. 1640 5. 1666 6. 1643 7. 1657 8. 1650 0.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 6 z 9
9. 1646 10. 1635-7 11. 1656 x 3; y - 1. 1649 13. 1638 3i 14. 1663 15. 1634 16. 166 17. 1665 18. 163 19. 1637.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 7 z 9
0. 1636 1 1. 165 0,4. 1661 3. 1641 1 - i 4. 1644 5. 164 i 6. 1648 7. 1655 -i 8. i 1664 9. 1651 10,6.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 8 z 9
30. 1639 31. 1633 3. 1660 33. 1658 34. 1653,83 35. 1654 18 + 4i 36. 1 1631 37. 1659 38. 1647-100.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz) 9 z 9
Obsah Goniometrické rovnice 1 Goniometrické rovnice - procvičovací příklady 3 Sinová věta 8 Sinová věta - procvičovací příklady 10 Kosinová věta 1 Kosinová věta - procvičovací příklady 14 Komplexní čísla 17 Komplexní čísla - procvičovací příklady 6.6.007 15:33:47 Vytištěno v programu dosystem - EduBase (www.dosli.cz)