2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h 2 ) nazýváme diferenciálem funkce f v bodě a. Diferenciál funkce obvykle zapisujeme v kanonickém tvaru df(a) = (a)dx + x (a)dy, kde diferenciály dx a dy jsou lineární funkce, pro které je dx(h) = h a dy(h) = h 2 v každém bodě a. Diferenciálu používáme jako lineární aproximace funkce f v okolí bodu a. Je pak pro malé hodnoty h možné použít přibližného vyjádření f(a + h). = f(a) + df(a, h) = f(a) + x (a)h + (a)h 2, h = (h, h 2 ). Lineární funkce, která takto aproximuje funkci f = f(x, y) v okolí bodu a má graf, který je tečnou rovinou ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). Její rovnice je tedy τ : z = f(a) + x (a)(x a ) + (a)(x a 2), a = (a, a 2 ). Normálovým vektorem tečné roviny v bodě (a, f(a)) je vektor n = ( (a), (a), ) x a odtud dostaneme parametrickou rovnici normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) ve tvaru x = a t (a) x y = a 2 t (a) z = f(a) + t, t R. Vektor grad f(a) = ( (a), (a)) se nazývá gradient funkce f = f(x, y) v bodě a x a určuje směr největšího růstu funkce. V opačném směru pak funkce nejrychleji klesá. Velikost změny funkce určíme z derivace funkce ve směru u, která je dána vztahem kde u = (u, u 2 ) a u =. f u (a) = grad f(a). u = x (a)u + (a)u 2, Řešené úlohy - funkce dvou proměnných Úloha: Určete diferenciál funkce f = f(x, y) a napište jeho vyjádření v obecném bodě (x, y) a v daných bodech:
. f(x, y) = 2x 2 3xy + 5y 2 4x + 2y 5, a = (, 2). Funkce je definována v množině D f = R 2 a má spojité parciální derivace v celém definičním oboru. Výpočtem dostaneme pro parciální derivace vyjádření a tudíž je 4x 3y 4, = 0y 3x + 2 (4x 3y 4)dx + (0y 3x + 2)dy. Po dosazení souřadnic daných bodů do obecného vyjádření dostaneme, že 2. f(x, y) = arctg (x + y), a = (, ). df(a) = 6dx 2dy. Funkce je definována v množině D f = R 2 a má spojité parciální derivace v celém definičním oboru. Výpočtem dostaneme pro parciální derivace vyjádření a tudíž je = + (x + y) 2 + (x + y) dx + 2 + (x + y) dy. 2 Po dosazení souřadnic daných bodů do obecného vyjádření dostaneme, že df(a) = dx + dy. 3. f(x, y) = 2x 3y + 5, a = (5, 2), b = ( 4, 2). Funkce je definována v množině D f = {(x, y); 2x 3y + 5 0 } a má spojité parciální derivace v množině {(x, y); 2x 3y + 5 > 0}. Výpočtem dostaneme pro parciální derivace vyjádření a tudíž je x 2x 3y + 5, = 3 2 2x 3y + 5 2 (2xdx 3dy). 2x 3y + 5 Po dosazení souřadnic daných bodů do obecného vyjádření dostaneme, že df(a) = 5 3 dx 2 dy. Bod b = ( 4, 2) není bodem definičního oboru, diferenciál funkce nelze v tomto bodě počítat. 4. f(x, y) = x2 y + y, a = (, ). x Funkce je definována v množině D f = {(x, y); x 0, y 0} a má spojité parciální derivace v této množině. Výpočtem dostaneme pro parciální derivace vyjádření 2x3 y 2, x 2 y 2 = y2 x 3 xy 2
a tudíž je 2x3 y 2 dx + y2 x 3 dy. x 2 y xy 2 Po dosazení souřadnic daného bodu do obecného vyjádření dostaneme, že 5. f(x, y) = x 2 y +, a = (0, ). df(a) = 2dx + 2dy. Funkce je definována v množině D f = {(x, y); x 2 y + 0} a má spojité parciální derivace v množině {(x, y); x 2 y + > 0}. Výpočtem dostaneme pro parciální derivace vyjádření x x2 y +, = 2 x 2 y + a tudíž je 2 (2xdx + dy). x 2 y + Po dosazení souřadnic daného bodu do obecného vyjádření dostaneme, že df(a) = 2 dy. Úloha: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)).. f(x, y) = 3x 3 2x 2 y + 5xy 2 6x + 5y + 0, a = (, ). Definičním oborem funkce f je množina D f derivace ve všech bodech této množiny a je 9x2 4xy + 5y 2 6, (a) = 2, x = R 2, funkce má spojité parciální = 2x2 + 0xy + 5. (a) = 7. Protože f(a) = f(, ) = 9 je rovnice tečné roviny τ : z 9 = 2(x ) 7(y + ) 2x 7y z 0 = 0. 2. f(x, y) = x 2 + y 2, a = (4, 3). Definičním oborem funkce f je množina D f derivace v bodech množiny R 2 {0} a je x x2 + y 2, x (a) = 4 5, = = R 2, funkce má spojité parciální y x2 + y 2. (a) = 3 5. Protože f(a) = f(4, 3) = 5 je rovnice tečné roviny τ : z 5 = 4 5 (x 4) 3 (y + 3) 4x 3y 5z = 0. 5 3
3. f(x, y) = x 2 y 2 + 5, a = (2, 3). Definičním oborem funkce f je množina D f derivace ve všech bodech této množiny a je 2x, = R 2, funkce má spojité parciální = 2y. (a) = 4, x (a) = 6. Protože f(a) = f(2, 3) = 0 je rovnice tečné roviny τ : z = 4(x 2) 6(y 3) 4x 6y z + 0 = 0. 4. f(x, y) = x, a = (, ). y Definičním oborem funkce f je množina D f = {(x, y); y 0}, funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je y, = x y 2. (a) =, x (a) =. Protože f(a) = f(, ) = je rovnice tečné roviny τ : z = (x ) (y ) x y z + = 0. Úloha: Určete rovnici tečné roviny τ ke grafu fukce z = f(x, y), která je rovnoběžná s rovinou ρ.. f(x, y) = 2x 2 4xy + 4y 2 + 5, ρ : 4x 2y + z = 3. Definičním oborem funkce je množina R 2 a ve všech bodech této množiny má daná funkce spojité parciální derivace. Dále je x = 4x 4y, Z rovnice roviny ρ vyplývá, že musí být = 4x + 8y. 4x 4y = 4 4x + 8y = 2. Rovnice má řešení x = a y = 2. Protože je f(, 2) = 5, má hledaná tečná rovina rovnici τ : z 5 = 4(x ) + 2(y 2) 4x 2y + z + 5 = 0. 4
2. f(x, y) = 2x 2 y + 5, ρ : 8x + 2y z = 0. Definičním oborem funkce je množina R 2 funkce spojité parciální derivace. 4xy, a ve všech bodech této množiny má daná = 2x2. Z rovnice roviny ρ vyplývá, že musí být 4xy = 8 2x 2 = 2. Rovnice má dvě řešení x =, y 2 = 2 a x 2 =, y 2 = 2. Dále je f(, 2) = 9 a f(, 2) =. Dostaneme dvě tečné roviny požadované vlastnosti: a τ : z 9 = 8(x ) + 2(y 2) 8x + y z 3 = 0 v bodě (, 2, 9) τ 2 : z = 8(x + ) + 2(y + 2) 8x + y z + 3 = 0 v bodě (, 2, ). Úloha: Určete tečnou rovinu ke grafu funkce f(x, y) = xy, která je kolmá na přímku p danou rovnici p : X = ( 2, 2, ) + t(2,, ). Vektorem kolmým na tečnou rovinu ke grafu funkce je vektor n = (,, ). x Hledáme tedy bod, ve kterém bude tento vektor rovnoběžný s vektorem n 2 = (2,, ), což zanamená, že n = α n 2. Z rovnice pro třetí souřadnici vidíme, že α =, tedy máme pro hledaný bod podmínky: 2, = y = 2, x =. Protože je f(, 2) = 2, je rovnice hledané tečné roviny z 2 = 2(x ) + (y 2) 2x + y z 2 = 0. Úloha: Určete vektor grad f v obecném bodě a v daných bodech.. f(x, y) = 4xy 2 6xy + 5, a = (, ). a funkce má spojité parciální deri- Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 vace ve všech bodech této množiny a je 4y2 6y, = 8xy 6x a tudíž grad f = (4y 2 6y, 8xy 6x). Po dosazení souřadnic daného bodu dostaneme, že grad f(a) = (0, 4). 5
2. f(x, y) = 36 4x 2 9y 2 + 2xy, a = (2, ), b = (, 2). Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); 4x 2 +9y 2 2xy 36} a funkce má spojité parciální derivace v bodech množiny {(x, y); 4x 2 + 9y 2 2xy < 36} a je a tudíž 6y 4x 36 4x2 9y 2 + 2xy, = 6x 9y 36 4x2 9y 2 + 2xy 6y 4x grad f = ( 36 4x2 9y 2 + 2xy, 6x 9y 36 4x2 9y 2 + 2xy )., že ( ) 2 3 grad f(a) =, 35 35 a v bodě b nelze vektor grad f počítat, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce. 3. f(x, y) = ln (e x + 2x 3y), a = (, ), b = (, 2) Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); e x + 2x 3y > 0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je a tudíž e x + 2 e x + 2x 3y, grad f =, že = 3 e x + 2x 3y ( e x ) + 2 e x + 2x 3y, 3. e x + 2x 3y grad f(a) = (e + 2, 3) e + 5 a v bodě b nelze vektor grad f počítat, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce. 4. f(x, y) = 2x+3y 5, a = (2, 0), b = (, 3). x y+2 Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x y + 2 0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je a tudíž grad f = 9 5y (x y + 2), 2 = 5x + (x y + 2) 2 ( ) 9 5y (x y + 2), 5x +. 2 (x y + 2) 2, že ( 9 grad f(a) = 6, ) 6 a v bodě b nelze vektor grad f počítat, neboť tento bod nepatří do definičního oboru funkce. 6
Úloha: Určete, ve kterých bodech je vektor grad f nulový.. f(x, y) = 3x 2 5xy + 4y 2 6x + 5y. a funkce má spojité parciální deri- Definičním oborem funkce je množina D f = R 2 vace ve všech bodech této množiny. Dále je a tudíž grad f = (0, 0) jestliže platí: grad f = (6x 5y 6, 8y 5x + 5) 6x 5y = 6, 5x 8y = 5. Podmínka je splněna pro x =, y = 0. Vektor grad f je nulový v bodě (, 0). 2. f(x, y) = x 2 4x + y 2 + 6y + 4. Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x 2 4x + y 2 + 6y + 4 0} a funkce má spojité parciální derivace v bodech množiny {(x, y); x 2 4x+y 2 +6y+4 > 0}. Dále je 2 grad f = (x 2, y + 3) x2 4x + y 2 + 6y + 4 a tudíž grad f = (0, 0) jestliže platí: x = 2, y = 3. Podmínka je splněna pro bod (2, 3), který není bodem z definičního oboru funkce. Pro dnou funkci je vektor grad f nenulový ve všech bodech jejího definičního oboru. 3. f(x, y) = ln (x 2 + 2x + y 2 4xy + 4y + 6). Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y); x 2 +2x+y 2 4xy +4y +6 > 0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny. Dále je grad f = a tudíž grad f = (0, 0) jestliže platí: 2 (x 2y +, y 2x + 2) x 2 + 2x + y 2 4xy + 4y + 6 x 2y = 2x y = 2. Podmínka je splněna pro x = 5 a y = 4. Protože tento bod není z definičního 3 3 oboru dané funkce, má uvažovaná funkce ve všech bodech nenulový gradient. Diferenciál funkce tří a více proměnných. Připomeneme jak jsou definovány pojmy z této kapitoly pro funkce tří a více proměnných. Je-li f = f(x, y, z) funkce tří proměnných, která je definována v otevřené množině G R 3, a má-li v této množině spojité parciální derivace, pak diferenciálem funkce f = f(x, y, z) v bodě a G nazýváme lineární funkci (formu) df(a) = df(a, h) = x (a)h + (a)h 2 + z (a)h 3, h = (h, h 2, h 3 ). 7
kde Diferenciál funkce obvykle zapisujeme v obecném tvaru df(a) = (a)dx + (a)dy + x z (a)dz, dx = dx(h) = h, dy = dy(h) = h 2, dz = dz(h) = h 3 jsou lineární funkce, které nabývají uvedených hodnot. Gradientem funkce f = f(x, y, z) v bodě a nazýváme vektor grad f(a) = ( ) (a), (a), x z (a). Obdobně pro funkce f = f(x, x 2,..., x n ) definujeme diferenciál funkce v bodě a, ve kterém má funkce spojité parciální derivace, jako lineární funkci (formu) df(a) = df(a, h) = n k= Používáme rovněž obecného zápisu ve tvaru kde df(a) = x k (a)h k, h = (h, h 2,..., h n ). n k= x k (a)dx k, dx k (h) = h k, k n. Gradientem funkce f = f(x, x 2,..., x n ) v bodě a nazýváme vektor grad f(a) = ( (a), (a),..., ) (a). x x 2 x n Řešené úlohy na diferenciál a gradient funkce tří a více proměnných Úloha: Určete diferenciál funkce f = f(x, y, z) v obecném bodě a v daném bodě.. f = f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2, a = (,, 2). a funkce má spojité parciální deri- Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 vace v bodech množiny R 3 {0} a je tudíž je x x2 + y 2 + z 2, = y x2 + y 2 + z 2, z = (xdx + ydy + zdz). x2 + y 2 + z2 df(a) = 6 (dx dy + 2dz). z x2 + y 2 + z 2, 8
2. f = f(x, y, z) = 5x 2 y + 6xy 7xz + 8z 2 0y 2, a = (0,, 2). Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 množiny spojité parciální derivace a je tudíž je 0xy + 6y 7z, = 5x2 + 6x 20y, a funkce má ve všech bodech této z = 7x + 6z, (0xy + 6y 7z)dx + (5x 2 + 6x 20y)dy + ( 7x + 6z)dz. df(a) = 20dx + 20dy + 32dz. 3. f = f(x, y, z) = ln (2x 3y + 5z 7), a = (4, 0, ), b = (,, ). Definičním oborem funkce je množina D f = {(x, y, z); 2x 3y + 5z > 7} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je 2 2x 3y + 5z 7, = 3 2x 3y + 5z 7, z = 5 2x 3y + 5z 7, tudíž je (2dx 3dy + 5dz). 2x 3y + 5z 7 df(a) = (2dx 3dy + 5dz). 6 Bod b = (,, ) není v definičním oboru funkce, diferenciál funkce nelze v tomto bodě počítat, i když se do jeho obecného vyjádření dají souřadnice bodu b dosadit! 4. f = f(x, y, z) =, a = (2,, 3). x 2 +y 2 +z2 Definičním oborem funkce je množina D f = R 3 {0} a funkce má spojité parciální derivace ve všech bodech této množiny a je tudíž je x 3 x2 + y 2 + z, 2 = y 3 x2 + y 2 + z, 2 z = 3 (xdx + ydy + zdz). x2 + y 2 + z2 df(a) = 3 4 (2dx dy + 3dz). z 3 x2 + y 2 + z 2, 9