ELEMENTÁRNÍ STATISTICKÉ METODY

VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ ÚSTAV SOUDNÍHO INŽENÝRSTVÍ Doc. RNDr. Zdeěk Karpíšek, CSc. ELEMENTÁRNÍ STATISTICKÉ METODY UČEBNÍ TEXT Bro 018 prví vydáí

Zdeěk Karpíšek 018

OBSAH PŘEDMLUVA (4) 1. STATISTIKA A JEJÍ VÝZNAM (5) Kotrolí otázky (7). POPISNÁ STATISTIKA (8) Základí pomy (8) Jedorozměrý statstcký soubor s kvattatvím zakem (8) Dvourozměrý statstcký soubor s kvattatvím zaky (15) Statstcké soubory s kvaltatvím zaky (19) Kotrolí otázky (19) 3. ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD (1) Základí pomy (1) Průměry časových řad () Specálí typy řad (3) Vývo časových řad (5) Pops časových řad (7) Kotrolí otázky (30) 4. INDEXOVÁ ANALÝZA (31) Základí pomy (31) Idvduálí dey (31) Souhré dey (34) Idey a absolutí velčy (36) Bázcké a řetězové dey (36) Kotrolí otázky (37) LITERATURA (38) DODATEK ELEMENTY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI (40) 3

PŘEDMLUVA Teto učebí tet e kocpová ako podpora výuky předmětu Matematcké základy aalýzy rzka (RSMAT) a Ústavu soudího žeýrství Vysokého učeí techckého v Brě v magsterském studím programu Rzkové žeýrství. Účelem tetu e sezámeí studetů se základím statstckým metodam a možostm ech aplkací př modelováí a vyhodocováí reálých evů v oblast rzk v ekoomce, fačctví, výrobě apod. Jde pouze o elemetárí statstcké metody, které by měly být běžou součástí bakalářských programů vysokých škol ekoomckého a techckého zaměřeí ebo dokoce součástí výuky matematky a středích školách, ale bohužel tak tomu mohdy eí. Obsahově e tet oretová a zpracováí edorozměrých a dvourozměrých statstckých souborů, základí aalýzu časových řad a aalýzu deů. Tet má pouze přehledový charakter a obsahue pouze základí pomy a postupy statstckých metod edukčího, t. popsého typu. Další formace z této oblast ade studet ee a www strákách, ale také v lteratuře uvedeé v závěrečé část. Dodatek vlastího tetu tvoří základí přehled elemetů teore pravděpodobost. Každá kaptola dodatek sou zakočey kotrolím otázkam pro vlastí ověřeí získaých zalostí. Děku všem, kteří mě pomohl svým přpomíkam a radam pro přípravu tohoto učebího tetu. Rád také přmu všechy poděty a doporučeí k eho obsahu zpracováí. Bro, říe 018 Autor 4

1. STATISTIKA A JEJÍ VÝZNAM V současém světě a zeméa v ekoomce má statstka velm výzamé a ezastuptelé místo. Moderí řízeí ekoomky v zámu mamalzace eí efektvost e erealzovatelé bez kvaltí formačí soustavy a e založeo a eustálém vyhodocováí formací o obektu eho okolí za použtí eaktích metod. Mmořádě výzamá role v tomto procesu přísluší statstce, která poskytue soustavu číselých formací o hospodářství eeom ako celku, ale také o eho subsystémech a prvcích. Pro úspěšé použtí statstky e uté zát cíle, metody a eí možost a správě terpretovat zštěé výsledky. Výzamou rol v současém rozvo a využtí statstky hrae výpočetí techka používaá př sběru, přeosu, ukládáí a zpracováí formací. Počítače se statstckým a databázovým softwarovým pakety (apř. systém Statstca, Statgraphcs, S-Plus, QC.Epert, Ecel a.) poskytuí rozsáhlé možost používá statstckých metod. Slovo statstka lze chápat ve třech poetích: ako číselé údae o hromadých evech, dále ako praktckou čost spočívaící ve sběru, zpracováí a vyhodocováí statstckých údaů a ako teoretckou dscplíu, která se zabývá metodam pro pops a odhalováí zákotostí př působeí podstatých, relatvě stálých čtelů a hromadé evy, t. evy vyskytuící se ve velkém měřítku u velkého počtu edců (prvků), azývaých statstcké edotky. U statstckých edotek sledueme parametry, charakterstky, velčy, ukazatele, dkátory - tzv. statstcké zaky. Zaky sou kvattatví (číselé: rozměry, počty apod.) a kvaltatví (sloví ebo zakové: druhy, třídy apod.). Z formací o ch (aměřeých č pozorovaých hodot), určeých vhodým (obvykle áhodým) výběrem s omezeým rozsahem, získáváme statstcké soubory. Tyto soubory pak umožňuí pops sledovaých evů a ásledé vyvozeí závěrů pro evy a procesy. Vzhledem k áhodost těchto evů a ohračeost souborů elze však vyvodt úplé závěry, ale dostatečě blízké sledovaé realtě. Na volbě statstckých edotek a vhodém staoveí statstckých zaků, pomocí chž chceme sledovat vlastost statstckého souboru, závsí úspěch a výsledky veškeré další práce. Proto e třeba správému vymezeí statstckého souboru, volbě statstcké edotky a statstckých zaků věovat áležtou pozorost. Statstcká edotka zšťovaé zaky musí být přesě vymezey z hledska věcého, které spočívá v přesé defc obsahu zkoumaého zaku. Statstcké zkoumáí lze rozdělt do tří etap: (1) statstcké zšťováí (šetřeí), () statstcké zpracováí, (3) statstcké vyhodocováí a rozbor. Etapa (1): Pomocí statstckého zšťováí získáváme statstcké údae, což sou číselé ebo sloví hodoty (obměy) sledovaých statstckých zaků. Nedříve e uté určt formačí systém (kdo, kdy a akým způsobem bude zšťováí provádět), který poskyte potřebé formace o statstckých edotkách. Zšťovaé údae mohou být dvoího druhu. Buď se získávaí za určtý časový terval (obem produkce, těžba uhlí), ebo sou vztažey k určtému okamžku (stav zásob, počet pracovíků). Pro zšťováí údaů prvího druhu musí být staovea rozhodá doba (apř. obem produkce za rok), pro získáváí údaů druhého typu pak rozhodý okamžk (apř. počet pracovíků k stému d). Dále musí být staovea doba, rozsah a způsob získáváí a zazameáváí údaů. 5

Etapa (): Výsledkem statstckého šetřeí e velké možství údaů, které e třeba po kotrole a verfkac určtým způsobem utřídt a shrout. Součástí statstckého zpracováí e proto tabelováí a tříděí číselých slovích výsledků, výpočet růzých statstckých charakterstk, grafcké zázorňováí výsledých údaů apod. Toto zpracováí se v současé době provádí převážě pomocí profesoálího softwaru a počítačích, a to často prostředctvím lokálích počítačových sítí. Etapa (3): V závěrečé etapě se provádí vyhodocováí a rozbor získaých statstckých údaů pomocí vhodých statstckých metod. Nezbytou podmíkou ech úspěšost však e, aby byly správě provedey etapy předchozí. Na statstcké zkoumáí vybraých evů a procesů pak avazue aplkace výsledků v daém oboru (apř. změa řízeí fačích toků pomocí úrokové sazby a podmíek). Efektvost aplkace výsledků e však uto zovu podrobt ovému statstckému zkoumáí (de o tzv. zpětou vazbu). Statstcké metody zpracováí a aalýzy získaých dat vycházeí z popsé statstky (získáváí údaů, číselé a grafcké zpracováí datových souborů), teore pravděpodobost (áhodé evy, pravděpodobost, áhodé velčy, áhodé procesy a ech charakterstky) a matematcké (ferečí, dukčí) statstky (áhodý výběr, odhady parametrů, testy hypotéz, regresí aalýza a.). Hstore těchto dscplí e zaímavá a dost rozmatá. Počátky popsé statstky souvseí s estecí státích útvarů (ak se tvrdí v úvodech učebc statstky) a spadaí do období as 7 tsíc let azpět. Oprávěě se však lze domívat, že sahaí v čase eště hloubě, eboť prví zázamy číselého charakteru, vyadřuící spíše možství ěčeho ež pouhý artefakt, vytvořl pravěký člověk ž před 30 tsíc lety zázamy a kostech zvaých "vrubovky vz obr. 1.1. Obr. 1.1 Základy teore pravděpodobost byly položey zhruba v XVII. století a dá se říc, že a společeskou obedávku kokrétě pro řešeí epřílš ušlechtlých, ale zaímavých otázek spoeých s požadavky hráčů a dosažeí úspěchů př provozováí růzých víceméě hazardích her. Názaky stochastckého uvažováí se však obevuí ž ve starověku, ak dokládaí písemé obrazové zázamy popsu počtu možých výsledků př hře s hracím 6

kostkam. S řešeím kokrétích úloh pomocí teore pravděpodobost v XVII. století sou spoey počátky matematcké statstky. Tato dscplía se vyvíela pozvolě, často s mírým opožděím oprot teor pravděpodobost, a to v souvslost s ástupem a rozvoem eaktích metod ve vědeckém bádáí př studu a měřeí reálých evů děů a ásledým aplkacem těchto metod. Jeí dyamcký a epaduící vývo od koce XIX. století byl vyvolá ee vědeckým, ale především techckým, průmyslovým a ekoomckým rozvoem, tedy potřebam prae. Ve zedodušeém pohledu představuí metody matematcké statstky spoeí metod popsé statstky s teorí pravděpodobost, a to v tom smyslu, že sledovaé evy a procesy studueme a popsueme s ohledem a ech áhodé (stochastcké) chováí. Přtom áhoda emusí být obsažea e v podstatě těchto evů č procesů (to e v zásadě otázka azíráí a spíše otázka flozofcká), ale také v samotém způsobu pozorováí ěakého celku pouze prostředctvím eho část, která e sce dostatečě reprezetue, avšak e víceméě áhodě z celku vybráa. A eda z uvedeých tří dscplí eí v žádém případě uzavřeou matematckou dscplíou a dále se rozvíí. V současé době avíc roste potřeba možost ech užtí velm dyamcky v souvslost s asazeím počítačů a využíváí datových sítí, a to spolu s rozvoem ldského pozáí a koáí vyvolává potřebu vývoe ových statstckých metod. Jde eeom o vlastí metody zpracováí dat, ale také o způsoby získáváí ( dolováí ) podstatých a relevatích formací ze současých rozsáhlých formačích souborů. Na druhé straě eí vždy a místě výsledky získaé užtím matematcké statstky přeceňovat, protože apř. prokázaá korelace mez statstckým zaky eště ezameá ech kauzaltu. Kotrolí otázky 1. Jaký výzam a postaveí má statstka v ekoomce?. Jaké tř základí výzamy má slovo statstka? 3. Co se rozumí statstckým šetřeím? 4. Jak probíhá statstcké zpracováí a vyhodocováí získaých údaů? 5. Z akých dscpl vycházeí statstcké metody? 6. Popšte statstcké čost a kokrétí frmě ebo sttuc. 7

. POPISNÁ STATISTIKA Základí pomy Př statstckém zkoumáí se zabýváme evy a procesy, které maí hromadý charakter a vyskytuí se u rozsáhlého souboru dvduálích obektů (výrobky, osoby apod.), azývaého základí soubor ebo také populace. Zkoumaé obekty sou tzv. statstcké edotky a sledueme u ch vytypovaé vlastost - statstcké zaky (velčy, parametry atd.), které abývaí pozorovatelých hodot (úroví). Podle druhu hodot dělíme statstcké zaky a kvattatví, které abývaí číselých hodot (hmotost, délka, pevost, cea, doba, žvotost,...) a kvaltatví, které emaí číselý charakter a lze e vyádřt slově (barva, akostí třída, podmíky provozu, tvar,...). Sleduemel e ede zak, hovoříme o edorozměrém zaku, aopak o vícerozměrém zaku. Kvattatví zaky dělíme a dskrétí, estlže abývaí pouze odděleých číselých hodot (počet zmetků, počet vad, kusová produkce apod.) a spoté, které abývaí všech hodot z ěakého tervalu reálých čísel (rozměr výrobku, doba do poruchy, ceový de apod.). Kvaltatví zaky dělíme a ordálí, echž sloví hodoty má smysl uspořádat (akostí třídy, klasfkace apod.) a omálí, echž sloví hodoty postrádaí výzam pořadí (barva, tvar, dodavatelé apod.). Podstatou statstckých metod e, že formace o základím souboru ezšťueme u všech eho edotek, ale e u ěkterých, které získáme tzv. výběrem. Vedou ás k tomu růzá omezeí, apř. dosažtelost všech edotek, velký rozsah základího souboru, způsob získáváí formací (zkoušky žvotost, ověřeí opotřebeí atd.), áklady a statstcké sledováí a další. Počet vybraých edotek e rozsah výběru. Dle rozsahu dělíme výběry a malé (obvykle do 30 až 50) a velké (řádově stovky, tsíce více). Toto děleí e relatví a závsí a okolostech statstckého sledováí. Výběr by měl být reprezetatví (poskytovat formace bez omezeí) a homogeí (bez vlvu dalších růzých faktorů). To však často elze v plé míře verfkovatelě zastt a proto obvykle vybíráme statstcké edotky do výběru áhodě, ovšem s rzkem, že výběr může poskytout více č méě zkresleé formace o základím souboru. Podle způsobu provedeí rozlšueme výběry: bez opakováí (každá edotka může být vybráa evýše edou), s opakováím (každá edotka může být vybráa vícekrát), záměrý (vybíráme typcké edotky), oblastí (základí soubor rozdělíme a podmožy a z ch provedeme část výběru), systematcký ebo mechacký (vybíráme vždy ěkolkátou edotku co do pořadí př realzac výběru). Hodoty zaku, pozorovaé č zštěé a statstckých edotkách z výběru o rozsahu, tvoří statstcký soubor s rozsahem. Pro edorozměrý zak X získáme edorozměrý statstcký soubor ( 1,..., ), kde e pozorovaá hodota zaku X u té statstcké edotky, = 1,...,. Aalogcky pro dvourozměrý zak (X, Y) obdržíme dvourozměrý statstcký soubor (( 1, y1),...,(, y )) apod. Jedorozměrý statstcký soubor s kvattatvím zakem Získaý statstcký soubor ( 1,..., ) s rozsahem se také azývá eroztříděý statstcký soubor. Dle potřeby e můžeme uspořádat podle rostoucích hodot a obdržíme uspořádaý statstcký soubor ( (1),..., ( ) ), kde +1 pro všechy dey. Iterval (1) ; ( ) e varačí obor a eho délka ( ) (1) e rozpětí statstckého souboru. 8

Př velkém rozsahu statstckého souboru ebo z důvodu dalšího zpracováí (ěkterá grafcká vyádřeí aebo užtí matematcko - statstckých metod) původí soubor roztřídíme. Roztříděý statstcký soubor (vz obr..1) získáme pokrytím varačího oboru systémem dsuktích tervalů (obvykle zleva otevřeých a zprava uzavřeých), tzv. tříd o počtu m, které maí obvykle steou délku h. Každá třída e reprezetováa uspořádaou dvocí (, ), kde * četost e střed -té třídy, f třídě. Číslo * * +1, a f e absolutí četost -té třídy, = 1,...,m * f. Absolutí e počet prvků původího eroztříděého statstckého souboru, které leží v -té f e relatví četost a uvádí se též v %. Platí m 1 f. Obr..1 Počet tříd m volíme obvykle přblžě 1 3, 3log (pro statstcký soubor symetrckého charakteru) aebo až (pro statstcký soubor asymetrckého charakteru). Délka třídy ( ) (1) e h a staovueme tak, aby odpovídala přesost získáí hodot a aby střed m třídy byl zaokrouhleé číslo. U dskrétího zaku volíme obvykle za středy tříd přímo * hodoty, kterých teto zak může abývat. Pokud tříděí provádíme a PC, měl bychom zkotrolovat, zda astaveí parametrů m, resp. h použtého statstckého software odpovídá ašm požadavkům. Číslo F f e kumulatví absolutí četost, číslo k1 k F e kumulatví relatví četost, 1,..., m, a uvádí se též v %. Platí, že F 1 F f 1 pro 1,..., m 1, kde F1 f1, takže Fm. Roztříděý statstcký soubor zapsueme do tzv. četostí tabulky pro růzé typy četostí, apř. pro absolutí četost: 1... m f f... 1 f m Výzamé vlastost statstckého souboru vyadřuí v kocetrovaé formě eho ásleduící číselé (emprcké) charakterstky. Jde zeméa o charakterstky polohy, promělvost a souměrost. Základí charakterstky polohy statstckého souboru sou: 9

1. Artmetcký průměr 1 1 pro eroztříděý soubor, 1 m f 1 pro roztříděý soubor. Vlastost artmetckého průměru sou: a) y a b y a b pro reálé kostaty a, b, b) y y pro soubory se steým rozsahem,, c) (1) ( ) d) má tetýž rozměr ako zak X. Někdy se užívá též vážeý artmetcký průměr kde w 0 1 1 w w, sou váhy (vhodě staoveá reálá čísla, z chž aspoň edo e eulové) hodot, které vyadřuí ech výzam, apř. přesost.. Medá eroztříděého statstckého souboru pro lchá, 1 1 pro sudá. 1 Vlastost medáu: a) y a b y a b pro reálé kostaty a, b, b) ( y) y pro uspořádaé soubory se steým rozsahem,, c) (1) ( ) d) má tetýž rozměr ako zak X. Medá rozdělue statstcký soubor a "dolí polovu" a "horí polovu" hodot (vz obr..1). Jde o robustí charakterstku, která e oprot artmetckému průměru málo ctlvá a etrémě odchýleé hodoty. Pro roztříděý soubor se k výpočtu medáu užívá vhodá apromace. 3. Modus ˆ e číslo, v ehož okolí e evíce hodot, resp. e to střed s evětší absolutí četostí f. Modus má tytéž vlastost ako artmetcký průměr medá a dle potřeby se počítá vhodou apromací pro roztříděý soubor). Základí charakterstky promělvost (varablty) statstckého souboru sou: 1. Rozptyl (dsperze, varace) 1 1 s ( ) 1 1 pro eroztříděý soubor, m m 1 1 s f ( ) f 1 pro roztříděý soubor. 1 * třídy 10

Dle potřeby a také pro zdůrazěí zaku X ěkdy píšeme a) s 0 11 s ( ), y a b s y a s pro reálé kostaty a, b, b) c) s 0 1, resp. 1 m, apod. Vlastost rozptylu sou: d) s má rozměr rový kvadrátu rozměru zaku X. Větší promělvost zaku X odpovídá větší rozptyl a aopak. Př výpočtech se také užívá ý vzorec pro rozptyl, když výraz 1 zaměíme výrazem 1. Takto vypočteý rozptyl e rove 1 číslu s s (pro plye z požadavků tzv. estraého 1 odhadu rozptylu základího souboru. s 0 ). Zdůvoděí výrazu s 1 1. Směrodatá odchylka. Dle potřeby také píšeme s(). Vlastost směrodaté odchylky sou: a) s 0, b) y a b s( y) a s( ) pro reálé kostaty a, b, c) 0 1, resp. 1 s m d) s má tetýž rozměr ako zak X. Větší promělvost zaku X odpovídá větší směrodatá odchylka a aopak. s 3. Varačí koefcet v. Dle potřeby také píšeme v(). Vlastost varačího koefcetu sou: a a) v( a) v( ) pro reálou kostatu a 0, a s b) v e bezrozměré číslo. Jde o relatví míru varablty zaku X a uvádí se též v %. Má smysl pouze pro zak X, který abývá pouze kladých aebo záporých hodot. Neí proto apř. vhodý pro zak X vyadřuící odchylky od ěaké omálí hodoty. 4. Rozpětí ( ) (1). Rozpětí má steé vlastost ako směrodatá odchylka. Základí charakterstkou souměrost statstckého souboru e koefcet škmost (koefcet asymetre) 1 3 ( ) 1 A pro eroztříděý soubor, 3 s m 1 3 f ( ) 1 A pro roztříděý soubor. 3 s Dle potřeby také píšeme A(). Vlastost koefcetu škmost sou: a) A 0 větša hodot e meší ež (leží pod), b) A 0 hodoty sou rozložey souměrě vzhledem k, c) A 0 větša hodot e větší ež (leží ad),

a d) y a b A( y) A( ) pro reálé kostaty a, b, a 0, a e) A e bezrozměré číslo. Estue řada dalších číselých charakterstk statstckého souboru. Např. pro poměrové zaky (ceové a obemové dey, úrokové míry apod.) se místo artmetckého průměru užívá geometrcký průměr g 1... a ve specálích případech (apř. pro zaky vyadřuící rychlost ěakého děe) počítáme harmocký průměr 1 1 h. 1 Dle potřeby se také ěkdy používá koefcet špčatost (koefcet ecesu) 1 4 ( ) 1 3, 4 s který vyadřue specfckým způsobem míru kocetrace hodot statstckého souboru. Moho rychlých a ceých formací poskytuí o statstckých souborech ech grafcká vyádřeí. Pro edorozměrý eroztříděý resp. uspořádaý statstcký soubor se zeméa užívá krabcový graf - obr.., kde obdélík obsahue středí část uspořádaého souboru (cca polovu všech prvků) tak, že alevo a apravo od ě leží vždy cca čtvrta eho prvků. Levá (pravá) svslá čára odpovídá tzv. dolímu (horímu) kvartlu a svslá čára uvtř e v místě medáu. Výška obdélíku e úměrá rozsahu souboru a úsečky ("vousy") vlevo a vpravo vyadřuí přatelé obory pro uvedeé čtvrty souboru. Prvky mmo tyto úsečky sou považováy za podezřelé, případě etrémě odchýleé. Estuí další modfkace tohoto grafu a á vyádřeí. 1 0 4 8 1 16 ( 1000) Obr.. Pro edorozměrý roztříděý statstcký soubor se v případě spotého zaku užívaí ečastě ásleduící dva typy grafů. Hstogram - obr..3 - e soustava obdélíků v kartézské souřadé soustavě, echž základy sou třídy a výšky sou četost tříd (absolutí, relatví, kumulatví atd.). Polygo - obr..4 - e lomeá čára v kartézské souřadé soustavě spouící body, echž -ová souřadce e střed (příp. horí hrace) třídy a y-ová souřadce e četost třídy. 1

f 15 F 50 40 10 30 5 0 10 0-3 - -1 0 1 3 4 5 Obr..3 0-3 - -1 0 1 3 4 5 f 15 F 50 40 10 30 5 0 10 0-3 - -1 0 1 3 4 5 0-3 - -1 0 1 3 4 5 Obr..4 Pro edorozměrý roztříděý statstcký soubor s dskrétím zakem se užívaí obvykle ásleduící grafy. Sloupcový graf - obr..5 - e podobý hstogramu, avšak obdélíky a sebe eavazuí a ěkdy se kreslí ve vodorové poloze. Výsečový (koláčový) graf - obr..6 - e kruh rozděleý a výseče, echž věší obvod odpovídá četostem tříd, případě sou zvoleé výseče vysuuty. V uvedeých grafech se růzým barvam ebo šrafováím zvýrazňuí potřebé formace a mohdy se dále geometrcky a výtvarě prezetačě modfkuí. Obr..5 Obr..6 13

Příklad.1 Měřeím délky X (mm) 10 válečků byly získáy hodoty: 5,38; 5,36; 5,35; 5,40; 5,41; 5,34; 5,9; 5,43; 5,4; 5,3. Určete rozsah, varačí obor, varačí rozpětí, artmetcký průměr, rozptyl, směrodatou odchylku s, varačí koefcet v a medá daého statstckého souboru. Ř e š e í: Rozsah daého souboru e = 10, takže emá smysl e třídt. Protože s (1) 5,9 mm a 5,43 mm, e varačí obor <5,9; 5,43> mm a varačí rozpětí e 5,43 5,9 = 0,14 mm. Dále e: (5,38 ++ 5,3)/10 = 53,70/10 = 5,37 mm, (5,38 + + 5,3 )/10 5,37 = 88,388/10 8,8369 = 0,0019 mm, s 0, 0019 0,0435889894 0,044 mm, s v 0, 0019 /5,37 0,0435889894/5,37 0,00811713 0,8117 %, (5,36 + 5,38)/ = 5,37 mm. Modus emá smysl určovat. Pro grafcké vyádřeí souboru by byl vhodý krabcový graf. Příklad. Př kotrole byl zšťová obem steě baleého ápoe v 50 lahvích a byly aměřey ásleduící odchylky X (ml) od hodoty a etketě: 1,;,1; 1,7; 0,9; 0,3;,0; -1,3; -0,1; 3,;,8; 0,8; 4,4;,9; 1,; 0,0; -,3; 1,; 0,9;,3; -0,; 0,1; 1,9; -1,9; -0,; -1,3; 1,5; 0,5;,0; -1,3; 3,7; 0,9; 1,0; 0,4; 1,9; 1,4; -1,3; 1,6; 1,4; 3,1; -0,1; 1,8; 0,0; 4,1; 1,3; 3,0; 0,4; 3,8; -0,8; 3,1; 0,9. Roztřďte daý statstcký soubor, grafcky e zázorěte a vypočtěte,, s,, A. Ř e š e í: Rozsah souboru = 50; (1),3 ml a (50) 4,4 ml, takže varačí obor e <,3; 4,4> ml a rozpětí e 4,4 (,3) = 6,7 ml. Volíme počet tříd m = 7 (t. as 50 s ˆ (10) ) a délku třídy h = 1 (t. as 6,7/7). Volba tříd a ech středů, roztříděí do tříd a výpočet absolutích a kumulatvích četostí e v ásleduící tabulce, kde apř. // začí hodoty a //// začí 5 hodot ležících v daé třídě: třída zařazeí do tříd f F 1 -,5; -1,5 - // -1,5; -0,5-1 //// 5 7 3-0,5; 0,5 0 //// //// / 11 18 4 0,5; 1,5 1 //// //// /// 13 31 5 1,5;,5 //// //// 9 40 6,5; 3,5 3 //// / 6 46 7 3,5; 4,5 4 //// 4 50 14

Hstogramy a polygoy tohoto statstckého souboru sou a obr..3 a.4. Další výpočty sou pro přehledost zázorěy v ásleduící tabulce, ze které dostaeme: = 56/50 = 1,1 ml; = 180/50 1,1 =,3456 ml ; s, 3456 1,53 ml; střed třídy s evětší četostí = 1 ml; s dalším výpočtem obdržíme A 0,09850. ˆ f f f 1 - -4 8-1 5-5 5 3 0 11 0 0 4 1 13 13 13 5 9 18 36 6 3 6 18 54 7 4 4 16 64 50 56 180 Dvourozměrý statstcký soubor s kvattavím zaky Pozorovaý statstcký soubor (( 1, y1),...,(, y )) s rozsahem e eroztříděý statstcký soubor. Vyecháím prví, resp. druhé, hodoty v každé dvoc obdržíme edorozměré statstcké soubory ( 1,..., ) a ( y1,..., y ). Zpracováím těchto souborů získáme ech číselé charakterstky,, s ( ), s ( y ) atd. Roztříděý dvourozměrý statstcký soubor získáme roztříděím edorozměrých statstckých souborů ( 1,..., ) a ( y1,..., y ), přčemž oba roztříděé soubory mohou mít růzé počty tříd ech délky. Dostaeme tak dvourozměré třídy se středy (, y ) a absolutím y f k četostm f k, 1,..., m1 a k 1,..., m. Dle potřeby se dále určuí relatví četost, kumulatví četost F k atd. Roztříděý dvourozměrý statstcký soubor zapsueme do četostí tabulky pro růzé typy četostí. Následuící tabulka e pro absolutí četost f k, kde čísla f a f yk sou margálí (okraové) četost a platí f m f, k1 k f yk m1 f, 1 k m1 m m1 m f f f. yk k 1 k1 1 k1 k 15

y k y 1... y m f 1 11 f... f 1 m f 1............... m 1 f m1 1... f m 1 m f m1 f yk f y 1... f ym Pro roztříděé edorozměré statstcké soubory k 1,..., m, obdržíme ech číselé charakterstky, y,, f s ( ), 1,..., m, a,, 1 s ( y) atd. y k, f yk r Mírou závslost zaků X a Y e koefcet korelace (korelačí koefcet) 1 1 ( )( y y) y y 1 1 pro eroztříděý soubor, s( ) s( y) s( ) s( y) m1 m m1 m 1 1 f k ( )( yk y) f k yk y 1 k1 1 k 1 r pro roztříděý soubor, s( ) s( y) s( ) s( y) přčemž čtatelé ve všech zlomcích vyadřuí tzv. kovarac, kterou začíme cov. Někdy pro zdůrazěí zaků X, Y píšeme r(, y), resp. cov(, y). Vlastost koefcetu korelace: ac a) u a b, v cy d r( u, v) r(, y) pro reálé kostaty ac a, b, c, d, a 0, c 0, b) r( y, ) r(, y), c) 1 r 1, d) r 1 y a b, a 0, e) r e bezrozměré číslo. Koefcet korelace r e pouze mírou leárí závslost mez zaky X a Y. Čím e eho hodota blžší 1 aebo -1, tím e závslost blžžší leárí závslost a body, y blžší přímce. Jeho kladá (záporá) hodota odpovídá převážě rostoucí (klesaící) závslost mez X a Y. Hodota blízká 0 vyadřue, že závslost eí leárí a zaky X, Y mohou být ezávslé. Pro grafcké vyadřeí dvourozměrého eroztříděého statstckého souboru se užívá rozptylový graf a obr..7, kde sou rověž uvedey pro lustrac hodoty koefcetu korelace, a pro dvourozměrý roztříděý statstcký soubor třírozměrý hstogram a obr..8, případě třírozměrý sloupcový graf pro dskrétí zaky X, Y. 16

Obr..7 17

Obr..8 Příklad.3 Statstckým šetřeím ákladů X (Kč) a ce Y (Kč) pro steý výrobek u 10 výrobců byl získá dvourozměrý statstcký soubor: (30,18; 50,6), (30,19; 50,3), (30,1; 50,7), (30,; 50,5), (30,5; 50,), (30,6; 50,3), (30,6; 50,33), (30,8; 50,9), (30,30; 50,37), (30,33; 50,4). Vypočtěte,, s ( ), s ( y ), s(), s(y), c, r. Ř e š e í: Vzhledem k malému rozsahu = 10 soubor etřídíme. Použtím výše uvedeých vztahů dostaeme: = (30,18 +... + 30,33)/10 = 30,48 Kč průměré áklady, = (50,6 +... + 50,4)/10 = 50,96 Kč průměrá cea, y y s ( ) = (30,18 +... + 30,33 )/10-30,48 = 0,00096 Kč, s ( y ) = (50,6 +... + 50,4 )/10-50,96 = 0,003684 Kč, s() = 0,00096 0,045781 Kč 0,0458 Kč, s(y) = 0,003684 0,0606960 Kč 0,0607 Kč, cov = (30,18.50,6 +... + 30,33.50,4)/10-30,48.50,96 = 0,009 Kč, r = 0,009/(0,0457810,0606960) = 0,848199663 0,848. Vzhledem k velkost koefcetu korelace r lze předpokládat, že mez oběma zaky X a Y (áklady a ceou) e závslost víceméě blízká leárí. Jeho kladá hodota odpovídá tomu, že s rostoucím áklady roste cea výrobku. Rozptylový graf daého statstckého souboru e a obr..9. 18

Obr..9 Statstcké soubory s kvaltatvím zaky Jedorozměrý statstcký soubor s kvaltatvím zakem vyadřueme pomocí četostí tabulky, kde ( 1,..., ) s rozsahem sou možé sloví hodoty zaku X a f sou m. Číselé charakterstky se až a četost těchto hodot v původím souboru, 1,..., výmky epoužívaí vz [1], [3] a [4]. Ke grafckému vyádřeí souboru slouží sloupcový graf, koláčový graf apod. Dvourozměrý statstcký soubor s kvaltatvím zaky ((, y ),...,(, y )) s rozsahem vyadřueme pomocí četostí tabulky podobě ako pro 1 1 50,45 50,40 50,35 50,30 50,5 kvattatví zaky, kde (, y ) kvaltatvího zaku (X, Y) a 50,0 30,15 30,0 30,5 30,30 30,35 k sou dvoce možých slovích hodot dvourozměrého f k sou četost těchto hodot v původím souboru pro 1,..., m1 a k 1,..., m. Z číselých charakterstk se užívaí především růzé míry závslost zaků X a Y - vz [1], [3] a [4]. Ke grafckému vyádřeí souboru slouží třírozměrý sloupcový graf podobý třírozměrému sloupcovému grafu pro dvourozměrý dskrétí kvattatví zak. Kotrolí otázky 1. Popšte typy statstckých zaků a uveď te kokrétí příklady.. Co e výběr, aké má vlastost a ak e provádíme? 3. Defute statstcký soubor a uveďte, ak souvsí se základím souborem. 4. Popšte roztříděí edorozměrého statstckého souboru s kvattatvím zakem. 5. Uveďte charakterstky polohy edorozměrého statstckého souboru s kvattatvím zakem, ech vlastost a výzam. 6. Uveďte charakterstky varablty a souměrost edorozměrého statstckého souboru s kvattatvím zakem, ech vlastost a výzam. 7. Popšte grafcká zázorěí edorozměrého statstckého souboru s kvattatvím zakem. 8. Popšte roztříděí dvourozměrého statstckého souboru s kvattatvím zaky a eho grafcká zázorěí. 19

9. Uveďte číselé charakterstky dvourozměrého statstckého souboru s kvattatvím zaky. 10. Jaké vlastost a výzam má koefcet korelace? 11. Popšte zpracováí a grafcká zázorěí statstckých souborů s kvaltatvím zaky. 1. Uveďte statstcké zaky, které charakterzuí ukazatele o Vaší frmě. 0

3. ANALÝZA ČASOVÝCH ŘAD Základí pomy Větša ekoomcké evů se chová dyamcky, t. vyvíí se v čase. Základím prostředkem studa dyamky takových evů e aalýza ech vývoe v mulost, která ám umožňue pozat estuící zákotost sledovaých evů a čase a a základě tohoto pozáí předpovídat ech chováí v budoucost. Časovou řadu dostaeme, když údae o sledovaém evu ve sledovaém časovém úseku chroologcky uspořádáme. Dobře sestaveá a pro aalýzu použtelá časová řada musí splňovat tyto požadavky: údae musí být seřazeé chroologcky, údae musí být porovatelé, ak řečeo musí být zaštěa: a) edota časového období, ve kterém sou získáy, b) edotá defce údae (měré edotky, steý způsob sběru dat). Pokud ěkteré z uvedeých podmíek erespektueme, získáme esprávé závěry. Z hledska matematcké statstky e časová řada posloupost (,..., ) y1 y pozorovaých hodot y statstckého zaku Y, kde de odpovídá časovému okamžku t ebo -tému tervalu kočícímu v t, k ěmuž se y vztahue, t t 1, 1,,... Někdy místo y píšeme yt. Grafcky se časová řada ečastě zázorňue pomocí grafu v kartézské souřadé soustavě, kde a -ovou osu vyášíme dey aebo časy t a a y-ovou osu hodoty y Příklad grafu časové řady e a obr. 3.1. 15 1 MONTHLY CHAMPAGNE SALES Sale 9 6 3 0 0 1 4 36 48 60 7 84 Tme Obr. 3.1 Časové řady se vztahuí k určtému období, pak se edá o tervalové časové řady, aebo k určtému okamžku, kdy se edá o okamžkové časové řady. Itervalové časové řady obsahuí ukazatele, zšťovaé vždy za určté časové období (hoda, de, měsíc, rok, atd.). Pro tyto časové řady e charakterstcké, že: údae vyadřuí možství, sou závslé a délce sledovaého časového tervalu, součet údaů má určtý výzam a smysl. Okamžkové časové řady obsahuí údae, vztažeé k určtému časovému okamžku. Pro 1

tyto časové řady e charakterstcké, že: údae vyadřuí úroveň ebo stav zkoumaého evu, údae esou závslé a době mez sledovaým časovým okamžky, součet edotlvých údaů emá kokrétí smysl. Pro správý rozbor časové řady e uté s uvědomt určté rozdíly, které plyou z odlšého charakteru údaů obsažeých v časových řadách a ech výzamu. Proto rozdělueme časové řady a řady: 1) původích velč: a) tervalové b) okamžkové ) odvozeých velč: a) součtové: ) kumulatví ) klouzavých součtů b) průměrové: ) kumulatvích průměrů ) klouzavých průměrů c) rozdílové a poměrové Průměry časových řad Itervalové řady Hodoty tervalových velč (zaků) pro tervalové časové řady se vztahuí k určtým tervalům (časovým obdobím) a tyto hodoty podstatě ovlvňuí délky těchto tervalů. Neběžěším tervalovým velčam sou: produkce, maloobchodí obrat, tržby, mzdové fody, odpracovaé hody, počet arozeých dětí v určtém období atd. Jech základí agreguící číselou charakterstkou e artmetcký průměr (vz kaptolu ) hodot y,..., 1 y. Pro steě dlouhé časové tervaly používáme prostý artmetcký průměr y 1 y 1 a pro růzě dlouhé časové tervaly e vhodý vážeý artmetcký průměr s váham rovým převráceým hodotám těchto délek. Okamžkové řady Hodoty okamžkových velč (zaků) se evztahuí a určté období, ale k určtému okamžku. Tímto okamžkem může být prví ebo posledí de tohoto období, záměrě zvoleý de ebo okamžk. Příkladem okamžkové velčy údae e apř. početí stav obyvatelstva, dělíků, stav základích prostředků atd. Tyto údae ukazuí okamžtý stav zvoleého evu. Pro ech základí agregováí používáme tzv. chroologcký průměr y1d1 y( d1 d)... y 1( d d 1) yd 1 ychr, d d... d 1 1 kde d t 1 t, 1,..., 1, sou délky tervalů mez časovým okamžky pozorováy hodoty y daé časové řady vz obr. 3.. t, v chž byly y1 y y3 y-1 y t1 t t3 t-1 t d1 d d-1 Obr. 3.

Př výpočtu chroologckého průměru vlastě staovueme váhy hodot y tak, že vtří hodota y,,y-1 zastupue polovu předcházeícího a polovu ásleduícího časového tervalu. Kraím hodotám y1, resp. y, dáváme eom váhu polovy ásleduícího, resp. předcházeícího, časového tervalu. Specálě př steých časových vzdáleostech d1 =...= d-1 e chroologcký průměr 0,5y1 y y3 y 1 0,5y ychr. 1 Příklad 3.1 Ve výrobí frmě ZKZS, s.r.o. e vedea evdece stavu zásob. Celkový přehled e uvede v Kč a k dspozc sou údae z ásleduících dů: 1. lede 0,53 ml. Kč 1. květe 16,100 ml. Kč 1. říe 17,30 ml. Kč 1. lede 1,43 ml. Kč Vypočtěte průměrý ročí stav zásob (ech hodotu) v této frmě. Ř e š e í: Protože vzdáleost v měsících mez časovým okamžky sou d1 = 4, d = 5, d3 = 3, dostaeme 0,53 4 16,100 4 5 17,305 3 1,43 3 y chr 17,880 ml. Kč. 4 5 3 Průměrý ročí stav zásob v podku čl 17,880 ml. Kč. Teto průměrý ročí stav by bylo možé také určt vzhledem k počtu dů, resp. pracovích dů. Příklad 3. K dspozc sou údae o počtu zaměstaců frmy METALIKA v průběhu kaledářího roku: 1. leda 3 500 zaměstaců 1. duba 3 45 zaměstaců 1. červece 3 430 zaměstaců 1. řía 3 390 zaměstaců 1. leda 3 350 zaměstaců Vypočtěte průměrý počet zaměstaců v daé frmě v celém ročím období. Ř e š e í: Použeme-l vztah pro výpočet chroologckého průměru pro steé časové vzdáleost (v měsících), dostaeme 0,5.3 500 3 45 3 430 3390 0,5.3 350 y chr 3 417,5. 4 Chroologcký průměr stavu zaměstaců podku METALIKA čí v daém roce 3 417,5. Specálí typy řad Součtové řady kumulatví Kumulatví řady maí povahu arůstaících úhrů a používaí se u řad tervalového typu. Podstatou součtové řady kumulatví e ačítáí hodot zvoleého evu od staoveého počátku. Teto ástro má své uplatěí apř. v případě sledováí plěí ukazatelů za určté období (měsíc, rok). Kumulatví hodoty achází své uplatěí v záležtostech strategckého rozhodováí. Ukázka použtí tohoto ástroe e obsažea v ásleduícím příkladě. 3

Příklad 3.3 Máme údae o stavu výroby (ts. tu) za edotlvé měsíce. Úkolem e porováí skutečého stavu výroby za edotlvé měsíce a zároveň za celý rok: Produkce (ts. tu) Měsíc Měsíčí hodoty Kumulatví hodoty Plá Výroba (%) Plá Výroba (%) lede 36, 36,5 100,8 36, 36,5 100,8 úor 36,5 35,8 98,1 7,7 7,3 99,4 březe 35,1 35,8 10,0 107,8 108,1 100,3 dube 34, 35,1 10,6 14,0 143, 100,8 květe 33,0 33, 100,6 175,0 176,4 100,8 červe 33,0 3,1 97,3 08,0 08,5 100, červeec 33,0 31, 94,5 41,0 39,7 99,5 srpe 3,5 31,0 95,4 73,5 70,7 99,0 září 3,7 3,3 98,8 306, 303,0 99,0 říe 34,6 33,4 96,5 340,8 336,4 98,7 lstopad 36,8 36,6 99,5 377,6 373,0 98,8 prosec 38,0 38,1 100,3 415,6 411,1 98,9 Z tabulky kumulatvích hodot (kumulatvích řad pláu a výroby) e vdět, ak se vyvíí postupé plěí pláu (de vždy o poměr dosažeé výroby vzhledem k pláu v %) a z údaů za prosec, vyplývá, že oprot ročímu pláu 415,6 ts. tu bylo vyrobeo celkem za rok 411,1 ts. tu, což čí 98,9 % ročího pláu. Časové řady kumulatvích průměrů Řady kumulatvích průměrů sou tvořey z řad tervalových. Tyto řady ukazuí, ak se kumulatví průměry blíží k celkovému průměru za sledovaé období, který e vyádře posledí hodotou. Teto ástro e využívá př sledováí výše ákladů, př sledováí kvalty výroby atd. Prcp použtí vychází z kumulatví součtové řady, přčemž úda se dělí počtem období, za které byl akumulová. Pro demostrac použeme v ásleduícím příkladu data z příkladu 3.3 s kumulatvím hodotam výroby. Příklad 3.4 Období Kumulatví hodota (ts. tu) Kumulatví průměr (ts. tu) lede 36,5 36,5 : 1 = 36,50 úor 7,3 7,3 : = 36,15 březe 108,1 108,1 : 3 36,03 dube 143, 143, : 4 = 35,80 květe 176,4 176,4 : 5 = 35,8 červe 08,5 08,5 : 6 = 34,75 červeec 39,7 39,7 : 7 34,4 srpe 70,7 70,7 : 8 33,84 září 303,0 303,0 : 9 33,67 říe 336,4 336,4 :10 = 33,64 lstopad 373,0 373,0 :11 33,91 prosec 411,1 411,1 :1 34,6 4

Časové řady klouzavých součtů Řady klouzavých součtů (úhrů) maí charakter tervalových řad a získáme e postupým součty předem zvoleého počtu po sobě doucích hodot původí řady vz příklad 3.5. Součtová řada klouzavých úhrů e zeméa vhodá ke srováí vývoové tedece původí řady ve dvou delších (apř. ročích) obdobích. Časové řady klouzavých průměrů Klouzavé průměry avazuí a výpočet klouzavých součtů. Klouzavé průměry se vypočítaí poděleím klouzavého součtu počtem sečteých období - vz příklad 3.5. Řada klouzavých průměrů stírá případé sezóí vlvy a původí hodoty, zeméa etrémího charakteru. Další formace o klouzavých průměrech lze alézt v [1], [3], [4] a [5]. Příklad 3.5 V ásleduící tabulce sou a časové řadě měsíčích údaů o výrobě z příkladu 3.3 demostrováy klouzavé součty a klouzavé průměry pro 3 měsíce. Měsíc Výroba Klouzavý součet Klouzavý průměr lede 36,5 --- --- úor 35,8 --- --- březe 35,8 108,1 36,033 dube 35,1 106,7 35,567 květe 33, 104,1 34,700 červe 3,1 100,4 33,467 červeec 31, 96,5 3,167 srpe 31,0 94,3 31,433 září 3,3 94,5 31,500 říe 33,4 96,7 3,33 lstopad 36,6 10,3 34,100 prosec 38,1 108,1 36,033 Z obou vypočteých časových řad klouzavých součtů a klouzavých průměrů e zřetelě vdět, že od leda do srpa měsíčí výroba klesala a ve zbývaícím období rostla. Vývo časových řad Mez eedodušší charakterstky rozboru časových řad patří absolutí a relatví míry růstu, respektve poklesu hodot sledovaého zaku. Rozbor absolutích a relatvích měr růstu umožňue rozhodováí pří výběru fukce a vyrováí časové řady. U ásleduících ástroů budeme pro edoduchost uvažovat, že délky tervalů mez sousedím okamžky okamžkových časových řad, případě délky tervalů u tervalových časových řad, sou steé. Absolutí míry růstu (růstu ebo poklesu) představuí absolutí porováí hodot edotlvých čleů časové řady a pro blžší pops časové řady se používaí: absolutí přírůstek y y 1 pro,3,...,, 1 y y1 průměrý absolutí přírůstek, 1 1 který se vypočte ako prostý artmetcký průměr všech absolutích přírůstků. Absolutí přírůstek se azývá také prví dferece a začí se (1). Pokud sou absolutí přírůstky blízké kostatě, má hodoceá časová řada leárí tred, který lze grafcky vyádřt přímkou. Absolutí přírůstky charakterzuí změy, t. rychlost vývoe časové řady. Průměrý 5

absolutí přírůstek pak vyadřue vývo časové řady za celkové časové období. Zrychleí, resp. zpomaleí vývoe časové řady popsuí: druhá dferece průměrá druhá dferece () 1 pro 3,4,...,, () 1 (). Jsou-l druhé dferece blízké kostatě, e možé tred časové řady vyádřt pomocí polyomu druhého stupě, t. grafcky parabolou. Obecě pokud e mtá dferece přblžě kostatí, lze průběh daé časové řady vyádřt pomocí polyomu stupě m. Poměrou rychlost vývoe (růstu ebo poklesu) hodot daé časové řady charakterzuí relatví změy: koefcet růstu koefcet přírůstku k y y 1 1 3 pro,3,...,, k 1 pro,3,...,, y y průměrý koefcet růstu 1 k k 1, y průměrý koefcet přírůstku k 1. 1 Koefcety růstu a přírůstku průměré koefcety růstu a přírůstku se také uváděí v procetuálím tvaru, t. krát 100. Pokud sou koefcety růstu přblžě kostatí, e průběh časové řady zhruba epoecálí. Příklad 3.6 Vývo hrubého domácího produktu (mld. Kč) v České republce v letech 1990 až 1996 e po přepočtu a stálé cey v tabulce: Rok 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 HDP 564 71 859 1015 119 1338 1579 Určete průměrý ročí HDP, absolutí ročí přírůstky, průměrý ročí přírůstek, druhé dferece, průměrou druhou dferec, koefcety růstu, koefcety přírůstku a průměrý koefcet růstu HDP. Ř e š e í: Část výsledků výpočtu e v ásleduící tabulce, kde místo e přímo časová proměá t: t yt t t () kt kt100% t t100% 1990 564 --- --- --- --- --- --- 1991 71 157 --- 1,784 17,84 0,784 7,84 199 859 138-19 1,1914 119,14 0,1914 19,14 1993 1015 156 18 1,1816 118,16 0,1816 18,16 1994 119 177 1 1,1744 117,44 0,1744 17,44 1995 1338 146-31 1,15 11,5 0,15 1,5 1996 1579 41 95 1,1801 118,01 0,1801 18,01 768 1015 84 --- --- --- --- Jedá se o tervalovou časovou řadu, takže průměrý ročí HDP e 6

768 y 1038,857 1038,3 mld. Kč. 7 Absolutí přírůstky, druhé dferece, koefcety růstu a koefcety přírůstku sou v předcházeící tabulce. Odtud e zřemé, že evětšího HDP bylo dosažeo v roce 1996 a emešího v roce 1990. Z tabulky dále vdíme, že evětšího přírůstku HDP 41 mld. Kč bylo dosažeo v roce 1996 a aopak emešího absolutího přírůstku HDP 138 mld. Kč bylo dosažeo v roce 199. Avšak evětšího relatvího růstu HDP bylo dosažeo v roce 1991 (koefcet růstu e 1,784, tedy 17,84 %) a emešího relatvího růstu HDP bylo dosažeo v roce 1995 (koefcet růstu e 1,15, tedy 11,5 %). Z tabulky e dále vdět, že evětšího absolutího zrychleí vývoe HDP (evětší kladá druhá dferece) bylo dosažeo v roce 1996 a evětšího zpomaleí vývoe HDP (evětší záporá druhá dferece) bylo dosažeo v roce 1995. Průměrý ročí absolutí přírůstek HDP e 1015 169,16 169, mld. Kč, 71 takže ročí HDP celkově roste. Průměrý ročí koefcet růstu HDP e k 1579 7 1 6,7996454 1,187, 564 tedy 118,7 %. Odtud e průměrý ročí koefcet přírůstku HDP 0,187, tedy 18,7 %. To opět odpovídá tomu, že ročí HDP celkově roste. Pozameeme, že výpočet průměrého koefcetu růstu ebo přírůstku pomocí artmetckého průměru e mírě řečeo zaváděící. To se ale bohužel v ekoomckých aplkacích ěkdy stává. Průměrá ročí druhá dferece HDP e 16,8 mld. Kč, 7 takže se růst HDP celkově zrychlue. Pops časových řad () 84 Př zkoumáí vývoe sledovaého evu v zákotost a čase ás kromě vývoe (růst, pokles, stagace) zaímaí zákotost časového vývoe. Vývo časových řad e determová kombací ěkolka vlvů působících a hodoty časové řady. Jde o: tred vývoe (dlouhodobě působící vlv), perodcké vlvy (pravdelě se opakuící vlv), ahodlé vlvy (působí epravdelě, resp. áhodě). Tred časové řady Tred e důležtý prvek časových řad a představue obecou tedec dlouhodobého vývoe sledovaého ukazatele v čase. V rámc ekoomckého využtí časových řad e tred edůležtěší složkou, která ás zaímá ak z hledska současého stavu, tak predkce budoucího vývoe. Často se u časové řady očekává leárí tred, vyádřeý leárí fukcí času t a grafcky přímkou, ale v řadě případů de o tred eleárího tvaru. Pro vyádřeí tredu časových řad byla vyvuta a softwarově mplemetováa řada metod [1], [3], [4], [5] a [6]. Základí metodka e íže popsáa v odstavc o vyrováí časových řad. Perodcké vlvy Působeím perodckých vlvů dochází k perodckému kolísáí průběhu časové řady. Délka perody e rozdílá a podle eí velkost uvažueme další čleěí. Proevuí se: cyklcké vlvy (kolísáí se opakue pravdelě v edotlvých letech dlouhého časového období), sezóí vlvy (kolísáí se opakue pravdelě v rámc edoho delšího časového úseku - apř. 7

měsíce v rámc roku), případě krátkodobé vlvy (kolísáí krátkodobého charakteru př pravdelé perodě - apř. de v týdu, týde v měsíc atd.). Pro vyádřeí perodcty časových řad byla rověž vyvuta a softwarově mplemetováa řada metod [1], [3], [4], [5] a [6]. Nahodlé vlvy Nahodlé vlvy způsobuí ahodlé výkyvy ukazatelů časových řad kolem tredu ebo tredu s perodckým výkyvy. Tyto vlvy považueme za rušvou složku. Nahodlé vlvy sou modelováy pomocí áhodých velč a lze e dagostkovat metodam matematcké statstky [1] a [], z chž část e popsáa v kaptole 5. Dekompozce časové řady Z hledska působeí edotlvých vlvů a průběh časové řady lze vyádřt tred vývoe ako tredovou složku Tt, perodcké vlvy ako perodckou složku Pt a áhodé vlvy ako áhodou složku Et daé časové řady. Perodckou složku podle potřeby rozdělueme a cyklckou složku Ct a sezóí složku St. Dekompozce časové řady pak spočívá ečastě v eím adtvím modelu yt = Tt + Pt + Et, resp. yt = Tt + Ct + St + Et aebo multplkatvím modelu yt = Tt Pt Et, resp. yt = Tt Ct St Et. Vyrováí časových řad Př zkoumáí tredové složky časové řady de vlastě o vymezeí vlvu těch čtelů, které působí stablě a určuí směr vývoe daé časové řady. Grafcky odpovídá řešeí této úlohy alezeí takové dostatečě edoduché křvky, která by př grafckém zázorěí elépe vysthla směr vývoe daé časové řady. Takovou křvku získáme grafckým, mechackým ebo aalytckým vyrováím časové řady. Grafcké vyrováí e založeo a zakresleí časové řady do grafu ako a obr. 3.1 a grafckým odhadem (vyrováím) eího tredu ad hoc. Tato metoda má pouze oretačí charakter, může vést k zaváděícím závěrům a díky software se ž praktcky epoužívá. Mechacké vyrováí časové řady vychází z klouzavých součtů. Když klouzavé součty dělíme počtem období, dostaeme klouzavé průměry, echž hodoty sou povětšou blízké původím hodotám. Lší se tím, že sou do určté míry zbaveé sezóích výkyvů. Čára klouzavých průměrů bude tedy vyrovaěší ež čára původích hodot. Přtom e tím mootóěší (a zároveň kratší), čím více období vezmeme za základ pro staoveí příslušých klouzavých součtů. Velkou předostí této metody e eí edoduchost a skutečost, že ás dobře formue o tedec vývoe daé časové řady zbaveé sezóích cyklckých výkyvů. Aalytcké vyrováí časové řady e založeo a předpokladu závslost hodot časové řady yt a čase t. Pro vyrováí časové řady používáme takovou fukc f() t, která co elépe vyhovue eímu průběhu, t. respektue eí tred, případě eí perodckou složku. Výběr vhodé fukce f() t e založe a rozboru průběhu původích emprckých (pozorovaých) hodot časové řady yt, respektve ech prvích, druhých, příp. dalších dferecí, a koefcetů růstu. Aalytcké vyrováí časové řady má tvar y yˆ e f () t e, t t t t kde yˆ t f () t e vyrovaá hodota pozorovaé hodoty závsle proměé yt a et e tzv. rezduálí složka v čase t. Pro aalytcké vyrováí se v ekoomckých aplkacích obvykle používaí fukce, echž grafem e přímka, parabola, epoecála, růstová křvka apod. Jde vlastě o aplkac metod tzv. regresí aalýzy [13], [17], [1] a. V pra se zeméa u 8

rozsáhlých časových řad provádí vyrováí a PC pomocí statstckého software. Nečastě se používá př vyrováí časové řady tzv. vyrováí pomocí regresí přímky, kdy předpokládáme, že řada má leárí tred. Fukce má tvar yˆt b1 bt. Koefcety b1 a b staovíme řešeím tzv. soustavy ormálích rovc 1 t, t 1 t 1 b b t y f() t 1 t. t 1 t 1 t 1 b t b t y t Prví koefcet b1 e y-ová souřadce bodu, ve kterém daá přímka protíá osu y a odpovídá vyrovaé hodotě časové řady v ultém období. Druhý koefcet b e směrce přímky a vyadřue samotý tred, to zameá sklo přímky. Odpovídá změě vyrovaých hodot př edotkové změě velčy t a vyadřue průměrou změu původích hodot yt. O vhodost použté fukce se můžeme přesvědčt apř. pomocí eího grafu, velkost koefcetu korelace ebo velkost součtu čtverců odchylek (rezduí) ( y - ˆ t yt). t 1 K výpočtu uvedeé přímky můžeme také použít software Ecel. Příklad 3.7 Určete tredovou složku yˆt b1 bt časové řady vývoe hrubého domácího produktu České republky v letech 1990 až 1996 z příkladu 3.6. Ř e š e í: Z příkladu 3.6 e = 7, t 7804371, t 1 t 1 yt 768 a dalším výpočtem dostaeme t 1 yt14489736. Soustava ormálích rovc pak e t 7b 13591b 768, 1 13591b 7804371 b 14489736. 1 t 1 y ˆt t 13591, Řešeím této soustavy dostaeme koefcety b1 3737,3 a b 164,7. Odtud e vyrováí časové řady (tredová fukce) yˆ t -3737,3 164,7 t. Například pro t = 1993 dostaeme yˆ 1993-3737,3 164,7 1993 = 1009,8 mld. Kč, což e v dobré shodě se skutečým HDP y1993 = 1015 mld. Kč. Také hodota b = 164,7 mld. Kč / rok odpovídá průměrému ročímu absolutímu přírůstku 169, mld. Kč / rok z příkladu 3.6. Koefcety b1 a b můžeme také vypočítat a PC pomocí MS Ecelu v abídce Průvodce grafem ebo Aalýza dat. Graf původí časové řady a tredové fukce e a obr. 3.3. Zřemě e získaá tredová fukce vhodá. 9

1800 HDP za rok 1600 1400 100 1000 800 600 400 1990 1991 199 1993 1994 1995 1996 Obr. 3.3 Kotrolí otázky 1. Defute časovou řadu a uveďte kokrétí případy.. Uveďte rozděleí časových řad a kokrétí příklady a edotlvé typy. 3. Jak se určí chroologcký průměr okamžkové časové řady? 4. Jaké charakterstky popsuí vývo časové řady? 5. Popšte složky časové řady a eí dekompozc. 6. Jakým způsoby vyrováváme časové řady? 30

4. INDEXOVÁ ANALÝZA Základí pomy Idey patří mez poměré kvattatví statstcké zaky a vyadřuí změu sledovaého kvattatvího zaku ebo souboru zaků u edé ebo více statstckých edotek během ěakého časového tervalu ebo vlvem ěakého faktoru. Kostruuí se obvykle ve tvaru zlomku, kde v čtatel e hodota zaku ve srovávaém, tzv. běžém období, a ve meovatel hodota tohoto zaku v tzv. základím období. Čleěí deů vyplývá z charakteru, složtost ech kostrukce a vlvu zkoumaých velč. Idey dělíme a dey dvduálí a dey souhré. Idvduálí dey vyadřuí změy velkost edotlvých zaků u edé statstcké edotky aebo u skupy steorodých statstckých edotek. Dělíme e a dvduálí edoduché, když popsueme změu zaku u edé statstcké edotky (apř. změu cey ebo možství stého výrobku), a a dvduálí složeé, když sledueme změu edoho zaku u skupy podobých (homogeích) statstckých edotek (apř. změu ce ebo možství podobých výrobků). Oprot tomu souhré (agregátí) dey vyadřuí změy velkost zaků esteorodé skupy typů statstckých edotek (apř. spotřebího koše růzých výrobků ebo zboží). Jde o ásleduící rozděleí deů: dvduálí edoduché dey složeé souhré Porovávaé zaky (velčy) dělíme a eteztí, vyadřuící možství, obem, produkc apod., které začíme písmeem q a a teztí, vyadřuící ceu, teztu apod., které začíme písmeem p. Z deů pro eteztí zaky se ečastě používaí možsteví dey a pro teztí zaky, povětšou vyadřuící ceu, ceové dey. Idey patří mez ečastě aplkovaé popsé charakterstky dyamky vývoe makroekoomckých mkroekoomckých statstckých zaků. Idvduálí dey Idvduálí edoduché dey Idvduálí edoduchý de q pro eteztí zak, resp. p pro teztí zak, e q1 p1 q, resp. p, q0 p0 kde hodota v čtatel odpovídá běžému období a hodota ve meovatel základímu období. Velkost deu závsí a velkost čtatele a také a velkost meovatele. Proto e důležtá správá volba základu. Za základ e třeba volt takové hodoty, které elépe reprezetuí daý soubor hodot zaku. Někdy lze použít průměr z ěkolka hodot. Př výpočtu deů a ech ásledé terpretac e třeba dbát srovatelost období a také věcé srovatelost ukazatelů. Př kostrukc deu e třeba zastt edotu zkoumaých ukazatelů, ak by vypovídací schopost deu byla začě sížea. V případě, že q vyadřue možství a p ceu, tak se eště 31

používá dvduálí edoduchý hodotový de qp 1 1 h qp. qp 0 0 Příklad 4.1 Produkce oceláry byla v roce 1994 a úrov 780 tu, kdy cea za tuu ocel byla 8750,- Kč a v roce 1995 byla produkce ocel a úrov 950 tu, kdy cea za tuu ocel byla 9690,-Kč. Určete dey možství, cey a hodoty produkce ocel v roce 1995 oprot roku 1994. 950 Ř e š e í: q 780 1,061 106,1% produkce oceláry se mezročě zvýšla o 6,1%; 9690 p 8750 1,107 110,7% cea ocel se mezročě zvýšla o 10,7%; qp 1 1 h qh qp 0 0 1, 0611,107 1,175 117,5% hodota vyrobeé ocel se mezročě zvýšla o 17,5%. Idvduálí složeé dey Pro posuzováí změy sledovaého statstckého zaku u skupy podobých (homogeích) statstckých edotek používáme a rozdíl od edoduchých dvduálích deů (apř. de produkce cemetu edé cemetáry) dvduálí složeé dey (apř. de produkce skupy cemetáre, výstavu pva apod.). Rozlšeí mez edoduchým a složeým dey e velm důležté. U složeých deů hrae rol srovatelost období, srovatelost věcá a srovatelost složeí. Idvduálí složeý de eteztí velčy e dá vztahem () q1 q () q. 0 Příklad 4. V ásleduící tabulce e uvedea výroba cemetu (v tuách) ve čtyřech cemetárách ve třech časových obdobích. Cemetára Lede (0) Úor (1) Březe () A 300 450 390 B 5 10 5 100 4 800 C 8 100 8 600 9 000 D 6 50 6 50 5 900 Celková výroba 1 860 400 090 Jestlže považueme všechy uvedeé cemetáry za ede celek, pak dvduálí složeé dey pro eteztí velču (produkc) sou 400 090 q 1 1,05, q 0,986, 1860 400 takže celková měsíčí produkce cemetáre se v úoru oprot ledu zvýšla o,5% a v březu se oprot úoru sížla o 1,4%. 3

Idvduálí složeý de charakterzuící změu teztí velčy (apř. ce) se azývá de promělvého složeí (de průměrých ce) a e dá vztahem ( ) ( ) p q 1 1 () q1 p 1 prom. sloz. ( ) ( ) p0 p0 q0 () q0 Idvduálí složeý de vyadřuící změu hodoty celkové produkce, obratu, ákladů apod. e dvduálí složeý hodotový de ( ) ( ) q1 p1 Ih. ( ) ( ) q p Příklad 4.3 V ásleduící tabulce e uvede přehled vývoe ce a možství dodaých (vyrobeých) výrobků steého druhu v podku. Posledí dva vypočteé sloupce obsahuí hodoty dodávek. Dodávka Počet kusů v období 0 0 Cea za kus v období. Hodota dodávky v období Základí Běžé Základí Běžé Základí Běžé q0 q1 p0 p1 p0q0 p1q1 Smluví 8 000 8 000 1,- 13, 96 000 105 600 Nadsmluví 500 4 600 30,- 30,- 15 000 138 000 Celkem 8 500 1 600 ----- ----- 111 000 43 600 Iteztí velčou, eíž změu zkoumáme, e cea. Změu cey pro edotlvé druhy dodávek charakterzuí dvduálí edoduché ceové dey pro smluví dodávky (1) a pro adsmluví dodávky (): (1) () (1) p1 13, p (1) 1,100 () p1 30, p () 1,000. p0 1 p0 30 U smluvích dodávek stoupla cea o 10% a u adsmluvích zůstala steá. Eteztí velčou, eíž změu zkoumáme, e velkost dodávek. Změu možství v edotlvých druzích dodávek charakterzuí dvduálí edoduché možsteví dey pro smluví dodávky (1) a pro adsmluví dodávky (): (1) () (1) q1 8000 q (1) 1,000 () q1 4600, q 9,00. () q0 8000 q0 500 U smluvích dodávek zůstalo možství steé a u adsmluvích se zvýšlo o 80%. Změy celkových dodávek vyadřue dvduálí složeý možsteví de () q1 1600 q () 1,48 148,%, q 8500 takže celkové možství dodaých výrobků vzrostlo o 48,%. Průměrá cea v základím období e 0 33