Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice

Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘKÁ PRÁCE Štěpán Masák Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Ústav technické matematiky a Centrum pro jakost a spolehlivost výroby, Fakulta strojní, ČVUT v Praze tudijní program: Matematika, obecná matematika 2010

Chtěl bych poděkovat svému vedoucímu, RNDr. Jakubu taňkovi, Ph.D., za zajímavé téma, za jeho ochotu a za praktické rady. Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou práci napsal samostatně a výhradně s použitím citovaných pramenů. ouhlasím se zapůjčováním práce a jejím zveřejňováním. V Praze dne 5. 8. 2010 Štěpán Masák 2

Obsah 1 Používané pojmy 6 2 Itôův integrál a stochastický diferenciál 8 2.1 Konstrukce Itôova integrálu.................. 8 2.2 tochastická diferenciální rovnice............... 12 3 Numerické metody řešení DR 14 3.1 Odvození numerických metod................. 14 3.2 Vybrané numerické metody.................. 15 3.2.1 Eulerova metoda.................... 16 3.2.2 Metody prediktor-korektor............... 16 3.2.3 Newtonovy metody................... 16 4 Aplikace vybraných metod 18 Literatura 23 3

Název práce: Numerická řešení stochastické diferenciální rovnice Autor: Štěpán Masák Katedra: Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí bakalářské práce: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Ústav technické matematiky a Centrum pro jakost a spolehlivost výroby, Fakulta strojní, ČVUT v Praze e-mail vedoucího: stanekj@karlin.mff.cuni.cz Abstrakt: V předložené práci se zabýváme stochastickými diferenciálními rovnicemi a jejich numerickým řešením. Nejprve předvedeme konstrukci Itôova integrálu, který použijeme ke zformulování stochastické diferenciální rovnice. Pak uvedeme podmínky pro existenci a jednoznačnost jejího řešení. Dále ukážeme, jak se odvozují numerické metody pomocí Itôova vzorce. Uvedeme a stručně popíšeme několik vybraných metod. Tyto metody potom aplikujeme na konkrétní příklad. Klíčová slova: stochastická diferenciální rovnice, Itôův integrál, numerické metody Title: Numerical solutions of a stochastic differential equation Author: Štěpán Masák Department: Department of Probability and Mathematical tatistics upervisor: RNDr. Jakub taněk, Ph.D., Department of Technical Mathematics and The Center of Quality and Reliability, Faculty of Mechanical Engineering, CTU in Prague upervisor s e-mail address: stanekj@karlin.mff.cuni.cz Abstract: In the present work we deal with stochastic differential equations and their numerical solution. First we present the construction of Itô s integral, which we use to formulate the stochastic differential equation. Then we present conditions for the existence and uniqueness of its solution. Furthermore, we show how to derive numerical methods using Itô s formula. We introduce and briefly describe a few selected methods. Then we apply these methods to a concrete example. Keywords: stochastic differential equation, Itô integral, numerical methods 4

Úvod tochastické diferenciální rovnice (DR) se používají při modelování dynamických jevů, v nichž hraje roli náhoda. Za první počiny v této oblasti lze považovat pokusy o matematický model Brownova pohybu z přelomu 19. a 20. století. Ale až stochastický integrál, který definoval v roce 1944 japonský matematik Kiyoshi Itô, a s ním spojený Itôův kalkulus umožnil formulovat a řešit skutečné stochastické diferenciální rovnice. Ty od té doby našly uplatnění v mnoha oborech od fyziky přes biologii až po modelování cen akcií ve finanční matematice.[1] Jelikož tyto rovnice v mnoha případech nedokážeme řešit analyticky, je potřeba studovat možnosti jejich numerického řešení. Metody používané pro řešení deterministických diferenciálních rovnic při aplikaci na rovnice stochastické nevykazují příliš dobré výsledky, potřebujeme tedy hledat metody nové, efektivnější. V této práci nejprve předvedeme konstrukci Itôova integrálu, který následně použijeme při formulování stochastické diferenciální rovnice. Dále uvedeme podmínky pro existenci a jednoznačnost řešení této rovnice. Poté ukážeme, jakým způsobem se vytváří numerické metody pro řešení DR. Několik těchto metod popíšeme a v poslední kapitole předvedeme jejich použití na konkrétním příkladě. Cílem práce je seznámit čtenáře s pojmem stochastické diferenciální rovnice a ilustrovat možnosti jejího numerického řešení. Přepokládá se pouze základní znalost teorie pravděpodobnosti a matematické analýzy. 5

Kapitola 1 Používané pojmy V této kapitole uvedeme definice některých pojmů, které budeme dále v textu používat. Začneme definicí náhodného procesu, který pro nás představuje funkci, jejíž hodnoty závisí na náhodě. Definice 1. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, T R. Potom rodina náhodných veličin {X t, t T } na prostoru (Ω, A, P ) se nazývá náhodný proces. Na náhodný proces lze také nahlížet jako na funkci dvou proměnných X : T Ω R (t, ω) X(t, ω) := X t (ω). Proměnná t má často význam času, budeme ji tak také nazývat. Pro pevné ω nazýváme funkci t X(t, ω) trajektorií procesu. Dále definujeme jeden důležitý náhodný proces Wienerův proces který se často používá jako zdroj nejistoty ve stochastických modelech. Definice 2. Wienerovým procesem nazýváme náhodný proces {W t, t 0} splňující podmínky: i) W 0 = 0 s.j. a {W t, t 0} má spojité všechny trajektorie. ii) Pro libovolná 0 t 1 < t 2 < < t n jsou přírůstky W t1, W t2 W t1, W t3 W t2,..., W tn W tn 1 nezávislé náhodné veličiny. iii) Pro libovolné 0 s < t mají přírůstky W t W s normální rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem t s. 6

Poznámka. Wienerův proces se také často nazývá Brownův pohyb, neboť skutečně jde o matematický model fyzikálního Brownova pohybu. Jednou z vlastností Wienerova procesu, která komplikuje konstrukci stochastického integrálu, je, že jeho trajektorie mají na libovolném intervalu skoro jistě nekonečnou totální variaci. Připomeňme zde její definici. Definice 3. Totální variace reálné funkce f na intervalu [a, b] je číslo Va b f = sup { n i=1 f(x i) f(x i 1 ) ; D = {a = x 0 < < x n = b} je dělení [a, b]}. Dále definujeme pojmy filtrace a adaptovaný proces, které budeme používat při konstrukci Itôova integrálu. Definice 4. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, T R. ystém σ-algeber {F t, t T } takový, že t T je F t A a s, t T, s < t je F s F t se nazývá filtrace. Definice 5. Nechť {F t, t T } je filtrace. Náhodný proces f(t, ω) : T Ω R nazveme F t -adaptovaný, pokud pro každé t T je funkce ω f(t, ω) F t -měřitelná. Připomeňme ještě konvergenci v L 2. Definice 6. Nechť X n, n N, X jsou reálné náhodné veličiny takové, že X n L 2, n N, X L 2. Říkáme, že posloupnost {X n } n=1 konverguje k X v L 2, jestliže E X n X 2 0, n. Na závěr definujeme podmíněnou střední hodnotu, pojem, který použijeme při charakterizaci Newtonovy metody. Definice 7. Nechť (Ω, A, P ) je pravděpodobnostní prostor, F A σ-algebra. Podmíněnou střední hodnotou náhodné veličiny X L 1 (Ω, A, P ) za podmínky F rozumíme jakoukoliv náhodnou veličinu Y L 1 (Ω, F, P F ) takovou, že X dp = Y dp B F. Tyto veličiny označujeme symbolem E[X F]. B Poznámka. Veličina E[X F] je určena jednoznačně P F -skoro jistě. B 7

Kapitola 2 Itôův integrál a stochastický diferenciál 2.1 Konstrukce Itôova integrálu Před tím, než budeme moci formulovat stochastické diferenciální rovnice, je třeba definovat stochastický integrál. To lze udělat více způsoby. Dnes jsou nejpoužívanější stochastické integrály Itôův a tratonovičův. V této práci budeme uvažovat Itôův integrál T f(t, ω) dw t (ω), kde f je nějaký náhodný proces a W t je Wienerův proces. Nyní tento integrál zavedeme. Při jeho konstrukci vycházíme z knihy [2]. Jelikož trajektorie Wienerova procesu mají skoro jistě nekonečnou totální variaci, je třeba tento integrál definovat jinak, než jako běžný tieltjesův integrál. Definujeme jej pouze pro speciální třídu procesů pro takové, jejichž hodnota v čase s závisí pouze na hodnotách procesu W t do času s. Odtud pramení důležitá vlastnost Itôova interálu, že se nedívá do budoucnosti. Matematicky tuto vlastnost vyjádříme pomocí měřitelnosti: Definice 8. Nechť W t (ω) je Wienerův proces. Pak označíme F t σ-algebru generovanou náhodnými veličinami {W s, 0 s t}, tj. nejmenší σ-algebru obsahující všechny množiny tvaru {ω; W t1 (ω) B 1,..., W tn (ω) B n }, kde n N, 0 t k t a B k B(R) je borelovská množina pro k = 1,..., n. 8

σ-algebru F t si můžeme představovat jako množinu informací, které máme o procesu W t k dispozici v čase t. Fakt, že je nějaká veličina X t F t -měřitelná pak znamená, že v čase t již z těchto dostupných informací dokážeme určit její hodnotu. Náhodný proces je tedy F t -adaptovaný, když jeho hodnota v libovolném čase t závisí pouze na hodnotách procesu W s do času t. F t -adaptované jsou například procesy W t t nebo W t/2, zatímco proces W 2t F t -adaptovaný není. Nyní můžeme definovat třídu funkcí, pro které budeme definovat Itôův integrál na intervalu (, T ). Definice 9. Označíme V(, T ) třídu funkcí takových, že f(t, ω) : [0, ) Ω R i) (t, ω) f(t, ω) je B A-měřitelná, kde B je borelovská σ-algebra na [0, ). ii) f(t, ω) je F t -adaptovaný proces. [ T ] iii) E f(t, ω) 2 dt <. Nyní definujeme pro funkce f V(, T ) Itôův integrál T f(t, ω) dw t (ω). Postupujeme tak, že nejprve definujeme Itôův integrál pro jednoduché funkce, funkci f pak aproximujeme posloupností těchto jednoduchých funkcí a integrál z f definujeme jako limitu jejich integrálů. Funkci φ V(, T ) nazýváme jednoduchou, pokud má tvar n 1 φ(t, ω) = e j (ω) I [tj,t j+1 )(t), (2.1) j=0 kde e j (ω) je F tj -měřitelná náhodná veličina pro j = 0,..., n 1 a = t 0 < t 1 < < t n = T je nějaké dělení intervalu [, T ]. 9

Definice 10. Pro jednoduchou funkci φ(t, ω) ve tvaru (2.1) definujeme Itôův integrál od do T jako T n 1 φ(t, ω) dw t (ω) = e j (ω) [W tj+1 (ω) W tj (ω)]. j=0 Nyní ukážeme, jak lze pro libovolnou funkci f V(, T ) setrojit posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1, které ji vhodně aproximují. Budeme k tomu potřebovat následující lemma, které lze i s důkazem nalézt v knize [2] (Lemma 3.1.5, str. 26). Lemma 1 (Itôova izometrie). Nechť φ(t, ω) je omezená a jednoduchá. Pak [ ( T ) 2 ] [ T ] E φ(t, ω) dw t (ω) = E φ(t, ω) 2 dt. (2.2) Posloupnost {φ n } n=1 sestrojíme jako v [2], ve třech krocích: Tvrzení 2. Nechť g V(, T ) je omezená a spojitá v t pro každé ω. Pak existuje posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1 taková, že [ T ] E (g φ n ) 2 dt 0, n. Důkaz. Pro n N označme d = T n a položme n 1 φ n (t, ω) = g( + jd, ω) I [+jd,+(j+1)d) (t). j=0 Pak φ n je jednoduchá, neboť g V(, T ). Dále pro každé ω T (g φ n ) 2 dt 0, n, neboť g je spojitá v t pro každé ω. Jelikož je g omezená, můžeme podle Lebesgueovy věty zaměnit limitu a integrál, z čehož již plyne tvrzení. Tvrzení 3. Nechť h V(, T ) je omezená. Pak existuje posloupnost {g n } n=1 V(, T ) taková, že g n jsou omezené a spojité v t pro každé ω a platí [ T ] E (h g n ) 2 dt 0, n. 10

Důkaz. Nechť h(t, ω) M pro každé (t, ω). Nechť ψ n, n N jsou spojité nezáporné funkce takové, že i) ψ n (x) = 0 pro x 0 a x 1 n a ii) ψ n dx = 1. Položme g n (t, ω) = t 0 h(s, ω)ψ n (t s) ds. Pak g n je spojitá v t pro každé ω a g n (t, ω) M pro každé (t, ω). Dále jde dokázat (viz [2], tep 2., str. 27), že g n V(, T ) a že pro každé ω T (h g n ) 2 dt 0, n. Odtud opět z Lebesgueovy věty plyne tvrzení. Tvrzení 4. Nechť f V(, T ). Pak existuje posloupnost {h n } n=1 V(, T ) taková, že h n jsou omezené a platí [ T ] E (f h n ) 2 dt 0, n. Důkaz. Položme n, když f(t, ω) < n, h n (t, ω) = f(t, ω), když n f(t, ω) n, n, když n < f(t, ω). Pak z Lebesgueovy věty plyne tvrzení. Podle tvrzení 2-4 sestrojíme posloupnost jednoduchých funkcí {φ n } n=1 takovou, že [ T ] E (f φ n ) 2 dt 0, n. Tuto posloupnost nyní využijeme k definici Itôova integrálu. 11

Definice 11 (Itôův integrál). Nechť f V(, T ). Pak Itôův integrál z f od do T definujeme jako T T f(t, ω) dw t (ω) = lim φ n (t, ω) dw t (ω) (limita v L 2 ) (2.3) n kde {φ n } n=1 je posloupnost jednoduchých funkcí takových, že [ T ] lim n (f(t, ω) φ n (t, ω)) 2 dt = 0. (2.4) { } T Limita v (2.3) existuje, neboť posloupnost n(t, ω) dw t (ω) je n=1 podle Itôovy izometrie (2.2) Cauchyovská v L 2, kdykoli {φ n } n=1 splňuje podmínku (2.4). Z Itôovy izometrie také plyne, že tato limita nezáleží na volbě posloupnosti {φ n } n=1. 2.2 tochastická diferenciální rovnice Nyní již můžeme zformulovat (obyčejnou) stochastickou diferenciální rovnici. Ta má tvar dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t, (2.5) kde b a σ jsou borelovské funkce z [0, ) R do R a W t je Wienerův proces. Za řešení této rovnice (v Itôově smyslu) považujeme jakýkoliv náhodný proces {X t, t 0}, pro který platí X t = X 0 + kde X 0 je náhodná veličina. t 0 b(s, X s ) ds + t Poznámka. Obvykle se také vyžaduje podmínka t 0 b(s, X s ) + σ(s, X s ) 2 ds < 0 σ(s, X s ) dw s, s.j., aby měl výraz na pravé straně smysl (viz [3], Definice 4.1.1, str. 160). Abychom mohli rovnici (2.5) úspěšně numericky řešit, je třeba, aby měla právě jedno řešení. Postačující podmínku pro existenci a jednoznačnost řešení nám dává následující věta, kterou lze i s důkazem najít v knize [2] (Věta 5.2.1, str. 68). 12

Věta 5. Nechť je T > 0 a b, σ : [0, T ] R R jsou měřitelné funkce splňující b(t, x) + σ(t, x) C(1 + x ); x R, t [0, T ] (2.6) pro nějakou konstantu C a b(t, x) b(t, y) + σ(t, x) σ(t, y) D x y ; x, y R, t [0, T ] (2.7) pro nějakou konstantu D. Nechť Z je náhodná veličina nezávislá na σ-algebře F generované náhodnými veličinami W t, t 0 taková, že E [ Z 2] <. Pak má stochastická diferenciální rovnice dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t, 0 t T, X 0 = Z právě jedno řešení X t (ω) spojité v t takové, že X t (ω) je adaptované na filtraci Ft Z generovanou náhodnými veličinami Z a W s, s t a [ T ] E X t 2 dt <. 0 Podmínka (2.6) zajišťuje, že řešení neexploduje, tj. že X t (ω) nediverguje k v konečném čase. Podmínka (2.7) zajišťuje, že se řešení nevětví a je jednoznačné. 13

Kapitola 3 Numerické metody řešení DR V této kapitole čerpáme z knihy [3]. Budeme uvažovat stochastickou diferenciální rovnici dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t s danou počáteční podmínkou X 0 na daném (deterministickém) intervalu [0, T ]. 3.1 Odvození numerických metod Základním nástrojem pro odvozování numerických metod jsou Itôovy-Taylorovy rozvoje. Abychom je mohli zformulovat v přehledné formě, označme b 0 = b, b 1 = σ, Wt 0 = t, Wt 1 = W t a definujme parciální diferenciální operátory L 0 = + b(t, x) t x + 1 2 σ(t, x)2 2 x, 2 L 1 =σ(t, x) x. Dále zformulujeme bez důkazu klíčové tvrzení ([3], Lemma 5.3.1, str. 241). Lemma 6 (Itôův vzorec v integrálním tvaru). Nechť proces X t je řešením rovnice dx t = b(t, X t ) dt + σ(t, X t ) dw t. Nechť V C 2 ([0, ) R), 0 t 0 t T. Pak platí V (t, X t ) = V (t 0, X t0 ) + t t 0 L 0 V (s, X s ) ds + 14 t t 0 L 1 V (s, X s ) dw s. (3.1)

Nyní opakovaným použitím vzorce (3.1) získáme Itôovy-Taylorovy rozvoje procesu X t. Nejprve položíme V (t, x) = x a dostaneme X t = X t0 + t t 0 b(s, X s ) ds + t t 0 σ(s, X s ) dw s = X t0 + 1 j=0 t t 0 b j (s, X s ) dw j s. Jsou-li funkce b j dostatečně hladké, můžeme použít vzorec (3.1) na V = b j, čímž dostaneme 1 t 1 t s X t = X t0 + b j (t 0, X t0 ) dws j + L k b j (u, X u ) dwu k dws j. j=0 t 0 } {{ } přírůstek Eulerovy metody Dále pro V = L k b j dostáváme X t = X t0 + + 1 j,k,l=0 1 t b j (t 0, X t0 ) j,k=0 t 0 t 0 } {{ } zbytek 1 L k b j (t 0, X t0 ) t s dws j + dwu k dws j j=0 t 0 j,k=0 t 0 t 0 }{{} přírůstek Taylorovy metody 2. řádu t s u t 0 t 0 t 0 L l L k b j (z, X z ) dwzdw l u k dws j. } {{ } zbytek Podobně můžeme pokračovat dále a získat rozvoje vyšších řádů. (Není ovšem třeba rozvíjet vždy všechny členy najednou.) Zanedbáním zbytků dostáváme Taylorovy metody. Z nich se pomocí různých substitucí odvozují metody další. 3.2 Vybrané numerické metody Na závěr této kapitoly uvedeme několik numerických metod vybraných z knihy [3]. Vyhýbáme se při tom metodám vyšších řádů, které sice mají vyšší řád konvergence, ale vyžadují generování násobných stochastických integrálů. Numerickým řešením rozumíme posloupnost Y 0,..., Y n aproximací veličin X t0,..., X tn, kde 0 = t 0 t 1 t N = T je dělení intervalu [0, T ], Y 0 = X 0. Označíme velikosti kroků n = t n+1 t n a přírůstky Wienerova procesu W n = W tn+1 W tn pro n = 0,..., N 1. 15

Poznámka. Z definice Wienerova procesu vyplývá, že W n jsou nezávislé náhodné veličiny s normálním rozdělením se třední hodnotou 0 a rozptylem n. 3.2.1 Eulerova metoda Nejjednodušší numerickou metodou je explicitní Eulerova metoda, kterou studoval G. Maruyama již v roce 1955. Někdy je proto nazývána též Eulerova- Maruyamova. Je dána předpisem Y n+1 = Y n + b(t n, Y n ) n + σ(t n, Y n ) W n (3.2) Vidíme tedy, že jde o prostou adaptaci deterministické Eulerovy metody. Mezi její výhody patří její jednoduchost, je také dobře prozkoumaná. Nevýhodou je nízký řád konvergence a nízká numerická stabilita. 3.2.2 Metody prediktor-korektor Cílem metod prediktor-korektor je dosáhnout podobné stability, jakou mají implicitní metody, avšak bez nutnosti řešit nelineární algebraické rovnice, které při použití implicitních metod vyvstávají. Příkladem metody prediktor-korektor je explicitní lichoběžníková metoda daná předpisem Y n+1 = Y n + 1 ( b(tn+1, Y E 2 n+1) + b(t n, Y n ) ) n + σ(t n, Y n ) W n, (3.3) kde Yn+1 E je prediktor vypočítaný pomocí explicitní Eulerovy metody. 3.2.3 Newtonovy metody V této části čerpáme také z [4]. N. Newton zavedl v roce 1986 koncept asymptoticky efektivních, FN T -měřitelných metod, kde F T N = σ{w tn, n = 0,..., N} je σ-algebra generovaná veličinami W t0,..., W tn. Definice 12. FN T -měřitelnou metodu {Y n, n = 0,..., N} nazýváme asymptoticky efektivní podle p-tého středu, právě když E [ X T Y N p ] F T N = 0 s.j. nebo pro každou jinou FN T -měřitelnou metodu {Y n, n = 0,..., N} platí E [ X T Y N p ] F T lim inf N N + E [ X T Y N p ] 1 s.j. F T N 16

Poznámka. Používáme zde podmíněnou střední hodnotu z definice 7. Jednou z asymptoticky efektivních metod (pro p = 2) je efektivní Rungeova-Kuttova metoda, kterou lze použít pouze pro autonomní rovnice, tj. rovnice, jejichž koeficienty b a σ nezávisí na čase. Lze tedy psát b(t, X t ) = b(x t ), σ(t, X t ) = σ(x t ). Tato metoda je dána předpisem Y n+1 = Y n + 1 2 (k0 1 + k 0 0) n + 1 40 (37k1 0 + 30k 1 2 27k 1 3) W n + 1 16 (8k1 0 + k 1 1 9k 1 2) 3 n, (3.4) kde k0 0 = b(y n ), k0 1 = σ(y n ) ( k1 0 = b(y n + k0 0 n + k0 W 1 n ), k1 1 = σ Y n 2 3 k1 0( W n + ) 3 n ) ( k2 1 = σ Y n + 2 9 k1 0(3 W n + ) 3 n ) ( k3 1 = σ Y n 20 27 k0 0 n + 10 27 (k1 1 k0) W 1 n 10 ) 27 k1 1 3 n. Výhodou této metody je vyšší řád konvergence bez použití vícenásobných stochastických integrálů. 17

Kapitola 4 Aplikace vybraných metod V této kapitole ukážeme použití vybraných numerických metod k řešení lineární rovnice dx t = µx t dt + σx t dw t (4.1) s počáteční podmínkou X 0 = 1 a parametry µ = 1, σ = 0,6 na intervalu [0, 2]. Používáme k tomu prostředí Wolfram Mathematica 7.0. Všechny zdrojové kódy se nachází na přiloženém CD. Rovnice (4.1) má duležitou roli ve finanční matematice. Používá se k modelování cen akcií, je na ní založen Blackův-cholesův vzorec pro oceňování opcí. Analytické řešení této rovnice je známé, je jím proces X t = X 0 exp {(µ σ2 2 ) t + σw t }, (4.2) který se nazývá geometrický Brownův pohyb. Podívejme se nejprve na několik trajektorií vygenerovaných jednotlivými metodami. Velikost kroku volíme 0,01, stejně tak i v dalších simulacích. Na obrázku 4.1 vidíme stejné tři trajektorie generované postupně Eulerovo metodou (3.2), metodou prediktor-korektor (3.3) a Newtonovo metodou (3.4) a přesné řešení podle vzorce (4.2). Všechny grafy jsou si velice podobné, podívejme se proto detailněji na jednu z trajektoríí. Na obrázku 4.2 je jedna z trajektoríí generovaná všemi třemi metodami a přesné řešení. Můžeme si všimnout, že Newtonova metoda na obrázku není vidět. Je to způsobeno tím, že je překryta přesným řešením. Její odchylka od přesného řešení nepřesahuje 0,017. To není případ pouze této trajektorie, Newtonova metoda je obecně znatelně přesnější než zbývající dvě metody. Cenou za její přesnost je vyšší výpočetní náročnost. 18

15 15 10 10 5 5 20 20 15 15 10 10 5 5 Obrázek 4.1: tejné tři trajektore generované postupně Eulerovo metodou, metodou prediktor-korektor a Newtonovo metodou a přesné řešení. 19

Eulerova metoda prediktor korektor Newtonova metoda presne reseni 5 Obrázek 4.2: Jedna trajektorie generovaná všemi metodami a přesné řešení. Když vygenerujeme větší množství trajektorií, můžeme s jejich pomocí odhadnout střední hodnotu řešení. Na obrázku 4.3 vidíme srovnání výběrového průměru postupně z 10, 100, 1 000 a 10 000 trajektorií s teoretickou střední hodnotou EX t = e t. Jelikož jsou výsledky všech metod podobné, uvádíme pouze řešení Newtonovo metodou. Můžeme se také podívat na rozdělení řešení v nějakém daném čase t. Veličina X t má lognormální rozdělení LN ( ln X 0 + (µ 1 2 σ2 )t, σ 2 t ). Na obrázku 4.4 vidíme porovnání histogramu z 10 000 hodnot vygenerovaných Newtonovo metodou a teoretické hustoty v čase t = 2. Na obrázku 4.5 jsou zachyceny empirická a teoretická distribuční funkce. 20

10 8 6 4 2 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 7 6 5 4 3 2 1 Obrázek 4.3: Průměr postupně z 10, 100, 1 000 a 10 000 trajektorií (modře) a teoretická střední hodnota (červeně). 0.14 0.12 0.10 0.08 0.06 0.04 0.02 Obrázek 4.4: Histogram a teoretická hustota v čase t = 2. 21

empiricka d.f. teoreticka d.f. Obrázek 4.5: Empirická a teoretická distribuční funkce v čase t = 2. Z provedených simulací vidíme, že numerické metody jistě najdou uplatnění jak při aproximaci jednotlivých trajektorií, tak při odhadování různých charakteristik řešení. Zejména Newtonova metoda se ukázala být velmi přesná. 22

Literatura [1] Jarrow R. Protter P.: A short history of stochastic integration and mathematical finance the early years, 1880 1970, IM Lecture Notes Monograph, 2004, vol. 45, s. 1-17. [2] Øksendal B.: tochastic Differential Equations: An Introduction with Applications, 6th edition, pringer, Berlin, 2003. [3] churz H.: Numerical Analysis of tochastic Differential Equations Without Tears, In Handbook of tochastic Analysis and Applications, edited by Kannan D. Lakshmikantham V., Marcel Dekker, New York, 2002. [4] Newton N.J.: Asymptotically Efficient Runge-Kutta Methods for a Class of Itô and tratonovich Equations, IAM Journal on Applied Mathematics, April 1991, vol. 51, no. 2, s. 542-567. 23