Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008

Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Zobrazení 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce

Plán přednášky 1 Literatura 2 Funkce a zobrazení Funkce více proměnných Topologie euklidovských prostorů Křivky v euklidovských prostorech Zobrazení 3 Parciální derivace a diferenciál Derivace ve směru vektoru Totální diferenciál Tečná nadrovina ke grafu funkce

Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s.

Kde je dobré číst? Zuzana Došlá, Roman Plch, Petr Sojka, Diferenciální počet funkcí více proměnných s programem Maple, MU Brno, 1999, 273 s. Riley, K.F., Hobson, M.P., Bence, S.J. Mathematical Methods for Physics and Engineering, second edition, Cambridge University Press, Cambridge 2004, ISBN 0 521 89067 5, xxiii + 1232 pp.

Zobrazení f (x 1, x 2,..., x n ) : R n R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v rovině E 2 = R 2 budou značeny a podobně v prostoru E 3 = R 3 f : R 2 (x, y) f (x, y) R f : R 3 (x, y, z) f (x, y, z) R.

Zobrazení f (x 1, x 2,..., x n ) : R n R nazýváme funkce více proměnných. Pro n = 2 nebo n = 3 často místo číslovaných proměnných používáme písmena x, y, z. To znamená, že funkce f definované v rovině E 2 = R 2 budou značeny a podobně v prostoru E 3 = R 3 f : R 2 (x, y) f (x, y) R f : R 3 (x, y, z) f (x, y, z) R. Definiční obor A R n množina, kde je funkce definována. (Hříčkou pro písemky a úlohy bývá úkol k dané formuli pro funkci najít co největší definiční obor, na kterém má tato formule smysl.)

Graf funkce více proměnných je podmnožina G f R n R = R n+1 definová vztahem G f = {(x 1,..., x n, f (x 1,..., x n )); (x 1,..., x n ) A}, kde A je definiční obor f.

Graf funkce více proměnných je podmnožina G f R n R = R n+1 definová vztahem G f = {(x 1,..., x n, f (x 1,..., x n )); (x 1,..., x n ) A}, kde A je definiční obor f. Grafem funkce definované v E 2 f (x, y) = x + y x 2 + y 2 4 2 je plocha na obrázku, maximálním definičním oborem je E 2 \ {(0, 0)}. 0-2 -4-3 -2-1 0 x 1 2 3 3 2 1 0 y -1-2 -3

Euklidovský prostor E n je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R n, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru E n přičítat.

Euklidovský prostor E n je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R n, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru E n přičítat. Navíc je na R n standardní skalární součin u v = n i=1 x iy i, kde u = (x 1,..., x n ) a v = (y 1,..., y n ) jsou libovolné vektory.

Euklidovský prostor E n je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R n, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru E n přičítat. Navíc je na R n standardní skalární součin u v = n i=1 x iy i, kde u = (x 1,..., x n ) a v = (y 1,..., y n ) jsou libovolné vektory. Proto je na E n dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P Q dvojic bodů P, Q předpisem P Q 2 = u 2 = n xi 2, i=1 kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E 2 je vzdálenost bodů P 1 = (x 1, y 1 ) a P 2 = (x 2, y 2 ) dána P 1 P 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2.

Euklidovský prostor E n je množina bodů (bez volby souřadnic) spolu se zaměřením R n, což je vektorový prostor možných přírůstků, které umíme k bodům prostoru E n přičítat. Navíc je na R n standardní skalární součin u v = n i=1 x iy i, kde u = (x 1,..., x n ) a v = (y 1,..., y n ) jsou libovolné vektory. Proto je na E n dána metrika, tj. funkce vzdálenosti P Q dvojic bodů P, Q předpisem P Q 2 = u 2 = n xi 2, i=1 kde u je vektor, jehož přičtením k P obdržíme Q. Např. E 2 je vzdálenost bodů P 1 = (x 1, y 1 ) a P 2 = (x 2, y 2 ) dána P 1 P 2 2 = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2. Trojúhelníková nerovnost pro každé tři body P, Q, R P R = (P Q) + (Q R) (P Q) + (Q R).

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n :

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j,

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost P i P < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P i,

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost P i P < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P i, hromadný bod P množiny A E n existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P,

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost P i P < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P i, hromadný bod P množiny A E n existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina obsahuje všechny své hromadné body,

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost P i P < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P i, hromadný bod P množiny A E n existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina její doplněk je uzavřený,

Rozšíření pojmů topologie R pro body P i libovolného Euklidovského E n : Cauchyovská posloupnost P i P j < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, konvergentní posloupnost P i P < ɛ, pro každé pevně zvolené ɛ > 0 až na konečně mnoho výjimečných hodnot i, j, bod P pak nazýváme limitou posloupnosti P i, hromadný bod P množiny A E n existuje posloupnost bodů v A konvergující k P a vesměs různých od P, uzavřená množina obsahuje všechny své hromadné body, otevřená množina její doplněk je uzavřený, otevřené δ okolí bodu P množina O δ (P) = {Q E n ; P Q < δ},

hraniční bod P množiny A každé δ okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem E n \ A,

hraniční bod P množiny A každé δ okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem E n \ A, vnitřní bod P množiny A existuje δ okolí bodu P, které celé leží uvnitř A,

hraniční bod P množiny A každé δ okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem E n \ A, vnitřní bod P množiny A existuje δ okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina leží celá v nějakém δ okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ),

hraniční bod P množiny A každé δ okolí bodu P má neprázdný průnik s A i s komplementem E n \ A, vnitřní bod P množiny A existuje δ okolí bodu P, které celé leží uvnitř A, ohraničená množina leží celá v nějakém δ okolí některého svého bodu (pro dostatečně velké δ), kompaktní množina uzavřená a ohraničená množina.

Theorem Pro podmnožiny A E n v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ okolí,

Theorem Pro podmnožiny A E n v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ okolí, 2 každý bod a A je buď vnitřní nebo hraniční,

Theorem Pro podmnožiny A E n v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ okolí, 2 každý bod a A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A,

Theorem Pro podmnožiny A E n v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ okolí, 2 každý bod a A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A,

Theorem Pro podmnožiny A E n v euklidovských prostorech platí: 1 A je otevřená, právě když je sjednocením nejvýše spočetného systému δ okolí, 2 každý bod a A je buď vnitřní nebo hraniční, 3 každý hraniční bod je buď izolovaným nebo hromadným bodem A, 4 A je kompaktní, právě když každá v ní obsažená nekonečná posloupnost má podposloupnost konvergující k bodu v A, 5 A je kompaktní, právě když každé její otevřené pokrytí obsahuje konečné pokrytí.

Křivka je zobrazení c : R E n.

Křivka je zobrazení c : R E n. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Limita: lim t t0 c(t) E n

Křivka je zobrazení c : R E n. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Limita: lim t t0 c(t) E n Derivace: c (t 0 ) = lim t t0 1 t t 0 (c(t) c(t 0)) R n

Křivka je zobrazení c : R E n. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Limita: lim t t0 c(t) E n Derivace: c (t 0 ) = lim t t0 1 t t 0 (c(t) c(t 0)) R n Integrál: b a c(t)dt Rn.

Křivka je zobrazení c : R E n. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Limita: lim t t0 c(t) E n Derivace: c (t 0 ) = lim t t0 1 t t 0 (c(t) c(t 0)) R n Integrál: b a c(t)dt Rn. Výrok o integrálu má smysl i pro křivku ve vektorovém prostoru R n!

Křivka je zobrazení c : R E n. Analogicky k funkcím v jedné proměnné: Limita: lim t t0 c(t) E n Derivace: c (t 0 ) = lim t t0 1 t t 0 (c(t) c(t 0)) R n Integrál: b a c(t)dt Rn. Výrok o integrálu má smysl i pro křivku ve vektorovém prostoru R n! Limity, derivace i integrály lze spočíst po jednotlivých n souřadných složkách v R n a stejně se rozpozná i jejich existence.

Analogie souvislosti Riemannova integrálu a antiderivace pro křivky:

Analogie souvislosti Riemannova integrálu a antiderivace pro křivky: Theorem Je-li c : R R n křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál b a c(t)dt. Navíc je křivka C(t) = t a c(s)ds R n dobře definovaná, diferencovatelná a platí C (t) = c(t) pro všechny hodnoty t [a, b].

Analogie souvislosti Riemannova integrálu a antiderivace pro křivky: Theorem Je-li c : R R n křivka spojitá na intervalu [a, b], pak existuje její Riemannův integrál b a c(t)dt. Navíc je křivka C(t) = t a c(s)ds R n dobře definovaná, diferencovatelná a platí C (t) = c(t) pro všechny hodnoty t [a, b]. Věta o střední hodnotě dává existenci čísel t i takových, že c i (b) c i (a) = (b a) c i (t i ). Tato čísla ale budou obecně různá, nemůžeme proto vyjádřit rozdílový vektor koncových bodů c(b) c(a) jako násobek derivace křivky v jediném bodě.

Např. v rovině E 2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) c(a) = (x (ξ)(b a), y (η)(b a)) = (b a) (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η [a, b].

Např. v rovině E 2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) c(a) = (x (ξ)(b a), y (η)(b a)) = (b a) (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η [a, b]. Pořád nám ale úvaha stačí na následující odhad Theorem Je-li c křivka v E n se spojitou derivací na kompaktním intervalu [a, b], pak pro všechny a s t b platí c(t) c(s) n max r [a,b] c (r) t s.

Např. v rovině E 2 pro c(t) = (x(t), y(t)) takto dostáváme c(b) c(a) = (x (ξ)(b a), y (η)(b a)) = (b a) (x (ξ), y (η)) pro dvě (obecně různé) hodnoty ξ, η [a, b]. Pořád nám ale úvaha stačí na následující odhad Theorem Je-li c křivka v E n se spojitou derivací na kompaktním intervalu [a, b], pak pro všechny a s t b platí c(t) c(s) n max r [a,b] c (r) t s. Derivace zadává tečný vektor ke křivce c : R E n v bodě c(t 0 ) E n vektor c (t 0 ) R n v prostoru zaměření R n daný derivací. Přímka zadaná parametricky T : c(t 0 ) + τ c (t 0 ) je tečna ke křivce c v bodě t 0, nezávisí na parametrizaci křivky c.

Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n.

Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 1/6*Pi 0 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi

Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 0 1/6*Pi 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi Přechod z polárních souřadnic do standardních je P polární = (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) = P kartézské

Křivky a funkce jsou speciální případy zobrazení F : E m E n. Stejně jako u vektorových prostorů, volba souřadnic, tj. našeho pohledu na věc, může zjednodušit nebo zhoršit naše vnímání. Změna souřadnic invertibilní zobrazení R n R n. 2/3*Pi 1/2*Pi 1/3*Pi Příklad: polohu P zadáváme jako vzdálenost od počátku souřadnic r a úhel ϕ mezi spojnicí s počátkem a osou x. 5/6*Pi Pi 7/6*Pi 0 1/6*Pi 0 1/6 1/3 1/2 2/3 5/6 12*Pi 11/6*Pi 4/3*Pi 3/2*Pi 5/3*Pi Přechod z polárních souřadnic do standardních je P polární = (r, ϕ) (r cos ϕ, r sin ϕ) = P kartézské Graf funkce můžeme také vnímat jako obraz zobrazení R n R n+1.

Funkce f : R n R má derivaci ve směru vektoru v R n v bodě x E n, jestliže existuje derivace d v f (x) složeného zobrazení t f (x + tv) v bodě t = 0, tj. d v f (x) = lim t 0 1 (f (x + tv) f (x)). t

Funkce f : R n R má derivaci ve směru vektoru v R n v bodě x E n, jestliže existuje derivace d v f (x) složeného zobrazení t f (x + tv) v bodě t = 0, tj. d v f (x) = lim t 0 1 (f (x + tv) f (x)). t Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv. parciální derivace funkce f, které značíme f x i, i = 1,..., n, nebo bez odkazu na samotnou fukci jako operace x i.

Funkce f : R n R má derivaci ve směru vektoru v R n v bodě x E n, jestliže existuje derivace d v f (x) složeného zobrazení t f (x + tv) v bodě t = 0, tj. d v f (x) = lim t 0 1 (f (x + tv) f (x)). t Speciální volbou přímek ve směru souřadných os dostáváme tzv. parciální derivace funkce f, které značíme f x i, i = 1,..., n, nebo bez odkazu na samotnou fukci jako operace x i. Pro funkce v E 2 dostáváme 1 f (x, y) = lim (f (x + t, y) f (x, y)), x t 0 t 1 f (x, y) = lim (f (x, y + t) f (x, y)). y t 0 t

Example Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy: { { 1 když xy = 0 1 když y = x 2 0 g(x, y) =, h(x, y) =. 0 jinak 0 jinak

Example Se samotnými parciálními nebo směrovými derivacemi nevystačíme pro dobrou aproximaci chování funkce lineárními výrazy: { { 1 když xy = 0 1 když y = x 2 0 g(x, y) =, h(x, y) =. 0 jinak 0 jinak Žádná z nich neprodlužuje všechny hladké křivky procházející bodem (0, 0) na hladké křivky. Pro g existují obě parciální derivace v (0, 0) a jiné směrové derivace neexistují, zatímco pro h existují všechny směrové derivace v bodě (0, 0) a platí d v h(0) = 0 pro všechny směry v, takže jde o lineární závislost na v R 2.

Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné:

Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Funkce f : R n R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace d v f (x), v R n, 2 d v f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = lim v 0 1 v ( f (x + v) f (x) dv f (x) ).

Následující definice věrně sleduje chování diferenciálu funkcí jedné proměnné: Funkce f : R n R je diferencovatelná v bodě x, jestliže 1 v bodě x existují všechny směrové derivace d v f (x), v R n, 2 d v f (x) je lineární v závislosti na přírůstku v a 3 0 = lim v 0 1 v ( f (x + v) f (x) dv f (x) ). Lineární výraz d v f (závislý na vektorové proměnné v) nazýváme diferenciál funkce f vyčíslený na přírůstku v. V literatuře se často také říká totální diferenciál df funkce f.

Uvažujme f : E 2 R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě (x 0, y 0 ) je lineární funkce df : R 2 R df = f f dx + x y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi.

Uvažujme f : E 2 R se spojitými parciálními derivacemi. Diferenciál v pevném bodě (x 0, y 0 ) je lineární funkce df : R 2 R df = f f dx + x y dy na přírůstcích se souřadnicemi danými právě parciálními derivacemi. Obecněji v případě funkcí více proměnných píšeme obdobně df = f x 1 dx 1 + f x 2 dx 2 + + f x n dx n ( ) a platí: Theorem Nechť f : E n R je funkce n proměnných, která má v okolí bodu x E n spojité parciální derivace. Pak existuje její diferenciál df v bodě x a jeho souřadné vyjádření je dáno rovnicí ( ).

Pro f : E 2 R a pevný bod (x 0, y 0 ) E 2 uvažme rovinu v E 3 : z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Je to jediná rovina procházející (x 0, y 0 ), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f.

Pro f : E 2 R a pevný bod (x 0, y 0 ) E 2 uvažme rovinu v E 3 : z = f (x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ). Je to jediná rovina procházející (x 0, y 0 ), ve které leží derivace a tedy i tečny všech křivek c(t) = (x(t), y(t), f (x(t), y(t))). Říkáme jí tečná rovina ke grafu funkce f. Na obrázku jsou zobrazeny dvě tečné roviny ke grafu funkce f (x, y) = sin(x) cos(y). Červená čára je obrazem křivky c(t) = (t, t, f (t, t)). 2 2 1 1 0 0-1 -2 0 4 1 2 5 3 y 4 6 5 6 3 2 x 1 0-1 -2 0 4 1 2 5 3 y 4 6 5 6 3 2 x 1 0

Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1.

Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : R n R, tj. diferenciálu v bodě x E n.

Obecně pro f : E n R je tečnou rovinou afinní nadrovina v E n+1. Tato nadrovina 1 prochází bodem (x, f (x)) 2 její zaměření je grafem lineárního zobrazení df (x) : R n R, tj. diferenciálu v bodě x E n. Analogie s funkcemi jedné proměnné: Diferencovatelná funkce f na E n má v bodě x E n nulový diferenciál tehdy a jen tehdy, když její složení s libovolnou křivkou procházející tímto bodem zde má stacionární bod. To ovšem neznamená, že v takovém bodě musí mít f aspoň lokálně buď maximum nebo minimum. Stejně jako u funkcí jedné proměnné můžeme rozhodovat teprve podle derivací vyšších.