3.1.3 Vzájemná poloha přímek

Podobné dokumenty
2.cvičení. 1. Polopřímka: bod O dělí přímku na dvě navzájem opačné polopřímky.

3.2.1 Shodnost trojúhelníků I

Základní planimetrické pojmy a poznatky

( t) ( t) ( t) Nerovnice pro polorovinu. Předpoklady: 7306

Základní příklady. 18) Určete velikost úhlu δ, jestliže velikost úhlu α je 27.

56. ročník Matematické olympiády. b 1,2 = 27 ± c 2 25

ZÁKLADNÍ PLANIMETRICKÉ POJMY

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PODOBNÁ ZOBRÁZENÍ 1. SHODNOST TROJÚHELNÍKŮ 2. PRÁVOÚHLÝ TROJÚHELNÍK

Hledání hyperbol

Výukový matriál byl zpracován v rámci projektu OPVK 1.5 EU peníze školám. registrační číslo projektu:cz.1.07/1.5.00/

Vzdálenost roviny a přímky

5.2.4 Kolmost přímek a rovin II

5.2.8 Vzdálenost bodu od přímky

Vzdálenosti přímek

Vzdálenosti přímek

1.7.4 Výšky v trojúhelníku II

P L A N I M E T R I E

3.1.2 Polorovina, úhel

ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU

DUM č. 11 v sadě. Ma-2 Příprava k maturitě a PZ geometrie, analytická geometrie, analýza, komlexní čísla

Hyperbola a přímka

3 Elementární geometrické objekty v rovině a vztahy mezi nimi

7.5.8 Středová rovnice elipsy

5.1.5 Základní vztahy mezi body přímkami a rovinami

5.1.5 Základní vztahy mezi body, přímkami a rovinami

. V trojúhelníku ABC platí 180. Součet libovolného vnitřního úhlu a jemu odpovídajícího vnějšího úhlu je úhel přímý. /

Hyperbola, jejíž střed S je totožný s počátkem soustavy souřadnic a jejíž hlavní osa je totožná

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

7 Analytická geometrie

14 Kuželosečky v základní poloze

Výpočet obsahu rovinného obrazce

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

je pravoúhlý BNa ose y najděte bod, který je vzdálený od bodu A = [ 4;

2.4.7 Shodnosti trojúhelníků II

5. P L A N I M E T R I E

Konstrukce na základě výpočtu I

Vedlejší a vrcholové úhly

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

8 Mongeovo promítání

Říkáme, že přímka je tečnou elipsy. p T Přímka se protíná s elipsou právě v jednom bodě.

9. Planimetrie 1 bod

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Metrické vlastnosti v prostoru

S T E R E O M E T R I E ( P R O S T O R O V Á G E O M E T R I E ) Z Á K L A D N Í G E O M E T R I C K É Ú T VA R Y A J E J I C H O Z N A

63. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Ostrava, března 2014

( ) ( ) Sinová věta II. β je úhel z intervalu ( 0;π ). Jak je vidět z jednotkové kružnice, úhly, pro které platí. Předpoklady:

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

2.7.7 Obsah rovnoběžníku

Podobnosti trojúhelníků, goniometrické funkce

1.1 Základní pojmy prostorové geometrie. Předmětem studia prostorové geometrie je prostor, jehož prvky jsou body. Další

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

ANALYTICKÁ GEOMETRIE

4.2.7 Zavedení funkcí sinus a cosinus pro orientovaný úhel I

3 Geometrie ve škole. krychle a její obrázek, koule a její stín, průměty trojrozměrného útvaru do roviny

KVADRATICKÉ FUNKCE. + bx + c, největší hodnotu pro x = a platí,

Dvěma různými body prochází právě jedna přímka.

AB = 3 CB B A = 3 (B C) C = 1 (4B A) C = 4; k ]

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

7.3.7 Přímková smršť. Předpoklady: 7306

Další polohové úlohy

Středová rovnice hyperboly

+ c. n x ( ) ( ) f x dx ln f x c ) a. x x. dx = cotgx + c. A x. A x A arctgx + A x A c

Stereometrie metrické vlastnosti

SYLABUS PŘEDNÁŠKY 7 Z GEODÉZIE 1

Pravoúhlý trojúhelník goniometrické funkce. Výpočet stran pravoúhlého trojúhelníka pomocí goniometrických funkcí

Tangens a kotangens

Eliptický paraboloid je kvadrika, která má v nějaké kartézské soustavě souřadnic rovnici x 2 a 2 + y2

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

Stereometrie metrické vlastnosti 01

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

= prostorová geometrie, geometrie v prostoru část M zkoumající vlastnosti prostor. útvarů vychází z tzv. axiómů, využívá věty

Úhly a jejich vlastnosti

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

9.6. Odchylky přímek a rovin

4.4.1 Sinová věta. Předpoklady: Trigonometrie: řešení úloh o trojúhelnících.

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

( ) Příklady na středovou souměrnost. Předpoklady: , bod A ; 2cm. Př. 1: Je dána kružnice k ( S ;3cm)

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

2. ANALYTICKÁ GEOMETRIE V PROSTORU Vektory Úlohy k samostatnému řešení... 21

Syntetická geometrie I

Analytická geometrie lineárních útvarů

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

Projekt: ŠKOLA RADOSTI, ŠKOLA KVALITY Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/ EU PENÍZE ŠKOLÁM

3.2.7 Příklady řešené pomocí vět pro trojúhelníky

4. cvičení z Matematiky 2

KONSTRUKTIVNÍ GEOMETRIE

9 Axonometrie ÚM FSI VUT v Brně Studijní text. 9 Axonometrie

Gymnázium Jiřího Ortena, Kutná Hora. Průřezová témata Poznámky. Téma Školní výstupy Učivo (pojmy) volné rovnoběžné promítání průmětna

5.2. Určitý integrál Definice a vlastnosti

X = A + tu. Obr x = a 1 + tu 1 y = a 2 + tu 2, t R, y = kx + q, k, q R (6.1)

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/

Souhlasné a střídavé úhly

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

Pracovní listy MONGEOVO PROMÍTÁNÍ

Transkript:

3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné přímky (rovnoěžky) Píšeme Rovnoěžné nzýváme i polopřímky úsečky ležící n rovnoěžných přímkách. Společné všechny ody totožné přímky (zvláštní přípd rovnoěžnosti) = Pltí ekvivlent pátého postulátu: Dným odem lze vést k dné přímce právě jednu rovnoěžku. Rovnoěžnost je trnzitivní ( přenáší se ) = je-li c, pk tké c. rovinný pás - část roviny ohrničená dvěm rovnoěžkmi 1

Př. 1: Popiš pomocí množinových opercí rovinný pás n orázku pomocí polorovin. Rovinný pás je průnik těchto polorovin. Přímky proťté příčkou dvě různé přímky,, které protíná přímk p ve dvou různých odech U oou odů, jsou čtyři konvexní úhly úhly vyťté příčkou p přímek, Úhly přiřdíme do dvojic: dvojice souhlsných úhlů: α, α ' β, β ' γ, γ ' δ, δ ' dvojice střídvých úhlů: α, γ ' β, δ ' γ, α ' δ, β ' (změnili jsme jeden z úhlů souhlsných z jeho vrcholový úhel) Speciální přípd : 2

Pltí vět: Jestliže jedn dvojice souhlsných (střídvých) úhlů vyťtých příčkou p přímek, jsou úhly shodné, pk přímky, jsou přímky rovnoěžné. Vět pltí i oráceně: Jsou-li přímky, rovnoěžné, pk kždá dvojce souhlsných (střídvých) úhlů vyťtých příčkou p přímek, jsou úhly shodné. Odchylk přímek Dvě protínjící se přímky určují: dvojici ostrých dvojici tupých vrcholových dvě dvojice prvých vrcholových úhlů úhlů Odchylkou α dvou přímek, v rovině nzýváme: velikost ostrého úhlů velikost prvého úhlu V přípdě rovnoěžných přímek, nzýváme odchylkou α velikost nulového úhlu. π Píšeme = α ; α 0,90 (přípdně α 0, ) 2 3

Př. 2: Urči velikosti úhlů vyznčených n orázku. Pltí. 80 45 Pltí: α = 80 - vrcholový úhel k úhlu 80 β = 100 - vedlejší úhel k úhlu 80 ω = 100 - souhlsný úhel k úhlu β ε = 100 - střídvý úhel k úhlu β δ = 45 - souhlsný úhel k úhlu 45 γ = 135 - vedlejší úhel k úhlu δ Kolmice - různoěžné přímky, jejichž odchylk je prvý úhel ( = 90 ). Píšeme: přímk je kolmá k přímce : Průsečík kolmice s dnou přímkou se nzývá pt kolmice. Podoně jko u rovnoěžek pltí: Dným odem lze vést k dné přímce p právě jednu kolmici. Př. 3: Nkresli situci rozhodni, jký je vzth mezi přímkmi c, pokud pltí: c. c Z orázku je zřejmé, že pltí: c. 4

Př. 4: Nkresli situci rozhodni, jký je vzth mezi přímkmi c, pokud pltí: c. c Z orázku je zřejmé, že pltí: c. Kolmé nzýváme i polopřímky úsečky ležící n kolmých přímkách. Os úsečky Přímk, která prochází středem úsečky je k ní kolmá. o S Jednoznčnost při konstrukci kolmic se využívá k určování vzdáleností. Vzdálenost odu od přímky (vzdálenost přímky od odu) Je dán přímk p od. Pk existuje právě jedn přímk k kolmá k přímce p procházející odem. Ptu této kolmice oznčíme P. Vzdálenost odu od přímky p (neo tké vzdálenost přímky p od odu ) je vzdálenost odů P. k P Píšeme: p = d p 5

Př. 5: Rozhodni jká je vzdálenost odu od přímky p, pokud pltí p. Pokud pltí p, je od i ptou kolmice, která jím vede n přímku p. Pltí tedy = P tedy p = 0 Vzdálenost rovnoěžných přímek tké pomocí kolmosti, je jedno z kterého odu, které ze přímek ji vedu Jsou dány rovnoěžné přímky,., jsou průsečíky přímek, s liovolnou kolmicí k k těmto přímkám. Vzdálenost rovnoěžných přímek, je vzdálenost odu,. Píšeme = d k Př. 6: Rozhodni jká je vzdálenost dvou totožných přímek. Protože u totožných přímek pltí =, je = 0. Př. 7: Petáková: strn 85/cvičení 9 ) ) Shrnutí: 6