3.1.3 Vzájemná poloh přímek Předpokldy: 3102 Dvě různé přímky v rovině mximálně jeden společný od Jeden společný od průsečík různoěžné přímky (různoěžky) P Píšeme: P neo = { P} Žádný společný od rovnoěžné přímky (rovnoěžky) Píšeme Rovnoěžné nzýváme i polopřímky úsečky ležící n rovnoěžných přímkách. Společné všechny ody totožné přímky (zvláštní přípd rovnoěžnosti) = Pltí ekvivlent pátého postulátu: Dným odem lze vést k dné přímce právě jednu rovnoěžku. Rovnoěžnost je trnzitivní ( přenáší se ) = je-li c, pk tké c. rovinný pás - část roviny ohrničená dvěm rovnoěžkmi 1
Př. 1: Popiš pomocí množinových opercí rovinný pás n orázku pomocí polorovin. Rovinný pás je průnik těchto polorovin. Přímky proťté příčkou dvě různé přímky,, které protíná přímk p ve dvou různých odech U oou odů, jsou čtyři konvexní úhly úhly vyťté příčkou p přímek, Úhly přiřdíme do dvojic: dvojice souhlsných úhlů: α, α ' β, β ' γ, γ ' δ, δ ' dvojice střídvých úhlů: α, γ ' β, δ ' γ, α ' δ, β ' (změnili jsme jeden z úhlů souhlsných z jeho vrcholový úhel) Speciální přípd : 2
Pltí vět: Jestliže jedn dvojice souhlsných (střídvých) úhlů vyťtých příčkou p přímek, jsou úhly shodné, pk přímky, jsou přímky rovnoěžné. Vět pltí i oráceně: Jsou-li přímky, rovnoěžné, pk kždá dvojce souhlsných (střídvých) úhlů vyťtých příčkou p přímek, jsou úhly shodné. Odchylk přímek Dvě protínjící se přímky určují: dvojici ostrých dvojici tupých vrcholových dvě dvojice prvých vrcholových úhlů úhlů Odchylkou α dvou přímek, v rovině nzýváme: velikost ostrého úhlů velikost prvého úhlu V přípdě rovnoěžných přímek, nzýváme odchylkou α velikost nulového úhlu. π Píšeme = α ; α 0,90 (přípdně α 0, ) 2 3
Př. 2: Urči velikosti úhlů vyznčených n orázku. Pltí. 80 45 Pltí: α = 80 - vrcholový úhel k úhlu 80 β = 100 - vedlejší úhel k úhlu 80 ω = 100 - souhlsný úhel k úhlu β ε = 100 - střídvý úhel k úhlu β δ = 45 - souhlsný úhel k úhlu 45 γ = 135 - vedlejší úhel k úhlu δ Kolmice - různoěžné přímky, jejichž odchylk je prvý úhel ( = 90 ). Píšeme: přímk je kolmá k přímce : Průsečík kolmice s dnou přímkou se nzývá pt kolmice. Podoně jko u rovnoěžek pltí: Dným odem lze vést k dné přímce p právě jednu kolmici. Př. 3: Nkresli situci rozhodni, jký je vzth mezi přímkmi c, pokud pltí: c. c Z orázku je zřejmé, že pltí: c. 4
Př. 4: Nkresli situci rozhodni, jký je vzth mezi přímkmi c, pokud pltí: c. c Z orázku je zřejmé, že pltí: c. Kolmé nzýváme i polopřímky úsečky ležící n kolmých přímkách. Os úsečky Přímk, která prochází středem úsečky je k ní kolmá. o S Jednoznčnost při konstrukci kolmic se využívá k určování vzdáleností. Vzdálenost odu od přímky (vzdálenost přímky od odu) Je dán přímk p od. Pk existuje právě jedn přímk k kolmá k přímce p procházející odem. Ptu této kolmice oznčíme P. Vzdálenost odu od přímky p (neo tké vzdálenost přímky p od odu ) je vzdálenost odů P. k P Píšeme: p = d p 5
Př. 5: Rozhodni jká je vzdálenost odu od přímky p, pokud pltí p. Pokud pltí p, je od i ptou kolmice, která jím vede n přímku p. Pltí tedy = P tedy p = 0 Vzdálenost rovnoěžných přímek tké pomocí kolmosti, je jedno z kterého odu, které ze přímek ji vedu Jsou dány rovnoěžné přímky,., jsou průsečíky přímek, s liovolnou kolmicí k k těmto přímkám. Vzdálenost rovnoěžných přímek, je vzdálenost odu,. Píšeme = d k Př. 6: Rozhodni jká je vzdálenost dvou totožných přímek. Protože u totožných přímek pltí =, je = 0. Př. 7: Petáková: strn 85/cvičení 9 ) ) Shrnutí: 6