Kreslení, rýsování Zobrazení A B Promítání E 3 E 2 1
Promítání lineární 1. Obrazem bodu je bod 2. Obrazem přímky je přímka (nebo bod) 3. Obrazem roviny je rovina (nebo přímka) Nelineární perspektivy: válcová... 2
Rovnoběžné promítání a b c 1. Směr promítání s, promítací rovina p 2. Bod A, A neleží v p 3. Bod A =a p 4. DABC 5. DA B C 3
Středové promítání 1. Střed promítání S, promítací rovina p, S neleží v p 2. Bod A, A neleží v p 3. Bod A =SA p 4. DABC 5. DA B C Rovnoběžné promítání - Zobrazení přímky 1. Směr promítání s, průmětna p, s není rovnoběžný s p 2. q přímka v prostoru 3. P stopník přímky q (P = q p) 4. Body A,B patří q 5. A =a p 6. B =b p 7. q1=a p 8. q1=a B nebo q1=a P Průmětem přímky je přímka, nebo bod. Velikost úsečky není invariantem rovnoběžného promítání. 4
Rovnoběžný průmět rovnoběžných přímek 1. p q 2. P stopník přímky p (P =p p) 3. Q stopník přímky q (Q =q p) 4. C =c p 5. p1=c P 6. A =a p 7. q1=a Q Průmětem rovnoběžných přímek jsou rovnoběžné přímky, nebo dva body. Průmětem shodných úseček na rovnoběžných přímkách jsou shodné úsečky. Hlavní přímky přímky rovnoběžné s průmětnou a b 1. q p 2. Q stopník přímky q (je to nevlastní bod) 3. A =a p 4. B =b p 5. q1=a B Hlavní přímka je rovnoběžná se svým průmětem. q q1. 5
Hlavní roviny roviny rovnoběžné s průmětnou U 1. Průmětna p směr promítání s 2. Hlavní rovina p 3. DABC p 4. DA B C p DABC DA B C U Nechť útvar U leží v hlavní rovině p p, potom jsou útvary U, U shodné. Zobrazení roviny - hlavní a spádové přímky roviny 1. a,p, p průmětna a promítana rovina 2. p a =a p stopa roviny a 3. p i...hlavní roviny (p 1,p 2,p 3..) p p 1 p 2 p 3 4. h a i=p i a...hlavní přímky roviny a (h a p a ) 5. s a spádová přímka roviny a (s a p a ) 6
Dělící poměr 3 bodů na přímce + B C (ABC )= AC BC A (ABP )<0 P leží uvnitř úsečky AB (ABP )>0 P leží vně úsečky AB Dělící poměr 3 bodů na přímce ( ABP) AP BP (ABP )<0 P leží uvnitř úsečky AB (ABP )>0 P leží vně úsečky AB (A B P )=? Dělící poměr velikostí úseček je invariantem rovnoběžného promítání. (ABP)=(A B P ) 7
Pravoúhlé (ortogonální) promítání - s p a b 1. s směr promítání, p průmětna, s p 2. q přímka v prostoru 3. P stopník přímky q (P = q p) 4. Body A,B patří q 5. A =a p 6. B =b p 7. q1=a p 8. q1=a B nebo q1=a P Pro velikost pravoúhlého průmětu A B úsečky AB platí : A B = AB cos a Průmět pravého úhlu přímek p q, p p 1. p hlavní přímka p p 2. q a p 3. <(p,q )=? 4. p a?? 5. p s, p q p a 6. p p, p a q p 8
Průmět pravého úhlu přímek p q, p p Pravý úhel přímek a, b (které nejsou promítací) se pravoúhlým promítáním zachová, jeli alespoň jedno rameno rovnoběžné s průmětnou. Zobrazení kružnice 9
Rovnoběžný průmět kružnice 1. Promítací přímky kružniceválcová plocha 2. Řez válcové plochy rovinou p elipsa Sdružené průměry elipsy Kolmé průměry kružnice jsou vzájemně sdružené. 1. Elipsa A,B,C,D 2. Přímka středem S 3. Průměr elipsy MN 4. Hlavni poloosa a 5. Kružnice k(c,a) 6. Ohniska F1,F2 7. Průvodiče F1N,F2N 8. Normála n půlí < F1N,A,F2N 9. Tečna t na n 10. Tečna t bodem M 11. Průměr PQ t 12. Tečny r,r v P a Q 13. r,r MN 14. Průměry MN,PQ 10
Rovnoběžný průmět kružnice 1. k a...kružnice 2. PQ průměr kružnice 3. MN průměr sdružený s PQ 4. M,N,P,Q průměty M,N,P,Q 5. M N,P Q průměty sdružených průměrů MN,PQ 6. ABCD elipsa Rovnoběžným průmětem kružnice k o středu S je elipsa k1 o středu S1, určená průměty M1N1, P1Q1 sdružených průměrů MN, PQ. Bodová konstrukce ELIPSY, tečna, normála 11
Trojúhelníková konstrukce ELIPSY Proužková konstrukce ELIPSY 12
ELIPSA, příčková konstrukce Rytzova konstrukce Jsou-li dány sdružené průměry elipsy MN, PQ, pak Rytzovou konstrukcí sestrojíme vrcholy A, B, C, D elipsy takto: 1. M S MS, M S = MS 2. Bod O je střed úsečky M P 3. k (O, r = OS ) 4. X,Y k M P 5. přímka hlavní osy XS přímka vedlejší osy YS 6. velikost hlavní poloosy M X = PY = SA = a velikost vedlejší poloosy M Y = PX = SC = b 7. Elipsa ABCD 13
ELIPSA, konstrukce oskulačních kružnic HYPERBOLA, tečna, normála, oskulační kružnice 14
Parabola, tečna, normála, oskulační kružnice 15