TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TEXT PRO NMMA203

TEORIE MÍRY A INTEGRÁLU U EBNÍ TET PRO NMMA23 JAN MALÝ Obsah 1. Poem míry 1 2. Lebesgueova míra: nástin 4 3. M itelné funkce 5 4. Abstraktní Lebesgue v integrál 7 5. Lebesgue v integrál na p ímce 13 6. Zám na limity a integrálu 15 7. Zám na ady a integrálu 16 8. Integrál závislý na parametru 16 9. Vn ²í míra 2 1. Funkce intervalu 22 11. Roz²í ení aditivní funkce intervalu; Lebesgue-Stieltesova míra 23 12. Hopfova v ta: Existence roz²í ení 25 13. Jednozna nost roz²í ení 26 14. Zúpln ní míry 27 15. Sou in m r a Fubiniova v ta 28 16. V ta o substituci 32 17. Lebesgueovy prostory 37 18. V ty o konvergenci 39 19. erivování a rozklad m r 41 2. Znaménkové míry 44 21. M itelná zobrazení a obraz míry 47 22. Topologické vlastnosti LS m r 48 23. Lebesgue-Stieltes v integrál 51 24. istribu ní funkce edné prom nné 51 25. istribu ní funkce více prom nných 53 26. Funkce Gamma* 54 1. Poem míry 1.1. enice (Mnoºinové funkce). Nech e abstraktní mnoºina a G 2. Zna íme Jakákoli funkce R = [, + ]. τ : G R se nazývá mnoºinová funkce. Mnoºinové funkce se v t²inou pouºívaí k m ení mnoºin. N kdy budeme pouºívat pro mnoºinovou funkci zna ení (G, τ), abychom sou asn uvedli i znak pro eí deni ní obor. 1.2. P íklad. G m ºe být systém v²ech obdélník a τ m ºe p i adit kaºdému z nich obsah obvod po et vrchol íslo 14. kui Prof. r. Lu kovi Zaí kovi, rsc. za cenné p ipomínky. kui v²em student m, kte í se podíleli na lad ní p edchozích verzí. 1

Uºite nost t chto p íklad pro dal²í rozvo teorie e rozdílná. 1.3. enice (élka intervalu). Nech a, b R, a b. Mnoºinu I { [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) } nazveme (ednorozm rným) intervalem. Mnoºinový systém v²ech omezených ednorozm rných interval v R zna íme I 1. Na I 1 denueme mnoºinovou funkci délka intervalu p edpisem (1) l 1 (I) = b a, I { [a, b], [a, b), (a, b], (a, b) } 1.4. enice (Elementární obem vícerozm rného intervalu). Mnoºinu Q R n nazveme n-rozm rným intervalem, estliºe existuí ednorozm rné intervaly I 1,..., I n R tak, ºe Q = I 1 I n. Mnoºinu v²ech omezených n-rozm rných interval budeme zna it I n. Kaºdému n-rozm rnému intervalu Q p i adíme eho obem p edpisem l n (Q) = l 1 (I 1 )... l 1 (I n ), kde l 1 (I) e ako v denici 1.3. Jedním z prvních cíl teorie míry e naít vhodné roz²í ení t chto mno- ºinových funkcí. 1.5. Plán. Zatím neumíme ani íci, co e obsah kruhu. Cht li bychom zavést ²irokou t ídu mnoºin, tzv. m itelné mnoºiny, a na nich mnoºinovou funkci, tzv. Lebesgueovu míru (pro popis pom obsah, obem), tak, aby v²echny intervaly byly m itelné a eich míra byla eich elementární obem, ale také aby byly i iné p edstavitelné mnoºiny m itelné (geometrické obrazce a t lesa), a aby se s t ídou m itelných mnoºin a mírou dob e zacházelo. P irozené poºadavky: Nap. sednocení (spo etn mnoha) m itelných mnoºin e m itelné Pokud sou mnoºiny disunktní, míra eich sednocení e sou et eich m r Poºadované vlastnosti shrneme do axiom. Výb r axiom e výsledek práce matematik, kte í zistili, co v²e mohou poºadovat a vzdali se naopak nesplnitelných poºadavk (nap. na m itelnost kaºdé mnoºiny). Konstrukce Lebesgueovy míry není ediná aplikace teorie, naopak, na pomech, které nyní budeme budovat, e postavena nap. celá teorie pravd podobnosti. 1.6. enice (Jordan-Pean v obem). Z historického a didaktického hlediska e d leºité roz²í ení elementárního obemu na tzv. Jordan-Pean v obem (téº zván Jordan v i Peano-Jordan v). Varianty této mnoºinové funkce sou pouºívány ke st edo²kolským denicím obemu. enice e zaloºena na následuící my²lence, kterou zde pouze nazna íme. Kone né disunktní sednocení omezených n-rozm rných interval nazveme gurou. Obem gury denueme ako sou et obem interval, z nichº se skládá. Horní Jordan-Pean v obem mnoºiny e inmum obem gur, které i obsahuí. olní Jordan-Pean v obem mnoºiny e supremum obem gur, které sou v ní obsaºeny. Pokud horní a dolní Jordan-Pean v obem mnoºiny se rovnaí a sou kone né, ekneme, ºe m ená mnoºina e Jordan-Peanovovsky m itelná a spole nou hodnotu nazveme eím Jordan-Peanovým (J.P.) obemem. Tímto zp sobem lze m it obem t les a obsah obrazc známých z geometrie. Není t ºké zkonstruovat mnoºiny, které nesou J.P. m itelné. Kaºdá J.P. m itelná mnoºina musí být omezená. Pokud z krychle o obemu 1 vezmeme mnoºinu E v²ech eích bod o racionálních sou adnicích, vn ²í J.P. obem mnoºiny E e 1 a vnit ní. Navíc, kone né sednocení J.P.-m itelných mnoºin e J.P.-m itelné, ale spo etné sednocení uº nemusí. J.P.-obem tedy není na²e cílová meta, budeme sm ovat k lep²ímu roz²í ení elementárního obemu. 1.7. enice (Roz²í ení a zúºení mnoºinové funkce). Nech e abstraktní mnoºina, U, V 2, µ e mnoºinová funkce na U a ν e mnoºinová funkce na V. íkáme, ºe ν e roz²í ení µ, estliºe U V a µ(a) = ν(a) pro kaºdou A U. Naopak, mnoºinovou funkci µ v tomto p ípad nazýváme zúºením mnoºinové funkce ν z V na U a zna íme i ν U. Relace býti roz²í ení e uspo ádání na t íd v²ech mnoºinových funkcí na. 1.8. enice (Okruh, σ-algebra,...). Nech e abstraktní mnoºina. Systém O podmnoºin se nazývá okruh, estliºe (O-1) O, (O-2) A, B O = A \ B O. (O-3) A, B O = A B O. 2

Z axiom snadno dostaneme téº A, B O = A B O. Indukcí dostaneme, ºe kaºdý okruh e tedy uzav en na kone ná sednocení a kone né pr niky A 1,..., A m O = A 1 A m O, A 1 A m O. Poºadueme-li uzav enost na spo etná sednocení (a v d sledku na spo etné pr niky), dostaneme axiomy σ-okruhu.. Tedy σ-okruh e mnoºinový systém, který spl ue (σ-o-1) O, (σ-o-2) A, B O = A \ B O. (σ-o-3) A 1, A 2, O = =1 A O. Algebra e denována ako okruh obsahuící celý prostor. σ-algebra e denována ako σ-okruh obsahuící celý prostor. Je to ned leºit ²í mnoºinový systém pro teorii míry. K ov ení, ºe mnoºinový systém S e σ-algebra sta í tyto axiomy: (S1-1) S, (S2-2) A S = \ A S, (S3-3) A S, = 1, 2,... = A S. Je-li S σ-algebra na, dvoice (, S) se nazývá m itelný prostor. Mnoºiny A S se nazývaí S- m itelné mnoºiny. Nehrozí-li nedorozum ní, budeme mluvit krátce o m itelných mnoºinách. 1.9. P íklady. (N která z uvedených tvrzení sou netriviální a d leºitá, eich d kaz uvedeme pozd i v sekci 12) (a) {, } e σ-algebra. (b) Systém 2 v²ech podmnoºin mnoºiny e σ-algebra. (c) Borelovské mnoºiny na topologickém prostoru tvo í σ-algebru. (d) Lebesgueovsky m itelné mnoºiny tvo í σ-algebru. (e) J.-P.-m itelné mnoºiny tvo í okruh, ne σ-okruh, ne algebru (f) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení interval tvo í algebru, ne σ-algebru (g) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení omezených interval tvo í okruh, ne σ-okruh, ne algebru (h) Systém v²ech kone ných (disunktních) sednocení omezených interval tvaru (a, b] tvo í okruh, ne σ-okruh, ne algebru. (i) Systém v²ech spo etných (disunktních) sednocení omezených interval netvo í ani okruh. () Systém v²ech uzav ených (resp. otev ených) podmnoºin topologického prostoru netvo í ani okruh (protoºe není uzav en na mnoºinový rozdíl). 1.1. enice (Generování mnoºinových systém ). Je-li F libovolný systém podmnoºin, potom existue nemen²í σ-algebra obsahuící F. Tuto σ-algebru dostaneme ako pr nik v²ech σ-algeber obsahuících F a zna íme i σ(f). Podobn m ºeme generovat iné mnoºinové systémy, nap. okruhy. Okruh z p íkladu (g) e generovaný systémem I 1. 1.11. enice (Borelovské mnoºiny). Nech e topologický prostor a G e systém v²ech eho otev ených podmnoºin. Potom denueme B() ako nemen²í σ-algebru obsahuící G (viz denice 1.1). σ-algebra B() obsahue krom otev ených mnoºin téº v²echny uzav ené mnoºiny. B() se nazývá borelovská σ-algebra a eím prvk m se íká borelovské mnoºiny. V R sou borelovské v²echny intervaly, mnoºina v²ech racionálních ísel, atd. P íklady neborelovských mnoºin se konstruuí velmi t ºko. N kdy e výhodné generovat B() inak neº systémem v²ech otev ených mnoºin. Na R e p irozená topologie generovaná intervaly (a, b), (a, ] a [, b). Tudíº B(R) e σ-algebra na R generovaná intervaly. Podobn B(R) e generovaná intervaly. kazy t chto tvrzení (totiº, ºe generování otev enými mnoºinami a intervaly vyde v t chto p ípadech nasteno) p enecháváme tená i. 1.12. enice (Míra). Nech (, S) e m itelný prostor. Mnoºinová funkce µ : S [, ] se nazývá míra, estliºe spl ue (M1-1) µ( ) =, (M2-2) (σ-additivita) estliºe A S, = 1, 2,..., sou po dvou disunktní, potom µ( A ) = µ(a ). 3

Troice (, S, µ) se nazývá prostor s mírou. Zd razn me, ºe denice míry zahrnue, ºe hodnoty sou nezáporné a deni ní obor e σ-algebra. 1.13. P íklady. (a) iracova míra δ a : e libovolná mnoºina, a, S = 2, { 1, a A, δ a (A) =, a / A. (b) Po ítací míra e libovolná mnoºina, S = 2. Po ítací míra p i adí kaºdé mnoºin A po et eích prvk. Nekone ným mnoºinám p i adí prost, nerozli²ue nekone né mohutnosti. (c) Lebesgueova míra zobec ue poem délky intervalu, obsahu obrazce i obemu t lesa. (d) Hausdorova míra e druh n-rozm rné míry v R d. Zobec ue poem délky k ivky (n = 1), a povrchu zak ivené plochy (n = 2, d = 3). 1.14. enice (Terminologie teorie míry). Míra µ na m itelném prostoru (, S) se nazývá (a) kone ná, estliºe µ() <, (b) σ-kone ná, estliºe existuí 1, 2, S tak, ºe µ( ) < a =, (c) pravd podobnostní, estliºe µ() = 1, (d) úplná, estliºe kaºdá podmnoºina mnoºiny míry nula e m itelná (a tudíº také míry nula). Fráze skoro v²ude nebo µ-skoro v²ude se pouºívá ve spoení s vlastností bod mnoºiny. ekneme-li, ºe taková vlastnost platí skoro v²ude (nebo ve skoro v²ech bodech), znamená to, ºe e spln na aº na mnoºinu míry nula, neboli, ºe existue mnoºina N S míry nula tak, ºe vlastnost e spln na ve v²ech bodech mnoºiny \ N. Pouºívá se zeména pro rovnost a nerovnosti mezi funkcemi a pro bodovou konvergenci posloupnosti funkcí. 1.15. V ti ka (Trik zdisunktn ní). Nech A 1, A 2, S. Potom existuí po dvou disunktní mnoºiny E 1, E 2, S tak, ºe A 1 A k = E 1 E k, k = 1, 2,.... Tuto vlastnost maí 1.16. V ti ka (Vlastnosti míry). Nech A S. E 1 = A 1, E 2 = A 2 \ A 1, E 3 = A 3 \ (A 1 A 2 ).... (a) A 1 A 2 = µ(a 1 ) µ(a 2 ). (b) Jestliºe A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., potom µ( A ) = lim µ(a ). (c) Jestliºe A S, = 1, 2,..., A 1 A 2..., a estliºe µ(a 1 ) <, potom µ( A ) = lim µ(a ). kaz. (a) e snadné. K d kazu (b) pouºieme trik zdisunktn ní (v ti ku 1.15). A 1 \ A. (c): Pouºieme (b) na 1.17. P íklad. Nech µ e po ítací míra na N a A = {, +1,... }. Potom A, a p esto µ(a ). Je to tím, ºe ve v ti ce 1.16 (c) není spln n p edpoklad o kone nosti µ(a 1 ). 2. Lebesgueova míra: nástin 2.1. enice (Lebesgueova vn ²í míra). Nech A R n e libovolná mnoºina. enume { } (2) l (A) = inf l(q ) : Q I n, Q A. =1 Mnoºinová funkce l : A l (A), denovaná na poten ní mnoºin 2 Rn, se nazývá Lebesgueova vn ²í míra. Sou ty, vyskytuící se na pravé stran (2) se nazývaí horní sou ty k l (A). Mnoºinová funkce l umí m it v²echny mnoºiny, ale není aditivní. Proto v dal²ím se budeme snaºit z ní vytvo it aditivní funkci (dokonce míru, viz denice 1.12), za coº zaplatíme zúºením deni ního oboru. Výsledný obor v²ech m itelných mnoºin v²ak iº bude dostate n bohatý pro v²echny aplikace. 4 =1

2.2. M itelné mnoºiny a Lebesgueova míra. ekneme, ºe mnoºina A R n e (Lebesgueovsky) m itelná, estliºe pro kaºdý interval Q I n platí (3) l(q) = l (Q A) + l (Q \ A). Mnoºinu v²ech Lebesgueovsky m itelných mnoºin budeme zna it M = M(R n ) a mnoºinová funkce bude Lebesgueova míra. λ : A l (A), A M 2.3. Oznámení v ty. Nech Q I n. Potom Q M a λ(q) = l (Q) = l(q). kaz. Vyplyne z v ty 11.7. 2.4. Oznámení v ty. M e σ-algebra obsahuící v²echny borelovské podmnoºiny R n a λ e míra na M. kaz. Vyplyne z v t 9.5 a 11.2. 2.5. Poznámka (Lebesgueovsky nem itelné mnoºiny). V dal²ím se budeme n kolikrát vracet k tématu m itelných mnoºin. P irozenou otázkou e, které mnoºiny m itelné nesou a zda v bec n aké takové existuí. Pravda e, ºe sice existuí, ale d kaz eich existence není konstruktivní. Filosocky vzato, z hlediska výpo t v aplikacích nem ºe mít vliv na výsledek, zda nem itelné mnoºiny existuí nebo ne. Vynechat d kaz m itelnosti mnoºiny, e-li eí m itelnost poºadována, e v²ak hrubou matematickou chybou. 3. M itelné funkce 3.1. Zna ení. Je-li abstraktní mnoºina a A, zna íme χ A charakteristickou funkci mnoºiny A, neboli { 1, x A, χ A (x) =, x / A. Symbol m ºe být uºit pro +. Je-li f : R funkce, denueme f + = max{f, }, f = max{ f, }. (Maximum i minimum dvou funkcí se denue bod po bodu.) Tedy Je-li f funkce na a M R, zna íme f = f + f, f = f + + f. {f M} = {x : f(x) M}, podobn zavádíme zna ení ako {f > a}, {f = a}. Symbolem ϕ f zna íme sloºenou funkci x ϕ(f(x)). Zna ení f 1 pouºíváme pro inverzní funkci k f. 3.2. Úmluva. Na R zavádíme algebraické operace a nerovnosti p irozeným zp sobem. Sou et a + b má smysl pokud a R nebo b R nebo a a b sou nekone na steného znaménka. Sou et + ( ) smysl nemá. Sou in ab má smysl vºdy (d leºité!!), ve sporném p ípad zavádíme (4) ± =. Podíl a/b má smysl s výimkou p ípad a/ a a ± / ±. V celé kapitole budeme uvaºovat m itelný prostor (, S). 3.3. enice (M itelné funkce). Nech S. ekneme, ºe funkce f : R e S-m itelná, estliºe pro kaºdý interval I R e f 1 (I) S. Nebude-li hrozit nedorozum ní, budeme mluvit krátce o m itelných funkcích. 3.4. Pozorování. Nech, S. (a) Je-li f m itelná na a 1, pak f e m itelná na 1. (b) Je-li funkce f : R S-m itelná na, = 1, 2,... a = =1, pak f e m itelná na. 3.5. V ti ka (Ov ování m itelnosti). Uvaºume S a funkci f : R. Nech S R e hustá mnoºina. P edpokládeme, ºe ( ) Pro v²echna q Q e {f > q} S. 5

Potom funkce f e m itelná na. kaz. 1. Nech a <, nad me racionální ísla q a. Pak {f > a} = {f > q }. 2. Nech a >, nad me racionální ísla r a. Pak {f a} = {f > r }. 3. Nech b R, pak {f b} = \ {f > b}, {f < b} = \ {f b}. 4. Nech a, b R, a b. Potom {f [a, b]} = {f a} {f b} a podobn pro ostatní typy interval. 3.6. Poznámka. Místo nerovnosti f > q v ( ) lze uºít f q, f < q nebo f q. 3.7. V ti ka (M itelnost vzoru). Nech f e m itelná funkce na S a A R e borelovská mnoºina. Potom {f A} S. kaz. Systém mnoºin {E R: {f E} e m itelná} tvo í σ-algebru a obsahue v²echny intervaly. Tudíº obsahue v²echny borelovské mnoºiny. 3.8. V ti ka (M itelnost sloºené funkce). Nech f e m itelná funkce na S a ϕ e spoitá funkce na otev ené nebo uzav ené mnoºin M R. Potom mnoºina := {f M} e m itelná a sloºená funkce ϕ f e m itelná na. kaz. Zvolme c R, potom P := {y M : ϕ(y) > c} e borelovská, tudíº e m itelná podle v ti ky 3.7. {ϕ f > c} = {f P } 3.9. Varování. Budeme-li skládat spoitou a m itelnou funkci v opa ném po adí, výsledek nemusí být m itelný. Také není obecn pravda, ºe inverzní funkce k m itelné funkci by byla m itelná funkce. Viz priklad 21.5 3.1. V ta (Operace s m itelnými funkcemi). Nech funkce f, f sou m itelné funkce na S. Pak platí následuící: (a) Funkce f, f +, f, f 2 sou m itelné na, 1/f e m itelná na {f }. (b) Funkce f 1 + f 2, f 1 f 2, f 1 f 2, f 1 /f 2 sou m itelné vºdy na mnoºin, kde u in ná operace dává smysl podle úmluvy 3.2. (c) Funkce sup f, inf f, lim sup f, lim inf f sou m itelné na. (d) Mnoºina v²ech bod, kde existue lim f e m itelná a lim f e m itelná na. kaz. (a) e d sledek v ti ky 3.8. (b): Je výhodné odpreparovat diskusí mnoºiny, kde edna z funkcí nebo ob nabývaí nevlastních hodnot a zam it se na mnoºinu {f 1 R} {f 2 R}. Máme {f 1 + f 2 > a} = {f 1 > p} {f 2 > q}. ále Ostatní e snadné. (c): Je a odtud odvodíme i zbytek. f 1 f 2 = 1 4 p,q Q p+q>a ( (f 1 + f 2 ) 2 (f 1 f 2 ) 2). {sup f > a} = {f > a} 6

(d) Máme {lim f existue} = {lim sup f = lim inf f } ( = \ {lim inf p Q f < p < lim sup f } ). 3.11. Jednoduché funkce. Funkci f na S nazveme S-ednoduchou, estliºe f e lineární kombinace charakteristických funkcí mnoºin z S, t. existuí-li mnoºiny A S a α R, = 1,..., m, tak, ºe m f = α χ A. =1 Pokud bude asné, akou σ-algebru máme na mysli, budeme mluvit prost o ednoduchých funkcích. 3.12. Aproximace ednoduchými funkcemi. Nech (, S) e m itelný prostor. Nech f e nezáporná m itelná funkce na S. Potom existuí nezáporné ednoduché funkce f k f. Navíc, f lze vyád it ve tvaru (5) f = 2 χ E, kde E S. = kaz. Poloºme P = i { [i2, (i + 1)2 ) : i e liché celé}. Potom kde f = = 2 χ E, E := {f P }. Jelikoº P sou borelovské, {f P } sou m itelné podle v ti ky 3.7. Jedná se vlastn o dyadickou expanzi hodnoty f(x); totiº x E, práv kdyº f(x) má na -tém míst v dyadickém rozvoi edni ku. Jednoduché funkce f k m ºeme denovat vzorcem k f k = 2 χ E. = k 4. Abstraktní Lebesgue v integrál Nech (, S, µ) e prostor s mírou. V této kapitole zavedeme abstraktní Lebesgue v integrál z µ- m itelné funkce. Lebesgueovo poetí nabízí alternativní cestu k denici integrálu p es interval, takto vybudovaný integrál dává pouºiteln ²í teorii neº integrál Newton v nebo Riemann v. Zna n ²iroká t ída integrovatelných funkcí e en ednou z mnoha výhod. V moderní matematické literatu e se integrálem bez p ívlastku rozumí vºdy integrál Lebesgue v. Význam Newtonova a Riemannova integrálu z stává ve sfé e didaktiky. P i lebesguovském integrování se v²ak nemusíme omezovat na funkce reálné prom nné. Obecné poetí abstraktního Lebesgueova integrálu na libovolném prostoru s mírou má mnoho aplikací v analýze, teorii pravd podobnosti a v matematice v bec, v této obecnosti Riemannova i Newtonova metoda nenabízeí ani áste né e²ení problému. 4.1. enice (Rozklad). Kone ný soubor mnoºin {A 1,..., A m } S nazveme rozkladem nebo Lebesgueovským d lením mnoºiny S, estliºe mnoºiny A sou po dvou disunktní a m A =. =1 7

4.2. Terminologická poznámka. Rozdíl mezi oby eným riemannovským d lením a lebesgueovským spo ívá hlavn v tom, ºe riemannovské d lení e pouze na intervaly, u lebesgueovského se d lí na libovolné m itelné mnoºiny. Tento rozdíl podstatn p ispívá k bohatství t ídy lebesgueovsky integrovatelných funkcí. 4.3. V ti ka (Charakteristika ednoduchých funkcí). Nech f e nezáporná m itelná funkce na. Pak e ekvivalentní (i) f e ednoduchá, (ii) f nabývá en kone n mnoha hodnot, (iii) existue rozklad {A } m =1 mnoºiny a nezáporná ísla α, = 1,..., m tak, ºe f = α χ A. kaz. Implikace (i) = (ii) a (iii) = (i) sou z emé. Pro (ii) = (iii), nech α 1,..., α m sou hodnoty, kterých nabývá funkce f a poloºme A = {f = α }. 4.4. enice (Konstrukce integrálu). Nech, S a f : R e m itelná funkce. Integrál f dµ vybudueme ve t ech krocích. V prvních dvou krocích p edpokládáme =. 1. Je-li f nezáporná m itelná funkce, denueme { m f dµ = sup α µ(a ) : {A } e rozklad, (6) =1 } α f na A, = 1,..., m. Sou ty vyskytuící se v (6) nazýváme dolními sou ty k funkci f. Integrál z nezáporné m itelné funkce e denován vºdy, m ºe ov²em nabývat nekone né hodnoty. 2. V obecném p ípad, kdy f e m itelná funkce na, denueme (7) f dµ = f + dµ f dµ, pokud rozdíl v (7) má smysl. Pokud f + dµ = f dµ =, z stává integrál funkce f nedenován. 3. Je-li f m itelná (p esn : S-m itelná) funkce na a µ( \ ) =, e ú elné denovat f dµ = f dµ. Smysl takového integrálu a výsledek samoz em v tom p ípad nezávisí na volb. V n kterých p ípadech e ú elné pouºívat podrobn ²í zápis f(x) dµ(x) pro f dµ. Pro integrál podle Lebesgueovy míry v R n pouºíváme zpravidla zna ení f(x) dx. Je-li n = 1 a = (a, b), pouºíváme b a f(x) dx. Je-li integrál f dµ denován, íkáme téº, ºe má smysl, nebo ºe funkce f má integrál. Je-li navíc tento integrál kone né íslo, íkáme, ºe f dµ konvergue nebo ºe f e integrovatelná. 4.5. Poznámka. Na rozdíl od denice Riemannova integrálu, u Lebesguova integrálu nekonfrontueme supremum dolní sou t s inmem n akých horních sou t. To e umoºn no tím, ºe se v samotném za átku denice omezueme pouze na m itelné funkce a u t ch m ºeme supremu dolních sou t d v - ovat. 8

Podobná situace by nastala u Riemannova integrálu, kdybychom se omezili na spoité funkce a v prvém kroku bychom denovali integrál pro spoitou a nezápornou funkci na uzav eném intervalu, také bychom mohli v it dolnímu Riemannovu integrálu. 4.6. enice (µ-m itelné funkce). Nech. ekneme, ºe funkce f : R e µ-m itelná na S, existue-li S tak, ºe µ( \ ) = a f e S-m itelná na. To odpovídá situaci, která se naskytla v t etím kroku denice integrálu. V dal²ím budeme slovo m itelná pouºívat ve významu µ-m itelná v kontextu prostoru s mírou a ve významu λ-m itelná v kontextu integrace podle Lebesgueovy míry. 4.7. Oznámení v ty (Lebesgue v integrál a Newton v integrál). Nech funkce f : (a, b) R má na intervalu (a, b) primitivní funkci F. (a) Je-li f λ-integrovatelná na (a, b), potom existuí vlastní ednostranné limity F (b ) a F (a+) a platí b a f(x) dx = F (b ) F (a+). (b) Jestliºe f a existuí vlastní ednostranné limity F (b ) a F (a+), pak f e λ-integrovatelná na (a, b). kaz. V tu v této obecnosti dokazovat nebudeme. ƒáste ným p ípadem se budeme zabývat ve v t 5.4. 4.8. V ta (R zné vlastnosti Lebesgueova integrálu). Nech S a f, g sou m itelné funkce na. (a) Je-li f, 1, 2 S a 1 2, pak f dµ f dµ. 1 2 (b) Jestliºe 1, 2 S, 1 2 = a 1 2 =, pak f dµ = f dµ + f dµ. 1 2 (c) Je-li f dµ <, pak f < skoro v²ude. (d) Je-li f dµ =, pak f = skoro v²ude. (e) (monotonie) Jestliºe f, g maí integrál a f g skoro v²ude, pak f dµ g dµ. (f) Je-li g dµ < a f g skoro v²ude, pak f e integrovatelná. kaz. (a), (b), (c) sou snadné. (d): Jestliºe mnoºiny E := { f > 2 } maí míru nula, pak f = skoro v²ude. Pokud edna z nich má kladnou míru, pak 2 µ(e ) e dolní sou et k f a tudíº integrál f e kladný. (e): Tvrzení e snadné, pokud f g na. V obecném p ípad se d kaz provede rozd lením na mnoºiny {f g}, {f g < }, { < f g}, {g < f} a diskusí. (f) plyne z (e) a denice integrálu. 4.9. Poznámka. Konvergence Newtonova integrálu nesta í k ov ení konvergence Lebesgueova integrálu (ako p íklad slouºí funkce sin x/x na intervalu (, )). Pokud f na (a, b), m ºeme pouºít v tu 4.7. Jestliºe f st ídá znaménka, základním kritériem e (f) z p edchozí v ty 4.8. Bu nap. f(x) = sin x, x (, ). 1 + x2 Poloºme g(x) = 1, x (, ). 1 + x2 Potom g e integrovatelná na (, ) podle v ty 4.7 a f e integrovatelná na (, ), protoºe f g. 4.1. Lemma (O monotonii). Nech S. Nech {A } n =1, {B i} m i=1 sou rozklady a sou nezáporná reálná ísla. Jestliºe α 1,..., α n, m β i χ Bi i=1 9 β 1,..., β m n α χ A, =1

potom (8) m n β i µ(b i ) α µ(a ). i=1 =1 kaz. Je-li A B i, potom z p edpoklad plyne β i α a tudíº (9) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). Pokud A B i =, pak µ(a B i ) = a zase dostáváme (9). Se tením p es i, a zám nou po adí sumace dostáváme m n n m (1) β i µ(a B i ) α µ(a B i ). i=1 =1 =1 i=1 Jelikoº z (1) dostáváme (9). n µ(a B i ) = µ(b i ), =1 m µ(a B i ) = µ(a ), i=1 4.11. Lemma (Integrál ednoduché funkce). Nech S. Nech {A } n =1 e rozklad a α 1,..., α n sou nezáporná reálná ísla. Potom ( n ) n α χ A dµ = α µ(a ). kaz. Ozna me Je-li =1 f = =1 n α χ A. =1 m β i µ(b i ) i=1 dolní sou et k f, podle lemmatu 4.1 dostáváme m β i µ(b i ) i=1 n α µ(a ) a p echod k supremu p es v²echny dolní sou ty dává n f dµ α µ(a ). =1 =1 Jelikoº n α µ(a ) =1 e téº dolní sou et k f, máme i obrácenou nerovnost. 4.12. sledek. Je-li f nezáporná m itelná funkce na S, potom { } f dµ = sup s dµ : s f, s e ednoduchá. 4.13. V ta (Levi, Lebesgue, monotone convergence theorem). Nech {f } e posloupnost m itelných funkcí na S, f 1 f 2..., a f = lim f. Potom (11) f dµ = lim f dµ. 1

kaz. Nech n α µ(a ) e ostrý dolní sou et k f, t. pro kaºdé e α = nebo α < f na A. Ozna me n s = α χ A a poloºme =1 =1 E k = {f k s}. Snadno ov íme, ºe k E k =. Podle v ti ky 1.16 (b), µ(a ) = lim k µ(a E k ), tedy (zám na limity a kone né sumy není ºádný problém) n n (12) α µ(a ) = lim α µ(a E k ). k Kaºdý sou et =1 =1 n α µ(a E k ) =1 e dolní sou et k f k, tedy limitu na pravé stran (12) m ºeme shora odhadnout limitou lim f k dµ. k Tedy (vytknutí konstanty p ed integrál není problém, srov. v tu 4.15(b)) n α µ(a ) lim f k dµ. k =1 P echodem k supremu p es v²echny ostré dolní sou ty k f (z em supremum ostrých dolních sou t e stené ako supremum v²ech dolních sou t ) dostáváme f dµ lim f k dµ. k Opa ná nerovnost e z emá. 4.14. sledek (Spoitá závislost na integra ním oboru). Nech, E k S, E 1 E 2..., k E k =. Nech f e nezáporná m itelná funkce na. Potom f dµ = lim f dµ. k E k kaz. Sta í aplikovat Leviho v tu na f k = fχ Ek. 4.15. V ta (Linearita integrálu). (a) Nech f, g sou m itelné funkce na S. Potom (f + g) dµ = f dµ + g dµ, má-li pravá strana smysl. (b) Nech f e m itelná funkce na S a γ R. Pokud f má integrál, pak γf dµ = γ f dµ. 11

kaz. Tvrzení (b) e z emé. (a): Neprve p edpokládeme, ºe funkce f a g sou nezáporné a ednoduché. Podle v ti ky 4.3 nademe vyád ení n m f = α χ A, g = β i χ Bi, =1 kde {A } n =1, {B i} m i=1 sou rozklady a α 1,..., α n, β 1,..., β m sou nezáporná reálná ísla. Potom také {A B i : i = 1,..., m, = 1,..., n} e rozklad a m n f + g = (α + β i )χ A B i. Podle lemmatu 4.11 a Máme (f + g) dµ = (f + g) dµ = = = m i=1 =1 =1 i=1 i=1 =1 f dµ = g dµ = m i=1 n α µ(a ), =1 m β i µ(b i ) i=1 i=1 =1 n (α + β i )µ(a B i ). n (α + β i )µ(a B i ) n m m n α µ(a B i ) + β i µ(a B i ) =1 i=1 =1 n m α µ(a ) + β i µ(b i ). Tím e d kaz proveden pro ednoduché funkce. Nech f a g sou nezáporné m itelné funkce. Podle v ty 3.12 existuí nezáporné ednoduché funkce f f, g g. Pak také (f + g ) (f + g). Podle p edchozí ásti d kazu (f + g ) dµ = f dµ + g dµ a na obou stranách rovnosti pouºieme Leviho v tu k limitnímu p echodu. To nám dá d kaz pro nezáporné m itelné funkce. Nech f a g sou integrovatelné funkce na. Bu i=1 = { f + g < }. Potom S, a µ(\ ) =. M ºeme se tedy omezit na mnoºinu. Jelikoº f +g f + g, podle p edchozího kroku a v ty 4.8 e f + g také integrovatelná. Na platí Podle p edchozího kroku máme (f + g) + dµ + = = Vhodným p eskupením s ítanc dostaneme (f + g) + dµ (f + g) dµ = coº e dokazovaný vzorec. (f + g) + + f + g = (f + g) + f + + g +. f dµ + g dµ = [(f + g) + + f + g ] dµ [(f + g) + f + + g + ] dµ (f + g) dµ + f + dµ + g + dµ. f + dµ f dµ + g + dµ g dµ, 12

Obecný p ípad, kdy pravá strana má smysl, ale funkce f, g nemusí být integrovatelné, e otázkou snadné, ale zdlouhavé diskuse, kterou ponecháváme tená i. 4.16. sledek (Leviho v ta pro ady). Nech S a g, = 1, 2,..., sou nezáporné m itelné funkce na. Potom (13) g = g kaz. Sta í pouºít Leviho v tu 4.13 na áste né sou ty. 5. Lebesgue v integrál na p ímce Integrál podle Lebesgueovy míry λ budeme nazývat (klasickým) Lebesgueovým integrálem. V této kapitole dokáºeme, ºe pro kaºdou spoitou funkci f na intervalu [a, b] splývá f dλ [a,b] s Newtonovým integrálem funkce f p es [a, b]. Pro klasický Lebesgue v integrál funkce f p es interval (a, b) budeme téº pouºívat tradi ní zna ení b a f(x) dx. Pouºívání klasického Lebesgueova integrálu e mnohem výhodn ²í neº pouºívání Riemannova i Newtonova integrálu, nebo vede k úpln ²í t íd integrovatelných funkcí. Lze dokázat, ºe kaºdá Riemannovsky integrovatelná funkce e Lebesgueovsky integrovatelná a Lebesgue v integrál v tomto p ípad splývá s Riemannovým. Opa ná inkluze neplatí, lebesgueovsky integrovatelných funkcí e víc. Lebesgue v integrál nepokrývá tzv. neabsolutn konvergentní integrály, nap. sin x x které v ednoduchých p ípadech zachycue Newton v integrál. Pro hlub²í studium neabsolutn konvergentních integrál se hodí poem Perronova nebo Kurzweilova integrálu. Neabsolutn konvergentní integrály vyuºívaí eukleidovskou strukturu a nemaí rozumný prot ²ek na obecných prostorech s mírou. 5.1. enice (Neur itý Lebesgue v integrál). Nech f e spoitá funkce na intervalu (a, b ). Funkci F : (a, b ) R nazveme neur itým Lebesgueovým integrálem funkce f, estliºe b a dx, f(x) dx = F (b) F (a) pro kaºdý interval [a, b] (a, b ). Poznameneme, ºe kaºdá spoitá funkce na otev eném intervalu e m itelná (protoºe otev ené mnoºiny sou borelovské a tudíº m itelné) a má neur itý Lebesgue v integrál. Ten se zkonstruue nap. ako { x f(t) dt, x c, F (x) = c c f(t) dt, x x < c pro pevn zvolený bod c (a, b ). Konvergence integrál plyne z omezenosti integrovatelných funkcí a integra ních obor. 5.2. V ta (o neur itém Lebesgueov integrálu). Nech f, F sou spoité funkce na intervalu (a, b ). Potom F e primitivní funkce k f, práv kdyº F e neur itý Lebesgue v integrál funkce f. kaz. Nech neprve F e neur itý Lebesgue v integrál. Snadno ov íme, ºe F (x + h) F (x) 1 lim = lim h + h h + h x+h x f(t) dt = f(x), x (a, b ), podobn pro limitu zleva. F e tedy primitivní funkce. Nech naopak F e primitivní funkce, nademe neur itý Lebesgue v integrál G. Podle p edchozí ásti e G primitivní funkce, tedy G a F se li²í en o aditivní konstantu. Jelikoº se F li²í o aditivní konstantu od neur itého Lebesgueova integrálu, e to také neur itý Lebesgue v integrál. 13

5.3. enice (Newton v integrál). Nech f e funkce na intervalu (a, b). P ipome me, ºe íkáme, ºe funkce f má Newton v integrál I p es (a, b), estliºe f má na (a, b) primitivní funkci F, ta má limity F (a+) = lim x a+ F (x), tyto limity sou vlastní (ve smyslu kone né) a I = F (b ) F (a+). F (b ) = lim F (x), x b Integrál I zna íme (N) b f(x) dx. Kdyº f má Newton v integrál, íkáme, ºe Newton v integrál f konvergue, v opa ném p ípad íkáme, ºe divergue, Jestliºe Newton v integrál f konvergue, rozli²ueme a absolutní konvergenci (t. téº (N) f(x) dx konvergue) a neabsolutní konvergenci (t. (N) f(x) dx divergue). Konvergence integrálu f sama o sob e²t nezaru ue absolutní konvergenci integrálu f. Nap. funkce { 1, x, f(x) = 1, x < nemá primitivní funkci, ale (N) 1 f(x) dx konvergue. 1 5.4. V ta (vztah mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nech f e nezáporná spoitá funkce na intervalu (a, b). Potom (N) b f(x) dx konvergue, práv kdyº konvergue Lebesgue v integrál funkce a f. V tom p ípad maí oba integrály spole nou hodnotu. kaz. (a) Zvolme c (a, b) a nad me intervaly [a, b ] tak, ºe a < a < c < b < b, a a, b b. Nech F e neur itý Lebesgue v integrál funkce f, coº e podle v ty 5.2 primitivní funkce k f. Potom F e neklesaící a tudíº má limity F (b ), F (a+). Jelikoº (z monotonie) F (b ) nem ºe být a F (a+) nem ºe být +, rozdíl F (b ) F (a+) má smysl a platí (14) F (b ) F (a+) = lim k (F (b k ) F (a k )). Ozna me f k = fχ ak,b k. Funkce f má Lebesgue v integrál p es (a, b) (e totiº nezáporná a m itelná). Podle Leviho v ty 4.13 a (14) e b a f(x) dx = lim k b a f k (x) dx = lim k bk a k f(x) dx = lim k (F (b k ) F (a k )) = F (b ) F (a+), takºe b f(x) dx konvergue, práv kdyº F (b ) F (a+) <, ale to e p esn podmínka pro konvergenci a Newtonova integrálu. 5.5. sledek (iskuse vztahu mezi Newtonovým a Lebesgueovým integrálem). Nech f e spoitá funkce na intervalu (a, b). (a) Jestliºe konvergue Lebesgue v integrál z f od a do b, konvergue i Newton v a to absolutn. (b) Jestliºe Newton v integrál z f od a do b konvergue absolutn, pak konvergue i Lebesgue v. (c) Pokud konvergue ak Lebesgue v, tak Newton v integrál z funkce f, pak oba maí stenou hodnotu. (d) Jestliºe Newton v integrál z f od a do b konvergue neabsolutn, pak Lebesgue v integrál nemá smysl. Tvrzení (b) a (c) platí i bez p edpokladu spoitosti, ale d kaz e sloºit ²í. Tvrzení (a) naopak spoitost vyºadue. Jinak neplatí ºádná inkluze mezi t ídou v²ech lebesgueovsky integrovatelných funkcí a t ídou v²ech newtonovsky integrovatelných funkcí. kaz e snadné cvi ení, zaloºené na rozkladu f = f + f. Pokud Newton v integrál f konvergue absolutn, konverguí i Newtonovy integrály funkcí f + a f, protoºe f + = 1 2 ( f + f) a f = 1 2 ( f + f). 5.6. V ta (Vztah mezi Riemannovým a Lebesgueovým integrálem). Nech f e Riemannovsky integrovatelná funkce na [a, b]. Potom Lebesgue v integrál funkce f od a do b konvergue a e roven integrálu Riemannovu. kaz. Nech R e Riemann v integrál funkce f od a do b. Z denice Riemannova integrálu plyne, ºe existuí po ástech konstatní funkce g, h tak, ºe g f h, b a g (x) dx R, 14 b a h (x) dx R.

Funkce g = sup g a h = inf h sou m itelné podle v ty 3.1. Máme R sup b a g b a g b a h inf b a h R. Tedy funkce h g e nezáporná m itelná a (h g) = h g =. Podle v ty 4.8 e h = g s.v., tedy i h = f s.v. Tím e dokázána m itelnost funkce f. Protoºe f e omezená na [a, b], e Lebesgueovsky integrovatelná a b a f = b a h = R. 6. Zám na limity a integrálu V této kapitole pracueme v prostoru s mírou (, S, µ). Symbol pro integraci budeme n kdy zednodu²ovat (vynecháním dµ). Vzorec lim f = lim platí pro Lebesgue v integrál za zna n obecných p edpoklad. Na druhé stran e snadné sestroit protip íklady (nap. pro klasický Lebesgue v integrál f (x) = 2 e x, = (, )), a tudíº e zapot ebí tyto p edpoklady hlídat. V dal²ím budeme uvaºovat prostor s mírou (, S, µ). 6.1. Lemma (Fatouovo). Nech S a {f } e posloupnost nezáporných m itelných funkcí na. Potom (15) lim inf f lim inf f. kaz. Pro k = 1, 2,... máme inf f inf k i k f Limitní p echod pro k s pouºitím Leviho v ty na posloupnost {inf k f } k dává (15). 6.2. V ta (Lebesgueova, dominated convergence theorem). Nech S a f, f, = 1, 2,..., sou m itelné funkce na. Nech posloupnost {f } konvergue skoro v²ude k f. Nech existue integrovatelná funkce g (takzvaná maoranta) tak, ºe (16) f (x) g(x), = 1, 2,..., x. Potom (17) f = lim kaz. M ºeme p edpokládat, ºe uvaºované funkce sou kone né a konvergence nastává v²ude, inak bychom z odstranili mnoºinu míry nula. Pouºieme additivitu integrálu a Fatouovo lemma na funkce g + f, g f. ostaneme coº e (17). f lim inf f. f i. f lim sup f f, 6.3. sledek (Lebesgueova v ta pro ady). Nech S a g, = 1, 2,..., sou m itelné funkce na. Nech ada g konvergue skoro v²ude. Nech existue integrovatelná funkce g (takzvaná maoranta) tak, ºe k (18) g (x) g(x), k = 1, 2,..., x. Potom (19) =1 g dµ = g dµ. kaz. Sta í pouºít additivitu integrálu a Lebesgueovu v tu na áste né sou ty. 15

7. Zám na ady a integrálu N které v ty o zám n ady a integrálu sme iº dostali ako d sledky v t o zám n limity a integrálu. Podle d sledku 4.16, u ad s nezápornými leny zám na ne iní potíºe. Obecný p ípad e t º²í, nebo p edpoklad (18) d sledku 6.3 se t ºko ov ue. Málokdy totiº umíme spo ítat áste né sou ty ady. Výimku tvo í geometrické ady, ale i tam sou ednodu²²í cesty k cíli. Následuící v ta obsahue praktická kritéria pro zám nu ady a integrálu. 7.1. V ta (Zám na ady a integrálu). Nech S a g, = 1, 2,... sou m itelné funkce na. P edpokládeme, ºe e spln na aspo edna z následuících podmínek: (a) g = aq, kde a, q sou m itelné funkce, q < 1, a a 1 q dµ konvergue (geometrická ada), (b) g dµ <, (c) g dµ <, (d) g = ( 1) h, h 1 h 2 h 3, h, h 1 e integrovatelná (alternuící ada). Potom ada g konvergue skoro v²ude a platí vzorec g dµ = g dµ, kaz. (a) odvodíme z formule pro áste né sou ty geometrické ady. Zám nu lze potom provést podle d sledku 6.3, maoranta 2a 1 q. Pouºieme-li Leviho v tu (d sledek 4.16) na g, zistíme, ºe podmínky (b) a (c) sou ekvivalentní. P edpokládeme tedy (b) nebo (c). Funkce g := g e integrovatelná, a tudíº podle v ty 4.8 kone ná skoro v²ude. V bodech x, kde e g(x) kone ná, konvergue ada g (x), nebo konvergue absolutn. M ºeme tedy pouºít d sledek 6.3 s maorantou g. V p ípad (d) ada g konvergue podle Leibnizova kritéria a áste né sou ty maí maorantu h 1, tudíº m ºeme provést zám nu podle d sledku 6.3. 7.2. P íklad. Máme 1 ln 1 x 1 x 2 dx = 1 n= ( ) x 2n ln 1 x dx = n= n= n= 1 x 2n ln 1 x dx = n= 1 (2n + 1) 2. Zám nu vý²e m ºeme ov it z d sledku 4.16, ale na podobnou úlohu 1 ln 1 1 ( x 1 + x 2 dx = ) 1 ( 1) n x 2n ln 1 x dx = ( 1) n x 2n ln 1 x dx = ( 1) n (2n + 1) 2 musíme pouºít n které z kritérií v ty 7.1. 7.3. Varování. V²imn te si dob e po adí operátor,,... v podmínkách (b), (c) v ty 7.1! Jen velmi slabý student se m ºe radovat, kdyº ov í t eba g dµ <. 8. Integrál závislý na parametru V této kapitole uvaºueme prostor s mírou (, S, µ) a S. Cílem e studovat chování funkce F (t) := f(t, x) dµ(x), kde t e dal²í prom nná (parametr). Je-li f funkce dvou prom nných t a x, zavedeme funkce f(, x) prom nné t a f(t, ) prom nné x p edpisem f(t, ) : x f(t, x), f(, x) : t f(t, x). 8.1. V ta (Limita integrálu závislého na parametru). Nech P e metrický prostor a A P. Bu a A \ A. Nech funkce f : A R má následuící vlastnosti: (Li-1) Pro skoro v²echna x existue lim f(t, x). t a, t A (Li-2) pro v²echna t A e funkce f(t, ) m itelná, (Li-3) existue integrovatelná funkce g na tak, ºe pro v²echna t A a x e f(t, x) g(x). 16 n=

Potom (2) lim t a, t A f(t, x) dµ(x) = lim speciáln výrazy vyskytuící se v (2) maí smysl. f(t, x) dµ(x). t a, t A kaz. P ipome me, ºe v metrických prostorech lze pouºít ekvivalentní tzv. Heineovu denici limity: K d kazu tvrzení f(t, ) dµ = lim f(t, ) dµ lim t a t a sta í ov it, ºe pro kaºdou posloupnost t a bod mnoºiny A platí lim f(t, ) dµ = lim f(t, ) dµ. To e v²ak z emé z Lebesgueovy v ty 6.2. Poznameneme, ºe aspo edna taková posloupnost {t } existue, a tudíº funkce lim f(t, ) = lim f(t, ) t a e m itelná. 8.2. Poznámka. Tvrzení v ty 8.1 o zám n limity a integrálu platí téº v situaci, kdy nap. A = (, + ) a a = +. Substituce t 1/t p evádí problém na limitu v nule zprava, která uº z em spadá do kontextu metrických prostor. 8.3. V ta (Spoitost integrálu závislého na parametru). Nech P e metrický prostor. Bu a P a U okolí bodu a v P. Nech funkce f : U R má následuící vlastnosti: (Sp-1) Pro skoro v²echna x e funkce f(, x) spoitá v a, (Sp-2) pro v²echna t U e funkce f(t, ) m itelná, (Sp-3) existue integrovatelná funkce g na tak, ºe pro v²echna t U a x e f(t, x) g(x). Potom pro v²echna t U e f(t, ) integrovatelná a funkce F : t f(t, x) dµ(x) e spoitá v bod a. kaz. V ta e z emým d sledkem v ty 8.1, kterou aplikueme na A = U \ {a} 8.4. V ta (erivace integrálu závislého na parametru). Nech (, S, µ) e prostor s mírou a I R e otev ený interval. Nech funkce f : I R má následuící vlastnosti: (e-1) Pro skoro v²echna x e funkce f(, x) diferencovatelná na I, (e-2) pro v²echna t I e funkce f(t, ) m itelná, (e-3) existue integrovatelná funkce g na tak, ºe pro v²echna t I a x e f t (t, x) g(x), (e-4) existue t I tak, ºe f(t, ) e integrovatelná na. Potom pro v²echna t I e f(t, ) integrovatelná na, funkce F : t f(t, x) dµ(x) e diferencovatelná na I a platí vzorec F (t) = f (t, x) dµ(x). t kaz. Nech a, b I, b a. Podle v ty o st ední hodnot pro skoro kaºdé x existue ξ mezi a a b tak, ºe f(b, x) f(a, x) = f b a t (ξ, x) g(x). Odtud plyne, ºe funkce f(b, x) f(a, x) x b a 17

e integrovatelná, tudíº, volíme-li a = t, i funkce f(b, ) e integrovatelná. Zvolme znovu a I. Uvaºume funkci f(t, x) f(a, x), t a, h(t, x) = t a f (a, x), t = a. t Z p edpoklad a vý²e dokázaného e asné, ºe funkce h(t, x) spl ue p edpoklady v ty 8.3 pro spoitost v bod a (s maorantou g), tedy F (a) = lim f(t, x) dµ(x) f(a, x) dµ(x) t a t a f(t, x) f(a, x) f = lim dµ(x) = (a, x) dµ(x). t a t a t Tím e v ta dokázána. 8.5. P íklad. Uvaºume funkci F (t) = 1 cos x x 2 e tx dx. Potom F e spoitá na [, ) (maoranta x 2 (1 cos x)) a pro t (, ) e F (t) = F (t) = 1 cos x x e tx dx, (1 cos x) e tx dx. Zde iº nem ºeme naít maorantu naednou pro t (, ), poslouºí x 1 cos x e ax, x x (1 cos x) e ax pro t (a, ). Jelikoº pro p >, q R e [ e e px cos qx dx = Re e px iqx px iqx dx = Re p + iq p = p 2 + q 2, máme Jelikoº snadno ov íme Speciáln dostáváme (21) Bu F (t) = t t 2 t t 2 + 1 = 1 t(t 2 + 1). lim F (t) = lim F (t) =, t t ] x= F (t) = 1 2 ln ( 1 + 1 t 2 ), t (, ), F (t) = π 2 arctg t 1 2 t ln ( 1 + 1 t 2 ), t [, ). Potom integrováním per partes dostaneme Limitní p echod s vyuºitím (21) dává 1 cos x x 2 dx = F () = π 2. G(a) = G(a) = 1 cos a a a lim a sin x x a sin x x dx. a 1 cos x + x 2 dx. dx = lim G(a) = π a 2. 18 = Re 1 p + iq

8.6. P íklad. Nech F (t) = 1 x t dx, t > 1. ln x Mechanickým derivováním za integra ním znamením (není spln n p edpoklad ( 4)) bychom dostali F (t) = 1 a koli F. Porovnete s výpo tem derivace pro 8.7. P íklad. Nech G(t) = F (t) = 1 x t dx = 1 1 + t, x t 1 ln x dx. cos tx 1 + x 2. Mechanickým derivováním za integra ním znamením (není spln n p edpoklad ( 3)) bychom dostali F (t) = x sin tx 1 + x 2, kterýºto integrál konvergue pouze v nule. Nula e ov²em ediný bod, kde F derivaci nemá. Zkuste dokázat existenci F na R \ {}! (Per partes vede na integrál, který e vst ícn ²í k derivování za integra ním znamením.) 8.8. enice (Zavedení Gamma a Beta funkce). Funkci Gamma denueme na intervalu (, ) p edpisem (22) Γ(s) = x s 1 e x dx. Funkci Beta dvou prom nných p >, q > denueme p edpisem B(p, q) = Ov te samostatn konvergenci integrál! 1 x p 1 (1 x) q 1 dx. 8.9. Pozorování (Rekurentní formule). Integrováním per partes zistíme pro s > (23) Γ(s + 1) = Obdobn pro p, q > (24) pb(p, q + 1) = 1 x s e x dx = px p 1 (1 x) q dx = 1 s x s 1 e x dx = s Γ(s). x p q(1 x) q 1 dx = qb(p + 1, q). 8.1. Pozorování (erivování funkce Γ). Formálním derivováním za integra ním znamením dostaneme rekurentn Γ (k) (s) = x s 1 (ln x) k e x dx. Vzorec lze od vodnit pouºitím v ty o derivování podle parametru pro s (p, q), kde < p < q <, s maorantou g(x) = (x p 1 + x q 1 ) ln x k e x. Funkce Gamma e tedy nekone n diferencovatelná, tím spí² spoitá na (, ). 8.11. Pozorování (Pr b h funkce Gamma). Z em Γ(s) > pro s >. ruhá derivace e z em kladná, tedy Gamma e striktn konvexní na (, ). Z konvexity e zevné, ºe lim s Γ(s) existue. Jelikoº n!, e lim Γ(s) =. s Ze vzorce Γ(s) = Γ(s + 1)/s dostaneme lim Γ(s) =. s + 19

9. Vn ²í míra V této kapitole uvedeme obecné schéma pouºívané ke konstrukci m r. Motivem sou aplikace na konstrukce m r v analýze, zvlá²t Lebesgueovy míry, a aplikace v teorii pravd podobnosti. Konstrukce popsaná v denici 9.2 e stená, akou sme iº pouºili v speciálním p ípad na konstrukci vn ²í Lebesgueovy míry v denici 2.1. 9.1. enice (Vn ²í míra). Vn ²í mírou na mnoºin rozumíme mnoºinovou funkci γ : 2 [, ] (tedy denovanou na v²ech podmnoºinách ) spl uící následuící poºadavky: (VM-1) γ( ) =, (VM-2) A B = γ(a) γ(b), (VM-3) γ( =1 A ) =1 γ(a ) (σ-subadditivita). S vn ²ími m rami se budeme setkávat p edev²ím ako s mezistupn m p i konstrukci míry. 9.2. enice (Z výchozí mnoºinové funkce k vn ²í mí e). Nech G 2 a τ : G [, ] e mnoºinová funkce na spl uící (25) G, τ( ) =. Podmínce (25) budeme íkat po áte ní podmínka. Pro A poloºme (26) τ (A) = inf{ τ(g ) : G G, G A} (uv domte si, ºe inf = + ). Kaºdý sou et kde =1 τ(g ), =1 G G, G A, nazveme horním sou tem k τ (A). Uºite nost konstrukce dokládá následuící v ta. 9.3. V ta. Nech G, τ a τ sou ako v denici 9.2. Potom τ e vn ²í míra. kaz. (VM-1) a (VM-2) sou z emé. (VM-3): Chceme-li dokázat τ ( A ) τ (A ), =1 =1 z em se sta í omezit na p ípad, kdy na pravé stran máme kone né íslo. Volme ε > a nalezn me =1 =1 G i G, i, = 1, 2,..., tak, aby G i A a i=1 i=1 τ(g i ) < τ (A ) + 2 ε. Potom G i A a τ(g i ) τ (A ) + ε.,i=1 =1,i=1 =1 Tedy τ ( A ) τ (A ) + ε. =1 =1 9.4. enice (γ-m itelné mnoºiny). Nech γ e abstraktní vn ²í míra na. Mnoºinu M nazveme γ-m itelnou (podle Carathéodoryho), estliºe pro kaºdou testovací mnoºinu T platí γ(t ) = γ(t M) + γ(t \ M) Systém v²ech (carathéodoryovsky) m itelných mnoºin zna íme M(γ) a mnoºinovou funkci γ M(γ) zna íme γ. 2

K d kazu γ-m itelnosti mnoºiny M sta í ov it pouze nerovnost γ(t ) γ(t M) + γ(t \ M), a to e²t samoz em en v p ípadech, kdy γ(t ) <. 9.5. V ta (Carathéodoryova). Nech γ e abstraktní vn ²í míra na. Pak systém M(γ) tvo í σ-algebru a γ e úplná míra. kaz. Ihned e vid t, ºe, M(γ), a estliºe M M(γ), potom i \ M M(γ). Bu te A, B M(γ), chceme ukázat, ºe i A B M(γ). Volme tedy testovací mnoºinu T. Pouºieme postupn T pro testování m itelnosti A a T A, T \ A pro testování m itelnosti B. ostaneme (symbolem M c budeme zna it \ M) γ(t ) = γ(t A) + γ(t A c ), takºe (pouºieme také subadditivitu γ) γ(t A) = γ(t A B) + γ(t A B c ), γ(t A c ) = γ(t A c B) + γ(t A c B c ), γ(t ) = γ(t A B) + γ(t A B c ) + γ(t A c B) + γ(t A c B c ) γ(t (A B)) + γ(t (A B) c ). okázali sme zatím, ºe systém v²ech γ-m itelných mnoºin e algebra. M me nyní posloupnost {E } po dvou disunktních γ-m itelných mnoºin. Indukcí dostaneme z p edchozího, ºe pro kaºdé m = 1, 2,... a pro kaºdou testovací mnoºinu T e m m (27) γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) =1 Podrobn i: pro m = 1 e to m itelnost E 1. Platí-li (27) pro m, pouºieme testovací mnoºinu T \ m =1 E na m itelnost E m+1 a dostaneme (28) γ(t \ m =1 =1 m+1 E ) = γ(t E m+1 ) + γ(t \ E ). Se tením (27) a (28) dostaneme (27) pro m + 1. Z (27) máme hned m γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ) a odtud limitním p echodem pro m (29) γ(t ) γ(t E ) + γ(t \ E ). =1 =1 Nyní dokáºeme, ºe pro A M(γ) e A M(γ). Vyrobíme po dvou disunktní E z A podle v ti ky 1.15. Potom E M(γ) podle první ásti d kazu. Pouºieme σ-subadditivitu γ na (29) a dostaneme γ(t ) = γ(t E ) + γ(t \ E ) coº dává γ-m itelnost mnoºiny =1 =1 =1 =1 =1 =1 γ(t E ) + γ(t \ E ), E = A. =1 Zbývá dokázat, ºe γ e míra. Víme, ºe γ( ) =. Bu {E } posloupnost po dvou disunktních γ- m itelných mnoºin. Potom pouºieme (29) na T = =1 21 =1 E =1

(pro ) a σ-subadditivitu γ (pro ) a dostaneme γ( E ) = γ(e ). Úplnost míry γ e snadná. =1 =1 9.6. enice (Základní konstrukce). Základní schéma konstrukce míry probíhá ve dvou krocích. Vydeme z nezáporné mnoºinové funkce (G, τ), od které nechceme tém nic p edpokládáme en po áte ní podmínku (25). V prvním kroku vytvo íme podle denice 9.2 a v ty 9.3 vn ²í míru τ, v druhém kroku pak podle denice 9.4 a v ty 9.5 (úplnou) míru (M(τ ), τ ). Pro výslednou míru zavedeme zkrácené zna ení (3) (G, τ ) := (M(τ ), τ ). Konstrukci obvykle povaºueme za úsp ²nou, estliºe (G, τ ) e roz²í ením (G, τ). Tento p ípad nastává p i konstrukci Lebesgue-Stieltesovy míry, coº záhy uvidíme. 1. Funkce intervalu 1.1. enice (Aditivní funkce intervalu). Symbolem I 1 budeme zna it systém v²ech zprava polouzav ených omezených interval v R, tedy interval tvaru (a, b], < a b < +. Interval (a, a] e samoz em prázdná mnoºina. ekneme, ºe m : I 1 R e aditivní funkce intervalu (zkratka AFI), estliºe pro kaºdou uspo ádanou troici reálných ísel (a, b, c) platí a b c = m((a, c]) = m((a, b]) + m((b, c]). P íkladem e mnoºinová funkce délka intervalu denovaná p edpisem l((a, b]) = b a. Vlastn kaºdá aditivní funkce intervalu vzniká z n aké funkce F : R R p edpisem (31) m((a, b]) = F (b) F (a), a b. Tato funkce F e ur ena ednozna n aº na aditivní konstantu. Naopak, p edpis (31) denue AF I pro kaºdou F : R R. Kdybychom pracovali na v²ech intervalech, docházelo by k tomu, ºe interval m s t mitéº koncovými body by byly p i azovány r zné hodnoty, reprezentace (31) by nefungovala a situace by byla nep ehledná. Proto e výhodné vybrat en eden typ interval a pracovat en s ním. Výhodou polouzav ených interval e eich uzav enost na mnoºinové operace pr nik, sednocení a rozdíl: pokud e výsledkem operace interval, e op t steného typu. ekneme, ºe AFI m e nezáporná, estliºe a b = m((a, b]), zprava spoitá, estliºe funkce b m((a, b]) e zprava spoitá na [a, ) (potom téº a m((a, b]) e zprava spoitá na [, b)). 1.2. Poznámka. Je v cí úmluvy, ºe uvaºueme intervaly uzav ené zprava, sten tak bychom se mohli dohodnout na preferenci interval uzav ených zleva. P i na²í úmluv e spoitost zprava p irozená vlastnost: estliºe b b, potom (a, b] = (a, b ] a proto e p irozené poºadovat m((a, b]) = lim m((a, b]). Oproti tomu, kdyº b b, pak (a, b ] = (a, b) (a, b]. 1.3. enice (Aditivní funkce vícerozm rného intervalu). Ozna me H n systém v²ech poloprostor tvaru {x R n : x i c} nebo {x R n : x i > c}, kde i {1,..., n} a c R. V²imn me si, ºe kaºdý zprava polouzav ený interval se dá napsat ako pr nik 2n poloprostor z H n. ekneme, ºe m : I n R e aditivní funkce (n-rozm rného) intervalu, estliºe pro kaºdý interval Q I n a kaºdý poloprostor H H n platí m(q) = m(q H) + m(q \ H). ekneme, ºe m e zprava spoitá, estliºe pro kaºdý interval Q I n a kaºdou (monotonní) posloupnost {Q } interval z I n platí (32) Q Q (nebo Q Q ) = m(q ) m(q). 22

Podmínka (32) e to, co e p irozené a pro nás d leºité. To, ºe tato podmínka se eví ako polospoitost zprava e dáno tím, ºe mezi intervaly r zných typ sme vybrali ako reprezentuící intervaly zprava polouzav ené. V dal²ím textu budeme pracovat enom s AFI, které sou nezáporné a zprava spoité. Pro stru nost im budeme íkat LS funkce intervalu, nebo to budou práv ty funkce intervalu, z nichº lze roz²í ením dostat tzv. Lebesgue-Stieltesovy (LS) míry. 1.4. Poznámka. Nezáporná funkce m : I n R e aditivní a zprava spoitá, práv kdyº funkce n intervalových prom nných (I 1,..., I n ) m(i 1 I n ) na ( I) n e aditivní a zprava spoitá v kaºdé prom nné. Aditivní nezáporná funkce m : I n R e zprava spoitá, práv kdyº pro kaºdé i {1,..., n} a Q I n e funkce t m(q {x: x i t}) zprava spoitá na R. 1.5. Cvi ení. okaºte tvrzení z poznámky 1.4. Byla by pravdivá i bez p edpokladu nezápornosti? 1.6. P íklady. 1. Elementární obem z denice 1.4 se stane LS funkcí intervalu, kdyº e zúºíme na I n. Tato zm na v p ístupu k zavedení Lebesgueovy míry hrae en nepatrnou roli. Proto v dal²ím budeme roz²i ovat LS funkce intervalu denované na I n a tento postup zahrne i vytvo ení Lebesgueovy míry. 2. iracova funkce d e na I n denována p edpisem { 1, x Q, d(q) =, x / Q. Je to LS funkce intervalu. 3. M me funkci F : R R a uvaºume funkci intervalu m : (a, b] F (b) F (a). Potom m e aditivní; m e zprava spoitá, práv kdyº F e zprava spoitá; m e nezáporná, práv kdyº F e neklesaící. 1.7. Nebliº²í cíle. M me dánu LS funkci intervalu m na R n. ovedeme m p irozen roz²í it na ²ir²í t ídu mnoºin? Jakou? Jaké vlastnosti má roz²í ení? Je ednozna n ur eno? o této t ídy otázek pat í: ak denovat obsah kruhu, známe-li pouze vzorec pro obsah obdélníku? Jak ur it pravd podobnost evu, ºe 1 + 2 >, sou-li 1 a 2 náhodné veli iny a známe eich rozloºení na intervalech: P (( 1 Q 1 ) ( 2 Q 2 ))? 11. Roz²í ení aditivní funkce intervalu; Lebesgue-Stieltesova míra 11.1. enice (Lebesgueova a Lebesgue-Stieltesova míra). Nech m e LS funkce intervalu na R n. Na m budeme aplikovat základní konstrukci z denice 9.6. V prvním kroku denueme vn ²í míru m ako v (26). Vn ²í míra m : A m (A), denovaná na poten ní mnoºin 2 Rn, se nazývá (Lebesgue-Stieltesova) vn ²í míra generovaná m. Speciáln, vn ²í míra l = l n generovaná AFI l = l n (viz denice 1.4 a p íklad 1.61) e Lebesgueova vn ²í míra. Rozmyslete si, ºe inmum v (26) z stává stené bez ohledu na to, zda l denueme na I n nebo na I n. Je to tím, ºe pro kaºdý interval P I n e l(p ) = inf{l(q): Q I n, Q P }. Aplikueme-li základní konstrukci na ( I n, m), výsledkem bude míra (( I n ), m ), která se nazývá Lebesgue- Stieltesova míra generovaná m (krátce: LS míra). Speciáln, pro m = l dostáváme Lebesgueovu míru (M, λ). Ve v t 11.7 dokáºeme, ºe (( I n ), m ) e roz²í ením mnoºinové funkce m. 11.2. V ta. Nech m e LS funkce intervalu na R n. Nech Q I n. Potom m (Q) = m(q). kaz. Z em m(q) e horní sou et k m (Q) a tudíº m (Q) m(q). Obrácenou nerovnost dokáºeme sporem. M me Q, Q I n, = 1, 2,..., a p edpokládeme, ºe Q Q, =1 23

ale (33) m(q) > m(q ). =1 Intervaly Q, Q si e²t trochu upravíme pomocí spoitosti zprava (Q trochu zmen²íme a Q trochu zv t²íme) tak, ºe (33) platí stále a co se tý e inkluze, dokonce Q Q. Poloºme I 1 = Q. Z em m(i 1 ) > =1 m(i 1 Q ). Pomocí vhodné nadroviny H H n rozd líme I 1 na I 1 H a I 1 \ H. Potom z aditivity =1 m(i 1 ) = m(i 1 H) + m(i 1 \ H), m(i 1 Q ) = m(i 1 Q H) + m(i 1 Q \ H), = 1, 2,... takºe nademe I 2 {I 1 H, I 1 \ H} tak, ºe m(i 2 ) > m(i 2 Q ). =1 Pokra ueme indukcí a postupným d lením nacházíme stále men²í intervaly I k tak, ºe I 1 I 2..., diam I k a m(i k ) > m(i k Q ), k = 1, 2,.... =1 Podle Cantorovy v ty existue bod x k I k. Potom x Q a tudíº existue tak, ºe x Q. Pak ov²em pro dost velká k e I k Q, a proto m(i k ) = m(i k Q ), coº e spor. ostáváme tedy pro kaºdý horní sou et k m (Q), a tedy m(q) m(q ) =1 m(q) m (Q). 11.3. Lemma. Nech m e LS funkce intervalu na R n a E R n. Potom E e m -m itelná, práv kdyº (34) m(q) = m (Q E) + m (Q \ E), Q I n. kaz. Podle v ty 11.2 e m(q) = m (Q), tedy m -m itelnost implikue (34). Co se tý e opa né implikace, zvolme tedy T R n a uvaºume horní sou et m(q ) pro m (T ). Jelikoº m spl ue axiomy abstraktní vn ²í míry a mnoºina E spl ue (34), máme m (T E) + m (T \ E) m (T E Q ) + m (T E c Q ) m (E Q ) + m (E c Q ) = m(q ) P echodem k inmu p es horní sou ty dostaneme m (T E) + m (T \ E) m (T ) Opa ná nerovnost plyne triviáln ze subaditivity m. 11.4. Poznámka. Lemma 11.3 ospravedl ue p vodní denici 2.2 lebesgueovsky m itelných mnoºin. 24