Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové prstencové okolí bodu a P + ε (a) = (a, a + ε) pravé okolí, P ε (a) = (a ε, a) levé okolí x se "blíží"k a x nabývá hodnot libovolně blízkých k a x a+, x a, x +, x Spojitost funkce (1) Definice: Necht funkce f je definovaná v jistém okolí bodu a. Říkáme, že f je spojitá v bodě a D(f), jestliže ekvivalentně: O ε (f(a)) O δ (a) : f(o δ (a)) O ε (f(a)) ε > 0 δ > 0 : x a < δ f(a) < ε Definice: Říkáme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém bodě tohoto intervalu. Spojitost funkce (2) Definice: Říkáme, že funkce f je spojitá zprava/zleva v bodě a D(f), jestliže O ε (f(a)) O + δ (a) : O ε (f(a)) O δ (a) : f(o+ δ (a)) O ε(f(a)) f(o δ (a)) O ε(f(a)) Definice: Říkáme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu a, b, je-li 1
spojitá v každém bodě intervalu (a, b), spojitá zprava v bodě a, spojitá zleva v bodě b. Spojitost funkce (3) Věta: Jsou-li funkce f a g spojité v bodě a, pak jsou v tomto bodě spojité i funkce f, f ± g, f.g, a je-li g(a) 0 pak i f g. Věta: Je-li funkce y = spojitá v bodě x = a, funkce z = g(y) spojitá v bodě y = f(a), pak složená funkce h(x) = g() je spojitá v bodě x = a. Limita funkce Definice: Necht funkce f : D(f) R je definována v nějakém P(a) D(f). Říkáme, že funkce f má v bodě a itu A R, značíme = A, jestliže O ε (A) P δ (a) : f(p δ (a)) O ε (A) ekvivalentně ε > 0 δ > 0 : 0 < x a < δ A < ε Věta: Funkce f má v bodě a nejvýše jednu itu. Výpočet it (1) Věta: Funkce f je spojitá v bodě a = f(a). Věta: Necht f : D(f) R, g : D(g) R, a R. P(a) : ( x P(a) : = g(x)) = g(x) 2
Věta (o policajtech): Necht platí: x P(a) : g(x) h(x) g(x) = h(x) Potom existuje a rovná se g(x). Výpočet it (2) Věta: Necht = A a g(x) = B, kde A, B R. Platí: (i) ( ± g(x)) = ± g(x) = A ± B (ii) (.g(x)) =. g(x) = A.B (iii) je-li B 0, pak g(x) = ( )/( g(x)) = A B Věta (o itě složené funkce): Necht g(x) = A a necht funkce f je spojitá v bodě A. Potom platí f(g(x)) = f(a). Poznámka: []g(x) g(x) ln = e Jednostranné ity Definice: Necht funkce f : D(f) R je definována v nějakém P + (a) D(f). Říkáme, že ita funkce f v bodě a zprava je rovna A R, značíme = + A, jestliže O ε (A) P + δ (a) : f(p+ δ (a)) O ε(a) Definice: Necht funkce f : D(f) R je definována v nějakém P (a) D(f). Říkáme, že ita funkce f v bodě a zleva je rovna A R, značíme = A, jestliže O ε (A) P δ (a) : f(p δ (a)) O ε(a) 3
Věta: existuje + = Pak = = + Věty u oboustranných it platí i pro jednostranné ity: (i) f má v bodě a nejvýše jednu itu zprava/zleva (ii) f je spojitá v bodě a zprava/zleva = f(a) ± (iii) = g(x) pro x P ± (a) = g(x) ± ± x P ± (a) : g(x) (iv) Věta o policajtech:[-1mm] g(x) ± h(x) g(x) = h(x) ± ± ± = (v) (vi) ( ±g(x)) = ± g(x) ± ± ± ± g(x) = ( )/( g(x)), pokud g(x) 0 ± ± ± (vii) g(x) = A ± f spojitá v bodě A zprava/zleva f(g(x)) = f(a) ± Nevlastní ity = L I. Je-li a, L R říkáme vlastní ita ve vlastním bodě II. Je-li a R, L = ± říkáme nevlastní ita ve vlastním bodě III. Je-li a = ± L R říkáme vlastní ita v nevlastním bodě IV. Je-li a = ±, L = ± říkáme nevlastní ita v nevlastním bodě 4
Případ I. jsme objasnili v předchozích odstavcích. Nyní probereme případy II., III. a IV. Nevlastní ity II. Definice: Necht je definována v P(a) potom (i) = jestliže K > 0 P δ (a) takové, že x P δ (a) je > K (ii) = jestliže L < 0 P δ (a) takové, že x P δ (a) je < L Poznámka: Použijeme-li P + δ (a) nebo P δ ity ve vlastním bodě: (a) dostáváme jednostranné nevlastní (i) (ii) Věta: = + = + = = (i) = = = + (ii) = = = + Věta: (i) Necht = a + g(x) = g(x) =, potom g(x) =. (ii) Necht = a + g(x) = g(x) =, potom g(x) =. 5
(iii) Necht = a g(x) =, potom g(x) = (iv) Necht = A R, A > 0 a g(x) = ±, potom g(x) = ±. (v) Necht = A R a g(x) = ±, potom g(x) = 0. Věta: Necht funkce f je omezená na nějakém P (a), pak platí (i) Je-li g(x) = ±, pak = 0. g(x) (ii) Je-li g(x) = 0 pak, g(x) = 0. Věta: Necht = A > 0 a (i) Je-li g(x) > 0 na P(a), platí g(x) = 0, pak (ii) Je-li g(x) < 0 na P(a), platí g(x) = +. g(x) =. (iii) Jestliže funkce g(x) nabývá na každém P (a) kladných i záporných hodnot, potom g(x) neexistuje. 6
Nevlastní ity III. Definice: Necht je definována na (0, ) (resp. (, 0) ). Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě (resp. ) itu L 1 (resp. L 2 ) a píšeme jestliže (resp. = L 1 (resp. = L 2) x O ε (L 1 ) x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí O ε (L 1 ) O ε (L 2 ) x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí O ε (L 2 )) Nevlastní ity III. (2) Věta (o policajtech): Necht platí: x (a, ) : g(x) h(x) g(x) = h(x) Potom existuje a rovná se g(x). Věta: Necht (i) (ii) = A a g(x) = B, kde A, B R. Platí: ( ± g(x)) = ± g(x) = A ± B (.g(x)) =. g(x) = A.B (iii) je-li B 0, pak g(x) = ( )/( g(x)) = A B 7
Nevlastní ity IV. Definice: Necht je definována na (0, ) nebo (, 0). (i) Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě itu a píšeme = jestliže K > 0 x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí > K. (ii) Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě itu a píšeme = jestliže L < 0 x 1 > 0 takové, že x > x 1 platí < L. (iii) Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě itu a píšeme x = jestliže K > 0 x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí > K. (iv) Říkáme, že funkce f má v nevlastním bodě itu a píšeme x = jestliže Věta: L < 0 x 2 < 0 takové, že x < x 2 platí < L. (i) Necht = a g(x) =, potom + g(x) = g(x) =. (ii) Necht = a g(x) =, potom + g(x) = g(x) =. 8
(iii) Necht = a g(x) =, potom g(x) = (iv) Necht = A R, A > 0 a g(x) = ±, g(x) = ±. (v) Necht = A R a g(x) = ±, potom g(x) = 0. Nevlastní ity IV. (2) Věta: Necht funkce f je omezená na nějakém (x 0, ), resp. (, x 0 ) pak platí (i) Je-li (ii) Je-li g(x) = ±, pak = 0. g(x) g(x) = 0 pak, g(x) = 0. Věta: Necht = A > 0 a g(x) = 0, pak (i) Je-li g(x) > 0 na (a, ) nebo (, a), platí g(x) = +. (ii) Je-li g(x) < 0 na (a, ) nebo (, a), platí g(x) =. 9
Limita posloupností Definice: n N definujeme číslo a n R. Potom říkáme, že čísla a 1, a 2, a 3,... tvoří posloupnost reálných čísel. Číslo a n nazýváme n tý člen posloupnosti, n je index čísla a n. Posloupnost zkráceně zapisujeme {a n } n=1. Předpis, jak z indexu n dostaneme a n se nazývá vzorec pro n tý člen: Aritmetická posloupnost: a n = f(n), f : N R. a n = a 1 + (n 1)d, kde d R je diference. Geometrická posloupnost: kde q R je kvocient. a n = q n, Limita posloupností (2) Definice: Říkáme, že posloupnost {a n } n=1 má itu A, píšeme n a n = A, jestliže a n = ± jestliže n O ε (A) n 0 N takové, že n > n 0 platí a n O ε (A). K > 0 n 0 N takové, že n n 0 platí a n > K, L < 0 n 0 N takové, že n n 0 platí a n < L. Posloupnost {a n } n=1 nazýváme konvergentní, jestliže n a n = A R (vlastní ita). Jestliže posloupnost nemá vlastní itu nebo ita neexistuje, říkáme, že posloupnost je divergentní. 10
Limita posloupností (3) Definice: Mějme posloupnost {a n } n=1 (i) Jestliže n N platí a n < a n+1 (resp. a n a n+1 ) říkáme, že posloupnost je rostoucí (resp. neklesající). (ii) Jestliže n N platí Věta: a n > a n+1 (resp. a n a n+1 ) říkáme, že posloupnost je klesající (resp. nerostoucí). Je-li posloupnost {a n } n=1 neklesající a shora omezená, potom má vlastní itu. Je-li posloupnost {a n } n=1 nerostoucí a zdola omezená, potom má vlastní itu. Eulerovo číslo Dá se dokázat, že existuje vlastní ita n ( 1 + 1 n) n. Definice: Označme ( e = 1 + 1 n. n n) Číslo e nazýváme Eulerovo číslo. 11