Helena R ˇ ı hova (CˇVUT) Posloupnosti 5. rˇı jna / 17

Transkript

1 Posloupnosti Helena Říhová FBMI 5. října 2012 Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

2 Obsah 1 Posloupnosti Definice, vlastnosti Vybraná, stacionární, oscilující, ohraničená posloupnost Monotónní posloupnost Limita posloupnosti Pravidla pro počítání limit Věty o limitách Geometrická posloupnost Eulerovo číslo Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

3 Definice posloupnosti Definice Nekonečná posloupnost reálných čísel je funkce f: N R. Tj. definiční obor posloupnosti je množina přirozených čísel. Funkčníhodnoty f(n) seobvykleznačí a n acelá posloupnostse zapisuje {a n } n=1 = a 1, a 2,..., a n,... kde a 1 je první, a 2 druhý,..., a n n-týčlen posloupnosti. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

4 Zadání posloupnosti Zadání: a) explicitně, např. a n = 3n 5, b) rekurentně,např. a n+1 = 2a n 7, a 1 = 4, n N. Příklad: Aritmetická posloupnost a n = a+(n 1)d, a, d R, n N, explicitní zadání. a n = a n 1 +d, a 1 = a, a, d R, n N, n > 1 rekurentnízadání. Geometrická posloupnost a n = aq n 1 a, q R, n N, explicitní zadání. a n = qa n 1, a 1 = a a, q R, n N, n > 1 rekurentnízadání. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

5 Ohraničená posloupnost Vybereme-li(zachovávajíce pořadí) nekonečně mnoho členů z dané posloupnosti, získáme vybranou posloupnost. Každá posloupnost má nekonečně mnoho vybraných. Posloupnost{a n }, a n = c pro n,senazývá stacionární. Posloupnost, jejíž členy střídají znaménko, se nazývá oscilující. Definice Posloupnostje ohraničená, jestliže k > 0, že a n k pro n N, ohraničenázdola, jestliže k R, že k a n pro n N, ohraničenáshora, jestliže k R, že a n k pro n N, Je-li posloupnost ohraničená shora i zdola, je ohraničená. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

6 Monotónní posloupnost Definice Posloupnostje rostoucí, jestliže pro r, s N, r < s, je a r < a s. klesající, a r > a s. nerostoucí, a r a s. neklesající, a r a s. monotónní Věta Poloupnostjerostoucí,je-li a n < a n+1 pro n N. Podobně pro klesající, nerostoucí, neklesající posloupnost. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

7 Vlastní limita posloupnosti Definice Posloupnost{a n } n=1 má vlastní limitu L,jestliže ke ε > 0 n 0 N takové,že pro n > n o je a n L < ε. Píšeme lim a n= L. Každá posloupnost má nejvýše jednu limitu. Posloupnost, která má vlastní limitu se nazývá konvergentní, jinak je divergentní. Věta Má-li posloupnost limitu L, pak i každá vybraná posloupnost málimitu L. Jestliže 2 vybrané posloupnosti mají různé limity, pak původní posloupnost limitu nemá. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

8 Věta Má-li posloupnost vlastní limitu, je ohraničená. Opak není pravdou-viz posloupnost{( 1) n }. Tj. ohraničená posloupnost nemusí mít limitu, ale může, zatímco neohraničená posloupnost vlastní limitu určitě nemá. 1 Příklad: Dokažte, že lim n = 0. Řešení: Volímeε > 0ahledáme n o (ε) tak,aby 1 n 0 < εpron > n o. 1 n 0 < ε 1 n < ε [ ] 1 1 ε < n n o= Hranaté závorky značí celou část. ε Posloupnost { } 1 se nazývá harmonická. n Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

9 Nevlastní limita posloupnosti Definice Posloupnost{a n } n=1 mánevlastní limitu +, jestliže ke k > 0 k < 0 n 0 N takové,že pro n > n o je a n > k a n < k. Píšeme lim a n=+, lim a n=. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

10 Věty o záměně limity a aritmetické operace Věta Předpokládáme, že lim a n = a, lim b n = b, a, b, c R. Potom platí: 1. lim (a n ±b n )= lim a n ± lim b n = a±b 2. lim (a n b n )= lim a n lim b n = ab 3. lim (c a n )=c lim a n = c a a n 4. lim = b n lim a n lim b n = a b, pro b n 0, b 0 Poznámka: Protože limita posloupnosti se týká vždy n kvapícího do,vzápisu limity sečaston pod lim vynechává. I mytak budeme činit. Rovněž znaménko + u + se často nepíše. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

11 Počítání s nekonečny Věta 1) Necht lima n =, {b n }je ohraničená, paklim(a n +b n )= stručně: +k= 2) Necht lima n =, c > 0, pak lim ca n =+, c =+ pro c > 0 c < 0, pak lim ca n =, c = pro c < 0. 3) Necht lima n =, paklim 1 a n = 0 4) Necht lima n = 0 a a n > 0 pro n lim 1 a n =+ a n < 0 pro n lim 1 a n = 1 = ±= ± Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

12 Počítání s nekonečny- pokračování 5) Necht lima n = 0, {b n } jeohraničená, paklim(a n b n )=0. 6) Necht lima n =+, limb n =+,pak lim(a n +b n )=+ + = lim(a n b n )=+ = Pokud nám při počítání limit vychází:, 0 0, 0, 1, 0 0, 0,, jde o tzv. neurčité výrazy, které mohou vést k různým výsledkům, dle konkrétního příkladu. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

13 Příklad: Vypočítejte limity: a) lim(2n 2 n 3 +2n 3n+4), b) lim n 3 n 2 Řešení: a) lim(2n 2 3n+4)= lim n (2 2 3n + 4n ) 2 n 3 +2n b) lim n 3 n2= lim = 2=. ( n ) n ( 2 n ) = 1. n Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

14 Věty o limitách Věta Necht a n b n pros.v. n 1 a lim a n = a, lim b n = b. Potoma b. Věta(O limitě sevřené posloupnosti) Necht pro s.v. n platí a n b n c n a lim a n = lim c n = L Pak lim b n aje:lim b n = L. Věta(O limitě monotónní posloupnosti) Necht {a n }je monotónníaohraničená posloupnost.potomje konvergentní, tj. má vlastní limitu. Věta Monotónní a neohraničená posloupnost má limitu: + pro posloupnost rostoucí, nebo neklesající, pro posloupnost klesající, nebo nerostoucí. 1 s.v. n znamená skoro všechna n,jinýmislovy:odjistého n počínaje. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

15 Geometrická posloupnost Příklad: Ukažte,že lim q n = 0 pro q < 1 = 1 pro q=1 = pro q > 1 neexistuje pro q 1 Důkaz: 1) Předpokládáme 0 < q < 1 q n, označíme a n = q n 0 < q n+1 < q n a n+1 < a n posloupnostje klesajícíaje omezená a 1 > a 2 >... > a n... > 0 má vlastní limitu L. lim q n = lim q n+1 = L lim q n+1 = q lim q n L=q L L(1 q)=0 L=0. cbd. Zbylé si jistě pilný čtenář dokáže sám. Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

16 Eulerovo číslo Na závěr jedna důležitá limita lim ( 1+ 1 n) n = e Zde e je Eulerovo číslo, které je iracionální a transcendentní. e. = Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17

17 Děkuji za pozornost Helena Říhová (ČVUT) Posloupnosti 5. října / 17