h MECHNIK + y 2 F Vy F 2y 1 FV V F 1y F 3y F3 3 - x F 1x F 3x F 4x 0 F 2x F 4y F4 F Vx + x F FRy 4 - y FRy F l FRy C D FRy I 2 III 6 V 1 3 5 7 D II 4 IV C c Z Z Ing. Rdek Šeek 2012
MECHNIK 1. OSH 2. MECHNIK V TECHNICKÉ PRXI... 5 3. ÚVOD DO STTIKY... 6 3.1 Zákldní pojmy veličiny... 6 3.2 Určení síly v rovině... 7 3.3 Určení síly v prostoru... 8 4. SOUSTV SIL PŮSOÍCÍCH V JEDNÉ ROVINĚ... 9 4.1 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště stejný směr... 9 4.2 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště svírjí prvý úhel... 10 4.3 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště svírjí oecný úhel... 11 4.4 Rozkld síly do dvou směrů... 12 4.4.1 Grfické řešení rozkldu síly do dvou směrů... 12 4.4.2 Početní řešení rozkldu síly do dvou směrů... 12 4.5 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm, mjících různý směr... 13 4.5.1 Grficky postupným skládáním sil... 13 4.5.2 Grficky silovým polygonem... 13 4.5.3 Grficky rozkldem sil do os x y... 14 4.5.4 Početně rozkldem sil do os x y... 14 4.6 Určení výslednice sil, jež nemjí společné půsoiště... 18 4.6.1 Výslednice dvou různoěžných sil... 18 4.6.2 Výslednice soustvy různoěžných sil... 19 4.6.3 Výslednice dvou rovnoěžných sil... 20 4.6.4 Výslednice soustvy rovnoěžných sil... 20 4.7 Silová dvojice její moment... 21 4.8 Přeložení účinku síly do jiného půsoiště... 23 4.9 Moment síly vzhledem k odu... 23 4.10 Moment soustvy sil vzhledem k odu... 24 5. ROVNOVÁH SIL... 27 5.1 Rovnováh sil se společným půsoištěm... 27 5.2 Rovnováh soustvy sil, jež nemjí společné půsoiště... 28 5.3 Síly zátěžné síly vzové (rekce)... 29 5.4 Rovnováh sil n páce... 34 5.4.1 Jednormenná pák... 34 5.4.2 Dvourmenná pák... 36 2
MECHNIK 5.5 Rovnováh sil n nosníku... 43 5.5.1 Zátěžné síly jsou kolmé k podporám... 43 5.5.2 Zátěžné síly mjí oecný směr... 44 5.5.3 Nosník se spojitým ztížením... 48 5.5.4 Nosník ztížený silovou dvojicí... 52 5.5.5 Nosník ztížený momentem síly... 52 6. PRUTOVÉ SOUSTVY... 54 6.1 Podmínk sttické určitosti prutové soustvy... 55 6.2 Početní metody řešení prutové soustvy... 57 6.2.1 Metod styčníková... 57 6.2.2 Metod průsečná... 62 6.3 Grfické metody řešení prutové soustvy... 66 6.3.1 Metod styčníková... 66 6.3.2 Metod Cremonov... 70 7. SOUSTV SIL V PROSTORU... 73 7.1 Soustv sil se společným půsoištěm... 73 7.2 Soustv sil, jež nemjí společné půsoiště... 74 7.3 Oecné podmínky, jež pltí pro soustvu sil v prostoru... 75 8. TĚŽIŠTĚ... 75 8.1 Těžiště čr... 76 8.1.1 Početní metod určení polohy těžiště... 77 8.1.2 Grfická metod určení polohy těžiště... 78 8.1.3 Poloh těžiště vyrných typů čr... 80 8.2 Těžiště ploch... 80 8.2.1 Početní metod určení polohy těžiště... 80 8.2.2 Grfická metod určení polohy těžiště... 82 8.2.3 Poloh těžiště vyrných typů ploch... 84 8.3 Těžiště těles... 85 8.3.1 Početní metod určení polohy těžiště symetrického těles... 85 8.3.2 Početní metod určení polohy těžiště nesymetrického těles... 87 8.3.3 Poloh těžiště vyrných typů těles... 89 9. STILIT TĚLES... 90 10. PSIVNÍ ODPORY... 91 10.1 Tření smykové... 92 10.2 Tření čepové... 93 3
MECHNIK 10.3 Tření vláknové... 93 10.4 Vlivý odpor... 95 11. SILOVÉ POMĚRY U JEDNODUCHÝCH MECHNIZMŮ... 96 11.1 Pevná kldk... 96 11.2 Volná kldk... 96 11.3 Klikový mechnizmus úplný (křižákový)... 97 11.4 Klikový mechnizmus zkrácený (ezkřižákový)... 98 11.5 Klouový mechnizmus... 99 4
MECHNIK 2. MECHNIK V TECHNICKÉ PRXI Mechnik je souhrnná vědní disciplín, která tvoří zákld pro řešení technických prolémů při návrhu strojních zřízení. Dá se povžovt z doplněk v některých přípdech i zákld osttních technických předmětů. Sttik Mechnik tuhých látek Pružnost pevnost Kinemtik Dynmik Hydrosttik Mechnik Hydromechnik Hydrodynmik Mechnik tekutin erosttik eromechnik erodynmik Termosttik Termomechnik Termodynmik Or. 1 Jednotlivé disciplíny mechniky. 5
MECHNIK 3. ÚVOD DO STTIKY Sttik je část mechniky těles, která se zývá vzájemným půsoením těles. Toto vzájemné půsoení těles je vyjádřeno silovými účinky, neoli vzájemným půsoením sil. Úlohy ve sttice řešíme grficky neo početně. 3.1 Zákldní pojmy veličiny Dokonle tuhé těleso se při půsoení sil nedeformuje. Z tohoto předpokldu můžeme půsoící sílu liovolně přemístit po její nositelce. (U skutečných deformovtelných těles sílu po nositelce přemísťovt nelze). Vázné těleso je těleso, které je ve styku s okolními tělesy. Silový účinek je projevem vzájemného půsoení stýkjících se těles. Uvolnění je proces, při němž se vzájemné vzy stýkjících se těles nhrdí silovými účinky. Uvolněné těleso po odstrnění vze všemi dotýkjícími se tělesy je toto těleso vystveno jen půsoení silových účinků. Sttická rovnováh při sttické rovnováze nezpůsoí silové účinky změnu pohyového stvu těles (klid, neo pohy rovnoměrný). Sttická ekvivlence nstne tehdy, jestliže dvě silové soustvy způsoí stejný pohyový stv těles. 6
MECHNIK Síl je technická veličin, která má své půsoiště, směr, smysl velikost. Jedná se o veličinu vektorovou. Jednotkou velikosti síly je 1 Newton = 1N = 1kg.m.s -2. Sílu (jko vektorovou veličinu) lze znázorňovt grficky (viz. or. 2.). Velikost síly při grfickém znázornění kreslíme ve zvoleném měřítku sil m F. = 100N = 50N Měřítko sil m F = 2,5N.mm -1 Or. 2 Příkld znázornění sil. od je půsoiště sil. Směr oou sil je totožný, určený úhlem. Smysl sil je opčný. Síl F 1 má velikost 50N, síl F 2 má velikost 100N. Měřítko sil je zvoleno m F = 2,5N.mm -1 ;to znmená, že v grfickém znázornění má síl F 1 délku 20mm síl F 2 má délku 40mm. 3.2 Určení síly v rovině V rovině určujeme polohu půsoiště jeho souřdnicemi, směr síly určujeme úhlem sklonu vzhledem ke kldnému směru osy x, smysl podle souřdnicových os x y velikost hodnotou v N. Určující hodnoty síly pk zpisujeme tkto: F i (x i, y i ; i ; N) (1) velikost síly směr síly souřdnice půsoiště síly oznčení síly Příkld: Grficky znázorněte zdné síly F 1, F 2 F 3. F 1 (20,40;45 ;250N) F 2 (20,-35;210 ;150N) F 3 (0,0;300 ;400N) 7
MECHNIK Řešení: + y 1 3 C - x 2 + x F3 3.3 Určení síly v prostoru - y Měřítko délek m L = 2mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 V prostoru je určen poloh půsoiště síly F souřdnicemi x, y, z. Směr půsoení je pk dán úhly jež jsou vázány vzthem: (2) z F z 0 y x y x Or. 3 Určení síly v prostoru. 8
MECHNIK 4. SOUSTV SIL PŮSOÍCÍCH V JEDNÉ ROVINĚ Více jk jedn půsoící síl tvoří tzv. soustvu sil. Účinek tkovéto soustvy můžeme nhrdit stejným účinkem síly jediné, kterou nzýváme výslednicí soustvy sil. 4.1 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště stejný směr Způso určení velikosti, směru smyslu výslednice zdných sil je ptrný z následujících příkldů. Příkld: Řešení: FV Pro dný příkld pk pltí: Příkld: Řešení: FV Pro dný příkld pk pltí: Oecně tedy ude pro liovolný počet sil se společným půsoištěm směrem, le rozdílným smyslem pltit následující: (3) 9
MECHNIK Příkldy k procvičení: Určete grficky početně velikost výslednice soustvy sil se společným půsoištěm směrem: ) F 1 = 300N, F 2 = 200N, F 3 = -300N, F 4 = -500N ) F 1 = -300N, F 2 = -200N, F 3 = 300N, F 4 = -400N c) F 1 = -200N, F 2 = 500N, F 3 = 300N, F 4 = -400N 4.2 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště svírjí prvý úhel Jelikož síly jsou vektorové veličiny, tk velikost výslednice je dán součtem vektorovým, nikoli lgerickým. Grficky zjistíme velikost výslednice sil tk, že doplníme nákres sil F 1 F 2 n tzv. silový rovnoěžník (v tomto přípdě má tvr odélníku) jeho úhlopříčk je hlednou výslednicí sil F V. Půsoiště síly F V je pk totožné s půsoištěm síly F 1 F 2 (viz or. 4). FV V Or. 4 Grfické určení výslednice dvou sil se společným půsoištěm, svírjících prvý úhel. Početně pk určíme velikost výslednice Pythgorovou větou: (4) úhel sklonu výslednice určíme ze vzthu: (5) Příkld: Určete početně grficky velikost výslednice sil její sklon pro zdné síly F 1 F 2. F 1 (0,0;0 ;350N) F 2 (0,0;90 ;200N) Řešení početní: 10
MECHNIK Řešení grfické: Měřítko sil m F = 10N.mm -1 FV V = 29,75 4.3 Určení výslednice dvou sil, jež mjí stejné půsoiště svírjí oecný úhel Grficky zjistíme velikost výslednice sil opět tk, že doplníme nákres sil F 1 F 2 n silový rovnoěžník jeho úhlopříčk je hlednou výslednicí sil F V. FV 2 V Or. 5 Grfické určení výslednice dvou sil se společným půsoištěm, svírjících oecný úhel. Početně učíme velikost výslednice pomocí cosinové věty: jelikož pk velikost výslednice je pk dán vzthem: (6) Úhel sklonu výslednice určíme ze vzthu: (7) 11
MECHNIK 4.4 Rozkld síly do dvou směrů Rozkld síly do dvou směrů (složek) se provádí opčným procesem, nežli určení výslednice dvou sil. 4.4.1 Grfické řešení rozkldu síly do dvou směrů Provedeme doplnění nákresu vyšetřovné síly n silový rovnoěžník v poždovných směrech tím získáme velikosti jednotlivých složek. směr č. 2 směr č. 2 FV FV V 2 V V směr č. 1 směr č. 1 Or. 6 Ukázky grfického řešení rozkldu síly do dvou směrů. 4.4.2 Početní řešení rozkldu síly do dvou směrů Jednodušší vrintou pro početní řešení je přípd, kdy úhel mezi jednotlivými složkmi vyšetřovné síly 2 = 90, pk pltí: (8) Pokud 2 90, pk pltí: (9) (10) FV 2 V V Or. 7 Rozkld síly do dvou směrů. 12
MECHNIK 4.5 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm, mjících různý směr 4.5.1 Grficky postupným skládáním sil Postupujeme tk, že sestrojíme dílčí výslednici dvou zdných sil, tuto pk složíme s dlší zdnou silou tk pokrčujeme ž k poslední zdné síle, kdy zjistíme směr velikost výslednice soustvy zdných sil (viz. or. 8). N pořdí sklásání sil přitom nezáleží. + y,2,2,3 F 1,2,3,4 = FV F3 - x 0 + x - y F4 Or. 8 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm grficky - postupným skládáním sil. 4.5.2 Grficky silovým polygonem Silový polygon je mnohoúhelník složený z jednotlivých zdných sil. Síly kreslíme ve zvoleném měřítku z seou to tk, že n see nvzují. N pořdí opět nezáleží, dodržujeme všk směr smysl vynášených sil. V počátku první vynášené síly je pk počátek výslednice v konci poslední vynášené síly je tktéž konec výslednice. + y F3 FV F4 - x 0 F3 + x FV - y F4 0 Or. 9 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm grficky silovým polygonem. 13
MECHNIK 4.5.3 Grficky rozkldem sil do os x y Nejprve rozložíme zdné síly do směrů os x y získáme tk ptřičné složky. Tyto pk v jednotlivých směrech sečteme z tkto získných složek výslednice určíme pomocí silového rovnoěžníku celkovou výslednici zdné soustvy sil. + y F Vy FV F 3y F 4y F 2y F 2y F 1y F 3y F3 F Vy - x F 1x F 3x F 4x 0 F 2x F Vx + x F 1y F 4y F4 0 F 2x F 3x F 4x - y F 1x 0 F Vx Or. 10 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm grficky rozkldem sil do os x y. 4.5.4 Početně rozkldem sil do os x y + y 2 F Vy F 2y 1 V FV F 1y F 3y F3 3 - x F 1x F 3x F 4x 0 F 2x F Vx + x F 4y F4 4 - y Or. 11 Určení výslednice soustvy sil se společným půsoištěm početně rozkldem sil do os x y. 14
MECHNIK Nejprve rozložíme zdné síly do os x y zjistíme velikost jednotlivých složek v oou směrech: Poté sečteme jednotlivé složky ve směru osy x y: (11) (12) přičemž je nutné dávt pozor n znménk určující smysl jednotlivých složek! Velikost výslednice určíme pomocí Pythgorovy věty: (13) úhel sklonu výslednice od směru osy x je dán vzthem: (14) Pro výsledné složky výslednici pk pltí: Znménko složky výslednice Znménko složky výslednice Poloh výslednice FV v souřdném systému Úhel sklonu V výslednice FV od kldného směru osy x + + I. kvdrnt - + II. kvdrnt - - III. kvdrnt + - IV. kvdrnt T. 1 Stnovení polohy výslednice jejího sklonu od kldnéno směru osy x. 15
MECHNIK Příkld: Určete početně grficky směr, smysl velikost výslednice F V u zdné soustvy sil se společným půsoištěm. Zdné hodnoty: F 1 (0,0;45 ;400N) F 2 (0,0;130 ;200N) F 3 (0,0;220 ;300N) F 4 (0,0;270 ;350N) + y 2 1 - x F3 3 4 0 + x F4 - y Řešení početní: Určení složek zdných sil ve směru osy x y: 16
MECHNIK Určení velikostí složek výslednice ve směru osy x y: Z výsledků je ptrné, že výslednice soustvy sil F V se ude ncházet ve III. kvdrntu. Určení velikosti výslednice soustvy sil F V : Určení sklonu výslednice soustvy sil V od kldného směru osy x: Nejprve určíme sklon výslednice V od směru osy x. Jelikož výslednice soustvy sil F V se nchází ve III. kvdrntu, úhel sklonu výslednice soustvy sil V od kldného směru osy x ude roven: Grfické znázornění výsledků početního řešení: + y V - x V 0 + x F3 FV F4 - y Měřítko sil m F = 10N.mm -1 17
MECHNIK Řešení grfické: Měřítko sil m F = 10N.mm -1 + y F3 V - x 0 + x F3 F4 FV F4 0 FV - y 4.6 Určení výslednice sil, jež nemjí společné půsoiště 4.6.1 Výslednice dvou různoěžných sil N or. 12 jsou dány dvě síly F 1 F 2, které nemjí společné půsoiště. Použijeme prvidlo, že síly je možné liovolně posouvt po nositelce niž y se měnil jejich účinek posuneme je n místo společného půsoiště. Výslednici tkovýchto sil F V, pk zjistíme některou ze dříve zmíněných metod. FV C ş şc Or. 12 Určení výslednice dvou různoěžných sil. 18
MECHNIK Pokud je průsečík vyšetřovných sil příliš vzdálený, použijeme pro řešení výslednice sil tzv. vláknový orzec (viz. or. 13). Nejprve složíme grficky zdné síly čímž určíme směr, smysl velikost výslednice F V. Počátek výslednice je totožný s počátkem první vynášené síly konec výslednice je totožný s koncem poslední vynášené síly. Pk zvolíme liovolný od P (tzv. pól vláknového orzce) z něj vedeme pprsky n zčátky konce vynášených sil vláknového orzce. Pprsky oznčíme (nejlépe v pořdí vynášených sil) přeneseme jejich rovnoěžky se stejným znčením do orzce se zdnými silmi. Přičemž n nositelkách vyšetřovných sil se protínjí vždy ty pprsky, které vedou n počátek konec ptřičné síly ve vláknovém orzci. Průsečík vlákn počátku první vynášené síly vlákn konce poslední vynášené síly je místem nositelky výslednice F V. C III II I FV I II P FV III Or. 13 Určení výslednice dvou různoěžných sil grficky, pomocí vláknového orzce. Vlevo je znázorněno zdání půsoících sil řešení polohy výslednice sil, vprvo je pk znázorněn vláknový orzec. 4.6.2 Výslednice soustvy různoěžných sil Vláknový orzec lze použít i pro řešení výslednice F V vetšího počtu různoěžných sil (viz. or. 14). C D E II I III FV F3 V IV F4 II III FV I IV P F3 V F4 Or. 14 Určení výslednice soustvy různoěžných sil grficky, pomocí vláknového orzce. 19
MECHNIK 4.6.3 Výslednice dvou rovnoěžných sil Soustv dvou rovnoěžných sil má společné půsoiště v nekonečnu. Výslednici tkovéto soustvy sil zjistíme grficky stejným způsoem jko u soustvy dvou různoěžných sil to pomocí vláknového orzce (viz or. 15 16). II C I I III FV II P FV III Or. 15 Určení výslednice dvou rovnoěžných sil grficky, pomocí vláknového orzce. Zdné síly mjí stejný směr i smysl. C FV I III II FV II III I P Or. 16 Určení výslednice dvou rovnoěžných sil grficky, pomocí vláknového orzce. Zdné síly mjí stejný směr, le opčný smysl. 4.6.4 Výslednice soustvy rovnoěžných sil K určení výslednice tkovéto soustvy sil opět použijeme vláknový orzec (viz or. 17). Důležité je pk při řešení dávt pozor n správný sled pprsků vláknového orzce při určování polohy nositelky výslednice F V to zejmén, když zdné síly nemjí stejný smysl. C II I D F3 FV IV III VI F4 E V F5 F F3 F5 FV VI V II III I IV P F4 Or. 17 Určení výslednice soustvy rovnoěžných sil grficky, pomocí vláknového orzce. 20
MECHNIK 4.7 Silová dvojice její moment Dvě stejně velké síly vzájemně rovnoěžné, le opčného smyslu tvoří tzv. silovou dvojici. Výslednice silové dvojice je rovn nule. Účinek silové dvojice má rotční chrkter smysl rotce je dán polohou sil (viz or. 18). rotce rotce r1 r2 Or. 18 Grfické znázornění silových dvojic. Rotční účinek silové dvojice závisí n velikosti sil n jejich vzájemné kolmé vzdálenosti r. Součin těchto veličin se nzývá moment silové dvojice. Smysl půsoení momentu povžujeme z kldný pokud je v protisměru pohyu hodinových ručiček z záporný pokud je ve směru pohyu hodinových ručiček. Moment silové dvojice má konstntní hodnotu vzhledem k jkémukoliv odu roviny v níž silová dvojice leží (viz or. 19). Vzhledem k odu pltí: Vzhledem k odu pltí: (15) (16) (17) r r M1 F F M2 F M3 F M4 r1 r2 r3 r4 Or. 19 Moment silové dvojice. 21
MECHNIK Příkld: Určete velikost smysl půsoení momentů (vyjádřený znménkem) u zdných silových dvojic. F 1 = 20N, r 1 = 40mm F 2 = 25N, = 30mm, = 65 M1 - r1 r2 + M2 Řešení: Příkld: Nhrďte silovou dvojici F 1 = 20N, r 1 = 40mm silovou dvojicí jejíž síly jsou F 2 = 25N. Jk velké ude rmeno r 2? Řešení: Momenty silových dvojic ležící v jedné rovině můžeme sčítt, přičemž je nutné respektovt znménko dílčích momentů silových dvojic. Příkld: Jsou zdány následující dvojice sil: F 1 = 50N, r 1 = 45mm F 2 = 30N, r 2 = 40mm F 3 = - 60N, r 3 = 30mm Určete velikost výsledné dvojice sil F jejíž rmeno r = 100mm. Řešení: 22
y MECHNIK Z výsledku je zřejmé, že moment výsledné dvojice sil ude mít kldný smysl půsoení. 4.8 Přeložení účinku síly do jiného půsoiště Přeložení účinku síly F z půsoiště do půsoiště provedeme tk, že v odě doplníme dvě síly, pro které pltí F = F = F. Tyto dvě síly mjí totožný směr (rovnoěžný se silou F), le opčný smysl (viz or. 20). V novém půsoišti má tedy síl F účinek v podoě síly F silové dvojice F F, která tvoří moment síly o velikosti M = F.y. F F Or. 20 Princip přeložení účinku síly do jiného půsoiště. 4.9 Moment síly vzhledem k odu F Moment síly F vzhledem k liovolnému odu K je roven součinu velikosti síly F kolmé vzdálenosti r mezi nositelkou síly odem K. (18) F r K Or. 21 Určení momentu síly vzhledem k odu K. 23
MECHNIK 4.10 Moment soustvy sil vzhledem k odu Momentová vět Půsoí-li n těleso soustv sil, pk její výsledný moment k liovolnému odu je roven součtu dílčích momentů jednotlivých sil tké momentu výslednice soustvy sil k témuž odu. (19) E C D F3 F4 r1 r3 K r4 r2 r FV Or. 22 Moment soustvy sil vzhledem k odu K. Příkld: Vypočítejte velikost výslednice soustvy rovnoěžných sil F V určete její vzdálenost r k odu. K řešení úlohy využijte momentovou větu. Zdné hodnoty: F 1 = 300N F 2 = 200N, = 40mm F 3 = 250N, = 35mm F3 C D + - + M 24
MECHNIK Řešení: Velikost výslednice F V Velikost výsledného momentu zdné soustvy sil k odu Rmeno výslednice r Grfické znázornění řešení: Měřítko délek m L = 1mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 FV r F3 C D + - + M Příkld: Vypočítejte velikost výslednice soustvy různoěžných sil F V určete její vzdálenost r k odu 0. K řešení úlohy využijte momentovou větu. + y + Fy + M F 2y + Fx F 1y 1 2 F 2x y 1 F 1x x 1 x 2 y 2 - x 0 y 3 + x 3 F 3x F 3y F3 - y x 3 25
MECHNIK Zdné hodnoty: F 1 (-15,10;140 ;250N) F 2 (15,15;70 ;200N) F 3 (20,-10;340 ;300N) Řešení: Velikost složky výslednice F Vx Velikost složky výslednice F Vy Jelikož F Vx F Vy mjí kldné hodnoty, pk síl F V leží v I. kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti výslednice soustvy sil. Velikost úhlu V Velikost výslednice F V Velikost výsledného momentu zdné soustvy sil k odu 0 Přičemž solutní hodnoty dílčích momentů zručí, že velikost výsledného momentu neude ovlivněn znménky souřdnic polohy půsoišť zdných sil znménky funkcí sinus cosinus pro úhly sklonu sil F 1 ž F 3 od kldného směru osy x. Rmeno výslednice r 26
MECHNIK Grfické znázornění řešení: + y Měřítko délek m L = 1mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 F 2y F 1y 1 2 F 2x - x F 1x 0 F Vy r V 3 F 3x + x FV nositelk výslednice sil - y F Vx F 3y F3 5. ROVNOVÁH SIL Soustv sil půsoících n těleso je v rovnováze, je-li jejich výslednice rovn nule součsně je součet všech momentů sil k liovolnému odu těles tké nulový. Těleso je pk při půsoení rovnovážné silové soustvy v klidu, neo se pohyuje rovnoměrným rotčním, či trnslčním pohyem. 5.1 Rovnováh sil se společným půsoištěm Půsoí-li dvě síly F 1 F 2 ve stejném směru, le mjí opčný smysl (viz or.), pltí pro jejich rovnováhu vzth: tj. použijeme-li vektorovou symoliku: (20) (21) 27
MECHNIK Or. 23 Rovnováh dvou sil půsoících ve stejném směru mjící opčný smysl. Chceme-li uvést do rovnováhy dvě síly půsoící ve společném odě mjící různý směr, tk nejprve určíme jejich výslednici. Uvedení do rovnováhy poté provedeme přidáním dlší síly, která ude stejně veliká jko výslednice ude mít stejný směr, le její smysl ude opčný. F V - výslednice sil F 1 F 2 F3 Or. 24 Rovnováh sil půsoících v jednom odě v různých směrech. Soustv různoěžných sil je v rovnováze, pokud je silový orzec uzvřen v jednom smyslu výsledný moment je roven nule. F3 FV Or. 25 Rovnováh sil půsoících v jednom odě v různých směrech. 5.2 Rovnováh soustvy sil, jež nemjí společné půsoiště Prvidlo o uzvřeném silovém orzci pro rovnovážný stv pltí pro jkoukoliv oecnou soustvu sil (viz or. 26). Síl F 4 je přídvnou silou, kterou je uveden soustv sil do rovnováhy. Výslednice tkovéto soustvy sil F V má pk stejný směr i velikost, le opčný smysl. 28
MECHNIK II I F4 D III C IV F3 F4 II III I IV P F3 Or. 26 Rovnováh soustvy sil, jež nemjí společné půsoiště. 5.3 Síly zátěžné síly vzové (rekce) Síly ztěžující těleso (součást, konstrukci) se nzývjí síly zátěžné. V místech uchycení (podepření, zvěšení, uložení td.) těles, vznikjí síly vzové neoli rekce. Síly vzové zátěžné jsou v rovnováze jejich výslednice je tedy rovn nule. kde: je vektorový součet sil zátěžných je vektorový součet sil vzových neoli rekcí Při určování směru, smyslu velikosti rekcí využíváme početní i grfické metody. Směr rekcí přitom závisí n způsou uchycení. N or. 27 je znázorněn nosník n dvou podporách z níchž prvá podpor je otočná levá je z důvodu diltce posuvná. Rekce otočné podpory má směr oecný, rekce posuvné podpory je vždy kolmá n podložku. Protože zátěžná síl F je v rovnováze s rekcemi F F, musí mít tyto tři síly společný průsečík nositelek, od D. (22) D F C F F Or. 27 Síly zátěžné vzové půsoící n nosník o dvou podporách. 29
h h MECHNIK N or. 28 je znázorněno řešení ztížení prutové konstrukce silou F. Konstrukce je uchycen k rámu pomocí dvou otočných podpor. Grfické řešení spočívá v rozkldu síly F do jednotlivých prutů následném zjištění směru, smyslu velikosti rekcí F F. Síl F (respektive její složky F 1 F 2 ) je v rovnováze s rekcemi F F. To znmená, že výslednice sil F, F F je nulová. Složk zátěžné síly F 1 nmáhá prut 1 n th složk zátěžné síly F 2 nmáhá prut 2 n tlk (vzpěr). Tyto síly pk slouží ke stnovení potřeného průřezu prutů (dimenzování). Rekce F F využijeme k dimenzování uchycení prutové konstrukce. Otázky spojené s prolemtikou dimenzování posléze řeší nuk o pružnosti pevnosti. l 1 C F 1 C F F 2 2 F I F F F II F F Or. 28 Grfické řešení rekcí n prutové konstrukci. Při řešení této úlohy početní metodou, vycházíme z podmínek rovnováhy. Silové účinky jsou zkresleny n or. 29. Smysl rekčních sil je předpokládný vychází ze síly zátěžné. Pokud y tento smysl yl nesprávný, projeví se tto skutečnost záporným znménkem u výsledku velikosti příslušné rekce určeného z podmínek rovnováhy. l + Fy + M Fx 1 C F + Fx Fy 2 Fx Or. 29 Silové účinky n prutové konstrukci. 30
h MECHNIK Podmínky rovnováhy: (23) (24) (25) Z rovnice (25) vypočítáme F x, z rovnice (24) vypočítáme F y z rovnice (23) vypočítáme F x. Velikost rekce F Příkld: Řešte početně i grficky velikost rekcí F F v místech uchycení otočné konzoly. Dále určete síly v prutech F 1 F 2 potřené k dimenzování průřezu prutů konzoly. Zdné hodnoty: hmotnost řemene m = 800kg vzdálenost ložisek uchycení konzoly h = 2m vyložení konzoly l = 3m l 1 2 C G 31
h MECHNIK Řešení početní: l + Fy + M Fx + Fx 1 Fy Fx 2 C G Rekce podpory v místě je kolmá n podložku, v místě má směr oecný (tzn. má dvě složky ve směru osy x y). Tyto předpokldy vychází z chrkteru podpor. Předpokládné směry rekcí pk vychází ze směru smyslu zátěžné síly G. Podmínky rovnováhy: (26) (27) Z rovnice (28) vypočítáme F x. (28) Z rovnice (27) vypočítáme F y. Z rovnice (26) vypočítáme F x. 32
MECHNIK Úhel rmen konzoly Velikost síly F 1 Velikost síly F 2 Řešení grfické: Nejprve určíme pomocí silového rovnoěžníku velikosti sil F 1 F 2, které jsou složkmi zátěžné síly G. Směry těchto sil jsou dány směry prutů 1 2. Řešení rekcí F F vychází z rovnováhy sil G, F F. Nositelk síly F je kolmá n podložku (dáno typem podpory) její průsečík s nositelkou síly G nám určí od D. Jelikož síly G, F F jsou v rovnováze, musí nositelk síly F procházet tké odem D. Nyní již známe směry vše tří sil můžeme tedy doplnit silový orzec se známou silou G o rekce F F. Fx I D 1 II F 2 C G I F G G II G F Měřítko délek m L = 50mm.mm -1 Měřítko sil m F = 400N.mm -1 33
MECHNIK 5.4 Rovnováh sil n páce 5.4.1 Jednormenná pák U jednormenné páky s rotční vzou (viz or. 30) řešíme rovnováhu mezi vnějšímy zátěžnými silmi F 1, F 2 rekční (vzení) silou F RC, přičemž je možné využít početní i grfickou metodu. FRC =? C =? Zdné hodnoty: F 1,,,,. Or. 30 Silové poměry n jednormenné páce. Řešení početní: Sílu F 1 předpokládný směr sil F 2 F RC rozložíme do směrů os x y (viz or. 31) + Fy + M y FRC FRCy + Fx x FRCx x C y Or. 31 Rozkld sil jednormenné páky. 34
MECHNIK Podmínky rovnováhy: (29) (30) (31) (32) Z rovnice (31) vypočítáme F 2y, z rovnice (30) vypočítáme F RCy, rovnice (32) vypočítáme F 2x z rovnice (29) vypočítáme F RCx. Dále pk: Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. V jkém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti síly F RC pk rekce leží, je dáno znménky složek rekce F RCx F RCy. Řešení grfické: Vnější zátěžné síly F 1 F 2 jsou v rovnováze s rekcí F RC mjí tedy společný průsečík nositelek, kterým je od D. Úlohu pk tedy řešíme pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. 35
MECHNIK D I II FRC C II I FRC Or. 32 Grfické řešení silových poměrů n jednormenné páce. 5.4.2 Dvourmenná pák U dvourmenné páky s rotční vzou (viz or. 33) řešíme stejně jko u jednormenné páky rovnováhu mezi vnějšímy zátěžnými silmi F 1, F 2 rekční (vzení) silou F RC, opět je možné využít početní i grfickou metodu. FRC =? C =? Zdné hodnoty: F 1,,,,. Or. 33 Silové poměry n dvourmenné páce. Řešení početní: Sílu F 1 předpokládný směr sil F 2 F RC rozložíme do směrů os x y (viz or. 34) 36
MECHNIK + Fy + M + Fx FRCy FRC x C FRCx x y y Or. 34 Rozkld sil dvourmenné páky. Podmínky rovnováhy: (33) (34) (35) (36) Z rovnice (35) vypočítáme F 2y, z rovnice (34) vypočítáme F RCy, rovnice (36) vypočítáme F 2x z rovnice (33) vypočítáme F RCx. Dále pk: 37
MECHNIK Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. V jkém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti síly F RC pk rekce leží, je dáno znménky složek rekce F RCx F RCy. Řešení grfické: Vnější zátěžné síly F 1 F 2 jsou v rovnováze s rekcí F RC mjí opět společný průsečík nositelek, od D. Úlohu řešíme jko v předchozím přípdě pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. D FRC II FRC C II I I Or. 35 Grfické řešení silových poměrů n dvourmenné páce. Pro dvourmennou páku úhlovou (viz or. 36) pltí odoné podmínky jko v předchozím přípdě. FRC =? =? C Zdné hodnoty: F 1,,,,,. Or. 36 Silové poměry n dvourmenné páce úhlové. 38
MECHNIK Řešení početní: Sílu F 1 předpokládný směr sil F 2 F RC rozložíme do směrů os x y (viz or. 37) úlohu řešíme opět s využitím podmínek rovnováhy. + Fy + M FRCy x + Fx FRC y x FRCx C y Or. 37 Rozkld sil dvourmenné páky úhlové. Podmínky rovnováhy: (37) Z toho plyne, že řešíme soustvu tří rovnic o třech neznámých. (38) (39) 39
MECHNIK Přičemž: (40) (41) Pk tedy: Poté z rovnice (37) vypočítáme F 2y, z rovnice (38) (40) vypočítáme F RCx z rovnice (39) (41) vypočítáme F Rcy. Dále pk: Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. V jkém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti síly F RC pk rekce leží, je dáno znménky složek rekce F RCx F RCy. Řešení grfické: Úlohu opět řešíme pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. D II I FRC C II I FRC Or. 38 Grfické řešení silových poměrů n dvourmenné páce úhlové. 40
MECHNIK Příkld: Řešte početně grficky velikost síly F 2 velikost rekce F RC v čepu dvourmenné páky. Zdné hodnoty: F 1 = 300N, = 250mm, = 400mm, = 30, = 60 FRC =? =? C Řešení početní: Sílu F 1 předpokládný směr sil F 2 F RC rozložíme do směrů os x y úlohu řešíme s využitím podmínek rovnováhy. + Fy + M FRC FRCy + Fx x y FRCx C y x Podmínky rovnováhy: 41
MECHNIK Velikosti sil F 2y, F 2x, F RCy F RCx Velikost síly F 2 Velikost síly F RC Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. Znménk složek rekce F RCx F RCy jsou dle předpokldu, který se potvrdil výpočtem (-) (+), tk lze předpokládt, že rekce F RC leží ve druhém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v jejím půsoišti. Řešení grfické: Úlohu opět řešíme pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. D I =? FRC =? II C II I FRC Měřítko délek m L = 10mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 42
MECHNIK 5.5 Rovnováh sil n nosníku Řešení úloh je podoné jko u rovnováhy sil n páce. Opět využíváme početní i grfickou metodu. 5.5.1 Zátěžné síly jsou kolmé k podporám FR =? FR =? Or. 39 Nosník ztížený silou kolmou k podporám. Řešení početní: Směry sil F 1, F Ry F Ry jsou svislé není tedy nutný rozkld do směrů os x y. Úlohu řešíme s využitím podmínek rovnováhy. + Fy + M FRy + Fx FRy Podmínky rovnováhy: V tomto směru se nevyskytují žádné síly, tzn., že podmínk je utomticky splněn. (42) (43) Z rovnice (43) vypočítáme F Ry z rovnice (42) vypočítáme F Ry. 43
MECHNIK Řešení grfické: K řešení úlohy využijeme pólový vláknový orzec. Nejprve vyneseme sílu F 1 zvolíme pól P. Počátek i konec síly F 1 spojíme s pólem získáme tk směry vláken I II. Tyto společně vyneseme n nositelku síly F 1 do společného odu 1 získáme tk ody 2 3. Tyto pk spojíme vláknem III jeho rovnoěžkou v pólovém orzci určíme velikost sil F R F R. FR FR FR I III P 2 III FR II I II 3 5.5.2 Zátěžné síly mjí oecný směr 1 FR =? FR =? Or. 40 Nosník ztížený silou jež má oecný směr. Řešení početní: Sílu F 1 F R rozložíme do směrů os x y úlohu řešíme s využitím podmínek rovnováhy. + Fy + M FRy y FR FRy + Fx x FRx 44
I I MECHNIK Podmínky rovnováhy: (44) (45) (46) Z rovnice (46) vypočítáme F Ry, z rovnice (45) vypočítáme F Ry z rovnice (44) vypočítáme F Rx. Dále pk: Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. V jkém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti síly F R pk rekce leží, je dáno znménky složek rekce F Rx F Ry. Řešení grfické: Úlohu řešíme pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. C II FR FR II FR FR 45
MECHNIK Příkld: Určete početně grficky, směr, smysl velikost rekcí v podporách zdného nosníku. Zdné hodnoty: F 1 = 200N, F 2 = 300N, = 350mm, = 200mm, c = 150mm, = 40 FR =? FR =? c Řešení početní: Sílu F 1 F R rozložíme do směrů os x y úlohu řešíme s využitím podmínek rovnováhy. y + Fy + M FRy FRy FR + Fx x c FRx Podmínky rovnováhy: 46
MECHNIK Velikosti sil F Ry, F Rx F Ry Velikost síly F R Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. Znménk složek rekce F Rx F Ry jsou dle předpokldu, který se potvrdil výpočtem (-) (-), tk lze předpokládt, že rekce F RC leží v třetím kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v jejím půsoišti. Řešení grfické: Nejprve určíme pomocí pólového vláknového orzce výslednici sil F 1 F 2. Poté tuto výslednici uvedeme do rovnováhy se silmi F R F R čímž zjistíme jejich směr, smysl velikost. FV c IV FV III I II P IVnositelk síly F Vnositelk síly F 1 I II III Měřítko délek m L = 10mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 47
I I MECHNIK FR FV FR II C FV FV FR II FR 5.5.3 Nosník se spojitým ztížením Spojité ztížení q je ztížení rovnoměrně rozvrstvené po určité délce (viz or. 41). Udává se v hmotnosti připdjící n 1 metr délky má rozměr kg.m -1. Celková síl tohoto ztížení ude: kde: g je tíhové zrychlení (m.s -2 ) (47) lq T FR =? q F R =? Or. 41 Nosník ztížený spojitým ztížením. Silou F q nhrdíme účinek spojitého ztížení q (viz or. 42) vyšetřování rovnováhy sil n nosníku již řešíme známým způsoem. FR =? FR =? Fq Or. 42 Nhrzení účinku spojitého ztížení silou F q. 48
MECHNIK Příkld: Určete početně grficky, směr, smysl velikost rekcí v podporách zdného nosníku. Zdné hodnoty: F = 300N, q = 80kg.m -1, = = c = 300mm F F R =? FR =? q c Řešení početní: Silou F q nhrdíme účinek spojitého ztížení q. Velikost síly F q + Fy + M c F + Fx FRy /2 FRy Fq Směry sil F 1 F q jsou svislé není tedy nutný rozkld do směrů os x y. Úlohu řešíme s využitím podmínek rovnováhy. Podmínky rovnováhy: V tomto směru se nevyskytují žádné síly, tzn., že podmínk je utomticky splněn. 49
MECHNIK Velikosti sil F Ry F Ry Jelikož znménko u výsledku síly F Ry je záporné, znmená to, že předpokld smyslu půsoení síly F Ry yl nesprávný rekce v odě půsoí tedy v opčném smyslu. Grfické znázornění výsledků početního řešení: FRy FRy c /2 F Fq Měřítko délek m L = 10mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 50
MECHNIK Řešení grfické: Úlohu řešíme již známou metodou, pomocí pólového vláknového orzce. Nejprve vyneseme sílu F q F zvolíme pól P. Počátek i konec síly F q F spojíme s pólem získáme tk směry vláken I, II III. Vlákn I II společně vyneseme n nositelku síly F q do společného odu 1. V průsečíku vlákn II nositelky síly F získáme od 2, kde vyneseme vlákno III. Dále určíme od 3 v průsečíku vlákn I nositelky síly F R od 4 v průsečíku vlákn III nositelky síly F R. Tyto pk spojíme vláknem IV jeho rovnoěžkou v pólovém orzci určíme velikost sil F R F R. FR c F FR /2 FR 3 Fq FR Fq IV I I IV 1 II 2 F II III P III 4 Měřítko délek m L = 10mm.mm -1 Měřítko sil m F = 10N.mm -1 51
c MECHNIK 5.5.4 Nosník ztížený silovou dvojicí Řešení početní: F + Fy + M FRy + Fx FRy F l Or. 43 Silové poměry n nosníku ztíženém silovou dvojicí. Nosník je ztížen silovou dvojicí, která tvoří moment o velikosti: Tento moment je v rovnováze s momentem rekcí. Dle podmínek rovnováhy pk pltí: Pozn.: Z podmínek rovnováhy vyplývá, že při řešení této úlohy vůec nezáleží n vzdálenosti. 5.5.5 Nosník ztížený momentem síly Úlohu můžeme řešit již známými metodmi jk početně, tk i grficky. F F R =? F R =? Or. 44 Silové poměry n nosníku ztíženém momentem síly. 52
c I I c MECHNIK Řešení početní: F + Fy + M FR FRy + Fx FRy FRx Podmínky rovnováhy: (48) (49) (50) Z rovnice (50) vypočítáme F Ry, z rovnice (49) vypočítáme F Ry z rovnice (48) vypočítáme F Rx. Dále pk: Úhel sklonu rekce od osy x je dán vzthem. V jkém kvdrntu pomyslného souřdného systému umístěného v půsoišti síly F R pk rekce leží, je dáno znménky složek rekce F Rx F Ry. Řešení grfické: Úlohu řešíme pomocí silového rovnovážného trojúhelníku. FR C II F FR F F II FR FR 53
MECHNIK 6. PRUTOVÉ SOUSTVY Prutové soustvy jsou konstrukce složené z prutů, které jsou vzájemně spojené ve styčnících. S prutovými soustvmi (viz or. 45) se setkáváme u jeřáů, mostů, střešních konstrukcí, rámů, nosných konstrukcí td. Or. 45 Příkldy prutových soustv. Pevné spojení jednotlivých prutů je zezpečeno styčníkovými plechy (viz or. 46), k nimž jsou jednotlivé pruty přivřeny neo přinýtovány. STYČNÍK styčníkový plech prut Or. 46 Detil spojení prutů konstrukce pomocí styčníkových plechů. Tyto typy spojení při řešení silových účinků n prutové konstrukci zjednodušujeme nhrzujeme je spojením klouovým (viz or. 47). Or. 47 Zjednodušení styčníků klouovým spojením. 54
MECHNIK Pruty jsou vytvořeny z válcovných profilů, přípdně z truek kruhového či odélníkového průřezu. Cílem při řešení prutové soustvy je zjistit nejen rekce v uložení (ukotvení) konstrukce, le i velikost sil půsoících v jednotlivých prutech, které tvoří zákld pro jejich následné dimenzování. Pruty mohou ýt nmáhány uďto n th, neo n tlk (vzpěr) (viz or. 48). 1 2 Or. 48 Rovnováh prutů prutové soustvy. Prut č. 1 je nmáhán them, prut č. 2 je nmáhán tlkem. Při řešení prutové soustvy je nutné, y yly splněny následující podmínky: 1. Prutová soustv musí ýt dokonle tuhá, tj. pruty tvoří stticky určité orzce, jimiž jsou trojúhelníky. 2. N prutech ve styčnících pltí podmínky rovnováhy sil momentů. Řešení prutových soustv můžeme provádět početně i grficky. Početní metod je přesnější nproti tomu grfická metod je rychlejší přehlednější. 6.1 Podmínk sttické určitosti prutové soustvy Podmínk sttické určitosti prutové soustvy je dán vzthem: kde: (51) p m s je počet prutů soustvy je počet složek vnějších rekcí je počet styčníků soustvy Příkld: Prutová konstrukce je stticky určitá protože u stticky určitých konstrukcí nedochází ke změně polohy, je i tvrově určitá. Or. 49 Příkld stticky určité prutové konstrukce. 55
MECHNIK Při posuzování sttické určitosti soustvy všk mohou nstt výjimkové přípdy, kdy soustv vyhovuje podmínce sttické určitosti, le ve skutečnosti je celá pohylivá. Máme-li pochynosti, je nutné vyšetřit soustvu podroněji kinemticky, neo u ní provést sttické řešení. Vyjdou-li neznámé osové síly jednoznčně v konečné velikosti je to důkz, že nejde o výjimkový přípd. Pokud nstne přípd že: jedná se o konstrukci stticky neurčitou. Konstrukce stticky neurčitá je tvrově přeurčená, protože k zchování tvru konstrukce, některé vzy přeývjí. Sttickou neurčitost přitom dělíme n vnější (určenou typem použitých vze) vnitřní (určenou skldou konstrukce prutové soustvy). Příkld: (52) Or. 50 Příkld stticky neurčité prutové konstrukce. V přípdě, kdy: Prutová konstrukce je stticky neurčitá tvrově přeurčená, protože k zchování tvru konstrukce některé vzy přeývjí. (53) jedná se o konstrukci stticky přeurčenou. Prutová konstrukce je v tomto přípdě stticky přeurčená tvrově neurčitá, protože je pohylivá. Příkld: Or. 51 Příkld stticky přeurčené prutové konstrukce. Prutová konstrukce je stticky přeurčená tvrově neurčitá, protože ve středním poli chyí prut je tím pádem pohylivá. 56
h MECHNIK 6.2 Početní metody řešení prutové soustvy 6.2.1 Metod styčníková Metod styčníková vychází z poždvku rovnováhy sil půsoících v jednotlivých styčnících, což je prkticky stejné jko rovnováh soustvy sil se společným půsoištěm. Pro kždý styčník tedy pltí: (54) Při řešení prutové soustvy početní metodou styčníkovou postupujeme následujícím způsoem: 1. Zvolíme kldný smysl půsoení sil momentů n prutové soustvě. 2. Očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. 3. V osách prutů doplníme smysl sil půsoících n styčníky to tk, jko y yl prut nmáhán n th (šipky sil v prutech udou směřovt od styčníků). 4. Z podmínek rovnováhy sil momentů určíme směr smysl rekcí uložení prutové soustvy. 5. Pro kždý styčník stnovíme podmínky rovnováhy sil ve směru x y postupně dopočítáme velikosti sil v osách jednotlivých prutů. Výsledný smysl sil půsoících n styčníky ude dán znménky dílčích výsledků. Kldná znménk potvrzují předpokld smyslu, záporná předpokládný smysl mění n opčný. Příkld: Určete početní metodou styčníkovou smysl velikost osových sil v jednotlivých prutech. Zdné hodnoty: F 1Z = 2500N, F 2Z = 3500N, = c = h = 3000mm, = 5000mm F R =? FR =? c Z Z 57
h MECHNIK Řešení: Nejprve zvolíme kldný smysl půsoení sil momentů n prutové soustvě, očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. Poté doplníme šipkmi v osách jednotlivých prutů smysl sil půsoících n styčníky to tk, jko y yl kždý prut nmáhán n th (viz or. 52). Nkonec početně řešíme smysl velikost rekcí sil v jednotlivých styčnících. + Fy + M FRy FRy + Fx I 2 III 6 V 1 3 5 7 II 4 IV c Z Z Or. 52 Oznčení prvků prutové soustvy při použití výpočtové metody styčníkové. Velikost rekcí F Ry F Ry Podmínky rovnováhy: V tomto směru se nevyskytují žádné síly, tzn., že podmínk je utomticky splněn. 58
MECHNIK Velikosti sil půsoících n jednotlivé styčníky: Rovnováh sil půsoících n styčník č. I. Podmínky rovnováhy: FRy Velikost sil F 1 F 2 I y x x 1 2 Ze znménk výsledku síly F 2 je zřejmé, že její smysl je opčný oproti původnímu předpokldu. Rovnováh sil půsoících n styčník č. II. Podmínky rovnováhy: 1 3 F3y y x II F3 F3x F4x 4 Velikost sil F 3 F 4 Z 59
MECHNIK Ze znmének výsledků sil F 3x F 3y je zřejmé, že smysl síly F 3 je opčný oproti původnímu předpokldu. Rovnováh sil půsoících n styčník č. III. Podmínky rovnováhy: 2 x F3x III F5x F6x 6 F3 F3y F5 F5y 3 5 Velikost sil F 5 F 6 Ze znménk výsledku síly F 6 je zřejmé, že její smysl je opčný oproti původnímu předpokldu. Rovnováh sil půsoících n styčník č. IV. Podmínky rovnováhy: F5 F5y 5 7 4 F7y F7 F4x F5x IV F7x Velikost síly F 7 Z 60
MECHNIK Rovnováh sil půsoících n styčník č. V. Řešení je uvedeno pouze pro kontrolu, protože velikosti smysly sil jsou již známy z předchozích výpočtů. Podmínky rovnováhy: FRy Velikost síly F 7 6 F6x F7 F7x V F7y 7 Grfické znázornění skutečných smyslů sil půsoících n styčníky (po zohlednění znmének dílčích výsledků): I 2 III 6 V 1 3 5 7 II 4 IV Grfické znázornění skutečných smyslů sil půsoících n pruty: I 2 III 6 V 1 3 5 7 II 4 IV 61
h MECHNIK Síly půsoící n pruty mjí stejný směr jko síly půsoící n styčníky, le jejich smysl je opčný. Z těchto sil pk vycházíme při dimenzování prutů konstrukce. Ze smyslu sil v grfickém schémtu je zřejmé, že pruty č. 1, 4, 5 7 jsou nmáhány n th pruty č. 2, 3 6 jsou nmáhány n tlk (vzpěr). 6.2.2 Metod průsečná Princip této metody spočívá v tom, že prutovou konstrukci přerušíme myšlenými řezy tk, y yly protnuty mximálně tři pruty. Z toho mohou ýt pouze dv pruty vycházející z jednoho styčníku s neznámými osovými silmi. Při řešení předpokládáme smysl těchto neznámých osových sil půsoících n styčníky tkový, že jednotlivé pruty jsou nmáhány n th. Jejich skutečný smysl velikost pk určíme z podmínek rovnováhy sil momentů v přerušených prutech. Příkld: Určete početní metodou průsečnou smysl velikost osových sil v jednotlivých prutech. Zdné hodnoty: F 1Z = 2500N, F 2Z = 3500N, = c = h = 3000mm, = 5000mm, = 45, 50,2 F R =? FR =? c Z Z Řešení: Nejprve zvolíme kldný smysl půsoení sil momentů n prutové soustvě, očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. Dále vedeme řezy prutovou soustvou to tk, y yly protnuty mximálně tři pruty, z nichž mohou ýt pouze dv vycházející z jednoho styčníku s neznámými osovými silmi (viz or. 53). Při řešení předpokládáme smysl těchto neznámých osových sil půsoících n styčníky tkový, že jednotlivé pruty jsou nmáhány n th. Nkonec určíme prmetry rekcí skutečný smysl velikost osových sil půsoících v jednotlivých styčnících. 62
h MECHNIK + Fy + Fx + M FRy I C D 2 III 6 V FRy 1 3 5 7 D II 4 IV C c Z Or. 53 Oznčení prvků prutové soustvy při použití výpočtové metody průsečné. Z Velikost rekcí F Ry F Ry Podmínky rovnováhy: V tomto směru se nevyskytují žádné síly, tzn., že podmínk je utomticky splněn. 63
h MECHNIK Velikosti sil půsoících n jednotlivé styčníky: Vyšetřování osových sil v řezu : Podmínky rovnováhy: FRy I 2 1 Všechny síly prochází jedním odem, tzn., že podmínk je utomticky splněn. Velikost sil F 1 F 2 Ze znménk výsledku síly F 2 je zřejmé, že její smysl je opčný oproti původnímu předpokldu. Vyšetřování osových sil v řezu : Podmínky rovnováhy: FRy I 2 1 3 F3 II F4 Velikost sil F 3 F 4 4 Z Ze znménk výsledku síly F 3 je zřejmé, že její smysl je opčný oproti původnímu předpokldu. 64
h MECHNIK Vyšetřování osových sil v řezu C C: Podmínky rovnováhy: FRy C F6 6 V F5 5 7 F4 IV Velikost sil F 5 F 6 C 4 c Z Ze znménk výsledku síly F 6 je zřejmé, že její smysl je opčný oproti původnímu předpokldu. Vyšetřování osových sil v řezu D D: Podmínky rovnováhy: FRy D F6 6 V 7 Všechny síly prochází jedním odem, tzn., že podmínk je utomticky splněn. F7 D Velikost síly F 7 pro kontrolu 65
MECHNIK Ze znmének výsledků je zřejmé, že pruty č. 1, 4, 5 7 jsou nmáhány n th pruty č. 2, 3 6 jsou nmáhány n tlk (vzpěr). 6.3 Grfické metody řešení prutové soustvy 6.3.1 Metod styčníková Grfická metod styčníková opět vychází z poždvku rovnováhy sil půsoících v jednotlivých styčnících, což je prkticky stejné jko rovnováh soustvy sil se společným půsoištěm. Touto metodou jsme schopni řešit silové účinky půsoící n styčníky tm, kde máme mximálně dvě neznámé osové síly. Pro správné řešení je nutné zvolit vhodné měřítko sil délek. Získné hodnoty pk s jejich pomocí převedeme zpět n reálné. Příkld: Určete grfickou metodou styčníkovou smysl velikost osových sil v jednotlivých prutech. Zdné hodnoty: F 1Z = 2500N, F 2Z = 3500N, = c = h = 3000mm, = 5000mm Řešení: Nejprve očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. Dále určíme pomocí pólového vláknového orzce velikosti směry rekcí F R F R. Poté řešíme grficky silové účinky n jednotlivých styčnících. Reálné hodnoty velikosti osových sil půsoících n styčníky získáme přepočtem pomocí zvoleného měřítk sil. 66
h MECHNIK Grfické určení rekcí: FR FR I 2 III 6 V 1 3 5 7 II 4 IV c Z 3 Z I IV 1 II III 4 FR Z I 2 IV II P FR Z III Měřítko délek m L = 100mm.mm -1 Měřítko sil m F = 100N.mm -1 67
MECHNIK Grfické určení silových účinků n styčnících: Měřítko sil m F = 100N.mm -1 Rovnováh sil půsoících n styčník č. I. FR FR I 2 1 Velikost sil F 1 F 2 Rovnováh sil půsoících n styčník č. II. 3 1 II 4 Z F4 F3 Z Velikost sil F 3 F 4 Rovnováh sil půsoících n styčník č. III. 2 III 6 F3 F5 F3 3 5 F6 68
MECHNIK Velikost sil F 5 F 6 Rovnováh sil půsoících n styčník č. IV. 4 F4 5 7 F5 IV F7 Z Z F5 F4 Velikost síly F 7 Rovnováh sil půsoících n styčník č. V. Řešení je uvedeno pouze pro kontrolu, protože velikosti smysly osových sil jsou již známy z předchozích grfických řešení rovnováhy sil půsoících n jednotlivé styčníky. FR F6 6 V FR F7 7 Velikost sil F 6 F 7 Z výsledků grfického řešení, respektive ze smyslů osových sil půsoících n styčníky je zřejmé, že pruty č. 1, 4, 5 7 jsou nmáhány n th pruty č. 2, 3 6 jsou nmáhány n tlk (vzpěr). 69
MECHNIK 6.3.2 Metod Cremonov Grfická metod Cremonov opět vychází z poždvku rovnováhy sil půsoících v jednotlivých styčnících. Tto metod vychází z grfické metody styčníkové s tím, že silové účinky n celé prutové konstrukci řešíme v jednom orzci. Při použití této metody je nutné dodržovt určité zásdy: 1. Prutovou konstrukci zkreslíme ve zvoleném měřítku délek sil. 2. Očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. 3. Grfickou metodou určíme velikost smysl rekcí. 4. Stnovíme smysl ocházení jednotlivých styčníků při řešení silových účinků tento dodržujeme u celé prutové soustvy. 5. Postupně řešíme rovnováhu sil půsoících n jednotlivé styčníky v Cremonově orzci, přičemž řešení je možné pouze tehdy, jsou-li neznámé mximálně dvě osové síly. 6. Znménkem minus oznčujeme pruty nmáhné tlkem (osová síl půsoí směrem do styčníku) znménkem plus oznčujeme pruty nmáhné them (osová síl půsoí směrem ze styčníku). 7. Změříme velikosti osových sil v Cremonově orzci pomocí zvoleného měřítk je převedeme n reálné hodnoty. Tyto pk zneseme do přehledné tulky výsledků, která ude podkldem pro dimenzování jednotlivých prutů. Příkld: Určete grfickou metodou Cremonovou smysl velikost osových sil v jednotlivých prutech. Zdné hodnoty: F 1Z = 2500N, F 2Z = 3500N, = c = h = 3000mm, = 5000mm Řešení: Prutovou konstrukci zkreslíme ve zvoleném měřítku délek sil. Očíslujeme všechny pruty oznčíme všechny styčníky římskými číslicemi. Pomocí pólového vláknového orzce určíme velikosti směry rekcí F R F R. Stnovíme smysl ocházení jednotlivých styčníků při řešení úlohy. Postupně řešíme rovnováhu sil půsoících n jednotlivé styčníky v Cremonově orzci. Znménkem minus oznčujeme pruty nmáhné tlkem znménkem plus oznčujeme pruty nmáhné them. Změříme velikosti osových sil v Cremonově orzci pomocí zvoleného měřítk je převedeme n reálné hodnoty. Tyto pk zneseme do přehledné tulky výsledků. 70
h MECHNIK Grfické určení rekcí: FR FR I 2 III 6 V 1 3 5 7 II 4 IV c Z 3 Z I IV 1 II III 4 FR Z I 2 IV II P FR Z III Měřítko délek m L = 100mm.mm -1 Měřítko sil m F = 100N.mm -1 71
h MECHNIK Grfické určení osových sil prutové konstrukce pomocí Cremonov orzce: SMYSL OCHÁZENÍ STYČNÍKŮ FR FR I - 2 III - 6 V + 1-3 + 5 + 7 II + 4 IV c Z Z FR + 1 Z FR + 4-3 - 2-6 + 5 Z + 7 Měřítko délek m L = 100mm.mm -1 Měřítko sil m F = 100N.mm -1 Velikosti sil F 1 ž F 7 Prut č. Osová síl (N) Druh nmáhání (th +, tlk - ) 1 3920 + 2 2770-3 350-4 3000 + 5 350 + 6 3230-7 4560 + 72
MECHNIK 7. SOUSTV SIL V PROSTORU 7.1 Soustv sil se společným půsoištěm Při určení výslednice soustvy několik sil se společným půsoištěm v prostoru postupujeme odoně jko při určení výslednice soustvy sil v rovině. Nejprve všk rozložíme jednotlivé síly do směrů os x, y z (viz or. 54) z z 1 1 1 1 0 x x x y y z 1 1 y Or. 54 Rozkld síly F 1 do směrů os x, y z. K určení velikosti jednotlivých složek síly F 1 použijeme tří prvoúhlých trojúhelníků. Pk tedy pltí: Rozložíme-li tkto celou soustvu sil o společném půsoišti v prostoru, dostneme tři soustvy sil (se stejným půsoištěm směrem) vzájemně n see kolmých. Velikosti částečných výslednic ve směrech os x, y z určíme stejně jko u soustvy sil v rovině, tj.: (55) (56) (57) (58) (59) (60) 73
MECHNIK Tyto částečné výslednice opět složíme v celkovou výslednici F V pltí tedy vzth: (61) Směr smysl výslednice soustvy sil F V (viz or. 55) stnovíme opět z prvoúhlých trojúhelníků: lze tedy velmi jednoduše dokázt, že pltí: (62) z FVz FV 1 FV FVz 1 1 FVx 0 FVx x y FVy FVy Or. 55 Směr, smysl velikost výslednice soustvy sil (se společným půsoištěm) v prostoru. 7.2 Soustv sil, jež nemjí společné půsoiště Jedná se o velmi složitý přípd. Velikost výslednice se určí odoně jko u soustvy sil se společným půsoištěm. Nejprve tedy provedeme rozkld jednotlivých sil do směrů os x, y z. Určíme dílčí výslednice F Vx, F Vy F Vz v jednotlivých směrech tyto pk složíme n výslednici soustvy sil F V. Její směr smysl je dán úhly,, neprochází všk počátkem souřdného systému os x, y z. To znmená, že tto výslednice způsouje n určitém rmeni r V moment o velikosti M = F V. r V tento je prostorově orientován. 74
MECHNIK 7.3 Oecné podmínky, jež pltí pro soustvu sil v prostoru Vektorově je možné pro jkoukoliv soustvu sil v prostoru oecně definovt následující podmínky: pro výsledné účinky soustvy sil pltí: (63) (64) pro podmínky rovnováhy soustvy sil pltí: (65) (66) 8. TĚŽIŠTĚ Kždé těleso se skládá z elementárních částic, tzv. hmotných odů m 1, m 2, m 3 m n, jež mjí určitou hmotnost, projevující se tíhovou silou G 1 = m 1.g, G 2 = m 2.g, G 3 = m 3.g G n = m n.g. Těžištěm těles nzýváme od, kterým prochází výslednice tíhových sil všech jeho hmotných odů to při jkémkoliv ntočení těles. Ke zjišťování polohy těžiště těles je možné využít momentové věty (viz or. 56) pltí, že součet momentů elementárních tíhových sil ke zvolenému odu je roven momentu výsledné tíhové síly k témuž odu. Mtemticky je možné to vyjádřit následujícím vzthem: (67) kde: G 1 G n x 1 x n G x T jsou tíhové síly elementárních částic jsou polohy těžišť elementárních částic ke zvolenému odu je tíhová síl těles je poloh těžiště těles ke zvolenému odu 75
MECHNIK Odtud poloh těžiště těles x T vzhledem ke zvolenému odu ude rovn: (68) xn x2 x1 m2 m1 G1 T G2 mn Gn x T G těžnice t Or. 56 Poloh těžiště těles ke zvolenému odu. V technické prxi kromě těžiště těles určujeme i těžiště čr ploch, čkoli nemjí hmotnost tedy ni tíhovou sílu. Při zjišťování jejich těžiště využíváme tzv. proporčních sil úměrných jejich délce či oshu. 8.1 Těžiště čr Při určování těžiště oecné čáry postupujeme tk, že ji rozdělíme n mlé úseky, které zjednodušeně povžujeme z úsečkové. V těžištích tkovýchto úseků, které jsou vždy uprostřed jejich délky, zvedeme proporční síly úměrné délce úseků to minimálně ve dvou směrech. Vzniknou nám tk dvě soustvy rovnoěžných sil, kde se nositelky jejich výslednic protínjí v těžišti čáry T. Čím menší udou úseky, n které vyšetřovnou čáru rozdělíme (pltí pro nelineární části čáry), tím přesnější ude určení polohy jejího těžiště T. 76