Matematický popis vlnění vlna - ozuch šířící se postředím zachovávající svůj tva (pofil) Po jednoduchost začneme s jednodimenzionální vlnou potože ozuch se pohybuje ychlostí v, musí být funkcí jak polohy tak i času ( t, ) ψ f () Tva ozuchu v libovolném okamžiku, řekněme t, můžeme vyjádřit jako vlnu v daném časovém okamžiku (, ) (,) ψ t f f( ) () t Například funkce ( ) ("zvonovitý" tva) viz ob.. f e a, kde a je konstanta, popisuje ozuch Gaussovou funkcí S S smě šíření vt, Ob.. Rozuch v pevném (S) a pohybujícím (S ) se souřadném systému. Označme S souřadný systém pohybující se s ozuchem, jež má v čase t společný počátek s nepohyblivým systémem zřejmý tansfomační vztah S. V systému S ψ f ( ) nezávisí na čase. Z ob. je
vt, (3) takže ψ můžeme vyjádřit pomocí souřadnic spojených se stacionáním systémem (, t) f ( vt) S takto ψ (4) Tento výaz je nejobecnějším vyjádřením jednodimenzionální vlnové funkce popisující vlnu daného tvau šířící se v kladném směu osy. Tedy v případě Gaussova tvau bude ψ ( t, ) ( ) a vt e. Zkoumejme, jak bude vypadat ψ v časech t a t+ Δ t : ( v t, t t) f ( v t) v( t t) f ( vt) ψ + Δ +Δ + Δ +Δ, čili pofil vlny se s časem nemění. Po vlnu šířící se ychlostí v > v opačném (tedy záponém) směu lze odvodit tva ψ f ( + vt). (5) Často se používají fomálně jiné tvay zápisu vlnové funkce: vt f ( vt) F F t v v Nyní odvodíme vlnovou ovnici. Budeme deivovat vlnovou funkci ψ podle postoové a časové poměnné (s uvážením tansfomačního vztahu (3)) a tedy ψ f f f f f v t t t v t neboť neboť v t (6) ψ f (7) f f f t t t v v v A ze vztahů (7) a (8) dostáváme tzv. vlnovou ovnici (v tomto případě jednodimenzionální) ψ ψ. (9) v t Snadno lze ukázat, že jsou-li funkce ψ a ψ řešeními vlnové ovnice (9), bude jejím řešením i jejich lineání kombinace, což je tak zvaný pincip supepozice. (8)
Hamonické vlny Jednu z nejjednodušších vln představuje hamonická vlna. Její důležitost spočívá v tom, že vlnu libovolného tvau lze vyjádřit jako supepozici hamonických vln. Zvolme jako pofil vlny hamonickou funkci tvau (, t) A sin k( vt ) ψ () kteá je řešením vlnové ovnice (9). Veličina nazývá amplituda vlny. A udávající maimální hodnotu funkce ψ se Ať džíme či t konstantní, v obou případech dostaneme sinusový ozuch; vlna je tedy peiodická jak v postou tak v času. Postoová peioda se nazývá vlnová délka, označuje se λ a v optice se udává zpavidla v nanometech (nm, nm -9 m) nebo v mikometech (μm, μm -6 m). Změna poměnné o λ nemění funkci ψ, musí tedy platit ψ (, t) ψ ( ± λ, t). V případě hamonické vlny () dostáváme a odtud Potože ( ) ( λ ) ( ) sin k vt sin k vt ( ± ) sin k vt ± π kλ π. k i λ jsou kladné, dostáváme vztah po vlnové číslo k π k () λ Zcela analogicky postupujeme v případě časové peiody τ. ψ ( t, ) ψ ( t, ± τ) ( ) ( τ ) ( ) sin k vt sin k v( t± ) sin k vt ± π kvτ π S užitím () dostáváme po časovou peiodu τ espektive po fekvenci ν λ τ () v v ν τ λ (3) odkud plyne vztah po ychlost šíření v v λν (4) 3
Často se užívá úhlová fekvence ω π ω (ad/s). (5) τ S uvážením vztahů () až (5) můžeme postupnou hamonickou vlnu psát ještě v jiných ekvivalentních tvaech ψ (, t) A sin ( ωt k) (a) ψ( t, ) A sinω t (b) v Fáze a fázová ychlost Celý agument funkce sinus v hamonické vlně () se nazývá fáze vlny ϕ nebo zcela obecně (, ) ϕ t ωt k ( t, ) t k ϕ ω + ϕ (6) kde ϕ je počáteční fáze vlny (konstantní příspěvek k fázi vlny vznikající na zdoji a nezávislý na čase i na vzdálenosti). Výaz ϕ t ω udává ychlost změny fáze s časem, podobně výaz ϕ k t udává ychlost změny fáze se vzdáleností. Výaz ( ϕ t ) ( ϕ ) t ω ± ± v t k ϕ (7) udává ychlost šíření konstantní fáze, čili fázovou ychlost, kde znaménko + platí po šíření ve směu ostoucí souřadnice a znaménko po smě opačný. Má-li být splněna podmínka ϕ ωt k konst. potom s ostoucím t musí ůst také. 4
Bez odvození uvedeme třídimenzionální vlnovou ovnici, kteou musí splňovat vlnová funkce ( t, ) ψ ψ Δψ v t (8) kde Δ + + y z je Laplaceův opeáto. Rovinná vlna Nejjednodušším příkladem třídimenzionální hamonické vlny je ovinná vlna ψ ( t, ) Asin ( ωt k. +ϕ) (9) - plochy konstantní fáze jsou oviny k je vlnový vekto π k ks s λ kde s je jednotkový vekto ve směu šíření vlny Matematicky je ovina kolmá na vekto k pocházející bodem daným polohovým vektoem (, y, z) definována podmínkou k. Tedy ( ) ( ) ( ) ( ) k + k y y + k z z y z k ky kz k ky kz konst + y + z + y + z. k. konst. Rovina je geometické místo bodů, jejichž polohové vektoy mají stejný půmět do směu vektou k. () Kulová (sféická) vlna Uvažujme ideální bodový zdoj světla vyzařující ovnoměně do všech směů (izotopní zdoj). Vlnoplochy vyzařované takovým izotopním zdojem budou soustředné sféy o vůstajícím poloměu. V tomto případě je vhodnější namísto katézských souřadnic (, yz, ) využít souřadnice sféické (, θ, φ ) definovaných tansfomačními vztahy sinθ cosφ 5
y sinθ sinφ z cosθ. z θ y φ Ve sféických souřadnicích má Laplaceův opeáto tva Δ + sin + sinθ θ θ sin θ φ θ Díky své symetii sféická vlna nebude záviset na úhlových souřadnicích θ a φ, tedy ψ ψ θ φ ψ () ( ) (,, ) ( ) V tomto případě se Laplaceův opeáto edukuje na Δ ψ () Teď odvodíme přechod od katézských ke sféickým souřadnicím: (3a) ψ ψ + (deivace součinu) (3b) Potože + y + z bude ( y z ) a dosazením do (3b) + + + y + z + ψ ψ +. (4) Analogicky postupujeme i po deivace podle souřadnic Sečtením potom dostaneme y a z. 6
ψ ψ ψ + y + z ψ + y + z ψ Δ ψ + + + + y y Vlnová ovnice (8) potom nabývá tva ( ) 3 ( ψ ) ψ ( ψ ) v t a po vynásobení obou stan ovnice dostaneme v t ( ψ ) ( ψ ) Rovnice (5) má tva jednodimenzionální vlnové ovnice (9) s postoovou poměnnou vlnovou funkcí ψ, tedy podle (4) ψ (, ) ( ) t f vt (5) a ψ t f vt). (6) a odtud (, ) ( Tato vlnová funkce popisuje sféickou vlnu šířící se adiálně od zdoje konstantní ychlostí v. Hamonickou sféickou vlnu můžeme napsat ve tvau A ψ ( t, ) cosk( vt ) kde konstanta A představuje "sílu zdoje". Plochami konstantní váze jsou sféy dané podmínkou k konst. Povšimněte si, že amplituda sféické vlny závisí na a tedy se vzůstající vzdáleností od zdoje (na ozdíl od ovinné vlny) klesá. V dostatečně velké vzdálenosti od bodového izotopního zdoje můžeme malou část kulové vlnoplochy dobře apoimovat ovinou. (7) Ob.. Zplošťování sféických vln se vzdáleností. Komplení epezentace Komplení epezentace nabízí altenativní a z hlediska matematických opeací jednodušší popis vln. Nejpve tochu opakování: 7
Komplení číslo z má tva z + iy, kde i a, y jsou eálná čísla epezentující eálnou a imaginání část kompleního čísla. Komplení číslo může být znázoněno v komplení ovině (ob. 3). cosϑ y sinϑ kde z + y je modul kompleního čísla Dále ( cosϑ sinϑ) + (kde ϑ actg y je fáze (fázový úhel)) i z i e ϑ což je Euleův vzoec spojující eponenciální funkci imagináního agumentu s tigonometickými funkcemi. Im z ( + iy) y ϑ z Re ( ) z* iy Ob. 3. Zobazení kompleních čísel v komplení ovině. i Číslo z* iy e ϑ je kompleně sdužené číslo k z. Zřejmě z zz* Libovolné komplení číslo může být napsáno ve tvau Re( ) + Im ( ) z z i z, Im z z z* sinϑ i kde Re ( z) ( z+ z* ) cosϑ ( ) ( ) Aitmetické opeace s kompleními čísly: sčítání a odečítání z ± z ( + iy ) ± ( + iy ) ( ± ) + i( y ± y ) násobení dělení ( + ) i zz e ϑ ϑ z e i z ( ϑ ϑ ) 8
cos π, sin π ( ) ( ) i e π i cos ± π, sin ± π e ± π π π cos ±, sin ± ± π ± i e ± i Peiodická funkce e e e e z+ iπ z iπ z Hamonickou vlnu můžeme v komplení epezentaci vyjádřit jako ( i ωt k. + ϕ ) iϕ (, t) ψ t Ae Ae (, ), (8) kde A je eálná amplituda. Zřejmě ( ) ( ψ A ωt k + ϕ ) Im( ψ ) Asin ( ωt k. + ) Re cos. ϕ (9) Při výpočtech používáme komplení epezentaci a až dojdeme k výsledku, musíme vzít jeho eálnou část, kteá má fyzikální smysl (volba eálné části je přijatá konvence, stejně tak bychom mohli užívat i imaginání část). V někteých případech je výhodné vyjádřit hamonickou vlnu v komplení epezentaci takto i( t k. ) i i( t k. ) i( ω + ϕ ϕ ω ωt k. ) ψ t Ae Ae e Ae (3) (, ) kde jsme zavedli komplení amplitudu i A Ae ϕ. A vlny 9