2. Definice pravděpodobnosti

2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy, které se řídí zákony dovolujícími určit s okamžitého stavu jejich budoucí či minulý stav. Mezi takové patří elektrické obvody popisované Ohmovým zákonem, nebo fyzikální procesy v mechanice, které se řídí Newtonovými zákony. Dokonce i dynamické procesy takového charakteru mají popis pomocí diferenciálních rovnic a jejich budoucnost či minulost je popsána hodnotami jejich řešení. Druhou skupinu tvoří náhodné procesy do jejichž výsledků se promítají náhodné vlivy, které způsobují, že proces realizovaný za týchž podmínek dává různé výsledky. Studiem zákonitostí výskytu výsledků se zabývá matematická statistika. Algoritmy, kterými jsou veličiny tohoto druhu popisovány jsou tématem teorie pravděpodobnosti. 2.2. Definice: Náhodný pokus, náhodný jev. Proces, který při opakování dává za stejných podmínek rozdílné výsledky nazýváme náhodným pokusem. Různé výsledky náhodného pokusu nazýváme náhodnými jevy. Množinu všech možných výsledků náhodného pokusu nazýváme jevovým polem. Značení: V dalším textu budeme označovat symbolem S jevové pole a jeho prvky, náhodné jevy, budeme označovat velkými písmeny, např. A, B, C k, U, V, a pod. Poznámka: Jednotlivé pojmy, které budeme postupně zavádět budeme ilustrovat na příkladech. Několik jich uvedeme a budeme na nich smysl a význam základních pojmů vysvětlovat. Podobně jako v části o kombinatorice budeme uvádět příklad, který odpovídá reálnému procesu a zároveň si uvedeme formulaci ( ) jeho matematického modelu. 2.3. Příklad: 1. Házíme mincí a sledujeme kdy padne rub a kdy líc. Jevové pole S má dva prvky {r, l}. 13

Příklad můžeme formulovat abstraktně takto: provádíme pokus, který má dva možné výsledky. První si označíme jako 0 a druhý jako 1. Jevové pole S = {0, 1}. Je vidět, že tento model je univerzální, ztrácí se z něj fyzikální realita pokusu. Pokus je nahrazem matematickým modelem. Čísla 0 a 1 mohou reprezentovat zcela odlišné reálné situace. Např. rub a líc mince, zařízení pracuje, nepracuje apod. 2. Házíme hrací kostkou a sledujeme počet ok na horní stěně kostky. Jevové pole má 6 prvků, S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Shodnou strukturu má úloha: náhodně vybereme z množiny n prvků, např. čísel {1, 2,..., n} jeden prvek, číslo. 3. Házíme mincí, resp. hrací kostkou, dokud nepadne rub, resp. nepadne předepsaný počet ok (šestka). Výsledkem pokusu je počet hodů. Jevové pole má nekonečně mnoho prvků, S = {1, 2,...}. Obecně lze situaci popsat takto: konáme náhodný pokus, dokud se jako jeho výsledek neobjeví daný náhodný jev. 4. Házíme n krát mincí, resp. hrací kostkou a počítáme, kolikrát se v serii hodů objeví rub, resp. padne šestka. Jevové pole obsahuje prvky {0, 1, 2, 3,..., n}. Obecný popis situace: Konáme serii n nezávislých náhodných pokusů a sledujeme kolikrát nastal jako výsledek daný náhodný jev. 5. Loterie obsahuje N losů a z nich M vyhrává. Zakoupíme n losů a sledujeme na kolik ze zakoupených losů vyhrajeme. Jevové pole S obsahuje prvky {0, 1, 2,..., min{n, M}}. Musí platit 0 n N, 0 M N. Obecný popis modelované situace: Máme množinu N prvků a znich má M sledovanou vlastnost. Náhodně vybereme skupinu n prvků. Ptáme se kolik prvků z vybrané skupiny má sledovanou vlastnost. 14

6. Jdeme náhodně na tramvaj a sledujeme dobu čekání. V některých případech není výsledkem náhodného pokusu jev, který lze popsat jednou veličinou, číslem, ale máme situace je taková, že výsledek má vektorový charakter. Uvedeme příklady. 7. Házíme dvěma hracími kostkami a sledujeme počet ok. Jevové pole má charakter uspořádaných dvojic, S = {(i, j); 1 i, j 6}. Struktura jevového pole. Operace s jevy. Množina všech náhodných jevů, výsledků náhodného pokusu má strukturu podobnou struktuře všech podmnožin neprázdné množiny. Rovněž i s náhodnými jevy zacházíme jako s podmnožinami množiny a zavádíme operace, které známe z operací s množinami. Často si je také budeme tak znázorňovat. Struktura jevového pole je tzv. Booleova algebra, obecněji σ algebra. 2.4. Definice: Jev jistý a jev nemožný. Je-li S jevové pole, pak zavádíme jev jistý jako náhodný jev U S, který vždy nastane. Obdobně je jev nemožný náhodný jev V S, který nikdy nenastane. 2.5. Definice: Jevy opačné. Je-li náhodný jev A S, pak opačným jevem k jevu A nazýváme náhodný jev A = A, který nastane vždy, kdy nenastane jev A. 2.6. Věta: Je U = V, V = U a (A) = A. 2.7. Definice: Implikace. Říkáme, že náhodný jev A S má za následek náhodný jev B S, jestliže jev B nastane, kdykoliv nastane jev A. Tuto skutečnost zapisujeme jako A B. 2.8. Věta: Pro každý náhodný jev A S platí V A U. 2.9. Definice: Rovnost náhodných jevů. Říkáme, že náhodné jevy A, B S se rovnají, jestliže je A B a B A. Píšeme pak A = B. 15

2.10. Definice: Sjednocení náhodných jevů. Jsou-li A, B, C S náhodné jevy, pak jejich sjednocením nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A nebo jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.11. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = A; A U = U; A A = U; asociativní zákon (A B) C = A (B C). 2.12. Poznámka: Asociativní zákon platí pro libovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápisu. Jsou-li A i S, i α, pak pro jejich sjednocení používáme symbolu A i. 2.13. Definice: Průnik náhodných jevů. Jsou-li A, B S náhodné jevy, pak jejich průnikem nazýváme jev, který nastane právě když nastanou oba jevy A a B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.14. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B = B A; A V = V ; A U = A; A A = V ; asociativní zákon (A B) C = A (B C). 2.15. Poznámka: Asociativní zákon platí pro libovolný systém náhodných jevů a nezáleží na pořadí zápisu. Jsou-li A i S, i α, pak pro jejich průnik používáme symbolu A i. 2.16. Definice: Rozdíl jevů. Jsou-li A, B S náhodné jevy, pak jejich rozdílem nazýváme jev, který nastane právě když nastane jev A a nenastane jev B. Tento náhodný jev označujeme symbolem A B. 2.17. Věta: Pro náhodné jevy platí: A B B A; A V = A; U A = A; A A = A; A A = V ; de Morganovy zákony A (B C) = (A B) (A C); A (B C) = (A B) (A C) 2.18. Definice: Disjunktní jevy. Náhodné jevy A, B S, které se navzájem vylučují, tj. A B = V, nazýváme disjunktní. i α i α 16

Poznámka: Nesmíme zaměňovat jevy disjuktní a jevy nezávislé. V odstavci o nezávislých jevech se k tomuto problému vrátíme. Poznámka: Elementární jevy. U některých jevových polí umíme utvořit rozklad jevového pole na elementární jevy, tedy jevy, které se nedají dále rozložit. Nedají se vyjádřit jako sjednocení jevů. Je to zejména v případech, kdy je těchto jevů konečně nebo nejvýše spočetně mnoho. 2.19. Definice: Elementární jev. Náhodný jev E S nazýváme elementárním jevem, jestliže pro každý náhodný je A S je buď A E = E, nebo A E = V. 2.20.Příklad: Uvedené pojmy budeme ilustrovat na příkladech některých jevových polí, které jsou uvedeny v příkladu 2.3. 1. Pro náhodný proces z příkladu 1 vypište: a) elementární jevy; b) jevy k nim opačné. Řešení: a) Jevové pole S má dva elementární jevy: {r} - padne rub, {l} - padne líc. b) Je {r} = {l} a {l} = {r}. 2. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 2. a) Vypišme elementární jevy. b) Popišme náhodný jev A padne liché číslo. c) Popišme náhodný jev A. d) Je-li náhodný jev B padne číslo menší než 3, určeme náhodné jevy: B, A B, A B, A B, A B, A B. Řešení: a) Při hodu hrací kostkou padne některé číslo mezi 1 a 6. Jevové pole je generováno šesti elementárnímí jevy: S = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. 17

b) Mezi možnými čísly jsou lichá tři, tedy náhodný jev A je tvořen 3 elementárními jevy. Tudíž můžeme např. napsat A = {1, 3, 5}, i když bychom měli správně zapisovat A = {{1}, {3}, {5}}. c) Náhodný jev opačný k jevu A lze vyjádřit jako padne sudé číslo. V používané symbolice je pak A = {2, 4, 6}, nebo přesněji A = {{2}, {4}, {6}}. d) Budeme používat zkrácené symboliky. V ní je A = {1, 3, 5} B = {1, 2}, tedy B = {3, 4, 5, 6}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1, 2, 3, 5}, A B = {1, 3, 5} {1, 2} = {1}, A B = {1, 3, 5} {3, 4, 5, 6} = {1, 3, 4, 5, 6}, A B = {2, 4, 6} {1, 2, } = {2}, A B = {1, 3, 5} {1, 2, } = {3, 5}. 3. Uvažujme náhodný pokus z příkladu 7. a) Vypišme elementární jevy. b) Popište náhodný jev A - na obou kostkách padne stejný počet bodů. c) Určete jev opačný k náhodnému jevu A. Řešení: a) Na každé z hracích kostek mohou padnou čísla od 1 do 6. Dostaneme celkem 36 možností, které odpovídají elementárním jevům. Ty mají charakter uspořádané dvojice {(i, j)}, kde i, j = 1, 2, 3, 4, 5, 6. Lze tedy množinu elementárních jevů zapsat jako jejich sjednocení. S = 1 i,j 6 (i, j). 18

b) Náhodný jev A nastane, pokud padne na obou kostkách stejný počet bodů, tedy musí nastat některý z elementárních jevů (1, 1), (2, 2),..., (6, 6). Takových je celkem 6 a lze psát, že A = 1 i 6 (i, i). c) Opačný jev A nastane ve zbývajících 36-6=30 možnostech, kde ve dvojici (i, j) je i j. Například dvojice (1, 2), (3, 5), atd. Definice pravděpodobnosti. Poznámka: Je-li S jevové pole, pak pro jeho prvky, jednotlivé náhodné jevy A zavádíme jejich pravděpodobnost P (A) jako míru jejich výskytu. Uvedeme si její definici. 2.21. Definice: Pravděpodobnost. Je-li S jevové pole, pak reálnou funkci P : S R nazýváme pravděpodobností, jestliže pro ni platí: 1. P : S 0, 1, t.j. 0 P (A) 1 pro každý jev A S. 2. P (U) = 1, P (V ) = 0. 3. A B P (A) P (B). 4. A B = V P (A B) = P (A) + P (B). Poznámka: Některé vlastnosti pravděpodobnosti se dají odvodit z druhých. Uvedené požadavky jsou základními vlastnostmi, jejichž znalost budeme považovat za samozřejmou. Uvedeme si speciální případ definice konkrétní pravděpodobnosti, nazývá se klasická definice, kterou budeme používat v řadě případů, které odpovídají situacím z příkladů 2.3 a 2.20. 2.22. Věta: Klasická definice pravděpodobnosti. Nechť je jevové pole S generováno systémem elementárních jevů E i, 1 i n, takových, že mají stejnou možnost výskytu. Jestliže definujeme funkci P předpisem: P (E i ) = 1 n, 19

pak je P pravděpodobnost. m Potom pro náhodný jev A S, A = k=1 E ik je P (A) = m n. Důkaz: Vlastnosti s definice snadno ověříme, vyplývají z pravidla pro sčítání zlomků. Poznámka: Vztah pro pravděpodobnost z definice se někdy vyjadřuje slovy: Pravděpodobnost jevů je poměr počtu možností příznivých jevu A ku počtu všech možností. 2.23. Příklad: Pomocí klasické definice pravděpodobnosti určete pravděpodobnosti uvedených náhodných jevů. 1. Házíme dvěma mincemi. Určete pravděpodobnosti náhodného jevu: a) A padne na obou mincích rub; b) B na obou mincích padne shodná strana; c) C na obou mincích padnou různé strany Řešení: Jevové pole S je generováno 4 elementárními jevy. Jsou to {(r, r), (r, l), (l, r), (l, l)} a všechny jsou stejně pravděpodobné.tedy: a) Aby nastal jev A musí padnout (r, r), to je jedna ze 4 možností. Je tudíž P (A) = 1 4 = 0, 25. b) Pro jev B jsou příznivé dvě možnosti, (r, r), (l, l), tedy P (B) = 2 4 = 0, 5. c) Jev C nastane také ve dvou případech, (r, l), (l, r), tedy P (C) = 2 4 = 0, 25. 2. Házíme hrací kostkou a uvažujeme počet bodů na horní stěně kostky. Vypočtěte pravděpodobnost: a) jednotlivých elementárních jevů; 20

b) jevu A padne sudé číslo; c) jevu B padne číslo nejvýše rovno 4. Řešení: Při hodu kostkou je celkem 6 možných výsledků, {1, 2, 3, 4, 5, 6}, které jsou stejně pravděpodobné. Předpokládáme, že je kostka homogenní krychle. a) Je-li E i, 1 i 6, elementární jev, padne i bodů, pak je jeho pravděpodobnost rovna P (E i ) = 1 6 = 0, 16666. b) Pro jev A jsou příznivé 3 možnosti ze 6, sice {E 2, E 4, E 6 }, je tedy P (A) = 3 6 = 0, 5. c) Jev B nastane ve ve 4 případech, {1, 2, 3, 4}, je tedy P (B) = 4 6 = 2 3 = 0, 66666. 3. Máme 10 barevných koulí, 4 bílé a 6 modrých. Vypočtěte pravděpodobnosti náhodných jevů: a) A náhodně vybraná koule je bílá; b) B tři náhodně vybrané koule jsou modré; c) C dvě náhodně vybrané koule mají rozdílnou barvu; d) D vybíráme jednu kouli po druhé a poslední, kterou vybíráme je modrá. Řešení: a) Při výběru má každá koule stejnou pravděpodobnost, že bude zvolena. Je celkem 10 možností a jevu A jsou příznivé 4. Je tedy P (A) = 4 10 = 0, 4. b) Protože jsou při výběru koule nerozlišitelné jsou počty možných výběrů ( ) rovny počtům kombinací. Všech možných výběrů 3 koulí 10 je = 10.9.8 = 120, počet možností příznivých jevu A je 3 1.2.3 ( ) 6 = 6.5.4 20 = 20. Je tedy P (A) = 3 1.2.3 120 = 1 6 = 0, 16666. ( ) 10 c) Počet všech vybraných dvojic je roven = 10.9 = 45. Počet všech dvojic, které mají rozdílnou barvu můžeme podle 2 1.2 pravi- 21

dla součinu vybrat celkem 6.4 = 24 způsoby. Je tedy P (C) = 24 45 = 8 15 = 0, 53333. d) Při postupném výběru koulí má kterákoliv stejnou pravděpodobnost být tažena jako poslední. Je tedy P (D) = 6 10 = 0, 6. Poznámka: V některých případech můžeme výsledky náhodného pokusu, prvky jevového pole přiřadit podmnožinám nějaké omezené množiny v R n, kdy tato množina odpovídá jistému jevu. Všimneme si, že vlastosti pravděpodobnosti jsou shodné s vlastnostmi objemu množin v R n. Toho využíváme v geometrické definici pravděpodobnosti, kterou používáme při řešení obdobných úloh. 2.24. Věta: Geometrická definice pravděpodobnosti. Nechť prvky jevového pole S odpovídájí podmnožinám omezené množiny U R n, množina U odpovídá jevu jistému a operace s jevy odpovídají obdobným operacím s množinami. Jestliže si označíme v n rozměrný objem množiny v R n, pak funkce P definovaná předpisem P (A) = v(a) v(u) má vlastnosti pravděpodobnosti. Takto definovaná pravděpodobnost se nazývá geometrická pravděpodobnost. Poznámka: Skutečnost, že takto definovaná pravděpodobnost splňuje podmínky z definice pravděpodobnosti 2.21 vyplývají z obdobných vlastností objemu v R n. 2.25. Příklad: Volíme náhodně bod X 0, 2. Určete pravděpodobnost náhodného jevu A = 1 2 < X 5 4. Řešení: K řešení úlohy použijeme geometrické pravděpodobnosti. Jestliže volíme bod náhodně, pak je každá volba stejně pravděpodobná. Pravděpodobnost toho, že vybereme bod s nějakého intervalu odpovídá jeho délce. Interval 0, 2 odpovídá jevu jistému, vybraný bod v něm musí vždy ležet. V souladu s definicí je pravděpodobnost náhodného jevu A = a X b, 0 a b 2 rovna P (A) = b a 2 0. 22

Pro zadaný interval je P ( 1 2 < X 5 4 ) = 1 ( 5 2 4 1 = 2) 3 8 = 0, 375. 2.26. Příklad: Máme domluvenou schůzku mezi 12 a 13 hodinou. Oba jdeme na schůzku zcela náhodně a čekáme nejvýše 15 minut. Jaká je pravděpodobnost, že se sejdeme. Řešení: Označíme si t 1 okamžik příchodu 1. účastníka po 12 hodině a t 2 okamžik příchodu druhého. Potom příchody obou účastníků setkání odpovídá bodu (t 1, t 2 ) 0, 1 0, 1. Tento čtverec odpovídá jevu jistému a okamžiky, kdy dojde k setkání odpovídá pásu určeného podmínkou t 1 t 2 1 4. K výpočtu pravděpodobnosti použijeme geometrické pravděpodobnosti a pro pravděpodobnost setkání P st dostaneme ( P st = 1 3 4 1 ) 2 = 7 = 0, 4375. 16 Poznámka: V klasické definici pravděpodobnosti vlastně předpokládáme znalost pravděpodobnosti pro elementární náhodné jevy. V uváděných příkladech můžeme jejich hodnotám věřit. Ve složitejších případech není vůbec jednoduché tyto výchozí hodnoty stanovit. Odstranit tento problém se pokoušel Robert de Mieses pomocí statistické definice pravděpodobnosti, která vychází z hodnot získaných z výsledků náhodného pokusu, který studujeme. Jejím základem je klasická definice. Provádíme opakovaně náhodný pokus tak, že jsou jeho jednotlivé realizace na sobě nezávislé. Jestliže si označíme počet opakování n a počet výsledků, které odpovídají elementárnímu jevu E i označíme m i (n), pak definujeme pravděpodobnost elementárního jevu E i vztahem m i (n) P (E i ) = lim n n. Je zřejmý nedostatek této definice. Můžeme ji použít pouze tak, že provádíme dostatečně dlouhé serie pokusů a za hledanou pravděpodobnost volíme hodnotu, která je průměrem dostatečného počtu hodnot m i(n) n. 23

Na začátku 20. století uvedl Kolmogorov definici pravděpodobnosti, která všechny předchozí definice v sobě zahrnuje. Vychází s Lebesgueovy teorie integrálu. Uvedeme ji spolu s jejich základními vlastnostmi. K tomu potřebujeme alespoň uvést definici pojmu σ algebry, která je strukturou požadovanou pro jevové pole. 2.27. Definice: Booleova σ algebra. Jevové pole S je σ algebrou, jestliže platí: 1. U S, V S. 2. Pro náhodné jevy A, B S je A B S. 3. Pro posloupnost (konečnou či spočetnou) posloupnost náhodných jevů A i, 1 i je A i S a A i S. i i 2.28. Definice: Axiomatická definice pravděpodobnosti. Je-li S jevové pole, které je σ algebrou, pak pravděpodobnost na jevovém poli S je reálná funkce, pro kterou platí: 1. Pro každý náhodný jev A S je 0 P (A) 1. 2. P (U) = 1. 3. Pro disjunktní náhodné jevy A, B S, A B = V je P (A B) = P (A) + P (B). 2.29. Věta: Vlastnosti pravděpodobnosti. Pravděpodobnost P na jevovém poli S má tyto vlastnosti: 4. Je-li A, B S a A B, pak P (A) P (B). (Monotonie pravděpodobnosti.) 5. Je-li A, B S a A B, pak P (B A) = P (B) P (A). 6. Pro náhodný jev A S je P (A) = 1 P (A). Speciálně P (V ) = 0. 7. Pro náhodné jevy A, B S je P (A B) = P (A) + P (B) P (A B). 8. Pro posloupnost (konečnou či spočetnou) pod dvou disjunktních jevů A i S, 1 i, i j A i A j = V, pak P ( A i ) = P (A i ). (σ aditivita.) i i 9. Jestliže pro posloupnost náhodných jevů A i S, i N platí A 1 A 2 A 3... P ( A i ) = lim P (A i ). (Spojitost zdola.) i i 10. Jestliže pro posloupnost náhodných jevů A i S, i N platí A 1 A 2 A 3... P ( A i ) = lim P (A i ). (Spojitost shora.) i i 24

Poznámka: Jako příklad takto obecně definované pravděpodobnosti jsme uvedli v odst. 2.24 geometrickou pravděpodobnost. Příkladem je pravděpodobnost z příkladu 2.25, kde jevové pole S tvoří všechny podmnožiny intervalu 0, 2, pro které máme definovánu jejich délku. Přesné vymezení všech náhodných jevů je velice složité a vyžaduje znalost teorie míry a integrálu. Jedná se o tzv. měřitelné množiny. 25