Příklad 7 Průhyb nosníku - složitější případ Zadání Nosník s proměnným průřezem je na obrázku. Průřezy a jsou obdélníkové, výška prvního průřezu je, násobkem výšky druhého průřezu. a) Pomocí metody integrace ohybové čáry určete rovnici průhybu pro obě části nosníku. b) Vyjádřete průhyb pod silou a uprostřed nosníku (v závislosti na tuhosti, resp. )
Řešení Určete poměr tuhostí v jednotlivých úsecích: h, h I (?) I
Poměr tuhostí v úsecích. h, h I I. b. h h,. h,. b. h h h I, 97I,97 Další krok je provedení integrace ohybové čáry v úsecích. Pro vyjádření funkce ohybových momentů v obou úsecích je třeba použít stejný souřadný systém. Vyjádřete funkci ohybových momentů pro úseky a-c a c-b První úsek: x 0, M ( (?) (?) x ).0 Obr.: Souřadný systém prutu Druhý úsek: x, 8 M ( (?) (?) x ).0
Poměr tuhostí v úsecích I, 97I Funkce ohybových momentů: První úsek: x 0, M 75x. 0 Druhý úsek: x, 8 00 5x. M 0 Integrací ohybové čáry. 0 násobky funkce pootočení a průhybu v prvním úseku: x 0, M 75x. 0. 0 (?) x (?) x. 0 (?) x (?) x (?) x x
Integrace ohybové čáry První úsek: x 0, M 75x. 0 75. 0 x 75. 0 x x Integrací ohybové čáry. 0 násobky funkce pootočení a průhybu ve druhém úseku: x, 8 00 5x. M 0. 0 (?) x (?) x. 0 (?) x (?) x (?) x x
Integrace ohybové čáry První úsek: x 0, M 75x. 0 75. 0 x 75. 0 x x Druhý úsek: x, 8 00 5x. M 0 5. 0 x 00x 5. 0 x 00x x
Okrajové podmínky podpory Díky tomu, že podmínky jsou homogenní (předepsané průhyby jsou nulové) není třeba se zabývat tuhostmi, protože se násobí nulou. Z podmínky pro průhyb v levé podpoře: 0 určete (?) (?) ( x0) Z podmínky pro průhyb v levé podpoře: 0 určete Pravá podpora: 5 0 8 00.8.8 8.,7 (?) (?) ( x8)
Okrajové podmínky podpory Díky tomu, že podmínky jsou homogenní (předepsané průhyby jsou nulové) není třeba se zabývat tuhostmi, protože se násobí nulou. Levá podpora: 0 75 ( x0) 0 0.0 0 Pravá podpora: 0 5 ( x8) 0 8 00.8.8 8.,7
Okrajové podmínky - na rozhraní úseků Zde je třeba brát v úvahu konkrétní tuhosti v jednotlivých úsecích. Obě rovnice se převedou na společnou tuhost (první nebo druhou) a potom se touto tuhostí celá rovnice vykrátí. Z podmínky pro pootočení na rozhraní úseků: ( x) ( x) vyjádřete : (?) (?) Z podmínky pro průhyb na rozhraní úseků: ( x) ( x) vyjádřete : (?) (?) (?)
Okrajové podmínky - na rozhraní úseků Zde je třeba brát v úvahu konkrétní tuhosti v jednotlivých úsecích. Obě rovnice se převedou na společnou tuhost (první nebo druhou) a potom se touto tuhostí celá rovnice vykrátí. Pootočení na rozhraní úseků: ( x) ( x),97 75 75 5,97 8,95 00. 5 00..,97. Průhyb na rozhraní úseků: ( x) ( x),97 75 75 5.. 00.. 5.,97,0985 00. 5,78.97
Soustava rovnic: 0 8.,7,97 8,95,97,0985 5,78 Vyřešte soustavu rovnic. (?) 0 (?) (?)
Řešení soustavy rovnic: 0 9,5 5,,0 Výsledné rovnice pootočení: 0 7,5x 9,5 platí pro x 0, 0,5x 00x 5, platí pro x, 8 Výsledné rovnice pootočení: 0,5x 9,5. x platí pro x 0, 0,7x 00x 5,x,0 platí pro x, 8 Určete průhyb v místě působení síly: 0 c (?) Určete průhyb uprostřed nosníku: 0 s (?)
Průhyb pod silou: c ( x) 8,.0,97 nebo c ( x) 0,5 58,8.0 0,7 8,.0 9,5. 00. 58,8.0 5,.,0 Průhyb uprostřed nosníku: s ( x) 0,7 00. 78,85.0 5,.,0