1. Krivky. krivky zadane parametrickymi rovnicemi. Primka rovnobezna s osou y. Primka rovnobezna s osou x

Podobné dokumenty
3.2 3DgrafyvMaple 106 KAPITOLA 3. UŽITÍ MAPLE PŘI ŘEŠENÍ KVADRIK

Cvičení z matematické analýzy na FIT VUT s podporou Maple

2. přednáška (grafika a maplovský programovací jazyk)

Úvod do programu MAPLE

Internetová adresa osobní stránky:

Urci parametricke vyjadreni primky zadane body A[2;1] B[3;3] Urci, zda bod P [-3;5] lezi na primce AB, kde A[1;1] B[5;-3]

Geometrie v R n. student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

Geometrie v R n. z balíku student. Poznamenejme, že vlastně počítáme délku úsečky, která oba body spojuje. (b d)2 + (c a) 2

10. přednáška (slovní úlohy vedoucí na extrémy - pokračování)

Lineární algebra s Matlabem cvičení 3

I. Diferenciální rovnice. 3. Rovnici y = x+y+1. převeďte vhodnou transformací na rovnici homogenní (vzniklou

1. Definiční obor funkce dvou proměnných

1 LC - numerické řešení integrálu - rozšíření

1. Kombinatorika 1.1. Faktoriál výrazy a rovnice

9. přednáška (extrémy, slovní úlohy vedoucí na extrémy)

1.6 Singulární kvadriky

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Funkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA. Cvičení z matematiky s využitím systému MAPLE DOPLŇKOVÝ STUDIJNÍ MATERIÁL

Funkce a její vlastnosti

10. Analytická geometrie kuželoseček 1 bod

f( x) x x 4.3. Asymptoty funkce Definice lim f( x) =, lim f( x) =, Jestliže nastane alespoň jeden z případů

y = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).

Maple. Petr Kundrát. Ústav matematiky, FSI VUT v Brně. Maple a základní znalosti z oblasti obyčejných diferenciálních rovnic.

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

Laboratorní cvičení - Integrální počet v R

vysledek = ((1:1:50).*(100-(1:1:50))) *ones(50,1) vysledek = ((1:1:75)./2).*sqrt(1:1:75) *ones(75,1)

Úvodní informace. 17. února 2018

3. ÚVOD DO ANALYTICKÉ GEOMETRIE 3.1. ANALYTICKÁ GEOMETRIE PŘÍMKY

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

Občas se používá značení f x (x 0, y 0 ), resp. f y (x 0, y 0 ). Parciální derivace f. rovnoběžného s osou y a z:

Úvod do programu MAXIMA

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Interpolace a aproximace dat.

1. Funkce dvou a více proměnných. Úvod, limita a spojitost. Definiční obor, obor hodnot a vrstevnice grafu

. 1 x. Najděte rovnice tečen k hyperbole 7x 2 2y 2 = 14, které jsou kolmé k přímce 2x+4y 3 = 0. 2x y 1 = 0 nebo 2x y + 1 = 0.

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

MASARYKOVA UNIVERZITA. Funkce dvou proměnných: definiční obor, hledání extrémů, grafické znázornění

Příklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 2. Určete a načrtněte definiční obory funkcí více proměnných: a) (, ) = b) (, ) = 3. c) (, ) = d) (, ) =

Základy matematiky pracovní listy

Základy algoritmizace a programování

CVIČNÝ TEST 27. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Analytická geometrie přímky, roviny (opakování středoškolské látky) = 0. Napište obecnou rovnici. 8. Jsou dány body A [ 2,3,

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

4 Přesné modelování. Modelování pomocí souřadnic. Jednotky a tolerance nastavte před začátkem modelování.

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE

Rovnice přímky. s = AB = B A. X A = t s tj. X = A + t s, kde t R. t je parametr. x = a 1 + ts 1 y = a 2 + ts 2 z = a 3 + ts 3. t R

5.3. Implicitní funkce a její derivace

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N


GRAF FUNKCE NEPŘÍMÁ ÚMĚRNOST

Definice: Kružnice je množina bodů v rovině, které mají od daného bodu (střed S) stejnou vzdálenost

17 Kuželosečky a přímky

1 Topologie roviny a prostoru

Definice globální minimum (absolutní minimum) v bodě A D f, jestliže X D f

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

Základní topologické pojmy:

Matematika I pracovní listy

Odvození středové rovnice kružnice se středem S [m; n] a o poloměru r. Bod X ležící na kružnici má souřadnice [x; y].

Definice Řekneme, že funkce z = f(x,y) je v bodě A = [x 0,y 0 ] diferencovatelná, nebo. z f(x 0 + h,y 0 + k) f(x 0,y 0 ) = Ah + Bk + ρτ(h,k),

Matematická funkce. Kartézský součin. Zobrazení. Uspořádanou dvojici prvků x, y označujeme [x, y] Uspořádané dvojice jsou si rovny, pokud platí:

1 Základy práce s programem Maple

Matematická analýza III.

Kapitola 1: Reálné funkce 1/20

Matematická analýza III.

8 Plochy - vytvoření, rozdělení, tečná rovina a normála. Šroubové plochy - přímkové, cyklické. Literatura:

Průběh funkce jedné proměnné

Extrémy funkce dvou proměnných

Význam a výpočet derivace funkce a její užití

Parametrické rovnice křivek

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 2 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

METODA PŮLENÍ INTERVALU (METODA BISEKCE) METODA PROSTÉ ITERACE NEWTONOVA METODA

Kapitola 5. Seznámíme se ze základními vlastnostmi elipsy, hyperboly a paraboly, které

MATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

Diferenciální rovnice I

Matematika vzorce. Ing. Petr Šídlo. verze

Test M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

Matematika 1 pro PEF PaE

22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace

Parametrická rovnice přímky v rovině

Kreslení grafů v Matlabu

s p nazýváme směrový vektor přímky p, t je parametr bodu

5. cvičení z Matematiky 2

Gymnázium, Brno, Elgartova 3

CZ 1.07/1.1.32/

KMA/G2 Geometrie 2 9. až 11. cvičení

obecná rovnice kružnice a x 2 b y 2 c x d y e=0 1. Napište rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A[-3;2].

Průběh funkce pomocí systému MAPLE.

Obsah a průběh zkoušky 1PG

Petr Hasil

Transkript:

1. Krivky krivky zadane parametrickymi rovnicemi krivka K: x = f(t), y = g(t), t 2interval <a,b obrazek dostanu pomoci: plot([f(t),g(t),t = a..b]) Primka rovnobezna s osou y plot([1, y, y = -2.. 3], thickness = 3, linestyle = dash); Primka rovnobezna s osou x plot([x, 1, x = -3.. 3], thickness = 3, linestyle = dashdot);

Elipsa plot([3*cos(t), sin(t), t = 0.. 2*Pi], scaling = constrained);

Asymptoty plot([[x, 1/(x-1), x = -4.. 4], [1, y, y = -15.. 15]], discont = true, linestyle = [solid, dash]);

a := plot([x, 1/(x-1), x = -4.. 4], discont = true, linestyle = solid, view = [-4.. 4, -15.. 15]): b := plot([1, y, y = -15.. 15], discont = true, linestyle = dash, color = grey): plots[display](a, b);

krivky popsane rovnici krivka K: F(x,y)=0 obrazek dostanu pomoci prikazu z balicku plots: implicitplot( F(x,y) = 0, x = min.. max, y = min.. max ) a := plots[implicitplot](x = 1, x = -1.. 3, y = -10.. 10, linestyle = dash, color = grey); b := plot(1/(x-1), x = -4.. 4, discont = true); plots[display](a, b, view = [-2.. 3, -5.. 5]); (1.2.1) (1.2.2)

plots[implicitplot](x^2+4*(y+1)^2 = 1, x = -5.. 5, y = -3.. 1, scaling = constrained, numpoints = 5000);

obrazek v souradnem systemu, kde meritka na jednotlivych osach jsou stejne, t.j. v pomeru 1:1 (scaling = constrained) aby se obrazek "vyhladil" - vice bodu, ve kterych Maple vyhodnocuje predpis krivky (numpoints = 5000 (napriklad)) 2. Uzitecne poznamky kresleni geometrickych utvaru Bod: plot([[1, 2]], style = point, symbol = diamond, symbolsize = 20);

Mnozina bodu: plot([[1, 2], [1, 3], [2, 0]], style = point, symbol = solidcircle, symbolsize = 20);

Body lezici na grafu funkce: plot(x^2, x = 0.. 2, style = point, symbolsize = 30, numpoints = 5, adaptive = false);

Usecka: plot([[1, 1], [2, 3]], thickness = 3, view = [0.. 3, 0.. 4]);

Jiny zpusob - pouziti balicku plottools with(plottools); with(plots); (2.1.1) display(line([1, 1], [2, 3]), view = [0.. 3, 0.. 4]);

display(point([1, 1], symbol = cross, symbolsize = 25));

display(curve([[1, 2], [2, 0], [3, 1], [4, 2], [0, 0]]));

titulek s matematickym vyrazem plot(exp(x), x = -5.. 0, title = typeset("graf funkce ", exp(x), " na intervalu ", [-5, 0]), titlefont = ["Helvetica", 16]);

plot(exp(x), x = -5.. 0, title = typeset("graf funkce ", exp(x), " na intervalu ", [-5, 0]), titlefont = ["Helvetica", 16]);

plot(exp(x), x = -5.. 0, title = typeset("graf funkce ", exp(x), " na intervalu ", [-5, 0]), titlefont = ["Helvetica", 16]);

plot(exp(x), x = -5.. 0, title = typeset("graf funkce ", exp(x), " na intervalu ", [-5, 0]), titlefont = ["Helvetica", 16]);

gridlines plot([[1.4, 3], [2.5, 4], [.7, 1.9]], style = point, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, view = [0.. 3, 0.. 5], gridlines = true);

plot([[1.4, 3.6], [2.5, 2.3], [.7, 1.9]], style = point, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, view = [0.. 3, 0.. 5], axis = [gridlines = [color = "grey", linestyle = dash]], tickmarks = [[.7, 1.4, 2.5], default]);

plot([[1.4, 3.6], [2.5, 2.3], [.7, 1.9]], style = point, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, view = [0.. 3, 0.. 5], axis = [gridlines = [color = "grey", linestyle = dash]], tickmarks = [[.7, 1.4, 2.5], [3.6, 2.3, 1.9]]);

plot([[1.4, 3.6], [2.5, 2.3], [.7, 1.9]], style = point, symbol = solidcircle, symbolsize = 20, view = [0.. 3, 0.. 5], axis[1] = [gridlines = [color = "grey", linestyle = dash]], tickmarks = [[.7, 1.4, 2.5], [3.6, 2.3, 1.9]]);

3. Grafy funkci dvou promennych plot3d - options - color, style, tickmarks, title, view... - transparency = 0 default (0 - netransparentni, 1 - transparentni) - grid = [25,25] default - y = f(x).. g(x) - definicni obor nemusi byt jenom kartezsky soucin intervalu plot3d(x^2+y^2, x = -1.. 1, y = -1.. 1, axes = boxed, grid = [20, 10]);

plot3d(x^2+y^2, x = 0.. 2, y = -2.. 2*x, transparency = 1/3, axes = normal, axis[1] = [color = blue], axis[2] = [color = red], style = polygonoutline);

vic grafu v jednom obrazku pouzitim seznamu plot3d([sin(x+y), cos(x+y)], x = -2.. 2, y = -2.. 2, color = [red, blue], axes = boxed, lightmodel = light1, style = surface);

Poznamka: A list of three algebraic expressions or procedures is always interpreted as a parametric plot. To specify a list of three distinct plots, the option plotlist=true (or simply plotlist) must be provided. plot3d([x, y, x+y], x = -1.. 1, y = -1.. 1, axes = framed);

plot3d([x, y, x+y], x = -1.. 1, y = -1.. 1, axes = framed, plotlist = true);

pouzitim prikazu display a := plot3d(x^2+y^2, x = -4.. 4, y = -4.. 4, transparency = 1/2, axes = framed, color = blue); (3.2.2.1) b := plot3d(-x^2-y^2+20, x = -4.. 4, y = -4.. 4, transparency = 1/2, axes = framed, color = red); (3.2.2.2) plots[display](a, b, view = [-5.. 5, -5.. 5, 0.. 30]) ;

vrstevnice plots[contourplot](sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi);

plots[contourplot](sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi, contours = [-1/2, 1/4, 1/2]);

plots[contourplot](sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi, contours = 20);

nastavenim hodnoty parametru style v prikazu plot3d plot3d(sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi, style = surfacecontour, contours = [-2/3, -1/2, 0, 1/2, 2/3]);

plot3d(sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi, style = contour, filledregion = true, linestyle = solid, color = black);

prikazem contourplot3d z balicku plots plots[contourplot3d](sin(x)*sin(y), x = -Pi.. Pi, y = -Pi.. Pi, contours = 20, filledregion = true, coloring = [violet, black], transparency = 2/3);

a jejich prumetu do roviny z = konst (vrstevnice pro z = 0) do jedneho obrazku with(plottools); (3.3.3.1) with(plots); (3.3.3.2)

p := plot3d(1/(x^2+y^2+1), x = -2.. 2, y = -2.. 2, style = contour, contours = 8, filledregion = true, color = pink); [Length of output exceeds limit of 1000000] (3.3.3.3) q := contourplot(1/(x^2+y^2+1), x = -2.. 2, y = -2.. 2); (3.3.3.4) f:=transform((x,y)-[x, y, 0]): display({p, f(q)}, axes = boxed); 4. Plochy plochy zadane parametrickymi rovnicemi plocha: x = f (t,s)

h(t,s)], t = a..b, s = c..d) z = h (t,s), t 2 <a,b, s 2 <c,d plochy popsane rovnici plocha: [implicitplot3d]( F(x,y,z) = 0, x = min..max, y = min..max, z = min..max ) plots[implicitplot3d](x^2+y^2+z^2 = 10, x = -4.. 4, y = -4.. 4, z = -4.. 4, axes = frame, style = surface, grid = [50, 50, 50]);

vic ploch v jednom obrazku pomoci prikazu display a := plots[implicitplot3d](x^2+y^2+z^2 = 2, x = -1.5.. 1.5, y = -1.5.. 1.5, z = -1.5.. 1.5, style = surfacecontour, color = black, grid = [50, 50, 50], transparency =.5); [Length of output exceeds limit of 1000000] (4.3.1.1) b := plot3d([sin(t)*cos(s), cos(t)*sin(s), cos(t)], t = 0.. 2*Pi, s = 0.. 2*Pi, transparency =.5); plots[display](b, a, axes = boxed); (4.3.1.2)

pomoci seznamu plots[implicitplot3d]([x = 1/2, y = 1, z = 1.5], x = 0.. 2, y = 0.. 2, z = 0.. 2, axes = boxed, color = [pink, violet, grey]);