3.. ocnost bodu e ružnici Předpolady: 03009 Př. : Je dána ružnice a bod, ležící vně ružnice. Veď bodem dvě různé sečny ružnice p a p. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Průsečíy sečny p s ružnicí označ A, B. Změř potřebné vzdálenosti a spočti součiny: A B, A B. Vysvětli. B A A B A =,6, B = 8,57, A = 3,96, B = 5, 69 A B =,6 8,57 =, 4 A B = 3,95 5, 68 =, 4 Oba součiny se (v rámci přesnosti měření) rovnají. Ke stejnému výsledu dospěli dojdeme pro aždé onrétní zadání nejde o náhodu, ale o záonitost. Proč? Doreslíme do obrázu další dvě úsečy: A B a A B : B A A B Zísali jsme dva trojúhelníy A B a A B. Oba trojúhelníy se shodují ve dvou úhlech:
α je společný úhel u společného vrcholu, β jsou shodné obvodové úhly nad oblouem A A, oba trojúhelníy jsou si podobné. A A Použijeme poměry odpovídajících si stran: = A B = A B. B B Př. : Rozhodni, zda rovnost A B = A B platí i v případě, že bod leží uvnitř ružnice. B A B A Opět najdeme dva podobné trojúhelníy A B a A B se shodnými úhly: α jsou vrcholové úhly u společného vrcholu, β jsou shodné obvodové úhly nad oblouem A A. I v tomto případě tedy platí: A B = A B. Pedagogicá poznáma: labší studenti, teří nezvládnou nalézt podobné trojúhelníy, mohou zusit alespoň přeměření úseče a výpočet součinu. Hodnota součinu A volbě sečny součin A se součinem A B je pro daný bod a danou ružnici vždy stejná a nezáleží na B zabývat. B charaterizuje polohu bodu vůči ružnici má smysl Libovolnému bodu roviny lze přiřadit reálné číslo m, pro něž platí: m = A B, de A, B jsou průsečíy dané ružnice s libovolnou sečnou procházející bodem. m > 0 pro body vně ružnice, m = 0 pro body, m < 0 pro body uvnitř ružnice. Číslo m se nazývá mocnost bodu e ružnici.
Př. 3: Urči pomocí mocnosti bodu e ružnici délu tečny vedoucí z bodu e ružnici. B A A B Vztah A B = A B platí pro libovolnou sečnu pohybujeme sečnou ta, aby se postupně blížila tečně bod A se blíží bodu A se blíží, bod B se blíží bodu B se blíží, součin A B se blíží součinu Platí tedy: A B = m =. = m. Poloha bodu vůči ružnici je romě mocnosti bodu dána taé vzdáleností v = a poloměrem ružnice r musí existovat způsob ja vypočítat mocnosti bodu e ružnici pomocí v a r. Př. 4: Najdi vzorec pro výpočet mocnosti bodu vzhledem e ružnici pomocí vzdálenosti v = a poloměru ružnice. ocnost bodu vzhledem e ružnici můžeme určit pomocí libovolné sečny zvolíme sečnu, terá prochází středem ružnice (úseča je částí této přímy). B A r v A B 3
Vyjádříme vzdálenosti: A = v r, B = v + r. m = A B = ( v r)( v + r) = v r Dodate: tejný výslede zísáme i z jiného obrázu: r v A B rojúhelní je pravoúhlý, proto platí: = m = v r. Př. 5: Je dána ružnice ( ; 7cm) r = a bod ; = cm. Najdi taovou sečnu ružnice procházející bodem, aby jeden její průsečí byl středem úsečy s rajními body v bodě a v druhém průsečíu. Označíme průsečí sečny, terý je blíže bodu jao A, potom platí: B = A. Pro mocnosti bodu vzhledem e ružnici : Určení mocnosti pomocí vzdálenosti a poloměru r: A = m m 7 cm 6cm m = A B = A A = A. = = 7 = 7. m v r A = = = bod A leží na ružnici ( ;6cm) l. 4
B l A A B Př. 6: (BONU) Doaž z naresleného obrázu vztah A B =. A B Vyznačený úhel A je úseovým úhlem menšího oblouu A, vyznačený úhel BA je obvodovým úhlem menšího oblouu A, oba vyznačené úhly jsou shodné trojúhelníy B a A jsou si podobné (shodují se taé ve společném úhlu α ). 5
A B Z poměrů stran trojúhelníů B a A: B = A A B =. Př. 7: Petáová: strana 89/cvičení 57 hrnutí: 6