4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = 4 a x = 4 Dále podle kladného znaménka a = 1 (nerovnice x 16 ) víme že je konvexní kvadratického koeficientu ( ) -4 4 Hledáme kdy je splněno s osou x) Čili x ( 4 4 ) x 16 tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků tj interval ( 0 ) x > 0 > x x ( 4 4 ) ( ) Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy ( ) Tedy D ( f ) = ( 4 4 b) g ( x) = x 4 log ( x 15) x 4 ( x + )( x ) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = a x = Dále podle kladného a = 1 (nerovnice x 4 ) víme že je konvexní
- Hledáme kdy je splněno x 4 tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků s osou x) Čili x ( ) tj interval ( 0 ) x 15 > 0 x > 15 x 15 (( ) ( 15 )) x Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy ( ) Tedy D ( f ) = ( 15 ) c) g ( x) = 6 9 x + log ( x + 1) 5 9 x ( 3 + x) ( 3 x) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = 3 a x = 3 Dále podle záporného a = 1 (nerovnice 9 x ) víme že je konkávní -3 3
Hledáme kdy je splněno 9 x tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků s osou x) Čili x 33 tj interval ( 0 ) x + 1 > 0 x > 1 x 1 ( ) Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy x 33 ( 1 ) Tedy D ( f ) = ( 13 d) g ( x) = 8 1 9x + log ( x 1) 1 9x ( 1+ 3 x) ( 1 ) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že 1 1 průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = a x = Dále podle záporného 3 3 a = (nerovnice 1 9x ) víme že je konkávní znaménka kvadratického koeficientu ( 1) -1/3 1/3 Hledáme kdy je splněno 1 9x tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků 1 1 s osou x) Čili x 3 3
tj interval ( 0 ) x 1 > 0 x > 1 x > čili 1 1 x Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy 1 1 1 x 3 3 Tyto intervaly však žádný průnik nemají proto D ( f ) = 6 g x = x x e) ( ) -1/3 1/3 1/ 4 log 6 4 x ( + x) ( x) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = a x = Dále podle záporného a = 1 (nerovnice 4 x ) víme že je konkávní - Hledáme kdy je splněno 4 x tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků s osou x) Čili x tj interval ( 0 ) x > 0
čili x ( 0 ) ( ) Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy x ( 0 ) Tyto intervaly však žádný průnik nemají proto D ( f ) = (0 f) g ( x) = x 9 ln ( x) x 9 ( x + 3 )( x 3) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = 3 a x = 3 Dále podle kladného a = 1 (nerovnice x 9 ) víme že je konvexní -3 3 Hledáme kdy je splněno s osou x) Čili x ( 3 3 ) x 9 tedy kdy graf zasahuje nad osu x (včetně průsečíků tj interval ( 0 ) x > 0 x < 0 x 0 ( 3 3 ) ( 0) Podmínky I) a II) musí platit zároveň řešíme tedy ( )
Tedy D ( f ) = ( 3 g) g ( x) = 40 + x Připomeneme si že definiční obor sudé odmocniny je interval 0 ) tedy výraz pod odmocninou musí být Řešíme nerovnici: 40 + x Nejprve určíme nulové body čitatele a jmenovatele V čitateli řešíme kvadratickou rovnici = 0 resp x 10 = 0 Tato rovnice má dva kořeny x = a x = 5 Řešíme-li kvadratickou nerovnici pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly vidíme že průsečíky s osou x jsou výše nalezené kořeny x = a x = 5 Dále podle záporného znaménka a = 1 (první rovnice x + + 10 = 0) víme že je konkávní kvadratického koeficientu ( ) - 5 Čili v intervalech ve kterých graf zasahuje pod osu x nabývá x + + 10 záporných hodnot a v intervalech ve kterých zasahuje nad osu x nabývá kladných hodnot Ve jmenovateli řešíme 40 + x = 0 Tento výraz ovšem vždy nabývá kladných hodnot (tj nemá žádné nulové body) Nyní rozhodneme ve kterých intervalech nabývá čitatel resp jmenovatel kladných resp záporných hodnot Nakonec určíme znaménko celého zlomku 5 5 ( ) ( ) ( ) x + + 10 - + - x + 40 + + + 40 + x - + -
Protože jsme řešili nerovnici zajímají nás intervaly ve kterých nabývá 40 + x 10 + x zlomek nezáporných hodnot Tedy x 5 3 x x Všimněte si že interval je uzavřený protože obě hodnoty ( x = a x = 5 ) jsou nulové body čitatele který se vynulovat může protože jsme řešili neostrou nerovnost (v nerovnici bylo =) Tedy D ( f ) = 5