M - Matematika - třída DOP celý ročník Učebnice obsahující učivo celého. ročníku. VARIACE Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete na www.dosli.cz.
± Nerovnice s absolutní hodnotou Nerovnice s absolutní hodnotou Postup řešení nerovnic s absolutní hodnotou je vlastně jakousi kombinací postupu řešení rovnic s absolutní hodnotou a řešení nerovnic. Ukázkové příklady: Příklad : Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x + < 8 Řešení:. Stanovíme nulové body; v tomto případě jím je číslo (-). Nulové body znázorníme na číselné ose 3. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î (- ; -); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce změníme znaménko: (-x - ) < 8 -x - < 8 -x < 0 x > -0 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy otevřený interval (-0; -) () 4. Řešíme nerovnici pro případ, že x Î <-; + ); v tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty kladný, proto ji změníme na závorku a u všech členů v této závorce nezměníme znaménko: (x + ) < 8 x+<8 x<6 Řešili jsme ale za předpokladu výše uvedeného intervalu, proto musíme udělat průnik obou intervalů: Řešením této části je tedy zleva uzavřený interval <-; 6) () 5. Nyní uděláme sjednocení výsledků () a (), protože nerovnice má řešení, pokud platí kterýkoliv z nich: Celkovým řešením je tedy K = (-0; 6). Příklad : Řešte v oboru reálných čísel nerovnici x - + x < Řešení: Nulovým bodem je číslo. 0.0.007 :34:7 z 50
. x Î (- ; ) (-x + ) + x < -x + + x < 0x < 0 <... platí vždy Celkovým řešením první části je tedy K = (- ; ). x Î <; + ) (x - ) + x < x-+x< x < 3 x <,5 Celkovým řešením druhé části je tedy K = <;,5) 3. Provedeme sjednocení výsledků () a (): Celkovým řešením je tedy K = (- ;,5) () () Příklad 3: Řešte v oboru reálných čísel nerovnici: ³5 x - 3 Řešení: Nulovým bodem je číslo,5. x Î (- ;,5) ³5 - x + 3-5 ³ 0 - x + 3-5.( - x + 3) ³0 - x + 3 + 0 x - 5 ³0 - x + 3 0 x - 4 ³0 - x + 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 5x - 7 ³0 3 - x a) 5x - 7 ³ 0 Ù 3 - x > 0 b) 5x - 7 0 Ù 3 - x < 0 x ³ 7/5 Ù x < 3/ x 7/5 Ù x > 3/ x Î <7/5; 3/) x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î <7/5; 3/); je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (- ;,5), proto musíme provést průnik: Tím je K = <7/5; 3/). x Î (,5; + ) ³5 x - 3-5 ³ 0 x - 3 0.0.007 :34:7 z 50
- 5.( x - 3) ³0 x - 3-0 x + 5 ³0 x - 3 6-0 x ³0 x - 3 Celou nerovnici můžeme vykrátit dvěma; jedná se o kladné číslo, proto znak nerovnice se nezmění. 8-5x ³0 x - 3 a) 8-5x ³ 0 Ù x - 3 > 0 b) 8-5x 0 Ù x - 3 < 0 x 8/5 Ù x > 3/ x ³ 8/5 Ù x < 3/ x Î (3/; 8/5> x Î{} Celkovým řešením částí a), b) je x Î (3/; 8/5> ; je to ale za předpokladu, že platí interval x Î (,5; + ), proto musíme provést průnik: Tím je K = (3/; 8/5> 3. Celkovým řešením je tedy sjednocení K a K, což je K = <7/5; 3/) È (3/; 8/5> ± Nerovnice s absolutní hodnotou - procvičovací příklady. 08 K=R. 088 K={} 3. 09 4. 090 K=R 5. 078 6. 077 0.0.007 :34:7 K=R 3 z 50
7. 079 8. 084 9. 080 K={} 0. 08. 083. 087 K = {,5} 3. 089 K={} 4. 085 5. 086 ± Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice Soustava kvadratické a lineární rovnice je soustava dvou rovnic, z nichž jedna rovnice je lineární a druhá rovnice je kvadratická. Takovouto soustavu řešíme zpravidla tak, že z lineární rovnice vyjádříme jednu neznámou a tu pak dosadíme do rovnice kvadratické. Využíváme tedy metodu dosazovací. Po vyřešení získané kvadratické rovnice o jedné neznámé dosadíme získané řešení do výrazu, kde jsme z původní lineární rovnice 0.0.007 :34:7 4 z 50
vyjádřili první neznámou a vypočteme ji. Výsledek zapíšeme tradičně uspořádanou dvojicí. Ukázkové příklady: Příklad : Řešte soustavu rovnic: x + y = 74 3x - y = Řešení: x + y = 74 3x - y = x= + y 3 () æ+ y ö ç + y = 74 è 3 ø ( + y ) 9 + y = 74 + 4 y + 4 y + y = 74 9 + 4y + 4y + 9y = 666 3y + 4y - 665 = 0 y, 4 æ4ö - ± ç - 3.(- 665) - ± 8649 - ± 93 èø = = = 3 3 3 y = 7 y = -95/3 Dosadíme do rovnice () a vypočteme x: x = +.7 =5 3 æ 95 ö +.ç - è 3 ø = - 59 x = 3 3 Závěr: ì é 59 95 ù ü P = í[5;7], ê- ;- ú ý ë 3 3 û þ î Příklad : Řešte soustavu rovnic: x - y = 640 x:y=7:3 Podmínka řešitelnosti je, že y ¹ 0 Z druhé rovnice vyjádříme x: x = 7y/3 () Dosadíme do rovnice první: 0.0.007 :34:7 5 z 50
æ 7y ö ç - y = 640 è 3 ø 49 y - y = 640 9 49y - 9y = 5760 40y = 5760 4y = 576 y = 44 y = y = - Dosadíme do rovnice () a dopočteme x: x = 7. : 3 = 8 x = 7. (-) : 3 = -8 Závěr: K = {[8;]; [- 8;-]} ± Soustava kvadratické a lineární rovnice - procvičovací příklady. 75 K = {[0; 0], [; 4]}. 76 K = {[0; -]} 3. 69 4. 73 0.0.007 :34:7 6 z 50
5. 77 K = {[3; 0]} 6. 7 7. 7 8. Řešte soustavu rovnic: 74 9. 70 K = {[3; 0]} ± Iracionální rovnice Iracionální rovnice Iracionální rovnicí nazýváme takovou rovnici, která má neznámou pod odmocninou. Při řešení iracionálních rovnic používáme zpravidla neekvivalentní úpravy (tj. takové úpravy, po jejichž provedení se může změnit řešení rovnice), proto musíme vždy provést zkoušku. 0.0.007 :34:7 7 z 50
Mezi neekvivalentní úpravy, které budeme u těchto typů příkladů používat, patří nejčastěji umocnění rovnice na druhou. Umocnění rovnice provedeme tak, že umocníme levou i pravou stranu rovnice. Pozn.: Umocněním obou stran rovnice na druhou dostaneme rovnici, pro kterou platí: Každý kořen původní rovnice je i kořenem této nové rovnice. Obráceně to ale neplatí! Ukázkové příklady: Příklad : Řešte rovnici: x - x + 0 = x - 0 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x - x + 0 = (x - 0) x - x + 0 = x - 0x + 00 po úpravě: x=5 Zkouška: L = 5 -.5 + 0 = 5 P = 5-0 = -5 L¹P Daná rovnice tedy nemá řešení. Příklad : Řešte rovnici: x +7 = x -5 Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: x + 7 = (x - 5) Po úpravě x + 7 = x - 0x + 5 Dostali jsme kvadratickou rovnici, u níž zjistíme, že má kořeny a 9. Zkouška: L() = + 7 = 9 = 3 P() = - 5 = -3 L() ¹ P() Kořen tedy není řešením. 0.0.007 :34:7 8 z 50
L(9) = 9 + 7 = 6 = 4 P(9) = 9-5 = 4 L(9) = P(9) Kořen 9 tedy je řešením zadané iracionální rovnice. Příklad 3: Řešte rovnici: 5-5 x = 3 x - Řešení: Umocněním dostaneme rovnici: (5-5x) = (3x - ) Po úpravě: x= Zkouška: L = 5-5. = - 5 Dále řešit nemusíme, protože v oboru reálných čísel neexistuje druhá odmocnina ze záporného čísla. Závěr tedy je, že iracionální rovnice nemá řešení. Příklad 4: Řešte rovnici: x+9 +3 x = 7 Řešení: Umocněním rovnice na druhou dostaneme: x + 9 + 6 x x + 9 + 9 x = 49 Po ekvivalentních úpravách: 3 x x + 9 = 0-5 x Umocníme ještě jednou a dostaneme: 9x + 8x = 400-00x + 5x Po úpravě: 6x - 8x + 400 = 0 Kořeny této rovnice jsou čísla 6 a 5/6 Zkouškou se přesvědčíme, že kořenem zadané iracionální rovnice je pouze číslo 5/6. Příklad 5: Řešte rovnici: x + 9 = 5 Kromě běžného, už uvedeného, postupu můžeme zde použít i následující úvahu: 0.0.007 :34:7 9 z 50
Výraz na levé straně rovnice je definován pro libovolné reálné číslo a je pro libovolné reálné číslo nezáporný, proto rovnice x + 9 = 5 je ekvivalentní s rovnicí původní. Rovnice x + 9 = 5 má dvě řešení, a to x = 4 a x = -4. Tato řešení jsou tedy i řešeními rovnice původní. S ohledem na to, že jsme provedli pouze ekvivalentní úpravy, nemusíme v podstatě ani dělat zkoušku. Pro nezáporná čísla u, v je totiž u = v právě tehdy, když platí u = v. ± Iracionální rovnice - procvičovací příklady. 95 9. 90-5/3 3. 89 5 4. 88,5 5. 8 Nemá řešení 6. 96 P = {8; 4} 7. 79 ±3 8. 78 0 9. 84 0. 9 93 Řešte rovnici: (x + )(. x - 5) 0.0.007 :34:7 7-3x = 0-3 0 z 50
. 80. 3 86 Řešte rovnici: P = {0; 3} 3. 8 P = {0; } 4. 83 5. 8 94 Řešte rovnici: (x + 3)(. x - ) x.( - x ) = 0 6. 9 7. P = {9; -/3} 85 Řešte rovnici: - 8. 9-0,5 9. 87 Nemá řešení 0. 97 4 ± Lineární rovnice s parametrem Rovnice s parametrem Rovnice s parametrem obsahují kromě neznámé (značíme obvykle x, y, z, apod.) ještě další písmenko zvané parametr (značíme obvykle a, b, c, apod.). Rovnice s parametrem řešíme obdobně jako rovnice klasické, s parametrem pracujeme tak, jako kdyby místo něj bylo zadáno nějaké reálné číslo. V závěru řešení rovnice musíme provést diskusi vzhledem k parametru. Zkoušku u těchto rovnice, vzhledem k tomu, že budeme používat samé ekvivalentní úpravy, provádět nebudeme. 0.0.007 :34:7 z 50
Ukázkové příklady: Příklad : Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou x. m. (x - ) = x + m Řešení: Nejprve se snažíme na levou stranu rovnice soustředit všechny členy obsahující neznámou a na pravou stranu všechny členy zbývající. Roznásobíme tedy nejdříve závorku: mx - m = x + m mx - x = m Na levé straně se snažíme osamostatnit neznámou x. Vytkneme ji tedy před závorku: x. (m - ) = m Celou rovnici nyní dělíme závorkou na levé straně. Vše ale můžeme pouze za podmínky, že m¹ x= m m - Nyní provedeme diskusi vzhledem k parametru m: Příklad : Řešte rovnici s reálným parametrem m a neznámou y: 3 = 5- y m- Řešení: Za podmínky m ¹ můžeme odstarnit zlomek: 3 = (5 - y). (m - ) Roznásobíme závorky: 3 = 5m - 0 - my + y Na levou stranu soustředíme členy obsahující neznámou, na pravou všechny zbývající: my - y = 5m - 3 Na levé straně rovnice vytkneme y: y. (m - ) = 5m - 3 Celou rovnici vydělíme závorkou na levé straně; vzhledem k platnosti podmínky uvedené v prvním kroku, to můžeme provést snadno: y= 5m - 3 m- Provedeme diskusi vzhledem k parametru: 0.0.007 :34:7 z 50
Příklad 3: Řešte rovnici s reálným parametrem c a s neznámou x: (x + 3). (x - c) = x +3c - 8 Řešení: x - cx + 3x - 3c = x + 3c - 8 3x - cx = 6c - 8 x. (3 - c) = 6. (c - 3) Celou rovnici vydělíme (3 - c), avšak za předpokladu, že stanovíme podmínku c ¹ 3: x = -6 Provedeme diskusi vzhledem k parametru: Příklad 4: Řešení: Uvážíme-li m ¹ 0, pak můžeme odstranit zlomky: y + 6y - 8y = 5m - 0my 0y + 0my = 5m Celou rovnici vydělíme číslem 5: y + my = m y. ( + m) = m Uvážíme-li m ¹ -, pak celou rovnici můžeme závorkou vydělit: y= m.( + m) Provedeme diskusi vzhledem k parametru: ± Lineární rovnice s parametrem - procvičovací příklady 0.0.007 :34:7 3 z 50
. 970. 967 3. 977 4. 97 5. 983 0.0.007 :34:7 4 z 50
6. 978 x- = (4 x + ) 3 a a 7. 980 8. 966 9. 984 0. 973 0.0.007 :34:7 5 z 50
. 979. 98 3. 974 4. 968 5. 97 0.0.007 :34:7 Rovnice nemá smysl. 6 z 50
6. 98 7. 976 8. 969 9. 975 ± Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem Kvadratické rovnice s parametrem řešíme úplně stejným způsobem jako lineární rovnice s parametrem. Opět vždy provádíme diskusi řešení vzhledem k parametru. V této diskusi zpravidla uvedeme, pro jakou hodnotu 0.0.007 :34:7 7 z 50
parametru má rovnice dvě různá reálná řešení, pro jakou hodnotu parametru má jeden dvojnásobný kořen a pro jakou hodnotu nemá v oboru reálných čísel řešení. Někdy je nutno také uvést, pro jakou hodnotu parametru vyjde lineární rovnice. Příklad: Proveďte úplnou diskusi následující kvadratické rovnice s parametrem m a neznámou x: (m - 3)x - (3m + 9)x + 9m = 0 Řešení:. Pro m = 3... lineární rovnice. Předpokládejme, že m ¹ 3 Vypočteme diskriminant této kvadratické rovnice: D = b - 4ac = [-(3m + 9)] - 4.(m - 3).9m = 9m + 54m + 8-36m + 08m = = -7m + 6m + 8 a) D > 0... reálné různé kořeny... nastane tehdy, jestliže: -7m + 6m + 8 > 0 :(-9) 3m - 8m - 9 < 0 : 3 m - 6m - 3 < 0 Vzniklý trojčlen rozložíme na součin. K tomu si vyřešíme pomocnou kvadratickou rovnici m - 6m - 3 = 0 m, 6 ± 6-4..( -3) 6 ± 48 6 ± 4 3 3 ± 3 = = = = = 3± 3. m = 3 + Ö3 m = 3 - Ö3 Hledaný rozklad je tedy: [m - (3 + Ö3)]. [m - (3 - Ö3)] < 0 Mohou nastat dvě situace: aa) [m - (3 + Ö3)] > 0 [m - (3 - Ö3)] < 0 Odtud: m > 3 + Ö3 m < 3 - Ö3 Závěr: Prázdná množina ab) [m - (3 + Ö3)] < 0 [m - (3 - Ö3)] > 0 Odtud: m < 3 + Ö3 m > 3 - Ö3 Závěr: m Î (3-Ö3; 3) È (3; 3+Ö3) b) D = 0... Jeden dvojnásobný kořen... -7m + 6m + 8 = 0 :(-9) 3m - 8m - 9 = 0 : 3 m - 6m - 3 = 0 [m - (3 + Ö3)]. [m - (3 - Ö3)] = 0 m = 3 + Ö3 m = 3 - Ö3 nastane tehdy, jestliže: c) D < 0... V reálném oboru nemá řešení... nastane v doplňku situací a), b), tedy jestliže m Î (- ; 3-Ö3) È (3+Ö3; + ) ± Kvadratické rovnice s parametrem - procvičovací příklady 0.0.007 :34:7 8 z 50
. 57. 49 3. 47 4. 58 5. 5 6. 5 7. 50 8. 53 0.0.007 :34:7 9 z 50
9. 46 m = -0,4 nebo m = 6...... dva reálné různé kořeny jeden dvojnásobný kořen nemá řešení v R 0. 54. 55. 48 3. 56 ± Lineární funkce s absolutní hodnotou Lineární funkce s absolutní hodnotou Jedná se o funkci lineární, tedy funkci danou rovnicí y = ax + b, která ale ve svém zápise obsahuje absolutní hodnotu. Ukázkové příklady: Příklad : Narýsujte graf funkce y = x - 0.0.007 :34:7 0 z 50
Řešení: Podobně jako při řešení rovnic nebo nerovnic s absolutní hodnotou nejprve stanovíme nulové body, tj. bod, v nichž jednotlivé absolutní hodnoty nabývají nulových hodnot. V tomto případě je nulový bod pouze jeden, a jím je číslo. Řešení máme tedy rozděleno na dvě části:. x < V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty záporný, proto absolutní hodnotu odstraníme tak, že ji změníme na závorku, ale před ní bude znaménko minus. Narýsujeme tedy graf funkce y = -(x - ), neboli y = -x +, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x <. x ³ V tomto případě je vnitřek absolutní hodnoty nezáporný, proto ji odstraníme tak, že ji změníme na závorku. Rýsujeme tedy graf funkce y = x -, ale z tohoto grafu využijeme pouze část, kde x ³ Závěr: Příklad : Narýsujte graf funkce y = x - Řešení: Nulovým bodem je 0,5. x < 0,5 Rýsujeme graf funkce y = -x + a využíváme část, kde x < 0,5. x ³ 0,5 Rýsujeme graf funkce y = x - a využíváme část, kde x ³ 0,5 Závěr: 0.0.007 :34:7 z 50
± Lineární funkce s absolutní hodnotou - procvičovací příklady. 83. 8 0.0.007 :34:7 z 50
3. 79 4. 75 5. 8 0.0.007 :34:7 3 z 50
6. 76 7. 80 8. 84 0.0.007 :34:7 4 z 50
9. 77 0. 78. 74 ± Exponenciální funkce Exponenciální funkce Definice: x Exponenciální funkce je funkce, která je dána rovnicí y = a, kde a > 0 a zároveň a ¹ Grafem exponenciální funkce je křivka, kterou nazýváme exponenciála (exponenciální křivka). její průběh je velmi závislý na velikosti čísla a. Je-li a >, pak je průběh následující: 0.0.007 :34:7 5 z 50
Je-li 0 < a <, pak je průběh následující: x Je-li základ exponenciální funkce číslo 0, pak ji nazýváme dekadickou exponenciální funkcí. Má rovnici y = 0 Je-li základem exponenciální funkce číslo e (Eulerovo číslo), pak se funkce nazývá přirozená exponenciální x funkce. Má rovnici y = e. Pozn.: Eulerovo číslo e =,78 8... Vlastnosti exponenciální funkce: ± Exponenciální funkce - procvičovací příklady 0.0.007 :34:7 6 z 50
. 86. 90 3. a> Narýsujte graf funkce y = 0,5x-3 95 4. 9 0.0.007 :34:7 a> 7 z 50
5. x-3 Je dána funkce f: y = 0,5. Narýsujte graf funkce f( x ). 98 6. Je dána funkce f: y = 0,5x-3. Narýsujte graf funkce f(x) 97 7. Je dána funkce f: y = 0,5x-3. Narýsujte graf funkce f( x ) 99 0.0.007 :34:7 8 z 50
8. 93 9. 303 0. 88 0.0.007 :34:7 9 z 50
. 85. Narýsujte graf funkce y = 0,5x+3 96 3. 30 0.0.007 :34:7 30 z 50
4. 300 5. 94 6. 89 0.0.007 :34:7 3 z 50
7. 304 8. 9 9. 30 0.0.007 :34:7 3 z 50
0. 87 ± Logaritmická funkce Logaritmická funkce Definice: Logaritmická funkce je funkce, která je dána rovnicí y = logax. Jedná se o funkci inverzní k exponenciální funkci o stejném základu. Pozn.: Inverzní funkci získáme záměnou x a y v předpisu funkce. Grafy funkce a funkce k této funkci inverzní jsou souměrné podle osy I. a III. kvadrantu. y Pozn.: Zápis y = logax vyjadřuje totéž jako zápis x = a Graf logaritmické funkce se nazývá logaritmická křivka (logaritma). Průběh grafu logaritmické funkce v závislosti na velikosti a: 0.0.007 :34:7 33 z 50
Funkční hodnoty logaritmické funkce se nazývají logaritmy. Vlastnosti logaritmické funkce: Při konstrukci grafu logaritmické funkce postupujeme zpravidla tak, že k zadané rovnici logaritmické funkce vytvoříme rovnici funkce k ní exponenciální. Graf vzniklé exponenciální funkce snadno narýsujeme a pak sestrojíme graf souměrný podle osy I. a III. kvadrantu. ± Logaritmická funkce - procvičovací příklady. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 38. 34 0.0.007 :34:7 34 z 50
3. Je dána funkce f: y = log/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ). 3 4. 336 5. 36 6. 30 7. 337 0.0.007 :34:7 35 z 50
8. 307 9. 308 0. 38. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 33. 330 0.0.007 :34:7 36 z 50
3. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4(-x) 35 4. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4x 36 5. 306 0.0.007 :34:7 37 z 50
6. 33 7. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = -log4x 34 8. 39 9. 33 0.0.007 :34:7 38 z 50
0. Určete definiční obor funkce a narýsujte její graf. f: y = log4 x 37. 37. Je dána funkce f: y = log/3(x + ). Narýsuj graf funkce f(x). 30 3. 309 0.0.007 :34:7 39 z 50
4. 35 5. 3 6. 335 7. 33 0.0.007 :34:7 40 z 50
8. 3 9. Je dána funkce f: y = log/3(x + ). Narýsuj graf funkce f( x ). 3 30. 333 3. 334 3. 305 0.0.007 :34:7 4 z 50
33. Narýsuj graf funkce y = log/3(x + ) 39 ± Logaritmy Logaritmy a jejich vlastnosti Definice logaritmu daného čísla: Logaritmus daného kladného čísla při základu a > 0 a zároveň a ¹ je takové číslo y, kterým musíme umocnit základ, abychom dostali logaritmované číslo x. Zapisujeme: loga x = y Û x = a y [Čteme logaritmus z čísla x při základu a] Určování logaritmů daných kladných čísel se nazývá logaritmování. Obrácená operace se nazývá odlogaritmování. Vlastnosti logaritmů: Logaritmus jedné při libovolném základu a > 0, a ¹ je roven nule. Logaritmus z čísla stejného, jakým je i základ, je roven jedné. Logaritmus z čísla většího než jedna je kladný, logaritmus z čísla menšího než jedna je záporný. Logaritmus při základu 0 se nazývá logaritmus dekadický. Logaritmus při základu e se nazývá logaritmus přirozený. 0.0.007 :34:7 4 z 50
Příklad : Vypočtěte log5 5 Řešení: Podle definice převedeme na výpočet 5 = 5 Odtud snadno zjistíme, že y = y Příklad : Vypočtěte základ logaritmu, jestliže platí logz 6 = 3 Řešení 3 Podle definice převedeme na výpočet z = 6 3 3 3 Protože platí 6 = 6, pak z = 6 a odtud z = 6 Příklad 3: Určete, jaké číslo musíme logaritmovat, abychom při základu logaritmu 0, dostali číslo - Řešení: - Podle definice převedeme výpočet log0,x = - na tvar 0, = x. Odtud snadno vypočteme, že x = 0. ± Logaritmy - procvičovací příklady 0.0.007 :34:7 43 z 50
. 383 6. 37 0,5 3. 373 4. 0,5 Stanovte číslo x, platí-li log0 = - 39 0, 5. 39 /3 6. 386 3 3 7. 385 4 8. 377 0,5 9. 384 /3 0. 388 0.0.007 :34:7 6 44 z 50
. 38 Určete log4 (log4 4) 0. 375 0,5 3. 378 4. 387 5. 374 0,5 6. 38 6 7. 379 6 8. 393 9. 376 0,375 0. 394. 390 0,. 380 0.0.007 :34:7 45 z 50
3. 389 3 4. 3 4 Stanovte číslo x, platí-li log/0 x = - 395 0 5. 37 0,5 ± Věty o logaritmech Věty o logaritmech Podle definice logaritmů platí: loga x = y x = a loga x () Logaritmus daného kladného čísla x je takové číslo (loga x), kterým musíme umocnit základ - viz pravá strana výrazu (), abychom dostali logaritmované číslo - tj. x. x = a loga x y = a loga y xy = a loga xy. Nelze logaritmovat součet logz (a + b) ¹ logz a + logz b. Logaritmus součinu je roven součtu logaritmů jednotlivých činitelů Důkaz: a = z logz a b = z logz b ab = z logz ab vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ ab = z logz ab = z logz a.z logz b = z logz a + logz b 0.0.007 :34:7 46 z 50
Protože mocniny jsou si rovny a mají shodné základy, musí se rovnat i příslušné exponenty. Proto: logz ab = logz a + logz b Např.: 3. Logaritmus podílu je roven rozdílu logaritmů dělence a dělitele Důkaz: a = z logz a b = z logz b a logz a =z b b vše pro a > 0, b > 0, z > 0, z ¹ a logz a z logz a b =z = logz b = z logz a -logz b b z log z a = log z a - log z b b Např.: 4. Logaritmus mocniny je roven součinu exponentu a logaritmu základu dané mocniny Důkaz: a = z logz a n ( a n = z logz a = z logz a ) n = z n.logz a n logz a = n. logz a Např.: 0.0.007 :34:7 47 z 50
± Věty o logaritmech - procvičovací příklady. 406. Určete logz x, je-li x = a/ b/3 400 3. 43 4. a 3.6 b 5 x= c 4 Určete logz x, je-li x = a-. b-3 397 5. 398 6. 403 Určete logz x, je-li 3 x =.3 a. a 7 0.0.007 :34:7 48 z 50
7. 4 8. 40 3 (n+3) 3 x = ab /z 9. 49 0. 40. 405. 44 x= ab.6 ab 5z 4 3. 45 0.0.007 :34:7 x=a+ 49 z 50
4. 396 Určete logz x, je-li x= a. tga b 3.3 c 5. 408 x = ab/c 6. 4 7. 409 3 x = a.b.z 8. 48 9. 46 x = (a - b).3 a.b 0. 407 0.0.007 :34:7 x = abc 50 z 50
. 399. 40 Určete logz x, je-li x = 3 a -3.4 b 3. 40 4. 404 Určete logzx, je-li x= a a 5. 47 ± Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice Exponenciální rovnice je taková rovnice, která má neznámou v exponentu. Exponenciální rovnici můžeme řešit zpravidla třemi postupy (využíváme v uvedeném pořadí):. Převodem obou stran rovnice na mocniny o stejném základu - v tomto případě využijeme vlastnost, že pokud má platit rovnost a mocniny na obou stranách mají stejné základy, musí se sobě rovnat i exponenty. Získáme tak většinou lineární nebo kvadratickou rovnici, kterou už umíme snadno vyřešit. Příklad : Řešte rovnici: 0.0.007 :34:7 5 z 50
x 8 æ3ö ç = 56 è4ø Řešení: x 34 æ3ö ç = 4 4 è4ø x æ3ö æ3ö ç =ç è4ø è4ø 4 Závěr: x = 4 Příklad : Řešte rovnici: 3 x -3 = 7 0,53- x Řešení: 3 x -3 = 7 x -3 x -3 3 x -3 7 = x - 3 x - 3 = 3 7 4x - = 3x - 9 x = Závěr: x = / Příklad 3: Řešte rovnici: x - + x - + x -3 = 448 x.( - + - + -3 ) = 448 æ ö x.ç + + = 448 è 4 8ø 7 x. = 7.6 8 x = 8.6 x = 9 Závěr: x = 9. Substitucí Substituce nám usnadní řešení, většinou dostaneme kvadratickou rovnici, výjimečně i lineární. 0.0.007 :34:7 5 z 50
Příklad 4: Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 9 x +.3 x - 3 = 0 Řešení: (3 ) x +.3 x - 3 = 0 Zavedeme substituci y = 3 Dostaneme rovnici: y + y - 3 = 0 (y - ). (y + 3) = 0 x y = y = -3 Vrátíme se zpět k zavedené substituci: x a) 3 = x 0 3 =3 x = 0 x b) 3 = -3 x V tomto případě není řešení, protože 3 je vždy větší než 0. Závěr: Rovnice má jediné řešení, a to x = 0. 3. Logaritmováním Tento postup používáme tehdy, pokud ani jedním z předchozích dvou postupů nelze řešení dosáhnout. Výsledem většinou pak obsahuje logaritmus. Příklad 5: Řešte rovnici: 5x 3x 3 =5 Řešení: Vzhledem k tomu, že nejsme schopni převést obě strany rovnice na stejný základ, použijeme postup, kdy celou rovnici zlogaritmujeme: 5x 3x log 3 = log 5 5x. log 3 = 3x. log 5 x. (5log 3-3log 5) = 0 Součin je roven nule tehdy, když aspoň jeden z činitelů je roven nule, proto x = 0 (závorka být rovna nule nemůže). Poznámka: V některých případech se použije i kombinace substitučního postupu s postupem logaritmování. ± Exponenciální rovnice - procvičovací příklady 0.0.007 :34:7 53 z 50
. 43. 3 V oboru reálných čísel řešte rovnici: 447 4 x + 3x +3 = 4 x +3-3x + 3. 46-4 4. 434 5. 444 6. x = x = log 3 / log 5 x æ3ö æ5ö ç =ç è5ø è3ø 7. 44 Řešte rovnici: 3-3 48 Řešte rovnici: 3 x +. x +3 = 5 x +. x + 8. 47 9. 455 0. 45 0.0.007 :34:7 6 54 z 50
. 439. 443 3. 3,5 49 Řešte rovnici: 3 x.43 x -3 = 8 x + 4. 3 V oboru reálných čísel řešte rovnici: x +3 x+ 45 x-.3 9 = 7 - x x - 6.8 3-5. 456 6. Řešte rovnici v oboru reálných čísel: 448 x.33 x = 4 x - 7. 437 8. 453 9. 3 Řešte rovnici v oboru reálných čísel: x 3. + 3- x 450 = 0 0.0.007 :34:7 55 z 50
0. V oboru reálných čísel řešte rovnici: 446 x -6 3 log 7 = 5- x 3 log 3 4. 436. 445 Řešte rovnici: æ 4 ö ç è 5 ø x +3 æ 5 ö.ç è 8 ø 4 x - = 5 3. 449 4. 433 3 5. 440 6. 438 Řešte rovnici: 05-3 x = 7 - x 7. 43 3 8. 458 9. 435 0.0.007 :34:7 56 z 50
30. Řešte v oboru reálných čísel rovnici: æ 5ö ç - è 9ø 3. 3- x æ9ö =ç è4ø -0,5 44 Řešte rovnici: x 4 +3 459 3 x -5 x+4 =4 x +3-3 x+ 3. 43 Řešte rovnici: 0,5- x = 56 x +3 3 33. 457 34. 44 35. 45 36. 430 Řešte rovnici: x 3 x +3m.x 3 x -3m = 7 Nemá řešení 37. 454 0.0.007 :34:7 3 57 z 50
± Logaritmické rovnice Logaritmické rovnice Logaritmická rovnice je taková rovnice, v níž se vyskytují logaritmy výrazů s neznámou x, přičemž x patří do množiny reálných čísel. Základní logaritmickou rovnicí je rovnice typu a > 0, a ¹ Tato rovnice má pro libovolné b jediné řešení tvaru Logaritmické rovnice složitějších typů se nejprve upraví na tvar kde a > 0, a ¹, přičemž f(x) a g(x) nabývají kladných hodnot. K úpravám využijeme věty o logaritmování. Za těchto předpokladů pak platí: a dále řešíme rovnici bez logaritmů (protože jsme provedli odlogaritmování rovnice). Příklad : 3 4 5 Řešte logaritmickou rovnici log x - log x + log x = 8 Řešení: 3 4 5 log x - log x + log x = 8 0.0.007 :34:7 58 z 50
3log x - 4 log x + 5 log x = 8 4 log x = 8 log x = x = 00 Příklad : log x 3 + log x + 7 log x 4 + 64 = 0 Řešení: log x 3 + log x + 7 log x 4 + 64 = 0 3log x + 0,5.. log x + 7. 4. log x + 64 = 0 3 log x + log x + 8 log x + 64 = 0 3 log x = -64 log x = - x = 0,0 Příklad 3: 3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 Řešení: 3 log x + log x 4 - log 3 x = 5 3log x + 4log x - (/3)log x = 5 (0/3)log x = 5 log x = 0,75 x = 4 000 ± Logaritmické rovnice - procvičovací příklady. 488 Nemá řešení. 497 + log x 3 = 0 log x x= 0,0 x = 0.3 00 0.0.007 :34:7 59 z 50
3. 499 00 4. 490 36 5. 50 6. 500 log 4 log 3 log x = 5 7. 494-3 8. 504 x=3 9. 487 7 0. 489 0.0.007 :34:7 0,5 60 z 50
. 486. 484 0.3 0 3. 505 x=6 4. 485 99/0 5. 506 00 6. 50 7. 483 Řešte rovnici: 0.0.007 :34:7 0,0 6 z 50
8. 493 5 9. 495 5 0. 498 0. 496. 49 4,5 3. 49 4. 0 48 Řešte rovnici: 3 5 log 3 x 4 - log = 5 x x = 33 00 = 03.33 0 5. 503 0.0.007 :34:7 6 z 50
± Komplexní čísla Komplexní čísla Obor komplexních čísel je nejvyšším číselným oborem, s nímž se při studiu na střední škole seznámíme. Je vlastně jakousi nadmnožinou oboru reálných čísel. Znamená to tedy, že reálná čísla jsou zvláštním případem čísel komplexních. Komplexní čísla označujeme C. Na rozdíl od reálných čísel, která můžeme znázornit na číselné ose, čísla komplexní můžeme znázornit pouze tehdy, pokud máme osy svě (na sebe kolmé). Komplexní čísla tedy znázorňujeme uspořádanou dvojicí, podobně jako body v kartézské soustavě souřadnic. Pozn.: Uspořádaná dvojice je dvojice čísel, kde záleží na jejich pořadí. Tuto dvojici čísel zapisujeme do hranaté závorky. Rovina, v níž zobrazujeme komplexní čísla, se nazývá rovina komplexních čísel nebo také Gaussova rovina. Osa x se v Gaussově rovině nazývá osa reálných čísel (reálná osa) a nanášíse na ni reálná část komplexního čísla (tj. první složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje), osa y se nazývá osa ryze imaginárních čísel (imaginární osa) a nanáší se na ni imaginární část komplexního čísla (tj. druhá složka uspořádané dvojice, která komplexní číslo představuje). Komplexní číslo z znázorněné na obrázku tedy můžeme znázornit buď [a; a] nebo způsobem uvedeným v obrázku, a to z = a + a i. Tento zápis nazýváme algebraickým zápisem komplexního čísla. Číslo i se nazývá imaginární jednotka a platí: i = [0; ]. Pro imaginární jednotku platí: i = - 3 i = -i 4 i = + 5 i =i 6 i = - atd... Algebraický tvar komplexního čísla 0.0.007 :34:7 63 z 50
Nechť je dáno komplexní číslo a = [a; a]. Jeho vyjádření ve tvaru z = a + ai se říká algebraický tvar komplexního čísla. Číslo a představuje reálnou část komplexního čísla, číslo a představuje imaginární část komplexního čísla. Výhodou tohoto vyjádření komplexního čísla je to, základní početní operace s komplexními čísly v algebraickém tvaru je možné provádět stejným způsobem jako kdyby šlo o reálné dvojčleny. Absolutní hodnota komplexního čísla Absolutní hodnota komplexního čísla představuje jeho vzdálenost od počátku souřadného systému (průsečíku reálné a imaginární osy). K jejímu určení tedy stačí znalost Pythagorovy věty. Platí vzorec: z = a + a Komplexní jednotka Komplexní jednotka je komplexní číslo z, jehož absolutní hodnota je rovna. Platí tedy z = Čísla komplexně sdružená Čísla komplexně sdružená označujeme. [čteme zet s pruhem] Velikost komplexního čísla z a velikost čísla k němu komplexně sdruženého se sobě rovnají. Součet komplexního čísla a čísla k němu komplexně sdruženého je číslo reálné. Součin komplexního čísla a čísla komplexně sdruženého je opět číslo reálné. 0.0.007 :34:7 64 z 50
Rovnost komplexních čísel Komplexní čísla z = a + bi a z = a + bi jsou si rovna, jestliže jsou si rovny jejich reálné a imaginární části, tj. platí a = a a zároveň b = b Součet komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součet tak, že se sčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný součet (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Rozdíl komplexních čísel 0.0.007 :34:7 65 z 50
Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich rozdíl tak, že se odčítají zvlášť reálné a zvlášť imaginární části obou komplexních čísel. Výsledný rozdíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Součin komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich součin tak, že se roznásobí reálné a imaginární části obou komplexních čísel (každý člen každým členem). Výsledný součin má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Podíl komplexních čísel Pro komplexní čísla a = [a; a] a b = [b; b] ve tvaru a = a + ai, b = b + bi se definuje jejich podíl takto: 0.0.007 :34:7 66 z 50
Výsledný podíl (např. komplexní číslo z) má potom následující souřadnice v Gaussově rovině Je patrné, že podíl dvou komplexních čísel ve tvaru zlomku se vypočte tak, že se zlomek rozšíří číslem komplexně sdruženým ke jmenovateli (děliteli). Goniometrický tvar komplexního čísla 0.0.007 :34:7 67 z 50
Moivreova věta Moivreova věta říká, že součin dvou komplexních jednotek je opět komplexní jednotka, jejíž argument je roven 0.0.007 :34:7 68 z 50
součtu argumentů obou činitelů. Z této věty plyne vztah pro n-tou mocninu komplexní jednotky: a vztah pro n-tou mocninu komplexního čísla: Příklad : Řešení: Příklad : Řešení: Příklad 3: Řešení: 0.0.007 :34:7 69 z 50
Příklad 4: Řešení: Příklad 5: Řešení: Příklad 6: Řešení: 0.0.007 :34:7 70 z 50
Příklad 7: Řešení: Příklad 8: Vypočtěte i 48 Řešení: Příklad 9: Řešení: Příklad 0: Řešení: Příklad : Řešení: 0.0.007 :34:7 7 z 50
± Komplexní čísla - procvičovací příklady. 640. 656 x = 3; y = - 3. 63 4. 636 5. 65 0,6 6. 644 7. 658 8. 650 0.0.007 :34:7 0 7 z 50
9. 647-00 0. 654 8 + 4i. 646. 65 0,4 3. 648 4. 645 5. 653,83 6. 64 0.0.007 :34:7 i 73 z 50
7. 649 8. 643 9. 665 0. 664 i. 630. 659 3. 639 4. 69 5. 660 6. 64 -i 7. 66 8. 663 0.0.007 :34:7 74 z 50
9. 637 30. 635-7 3. 633 3. 657 33. 655 -i 34. 666 35. 634 36. 63 37. 66 38. 638 3i ± Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel Do této kapitoly spadají kvadratické rovnice, při jejichž řešení vychází diskriminant záporný. Pozn.: Už dříve jsme řešili kvadratické rovnice a rozlišovali jsme situace, kdy diskriminant byl větší než nula pak kvadratická rovnice měla dva reálné různé kořeny; pak jsme poznali situaci, kdy diskriminant vyšel roven nule - v tom případě měla kvadratická rovnice jeden dvojnásobný kořen a v případě, že diskriminant vyšel záporný, uváděli jsme dosud, že kvadratická rovnice nemá v oboru reálných čísel řešení. V oboru komplexních čísel však řešení má. Řešení kvadratických rovnic v oboru komplexních čísel je založeno na poznatku, že v oboru komplexních čísel umíme odmocnit i zápornou odmocninu. 0.0.007 :34:7 75 z 50
Platí totiž, že např. Ö(-4) = i Kvadratická rovnice x = -4 pak má tedy dvě různá řešení, a to x = i a x = -i V oboru komplexních čísel má tedy každá kvadratická rovnice s reálnými koeficienty řešení. Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici 7x + 5 = 0 Řešení: 7x + 5 = 0 7. (x + 5/7) = 0 x + 5/7 = 0 [x + i.ö(5/7)]. [x - i. Ö(5/7)] = 0 x = - i. Ö(5/7) x = i. Ö(5/7) Příklad : V oboru komplexních čísel řešte rovnici 3x - 4x + = 0 Řešení: D = b - 4ac D = (-4) - 4. 3. = -8 -b± D a - (-4) ± - 8 x, =.3 4 ± i. 8 x, = 6 4 ± i. x, = 6.( ± i. ) x, = 6 ± x, = 3 x, = Do této kapitoly můžeme zahrnout i rozklady trojčlenů na součin v oboru komplexních čísel. K jejich určení totiž využíváme s výhodou řešení pomocné kvadratické rovnice. Příklad 3: Rozložte v součin lineárních činitelů trojčlen 4x - x + 5 Řešení: 0.0.007 :34:7 76 z 50
Protože kořeny rovnice 4x - x + 5 = 0 jsou čísla x, = ± i. 56 3 = ± i 8 dostáváme: 3 3 æ öæ ö 4 x - x + 5 = 4.ç x - - i.ç x - + i = è øè ø = ( x - 3-4i )(. x - 3 + 4i ) ± Řešení kvadratických rovnic v oboru C - procvičovací příklady. 973. 970 3. 966 4. 963 5. 965 6. 974 7. 968 8. 97 9. 967 0.0.007 :34:7 77 z 50
0. 97. 969. 964 ± Stereometrie - Vzájemná poloha Stereometrie Stereometrie je prostorová geometrie; zabývá se prostorovými útvary - tělesy. Vzájemná poloha přímek v prostoru Přímky v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů) různoběžné (mají právě jeden společný bod); zvláštním případem různoběžných přímek jsou přímky, které jsou na sebe kolmé. mimoběžné (nemají žádný společný bod, ale nejsou rovnoběžné) Vzájemná poloha rovin v prostoru Roviny v prostoru mohou být: rovnoběžné rovnoběžné různé (nemají žádný společný bod a vzdálenost obou rovin v kterémkoliv místě je vždy stejná) rovnoběžné splývající (mají nekonečně mnoho společných bodů a kterákoliv z obou rovin je vždy podmnožinou roviny druhé) různoběžné (mají nekonečně mnoho společných bodů, které vytvářejí přímku, zvanou průsečnice rovin); zvláštním případem různoběžných rovin jsou dvě roviny, které jsou na sebe kolmé. ± Stereometrie - krychle, kvádr, hranol Krychle Krychle je prostorové těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami a dvanácti hranami. Důležité vzorce: 0.0.007 :34:7 78 z 50
S = 6.a 3 V=a us = a.ö ut = a.ö3............ S je povrch krychle, a je hrana krychle V je objem krychle, a je hrana krychle us je stěnová úhlopříčka, a je hrana krychle ut je tělesová úhlopříčka, a je hrana krychle Kvádr Kvádr je těleso, které je tvořeno osmi vrcholy, šesti stěnami, z nichž každé dvě protější jsou shodné a dvanácti hranami, z nichž zpravidla čtyři jsou vždy shodné. Důležité vzorce: Použité veličiny: a, b, c... délky hran kvádru S... povrch tělesa V... objem tělesa us... stěnová úhlopříčka ut... tělesová úhlopříčka Zkratka CZ značí tzv. cyklickou záměnu, což představuje záměnu hran v odpovídajícím pořadí. S =.(ab + ac + bc) V = a.b.c us = Ö(a +b )... CZ ut = Ö(a +b +c ) Pozn.: Zvláštním případem je kvádr se čtvercovou podstavou Pokud budeme uvažovat a = b, pak vzorce budou v následující podobě: S = a + 4ac V = a.c us = a.ö (pro podstavu) nebo us = Ö(a +c ) (pro boční stěnu) ut = Ö(a +c ) Hranol Hranol je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými podstavami, které mohou mít tvar libovolného n-úhelníku, a pláštěm, který tvoří n obecně různých obdélníků. Pozn.: Pokud n-úhelník tvořící podstavu má všechny strany stejně dlouhé, pak nazýváme hranol pravidelný. V tomto případě plášť tvoří shodné obdélníky. Pozn.: Pokud má hranol kteroukoliv boční hranu kolmou k rovině podstavy, nazýváme ho hranol kolmý. Budeme se zabývat v dalších výpočtech pouze komými hranoly. Důležité vzorce: S =.Sp + SQ V = SP. v... SP je obsah podstavy, SQ je obsah pláště... SP je obsah podstavy, v je výška tělesa Uvedené vzorce musíme vždy konkretizovat pro konkrétní zadané těleso. 0.0.007 :34:7 79 z 50
± Krychle, kvádr, hranol - ukázkové příklady. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočtěte jeho objem. Řešení: a = 3 cm b = 4 cm v = 0,5 m = 5 cm V=? ---------------------------------- 454 V = Sp.v V = a.b.v 3. V = 50 cm 3 Objem hranolu je 50 cm. V akváriu tvaru kvádru o rozměrech dna 5 cm a 30 cm je 3,5 litru vody. Vypočtěte, do jaké výšky voda sahá. Řešení: a = 5 cm =,5 dm b = 30 cm = 3,0 dm 3 V = 3,5 l = 3,5 dm c=? --------------------------------V = a.b.c 453 3,5 V c= a.b,5.3,0 c =,8 dm = 8 cm Voda v akváriu sahá do výšky 8 cm. c= 3. Je dána krychle o hraně 5,4 cm. Vypočtěte její tělesovou úhlopříčku. Řešení: a = 5,4 cm ut =? -------------------------------ut = a.ö3 ut = 5,4.Ö3 ut = 9,4 cm (přibližně) Tělesová úhlopříčka krychle má délku asi 9,4 cm. 45 ± Krychle, kvádr, hranol - procvičovací příklady. Hranol s kosočtvercovou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru :3. Vypočítejte objem a povrch hranolu. Objem 8 70 cm3; povrch 5 06 cm 0.0.007 :34:7 47 80 z 50
. Podstava kolmého trojbokého hranolu je pravoúhlý trojúhelník s odvěsnou6 cm. Obsah největší stěny pláště je 0 cm a výška hranolu je cm. Vypočítejte objem tělesa. 88 cm3 464 3. Nádoba tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou 56 cm byla naplněna po okraj vodou. Do nádoby bylo ponořeno těleso a přitom z nádoby vyteklo 7,5 litru vody. Po vyjmutí tělesa z nádoby poklesla hladina vody v nádobě o cm. Vypočtěte, kolik litrů vody zbylo v nádobě. 7,5 l 456 4. Nádrž má obdélníkové dno. Délka strany a = 30 dm a úhlopříčky u = 5 m. Za jak dlouho se naplní do výšky 00 cm, je-li přítok l za sekundu? Čas vyjádřete v hodinách a minutách. 3 h 0 min 459 5. Trojboký hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníku, jehož odvěsny mají délky 3 cm a 4 cm. Výška hranolu je 0,5 m. Vypočítejte jeho povrch. 3 cm 458 6. Na obdélníkové zahradě o rozměrech 30 m a 6 m napršely 4 mm vody. desetilitrovým konvím toto množství odpovídá? 9 Kolika 466 7. Bazén má tvar kvádru, jeho dno je čtvercové. Délka strany čtverce je 5 m. V bazénu je 937 500 litrů vody. Do jaké výšky sahá voda?,5 m 469 8. Jaký objem má prostor pod střechou domu 50 dm dlouhého a 8 m širokého, je-li výška trojúhelníkového štítu v = 350 cm? 0 m3 473 9. Z dřevěné válcové klády poloměru 5 cm a délky 5 m o hustotě 750 kg/m byl otesán trám o tloušťce 8 cm s největším možným obdélníkovým průřezem. Vypočítejte hmotnost trámu a počet % odpadlého materiálu. 6 kg, 39 % 463 0. Silniční násep má průřez tvaru rovnoramenného lichoběžníka o základně 6 m a 0 m, 3 ramena délky 5 m. Kolik tun zeminy o hustotě 000 kg/m je v náspu o délce km? 04 000 t 46. Těleso tvaru kvádru s podstavou obdélníka (4 cm, cm) bylo naplněno vodou do výšky 0 cm. Vypočítejte objem tělesa ponořeného do vody, jestliže voda stoupne o 3 cm. 864 cm3 455 3 0.0.007 :34:7 8 z 50
. Kvádr má rozměry a = 3 cm, b = 6 cm, c = 8 cm. stěnové úhlopříčky. 0 cm Vypočtěte velikost největší 46 3. Kolik tun slámy lze v prostoru pod střechou domu 50 dm dlouhého a 8 m širokého, 3 kde výška trojúhelníkového štítu je 350 cm, uskladnit, je-li hmotnost m lisované slámy 00 kg a prostor je možno zaplnit pouze na 75%? 5,75 t 474 4. Kolikrát se zvětší objem krychle s hranou dm, jestliže bude hrana 3-krát větší? 7 krát 468 5. Rozměry kvádru jsou v poměru :3:6. Jeho tělesová úhlopříčka má délku 4 cm. Určete jeho povrch a objem. 3 88 cm 460 6. Určete objem a povrch sloupu, který má podstavu tvaru kosočtverce s úhlopříčkami 60 cm a 44 cm. Výška sloupu je,5 m. Objem,08 m3; povrch 8,7 m 470 7. Objem trojbokého kolmého hranolu je 48 cm. Jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník, který má rameno délky 3 cm a výšku na základnu 5 cm. Vypočtěte tělesovou výšku hranolu. 0,8 cm 47 8. Hranol s kosočtverečnou podstavou má jednu úhlopříčku podstavy 0 cm a hranu podstavy 6 cm. Hrana podstavy je k výšce hranolu v poměru :3. Vypočítejte objem hranolu. 8 70 cm3 465 9. Povrch kvádru je 008 cm. Šířka kvádru je o 0% menší než jeho délka, výška kvádru je o 50% větší než jeho délka. Vypočtěte rozměry kvádru a objem kvádru. 074 cm3 467 0. Hranol má podstavu tvaru pravoúhlého trojúhelníka. Přepona tohoto trojúhelníka 3 měří 5 cm, jedna odvěsna cm. Objem hranolu je,5 dm. Vypočítejte výšku hranolu a jeho povrch. Výška 8 cm, povrch 6 cm 457 3 ± Stereometrie - válec Válec Válec je prostorové těleso, které je tvořeno dvěma shodnými kruhovými podstavami a pláštěm. Důležité vzorce: 0.0.007 :34:7 8 z 50
S = p.r + p.r.v S = p d / + p.d.v V = p.r.v V = p.d /4.v S... povrch tělesa; r... poloměr podstavy, v... výška tělesa d... průměr podstavy V... objem tělesa Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. rotačním válcem, což je takový válec, který může rotovat kolem své osy, která prochází středy obou podstav. Síť válce tvoří obdélník (rozvinutý plášť) a dva kruhy. ± Válec - ukázkové příklady. Na nátěr otevřeného sudu o průměru 60 cm a výšce 85 cm bylo spotřebováno 0,7 l barvy. Kolik barvy je potřeba na m, jestliže se sud natíral zvenku i zevnitř? Řešení: d = 60 cm = 6 dm v = 85 cm = 8,5 dm 3 V0 = 0,7 l = 0,7 dm V=? ---------------------------------- 475 Počítáme povrch válce bez jedné podstavy a výsledek musíme vzít dvakrát (dva nátěry): S = pd / + p.d.v S = 3,4.6 / +.3,4.6.8,5 = 376,8 S = 376,8 dm = 3,77 m (přibližně). V = V0/S V = 0,7 / 3,77 V = 0,9 l (přibližně) Na nátěr jednoho metru čtverečného sudu se spotřebuje přibližně 0,9 l barvy. Vypočtěte obsah podstavy válce o objemu 6,8 l a výšce 0,5 m. 3 Řešení: V = 6,8 l = 6,8 dm v = 0,5 m = 5 dm Sp =? ---------------------------------------- 0.0.007 :34:7 476 V = Sp. v Sp = V / v Sp = 6,8 / 5 Sp =,56 dm Obsah podstavy válce je,56 dm. 83 z 50
± Válec - procvičovací příklady. V nádrži tvaru válce o poloměru 3 m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaký je objem celé nádrže? 43 hl 498. Kolik litrů vody za sekundu může maximálně odvádět koryto, které má průřez půlkruh o poloměru 0,5 m, je-li rychlost proudu 80 cm za sekundu? Koryto může odvádět maximálně 34 litrů vody za sekundu. 478 3. Při nátěru otevřeného sudu zvenku i zevnitř se spotřebuje 0,9 litru barvy na m. Sud má poloměr 30 cm a výšku 85 cm. Kolik barvy se na nátěr sudu spotřebuje? Na nátěr sudu se spotřebuje 0,7 litru barvy. 495 4. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Kolik celých litrů vody můžeme nejvýše nalít do nádoby? Do nádoby můžeme nalít maximálně 00 litrů vody. 479 5. V nádrži tvaru válce o průměru 6 m je 94 hl vody. Voda sahá do dvou třetin hloubky nádrže. Jaká je hloubka nádrže? Hloubka nádrže je 5 m. 48 6. Nádoba tvaru válce má průměr podstavy 0,8 m a obsah podstavy je roven obsahu pláště. Do jaké výše naplníme nádobu vodou, chceme-li ji zaplnit ze 30%? Nádobu naplníme do výše asi 0,6 dm. 480 7. Kanystr tvaru pravidelného čtyřbokého hranolu o délce podstavné hrany 5 cm a výšce 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do válce o stejné výšce. Jaký průměr má válec, jestliže je také plný? Válec má průměr 8, cm. 48 8. Kolik kilogramových plechovek ekologické barvy je třeba koupit k nátěru padesáti dvousetlitrových otevřených sudů na vodu, jejichž průměr je 60 cm? Výrobce udává, že kg barvy vystačí na plochu o obsahu 5 m. Je zapotřebí 33 plechovek. 477 9. Vypočtěte výšku válce o objemu 6,8 litru, je-li obsah podstavy,56 dm. Výška válce je 5 dm. 496 0. Kanystr tvaru válce s průměrem 8, cm a výškou 40 cm je plný vody. Vodu jsme přelili do jiného kanystru tvaru kvádru se čtvercovou podstavou a výškou jako má válec. Jaký je obsah podstavy kvádru, je-li po přelití vody také plný? Obsah podstavy kvádru je 65 cm. 497 0.0.007 :34:7 84 z 50
± Stereometrie - jehlan Jehlan Jehlan je prostorové těleso, které je tvořeno podstavou tvaru libovolného n-úhelníka a dále navíc jedním vrcholem, který nazýváme hlavní. U jehlanu, podobně jako u dalších prostorových těles, počítáme povrch a objem. V = Sp.v/3 S = Sp + SQ Podstava je tvořena n-úhelníkem, plášť několika trojúhelníky, které mohou být i shodné. Shodné jsou tehdy, jestliže podstava je tvořena pravidelným n-úhelníkem. V tomto případě pak jehlan nazýváme pravidelný. Pozn.: Budeme se zabývat pouze tzv. kolmými jehlany, což jsou takové, které mají výšku kolmou k podstavě. Jehlan, který má za podstavu trojúhelník, nazýváme čtyřstěn. Význam má hlavně pravidelný čtyřstěn, který má podstavu i všechny stěny pláště shodné. ± Jehlan - ukázkové příklady ± Jehlan - procvičovací příklady ± Stereometrie - kužel Kužel Kužel je prostorové těleso, které je tvořeno jednou podstavou a pláštěm. Podstava má tvar kruhu, plášť, kdybychom ho rozvinuli do roviny, bude mít tvar kruhové výseče. 0.0.007 :34:7 85 z 50
r v V s............ poloměr podstavy výška kužele hlavní vrchol strana kužele Vzhledem k tomu, že výše zobrazený kužel může rotovat kolem své výšky, nazýváme tento typ kužele rotační kužel. Budeme se zabývat právě takovými kuželi. U kužele počítáme, podobně jako u dalších těles, povrch a objem. Pozn.: Někdy se také kužel definuje jako těleso, které vznikne rotací pravoúhlého trojúhelníka kolem jedné z jeho odvěsen. Důležité vzorce: V = p.r.v 3 V= S = p.r + p.r.s S V d......... p.d.v S = p.d + p.d.s 4 povrch tělesa objem tělesa průměr podstavy ± Kužel - ukázkové příklady ± Kužel - procvičovací příklady ± Stereometrie - koule Koule je prostorové těleso. Jedná se o těleso, které je tvořeno body, jež mají od jediného pevně zvoleného bodu vzdálenost menší nebo rovnu poloměru. 0.0.007 :34:7 86 z 50
U koule počítáme opět povrch nebo objem. r d...... poloměr koule průměr koule Povrch koule: S = 4p.r S = p.d Objem koule: 4 V =.p.r 3 3 V =.p.d 3 6 ± Koule - ukázkové příklady. 66 Vypočti objem koule o průměru 75 cm. Řešení: d = 75 cm 3 V =? [cm ] --------------------------- V =.p.d 3 =.3,4.753 6 6 3. 3 V = 0 78,5 cm = 0, m (po zaokrouhlení) 3 Objem koule je asi 0, m. Kolik metrů čtverečních materiálu bylo potřeba na zhotovení balonu pro vzduchoplavce, jestliže měl poloměr,5 m? Řešení: r =,5 m S =? [m ] -------------------------- S = 4.p.r = 4. 3,4.,5 S = 78,5 m Na zhotovení balonu bylo zapotřebí 78,5 m materiálu. 67 ± Koule - procvičovací příklady. Na nafukovací plážový míč se spotřebovalo, m materiálu, ze kterého 30 % činil odpad. Jak velký průměr má míč? Míč má průměr asi 0,5 m. 0.0.007 :34:7 64 87 z 50
. Vypočti objem koule, je-li její povrch 450 cm. 3 Objem koule je asi 898 cm. 60 Vypočti objem koule o poloměru 0,4 m. 3 Objem koule je 68 dm. 604 3. 4. 3 Vypočti povrch koule, která má objem 874 cm. Povrch koule je asi 44 cm. 609 Vypočti povrch koule o poloměru m. Povrch koule je asi 50, m. 606 6. Jaký poloměr musí mít pouzdro tvaru koule, aby se do něho vešla krychle o hraně 0 cm a byla pevně uložena? Pouzdro musí mít poloměr asi 7,4 cm. 65 7. Kolik olověných kuliček o průměru 8 mm se odlije z kg materiálu o hustotě 0 600 kg/m? Z uvedeného materiálu odlijeme asi 3 kuliček. 63 8. Vypočti povrch koule o poloměru 0,7 m. Povrch koule je asi 6, m. 605 9. Kolik litrů vody se vejde do akvária tvaru koule, mají-li být vodou zaplněny čtyři pětiny objemu celé koule o průměru 0,5 m? Do akvária se vejde asi 5,3 litru vody. 6 0. Vypočti povrch koule o průměru 45 cm. Povrch koule je asi 63,6 dm. 607. Vypočti poloměr koule, jejíž objem je litr. Koule má poloměr asi 6, cm. 608. Vypočti objem koule o poloměru 5 cm. Objem koule je 589 dm3. 603 3. Jaký průměr má kovová kulička, jestliže po vhození do válcové nádoby o průměru 3 cm naplněné vodou hladina stoupne o mm? Kovová kulička má průměr asi mm. 6 5. 3 ± Pythagorova věta Pythagorova věta Věta: Obsah čtverce sestrojeného nad přeponou pravoúhlého trojúhelníka je roven součtu obsahů čtverců sestrojených nad oběma odvěsnami. Důkaz: 0.0.007 :34:7 88 z 50
Na základě Eukleidovy věty o odvěsně platí: a = c. ca b = c. cb ---------------Sečteme-li pravé i levé strany obou rovnic, dostáváme: a + b = c. ca + c. cb = c. (ca + cb) = c. c = c CBD Platí také věta obrácená: Věta: Platí-li o stranách trojúhelníka ABC předpoklad, že c = a + b, pak jde o pravoúhlý trojúhelník s pravým úhlem při vrcholu C. Důkaz: Zvolme pravoúhlý trojúhelník A B C takový, aby při vrcholu C byl pravý úhel. Nechť jeho odvěsny jsou shodné se stranami AC a BC daného trojúhelníka ABC. Platí tedy: a = a b = b Pro přeponu trojúhelníka A B C platí Pythagorova věta: c = a + b = a + b = c Z toho vyplývá, že c = c Trojúhelník ABC je pak shodný s trojúhelníkem A B C (sss), proto i vnitřní úhel při vrcholu C (který je pravý) je roven vnitřnímu úhlu při vrcholu C. I ten je tedy pravý a to jsme měli dokázat. Ukázkové příklady: Příklad : Rozhodněte, zda trojúhelník daný třemi stranami o délkách 4 cm, 5 cm, 6 cm je pravoúhlý. Řešení: a = 4 cm b = 5 cm c = 6 cm c =? [cm] ----------------------Podle Pythagorovy věty vypočteme pomocí předpokládaných odvěsen (tj. kratších stran) a, b délku pomyslné přepony c. Pokud bude platit c = c, pak je původní trojúhelník pravoúhlý. c = a + b = 4 + 5 = 4 ¹ 6 Závěr tedy zní: Zadaný trojúhelník není pravoúhlý. ± Pythagorova věta - procvičovací příklady. 349 0.0.007 :34:7,78 cm 89 z 50
. 34 6,06 cm 3. 347 4. 350 4,9 cm 5. 346 6. 34 0 m 7. 344 cm 8. 339,4 m 9. 348 0. 343 09 cm. 340 0,6 cm. 345 0.0.007 :34:7 90 z 50
± Eukleidovy věty Eukleidovy věty. Věta o výšce Pata výšky C rozdělí stranu c na dvě části: ca, cb. Tvrzení: Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem CC B. Důkaz je zřejmý podle věty uu, neboť oba trojúhelníky obsahují úhly alfa a beta. Pozn.: Dva úhly, které mají na sebe kolmá ramena, jsou shodné. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: v ca = Þ v = ca.cb cb v Rovněž by se dalo vyjádřit se stejným závěrem: v cb = Þ v = ca.cb ca v Vzniklý závěr nazýváme Eukleidovou větou o výšce a můžeme ji slovně vyjádřit následující větou: Obsah čtverce sestrojeného nad výškou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou úseky strany c. Každou větu je nutno dokázat - důkaz už byl ale vlastně proveden výše.. Věta o odvěsně 0.0.007 :34:7 9 z 50
Trojúhelník AC C je podobný s trojúhelníkem ACB. Podobnost lze odůvodnit opět podle věty uu, neboť v obou trojúhelnících jsou opět úhly alfa i beta. Z podobnosti trojúhelníků vyplývá: cb b = Þ b = cb.c b c Rovněž by se dalo vyjádřit: ca a = Þ a = ca.c a c Vzniklé vzorce jsou matematickým vyjádřením Eukleidových vět o odvěsně. Protože každý pravoúhlý trojúhelník má dvě odvěsny, jsou vždy i dvě Eukleidovy věty o odvěsnách. Opět můžeme napsat matematickou větu: Obsah čtverce sestrojeného nad odvěsnou pravoúhlého trojúhelníka je roven obsahu obdélníka, jehož stranami jsou přepona a úsek přilehlý k dané odvěsně. Důkaz i této věty už byl vlastně proveden výše. Ukázkové příklady Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o výšce: Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = v, ca =, cb = 5, pak můžeme snadno použít větu o výšce. 4. Protože platí ca + cb = c, zjistíme, že přepona bude dlouhá + 5 = 7 5. Narýsujeme úsečku AB o délce 7. 6. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu A o délku 5. 7. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 8. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 9. Délka úsečky C X pak odpovídá hledané x = Ö0 Příklad - určení druhé odmocniny pomocí Eukleidovy věty o odvěsně: 0.0.007 :34:7 9 z 50
Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku o délce x = Ö0 Řešení:. Číslo pod odmocninou rozložíme na součin libovolných dvou činitelů - např.. 5. Rovnost x = Ö0 upravíme do tvaru x = 0, resp. x =. 5 3. Zvolíme-li x = a, ca =, c = 5, pak můžeme snadno použít větu o odvěsně a. 4. Narýsujeme úsečku AB o délce 5. 5. Vyznačíme bod C a to tak, že je vzdálen od bodu B o délku. 6. Najdeme střed úsečky AB a uděláme půlkružnici k s tímto středem a poloměrem odpovídajícím polovině úsečky AB. 7. V bodě C vstyčíme kolmici, její průsečík s kruhovým obloukem označíme X. 8. Délka úsečky XB pak odpovídá hledané x = Ö0 ± Eukleidovy věty - procvičovací příklady. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 356. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 369 3. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 359 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce.,83 357 5. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 363 6. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,80 360 7. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 367 8. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö7. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4, 366 0.0.007 :34:7 93 z 50
9. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,69 370 0. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö9. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,36 368. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö4. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,74 364. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,4 35 3. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö5. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,87 365 4. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö8. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 5,9 35 5. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 354 6. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,46 36 7. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 4,58 358 8. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö0. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 355 9. Pomocí Eukleidovy věty o výšce narýsujte úsečku délky x = Ö3. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,6 353 0. Pomocí Eukleidovy věty o odvěsně narýsujte úsečku délky x = Ö. Kontrolu správnosti proveďte určením z tabulek nebo na kalkulačce. 3,3 36 0.0.007 :34:7 94 z 50
± Střední geometrická úměrná a čtvrtá geometrická úměrná Střední geometrická úměrná Vraťme se zpět k Eukleidově větě o výšce: v = ca. cb neboli v = ca.cb Výška v pravoúhlém trojúhelníku je střední geometrickou úměrnou obou úseků. Eukleidovy věty proto využíváme ke konstrukci algebraických výrazů - zejména odmocnin. Příklad : Je dán kruh o poloměru r. Rozdělte jej kružnicí s ním soustřednou na dvě části, jejichž obsahy se sobě rovnají. Řešení: Označme poloměr zadaného kruhu r a poloměr kledané soustředné kružnice r. Pak má platit: r r = r r =.r Hledaný poloměr je tedy střední geometrickou úměrnou Čtvrtá geometrická úměrná Platí-li pro čtyři úsečky o délkách a, b, c, x vztah a c = b x pak úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, b, c v tomto pořadí. Příklad : Narýsujte čtvrtou geometrickou úměrnou úseček 3 cm, 5 cm, Ö cm Řešení: Ze zadání musí platit vztah: 0.0.007 :34:7 95 z 50
3 = 5 x Příklad 3: Narýsujte úsečku, která vyhovuje vztahu: a x= b Řešení: Zadaný vztah přepíšeme do tvaru x a = a b neboli b a = a x ± Střední a čtvrtá geometrická úměrná - procvičovací příklady. Nechť a, b, c jsou délky tří daných úseček. Sestrojte čtvrtou úsečku délky x, která vyhovuje rovnici x = bc/a Úsečka x je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček a, c, b. 0.0.007 :34:7 4 96 z 50
. 4 Narýsujte úsečku délky x = (abc)/d, kde a, b, c, d jsou velikosti daných úseček. Pomocná úsečka y je čtvrtou geometrickou úměrnou úseček b, a, d. Úsečka x je pak čtvrtou geometrickou úměrnou úseček y, a, d. ± Výpočty rovinných útvarů - jednodušší příklady Výpočty rovinných útvarů Tato kapitola obsahuje řešení příkladů s využitím všech teoretických vlastností, se kterými jsme se seznámili v předcházejících kapitolách z planimetrie. Převážnou většinu příkladů budeme vždy řešit nejprve obecně, pak teprve dosadíme číselné hodnoty a na kalkulačce spočítáme výsledek, který vhodně zaokrouhlíme. Obecné řešení považujeme za hotové tehdy, obsahuje-li vzorec pouze proměnné, které máme v zápisu příkladu a výraz už nelze dále zjednodušit. ± Výpočty rovinných útvarů - procvičovací příklady. 608 9 cm. 56 7 obdélníků ± Goniometrie a trigonometrie Tato kapitola se zabývá goniometrickými funkcemi, výpočty u pravoúhlého, ale i u obecného trojúhelníka. ± Orientovaný úhel Orientovaný úhel Orientovaným úhlem AVB se nazývá uspořádaná dvojice polopřímek VA, VB, kde V je jejich společný počátek, přičemž: VA je počáteční rameno úhlu VB je koncové rameno úhlu V je vrchol orientovaného úhlu 0.0.007 :34:7 97 z 50
Hodnota orientovaného úhlu je kladná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB proti směru chodu hodinových ručiček. Hodnota orientovaného úhlu je záporná, jestliže se počáteční rameno VA otáčí kolem vrcholu V směrem ke koncovému rameni VB po směru chodu hodinových ručiček. Stupňová a oblouková míra Velikost úhlů můžeme vyjadřovat jednak ve stupňové míře (plný úhel pak má 360 ) a dále v míře obloukové (plný úhel pak má velikosti p rad). Stupňová míra: 0.0.007 :34:7 98 z 50
Oblouková míra: 0.0.007 :34:7 99 z 50
p je tzv. Ludolfovo číslo a jeho hodnota je přibližně 3,4. Plný úhel má tedy hodnotu p rad, což je tedy přibližně 6,8 radiánů. K převodům velikostí úhlů ze stupňů na radiány a naopak můžeme výhodně využít např. trojčlenku. U číselné hodnoty úhlu v obloukové míře se obvykle jednotka rad vynechává. Příklad : Úhel o velikosti 5 převeďte do obloukové míry. Řešení: 80... p rad 5... x rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) x= p.5 p = rad 80 Pozn.: Výsledek můžeme klidně vyjádřit i ve tvaru 0,6 rad (přibližně) Příklad : Úhel o velikosti 3p/4 rad převeďte na stupně. Řešení: 80... 0.0.007 :34:7 p rad 00 z 50
x... 3p/4 rad ------------------------------Jedná se vždy o přímou úměrnost (šipky na obou stranách směrem vzhůru) 3p x = 80. 4 = 35o p Úhel má tedy velikost 35. Z předchozích postupů můžeme snadno odvodit vzorce pro převody jedním nebo druhým směrem:. Převod ze stupňů na míru obloukovou x= p.a o rad 80. Převod z radiánů na míru stupňovou x= 80.arad p ± Stupňová a oblouková míra - procvičovací příklady. 50 70. 33 3. 48 95 4. 47 0 5. 54 40 6. 39 7. 35 0.0.007 :34:7 0 z 50
8. 43 80 9. 4 0. 40. 5 9,97. 53 7 3. 3 4. 36 5. 46 5 6. 49 3 7. 45 8. 44 36 9. 38 0. 37 0.0.007 :34:7 0 z 50
. 5 70,0. 4 3. 3 4. 34 ± Jednotková kružnice Jednotková kružnice Jednotková kružnice je taková kružnice, jejíž poloměr je. Využít ji můžeme například k odvození goniometrických funkcí platících pro pravoúhlý trojúhelník. ± Funkce sinus Funkce sinus Určení funkce z jednotkové kružnice: 0.0.007 :34:7 03 z 50
V pravoúhlém trojúhelníku je funkce sinus určena jako podíl protilehlé odvěsny a přepony. Funkce sinus je tedy goniometrická funkce daná předpisem f: y = sina Poznámky: Funkce shora omezená: 0.0.007 :34:7 04 z 50
Funkce zdola omezená: 0.0.007 :34:7 05 z 50
Funkce periodická: 0.0.007 :34:7 06 z 50
Funkce lichá: Funkce se nazývá kosekans a a zapisuje se y = cosec a 0.0.007 :34:7 07 z 50
± Funkce kosinus Funkce kosinus Určení funkce z jednotkové kružnice: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem přilehlé odvěsny a přepony. Funkce kosinus je funkce, která je dána předpisem f: y = cos a. Poznámky: Funkce sudá: 0.0.007 :34:7 08 z 50
Funkce se nazývá sekans a, zapisujeme y = sec a ± Funkce tangens Funkce tangens Určení funkce tangens z jednotkové kružnice: 0.0.007 :34:7 09 z 50
Funkce tangens a je goniometrická funkce definovaná pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce dána podílem protilehlé a přilehlé odvěsny. Poznámky: Funkce rostoucí: 0.0.007 :34:7 0 z 50
± Funkce kotangens Funkce kotangens Určení funkce z jednotkové kružnice: Funkce y = cotg a je goniometrická funkce, která je definována pomocí funkcí sinus a kosinus a má tvar: V pravoúhlém trojúhelníku je funkce definována jako podíl přilehlé odvěsny a protilehlé odvěsny. 0.0.007 :34:7 z 50
Poznámky: Funkce klesající: ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka Řešení pravoúhlého trojúhelníka Mění-li se v pravoúhlém trojúhelníku velikost úhlu alfa, mění se i poměry délek stran v tomto trojúhelníku. Proto jsou v pravoúhlém trojúhelníku definovány tyto vztahy pro goniometrické funkce ostrého úhlu: 0.0.007 :34:7 z 50
Pozn.: Veškeré výpočty goniometrických funkcí budeme provádět zpravidla na kalkulačce a výsledky budeme udávat s přesností na čtyři platné číslice. Respektujeme přitom správné zaokrouhlení čísel. Za platnou číslici se považuje každá číslice v číslu, která je na pozici počínaje od první nenulové zleva. Pokud nebude zadáno jinak, vždy uvažujeme obvyklé značení v pravoúhlém trojúhelníku, což je: Pravý úhel při vrcholu C, přepona c, odvěsny a, b, ostré úhly při vrcholu A, B. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku ABC s pravým úhlem při vrcholu C je AB = c = 8 cm, BC = a = 5 cm. Vypočti velikosti ostrých úhlů při vrcholech A, B trojúhelníku ABC. Řešení: AB = c = 8 cm BC = a = 5 cm a =? [ ] b =? [ ] ---------------------------- a c 5 sin a = 8 sin a = 0.0.007 :34:7 3 z 50
sin a = 0,65 a = 38 4 a c 5 cos b = 8 cos b = cos b = 0,65 b = 5 9 Závěr: Vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 38 4 a vnitřní úhel při vrcholu B má velikost 5 9. Příklad : V pravoúhlém trojúhelníku OPQ s pravým úhlem při vrcholu Q je OQ = p = 5 cm, úhel QOP = 35 0. Vypočti délku odvěsny PQ = o. Řešení: OQ = p = 5 cm úhel QOP = 35 0 PQ = o =? [cm] ----------------------------- tg úhelqop = PQ OQ PQ = OQ. tg úhel QOP PQ = 5. tg 35 0 = 5. 0,7046 = 3,5 (po zaokrouhlení) PQ = 3,5 cm (po zaokrouhlení) Závěr: Délka odvěsny je přibližně 3,5 cm. Příklad 3: Nejvyšší přípustné stoupání silnic je dáno poměrem : 8. Pod jakým největším úhlem může silnice stoupat? Řešení: BC = díl AB = 8 dílů a =? [ ] ------------------------------ tga = BC AB tga = 8 tg a = 0,0556 a = 3 0.0.007 :34:7 4 z 50
Závěr: Úsek silnice může stoupat nejvýše pod úhlem 3. ± Řešení pravoúhlého trojúhelníka - procvičovací příklady. V pravoúhlém trojúhelníku ABC s přeponou AB je dáno: b = 30 cm, b = 67. Vypočti délku odvěsny a.,7 cm 460. Přímá železniční trať stoupla na vzdálenosti 00 m (měřeno ve vodorovné poloze) o,4 m. Vypočítej velikost úhlu stoupání. 0,83 46 3. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 48 30, c = 3, m a =,40 m, b =, m, b = 4 30, g = 90 465 4. Úhlopříčka obdélníkového půdorysu chaty je dlouhá 0 m a s kratší stranou tohoto půdorysu svírá úhel 60. Vypočti obsah půdorysu chaty. 43,3 m 470 5. V pravoúhlém trojúhelníku ABC je délka přepony AB = c = 6,9 cm a úhel CAB = a 34. Vypočti délky odvěsen AC a BC. a = 3,9 cm, b = 5,7 cm 467 6. Tělesová úhlopříčka ukvádru je dlouhá 9,7 dm a s podstavnou úhlopříčkou u svírá úhel a = 4. Vypočti výšku kvádru v. 463 0.0.007 :34:7 6,5 dm 5 z 50
7. Jedna část střechy má tvar obrazce složeného z obdélníku a z kosodélníku (viz obrázek). Vypočti spotřebu tašek na její pokrytí, počítá-li se s 8 taškami na jeden metr čtverečný a s osmi procenty tašek navíc z důvodu jejich tvarové úpravy. 477 040 ks 8. Řešte pravoúhlý trojúhelník ABC, jehož přepona je AB a platí: a = 63 0, a = 6,7 m b = 3,39 m, c = 7,5 m, b = 6 50, g = 90 466 9. Délka a šířka obdélníku jsou v poměru 8 : 5. Jak velké úhly svírá úhlopříčka obdélníku s jeho stranami? S delší stranou 3, s kratší stranou 58. 469 0. Průměr podstavy válce je 36 cm. Velikost úhlu w, který svírá úhlopříčka osového řezu s výškou válce v, je 30. Vypočti povrch válce. 473. 9083 cm V rovnoramenném trojúhelníku XYZ je dána délka jeho základny XY = z = 9 cm a velikost úhlu úhel XYZ = 50 0. Vypočti obsah tohoto trojúhelníku. 4,3 cm 0.0.007 :34:7 474 6 z 50
. Na obrázku jsou narýsovány tečny t a t z bodu P ke kružnici k(s; 3 cm). Platí: PS = 9,6 cm. Vypočti délku tětivy TT. 3. 5,7 cm Před rovinným zrcadlem jsou dva body A, B vzdálené od sebe 36 cm. Vzdálenost bodu A od zrcadla je 7 cm, bodu B 8 cm. Pod jakým úhlem je třeba vést světelný paprsek (jde o úhel mezi rovinou zrcadla a paprskem) bodem A, aby po odrazu procházel bodem B? 476 480 36, 4. V kosočtverci ABCD je úhlopříčka AC = e = 4 cm a úhel SAB = e = 8 ; S je průsečík úhlopříček AC a BD. Vypočtěte obvod kosočtverce ABCD. 54 cm 475 5. Stabilitu roury na vodorovné podložce zabezpečuje ocelové lano, které rouru obepíná. Lano je ukotveno v bodech A, B. Platí AT = BT ; T je bod dotyku roury s podložkou. Vypočítejte délku lana od bodu A do bodu B, jestliže vnější průměr roury se rovná 44 cm a velikost úhlu T3ST je rovna 90 ; S je střed kruhového průřezu rourou, který je kolmý na osu roury. 48 0.0.007 :34:7 40,8 cm 7 z 50
6. Vypočti obsah kosočtverce ABCD, je-li tangens úhlu ABD roven Ö5 a AC = 4 cm., cm 47 Krov dlouhý 6,6 m přesahuje přes okraj zdi 60 cm své délky a s rovinou půdy svírá úhel 4 (viz obrázek). O kolik centimetrů by se snížila výška půdy v, kdyby tentýž krov přesahoval přes okraj zdi 75 centimetrů své délky? 479 7.,8 cm 8. V pravoúhlém trojúhelníku EFG jsou dány délky odvěsen FG = e = 0,4 m a EG = f = 6,8 m. Vypočti velikosti jeho ostrých úhlů při vrcholech E a F. Úhel při vrcholu E má velikost 56 49 a úhel při vrcholu F má velikost 33 468 9. Stavební materiál byl na stavbu dopravován transportérem dlouhým 0 m pod úhlem w = 0. Do jaké výšky v metrech byl tento materiál dopravován? (Obloukovité zakončení transportéru neber v úvahu.) 46 0. 3,4 m Rampu u skladu zboží drží 4 stejné ocelové vzpěry, jedna z nich je nakreslena na obrázku. Kolik metrů ocelové trubky čtvercového průřezu se spotřebovalo k výrobě všech čtyř vzpěr, jestliže se jejich spotřeba úpravou ve svárech zvýšila o 7 procent? 0.0.007 :34:7 478 m 8 z 50