Ř E Š E N Í M I N I T E S T Ů JčU Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RDNr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT5. Jsou dány funkce f : y = 4x 9, f 2 : y = 6 x 3, f 3 : y = log(4x + 64). Potom pro funkční hodnoty f (9), f 2 (9), f 3 (9) platí:... Dosadíme devítku do všech tří funkcí: f (9) = 4.9 9 = 7 f 2 (9) = 6. 9 = 6.3 = 6 3 3 f 3 (9) = log(4.9 + 64) = log(00) = kdyžtak vizte pojednání o logaritmech v řešených příkladech s výkladem (oddíl 4) spočítat tento logaritmus o základě 0 jde bez kalkulačky tak, že najdeme odpověď na otázku: Deset na kolik je sto? = 2 Seřadíme podle velikosti a dostáváme možnost (C): 2 < 6 <7, tj.: f 3 (9) < f 2 (9) < f (9). 2. Určete kolik z následujících čtyř bodů a = -; a 2 = ; a 3 = 0,5; a 4 = 0 patří do definičního oboru funkce y = x -. Nyní máme 2 možnosti řešení (jednodušší a složitější). ) jednodušší je hodnoty a,..., a 4 dosadit do předpisu zadané funkce a čárkovat si, kolikrát vyjde něco jiného než zakázaný výraz. Asi takhle: a : y = e a - a - = e - - - - = e - -2 dosadíme přibližnou hodnotu e 2,7 0,37 - -0,63 a uvidíme, jak to vyjde... = 0,3 0,56-2 -2 Můžeme si tedy udělat čárku, protože jsme nenarazili na nic zakázaného a ani zpřesnění Eulerova čísla (v řádu setin) nemá šanci pohnout znaménkem čitatele, na
znaménko a nenulovost jmenovatele přitom by nemělo vliv, proto si to zaokrouhlení můžeme dovolit. Takže a = - patří do definičního oboru zadané funkce. e a 2 - a 2 : y 2 = a 2 - = e - - = e - 0 Ve jmenovateli vyšla nula, což je zakázáno, proto hodnota a 2 = nepatří do definičního oboru zadané funkce. a 3 = 0,5 = 2 : y 2 = e a3 - a 3 - = pro jistotu vezmeme e 0,65-2 e2 - = 0,65 : (-0,5) = -,3 2 - = podle vzorečku n x = x n...= e - 2,72 a takto na kalkulačce spočítáme čitatel: Pod odmocninou vyšlo záporné číslo, což je také zakázáno. Takže a 3 = 0,5 nepatří do definičního oboru té funkce. - 2 a 4 : y 4 = e a 4 - a 4 - = e 0-0 - = nenula na nultou je vždy jedna = - - = 0 - = 0 = 0 Můžeme si udělat další čárku, protože jsme nenarazili na nic zakázaného. Někoho mohla zmást ta mínus jednička ve jmenovateli, ale tu velkou odmocninu zajímá znaménko celého zlomku uvnitř, a jak je vidět toto znaménko nakonec není mínus. Jo, kdyby v zadání byla funkce y = Takže 2 čárky, což je možnost (C). x -, to by byla jiná. Taky by to byl jiný příklad. 2) Určíme definiční obor zadané funkce, pak se podíváme, která ze zadaných čísel do něho patří. Kdo si není zcela jistý postupem, nechť se podívá na výklad na stránce http://matikadouc.webz.cz/jak_na_definicni0bory.pdf. y = x - Co je zakázáno? a) nula pod zlomkovou čárou... x 0 / + x, tj. x (-, ) (; ) b) mínus pod odmocninou... x - 0 Dostali jsme zlomkovou nerovnici. Už ji máme upravenou tak, že vlevo je jen zlomek a vpravo jen nula, takže první krok řešení takové nerovnice je hotov. Dále je třeba znát nulové body jmenovatele i čitatele. U jmenovatele jsme hotovi. Tím nulovým bodem je ona jednička, kterou jsme dostali v bodu a). U čitatele by to také neměl být problém: e x = 0 / + e x = / ln
x = ln x = 0 je nulový bod. Nulové body jsou: (podle velikosti) 0;. Následuje tedy tabulka: 0 (-, 0) (0; ) (; ) e x - + + x - - + x - + - + Řešením nerovnice jsou tedy všechna x z obou krajních intervalů, ve kterých ale kvůli tomu, že v podmínce je (a nikoliv >), změníme závorky na špičaté, tj.: x (-, 0 ; ). Zbývá proniknout řešení z bodu a) a z bodu b). Ten průnik je: ( (-, 0 ; ) ) ( (-, ) (, ) ) = (-, 0 (; ) = D y. Ze zadaných hodnot do tohoto definičního oboru patří - a 0; naopak 0,5 a tam nepatři. Správná odpověď je (C), že jsou to dvě hodnoty, které patří do definičního oboru zadané funkce. 3. Určete definiční obor funkce y = 7 x 2-9. Podíváme se, co je zde zakázáno. Je to pouze nula ve jmenovateli. Tak dostáváme nerovnici: x 2 9 0 Jde o kvadratickou nerovnici. Oproti kvadratickým nerovnicím, jejichž řešení je v jednotlivých krocích popsáno v samostatném oddíle o kvadratických a zlomkových nerovnicích (se znaménky <, >,, ), budeme tuto nerovnici řešit úplně stejně jako rovnici, tj., jakoby to rovnítko nebylo škrtlé, řešením budou všechna x různá od toho, co nám vyjde. Kvadratickou rovnici řešíme podle známého vzorečku: x,2 = -b b2-4ac, kde samozřejmě musíme mít tu (ne)rovnici v předepsaném tvaru, asi 2a takto:
-4..(-9) 36 6 Takže dosadíme: x,2 = = 2 2 2 = +3-3 Tedy výsledkem nerovnice jsou všechna x z kromě mínus trojky a plus trojky, což se dá zapsat takto: D y = \ {-3; 3} nebo taky takto: D y = (-, -3) (-3; 3) (3; ). Z nabízených odpovědí to je (A): R {-3, 3}. (Rozdíl v zápisech je pouze kosmetický. Já to píšu podle štábní kultury, kterou mě naučili na jiné škole, než je ta Vaše.) 4. Sestavte předpis pro inverzní funkci k funkci y = x - x + 3. Budeme postupovat podle mustru uvedeného na stránce http://matikadouc.webz.cz/inverznif.html. Zadaný předpis pojmeme jako rovnici a budeme se snažit převést ji na tvar: x = něco s y. y = x - /.(x + 3) x + 3 y(x + 3) = x y.x + 3y = x / -x, -3y y.x x = -3y / nalevo vytknout x x(y ) = -3y / :(y ) x = -3y - y - x = 3y + -y + x = 3y + - y / roznásobit (abychom mohli vše s x dát vlevo a všechno bez x vpravo) / je tam moc mínusů, tak změním všechna znaménka (odpovídá krácení zlomku mínus jedničkou) / v -y + změním pořadí sčítanců, jako když např. (-2) + = + (-2) = 2 Poslední 2 úpravy jsou nepovinné, takže i -3y - y - 4y -y + + = 4y + je správně. -y + 3y + 3y + nebo, ale i -y + -y + = 4y - y + -y + Vracíme se zpět k sestavování inverzní funkce, vezmeme poslední verzi naší rovnice a prohodíme v ní písmenka: f : y = 3x + - x, což je z nabízených odpovědí možnost (A). 5. V rovnici lineární funkce y = kx + 3 určete k tak, aby graf této funkce procházel bodem A[0; -3] Připomínám, že v zadání bodu A jsou v hranatých závorkách jeho souřadnice ixová a ypsilonová, což jistě víte, ale zde je to klíč k řešení. Máme tedy: A[x A, y A ] = [0; -3]. =
Když má ten bod ležet na zadané přímce, musí tedy jeho ix a ypxilon splňovat rovnici té přímky, což je totéž jako předpis lineární funkce: y = k.x + 3 a tudíž také: y A = k.x A + 3 dále dosadíme souřadnice bodu A a dostaneme rovnici pro k -3 = k.0 + 3-3 = + 3... Ano, to se u rovnic někdy stává, že neznámá vypadne a zůstane nám pouze vztah pro čísla. Když ten výsledný vztah je pravdivé tvrzení, znamená to, že rovnice má nekonečně mnoho řešení, ale když je to nepravdivé tvrzení, tak nám to říká, že rovnice nemá žádné řešení. Správně je tedy možnost (E). Kdo chce nějakou zkoušku, tomu hned vyhovím. Ti, kteří dělají analytickou geometrii závodně, říkají takovémuto zadání y = k.x + 3 svazek přímek. Jde o objekt čítající nekonečně mnoho přímek, které mají něco společného, zpravidla bod nebo směr. Zde každému k přísluší jedna přímka. Několik přímek toho svazku jsem nakreslil do obrázku. Jak vidíte, přímky procházejí bodem [0; 3]. V obrázku je dokonce i přímka, která spojuje bod A s tímto bodem. Je jí osa y. Ta ale má rovnici: x = 0, což není předpis funkce nezávisle proměnné x. I po nakreslení si tedy trvám na variantě (E). 6. Jsou dány funkce f(x) = 2x, g(x) = x 2 x +. Předpis pro složenou funkci y = g(f(x)) lze upravit na tvar... Ze samotného zadání už je krásně vidět, co se bude dělat. Tedy že do g(x) za x dosadíme celé f(x) a pak to upravíme. Jediné možné úskalí je zde nějaká početní chyba jako zapomenuté mínus, špatně sečteno 2 + a špatně opsaný řádek. Tak na to dáme pozor a pustíme se do počítání. y = g(f(x)) = f 2 (x) f(x) + = = ( 2x) 2 ( 2x) + = roznásobíme druhou závorku mínusem = ( 2x) 2 + 2x + =... - + = 0... = ( 2x) 2 + 2x = (A B) 2 = A 2-2AB + B 2, A =, B = 2x = 2..2x + (2x) 2 + 2x = = 4x + 4x 2 + 2x = seřadit podle mocniny u x = 4x 2 4x + 2x + = 4x 2 2x + A to je nabízená možnost (C).
7. V jednom z lékařských výzkumů byl sestaven matematický model vyjadřující vztah mezi věkem a normální úrovní klidového systolického krevního tlaku dospělého pacienta ve tvaru funkce P(t) = 40 + 25ln(t + ), kde t je stáří v letech a P(t) jemu odpovídající tlak v mm Hg. O kolik mm Hg vyšší tlak by měl podle tohoto mít šedesátiletý pacient oproti dvacetiletému? (zaokrouhlete na celé mm Hg). Jde o pouhé dosazení t = 60, t 2 = 20 a odečtení výsledků. K výpočtům použijeme kalkulačku. P(t) = 40 + 25 ln(t + ) P(t ) = P(60) = 40 + 25ln(60 + ) = na většině kalkulaček to uděláme takto: 42,77 P(t 2 ) = P(20) = podobně jako předtím = 6, P(t ) P(t 2 ) = 42,77 6, = 26,66 mm Hg variantě (C). 27 mm Hg, což vyšlo docentu Nýdlovi ve