1. Vypočtěte derivaci elementární funkce y = 6 x + 7
|
|
- Klára Sedláčková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Ř E Š E N Í M I N I T E S T Ů JčU Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT6. Vypočtěte derivaci elementární funkce y 6 x + 7 Vzpomeneme si na poučku o odmocninách: n x x n. Pokud máme x, znamená to ovšem x. Uvědomíme si, že 7 je pouze číslo. Zadání si podle toho přepíšeme: y (6 x + 7 ) (6.x + 7 ) Také si vzpomeneme na to, jak se derivuje mocnina: (x r ) r.x r 6..x x - 3. x Použijeme první z uvedených pouček zase na druhou stranu. 3 x Je to možnost (D).. Jestliže y 3e x + lnx.cosx, potom hodnota y () je... Napřed zderivujeme, pak dosadíme jedničku. Funkce y je součet exponenciely a součinu dvou dalších funkcí. Derivace bude tedy součtem derivací těch dvou složek, přičemž exponencielu derivace nezmění: y (3e x + lnx.cosx) (3e x ) + (lnx.cosx) 3e x + (lnx.cosx) Připomeneme si vzoreček pro derivaci součinu: (prvni.druha) prvni.druha + prvni.druha 3e x + (lnx) cosx + lnx.(cosx) (lnx), (cosx) -sinx x 3e x + x.cosx + lnx.(-sinx) 3ex + cosx - lnx.sinx x Dosadíme tedy jedničku:
2 y () 3e + cos 3e + cos - ln.sin ln 0, e e Protože radián je něco přes 60, ale méně než 90, vyjde cos někde mezi 0,5 a 0, takže správně není nic z nabízeného. Odpověď tedy zní (E) není žádná z uvedených. 3. Pro funkci y x 3 x máme určit velikost úhlu, který svírá tečna jejího grafu s kladně orientovanou osou x v bodě a.. Výsledek zaokrouhlete na celé stupně. Vzpomeneme si na poučku z kapitoly o zavedení derivace funkce v bodě: (Je to text Řešené příklady s výkladem, oddíl 8.) f (x 0 ) df lim dx dx 0 f(x lim 0 + dx) - f(x 0 ) dx dx 0 Kde je ten hledaný úhel mezi tečnou ke grafu v bodě x 0 a ixovou osou. Když jsme tázáni na ten úhel, uděláme derivaci, dosadíme do ní a místo x, čímž dostaneme tangens toho úhlu, takže na výsledek ještě použijeme funkci arctg (na kalkulačce) a dáme pozor, aby výsledek byl ve stupních. Pozn.: moje vysvětlování používá schválně bod x 0, aby bylo jasné, že to je jedno z ixů. Označení v bodě a je další pokus vás zmátnout. y (x 3 x) 3x y (,) 3., 3.,44 4,4 (Pozn.: Prohlašuji, že nejsem ani z Manchesteru ani z Dallasu, proto zásadně nepíšu a nikdy psát nebudu desetinnou tečku, nýbrž jsem z c. a k. Budweisu, proto se zarytě držím c. a k. desetinné čárky a tečka u mě znamená krát.) tg 4,4 / arctg na kalkulačce 77 5` 77, což je výsledek (E). 4. Výraz 4 df (q - ) dostaneme jako dq funkce (A) f(q) 3q + q - (D) f(q) 3q - - q (B) f(q) 3q - q - (C) f(q) 3q + - q (E) žádná z uvedených funkcí nevyhovuje.
3 Úloha, kdy se hledá k derivaci zpět funkce, je v podstatě integrování a patří až do příští nebo přespříští kapitoly. Navíc myslím, že jsem prokoukl záměr tohoto příkladu, kterým zřejmě je, abyste si zafixovali vzoreček pro derivaci zlomku (podílu). Proto nebudeme tento příklad řešit matematicky čistým a efektivním způsobem tím integrováním, ale vezmeme vylučovací metodu. (Kdo je liška podšitá, vezme to od konce, protože psychologicky odvodí, že ta správná možnost, pokud tam je, bude naschvál jedna z posledních. Mně se takové spekulace moc neosvědčily a taky si říkám, že to bych mohl rovnou integrovat.) Popořádku napřed možnost (A) vezmeme výsledek a derivujeme podle q: f(q) 3q + čitatel čitatel'.jmenovatel - čitatel.jmenovatel' vzoreček f, f q - jmenovatel jmenovatel (není to slovensky, to jsou derivace) df (3q + )'(q - ) - (3q + )(q - )' 3(q - ) - (3q + ) 3q - 3-3q - dq (q - ) (q - ) (q - ) - 4 To není ono! (q - ) Následuje možnost (B): f(q) 3q - q - (3q - )'(q - ) - (3q - )(q - )' df dq 3(q - ) - (3q - ) 3q - 3-3q + (q - ) (q - ) (q - ) - To také není ono! (q - ) Přejdeme k možnosti (C): f(q) 3q + - q df (3q + )'( - q) - (3q + )( - q)' 3( - q) - (3q + ).(-) 3-3q + (3q + ) dq ( - q) ( - q) ( - q) 3-3q + 3q + ( - q) 4 Už je to skoro ono. Někdo by tuto možnost zavrhl, protože ( - q) nesouhlasí jmenovatel. Já bych s tím tak nechvátal. 4 (- q + ) 4 ((-). (q - )) 4 (-).(q - ) 4.(q - ) 4 A to už sedí! (q - ) Ty čachry s tím znaménkem vypadají právem uměle a divoce. Zkuste si ale obě možnosti rozepsat: (q ) q.q. + q q + ( q)..q + q q + q - což je opravdu totéž. Někteří např. matfyzáci nebo inženýři technických oborů by vám taky řekli, že (q ) je čtverec vzdálenosti jedničky od q, kdežto ( q) je čtverec vzdálenosti q od jedničky, což přece obvykle bývá stejné. Neboli: Je to dál z Budějovic do Prahy nebo z Prahy do Budějovic? Takže opravdu možnost (C). Komentář: Tomu se říká chyták, podpásovka, zvěrstvo,...
4 5. Najděte všechny stacionární body funkce y x 3-3x Stacionární body jsou ty, kde je derivace nulová. V těchto bodech se s funkcí obvykle něco děje. Buďto přestává růst a začíná klesat, popř. opačně pak jde o (lokální nebo globální) maximum, popř. minimum viz pojednání o průběhu funkcí, nebo se funkce ve stacionárním bodě začíná stáčet na opačnou stranu představte si prostředek písmene S. Nuže nejprve derivaci, pak určit, kde je nulová. y x 3-3x y složená funkce... vnitřní funkce je z x 3 3x, vnější je z, tj. z, kterou ale derivujeme podle z, obě derivace vynásobíme, jak nám káže vzoreček na složenou funkci: z -.(3x 3) z (3x 3) 3x - 3 x 3-3x.(3x 3) x 3-3x y 0 3x - 3 x 3-3x 0 / Nepleťte si to s nerovnicí. Zde nás jmenovatel až tak moc nezajímá. Tam, kde je nulový, nemá zřejmě funkce derivaci. Mimochodem je to v x 0 a x 3. My provedeme úpravu založenou na tom, že zlomek je nulový, jen když je čitatel nulový: 3x 3 0 / :3 x 0 Zde jsou dva možné další postupy rychlý a spolehlivý: Rychlý způsob x 0 / + x / x Spolehlivý způsob Je to kvadratická rovnice, tak použijeme příslušný vzorec. Napřed učešeme zadání: x 0 x, -b b - 4ac a (-) 4 x, Takto by to vypadalo na variantu (D), kde je jednička a mínus jednička. ALE POZOR!!!
5 Tento příklad je obzvláště zákeřný chyták, ještě zákeřnější než předchozí příklad. Schválně si zkusíme ty body načrtnout do grafu funkce y x 3-3x. K tomu potřebujeme kromě x, také y,. Ty dopočítáme: y (-) 3-3.(-) OK y A SAKRA. Tak toto nenamalujeme. Mínus pod odmocninou je zakázáno a to znamená, že ta funkce v bodě x vůbec není (definovaná... jednička nepatří do jejího definičního oboru), takže tam ani nemá žádný stacionární bod. Všechny stacionární body funkce y jsou tyto: x -. Tato možnost v nabídce není, správně je (E) žádný z uvedených Je dána funkce y ln(x + 7). Potom zlomek y'() y'() je roven... Spočítáme derivaci, dosadíme dvojku a jedničku, dáme do zlomku: y ln(x + 7) y Zase je to složená funkce. Vnitřní funkce je z x + 7, její derivace.x 4x. Vnější funkce je lnz. Tu derivujeme podle z a následně dosadíme. Vyjde z x + 7. x x 4x x y () y () y'() y'() Správně je (B). Komentář: Student(ka), který/á měl(a) půjčenou vaši cvičebnici z městské knihovny přede mnou divoce zakroužkoval(a) propiskou to béčko škoda, udělalo by mi radost, kdyby to nebylo dobře. 7. Po zásahu ekologů došlo postupně ke zlepšení kvality vody v jezeře zasaženém bakteriální infekcí. Počáteční stav 5000 bakterií v mililitru vody se dále vyvíjel podle modelové funkce N(t) ln( + t ), kde N(t) je koncentrace
6 bakterií v mililitru vody závisící na t, času od počátku procesu ve dnech. Jakou rychlostí klesal počet bakterií v jednom mililitru vody a půl den od počátku procesu? (Zaokrouhlete na nejbližší stovku bakterií v ml za den.) Kdo má maturitu z fyziky, bude vám tvrdit, že rychlost je dráha lomená časem. Ale kdo čichl k fyzice na VŠ, ten by vám vysvětlil, že rychlost je změna nějaké veličiny v čase. Ano, může to být a často to bývá ona dráha, ale klidně to může být i počet, elektrický náboj, koncentrace, což je vlastně totéž jako počet, nebo třeba úhel. Jo, a změnu veličiny v čase dostaneme tak, že její časovou funkci zderivujeme podle času. Tak to uděláme i tady: N(t) ln( + t ) dn dt A zase složená funkce (těch 5000 je konstanta, kterou derivaci zplacatí na nulu) vnější funkce je zase logaritmus lnz, její derivace z. Vnitřní funkce je tady + t z + t, její derivace vyjde t. Známý vzoreček nám zase velí obě derivace vynásobit t + t.t + t dn -000.,5 (,5) dt + 6, * 7,5 Mínus jsem tam nechal. Znamená to, že sledovaná veličina nenarůstá, ale klesá. Což souhlasí. U výsledku mi chybí jednotka, což je ve fyzice hrubá chyba. Protože naše časová jednotka je den, odpovídá tento výsledek dobře možnosti (B). Jednotka, kterou vám dlužím u výsledku, je bakterií v mililitru za den. * Mimochodem, toto znáte? Fígl, jak se počítá druhá mocnina čísla zakončeného pětkou: Rozdělím číslo na počet desítek a pětku. Pětku zahodím. Počet desítek vynásobím číslem o jednu větším a za výsledek připíšu 5. Např.: (3+) Zde to bylo: (+) resp.:,5 65, ovšem desetinná čárka musí ještě o dvě místa doleva... 6,5. Nebo i takto: Račte ověřit na kalkulačce.
JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT8. Určete v kolika z následujících čtyřech případů se jedná o dvojici funkce f(x) a její primitivní
Více2. Určete kolik z následujících čtyř bodů a 1 = -1; a 2 = 1; a 3 = 0,5; a 4 = 0 patří do definičního oboru
Ř E Š E N Í M I N I T E S T Ů JčU Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RDNr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT5. Jsou dány funkce f : y = 4x 9, f 2 : y = 6 x 3, f 3 : y = log(4x + 64). Potom pro
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT7. Najděte rovnici tečny ke křivce y x v bodě a. x Tečna je přímka. Přímka se zapisuje jako lineární
VíceDerivace vyšších řádů, aplikace derivací
Derivace vyšších řádů, aplikace derivací Značení derivací vyšších řádů Máme funkci f: y = f x f x druhá derivace funkce y = f x f k x k-tá derivace funkce y = f x Derivace vyšších řádů počítáme opakovaným
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT1 1. Porovnejte mezi sebou normy zadaných vektorů p =(1,-3), q =(2,-2,2), r =(0,1,2,2). (A) p
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT4. Z daných tří soustav rovnic o neznámých x, x vyberte právě všechny ty, které jsou regulární.
VícePraha & EU: investujeme do vaší budoucnosti. Daniel Turzík, Miroslava Dubcová,
E-sbírka příkladů Seminář z matematiky Evropský sociální fond Praha & EU: investujeme do vaší budoucnosti Daniel Turzík, Miroslava Dubcová, Pavla Pavlíková Obsah 1 Úpravy výrazů................................................................
VíceJčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT9
ŘEŠENÍ MINITESTŮ JčU - Cvičení z matematiky pro zemědělské obory (doc. RNDr. Nýdl, CSc & spol.) Minitest MT9. K výpočtu dx užijte kalkulačku. Zaokrouhlete x na desetinné místo. Úplně jednoduché - určitý
Vícetakţe podmínka vypadá takto jmenovatel = 0 jmenovatel 0 něco < 0 něco 0 vnitřek 0 vnitřek > 0 cos(argument) = 0 sin(argument) =
ZJIŠŤOVÁNÍ DEFINIČNÍHO OBORU FUNKCÍ Definiční obor funkce f(x) zjišťujeme tímto postupem: I. Vypíšeme si všechny výrazy pro které by mohlo být něco zakázáno a napíšeme podmínky pro to, aby se ty zakázané
VíceMatematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0
Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
VíceTeorie. Hinty. kunck6am
kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 2. cvičení Teorie Věta (Aritmetika derivací). Necht a R a necht f a g jsou funkce definované na nějakém okolí bodu a. Necht existují f (a) R a g (a) R.
VíceŘEŠENÍ KVADRATICKÝCH A ZLOMKOVÝCH NEROVNIC V ŠESTI BODECH
(Tento text je součástí výkladu k definičním oborům, tam najdete další příklady a pokud chcete část tohoto textu někde použít, můžete čerpat ze stažené kompletní verze definičních oborů ve formátu.doc.)
VíceNeurčitý integrál. Robert Mařík. 4. března 2012
Neurčitý integrál Robert Mařík 4. března 0 V tomto souboru jsou vysvětleny a na příkladech s postupným řešením demonstrovány základní integrační metody. Ikonka za integrálem načte integrál do online aplikace
VíceMatematická analýza ve Vesmíru. Jiří Bouchala
Matematická analýza ve Vesmíru Jiří Bouchala Katedra aplikované matematiky jiri.bouchala@vsb.cz www.am.vsb.cz/bouchala - p. 1/19 typu: m x (sin x, cos x) R(x, ax +...)dx. Matematická analýza ve Vesmíru.
VíceMatematika I pracovní listy
Matematika I pracovní listy Dagmar Dlouhá, Radka Hamříková, Zuzana Morávková, Michaela Tužilová Katedra matematiky a deskriptivní geometrie VŠB - Technická univerzita Ostrava Úvod Pracovní listy jsou určeny
VíceNalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: =, 0 = 1 = 1. ln = +,
Příklad Nalezněte obecné řešení diferenciální rovnice (pomocí separace proměnných) a řešení Cauchyho úlohy: a) =, 0= b) =, = c) =2, = d) =2, 0= e) =, 0= f) 2 =0, = g) + =0, h) =, = 2 = i) =, 0= j) sin+cos=0,
VícePříklad 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 6
Příklad 1 Vyšetřete průběh funkce: a) = b) = c) = d) =ln1+ e) =ln f) = Poznámka K vyšetřování průběhu funkce použijeme postup uvedený v zadání. Některé kroky nejsou již tak detailní, všechny by ale měly
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
Více( ) ( ) Vzorce pro dvojnásobný úhel. π z hodnot goniometrických funkcí. Předpoklady: Začneme příkladem.
Vzorce pro dvojnásobný úhel Předpoklady: 0 Začneme příkladem Př : Pomocí součtových vzorců odvoď vzorec pro sin x sin x sin x + x sin x cos x + cos x sin x sin x cos x Př : Pomocí součtových vzorců odvoď
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme vyšetřit lichost či sudost funkce ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 3
Příklad 1 Zjistěte, zda jsou dané funkce sudé nebo liché, případně ani sudé ani liché: a) =ln b) = c) = d) =4 +1 e) =sin cos f) =sin3+ cos+ Poznámka Všechny tyto úlohy řešíme tak, že argument funkce nahradíme
VíceObsah. Metodický list Metodický list Metodický list Metodický list
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Závislosti
VíceMatematická analýza III.
2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom
Více= 2x + y, = 2y + x 3. 2x + y = 0, x + 2y = 3,
V. Lokální extrémy. Příklad 1: Určete lokální extrémy zadané funkce. 1. f(x, y) = x 2 + y 2 + xy 3y 2. Definičním oborem funkce je množina Df = R 2 a funkce f má spojité parciální = 2x + y, = 2y + x 3.
Vícey = 2x2 + 10xy + 5. (a) = 7. y Úloha 2.: Určete rovnici tečné roviny a normály ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)). f(x, y) = x, a = (1, 1).
III Diferenciál funkce a tečná rovina Úloha 1: Určete rovnici tečné roviny ke grafu funkce f = f(x, y) v bodě (a, f(a)) f(x, y) = 3x 3 x y + 5xy 6x + 5y + 10, a = (1, 1) Řešení Definičním oborem funkce
Více2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je
Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)
Více1 1 x. (arcsinx) = (arccosx) = (arctanx) = x 2. (arcctg) = (e x ) = e x
.cvičení 0..009 Teorie Definice. Necht f je reálná funkce a a R. Jestliže eistuje lim h 0 f(a + h) f(a), h pak tuto limitu nazýváme derivací funkce f v bodě a. Značíme f f(a + h) f(a) (a) := lim. h 0 h
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/34.0211. Anotace. Integrální počet VY_32_INOVACE_M0308. Matematika
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 0 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..07/.5.00/3.0 Zlepšení podmínek pro
VíceObsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce
Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních
VíceMatematika 1 pro PEF PaE
Derivace funkcí jedné proměnné / 9 Matematika pro PEF PaE 4. Derivace funkcí jedné proměnné Přemysl Jedlička Katedra matematiky, TF ČZU Derivace funkcí jedné proměnné Nejjednodušší derivace 2 / 9 Derivace
Vícedx se nazývá diferenciál funkce f ( x )
6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí
VíceWolfram Alpha. v podobě html stránky, samotný výsledek je často doplněn o další informace (např. graf, jiné možné zobrazení výsledku a
Wolfram Alpha jde o výpočetní prostředí z nejrůznějších oborů (matematika, fyzika, chemie, inženýrství... ) přístupné online: http://www.wolframalpha.com/ Jaké matematické výpočty Wolfram Alpha zvládá?
Více4. Určete definiční obor elementární funkce g, jestliže g je definována předpisem
4 Určete definiční obor elementární funkce g jestliže g je definována předpisem a) g ( x) = x 16 + ln ( x) x 16 ( x + 4 )( x 4) Řešíme-li kvadratickou nerovnice pomocí grafu kvadratické funkce tj paraboly
VíceZimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014
Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva
VíceZlín, 23. října 2011
(. -. lekce) Sylva Potůčková, Dana Stesková, Lubomír Sedláček Gymnázium a Jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Zlín Zlín, 3. října 0 Postup při vyšetřování průběhu funkce. Definiční obor funkce,
VíceMatematika Kvadratická rovnice. Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar
Kvadratická rovnice Kvadratická rovnice je matematický zápis, který můžeme (za pomoci ekvivalentních úprav) upravit na tvar ax 2 + bx + c = 0. x neznámá; v kvadratické rovnici se vyskytuje umocněná na
VíceDiferenciální počet funkcí více proměnných
Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně LDF)
Více1. Několik základních pojmů ze středoškolské matematiky. Na začátku si připomeneme následující pojmy:
Opakování středoškolské matematiky Slovo úvodem: Tato pomůcka je určena zejména těm studentům presenčního i kombinovaného studia na VŠFS, kteří na středních školách neprošli dostatečnou průpravou z matematiky
Více----- Studijní obory. z matematiky. z matematiky. * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice
Minimum Maximum Minimum Maximum Studijní obory z matematiky z matematiky z matematiky z matematiky * Aplikovaná matematika * Matematické metody v ekonomice * Obecná matematika Navazující magisterský studijní
VíceKapitola 7: Integrál. 1/17
Kapitola 7: Integrál. 1/17 Neurčitý integrál - Motivační příklad 2/17 Příklad: Necht se bod pohybuje po přímce rychlostí a) v(t) = 3 [m/s] (rovnoměrný přímočarý pohyb), b) v(t) = 2t [m/s] (rovnoměrně zrychlený
Více16. Goniometrické rovnice
@198 16. Goniometrické rovnice Definice: Goniometrická rovnice je taková rovnice, ve které proměnná (neznámá) vystupuje pouze v goniometrických funkcích. Řešit goniometrické rovnice znamená nalézt všechny
VíceDiferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.
Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin
VíceDERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem
VíceMocninná funkce: Příklad 1
Mocninná funkce: Příklad 1 Zadání: Vyšetřete průběh mocninné funkce. Řešení: 1. Jako první si určíme definiční obor: D(f)=R. 2. Nyní si spočítáme zda je daná funkce sudá nebo lichá: Daná funkce je lichá.
VíceVypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY
Vlastnosti funkcí Vypracoval: Mgr. Lukáš Bičík TENTO PROJEKT JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Definiční obor Definiční obor funkce je množina všech čísel,
VícePetr Hasil
Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny
VíceKapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14
Kapitola 7: Neurčitý integrál. 1/14 Neurčitý integrál 2/14 Definice: Necht f je funkce definovaná na intervalu I. Funkci F definovanou na intervalu I, pro kterou platí F (x) = f (x) x I nazýváme primitivní
VíceVzorce pro poloviční úhel
4.. Vzorce pro poloviční úhel Předpoklady: 409 Chceme získat vzorce pro poloviční úhel vyjdeme ze vzorců pro dvojnásobný úhel: sin = sin cos, cos = cos sin. Výhodnější je vzorec cos = cos sin, obsahuje
Více4.3.8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí. π π. π π π π. π π. π π. Předpoklady: 4306
..8 Vzorce pro součet goniometrických funkcí Předpoklady: 06 Vzorce pro součet goniometrických funkcí: sin + sin y = sin cos sin sin y = cos sin cos + cos y = cos cos cos cos y = sin sin Na první pohled
VíceSPECIÁLNÍCH PRIMITIVNÍCH FUNKCÍ INTEGRACE RACIONÁLNÍCH FUNKCÍ
VÝPOČET PEIÁLNÍH PRIMITIVNÍH FUNKÍ Obecně nelze zadat algoritmus, který by vždy vedl k výpočtu primitivní funkce. Nicméně eistují jisté třídy funkcí, pro které eistuje algoritmus, který vždy vede k výpočtu
VícePříklad 1. Řešení 1a Máme řešit rovnici ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 1. Řešte v R rovnice: 8 3 5 5 2 8 =20+4 1 = + c) = f) +6 +8=4 g) h)
Příklad Řešte v R rovnice: a) 8 3 5 5 2 8 =20+4 b) = + c) = d) = e) + =2 f) +6 +8=4 g) + =0 h) = Řešení a Máme řešit rovnici 8 3 5 5 2 8 =20+4 Zjevně jde o lineární rovnici o jedné neznámé. Nejprve roznásobíme
VíceZápočtová písemka Řešení
Zápočtová písemka Řešení 0. května 0. Spočítejte derivaci následujicí funkce podle x a podle ln x: y ln ln ln x )) + ln ln ln 598 )).. Řešení: Tento člen ln ln ln 598 )) sloužil samozřejmě jen k zmatení
VíceDerivace a monotónnost funkce
Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je
VíceKonvexnost, konkávnost
20. srpna 2007 1. f = x 3 12x 2. f = x 2 e x 3. f = x ln x Příklad 1. Určete intervaly, na kterých je funkce konvexní a konkávní a určete inflexní body f = x 3 12x Příklad 1. f = x 3 12x Řešení: Df = R
VíceTest M1-ZS12-2 M1-ZS12-2/1. Příklad 1 Najděte tečnu grafu funkce f x 2 x 6 3 x 2, která je kolmá na přímku p :2x y 3 0.
Test M-ZS- M-ZS-/ Příklad Najděte tečnu grafu funkce f x x 6 3 x, která je kolmá na přímku p :x y 3 0. Zřejmě D f R. Přímka p má směrnici, tečna na ní kolmá má proto směrnici. Protože směrnice tečny ke
VíceÚvodní informace. 17. února 2018
Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní
Více1 Integrální počet. 1.1 Neurčitý integrál. 1.2 Metody výpočtů neurčitých integrálů
Integrální počet. Neurčitý integrál Neurčitým integrálem k dané funkci f() nazýváme takovou funkci F (), pro kterou platí, že f() = F (). Neboli integrálem funkce f() je taková funkce F (), ze které bychom
VíceDerivace goniometrických. Jakub Michálek,
Derivace goniometrických funkcí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Shrnutí Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech limitách, odvodí se také dvě důležité limity. Vypočítá
VícePříklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.
Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející
VíceNEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA NEURČITÝ INTEGRÁL - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
Více4.3.3 Základní goniometrické vzorce I
4.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 40 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceAplikace derivace ( )
Aplikace derivace Mezi aplikace počítáme:. LHospitalovo pravidlo. Etrémy funkce (růst a pokles funkce) 3. Inflee (konávnost a konvenost). Asymptoty funkce (se i bez směrnice) 5. Průběh funkce 6. Ekonomické
VíceVzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK CZ.1.07/1.5.00/ Anotace. Integrální počet. Substituce v určitém integrálu VY_32_INOVACE_M0311
Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ..7/.5./. Zlepšení podmínek pro výuku
VíceDerivace funkce Otázky
funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu
VíceLogaritmické a exponenciální funkce
Kapitola 4 Logaritmické a exponenciální funkce V této kapitole se budeme zabývat exponenciálními a logaritmickými funkcemi. Uvedeme si definice vlastnosti a vztah mezi nimi. 4.1 Exponenciální funkce Exponenciální
Více22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich limita a derivace
22. & 23. & 24. Vlastnosti funkcí a jejich ita a derivace Základní vlastnosti Definiční obor Definiční obor je množina neznámých, pro něž je funkce definována. Obor hodnot Obor hodnot je množina všech
Více1 Extrémy funkcí - slovní úlohy
1 Extrémy funkcí - slovní úlohy Příklad 1.1. Součet dvou kladných reálných čísel je a. Určete 1. Minimální hodnotu součtu jejich n-tých mocnin.. Maximální hodnotu součinu jejich n-tých mocnin. Řešení.
VíceFunkce a lineární funkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce a lineární funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce
VícePRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ
MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA PRŮBĚH FUNKCE - CVIČENÍ Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny
VícePetr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
Neurčitý integrál Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu
VíceKomisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) 2 x. 1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou x:. 2) Určete, pro která x R není daný výraz definován:
1) Z dané rovnice vypočtěte neznámou :. ) Určete, pro která R není daný výraz definován: 3) Určete obor hodnot funkce Komisionální přezkoušení 1T (druhé pololetí) f : y 4 3. 4 8 5 1 4) Vyšetřete vzájemnou
VíceCVIČNÝ TEST 15. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17
CVIČNÝ TEST 15 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 1 Je dána čtvercová mřížka, v níž každý čtverec má délku
VíceDerivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace
Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako
VíceFunkce. RNDR. Yvetta Bartáková. Gymnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou
Funkce RNDR. Yvetta Bartáková Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Derivace funkce VY INOVACE_05 0_M Gmnázium, SOŠ a VOŠ Ledeč nad Sázavou Definice Mějme funkci f definovanou v okolí bodu 0. Eistuje-li
Více5. cvičení z Matematiky 2
5. cvičení z Matematiky 2 21.-25. března 2016 5.1 Nalezněte úhel, který v bodě 1, 0, 0 svírají grafy funkcí fx, y ln x 2 + y 2 a gx, y sinxy. Úhel, který svírají grafy funkcí je dán jako úhel mezi jednotlivými
VíceF (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.
KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních
VíceMATEMATIKA. Příklady pro 1. ročník bakalářského studia. II. část Diferenciální počet. II.1. Posloupnosti reálných čísel
MATEMATIKA Příklady pro 1. ročník bakalářského studia II. část II.1. Posloupnosti reálných čísel Rozhodněte, zda posloupnost a n (n = 1, 2, 3,...) je omezená (omezená shora, omezená zdola) resp. monotónní
VíceŘešené příklady ze starých zápočtových písemek
Řešené příklady ze starých zápočtových písemek Úloha. Najděte všechna reálná řešení rovnice log x log x 3 = log 6. Řešení. Nebot logaritmus je definovaný pouze pro kladné hodnoty dostáváme ihned podmínku
VíceFunkce pro studijní obory
Variace 1 Funkce pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Funkce Funkce je přiřazení,
VíceAplikace derivace a průběh funkce
Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného
Více15. Goniometrické funkce
@157 15. Goniometrické funkce Pravoúhlý trojúhelník Ze základní školy znáte funkce sin a cos jako poměr odvěsen pravoúhlého trojúhelníka ku přeponě. @160 Měření úhlů Velikost úhlů se měří buď mírou stupňovou
VíceDiferenciální počet ve středoškolské matematice
Diferenciální počet ve středoškolské matematice Mgr. Eva Valentová 2018 Předmluva Tento učební text je určen studentům čtvrtéo ročníku čtyřletýc gymnázií, kteří se ctějí věnovat při dalším studiu tecnickým,
VíceParametrická rovnice přímky v rovině
Parametrická rovnice přímky v rovině Nechť je v kartézské soustavě souřadnic dána přímka AB. Nechť vektor u = B - A. Pak libovolný bod X[x; y] leží na přímce AB právě tehdy, když vektory u a X - A jsou
Více4.3.4 Základní goniometrické vzorce I
.. Základní goniometrické vzorce I Předpoklady: 0 Dva vzorce, oba známe už z prváku. Pro každé R platí: + =. Důkaz: Použijeme definici obou funkcí v jednotkové kružnici: T sin() T 0 - cos() S 0 R - Obě
VíceV (c) = (30 2c)(50 2c)c = 1500c 160c 2 + 4c 3. V (c) = 24c 320.
Domácí úkol č. 3 Řešení Pozn.: úhly, které se zdají být pravé, jsou ve všech obrázcích opravdu pravé. 1. Z kartonu je třeba vyříznout čtverce v rozích, viz obr. 1 a přehnout podle přerušovných čar. Krabice
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceDerivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer
Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2014-2015 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceStručný přehled učiva
Stručný přehled učiva TU1M2 Matematika 2 pro LP17, LP18 4. Aplikace diferenciálního počtu 4.1 Rovnice tečny a normály Má-li funkce v bodě vlastní derivaci, pak je to směrnice tečny grafu funkce v tečném
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY
MATEMATICKÁ ANALÝZA A LINEÁRNÍ ALGEBRA PŘÍPRAVA NA ZKOUŠKU PRO SAMOUKY POMNĚNKA prase Pomni, abys nezapomněl na Pomněnku MSc. Catherine Morris POMNĚNKA Verze ze dne: 14. října 01 Materiál je v aktuální
VíceDiferenciální rovnice 1
Diferenciální rovnice 1 Základní pojmy Diferenciální rovnice n-tého řádu v implicitním tvaru je obecně rovnice ve tvaru,,,, = Řád diferenciální rovnice odpovídá nejvyššímu stupni derivace v rovnici použitému.
VíceDiferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy
Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)
VíceCVIČNÝ TEST 10. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Renáta Koubková. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19
CVIČNÝ TEST 10 Mgr. Renáta Koubková OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Pro x R řešte rovnici: 5 x 1 + 5 x + 5 x + 3 = 3 155. 2 Za předpokladu
VícePříklad 1. Řešení 1a. Řešení 1b ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1B ČÁST 5
Příklad 1 Najděte totální diferenciál d (h) pro h=(h,h ) v příslušných bodech pro následující funkce: a) (,)= cos, =1; b) (,)=ln( + ), =2; 0 c) (,)=arctg(), =1; 0 1 d) (,)= +, =1; 1 Řešení 1a Máme nalézt
VíceJsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to:
Podmínky u výrazů Jsou tři druhy výrazů, které jsou fuj a u kterých je třeba jisté ostražitosti. Jsou to: lomené výrazy výrazy se sudými odmocninami výrazy s logaritmy Lomené výrazy Lomené výrazy jsou
VíceNalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné
. Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
VíceNMAF 051, ZS Zkoušková písemná práce 26. ledna x. x 1 + x dx. q 1. u = x = 1 u2. = 1 u. u 2 (1 + u 2 ) (1 u 2 du = 2.
Jednotlivé kroky při výpočtech stručně, ale co nejpřesněji odůvodněte Pokud používáte nějaké tvrzení, nezapomeňte ověřit splnění předpokladů Jméno a příjmení: Skupina: Příklad 4 Celkem bodů Bodů 5 6 8
Více