Lineární algebra : Polynomy

Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 15. dubna 2014, 11:21 1

2 2.1 Značení a těleso komplexních čísel Značení N := {1, 2, 3... }... množina přirozených čísel (neobsahuje 0). N 0 := N {0}. Z, Q, R a C... po řadě čísla celá, racionální, realná a komplexní. Pro n N, definujeme ˆn := {1, 2, 3,..., n}. Dále budeme běžně používat symbol a v obyklém smyslu: a a i := a 1 + a 2 + + a n n a i := a 1 a 2... a n. Další symboly zavedeme během kurzu. Číselné těleso C Přesnou definici číselného tělesa uvedeme později - příklady jsou: Q, R, nebo C. Množina C := {a + ib a, b R}, kde symbol i označuje tzv. imaginární jednotku. Symbol + nemá svůj obvyklý význam, slouží jako "oddělovač"(mohli bychom psát (a, b) místo a + ib). Pro z = a + ib C nazýváme a reálnou částí z a značíme Re z. Číslo b nazýváme imaginární částí z a značíme Im z.

3 Tuto množinu vybavíme dvěma operacemi + : C C C a : C C C, které pro a, b, c, d R definujeme následovně: (a + ib) + (c + id) := (a + c) + i(b + d), (a + ib) (c + id) := (ac bd) + i(ad + bc). Všimněte si, že pravidlo pro násobení bychom dostali formálním roznásobením závorek (a + ib) a (c + id), položíme-li i 2 = 1. Komplexní sdružení Definice 1. Buď z = a + ib, a, b R komplexní číslo. Číslo z := a ib nazýváme číslem komplexně sdruženým k číslu z. Dále z := a 2 + b 2 nazýváme absolutní hodnotou komplexního čísla z. Cvičení: Ověřte následující vlastnosti komplexního sdružení: 1. z + w = z + w, 2. z w = z w, 3. z 2 = z z, pro z, w C. 2.2 Polynomy definice a operace Polynomy Definice 2. Funkce p : C C je polynom, právě když existují n N 0 a α 0, α 1,..., α n C tak, že ( ) ( x C) p(x) = α i x i. Čísla α 0, α 1,..., α n nazýváme koeficienty polynomu. Množinu všech polynomů označíme P. Dále definujeme stupeň polynomu p jako St p := max{j N 0 α j 0}, stupeň nulového polynomu p 0 defininujeme 1.

4 Poznámka 3. Definice stupně polynomu má smysl, protože, jak ukážeme později, polynom má své koeficienty (a tedy i stupeň) určeny jednoznačně (až na "nulové koeficienty navíc"). Příklad: Funkce p(x) = 6x 4 + πx 2 + (2 i)x + 1/3 je polynom stupně 4. Polynomy operace Operace sčítání polynomů p a q a násobení polynomu p komplexním číslem α zavádíme stejně jako pro funkce: ( x C)( (p + q)(x) := p(x) + q(x)), ( x C)( (αp)(x) := αp(x)). Množina P je vůči těmto operacím uzavřená, tzn. pro p, q P a α C platí: p + q P a αp P. Cvičení: Ukažte, že pro p, q P platí St(p + q) max(st p, St q). Poznámka 4. Všimněte si, že operace na polynomech lze popsat pouze pomocí jejich koeficientů. Také polynom sám lze chápat jako uspořádanou (n + 1)-tici jeho koeficientů. Algoritmy pro realizaci jednotlivých operací pouze sčítají nebo násobí koeficienty polynomů. S proměnnou x algoritmy vůbec nepracují. 2.3 Fundamentální vlastnosti polynomů Definice 5. Číslo λ C nazveme kořen polynomu p, právě když p(λ) = 0. poly- Kořen nomu Věta 6 (Základní věta algebry). Polynom stupně alespoň 1 má alespoň 1 kořen. Důkaz: Neuvádíme (důsledek Liouvilleovy věty z analýzy fukce komplexní proměnné). Bézoutova věta

5 Věta 7 (Bézoutova). Nechť p je polynom stupně n N 0, λ 0 C. Potom existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí p(x) = (x λ 0 )q(x) + p(λ 0 ). Důkaz. Buď p(x) = α k x k, α n 0. k=0 Připomeňme známý vzorec, který lze snadno dokázat matematickou indukcí, potom lze psát k 1 a k b k = (a b) a i b k 1 i, Položme p(x) p(λ 0 ) = α k x k α k λ k 0 k=0 k=0 = α k (x k λ k 0) = α k (x k λ k 0) k=0 k=1 ( k 1 = α k (x λ 0 ) k=1 k 1 =(x λ 0 ) α k k=1 q(x) = k=1 x i λ k 1 i 0 x i λ k 1 i 0. k 1 α k x i λ0 k 1 i, pak na pravé straně je člen s nejvyšší mocninou x roven α n x n 1 a tedy q je polynom stupně n 1 a platí p(x) = (x λ 0 )q(x) + p(λ 0 ). ) Poznámka 8. Všimněte si, že je-li λ 0 C v Bézoutově větě kořenem p, tj. p(λ 0 ) = 0, pak existuje polynom q stupně n 1 tak, že pro x C platí p(x) = (x λ 0 )q(x). Důsledek 9. Polynom stupně n 0 má nejvýše n kořenů. Důsledky Bézoutovy 1/2 věty

6 Důkaz. Tvrzení dokážeme indukcí podle stupně polynomu n 0: 1. n = 0: Každý polynom nulového stupně je konstantní nenulová funkce (jinak by šlo o nulový polynom, ten má však stupeň 1), ta nemá žádný kořen. 2. Nechť každý polynom stupně n 0 má nejvýše n kořenů. Nechť p je libovolný polynom stupně n + 1. Podle Základní věty algebry má p alespoň jeden kořen λ 0. Podle Bézoutovy věty existuje polynom q stupně n takový, že p(x) = p(λ 0 ) + (x λ 0 )q(x) = (x λ 0 )q(x). Podle indukčního předpokladu má q nejvýše n kořenů a zřejmě p má (díky součinu se závorkou (x λ 0 )) nejvýše o jeden kořen více než q, tedy p má nejvýše n + 1 kořenů. Protože polynom je speciální druh funkce, také rovnosti dvou polynomů p a q budeme rozumět jako rovnosti dvou funkcí. Důsledky Bézoutovy 2/2 věty Tedy p = q def ( x C)(p(x) = q(x)). Je zřejmé, že polynom je jednoznačně určen svými koeficienty. Následující důsledek Bézoutovy věty říká, že je to pravda také obráceně. Důsledek 10. Koeficienty polynomu jsou určeny jednoznačně (až na případné nulové). Nebo-li neexistuje polynom p takový, že ( x C) p(x) = α j x j = β j x j, a přitom ( j 0)(α j β j ).

7 Důkaz. Tvrzení dokážeme sporem. Nechť existuje polynom p takový, že ( x C) p(x) = α j x j = β j x j ( j 0)(α j β j ). Označme potom musí k = max{j 0 α j β j }, k ( x C) (α j β j )x j = 0, tj. polynom stupně k by měl nekonečně mnoho kořenů, což je spor s již dokázaným důsledkem Bézoutovy věty. Věta 11. Nechť p je polynom stupně n 1 tvaru p(x) = α j x j a nechť λ 1, λ 2,..., λ k jsou všechny jeho různé kořeny (tj. k n). Potom existují jednoznačně určená čísla n 1, n 2,..., n k N taková, že k n i = n a k p(x) = α n (x λ i ) n i. (2.1) po- na Rozklad lynomu kořenové činitele Důkaz. Nejprve dokážeme existenci takového rozkladu a poté jeho jednoznačnost. 1. Existenci dokážeme indukcí podle stupně n: Pro n = 1 je tvrzení zřejmé neboť p(x) = α 1 x + α 0 s α 1 0 implikuje p(x) = α 1 ( x α 0 α 1 ). Nechť tedy n > 1 a nechť pro polynomy stupně n 1 tvrzení platí. Podle Bézoutovy věty existuje polynom q stupně n 1 takový, že pro každé x C platí p(x) = (x λ k )q(x). (2.2)

8 Je-li q(λ k ) 0, potom podle indukčního předpokladu existují přirozená čísla n 1,..., n k 1 taková, že pro každé x C platí k 1 q(x) = α n (x λ i ) n i, k 1 n i = n 1. (2.3) Označíme-li n k = 1, dostáváme kombinací (2.2) a (2.3) tvrzení věty. Je-li q(λ k ) = 0, dostaneme podle indukčního předpokladu existenci přirozených čísel n 1,..., n k 1, ñ k s vlastností (pro každé x C) q(x) = α n (x λ k )ñk k 1 k 1 (x λ i ) n i, ñ k + n i = n 1. (2.4) Položíme-li n k = ñ k + 1, jsou n 1,..., n k hledaná čísla pro polynom p, pro která platí k n i = n a k p(x) = α n (x λ i ) n i. 2. Jednoznačnost dokážeme sporem: Nechť pro každé x C platí k k (x λ i ) n i = (x λ i ) m i, (2.5) kde n i, m i jsou přirozená čísla, k n i = k m i = n a existuje i ˆk takové, že n i m i. Bez újmy na obecnosti předpokládejme, že i = k a m k > n k (jinak kořeny přečíslujeme). Potom po odečtení pravé strany v (2.5) a vytknutí výrazu (x λ k ) n k pro každé x C dostáváme ( k 1 ) k 1 (x λ k ) n k (x λ i ) n i (x λ k ) m k n k (x λ i ) m i = 0. To ale znamená, že výraz ve velké závorce je nulový pro všechna x C. (Rozmyslete si proč!) Platí tedy k 1 k 1 (x λ i ) n i = (x λ k ) m k n k (x λ i ) m i pro každé x C, což ovšem pro x = λ k pravda není (pravá strana je rovna nule, levá nenulovému číslu) a dostáváme spor. Definice 12. Číslo n i z věty nazýváme násobnost kořene λ i, vyjádření p(x) ve tvaru (2.1) rozklad polynomu p na kořenové činitele.

9 2.4 Vlastnosti polynomů s reálnými koeficienty Věta 13. Buď p polynom s reálnými koeficienty a λ 0 C kořen polynomu p. Potom λ 0 je také kořen p a násobnosti kořenů λ 0 a λ 0 jsou stejné. Kořeny polynomu s reálnými koeficienty Důkaz. Buď kde α j R pro každé j ˆn. p(x) = α j x j, 1. Buď λ 0 kořen polynomu p. Protože p(x) = α j (x) j = α j x j = α j x j = α j x j = p(x), je také p(λ 0 ) = 0. 2. Nechť λ 0 má násobnost k. Pro každé x C tedy platí p(x) = (x λ 0 ) k q(x), kde q je polynom s vlastností q(λ 0 ) 0. Podobně jako výše odvodíme p(x) = p(x) = (x λ 0 ) k q(x) = (x λ 0 ) k q(x). Protože pro polynom h(x) := q(x), platí h(λ 0 ) = q(λ 0 ) 0, je λ 0 rovněž k-násobný kořen polynomu p. Důsledek 14. Polynom lichého stupně s reálnými koeficienty má alespoň 1 reálný kořen. Důsledek 15. Každý polynom s reálnými koeficienty lze psát ve tvaru součinu polynomů 1. stupně s reálnými koeficienty a polynomů 2. stupně s reálnými koeficienty.

10 Důkaz. Rozepišme p ve tvaru rozkladu na kořenové činitele p(x) = α n k (x λ i ) n i. Pro každý kořen λ i nastává jedna ze dvou možností: 1. λ i R, pak se v součinu na kořenové činitele objeví n i -krát polynom prvního stupně s reálnými koeficienty (x λ i ), 2. λ i C \ R, pak i λ i je kořen polynomu p se stejnou násobností n i a v součinu se n i -krát objeví polynom druhého stupně který má reálné koeficienty. (x λ i )(x λ i ) = ( x 2 (2Re λ i )x + λ i 2), Příklad: 2 + 2x 3x 2 + 3x 3 x 4 + x 5 = (x 2)(x 2 + 1)(x 2 + 2) Hledání kořenů polynomu Nalézt rozklad polynomu na kořenové činitele, tedy nalézt kořeny (i s jejich násobnostmi), není algrebraicky možné pro obecný polynom p. Pro polynom 1. stupně je to snadné. Vzorce pro kořeny polynomu stupně 2., p(x) = α 0 + α 1 x + α 2 x 2, jistě znáte: λ 1 = α 1 + α1 2 4α 0α 2, λ 2 = α 1 α1 2 4α 0α 2. 2α 2 2α 2 Pro polynomy 3. a 4. stupně vzorce také existují, ale jsou už poměrně komplikované (vizte Cubic and Quartic function, Wikipedia). Pro polynomy stupně 5. a vyššího algebraické vzorce pro kořeny neexistují! Tuto skutečnost dokázali Niels Abel a Évartiste Galois pomocí teorie grup (Abel Ruffini theorem).

11 2.5 Součin a částečný podíl polynomů, Hornerovo schéma Kromě operací p+q a αp pro p, q P a α C lze polynomy také násobit mezi sebou (jako dvě funkce). Výsledek pq bude zřejmě opět polynom. Jaké jsou ale koeficinty polynomu pq, známe-li koeficienty p a q? poly- Součin nomů Buďte potom p(x) = α i x i a m q(x) = β j x j, pq(x) = m+n r=0 γ r x r, kde γ r = min(m,r) j=max(0,r n) α r j β j Nebo trochu jednodušeji: položíme-li α i = 0 pro i > n a β j = 0 pro j > m, můžeme psát r γ r = α r j β j, r {0, 1,..., m + n}. Všimněte si, že platí: St p = n St q = m = St pq = m + n. Částečný polynomů podíl Věta 16. Pro každé p, q P, q 0, existují jednoznačně určené r, z P takové, že platí: 1. p = rq + z, 2. St z < St q. Důkaz. Dokážeme nejprve existenci takových polynomů r, z P a pak jejich jednoznačnost.

12 1. Existenci dokážeme indukcí na St q 0. Je-li St q = 0, pak q je nenulový konstantní polynom a zřejmě pro každé x C platí kde St z = 1 < St q. ( 1 p(x) = q(x) p(x) ) }{{} =:r(x) q(x) + }{{} 0, =:z(x) Nechť n 1 a tvrzení platí pro všechny dvojice polynomů p, q kde St q = n 1, dokážeme platnost i pro q se stupněm n. Nechť tedy q P a St q = n. Ze Základní věty algebry vyplývá existence alespoň jednoho kořene q, označme jej λ 0, z Bézoutovy věty dále vyplývá existence polynomu q takového, že St q = n 1 a pro všechna x C. q(x) = (x λ 0 ) q(x) Podobně, pro daný polynom p existuje p P takový, že pro každé x C platí p(x) = (x λ 0 ) p(x) + p(λ 0 ). (2.6) Na polynomy p, q P lze použít indukční předpoklad, tedy existují r, z P takové, že p = r q + z St z < St q. (2.7) Dosadíme-li (2.7) do 2.6, dostáváme pro každé x C p(x) = (x λ 0 ) r(x) q(x) + (x λ 0 ) z(x) + p(λ 0 ) = r(x)q(x) + (x λ 0 ) z(x) + p(λ 0 ). Jelikož (x λ 0 ) z(x) + p(λ 0 ) je polynom stupně St z + 1 < St q + 1 = St q, stačí volit r(x) := r(x) a z(x) := (x λ 0 ) z(x) + p(λ 0 ) a tvrzení platí. 2. Jednoznačnost dokážeme sporem. Nechť pro dané p, q P existují r 1, r 2, z 1, z 2 P takové, že platí p = r 1 q + z 1 = r 2 q + z 2 St z 1 < St q St z 2 < St q. Tedy (r 1 r 2 )q = z 2 z 1. Kdyby r 1 r 2 nebyl nulový polynom, stupeň celého polynomu na levé straně (r 1 r 2 )q by byl větší nebo roven St q, naproti tomu polynom na pravé straně z 2 z 1 má stupeň ostře menší než St q. Tedy nutně r 1 = r 2, a potom také z 1 = z 2, čímž je věta dokázána.

13 Definice 17. Polynom r nazýváme částečný podíl a polynom z nazýváme zbytek při dělení polynomu p polynomem q. K získání částečného podílu a zbytku při dělení polynomu p polynomem q používáme známý algoritmus. Částečný podíl polynomů příklad Ilustrujme si ho nejdříve na příkladě: (2x 5 3x 4 + 3x 3 x 2 6x + 8) : (x 2 2x + 4) = 2x 3 + x 2 3x 11 (2x 5 4x 4 + 8x 3 ) x 4 5x 3 x 2 6x + 8 (x 4 2x 3 + 4x 2 ) 3x 3 5x 2 6x + 8 ( 3x 3 + 6x 2 12x) 11x 2 + 6x + 8 ( 11x 2 + 22x 44) 16x + 52 Náčrt algoritmu: Částečný podíl polynomů obecně p : q = γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 γ k x k q p γ k x k q γ k 1 x k 1 q p (γ k x k γ k 1 x k 1 )q... p (γ k x k + γ k 1 x k 1 + + γ 0 ) q =: z }{{} =:r

14 Algoritmus vždy skončí po konečně mnoha krocích. Algoritmus k dvojici polynomů p a q na vstupu vrátí dvojici polynomů r a z, které mají vlastnosti podle věty o částečném podílu (rozmyslete si, proč). Hornerovo schéma Hornerovo schéma je algoritmus na efektivní vyhodnocení funční hodnoty polynomu p v bodě λ, který je postavený na výrazu: p(λ) = α i λ i = α 0 + λ(α 1 + λ(α 2 + + λ(α n 1 + λα n )... )). Mezivýpočty (závorky) mohou zůstávat v registru procesoru. Na vyhodnocení jedné závorky stačí jednou násobit a jednou sečíst. Cvičení: Kolik sčítání a násobení potřebuje počítač k vyhodnocení p(λ), použije-li a) vzorec z definice polynomu, b) Hornerovo schéma? Při výpočtu na papír je vhodné zapsat si Hornerovo schéma do třířádkové tabulky následovně: Tři řádky Hornerova schématu α n α n 1 α n 2... α 2 α 1 α 0 λ: λξ n 1 λξ n 2... λξ 2 λξ 1 λξ 0 ξ n 1 ξ n 2 ξ n 3... ξ 1 ξ 0 p(λ) kde a ξ n 1 := α n ξ k 1 := α k + λξ k, pro k = n 1, n 2,..., 1.

15 Věta 18. Třetí řádek Hornerova schématu obsahuje koeficienty polynomu q z Bézoutovy věty, pro který platí: p(x) = (x λ)q(x) + p(λ). Důkaz. Nechť p(x) = α i x i, označme polynom s koeficienty z třetího řádku Hornerova schématu jako q(x) = n 1 ξ i x i, kde ξ n 1 = α n, ξ k 1 = α k + λξ k pro k n 1 a p(λ) = α 0 + λξ 0. Upravujme výraz (x λ)q(x) + p(λ): (x λ)q(x) + p(λ) =(x λ) n 1 = = = ( ( n 1 ξ i x i+1 ξ i 1 x i ξ n 1 x n + = ξ n 1 }{{} =α n x n + =p(x), ξ i x i) + p(λ) n 1 n 1 λξ i x i + p(λ) λξ i x i + p(λ) n 1 ξ i 1 x i) n 1 }{{} což platí pro každé x C a tvrzení tedy platí. ( n 1 λξ i x i + λξ 0 ) + p(λ) ( ) ξi 1 λξ i x i λξ 0 + p(λ) }{{} =α i =α 0