Základy podmíněné matematické optimalizace

Základy podmíněné matematické optimalizace Zpracoval Doc. RNDr. Zdeněk Hlaváč, CSc V tématu nepodmíněné optimalizace jsme na pohyb bodu v prostoru nezávisle proměnných nekladli žádná omezení. V případě podmíněné optimalizace se tento prostor omezuje na přípustnou množinu definovanou pomocí omezujících funkcí. Definice: řípustnou množinu definujeme jako = {x; g i (x) 0; i=,...,m}. () Funkce g i senazývajíomezujícífunkceaříkáme,žepřípustnámnožinajedefinovaná pomocí nerovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina obsahuje ve většině případů vnitřní body(vtopologiiprostoru R n ). Definice: řípustnou množinu definujeme také jako = {x; h j (x)=0; j=,...,p}. (2) Funkce h j serovněžnazývajíomezující funkceaříkáme,žepřípustnámnožinaje definovaná pomocí rovnicových omezení. oznámka: Takto definovaná přípustná množina zřejmě nemá vnitřní body(v topologii prostoru R n ). Definice:Říkáme,žefunkce f(x)definovanána mávbodě x 0 ostrélokální minimumvzhledemk,jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna x U r δ(x 0 ) je f(x) > f(x 0 ). oznámka: ro případ definice ostrého lokálního maxima funkce vzhledem k množině platí v závěru definice obrácená nerovnice. V dalším výkladu budeme předpokládat, že přípustná množina je definovaná pomocí nerovnicových omezení(). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme přípustným směrem z bodu x 0 (vzhledemkmnožině ),jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ) jebod x=x 0 + td.množinuvšechpřípustnýchsměrůzbodu x 0 vesmyslu tétodefiniceznačíme D(x 0 ). Definice: Směr určený jednotkovým vektorem d nazýváme spádovým směrem z bodu x 0 (vzhledemkfunkci f)jestližeexistuje δ >0tak,žeprovšechna t (0,δ)je f(x 0 + td) < f(x 0 ).Množinuvšechspádovýchsměrůzbodu x 0 vesmyslutétodefinice značíme S(x 0 ). Intuitivnězřejméjenásledujícítvrzení:Bod x 0 jeostrýmlokálnímminimemfunkce f vzhledemkdefinovanév()právěkdyž D(x 0 ) S(x 0 )=. oznámka:tvrzeníříká,žebod x 0 jeostrýmlokálnímminimemprávěkdyžzněho neexistuje vycházející směr, jenž by byl současně spádový(vzhledem k f) a přípustný

(vzhledemk).rodiferencovatelnoufunkci f vbodě x 0 snadnonahlédneme,jak vypadá postačující podmínka spádovosti směru. Tvrzení:Nechť f jediferencovatelnávbodě x 0, djednotkovývektorsměru.nechť platí d T gradf(x 0 ) <0. (3) otom djespádovýmsměremzbodu x 0 (vzhledemkfunkci f). oznámka:vímetotiž,ževelikostvýsledkulevéstranynerovnice(3)je gradf(x 0 ) cosϕ d,kde ϕ d jeúhelmezisměrydanýmivektorem davektoremgradf(x 0 ).odmínka zápornostivpředchozímtvrzeníznamená,že ϕ d ( π,π),takžesměrovývektor dmíří 2 dopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnicifunkce f vbodě x 0 ),kde hodnoty jsou(alespoň na malém okolí) nižší. Naopak směry, kde by zkoumané číslo bylo kladné, míří do opačného(otevřeného) poloprostoru, kde f (alespoň na malém okolíbodu x 0 )roste.nejasnásituacenastane,kdyžvektor dmířídotečnénadroviny kvrstevnicifunkce fvbodě x 0,tedy,kdyžlevástrana(3)jenulová.akmohoubýt všechny takové směry spádové, mohou být rovněž všechny takové směry růstové, mohou f = f f 2 f = f 2 f f = f f = f 2 f f = f x 0 f = f x 0 x 0 Obr.a Obr.b Obr. c alebýtiněkterérůstovéajinéspádové.všechnytytopřípadyjsounaobr.pořadě zakresleny. Obrázek je kreslen pro funkci dvou proměnných, kde tečná nadrovina je tečnou(tedypřímkou)asměry,proněžje d T gradf(x 0 )=0jsouprávědva.Nave všech třech zobrazených případech jsou směry nad tečnou k vrstevnici spádové, směry pod tečnou k vrstevnici růstové. V situaci znázorněné na obr.a jsou oba(červeně vyznačené) směry ve směru tečny k vrstevnici spádové, v situaci na obr.b jsou oba tyto směryrůstovéavsituacizobr.cjejedenztěchtosměrůrůstovýadruhýspádový. ro funkce více proměnných by situace byla rozmanitější, protože směrů, pro něž je d T gradf(x 0 )=0,jepaknekonečněmnoho. Definice:Říkáme,žeomezení g i jevbodě x 0 aktivní,jestližeplatí g i (x 0 )=0. Množinuvšechindexůaktivníchomezenívbodě x 0 označujeme I(x 0 ). oznámka: Je-liomezení g i vbodě x 0 aktivní,ležízmíněnýbodnačástihranice přípustnémnožiny,ježjepopsanáprávěomezením g i. Tvrzení:Nechť g i jevx 0 diferencovatelnáai(x 0 )={i}.nechťdáleprosměrreprezentovaný jednotkovým vektorem d platí d T gradg i (x 0 ) <0. (4) otom dje(zbodu x 0 )přípustnýmsměremvzhledemkmnožině definovanév(). 2

oznámka:.jestližejesplněno(4),svírávektor dsvektoremgradg i (x 0 )tupýúhel.směr d tedymířídotohopoloprostoru(vyťatéhotečnounadrovinoukvrstevnici g i (x)=0 vbodě x 0 ),vekterémležímnožina.jestližesměrovývektor dsplňujeopačnou relacike(4),mířímimo.je-lisměrovývektor dkvektorugradg i (x 0 )kolmý, záležínakonvexnostihranicemnožiny vokolíbodu x 0 (obr.2).nazmíněném obrázku jsou směry nad tečnou k nulové vrstevnici omezující funkce nepřípustné, směry pod tečnou přípustné a(dva červeně označené) směry kolmé ke gradientu omezující funkce jsou rovněž nepřípustné. grad g i ( x 0 ) x 0 Obr.2 g ( x) = 0 i 2. ro případ více aktivních omezení je postačující podmínkou přípustnosti směru zřejměplatnost(4)provšechna i I(x 0 ).Není-livbodě x 0 aktivnížádnéomezení (tedy I(x 0 )= ),jepřípustnýkaždýsměr,neboť x 0 pakležívotevřenémvnitřku množiny. Ukažme situaci na zadaném reliéfu vrstevnic funkce dvou proměnných f a zadaném popisu částí hranice přípustné množiny. Situace nechť vypadá jako na obr.3. řípustnámnožina = {x; g (x) 0, g 2 (x) 0}jedefinovánapomocídvouomezujících funkcí s vrstevnicemi odpovídajícími nulové konstantě(tedy s částmi hranice přípustné množiny) podle obrázku. Zeleně jsou značeny tečny k vrstevnicím cílové funkce(a příslušným obloučkem spádové směry), červeně tečny k vrstevnicím o nulové konstantě omezujících funkcí v bodech, kde je alespoň jedno omezení aktivní(a příslušným obloučkem přípustné směry). rotože na obrázku jsou vrstevnice cílové funkce i části hranice přípustné množiny zobrazeny jako konvexní funkce, vyplňují přípustné i spádové směry vždy jen otevřený poloprostor poklesu příslušejících funkcí. Na obrázku jsou znázorněny čtyři významné body..bod x jevnitřnímbodempřípustnémnožiny,tudížzněhojsoupřípustnévšechny směry. Spádové směry vyplňují poloprostor označený zeleně. Ten tvoří také poloprostor směrů, jež jsou současně přípustné i spádové. 2.Vbodě x 2 jeaktivovánoomezení g 2.řípustnésměryjsouoznačenyčerveným obloučkem(otevřený poloprostor) a spádové zeleným obloučkem(opět otevřený poloprostor. Současně přípustné i spádové směry jsou dány otevřeným úhlem jakožto průnikem obou výše zmíněných poloprostorů. 3.Vbodě x 3 jsouaktivovánaoběomezení.řípustnésměryjsoudányprůnikem poloprostorů přípustných směrů pro jedno každé omezení zvlášť(červeně označený otevřený úhel). Spádové směry jsou označeny zeleným obloučkem. Současně 3

f = f f 2 f = f f 3 2 x 3 x 2 2 x f = f x 4 Obr.3 přípustné i spádové směry tvoří oběma barvami označený otevřený úhel jakožto průnik obou výše diskutovaných úhlů. 4.Vbodě x 4 jeaktivovánoomezení g apoloprostorpřípustnýchsměrů(červený oblouček) má s poloprostorem spádových směrů(zelený oblouček) prázdný průnik. Jetedy D S=.Vbodě x 4 tedycílováfunkcenabýváostréholokálníhominima vzhledem k přípustné množině. oznámka:nechťnerovnicováomezení g i v()jsoupro i I(x 0 )diferencovatelnáv bodě x 0.Označmesymbolem D 0 (x 0 )množinuvšechsměrů d,prokteréjest d T gradg i (x 0 ) 0. (5) ozor! Oproti(4) se zde vyskytuje neostrá nerovnice. otom zřejmě platí D 0 (x 0 ) D(x 0 ) D 0 (x 0 ), kde D 0 (x 0 )znamenáuzávěrmnožiny D 0 vtopologiiprostoru R n.latípaknásledující důležité tvrzení. Tvrzení: Následující výroky jsou ekvivalentní:. S(x 0 ) D 0 (x 0 )=, 4

2.existují u i 0takové,že gradf(x 0 )+ 3.existují u i 0takové,že i I(x 0 ) u i gradg i (x 0 )=0, (6) azároveň m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (7) i= u i g i (x 0 )=0. (8) oznámka: Tvrzení hovoří o gradientu cílové funkce f jako o lineární kombinaci gradientůvbodě x 0 aktivníchomezenísnekladnýmikoeficienty u i.dobodu3.bylazahrnuta všechnaomezení(tedyitavbodě x 0 neaktivní).tatamalemuselabýtzahrnutasnulovýmikoeficienty u i.rotok(7)musíbýtdoplněnypodmínky(8).nazývámejepodmínkamikomplementarity.aktivníomezenívbodě x 0 ovšemtakémůžemítnulový koeficient u i lineárníkombinacevýše.neaktivníomezeníjejovšemmusímítnulový. Tvrzení: Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního pomíněného minima:nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině().nechť fa g i pro i I(x 0 )jsouvx 0 diferencovatelné.otomplatí:.existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0. (9) i I 2.Existujínezápornékonstanty u 0 a u i (nevšechnysoučasněnulové),že azároveň m u 0 gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (0) i= u i g i (x 0 )=0, i=,...,m. () 3.Jsou-linavícgradientyvbodě x 0 aktivníchomezenílineárněnezávislé,pakexistují nezáporné(mohoubýtivšechnynulové)konstanty u i,že a zároveň platí(). m gradf(x 0 )+ u i gradg i (x 0 )=0 (2) i= oznámka: odmínkám(9) resp.(0) resp.(2) se říká podmínky stacionarity, podmínkám() podmínky komplementarity a podmínce nezávislosti gradientů aktivních omezení se říká podmínka regularity. 5

oznámka:.konstanta u 0 vpředchozímtvrzenímůžebýtinenulová(potomjícelourovnici podělíme, takže ji lze brát jednotkovou), nebo může býti nulová. ak ovšem(9) resp.(0)vyjadřujelineárnízávislostgradientůvx 0 aktivníchomezení(protože alespoňjednazkonstant u i jestnenulová).donutnýchpodmínekminimatedy zahrnujeme i body lineární závislosti gradientů aktivních omezení. 2.Jestliže x 0 ležíuvnitřpřípustnémnožiny,nejsouaktivnížádnáomezenía(9)dává podmínkugradf(x 0 )=0,takjakounepodmíněnéminimalizace. Definice: Definujme funkci m L(x,u)=L(x,...,x n,u 0,u,...,u m )=u 0 f(x)+ u i g i (x) (3) i= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danounerovnicovýmiomezeními g i. odmínky stacionarity pak mají tvar m gradxl(x,u)=u 0 gradf(x)+ u i gradg i (x)=0, (4) i= kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky stacionarity a komplementarity představují celkem m + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkce a zbylých mneznámýchjsou(pro u 0 =)konstanty u i.říkámejimlagrangeovymultiplikátory. řipomínáme, že kladnost multiplikátoru signalizuje aktivitu příslušného omezení, zatímco jeho nulovost nesignalizuje nic. o vyřešení souřadnic stacionárních bodů je třeba zvlášť zkontrolovat, zda leží v přípustné množině. oznámka: rotože platí max f(x)= min[ f(x)], (5) dostávámepřihledánímaximalagrangeovufunkcisnekladným u 0.Je-litatokonstanta nenulová, prodělíme jí celou rovnici(9) resp.(0)(takže ji lze opět brát jednotkovou) a příslušnékonstanty u i jsoupaknekladné.je-li u 0 =0znamenátoizdelineárnízávislost gradientů aktivních omezení. říklad:hledejmestacionárníbodyfunkce f(x,y)=x+ynapřípustnémnožině = {[x,y]; g = x 0, g 2 = y 0, g 3 = x+y 0.} Řešení: O přípustné množině máme jasnou představu, protože vypadá jak jest uvedeno naobr.4.zřejměgradg [,0],gradg 2 [0, ]agradg 3 [,].Vmístechaktivizace jediného omezení nemůže být jeho gradient nezávislý, protože je nenulový. Dvě omezenísoučasnějsouaktivizovánaprávějenvetřechbodech,ato[0,0],[,0]a[0,]. V těchto bodech jsou gradienty příslušných současně aktivizovaných omezení zřejmě lineárně nezávislé(nejsou jakožto vektory rovnoběžné). Lagrangeovu funkci lze tedy pro hledáníminimaformulovatpouzepro u 0 =.Mátedytvar L(x,y,u,v,w)=x+y ux vy+ w(x+y ). 6

y 3 2 Obr.4 x odmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou Vzhledem k rovnicím(8) rozlišíme 4 případy. = u+w=0, x (6) = v+ w=0. y (7) ux=0, vy=0, (8) w(x+y )=0. (9). u=0nebo v=0(třipřípadyřešenénajednou).odle(6)nebo(7)vždyjest w=,cožjesporsnezápornostímultiplikátoru w. 2. x=y=0(čtvrtýpřípad).odle(9)je w =0apodle(6)a(7)nakonec u=v=. Dostalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0,v 0,w 0 ]=[0,0,,,0].Stacionárnímbodemjepočátek,vekterémjezaručeněaktivizovánoomezení g a g 2.Oaktivizaci g 3 nelzenicříci. Z náčrtu přípustné množiny vidíme, že ve stacionárním bodě aktivizováno není. oznámka: rozkoumáme-li úlohu na hledání maxima, stačí pro Lagrangeovu funkci stejného charakteru nacházet nekladné multiplikátory. Z výše diskutovaných čtyř případůdávápřípad x = y = 0vzhledemk(9) w = 0,takžepodle(6)a(7)je u=v=,cožjesporsnekladnostímultiplikátorů.ostatnítřipřípadydávajípro w=0buď u=nebo v=,cožjevždysporsjejichnekladností.odle(9)musí býti x+y =0.odle(6)a(7)jepak w= au=v=0.stacionárnímibody je celá přepona pravoúhlého trojúhelníka ohraničujícího přípustnou množinu a je v nich zaručeněaktivizovánoomezení g 3. říklad: Ukažte, že přípustná množina definovaná jako(viz obr.5) = {[x,y]; x 0, y 0, y ( x) 3 0} obsahuje bod se závislými gradienty omezení. 7

y 3 g 2 = 0 Obr.5 x Řešení: Zřejmě platí gradg (x,y) [,0];gradg 2 (x,y) [0, ];gradg 3 (x,y)=[3( x) 2,]. rotože žádný z gradientů omezení není nikde nulový, je závislost možná právě jen v bodech,kdejsouaktivizovánadvěomezení.tojemožnéprávějenvbodech[x,y ]= [0,]a[x 2,y 2 ]=[,0].Vprvnímbodějsouaktivizovánaomezení g a g 3,přičemžjest gradg (x,y )=[,0]agradg 3 (x,y )=[3,].Tytogradientyjsouevidentněnezávislé. Vedruhémbodějsouaktivizovánaomezení g 2 a g 3,přičemžjestgradg 2 (x 2,y 2 )= =[0, ]agradg 3 (x 2,y 2 )=[0,].Tytogradientyjsouevidentnězávislé. oznámka: Úlohu lze řešit též aplikací definice závislosti vektorů(což je tvar KuhnovýchTuckerovýchpodmínekstacionarityLagrangeovyfunkceprokonstantu u 0 =0při řešení minima jakékoliv cílové funkce na zadané přípustné množině). Tyto podmínky mají tvar u+3w( x) 2 =0 (20) v+ w=0 v= w. (2) Z(20)plyne u=3w( x) 2.Jestližetedy w >0,jepro x ±iu>0apodle (2)iv >0.Tobyovšemznamenaloaktivizacitříomezenívjedinémbodě,cožve dvourozměrném prostoru není možné. ro x = (x = neleží v přípustné množině) je u=0apodle(2) v= w >0.Jsoutedysoučasněaktivovánaomezení g 2 a g 3,takže y=0.bod[,0]jebodzávislostigradientů,kterýbylvýšenalezenjinoumetodou.ro w=0jeovšempodle(20)a(2)iu=v=0,cožbysignalizovalonezávislostgradientů atobybylsporspředpokladem. Každé omezení typu rovnice h(x) = 0 lze chápat jako současné splnění dvojice omezenítypunerovnice,asice h(x) 0azároveň-h(x) 0.Jestližejetedypřípustná množina definována prostřednictvím(2), dostáváme aplikací Kuhnových Tuckerových podmínekpro2pomezenítypunerovnicexistencinezápornýchkonstant u 0, u j a u 2j, že p u 0 gradf(x 0 )+ (u j u 2j )gradh j (x 0 ) (stacionarita); j= 8

u j h j (x 0 )=0; u 2j h j (x 0 )=0 (komplementarita). rotožepro x 0 musíbýtvšechnaomezeníaktivní,ztrácípodmínkykomplementarity smysl. Odtud plynou Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky lokálního podmíněného minima funkce vzhledem k přípustné množině dané ve(2). Tvrzení:Nechť x 0 jebodlokálníhominimacílovéfunkce fvzhledemkmnožině(2). Nechť f a h j jsouvx 0 diferencovatelné.otomexistuje u 0 0av j (j =,...,p) libovolná(ne současně všechny nulové), že oznámka: p u 0 gradf(x 0 )+ v j gradh j (x 0 )=0. (22) j=. odobně jako pro případ omezení typu nerovnic, i zde při hledání maxima řešíme minimumcílovéfunkce f.významnéhodnotykonstanty u 0 jsoutedypouze tři. Jednička pro hledání minima, mínus jednička pro hledání maxima a nula pro případ závislých gradientů omezujících funkcí. 2.Existencikonstanty u 0 lzenahraditdoplňujícímpředpoklademlineárnínezávislosti gradientů omezujících funkcí, čili podmínkou, že Jacobiova matice zobrazení h(x)(vektorové funkce vektorové proměnné) J h (x 0 )= [ ] hj (x 0 ), j=,...,p, k=,...,n x k máplnouhodnost,tedyhodnost p=min{p,n}. 3. ro případ jediného omezení, tedy pro úlohu x 0 =argminf(x); = {x, h(x)=0} má Kuhnova Tuckerova podmínka pro minimum tvar gradf(x 0 )= vgradh(x 0 ). Gradientcílovéfunkceiomezenímávboděminima(imaxima)týžsměr,což znamená, že příslušná vrstevnice cílové funkce i omezení mají ve stacionárním bodě společnou tečnou nadrovinu. ro funkce dvou proměnných se jedná o tečnu (přímku) a situace je znázorněna na obr.6. Definice: Definujme funkci p L(x,v)=L(x,...,x n,v,...,v p )=f(x)+ v j h j (x) (23) j= anazvemejilagrangeovou funkcí úlohy pro cílovou funkci f a množinu danouomezeními h j (prohledáníminima). odmínky stacionarity pak mají tvar p gradxl(x,v)=gradf(x)+ v j gradh j (x)=0, (24) j= 9

f = f 2 f grad f ( ) = k grad h ( x ) x 0 f = f 0 x 0 h = 0 Obr.6 kde gradx je gradient Lagrangeovy funkce tvořený pouze v proměnných x. odmínky přípustnosti pak mají tvar gradvl(x,v)=[h (x),...,h p (x)]=0. (25) odmínky stacionarity a přípustnosti představují celkem p + n rovnic pro stejný počet neznámých. Celkem n neznámých představují souřadnice stacionárního bodu cílové funkceazbylých pneznámýchjsou(pro u 0 = )konstanty v j.říkámejimrovněž Lagrangeovy multiplikátory. říklad:řešmepodmíněnýextrémfunkce f(x,y)=xynapřípustnémnožině = = {[x,y]; x+y 2=0}. Řešení: ro hledání minima utvoříme Lagrangeovu funkci tvaru odmínky stacionarity mají tvar podmínka přípustnosti pak L(x,y,u)=xy+ u(x+y 2). x = y+ u=0; y = x+u=0, = x+y 2=0. u Odečtením prvních dvou podmínek získáme x = y a dosazením do třetí podmínky pak x=y=. oznámka:.rohledánímaximabylagrangeovafunkcemělatvar L(x,y,u)= xy+ u(x+ + y 2). Řešením podmínek stacionarity a přípustnosti získáme stejný stacionární bod.bod[x,y]=[,]jetedy podezřelý zobouextrémů. 2. Úlohu lze řešit též snížením počtu proměnných. Z podmínky přípustnosti je y = =2 x,takžeřešímeextrémfunkcejednéproměnné 0

g(x)=f(x,2 x)=2x x 2 nacelémprostoru R.Stacionárníbodsplňujepodmínku g (x)=2 2x=0 x 0 =(takžeiy 0 =).ostačujícípodmínka g (x) 2dávávnalezeném bodě maximum. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezenímitypunerovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeovýchmultiplikátorů u 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominimapro cílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv().nechťfunkce fa g i pro i I(x 0 ) jsoudvakrátspojitědiferencovatelnévx 0 agradg i (x 0 )pro i I(x 0 )jsoulineárně nezávislé. Nechť navíc platí d T HxL(x 0,u 0 )d >0 (26) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradg i (x 0 ) 0 (27) provšechna i I(x 0 ).ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině.jestližeexistujesměrovývektor d splňující(27),pronějžplatí (26)azároveňsměrovývektor d 2 splňující(27),pronějžplatív(26)opačnánerovnice, nemá fvbodě x 0 vzhledemkpřípustnémnožině lokálníextrém. Tvrzení: ostačující podmínky podmíněného extrému na množině definované omezeními typu rovnic.nechťstacionárníbod x 0 avektorlagrangeových multiplikátorů v 0 splňujíkuhnovytuckerovynutnépodmínkypodmíněnéhominima procílovoufunkci fapřípustnoumnožinudanouv(2).nechťfunkce fa h j jsoudvakrát spojitědiferencovatelnévx 0 agradh j (x 0 )jsoulineárněnezávislé.nechťnavícplatí d T HxL(x 0,v 0 )d >0 (28) (resp. < 0) pro takové(jednotkové) vektory směru d, pro které d T gradh j (x 0 )=0provšechna j=,...,p. (29) ak x 0 jebodostréholokálníhominima(maxima)funkce f vzhledemkmnožině. Jestližeexistujesměrovývektor d splňující(29),pronějžplatí(28)azároveňsměrový vektor d 2 splňující(29),pronějžplatív(28)opačnánerovnice,nemá f vbodě x 0 vzhledem k přípustné množině lokální extrém. oznámka:. Výrazy na levých stranách(26) resp.(28) jsou kvadratické formy v souřadnicích směrového vektoru d s Hessovou maticí(vzhledem k proměnným x) Lagrangeovy funkce ve stacionárním bodě. Tam uvedené nerovnice znamenají pozitivní definitnost(resp. negativní definitnost, resp. indefinitnost) zmíněných forem. Tyto jejich vlastnostialenezkoumámeprovšechnysměry d(tedynacelémprostoru R n ),ale jenprosměrysplňující(27)resp.(29).odmínka(29)znamená,žesměr dmusí být kolmý ke gradientu všech aktivních omezujících funkcí. Musí tedy ležet v průniku tečných nadrovin k nulovým vrstevnicím všech aktivních omezujících funkcí. odmínka(27) znamená, že směr d musí s gradientem aktivní omezující funkce

svírat tupý úhel. Musí tedy směřovat do toho poloprostoru(vymezeného tečnou nadrovinou k omezující funkci), ve které leží přípustná množina. Toto musí být splněno pro všechny ve stacionárním bodě aktivní omezení. 2. raktické výpočty se provádějí vyjádřením některých souřadnic směrového vektoru d z doplňujících podmínek(27) nebo(29) a dosazením do kvadratické formy. Získáme formu nižší dimenze, jíž zkoumáme na celém prostoru, popřípadě pro některé souřadnice omezeného rozsahu. 3. Tvrzení neřeší případ semidefinitnosti kvadratických forem. 4. Doplňující podmínky by bylo možno ještě oslabit, ale nebudeme se těmito detaily už zabývat. říklad: Hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=(x 2) 2 + y 2 napřípustné množině = {[x,y]; x 0; y 0; x 2 + y 2 0}. Řešení: O přípustné množině máme přesnou představu, neboť se jedná o průnik prvního kvadrantu s(uzavřenou) kružnicí se středem v počátku o poloměru jedna(viz obr.7). y 3 g 2 = 0 Obr.7 x Gradienty omezujících funkcí jsou zřejmě nenulové vektory a v(třech) bodech, kde jsou aktivní současně dvě omezení, jsou jejich gradienty zřejmě lineárně nezávislé. Stačí tedy vlagrangeověfunkciuvažovat u 0 =.Lagrangeovafunkcemátedytvar L(x,y,u,v,w)=(x 2) 2 + y 2 ux vy+ w(x 2 + y 2 ). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky stacionarity jsou odmínky komplementarity jsou =2(x 2) u+2wx=0, x (30) =2y v+2wy=0. y (3) ux=0; vy=0; (32) w(x 2 + y 2 )=0. (33) 2

Kromě toho musíme akceptovat podmínky příslušnosti k přípustné množině. Rovnicím (32) vyhovují čtyři případy kombinace nulovosti jednotlivých proměnných.. x=y=0.odle(33)pak w=0apodle(30)potom u= 4,cožjeprohledání minima spor s nezáporností Lagrangeových multiplikátorů. 2. x=v=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je u= 4,cožjeopětsporsnezápornostímultiplikátoru u (b) y= ±.řípad y= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy y=az(3)pakplyne,že w=az(30)pak u= 4, což je opět spor s nezáporností tohoto čísla. 3. y= u=0.sohledemna(33)rozlišímedvapodpřípady. (a) w=0,odkudpodle(30)je x=2,takženalezenýbodneležívpřípustné množině. (b) x=±.řípad x= nevyhovuje,protožepříslušnýbodneležívpřípustné množině.jetedy x=az(3)pakplyne,že v=0az(30)potom w=. Tento případ vyhovuje a dává řešení [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. 4. u=v=0.sohledemna(3)rozlišímedvapodpřípady. (a) y 0.Z(7)pakplyne w=,cožjesporsjehonezáporností (b) y=0,odkudpodle(33)(wužnulovébýtnemůže) x=±.řípad x= neležívpřípustnémnožině,pročež x=az(30)plyne w=.získalijsme tak stejný stacionární bod, jako v 3b. Jediný stacionární bod(pro hledání minima) je tedy bod [x,y,u,v,w]=[,0,0,0,]. lyneodtud,ževbodě[x,y]=[,0]jezaručeněaktivnítřetíomezení.oaktivitězbylých omezenínelzevýpočtemřícinic.zobrázkujepatrno,ževezmíněnémbodějeaktivní i první omezení, přestože k němu příslušný multiplikátor je nulový. Aplikujme nyní postačující podmínky minima. Zřejmě je 2 L x 2=2+2w; 2 L y 2=2+2w; 2 L x y =0. ostacionárníbod,kde w=,jehessovamatice HxL(x 0,u 0 )= [ 4 0 0 4 Tato matice je pozitivně definitní vzhledem ke všem směrům(protože oba rohové hlavní minoryjsoukladné).funkce fmávbodě x 0 ostrélokálníminimumvzhledemkcelému prostoru R 2,tedyjejmátímspíšeivzhledemkmnožině. 3 ].

oznámka: okud bychom funkci zkoumali na maximum, hledáme stejnou metodou stacionární body, kde ovšem bereme multiplikátory nekladné. Dostali bychom jiné podezřelé body, které bychom potvrdili(nebo také nikoliv) postačující podmínkou. V rámci procvičování látky si to proveďte. říklad:hledejmepodmíněnáminimafunkce f(x,y)=x 3 +3y 2 +6xynapřípustné množině = {[x,y];2x 2 y 0}. Řešení: O přípustné množině máme opět přesnou představu(obr.8). rotože omezující y 2 Obr.8 x podmínkajepouzejedináaplatíproni gradg(x)=[4x; ] 0, stačíseopětomezitnapřípad u 0 =.Lagrangeovafunkcemáprotutoúlohutvar odmínky stacionarity mají tvar odmínka komplementarity je jediná L(x,y,u)=x 3 +3y 2 +6xy+ u(2x 2 y). x =3x2 +6y+4ux=0, (34) =6y+6x u=0. y (35) u(2x 2 y)=0. (36) Kromě toho je třeba ještě akceptovat podmínky incidence pracovního bodu úlohy s přípustnou množinou. S ohledem na(36) rozlišíme dva případy.. u=0,odkudpodle(35)je y= x,coždosazenodo(34)dává 3x 2 6x=0 3x(x 2)=0. Dostávámetakdvěmožnářešení: x = y =0ax 2 =2; y 2 = 2.Druhéřešení ovšemnesplňujepodmínkupříslušnostik.získalijsmejedinéřešení[x 0,y 0,u 0 ]= =[0,0,0]. 4

2. u 0,takžepodle(36)je y=2x 2,coždosazenodo(34)a(35)dávásoustavu 3x 2 +2x 2 +4ux=0, (37) Z(38)plyne u=6x(+2x),coždosazenodo(37)dává 6x+2x 2 u=0. (38) 5x 2 +24x 2 (+2x)=0 39x 2 +48x 3 =0 x 2 (39+48x)=0. Tatorovnicemádvěřešení,asice[x 0,y 0 ]=[0,0],kteréužbylonalezenoa[x 0,y 0 ]= [ = 39 48 (39 ) ] 2 ;2. Z(38) potom plyne 48 u 0 =6x 0 (+2x 0 )= 3 5 64 >0. Získalijsmetakdvastacionárníbody.[x 0,y 0 ]=[0,0],kdeje u 0 =0,takževýpočtem nelze o aktivizaci omezení nic říci. Z obrázku geometrie množiny (obr.8) [ vidíme, ] žeomezeníjeaktivováno.druhýmstacionárnímbodemje[x 0,y 0 ]= 39 48 ; 39 24 kdy příslušnýmultiplikátor u 0 jekladný.omezeníjeaktivovánoizde,cožjeověřenopřímým výpočtem. rozkoumejme postačující podmínky. Zřejmě je 2 L x 2=6x+4u; 2 L y 2=6; 2 L x y =6. Vbodě[x 0,y 0,u 0 ]=[0,0,0]máHessovamaticeLagrangeovyfunkcetvar HxL(0,0,0)= [ 0 6 6 6 Snadnosepřesvědčíme,žetatomaticeje(naprostoru R 2 )indefinitní.mátedyvzhledem k R 2 sedlovýbod.tatoinformacezatímneříkánicotypustacionárníhoboduvevztahu k přípustné množině. Kvadratickou formu ]. d T HxL(0,0,0)d=6(d 2 2+2d d 2 ) (39) budemezkoumatpouzeprosměrysplňujícípodmínku d T gradg(x 0 ) 0.Tatopodmínka je ekvivalentní podmínce [d,d 2 ] [ 0 ] 0 d 2 0. (40) Forma(39)mánapř.provektor d T =[,]hodnotu8,zatímcoprovektor d T 2= =[, ] hodnotu-6. rotože oba zmiňované vektory splňují doplňující podmínku(40), jematiceindefinitníiprotytosměryastacionárníbod[x 0,y 0 ]=[0,0]jesedlovým bodem vzhledem[ k přípustné množině(. rozkoumáme ) ještě druhý stacionární bod, kdy[x 0,y 0 ]= 39 48, 39 24] a u0 = 39 8 39 24.HessovamaticeLagrangeovyfunkcev tomto bodě je HxL(x 0,y 0,u 0 )= 5 [ 7 6 6 6 6 ].

rotože 7 6 >6,jsouobarohovéhlavníminorytétomaticekladnéapodleHurwitzova kriteria je matice pozitivně definitní. říslušný stacionární bod je minimem vzhledem kevšemsměrůmzprostoru R 2.Tímspíšejeminimemivzhledemkpřípustnémnožině. říklad: Jaké rozměry musí mít kvádr daného objemu V > 0, aby vykazoval minimální povrch? Řešení: Jestliže označíme x, y, z délky hran kvádru, jedná se zřejmě o úlohu nalezení minimacílovéfunkce f(x,y,z)=xy+xz+yz(polovičnípovrch)napřípustnémnožině = {[x,y,z]; xyz V=0}.Lagrangeovafunkceúlohymázřejmětvar L(x,y,z,u)=xy+ xz+ yz+ u(xyz V). Kuhnovy Tuckerovy nutné podmínky dávají výrazy = y+ z+ uyz=0, x (4) = x+z+ uxz=0, y (42) = x+y+ uxy=0, z (43) = xyz V=0. u (44) Z rovnic(4),(42) a(43) vyloučíme multiplikátor u. Vznikne x(y+ z) y(x+z)=(x y)z=0, (45) y(x+z) z(x+y)=(y z)x=0. (46) Řešímepaksoustavu(44),(45)a(46)proneznámé x, y, z.rotože V >0,jedinéjejí řešeníje x=y= z= 3 V.Zrovnice(4)pakdostaneme u= 3 2 V.Jedinýstacionární bodtedyje [x 0,y 0,z 0,u 0 ]= Aplikujme nyní postačující podmínky. Zřejmě platí [ 3 V, 3 V, 3 V, 2 3 V ]. 2 L 2 L 2 L x 2= y 2= z =0; 2 L 2 x y =+uz; 2 L x z =+uy; 2 L y z =+ux. roto Hessova matice má tvar HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )= K této matici příslušející kvadratické forma 0 0 0. d T HxL(x 0,y 0,z 0,u 0 )d= 2(d d 2 + d d 3 + d 2 d 3 ) (47) jezřejměindefinitní,jaksesnadnopřesvědčímedosazením d T =[0,,]ad T 2= =[0,, ].Doplňujícípodmínka d T gradh(x 0 )=0mávnašempřípadětvar 6

[d,d 2,d 3 ] y 0 z 0 x 0 z 0 x 0 y 0 = 3 V 2 (d + d 2 + d 3 )=0. (48) Definitnost formy(47) zkoumáme pouze při splnění podmínky(48). Snížíme proto její dimenzidosazením d 3 = d d 2.Dostanemeformuna R 2 vetvaru 2[d d 2 d (d + d 2 ) d 2 (d + d 2 )]=2(d 2 + d d 2 + d 2 2)=2 ( d + d 2 2 ) 2 + 3 4 d2 2. Doplněním na kvadrát vidíme, že tato forma je pozitivně definitní. Nalezený stacionární bodjetedyminimemcílovéfunkcevzhledemkpřípustnémnožině. oznámka:úlohulzeřešitrovněžsníženímjejídimenze.z(44)napříkladurčíme z= V xy azkoumámenacelémprostoru R 2 cílovoufunkci g(x,y)=f ( x,y, V xy Nutné podmínky jejího extrému jsou ) = xy+ V y + V x ; x 0, y 0. g x = y V x2=0, (49) g y = x V y2=0. (50) Z(49)plyne y= V adosazenímdo(50) x x4 =0.Řešení x=0evidentněnevyhovuje, x 2 V pročežjedinýmstacionárnímbodemje x 0 = 3 V aprotoiy 0 = V = 3 V.Utvoříme x 2 0 ještě Hessovu matici funkce g. Je roto 2 g 2 g 2 g x 2=2V x 3; y 2=2V y 3; x y =. Hg(x 0,y 0 )= [ 2 2 Tato matice je podle Hurwitzova kriteria positivně definitní a tudíž cílová funkce g má vnalezenémbodě[x 0,y 0 ]lokálníminimum.zevztahu z= V xy plyne,žeiz 0= 3 V. ]. 7