3. FUNKCE NÁHODNÉ VELIINY as ke studu: 40 mnut Cíl: Po prostudování této kaptol budete umt transformovat náhodnou velnu na náhodnou velnu Y, je l mez tmto náhodným velnam vzájemn jednoznaný vztah VÝKLAD 3.. Funkce náhodné veln V mnoha pípadech, k známe rozdlení náhodné veln, potebujeme urt rozdlení náhodné veln Y, která je funkcí, tzn. Y h(). Je-l funkce h(x) v oboru možných hodnot veln monotónní, pak exstuje nverzní funkce h (), a jde o vzájemn jednoznaný vztah mez a Y. Je-l v takovém pípad h(x) rostoucí, pak pro všechna x > x je >, a dstrbuní funkc veln Y lze psát jako: G() P(Y < ) P[ < h ()] F[h ()] Pro klesající funkc h(x), tzn. pro všechna x > x platí >, je dstrbuní funkce: G() P(Y < ) P[ > h ()] F[h ()] Pro dskrétní náhodnou velnu je pravdpodobnostní funkce dána jako: p Y ( ) p h ( ) Je-l spojtá náhodná velna s hustotou pravdpodobnost f(x), pemž h - () má pro všechna spojtou dervac, pak pro rostoucí funkc h(x) dostaneme hustotu pravdpodobnost () veln Y jako: Podobn pro klesající funkc h(x) dostaneme: dg f ( h ) f ( h ) 6
dg f ( h ) f ( h ) Vzhledem k tomu, že v pípad rostoucí funkce h(x) je > 0, zatímco v pípad klesající funkce je < 0, lze oba pedchozí vztah spojt do jednoho: dg f ( h ) f ( h ) Není-l h(x) monotónní funkcí, pak mez a Y neexstuje vzájemn jednoznaný vztah a te an nverzní funkce k h(x). Dstrbuní funkce G() P(Y < ) je v takovém pípad dána pravdpodobností, že náhodná velna nabude hodnot z kteréhokolv ntervalu, pro který Y <. Pak platí: Pro dskrétní náhodnou velnu : G p : h( x ) Pro spojtou náhodnou velnu : G f ( x) h ( x ) Pro pípad dskrétní náhodné veln je pravdpodobnostní funkce vztahem: p p x Y : h( x ) py veln Y dána Nech exstuje konený poet dervace 0 x takových, že ( x ) h. Nech pro každé x exstuje. Pak exstuje hustota pravdpodobnost náhodné veln Y: f ( x ) : h ( x ) x x ešený píklad Nech velna má rovnomrné rozdlení v ntervalu rozdlení má velna t x? ;. Jaké 7
f h Hustota pravdpodobnost rovnomrného rozdlení: f ( x) ( x) t x h x arct h d ( arct ) + + Hustota pravdpodobnost veln Y je te: f h ( + ), R Uvedené rozdlení se nazývá Cauchho. Je píkladem rozdlení, které nemá konený rozptl: DY ( + ) ( + ) ( + ) [ ] + ešený píklad Nech velna má normální rozdlení N(0;). Jaké rozdlení má velna x? Pro nezáporná exstuje nverzní funkce h : x ±. x ± Pak hustota pravdpodobnost nezáporné náhodné veln Y je: 0 : ) f ( ± ) ( + ( ) f f e + e ( e 8
Jde o hustotu rozdlení χ s jedním stupnm volnost. 3.. Pblžné stanovení charakterstk funkce náhodné veln V prax je nk k dspozc pouze jedná zmená hodnota veln (oad její stední hodnot) a smrodatná odchlka mení σ (daná napíklad udanou chbou mícího pístroje). Pokud je varaní koefcent mnohem menší než jedna oadnout charakterstk veln h(x). Pedpokládejme, že náhodná velna je spojtá. Stední hodnotu náhodné veln Y oadneme na základ vztahu: σ <<<, lze pblžn µ EY h h ( E ) h E + D ( x) f ( x) h( E ) + h ( E ) ( x E ) h( E ) h + ( E ) x E + f ( x ) Rozptl DY lze pak vjádt pblžn z lneárního lenu Talorova rozvoje: DY ( h( x) EY ) f ( x) ( h( x) h( E )) f ( x) D x E Otázk 3.. Nech Yh(). h(x) je monotónní funkce. Naleznte vztah mez hustotou pravdpodobnost náhodné veln Y a hustotou pravdpodobnost náhodné veln. Úloh k ešení 3.. F je dstrbuní funkce náhodné veln, je spojtá a rostoucí. Náhodná velna Y je defnována vztahem: Y F. Urete rozdlení náhodné veln Y (hustotu pravdpodobnost).. Náhodná velna má rovnomrné rozdlení na ntervalu 0 ; 3. Urete rozdlení náhodné veln Y, Y+. 3. Náhodná velna má normální rozdlení N ( µ;σ ) Y, Y e.. Urete rozdlení náhodné veln 9
λx 4. Náhodná velna má hustotu pravdpodobnost: náhodné veln Y, Y ln. f x λ e. Urete rozdlení 30