Konstrukce realizací Lieových algeber

1 České vysoké učení technické v Praze F4 Fakulta jaderná a fyzikálně inženýrská Katedra fyziky Konstrukce realizací Lieových algeber Daniel Gromada

Realizace Lieovy algebry 2+ Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x 1 1 + 2

Realizace Lieovy algebry 2+ Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x 1 1 + 2 Prostá realizace se nazývá věrná

Realizace Lieovy algebry 2 Realizace Lieovy algebry g na varietě M je homomorfismus R: g Vect M Př: Algebru g 2 [e 1, e 2 ] = e 1 realizují vektorová pole v rovině R(e 1 ) = 1, R(e 2 ) = x 1 1 + 2 Prostá realizace se nazývá věrná Budeme uvažovat lokální realizace, tj M := U okolí nuly v R m

Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g 3+ A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence

Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g 3+ A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence Najití všech realizací přímou cestou vyžaduje řešení komplikovaných parciálních diferenciálních rovnic Byly klasifikovány realizace všech Lieových algeber do dimenze čtyři* * Popovych, Boyko, Nesterenko, Lutfullin, J Phys A: Math Gen 2003

Klasifikační úloha Realizace R 1 : g Vect M 1 a R 2 : g Vect M 2 jsou A-ekvivalentní, pro A Aut g, existuje-li α A a Φ: M 1 M 2 difeomorfismus tak, že Rozlišujeme dva speciální případy R 2 (α(a)) = Φ R 1 (a) a g A = {id} A = Aut g silná ekvivalence, slabá ekvivalence 3 Najití všech realizací přímou cestou vyžaduje řešení komplikovaných parciálních diferenciálních rovnic Byly klasifikovány realizace všech Lieových algeber do dimenze čtyři* Realizace R: g U, kde U je okolí nuly v R m je tranzitivní, je-li {R(a) 0 a g} = T 0 M * Popovych, Boyko, Nesterenko, Lutfullin, J Phys A: Math Gen 2003

Realizace a akce 4 Pro Lieovu algebru g existuje až na izomorfismus jedinečná lokální Lieova grupa G Pravá akce Lieovy grupy G na varietě M určuje na M realizaci g pomocí fundamentálních vektorových polí a d dt p eta t=0 Libovolnou realizaci lze naopak zintegrovat v akci lokální grupy

Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím 5+

Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g))

Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g))

Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5+ Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g)) Realizace jsou A-ekvivalentní, právě když jsou příslušné akce A-podobné

Realizace a akce Stejné akce odpovídají stejným realizacím Akce π (1) a π (2) grup G 1 a G 2 na M 1 a M 2 nazveme A-podobné, A Aut g, existuje-li difeomorfismus Φ: M 1 M 2 a izomorfismus φ: G 1 G 2, dφ A splňující 5 Φ(π (1) (p, g)) = π (2) (Φ(p), φ(g)) Realizace jsou A-ekvivalentní, právě když jsou příslušné akce A-podobné Realizace je věrná, právě když je příslušná akce efektivní

Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní 6+

Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru 6+

Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru Tranzitivní realizace g jsou tedy určeny podalgebrou h g Tranzitivní realizace příslušné A-konjugovaným podalgebrám jsou A-ekvivalentní 6+

Tranzitivní realizace Realizace je tranzitivní, právě když je příslušná akce tranzitivní Každá tranzitivní akce G na M je izomorfní pravému násobení G na G p \ G = {G p g g G} Tranzitivní akce G jsou tedy až na izomorfismus určeny podgrupou H G hrající roli stabilizátoru Tranzitivní realizace g jsou tedy určeny podalgebrou h g 6 Tranzitivní realizace příslušné A-konjugovaným podalgebrám jsou A-ekvivalentní Tranzitivní realizace je věrná, právě když příslušná podalgebra neobsahuje netriviální ideál g

Konstrukce tranzitivních realizací* Volbě h = {0}, tj H = E odpovídá pravé násobení na E \ G = G, které je generováno levoinvariantními vektorovými poli Příslušná realizace se nazývá generická Další realizace se dostanou restrikcí generické na podvarietu H \ G 7+ * Magazev, Mikheyev, Shirokov, SIGMA 2015

Konstrukce tranzitivních realizací* Volbě h = {0}, tj H = E odpovídá pravé násobení na E \ G = G, které je generováno levoinvariantními vektorovými poli Příslušná realizace se nazývá generická Další realizace se dostanou restrikcí generické na podvarietu H \ G Budeme pracovat v druhých kanonických souřadnicích 7 g x 1,,x n = ex1 e1 e xn e n, e 1,, e n je báze g Zvolíme-li e 1,, e n m bázi h a doplníme vektory e n m+1,, e n na bázi g, budou souřadnice y β = x 1,, x n m popisovat bod v H h y 1,,y n m = ey1 e1 e yn m e n m a souřadnice q a = x n m+1,, x n třídu z H \ G ḡ q 1,,q m = Heq1 e n m+1 e qm e n * Magazev, Mikheyev, Shirokov, SIGMA 2015

Konstrukce tranzitivních realizací Souřadnicové vyjádření násobení zprava na G se bude v souřadnicích q a = x n m+a shodovat se souřadnicovým vyjádřením pravé akce na H \ G Generátory pravého násobení na G generická realizace se tedy v prvních m souřadnicích budou shodovat s generátory pravého násobení na H \ G ˆX i a (q) = d dt dqa ḡ q e te n m+i = d t=0 dt dxn m+a g y,q e te n m+i = Xi n m+a (y, q) t=0 Generická realizace n m R gen (e i ) g( q,y) = X i (q, y) = X β m i (q, y) y β + Xi n m+a (q) q a tedy určuje realizaci β=1 R(e i )ḡq = ˆX i (q) = m a=1 a=1 X n m+a i (q) q a 8

Konstrukce levoinvariantních vektorových polí* Levoinv pole jsou generované pravým násobením, snadno zjistíme Xj(y) i = [g yg x ] i x j = [(dl gy ) e ] i j x=0 9 V druhých kanonických souřadnicích pak přímým výpočtem získáme [(dl gy ) e ] i j = [exp( x 1 ad e1 ) exp( x i 1 ad ei 1 )] i j * Shirokov, Russ Phys J 1997

Netranzitivní realizace Uvažujme realizaci R na okolí nuly U R m a pro ni označme r(x) := dim R(g) x = dim{r(a) x a g} hodnost realizace v daném x U Realizace je netranzitivní, právě když r(0) < m Ze spojitosti realizace plyne, že je-li r v nule (lokálně) maximální, pak je zde lokálně konstantní Maximální hodnotu v okolí nuly nazveme rank realizace rank R = inf ɛ>0 max x <ɛ r(x) 10

Realizace s konstantní hodností r < m Obraz R(g) je involutivní r-dimenzionální distribuce na U Podle Frobeniovy věty můžeme na U zvolit souřadnice q 1,, q m takové, že U je foliováno integrálními podvarietami q i = const pro i = r + 1,, m tvořící orbity akce G Realizace je tedy tvaru R(e i ) = X i = r Xi a (q 1,, q m ) q a a=1 To lze interpretovat jako (m r)-parametrickou množinu tranzitivních realizací na integrálních podvarietách 11

Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci 12+

Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci Jsou-li h x 1 a hy 2 třídy podalgeber g a R(x) 1 a R (y) 2 příslušné tranzitivní realizace, pak jsou netranzitivní realizace R 1 (a) (p,x) = R (x) 1 (a) p, R 2 (a) (p,y) = R (y) 2 (a) p ekvivalentní, právě když existuje lokální difeomorfismus x Ψ(x) a automorfismus α A tak, že h Ψ(x) 2 = α(h x 1) 12+

Realizace s konstantní hodností r < m Postup lze obrátit: parametry tranzitivních realizací interpretovat jako funkce nových proměnných Je však třeba pracovat s klasifikací vůči silné ekvivalenci Jsou-li h x 1 a hy 2 třídy podalgeber g a R(x) 1 a R (y) 2 příslušné tranzitivní realizace, pak jsou netranzitivní realizace R 1 (a) (p,x) = R (x) 1 (a) p, R 2 (a) (p,y) = R (y) 2 (a) p ekvivalentní, právě když existuje lokální difeomorfismus x Ψ(x) a automorfismus α A tak, že h Ψ(x) 2 = α(h x 1) 12 Libovolná realizace lze rozšířit triviálně prostým přidáním proměnných

Příklad Nejjednodušší příklad je 2D komutativní algebra 2g 1 = span{e 1, e 2 } Ta má podalgebry generované 0, (e 1 ), (e 2 + ae 1 ), (e 1, e 2 ) Množině podalgeber generovaných e 2 + ae 1 odpovídá realizace na R R (a) (e 1 ) = 1, R (a) (e 2 ) = a 1 Dostáváme netranzitivní realizace na R 2 R f (e 1 ) = 1, R f (e 2 ) = f(x 2 ) 1 pro f C R f a R g jsou ekvivalentní, právě když existuje hladká ψ ψ(0) = 0, ψ (0) 0, f ψ = g Všem neekvivalentním analytickým odpovídají monomy f(x) = x k 13

Realizacce s nekonstantním r Označme r := r(0) < rank R Množina A := {x U r(x) < rank R} je tvořena integrálními podvarietami realizace (obecně různých dimenzí), označme tu procházející nulou A 0 Vhodnou volbou souřadnic můžeme zajistit, že A 0 je popsána rovnicemi q r+1 = = q m = 0 14+

Realizacce s nekonstantním r Označme r := r(0) < rank R Množina A := {x U r(x) < rank R} je tvořena integrálními podvarietami realizace (obecně různých dimenzí), označme tu procházející nulou A 0 Vhodnou volbou souřadnic můžeme zajistit, že A 0 je popsána rovnicemi q r+1 = = q m = 0 Doplněk B množiny A je tvořen body x, kde r(x) je lokálně maximální, a tedy lokálně konstantní, B je tedy otevřená Realizace R zúžená na souvislé komponenty B i má konstantní r a až na difeomorfismus B i je to zúžení nějaké již nalezené realizace R i Na komponentách B i je tedy R = (Φ i ) R i, kde Φ i jsou difeomorfismy B i takové, že limita dφ i na hranici B i je singulární a R jde spojitě dodefinovat na A 14

Realizace s nekonstantním r Postup lze opět obrátit Vezměme realizaci R 1 na R m s konstantní hodností Najděme hladkou bijekci Φ takovou, že dφ je singulární na A 0 := {x r+1 = = x m = 0}, ale na každém okolí nuly je někde regulární V analytickém případě takto již dokážeme zkonstruovat všechny realizace s nekonstantním r Budeme-li brát neekvivalentní R 1 a neekvivalentní difeomorfismy Φ vůči změně souřadnic, dostaneme neekvivalentní R V neanalytickém lze na některých komponentách B := {x R m det dφ x 0} R hladce nahradit jinou reprezentací 15

Příklad Vezměme 1D algebru g 1 = span{e 1 } a podívejme se na realizace s r(0) = 0 a rankem 1 na R Je jediná realizace s konst r(x) = 1 na R R 1 (e 1 ) = 1 Hledané realizace jsou φ R 1 pro φ (0) = 0 Označíme-li f = φ, jsou to R f (e 1 ) = f(x 1 ) 1, f(0) = 0 R f a R g jsou ekvivalentní, právě když existuje ψ, ψ (0) 0 a f ψ = g V případě g 1 je realizace cokoliv přiřazující 16 e 1 f i (x 1,, x n ) i

17 Závěr Klasifikace všech realizací dané Lieovy algebry je komplikovaná úloha, která nejspíš nemá jednoduché řešení v tomto ohledu tedy není ani příliš rozumná Rozumné je hledat klasifikaci podalgeber a tak získat klasifikaci tranzitivních realizací Ty ostatní pak již lze zkonstruovat popsanými postupy