Pružnost a plasticita II. ročník bakalářskéo stuia oc. Ing. Martin Krejsa, P.. Katera stavební ecanik
Plošné konstrukce, nosné esk
Nosné esk Iealiují se jako rovinný obraec (nejčastěji ve voorovné rovině), oou ít otvor. Zatížení působí poue kolo ke střenicové rovině a ůže být vvoláno: iealiovanýi boovýi silai (oent), iealiovanýi liniovýi silai (oent), iealiovanýi plošnýi silai, vlastní tíou, ěnou teplot. Vab působí kolo ke střenicové rovině a oou být: boové (brání posunů), liniové (brání posunů a pootočení), plošné.
Nosné esk, příkla Pravoúlá nosná eska Rotačně setrická nosná eska
Nosné esk, příkla Ukák stropníc esek 5
Nosné esk, příkla 6 Filigránové želeobetonové esk
Nosné esk, příkla Příkla rotačně setrickýc eskovýc konstrukcí 7
Nosné esk, příkla Konstrukce vsílače na Ještěu Příkla rotačně setrickýc eskovýc konstrukcí 8
Nosné esk, příkla vítr 9
Příkla poepření nosnýc esek půors svislý ře
Pravoúlé nosné esk, volba souřanicovéo sstéu Nosná eska v pravoúlé kartéské soustavě souřanic
Roělení nosnýc esek Nosné esk le roělit: Pole roěrů: ebrán: / l </8, veli tenké esk / l /5 až /8, tenké esk / l / až /5, rubé esk / l /5 až /, prostorová tělesa / l >/5. Pole eforace: s alýi eforacei a <l/ a současně a </ a ϕ a <π/6, se střeníi, přípaně velkýi eforacei a >l/, řešení patří k nelineární úloá pružnosti.
Tenké nosné esk s alýi eforacei, přepokla řešení Autorství lineární teorie esek se přisuuje Kircoffovi. Gustav Robert Kircoff (8 887) Řešení pole Kircoffa je aloženo na přepoklaec:. eforace střenicové ploc jsou alé.. Norálová napětí σ jsou v porovnání s napětí σ a σ alá a anebávají se.. Bo ležící pře eforaci na norále ke střenici leží na ní i po eforaci (tv. špenlíková potéa). Neění se také jejic válenost ε. ůslek: přetvoření le vjářit jako funkci obové ploc (,), γ γ.. Bo na střenicové ploše esk ají nulové norálové napětí a přeísťují se poue ve sěru os (poínkou je setrie tvaru a ateriálu esk).
Nosné esk, příkla reálnéo průběu norálovéo napětí σ Scéa roložení napětí při plošné atížení a), reálný průbě napětí σ na obr. b).
Tenké nosné esk, výcoí přepokla o eforaci Střenice esk se pobuje poue ve sěru os. Norála ke střenici n pře účinke atížení ůstává norálou n i po účinku atížení. Posunutí bou K v rovině ležícío io střenici o bou K le vjářit jako funkci u f (). Obobně v f (). 5
6 Tenké nosné esk, řešení u γ u ε Geoetrické vta: u ϑ v ϑ ε v γ Šest složek eforace je vjářeno průbovou funkcí (,). v ε v u γ
Tenké nosné esk, řešení, pokračování Fikální vta: ε ( σ σ ) ε ( σ σ ) γ G Z těcto rovnic a geoetrickýc vtaů le ovoit: τ σ σ ( ) ε ε ( ) ε ε τ ( γ ) 7
Tenké nosné esk, řešení, pokračování Je-li: σ σ σ σ τ Je e určitý nesoula s Kircofovou teorií. τ ( ) ε ε ( ) ε ε ( γ ) ( σ σ ) Pak také platí: ε τ τ Platí-li poínk rovnová: τ τ γ γ G G G 8
9 Tenké nosné esk, řešení, pokračování ( ) ( ) τ Δ Z poínk rovnová: Protože Obobně: τ τ σ τ σ τ τ σ τ σ ) ( τ ( ) / τ ( ) ( ) ( ) ( ) τ Δ Δ
Nosné esk, průbě složek napětí a složek ěrnýc vnitřníc sil Klaný ssl vnitřníc sil je řejý obr. Na tv. klanýc ploškác jsou orientován ve sěru klanýc os, (obové oent vvolávají ta ve sponíc vláknec a klané kroutící oent ají sěr klanýc tečnýc napětí). Na áporně orientovanýc ploškác je to opačně.
Nosné esk, ovoení složek ěrnýc vnitřníc sil ( ) Měrné vnitřní síl: ají výna intenit vnitřníc sil, jsou vtažen k jenotkové élce příslušnéo řeu, onačují se alýi písen, je jic celke pět - va ěrné obové oent a, jeen ěrný kroutící oent a vě ěrné posouvající síl a. σ σ ( ) τ esková tuost
Nosné esk, ovoení složek ěrnýc (posouvajícíc) vnitřníc sil ( ) esková tuost ( ) ( ) Δ τ ( ) ( ) Δ τ ( ) ( ) Δ ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ 6 8 8
Měrné oent bl ovoen integrací složek napětí: Nosné esk, transforace složek ěrnýc vnitřníc sil, lavní oent σ [ ] σ τ τ σ Pootočí-li se souřané os a a úel α, ískají se tak os a. Tě pak buou opovíat i složk napětí σ, σ a τ a oent, a. σ Maticově le apsat: τ
Nosné esk, transforace složek ěrnýc vnitřníc sil, lavní oent Pro transforaci složek napětí a oentů le použít ientické vta: cos α sin α sin α sin α cos α sin α cos α ( ) sin α Hlavní oent a sěr norál k plocá, ke lavní oent působí jsou:, ± Maiální ěrné krouticí oent, se pak určí:, tan α ± Spolupůsobí s nii obové oent: tan α
Výpočet složek napětí v nosné esce Platí-li pro výpočet ěrnéo obovéo oentu a norálovéo napětí σ : σ pak σ ( ) ( ) ( ) σ Složk napětí v nosné esce le určit s poocí vtaů: σ σ τ 5
Nosné esk, složk ěrnýc vnitřníc sil na okraji esk cos ϕ sin ϕ sin ϕ n n t ( ) sin ϕ cos ϕ cosϕ sinϕ n 6
7 Nosné esk, poínk rovnová Q p F M M M M K K K K Q Q Q
8 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování Q Q K K M M Q Q K K M M F Q Q Q Q : F i : M i : M i
9 Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Q Q K K M M Q Q K K M M Po úpravě: : M i : M i Po úpravě:
Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Zatížení esk le roělit na tři části: atížení p a p přenášené obovýi oent a, atížení p přenášené kroutící oente. : i F F Q Q Q Q p p Po úpravě: p p p p p resp.
Nosné esk, poínk rovnová, pokračování, esková rovnice Rovnice vjařuje poínk rovnová poocí ěrnýc oentů. a úpravě le ískat ovoenou eskovou rovnici: p ( ) ( ) p p ), ( ), ( ΔΔ resp. Po osaení:
esková rovnice pro pravoúlé nosné esk p resp. ΔΔ(, ) p(, ) esková rovnice: parciální iferenciální rovnice. řáu, lineární, neoogenní (á pravou stranu), eliptickéo tpu. Pro p je o biaronickou rovnici. Zatížení plošné p [N/ ] esková tuost ( ) Kažá biaronická funkce opovíá průbové ploše esk atížené jen na okrajíc.
Okrajové poínk nosnýc esek Řešení rovnice esk usí opovíat aný okrajový poínká (vž vě na okraji). Okraj vetknutý: na okraji nulový průb i pootočení ϑ Také platí:... i i Kroutící oent je nulový
Okrajové poínk nosnýc esek Okraj prostě poepřený: na okraji nulový průb a nulový oent. Také platí:... i i proto: eforační vjáření okrajové poínk:
Okrajové poínk nosné esk, okraj prostě poepřený, pokračování esková rovnice uožňuje plnit na okraji poue vě poínk. Mělo b e být ještě třetí poínka. Řeší se tv. oplněnou posouvající silou. Δ Δ Δ li Δ (, Δ) (,) Δ Tato síla je: ( ) 5
Okrajové poínk nosné esk, okraj volný Na neatížené okraji b ělo být splněno: Přeepisují se však jen vě poínk: 6
Nosné esk, eto řešení Příé řešení eskové rovnice v uavřené tvaru neeistuje. Aplikují se přibližné eto, ke který patří např.: Metoa sítí, Ritova etoa, Galerkinova etoa, Metoa raničníc prvků, Metoa konečnýc prvků - FM. 7
eskový pás Je nejjenoušší přípa eskové konstrukce Statické scéa růnýc tpů eskovýc pásů 8
eskové pás, příkla 9
Kruové (rotačně setrické) nosné esk
Tlusté nosné esk, Minlinova teorie Přepokla σ ε a u(,,) v(,,) ůstávají v platnosti. Bo norál ke střenicové rovině ůstávají po eforaci na příce. Ta již obecně není norálou ke střenicové rovině. Platí: ϑ (,) ϑ (,) ϕ(,) ϕ (,) Vele nenáé je potřeba stanovit také onot ϕ a ϕ, resp. ϑ a ϑ.
Tlusté nosné esk, Minlinova teorie, pokračování Při výpočtu pole Minlinov teorie se ísto jené nenáé usí stanovit tři nenáé paraetr. U tenkýc nosnýc esek se oent určoval: (,) Pro tlusté nosné esk se stanoví: ϑ ϑ Měrné posouvající síl jsou:, G ϑ, G ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ( ) (,) ), (
Tlusté nosné esk, Minlinova teorie, pokračování Místo jené eskové rovnice, v níž vstupovala jeiná nenáá (,) se v ané přípaě poínek rovnová ískají tři rovnice: ( ) ( ) 6 Φ, G ϑ ϑ ϑ ke ϑ ϑ Φ ( ) ( ) 6 Φ, G ϑ ϑ ϑ p G, Φ
Tlusté nosné esk, okrajové poínk Prosté poepření: okraj konst: okraj konst: Vetknutí: okraj konst: ϑ ϑ Volný okraj: okraj konst: okraj konst: oplňkové posouvající síl se e neaváějí.