Přesnost elastické konformní transformace

Výzkumný ústav geodetický, topografický a kartografický Přesnost elastické konformní transformace Výzkumná zpráva č. 1151/2009 Lubomír Soukup prosinec 2009

1 Formulace problému 1.1 Požadovaný výsledek 1. Je třeba stanovit charakteristiku polohové přesnosti elastické transformace v libovolném bodě zájmového území. Touto požadovanou charakteristikou přesnosti je lokální střední souřadnicová chyba σ XY ( X, Ŷ ) bodu o souřadnicích X, Ŷ ] definovaná jako parametr dvojrozměrného normálního rozdělení s hustotou pravděpodobnosti kde ε X, ε Y ( f(ε X, ε Y X, exp 1 Ŷ ) := 2 ) (ε X ) 2 + (ε Y ) 2 (σ XY ( X, Ŷ )) 2 2π (σ XY ( X, Ŷ ))2, (1)... náhodné chyby souřadnic bodu, jehož přesnost je stanovována, ε X := ξ X, ε Y := η Ŷ, ξ, η... náhodné souřadnice bodu, jehož přesnost je stanovována. 2. Pro danou oblast referenčního obrazu je třeba odhadnout globální charakteristiku přesnosti transformace, která by reprezentovala rozložení lokální charakteristiky přesnosti v dané oblasti. Globální charakteristikou přesnosti v dané oblasti je globální střední souřadnicová chyba definovaná jako parametr dvojrozměrného normálního rozdělení pravděpodobnosti odvozeného z podmíněného rozdělení (1) za předpokladu, že je známa míra očekávání výskytu bodu X, Ŷ ] v různých částech dané oblasti. 1.2 Vstupní údaje a předpoklady Počáteční předpoklady jsou dvojího typu: geometrické a statistické. 1. Jsou dány dva digitální obrazy. Jeden z nich nazveme referenční obraz, druhý vstupní obraz. 2. Je zvoleno území zobrazené na obou obrazech. Nadále bude nazýváno zájmové území a označováno písmenem U. Největší možné území zobrazené na obou obrazech nazveme překryv obrazů. 3. V oblasti překryvu obrazů jsou zvoleny vlícovací body, které jsou dobře patrné na obou obrazech. 4. V obou obrazech jsou zvoleny souřadnicové systémy. Souřadnicový systém referenčního obrazu budeme nazývat výstupní souřadnicový systém a souřadnicový systém vstupního obrazu vstupní souřadnicový systém. 2

5. Mezi oběma zvolenými souřadnicovými systémy platí přibližně podobnostní transformace. t : R 2 R 2 : x, y ] t(x, y) = X, Y ], (2) X Y ] = p1 p 2 ] q1, q + 2 q 2, q 1 ] x y ], (3) kde x, y... vstupní souřadnice, X, Y... výstupní souřadnice, p 1, p 2, q 1, q 2... transformační koeficienty. 6. V obou souřadnicových systémech byly změřeny souřadnice zvolených vlícovacích bodů. x j, y j... vstupní souřadnice j-tého vlícovacího bodu, j J, X j, Y j... výstupní souřadnice j-tého vlícovacího bodu, j J, J... indexová množina čísel vlícovacích bodů, např. J = {1, 2,..., n}, n N. 7. Je známa přesnost měření vlícovacích bodů v obou souřadnicových systémech. Tato přesnost měření je ve všech směrech stejná, tzn. není závislá na stočení os příslušného souřadnicového systému, v němž byly souřadnice bodů měřeny. Současně předpokládáme normální rozdělení pravděpodobnosti polohy každého vlícovacího bodu, takže hustoty pravděpodobnosti vlícovacích bodů jsou vždy rotačně symetrické. Ke každému vlícovacímu bodu je tedy dána jeho střední souřadnicová chyba vzhledem k oběma souřadnicovým systémům. σ xy,j... střední souřadnicová chyba j-tého vlícovacího bodu ve vstupním souřadnicovém systému, σ XY,j... střední souřadnicová chyba j-tého vlícovacího bodu ve výstupním souřadnicovém systému. 8. V zájmovém území se předpokládají náhodné odchylky od podobnostního vztahu mezi odpovídajícími si souřadnicemi téhož bodu. Tyto náhodné odchylky způsobují lokální polohové deformace referenčního obrazu vůči podobnostní transformaci vstupní obraz. Proto budeme tyto náhodné odchylky 3

stručně nazývat deformační odchylky. O každé deformační odchylce se předpokládá, že má rotačně symetrické normální rozdělení, jehož střední souřadnicová chyba je pro všechny body zájmového území stejná. Deformační odchylky dvou blízkých bodů jsou statisticky závislé. Jejich kovariance klesá se vzdáleností obou bodů. Při nekonečné vzdálenosti obou bodů se jejich kovariance anuluje. Při nulové vzdálenosti obou bodů se ztotožní i jejich rozdělení pravděpodobnosti, tzn. že statistická závislost deformačních odchylek přejde ve funkční závislost a sice identitu. 9. Průběh kovariance deformačních odchylek v závislosti na vzdálenosti odpovídajících bodů je dán prostřednictvím tzv. kovarianční funkce. c... kovarianční funkce c(u) := σ 2 exp ( d 2 u 2) (4) σ... střední souřadnicová chyba udávající míru lokální polohové deformace vůči podobnostní transformaci. u... vzdálenost bodů, jejichž závislost je určována kovarianční funkcí c d... rychlost klesání kovarianční funkce se vzdáleností při větší hodnotě d klesá kovarianční funkce rychleji Kovarianční funkce c je tedy dána vztahem (4) až na parametry σ, d. Tyto parametry budou určeny v průběhu vlastního řešení. 2 Řešení problému 2.1 Teoretická východiska 2.1.1 Komplexní aritmetika Zadaný problém lze řešit pomocí veličin v komplexním číselném oboru. Souřadnice x, y bodu v rovině budou vždy reprezentovány jedním komplexním číslem w C : w = x + i y, kde i je imaginární jednotka (i := 1). Jednotlivé (reálné) souřadnice lze pak extrahovat z komplexního čísla w = x+i y pomocí operátorů R, I. x = R(w), y = I(w). Pro reprezentaci dvojice reálných čísel x, y ] jedním komplexním číslem w = x+i y, budeme používat zápis w = complex( x, y ) (5) 4

Číslo komplexně sdružené ke komplexnímu číslu w budeme značit w. w := x i y. Absolutní hodnotu komplexního čísla w = x + i y budeme značit w. w := ww = x 2 + y 2 Kvůli stručnějšímu zápisu budeme číslicemi 1, 0 zapisovat příslušná komplexní čísla s nulovou imaginární složkou, tj. 1 = 1 + i 0, 0 = 0 + i 0. O využití komplexních čísel při statistických výpočtech pojednává kniha 1]. 2.1.2 Metoda kolokace Pro modelování lokálních polohových deformací referenčního obrazu lze použít metodu kolokace (viz např. 3]). Metoda kolokace respektuje statistickou závislost deformačních odchylek od podobnostní transformace a umožňuje tuto závislost popsat pomocí kovarianční funkce (4). Nejdříve je nutné sestavit výchozí rovnice, které by formálně zachytily výše uvedené geometrické a statistické předpoklady. Takové rovnice se nazývají zprostředkující rovnice. Podobnostní vztah mezi vstupním a výstupním souřadnicovým systémem zohledňuje podobnostní transformace t definovaná vztahy (2), (3). Lze ji jednoduše vyjádřit jako komplexní funkci kde w = x + i y t : C C : w t(w) = W = p + q w, (6)... vstupní souřadnice, W = X + i Y... výstupní souřadnice, p = p 1 + i p 2 q = q 1 + i q 2... transformační koeficienty (vzájemný posun počátků souřadnicových systémů),... transformační koeficienty (rotace a změna měřítka souřadnicových os). Podle (3) lze snadno nahlédnout, že původní vektorová transformace t (2) je s komplexní funkcí t (6) svázána jednoduchým vztahem: t(x, y) = R(t(x + i y)), I(t(x + i y)) ]. (7) Transformační rovnice z definice (6) 5

W = p + q w (8) vyhovuje všem bodům zájmového území, tedy i vlícovacím bodům. Platí proto také: kde w j = x j + i y j W j = p + q w j, j J (9)... vstupní souřadnice j-tého vlícovacího bodu, W j = X j + i Y j... výstupní souřadnice j-tého vlícovacího bodu. Soustavu rovnic (9) můžeme zapsat i ve vektorovém tvaru: W = p + q w, (10) kde w, W jsou komplexní vektory obsahující souřadnice vlícovacích bodů v obou souřadnicových systémech. w := w 1,..., w n ] T, W := W 1,..., W n ] T. Soustava rovnic (8), (10) je tedy formálním vyjádřením stanovených geometrických předpokladů. Statistické předpoklady splníme zavedením měřických chyb na vlícovacích bodech ε j, E j a deformačních odchylek ϕ, ϕ j představujících lokální polohové deformace referenčního obrazu. W + ϕ = p + q w W j + E j + ϕ j = p + q (w j + ε j ), j J, (11) kde ε j... měřická chyba vstupních souřadnic j-tého vlícovacího bodu, E j... měřická chyba výstupních souřadnic j-tého vlícovacího bodu, ϕ... deformační odchylka výstupních souřadnic obecného bodu, ϕ j... deformační odchylka výstupních souřadnic j-tého vlícovacího bodu. U všech náhodných veličin ε j, E j je známé jejich rozdělení pravděpodobnosti, neboť jsou dány jejich střední souřadnicové chyby σ xy,j, σ XY,j a předpoklad normality a rotační symetrie jejich hustot pravděpodobnosti. Rovněž je známé sdružené rozdělení pravděpodobnosti náhodných veličin ϕ, ϕ j. Tím je (n+1)-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti, jehož kovarianční matice je zadána prostřednictvím kovarianční funkce c. (Prozatím předpokládáme, že parametry d, σ jsou vhodně zvoleny.) Sdruženým rozdělením pravděpodobnosti náhodných veličin ϕ, ϕ j, E j, ε j je 6

tedy (3n + 1)-rozměrné normální rozdělení pravděpodobnosti s kovarianční maticí C = σ 2, C w, O T n, O T n (C w) T, C 2,2, O n,n, O n,n O n, O n,n, C E,E, O n,n O n, O n,n, O n,n, C ε,ε, (12) kde C w := c ( w w i ) i {1, 2,..., n} ], C 2,2 O n := c ( w j w i ) i, j {1, 2,..., n}], := 0,..., 0 ] T... n-rozměrný nulový vektor (sloupcový), O n,n := 0 i, j {1, 2,..., n}]... čtvercová nulová matice řádu n, C E,E := diag( σxy,1, 2..., σxy,n 2 ), C ε,ε := diag( σxy,1, 2..., σxy,n 2 ). 2.1.3 Lokální versus globální charakteristika přesnosti Lokální charakteristika přesnosti bodu, tj. lokální střední souřadnicová chyba σ XY ( X, Ŷ ) je dána hustotou pravděpodobnosti f(ε X, ε Y X, Ŷ ). σ XY ( X, Ŷ ) := (13) 1 2 ε 2 X f(ε X, ε Y X, Ŷ ) dε X dε Y + ε 2 Y f(ε X, ε Y X, Ŷ ) dε X dε Y R 2 R 2 Hustota pravděpodobnosti f je rotačně symetrická funkce (viz. (1)), takže definiční vztah (13) lze vyjádřit maticovou rovností σxy 2 (X) I 2 = ε ε T f(ε X) dε, (14) R 2 kde ε... polohová měřická chyba, ε := ε X, ε Y ] T X... souřadnice obecného bodu, X :=X, Y ] T, ] 1, 0 I 2... jednotková matice řádu 2, I 2 :=. 0, 1 Hustota pravděpodobnosti f(ε X, ε Y X, Ŷ ) umožňuje určit pravděpodobnost výskytu skutečné polohy bodu v nějaké oblasti poblíž jeho odhadnuté polohy X, Ŷ ]. Označíme-li tuto oblast B a příslušnou pravděpodobnost P (B), pak platí: 7

P (B) = B f(ξ X, η Ŷ X, Ŷ ) dξ dη (15) Globální charakteristika přesnosti by měla splňovat obdobné rovnosti jako (14), (15), jen s tím rozdílem, že odpovídající hustota pravděpodobnosti nebude podmíněna polohou X, Ŷ ] jako v (15), ale bude se vztahovat k celému zájmovému území U. Takovouto nepodmíněnou hustotu pravděpodobnosti budeme nazývat globální hustota pravděpodobnosti a označovat ji symbolem f U. Nežli však přistoupíme k formální, matematické definici globální hustoty pravděpodobnosti f U, je třeba ještě znát míru očekávání výskytu bodu X, Ŷ ] v různých částech zájmového území U. Tuto míru očekávání lze zadat pomocí rozdělení pravděpodobnosti polohy bodu v zájmovém území U. Toto rozdělení pravděpodobnosti bude rovnoměrné na U, pokud je výskyt bodu v nějaké části zájmového území U očekáván se stejnou pravděpodobností jako v jiné části stejného obsahu. Pokud by některé části zájmového území byly frekventovanější než, jiné, tzn. pokud by míra očekávání různých částí zájmového území byla různá i při stejném obsahu oněch částí, bude tuto míru očekávání reprezentovat jiné rozdělení pravděpodobnosti než rovnoměrné. Toto rozdělení pravděpodobnosti budeme nazývat frekvence výskytu bodu v zájmovém území a jeho hustotu pravděpodobnosti budeme označovat r U. V případě rovnoměrné frekvence výskytu v zájmovém území bude hustota r U splňovat vztah 1 X, Y ] U, r U (X, Y ) = U 0 X, Y ] / U, přičemž U znamená obsah zájmového území U. Pro obecně stanovenou frekvenci výskytu r U lze tedy definovat globální hustotu pravděpodobnosti f U (ε) := f(ε X) r U (X) dx, (17) kde ε... polohová měřická chyba, ε :=ε X, ε Y ] T, X... souřadnice obecného bodu, X :=X, Y ] T, r U (X)... frekvence výskytu bodu X v zájmovém území U. U Pro globální hustotu pravděpodobnosti f U bychom nyní mohli definovat globální střední souřadnicovou chybu σ U podobně jako v (13). Jednodušší je však využít vztahu (14). Jeho pravá strana totiž představuje definiční výraz pro kovarianční matici dvojrozměrné náhodné chyby ε s podmíněnou hustotou pravděpodobnosti f(ε X, Ŷ ). Stejně tak můžeme definovat kovarianční matici C U jiné dvojrozměrné náhodné chyby, jejíž hustotou pravděpodobnosti je právě zavedená globální hustota (16) 8

pravděpodobnosti f U, která ani nemusí být rotačně symetrická. C U := ε ε T f U (ε) dε. (18) R 2 Kdybychom nyní do pravé strany této rovnosti dosadili za f U (ε) podle (17) a vypočetli kovarianční matici C U, zjistili bychom, že globální hustota pravděpodobnosti f U je opravdu rotačně symetrická, neboť se ukáže, že platí C U = σ 2 U I 2. (19) Symbol σ U představuje hledanou globální střední souřadnicovou chybu v zájmovém území U. Rovnost (19) bude podrobně odvozena v podkapitole 2.3. 2.2 Odvození lokální střední souřadnicové chyby 2.2.1 Stručný nástin postupu odvození Pro libovolný bod vstupního obrazu lze odhadnout přesnost jeho polohy v referenčním obraze. K tomu je třeba znát kovarianční matici jeho souřadnic X, Ŷ ve výstupním souřadnicovém systému. Tuto kovarianční matici označíme C XY ( X, Ŷ ). Výstupním souřadnicím X, Ŷ odpovídá komplexní veličina W, která je jednou z neznámých veličin soustavy rovnic (11). Pro varianci komplexní náhodné veličiny W platí: var(w ) = σxy 2 ( X, Ŷ ), var(w ) I 2 = C XY ( X, Ŷ ) Dalšími neznámými veličinami v soustavě rovnic (11) jsou parametry podobnostní transformace p, q. Přestože jejich přesnost není nutné znát, k určení střední souřadnicové chyby σ XY ( X, Ŷ ) je třeba určit kovarianční matici všech tří neznámých veličin W, p, q. Dalšími významnými veličinami v soustavě rovnic (11) jsou náhodné veličiny ε j, E j, ϕ, ϕ j. U nich jsou známá jejich rozdělení pravděpodobnosti. Zbývající veličiny v soustavě rovnic (11) jsou dány předem nebo je bude možno vypočíst dodatečně. Hodnoty veličin w j, W j jsou dány předem, neboť byly zjištěny měřením souřadnic vlícovacích bodů. Poslední veličina, w, představuje vstupní souřadnice bodu, v němž má být stanovena přesnost transformace. Prozatím předpokládáme, že volba polohy tohoto bodu se uskuteční prostřednictvím jeho vstupních souřadnic. Proto považujeme i hodnotu veličiny w za známou. Až budou vypočteny vyrovnané hodnoty Ŵ, p, q, bude možno vyjádřit vyrovnanou hodnotu Ŵ pomocí w. Tento vztah je vlastně transformací vstupních souřadnic na výstupní souřadnice t : C C : w Ŵ = t(w). (20) Transformace t zobecňuje (zpřesňuje) podobnostní transformaci t zavedenou v (6). Tohoto zpřesnění se dosáhne zavedením deformačních odchylek ϕ, ϕ j. Důsledkem 9

toho bude lepší shoda polohy vlícovacích bodů, avšak za cenu porušení linearity transformace. Transformaci t budeme v dalším textu nazývat elastická transformace. Pokud bude poloha bodu, v němž má být stanovena přesnost transformace, zadána jeho výstupními souřadnicemi W, vypočte se hodnota w inverzí transformace t. w = t 1 (W ) (21) Protože transformace t je obecně nelineární, bude třeba ji invertovat iteračně. O tom bude pojednáno v podkapitole (2.2.3). 2.2.2 Elastická transformace vstupního obrazu Transformaci t zavedenou v (20) odvodíme řešením přeurčené soustavy rovnic (11) metodou nejmenších čtverců. Předem je však nutno separovat neznámé veličiny W, p, q od náhodných veličin ε j, E j, ϕ, ϕ j. Nejjednodušším způsobem separace neznámých a náhodných veličin je linearizace. Linearizace První rovnice v soustavě (11) je lineární, a proto je u ní separace jednoduchá. Zbývající rovnice linearizujeme s pomocí přibližných hodnot neznámých veličin W, p, q. Tyto přibližné hodnoty použijeme i v první rovnici, přestože to kvůli separaci není nutné. Je to však nutné z důvodu jednotné volby neznámých a konstant. Při označení W = W + W p = p + p q = q + q (22) přejde soustava rovnic (11) na ekvivalentní soustavu s neznámými W, p, q. q w + p + W + q w + p W = ϕ q w j + p + q w j + p W j. = Ej q ε j + ϕ j, j J. (23) Přitom byl zanedbán člen q ε j. Zvolíme-li přibližné hodnoty neznámých veličin W, p, q tak, aby platilo W = p + q w (24) a zavedeme-li pomocné hodnoty výstupních souřadnic vlícovacích bodů pak se soustava rovnic (23) zjednoduší na tvar: W j := p + q w j, j J, (25) 10

p + q w + W = ϕ p + q w j + W j W j. = Ej q ε j + ϕ j, j J. (26) V tomto tvaru již můžeme vyjádřit zprostředkující rovnice maticově, zavedeme-li označení: h := p, q ] T... přibližné transformační parametry, h := p, q ] T... přírůstky transformačních parametrů, h := p, q ] T... transformační parametry, h = h + h, W := W 1,..., W n ] T... souřadnice vlícovacích bodů ve výstupním souřadnicovém systému, W := W 1,..., W n ] T... přibližné souřadnice vlícovacích bodů ve výstupním souřadnicovém systému, ϕ ε O n := ϕ 1,..., ϕ n ] T... vektor deformačních odchylek výstupních souřadnic, := E 1,..., E n, ε 1,..., ε n ] T... vektor měřických chyb výstupních a vstupních souřadnic, := 0,..., 0 ] T... n-rozměrný nulový vektor (sloupcový), 1 n := 1,..., 1 ] T... n-rozměrný jedničkový vektor (sloupcový), I n... jednotková matice řádu n, a w := 1, w ], A := 1 n, w ], B := I n, q I n ]. 1, aw O n, A ] W h ] + 0 W W ] = 1, O T n, O T 2n O n, I n, B ] ϕ ϕ ε Tuto soustavu rovnic lze přehledně zapsat pomocí matic ] 1, aw à :=, O n, A ] W h :=, h ] 0 l := W W, 1, O T D := n, O T ] 2n, O n, I n, B 11

ve tvaru: v := ϕ ϕ ε Ã h l = D v, (27) kde jsou neznámé veličiny uloženy ve vektoru h a separovány od náhodných veličin v. Aplikace metody nejmenších čtverců Soustavu rovnic (27) lze snadno řešit metodou nejmenších čtverců, zavedeme-li pro náhodný vektor Dv jeho váhovou matici. Tuto váhovou matici označíme Q a určíme ji pomocí kovarianční matice C (viz. (12)) a vzorce (10) v 2] (tzv. zákon hromadění variancí a kovariancí). Q := (D C D ) 1 (28) Řešit soustavu rovnic (27) metodou nejmenších čtverců nyní tedy znamená splnit podmínku (Ã ˆ h l) Q (Ã ˆ h l) = min h C 3 (Ã h l) Q (Ã h l) (29) pro neznámý vektor ˆ h =: W, p, q ] T, který obsahuje odhady hodnot určovaných veličin W, p, q. ˆ h = (Ã Q Ã) 1 Ã Q l. (30) Po dosazení submatic A, B do blokových matic Ã, D a subvektoru W W do vektoru l pak lze s využitím inverze blokové matice vyjádřit transformační vztah mezi souřadnicemi obecného bodu ve vstupním a výstupním souřadnicovém systému. Tím se odvodí hledaná elastická transformace (20). Výsledná elastická transformace Ŵ = t(w) = C w P (W W A h) + a w ( h + h ), (31) kde P := (C E,E + q 2 C ε,ε + C 2,2 ) 1... váhová matice, h := (A PA) 1 A P(W W ), A := A T... adjungovaná matice (transponovaná a komplexně sdružená). Přechodem od komplexních čísel w, Ŵ k odpovídajícím reálným souřadnicím x, y], X, Ŷ ]; w = x + iy, Ŵ = X + i Ŷ můžeme vyjádřit transformační vztah (31) jako zobrazení t : R 2 R 2 : x, y] t(x, y) = X, Ŷ ] = R( t(x + iy)), I( t(x + iy)) ]. (32) 12

2.2.3 Inverze elastické transformace Inverzní transformaci k transformaci (32) lze nejjednodušším způsobem určit Newtonovou iterační metodou. Pro daný bod s výstupními souřadnicemi X, Ŷ ] =: Ŷ vypočteme jemu odpovídající bod ŷ jako poslední člen posloupnosti y 0, y 1, y 2,...,y n, pro který je rozdíl y n y n 1 zanedbatelný. y i+1 = y i + ( ) 1 t y (y i) (Ŷ t(y i )) (33) Za počáteční bod y 0 volíme inverzi podobnostní transformace t definované vztahy (2), (3), (6), (7), (74), (75). Tedy (Ŵ ) (Ŵ )] p y 0 = t R 1 p (Ŷ) =, I. q Prvky matice t jsou reálné funkce dvou proměnných (x, y) a lze je jednoduše y vyjádřit pomocí označení q k := P (W W A h), k =: {k 1, k 2,..., k n } = {k j j {1, 2,..., n}} C n, k x,1 := { 2d 2 R(k j )(x x j ) j {1, 2,..., n}}, k x,2 := { 2d 2 I(k j )(x x j ) j {1, 2,..., n}}, k y,1 := { 2d 2 R(k j )(y y j ) j {1, 2,..., n}}, k y,2 := { 2d 2 I(k j )(y y j ) j {1, 2,..., n}}, ˆp, ˆq] := ( h + h ), ˆq =: ˆq 1 + i ˆq 2. (34) t C (x, y) = w k x,1, C w k y,1 y C w k x,2, C w k y,2 ] + ˆq1, ˆq 2 ˆq 2, ˆq 1 ] (35) 2.2.4 Výsledná střední souřadnicová chyba σ XY ( X, Ŷ ) Kovarianční matice odhadovaných veličin W, p, q je: (Ã QÃ) 1. (36) V matici (36) je významný jen první prvek, který představuje varianci výstupních souřadnic W obecného bodu. Odmocnina variance W je hledanou střední souřadnicovou chybou σ XY ( X, Ŷ ). Provedením blokové inverze (36) a odmocněním prvního prvku invertované matice vznikne hledaný vzorec pro výpočet σ XY ( X, Ŷ ). 13

σ XY ( X, Ŷ ) = = σ 2 C w P (C w) + (a w C w P A) (A PA) 1 (a w C w P A) (37) w = t 1 ( X + i Ŷ ). 2.3 Odvození globální střední souřadnicové chyby Vzorec (37) pro výpočet lokální střední souřadnicové chyby se využije i při odvození globální střední souřadnicové chyby. K tomu je však třeba nejprve dokončit odvození kovarianční matice C U naznačené v podkapitole 2.1.3. Do definiční rovnosti (18) dosadíme za f U podle (17) a vypočteme kovarianční matici C U. C U = ε ε T f(ε X) r U (X) dx dε = = = = R 2 R 2 U U U U ε ε T f(ε X) r U (X) dx dε = R 2 ε ε T f(ε X) r U (X) dε dx = σ 2 XY (X) I 2 r U (X) dx (38) Při poslední úpravě jsme použili vztah (14). Další pokračování je nyní možné za zjednodušujících předpokladů o zájmovém území U a rozdělení r U. Předpokládáme tedy zájmové území ve tvaru obdélníka, jehož strany jsou rovnoběžné se souřadnicovými osami výstupního systému, a rovnoměrné rozdělení r U dané vztahem (16). U := X, X + Y, Y + (39) r U := 1 U = 1 (X + X )(Y + Y X, Y ] U, ) 0 X, Y ] / U. (40) Dvojice konstant X, Y ], resp. X +, Y + ] představují souřadnice protilehlých rohů obdélníkového zájmového území U. Za předpokladů (39), (40) lze pokračovat v odvozování kovarianční matice C U přerušeném u výrazu (38). C U = = 1 (X + X )(Y + Y ) 1 (X + X )(Y + Y ) Y + X + Y Y + X + Y X σ 2 XY (X, Y ) I 2 dx dy = X σ 2 XY (X, Y ) dx dy I 2 (41) 14

Výraz (41) vyjadřuje kovarianční matici C U ve tvaru (19). Proto lze globální střední souřadnicovou chybu σ U určit podle vztahu σ 2 U = 1 (X + X )(Y + Y ) Y + X + Y X σ 2 XY (X, Y ) dx dy. (42) Tento vztah odpovídá intuitivní představě, že globální variance σ 2 U je integrální střední hodnotou lokální variance σ 2 XY (X, Y ) v zájmovém území X, X + Y, Y +. Dvojnásobnou integraci v (42) však není požno provedést analyticky, neboť výpočet σ 2 XY (X, Y ) zahrnuje iterační proceduru pro inverzní transformaci t 1. Proto je třeba zvolit jednodušší vyjádření pro lokální střední souřadnicovou chybu. Vzorec (37) přímo vybízí k zavedení lokální variance jako funkce vstupních souřadnic x, y. ˆσ XY 2 (x, y) := σxy 2 ( X, Ŷ ) = (43) = σ 2 C w P (C w) + (a w C w P A) (A PA) 1 (a w C w P A) K provedení integrace je navíc nutné převést do vstupního souřadnicového systému i vymezení obdélníkového zájmového území. To znamená místo (39) zvolit U := t( x, x + y, y + ) (44) Vzorec (42) pro výpočet globální variance pak přejde ve vhodnější tvar: σ 2 U = 1 (x + x )(y + y ) y + x + y x σ 2 XY (x, y) dx dy. (45) Nyní již stačí dosadit za σ 2 XY (x, y) do (45) podle (43) a provést naznačenou integraci. Nejdříve je třeba roznásobit výraz (43). kde σ 2 XY (x, y) = σ 2 + a w M a w + C w (P A M A P P) (C w) (46) a w M A P (C w) C w P A M a w, (47) je hermitovská matice. Za pomoci dalšího zjednodušujícího označení M := (A PA) 1 (48) R := P A M A P P, (49) s w := P A M a w, (50) τ 2 w := σ 2 + a w M a w, (51) 15

lze pravou stranu rovnosti (46) dále upravit. σ 2 XY (x, y) = C w R (C w) + C w s w + s w (C w) + τ 2 w. (52) Při označení prvků matice R a vektorů s w, C w dále platí R =: r ij C i {1,..., n}, j {1,..., n}], (53) s w =: s k (w) C k {1,..., n}], (54) C w =: c k (w) R k {1,..., n}] (55) n n n σxy 2 (x, y) = r ij c i (w)c j (w) + (s k (w) + s k (w))c k (w) + τw 2. (56) i=1 j=1 k=1 Aby bylo možno provést integraci pravé strany (56), je třeba ji vyjádřit jako reálnou funkci proměnných x, y. K tomu je třeba přijmout následující označení: S := s kl C k {1,..., n}, l {1, 2}] := P A M, (57) s kl =: s kl1 + i s kl2, (58) M =: ] ] M11, M 12 M111 + i M =: 112, M 121 + i M 122, M 21, M 22 M 211 + i M 212, M 221 + i M 222 (59) Pak platí z ij := z i + z j 2. (60) σxy 2 (x, y) = n n r ij c i (w)c j (w) + 2 (s k11 + x s k21 + y s k22 ) c k (w) + τw 2 i,j=1 k=1 = σ 4 n r ij exp d 2 ( (zk z ij ) 2 + 2(z z ij ) 2) i,j=1 z {x,y} k {i,j} n + 2σ 2 (s k11 + x s k21 + y s k22 ) exp ( d ( 2 (x x k ) 2 + (y y k ) 2)) k=1 + σ 2 + M 111 + 2(x M 121 + y M 122 ) + (x 2 + y 2 )M 221. (61) Dosazením (61) do (45) vznikne po elementárních úpravách hledaný vzorec pro globální varianci σ 2 U. Bude přitom použita tzv. chybová funkce erf(x) := 2 x e t2 dt. π 0 16

σ 2 U = 1 (x + x )(y + y ) σ4 π n r 8d 2 ij exp d 2 i,j=1 (z k z ij ) 2 z {x,y} k {i,j} ( erf( 2 d (z + z ij )) erf( 2 d (z z ij )) ) + z {x,y} + σ 2 n + + i=1 s i11 π ( erf(d (z + z 2 d 2 i )) erf(d (z z i )) ) + z {x,y} π 2 d s ( ( 2 i21 xi π erf(d (x + x i )) erf(d (x x i )) ) ) (x + x i ) 2 e d2 e d2 (x x i ) 2 (erf(d (y + y i )) erf(d (y y i )) ) d π 2 d s ( ( 2 i22 yi π erf(d (y + y i )) erf(d (y y i )) ) e d2 (y + y i ) 2 e d2 (y y i ) 2 d ) (erf(d (x + x i )) erf(d (x x i )) ) + ( (x + ) 3 (x ) 3 + M 221 (y + y ) + (y+)3 (y ) 3 ) (x + x ) + 3 3 ( + M 121 (x + ) 2 (x ) 2) ( (y + y ) + M 122 (y + ) 2 (y ) 2) (x + x ) + + σ 2 + M 111. (62) 17

3 Postup výpočtu Teoretické výsledky získané v předchozí kapitole budou nyní podrobně rozpracovány do konkrétního výpočetního postupu. 3.1 Stanovení vektorů souřadnic vlícovacích bodů W := W 1,..., W n ] T = W i i {1, 2,..., n} ] T, (63) w := w 1,..., w n ] T = w i i {1, 2,..., n} ] T. (64) 3.2 Výpočet kovariančních matic 1. Kovarianční matice měřených vlícovacích bodů 2. Kovarianční matice lokálních deformací C E,E := diag( σ 2 XY,1,..., σ 2 XY,n ), (65) C ε,ε := diag( σ 2 xy,1,..., σ 2 xy,n ). (66) C 2,2 := c ( w j w i ) i, j {1, 2,..., n}], (67) C w := c ( w w i ) i {1, 2,..., n} ]. (68) 3.3 Výpočet přibližných parametrů podobnostní transformace 1. pro dvojici vhodných (dostatečně vzdálených) vlícovacích bodů i, j {1, 2,..., n} p := W i w j W j w i w j w i, (69) q := W j W i w j w i. (70) 2. pro všechny vlícovací body Helmertovou transformací A := 1 n, w ], (71) A := A T, (72) P := ( C E,E + q 2 C ε,ε ) 1, (73) h := ( A P A ) 1 A P W, (74) h =: p, q ] (75) 18

3.4 Výpočet přibližných globálních souřadnic vlícovacích bodů W i := p + q w i, i {1, 2,..., n}, (76) W := W 1,..., W n ] T = W i i {1, 2,..., n} ] T. (77) 3.5 Výpočet transformačních parametrů a w := 1, w ], (78) P := ( ) C E,E + q 2 1 C ε,ε + C 2,2, (79) M := (A PA) 1, (80) h := M A P(W W ). (81) 3.6 Elastická transformace kontrolní mapy Ŵ = t(w) = C w P (W W A h) + a w ( h + h ) t(x, y) = X, Ŷ ] = R(Ŵ ), I(Ŵ ) ] 3.7 Výpočet lokální střední souřadnicové chyby w = complex( t 1 ( X, Ŷ ) )... viz (33) až (35) σ XY ( X, Ŷ ) = σ 2 C w P (C w) + (a w C w P A) M (a w C w P A) 3.8 Výpočet globální střední souřadnicové chyby 1. Výpočet σ 2 U pro zvolený obdélník x, x + y, y + podle (62). 2. σ U = σ 2 U 19

4 Přehled použité matematické symboliky a := b definice objektu a pomocí výrazu b obsahujícího jen symboly známých nebo dříve definovaných objektů N množina všech přirozených čísel R množina všech reálných čísel C množina všech komplexních čísel prázdná množina U velikost množiny U i imaginární jednotka, i := 1 R(w) reálná složka komplexního čísla w = x + i y, R(w) = x, x R I(w) imaginární složka komplexního čísla w = x + i y, I(w) = y, y R w komplexně sdružené číslo ke komplexnímu číslu w = x + i y, w := x i y u vektor u := u i i I ]... uspořádaná množina prvků u i náležících do předem daného oboru (čísla, vektory, matice). Index i probíhá indexovou množinu I, pro niž je definována relace lineárního (úplného) uspořádání. řádkový vektor... u i i I ] sloupcový vektor... u i i I ] T A matice A := a i,j i I, j J ]... uspořádaná množina prvků a i,j náležících do předem daného oboru (čísla, vektory, matice). Indexy i, j probíhají indexové množiny I, J, pro něž je definována relace lineárního (úplného) uspořádání. Index i představuje pořadové číslo řádku, index j sloupce. A T transponovaná matice k matici A; A T := a j,i i I, j J ] A I n adjungovaná matice (transponovaná a komplexně sdružená), A := a j,i i I, j J ] jednotková matice řádu n { m,..., n } množina přirozených čísel s prvky od m do n ; m, n N, m n diag(u) diagonální matice, jejíž diagonálu tvoří prvky vektoru u, 1 n jedničkový vektor (n-rozměrný), 1 n R n, 1 n := 1 i { 1,..., n } ] T = 1,..., 1 ] T. 20

O n nulový vektor (n-rozměrný), O n R n, O n := 0 i { 1,..., n } ] T = 0,..., 0 ] T. Použitá literatura 1] Andersen, H. H., Hojbjerre, M., Sorensen, D., and Eriksen, P. S. Linear and Graphical Models (for the Multivariate Complex Normal Distribution). Springer-Verlag, New York, 1995. 2] Anděl, J. Matematická statistika. SNTL, Praha, 1978. 3] Moritz, H. Least-squares collocation. Tech. Rep. A 75, DGK, 1973. 21