Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Studijní obor: Matematika Finanční a pojistná matematika Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření předpokladů použitých matematických vět. Příklad (25 bodů) Spočtěte M x 3 y dxdy, kde M = {(x, y) R 2 : < x < 3, < y <, y < x}. Příklad 2 (25 bodů) Definujme funkci f : R 2 R předpisem f(x, y) = sin( x y). Určete její totální diferenciál všude, kde existuje. Příklad 3 (25 bodů) Uvažujme náhodný výběr X,..., X n z rozdělení s hustotou f(x; ) = 2x { } exp x2 I{x > }, >. (a) Najděte maximálně věrohodný odhad pro neznámý parametr >. (b) Odvoďte asymptotické rozdělení maximálně věrohodného odhadu pro neznámý parametr. (c) Sestavte (i) test poměrem věrohodnosti, (ii) Raoův skórový test, (iii) Waldův test pro nulovou hypotézu H : = oproti alternativě H :. Příklad 4 (25 bodů) Uvažujte investiční projekty X a Y reprezentované peněžními toky C X = (x, x ) a C Y = (y, y ) v časových okamžicích,. Předpokládejme x <, y <, x >, y >, x < x, y < y.
(i) Vyjádřete obecně současné hodnoty obou uvedených projektů při hodnotící úrokové míře (ceně kapitálu) i. (ii) Pro každý projekt zvlášť uveďte obor hodnot i, pro které je z hlediska současné hodnoty projekt přijatelný. (iii) Uvažujte konkrétní projekty reprezentované peněžními toky C X = (,.) a C Y = ( 2, 2.). Máte možnost přijmout přijmout nejvýše jeden z těchto projektů. Zjistěte, při kterých hodnotách i přijmete (a) projekt X (b) projekt Y (c) nepřijmete žádný projekt.
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 27 Studijní program: Matematika Studijní obor: Finanční a pojistná matematika Varianta A řešení Příklad (25 bodů) Použijeme Fubiniho větu. To je možné, protože množina M je měřitelná a integrovaná funkce je spojitá, tedy měřitelná, a nezáporná na M. Je pro nás výhodné psát M = M M 2, M = { < x, < y < x}, M 2 = { < x < 3, < y < }. Nyní a Tedy M M x 3 y dxdy = = M 2 x 3 y dxdy = = 3 3 ( x ) x 3 y dy dx = x 5 2 dx = [ x 6 2 ( ] = 2 ) x 3 y dy dx = x 3 [ x 4 2 dx = 8 ] 3 3 x 3[ y 2 ] x 2 dx x 3[ y 2 ] 2 dx = 8 8 8 =. xy 3 dxdy = xy 3 dxdy + xy 3 dxdy = M M 2 2 + = 2 2.
Příklad 2 (25 bodů) Pro (x, y) R 2 máme f (x, y) = x cos( x y) y a tato parciální derivace je spojitá na R 2. Dále, na množině R 2 \ {(x, y) R 2 : x = } máme f x (x, y) = y x x cos( x y) a tato parciální derivace je spojitá na množině R 2 \{(x, y) R 2 : x = }. Proto zde totální diferenciál existuje a splňuje df(x, y)(h, h 2 ) = y x x cos( x y)h + x cos( x y)h 2. Dále na množině {(x, y) R 2 : x =, y } neexistuje limita f(x + t, y) f(x, y) f(t, y) f(, y) sin( t y) lim. t t t t t t Proto parciální derivace f x zde neexistuje a neexistuje zde ani totální diferenciál. Zbývá vyšetřit chování v počátku. Máme a f f( + t, ) f(, ) sin sin (, ) = x t t t t f f(, + t) f(, ) sin sin (, ) =. y t t t t Proto jediným kandidátem na totální diferenciál je lineární funkce L: (h, h 2 ). Ověřme, zda splňuje definici totálního diferenciálu. Zkoumáme limitu f( + h, + h 2 ) f(, ) L(h, h 2 ) sin( h h 2 ) sin lim. h h h h Tato limita se rovná nule, protože sin( h h 2 ) h h 2 h h h 2 h = h. Proto totální diferenciál v počátku existuje a je triviální.
Příklad 3 (25 bodů) (a) Nejdříve vyjádříme věrohodnost L n (; X) = 2n n i= X { n } i i= n exp X2 i, X i >, i. Logaritmická věrohodnost je pak l n (; X) = log X i + n log 2 n log i= Následně zderivováním dostaneme skórovou statistiku U n (; X) = n + 2 Xi 2. i= Xi 2. Maximálně věrohodný odhad je řešením věrohodnostní rovnice l n (; X)/ = vzhledem k neznámému parametru, tj. ˆ = Xi 2. n Pozorovaná (výběrová) informace je i= I n (; X) = U n (; X) = n 2 + 2 n 3 i= Xi 2, která po vyčíslení v maximálně věrohodném odhadu nabývá kladné hodnoty i= I n (ˆ; X) = n 2 ( i= X 2 i ) 2 >. Tím pádem je nalezený maximálně věrohodný odhad právě jeden. (b) Fisherovu informaci spočítáme jako I () = EI n (; X) = 2, protože Pak platí, že EX 2 i = 2x 3 exp n (ˆ ) } { x2 dx = D N (, 2 ), n. ye y dy =. (c,i) Test podílem věrohodnosti pro nulovou hypotézu H : = oproti alternativě H : je založen na testové statistice ( ) D n = 2 log L n(ˆ; X) L n (; X) = 2 Xi 2 2n 2n log Xi 2 n i= a H zamítáme ve prospěch H, když D n > χ 2 ( α), kde χ2 ( α) je ( α)-kvantil χ2 rozdělení o jedném stupni volnosti. i=
(c,ii) Raoův skórový test pro nulovou hypotézu H : = oproti alternativě H : je založen například na testové statistice R n = [U n(; X)] 2 ni() = n a H zamítáme ve prospěch H, když R n > χ 2 ( α). ( n Xi 2 i= ) 2 (c,iii) Waldův test pro nulovou hypotézu H : = oproti alternativě H : je založen například na testové statistice ( ) W n = n (ˆ ) 2 n 2 I (ˆ) = n n i= X2 i a H zamítáme ve prospěch H, když W n > χ 2 ( α).
Příklad 4 (25 bodů) (i) Označme P V X resp. P V Y současné hodnoty plynoucí z projektů X resp. Y. Platí P V X = x + x + i P V Y = y + y + i. (ii) Projekt je přijatelný, jesliže očekávaná současná hodnota je kladná. Musí tedy platit P V X >, P V Y >, což v případě projektu X vede na nerovnost (analogicky pro projekt Y ) a tedy x + x + i >, < i < x x. (iii) Přijmeme projekt, který je přijatelný. Jsou-li přijatelné oba, přijmeme projekt s vyšší současnou hodnotou. Mají-li oba stejnou kladnou současnou hodnotu, přijmeme libovolný z nich. Projekt X je přijatelný pro < i <, projekt Y je přijatelný pro < i < 2. Nerovnost P V Y > P V X platí, pokud 2 + 2.. > + + i + i neboli < +i, tj. < i <. Pro i > je P V Y < P V X. Pro i = je P V Y = P V X. (a) Projekt X přijmeme, je-li i <. (b) Projekt Y přijmeme, je-li < i. (c) V případě i nepřijmeme žádný projekt.