Počátek goniometrie Eudoxovy modely Deferent, epicykl a excentr Apollónios (225 př Kr) ukázal, že oba přístupy jsou při aplikaci na Slunce ekvivalentní Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25 11 2014 7 / 34
Počátek goniometrie Antická astronomie Hipparchos (2 stol př Kr) Hipparchos kolem roku 130 př Kr provedl vlastní pozorování: jaro 94 1 2 léto 92 1 2 podzim 88 1 8 zima 90 1 8 Dnes je nejdelší léto Hipparchův model poskytoval velmi přesné předpovědi používán až do 16 stol Přesnost: 1 2 stupně Kdybychom dosadili přesné parametry podle současných pozorování, tak bychom dosáhli přesnosti 1 (což je hluboko pod hranicí možností pozorování pouhým okem) Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25 11 2014 8 / 34
Počátek goniometrie Antická astronomie Hipparchos (2 stol př Kr) ÂF 94, 5 dne 93 9 FH 92, 5 dne 91 11 ÂFH 184 20 ÂB + ĜH = 4 20 tj ÂBC = 2ÂB = 4 20 AC = crd 4 20 = 60 2 sin 2 10 = 4; 32 AK = 2; 16 ÂF = ÂB + 90 + ÊF 93 9 = 2 10 + 90 + ÊF ÊF = 59 LF = crd 59 = 60 2 sin 29 30 = 1; 2 Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25 11 2014 9 / 34
Počátek goniometrie Antická astronomie Hipparchos (2 stol př Kr) Excentricita e dle Pýthagorovy věty: e 2 = 2; 16 2 + 1; 2 2 = 6; 12 e = 2; 29 1 2 Zaokrouhlená hodnota 2; 30 = 60 24, excentricita e = 1 24 poloměru excentru Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Goniometrie v antice 25 11 2014 10 / 34
Osnova Jak daleko je Východ a západ Slunce Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 2 / 8
Jak daleko je Zadání Jak daleko je Na řece Berounce se nachází obec Nižbor Leží na 50 severní šířky a 14 východní délky Philadelphia leží na 40 severní šířky a 75 západní délky Jaká je vzdálenost těchto dvou míst? Známe přesné zeměpisné souřadnice dvou míst na Zemi Jaká je jejich vzdálenost? Nelze ji určit prostým měřením na mapě Ze zeměpisných souřadnic ji však lze vypočítat Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 3 / 8
Jak daleko je Výpočet Jak daleko je Vypočteme vzdálenost d obou bodů v R 3 a pak dopočítáme velikost úhlu α ze vztahu sin α 2 = d 2R, kde R značí poloměr Země Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 4 / 8
Jak daleko je Výpočet Jak daleko je Pokud označíme zeměpisnou šířku a délku jednotlivých míst ϕ 1 a λ 1, resp ϕ 2 a λ 2, dostaneme ze vztahu pro eukleidovskou vzdálenost Po úpravě máme ( ) d 2 = (cos ϕ 1 cos λ 1 cos ϕ 2 cos λ 2 ) 2 R +(cos ϕ 1 sin λ 1 cos ϕ 2 sin λ 2 ) 2 + (sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) 2 cos α = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 1 λ 2 ) Známe-li nyní α, je vzdálenost při pohybu po povrchu zemském rovna R α Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 5 / 8
Východ a západ Slunce Východ a západ Slunce Kdy vychází a zapadá Slunce? Otázka na první pohled obtížná má snadné řešení, pokud si uvědomíme, že od pravého poledne po západ (a stejně tak od východu po pravé poledne) Slunce vykreslí na zemském povrchu čtvrtinu hlavní kružnice Stačí tedy v právě odvozeném vzorci cos α = sin ϕ 1 sin ϕ 2 + cos ϕ 1 cos ϕ 2 cos(λ 1 λ 2 ) dosadit α = 90, λ 1 λ 2 bude doba t, za kterou se Země otočí od pravého poledne po soumrak (nebo od východu po pravé poledne), ϕ 1 bude zeměpisná šířka zvoleného místa a ϕ 2 bude deklinace δ Slunce (v době slunovratu zimního: 23, 5, letního: 23, 5 ) Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 6 / 8
Východ a západ Slunce Východ a západ Slunce Dosazením dostaneme 0 = sin ϕ sin δ + cos ϕ cos δ cos t, neboli po úpravě cos t = tg ϕ tg δ Příklad: Západ Slunce v Praze v době zimního slunovratu (21 prosince) cos t = tg 50 tg( 23, 5 ), odkud t = 58, 79, což odpovídá asi 3 hod a 55 min Je-li pravé poledne ve 12 hod (tj jsme-li přesně na 15 poledníku), vychází Slunce přibližně v 8:05 a zapadá v 15:55 hod Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 7 / 8
Východ a západ Slunce Východ a západ Slunce Problémy Zde jsme odvodili geometrický východ a západ Slunce Skutečný východ (západ) nastává, nachází-li se Slunce na skutečném horizontu, ne na geometrickém V praxi je tedy potřeba zahrnout tyto vlivy: refrakce r u obzoru (r = 34 ), průměr slunečního disku (2σ = 32 ), depresi horizontu (κ = 1, 8 h, kde h je nadmořská výška v m), případně paralaxu Slunce (π = 8, 8, často se zanedbává) V obecném dni v roce neznáme přesnou dekliaci δ Poměrně snadno ji můžeme odhadnout pomocí přibližného vzorce δ = 23, 5 cos(t + 10 ), t = 0, 985 (D + 30, 3(M 1) ), kde D je den v měsíci a M je měsíc Zdeněk Halas (KDM MFF UK, 2011) Vzdálenosti a východ Slunce Aplikace matem pro učitele 8 / 8
Názvy kuželoseček Názvy kuželoseček Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 3 / 19
Názvy kuželoseček Objev kuželoseček Menaichmos Menaichmos (1 polovina 4 stol př Kr) řešil problém nalezení dvou středních úměrných: a x = x y = y b pomocí kuželoseček: nebo xy = ab, y 2 = bx, x 2 = ay, y 2 = bx (pokročilá práce s kuželosečkami) Na tuto úlohu převedl Hippokratés z Chiu (2 pol 5 stol př Kr) problém zdvojení krychle : volbou a = 2b dostaneme y 3 = 2b 3 Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 4 / 19
Názvy kuželoseček Dvě teorie kuželoseček 1 řezy pláště kuželu rovinou kolmou na površku volbou úhlu při vrcholu dostaneme: - elipsa řez ostroúhlého kuželu - parabola řez pravoúhlého kuželu - hyperbola řez tupoúhlého kuželu 2 řezy jedné kuželové plochy současné názvy Apollónios z Pergé (kol 200 př Kr) Kónika řezy obecně kosé kuželové plochy Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 5 / 19
Názvy kuželoseček Parabola dle Apollónia (200 př Kr) z Eukleidovy věty o výšce: KL 2 = ML LN rovnoběžnost ZML ZBH LN = HG tj: poměr BH je konstantní ZH také HG je konstantní tj KL 2 = ML LN = BH ZH = ML ZL ZL BH HG = ZH y 2 = p x BH HG ZL ZH Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 6 / 19
Názvy kuželoseček Parabola dle Apollónia (200 př Kr) Přikládání ploch y 2 = p x Interpretace: úloha nalézt k zadané úsečce délky p úsečku délky x takovou, aby měl obdélník s těmito stranami stejný obsah, jako čtverec předepsaného obsahu y 2 přikládání ploch (řecky paraballó), odtud parabolé parabola Eukleidovy Základy, I, 44 Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 7 / 19
Názvy kuželoseček Elipsa a hyperbola Apollónios I, 12 a 13 Rovnice elipsy/hyperboly procházející počátkem: (x a) 2 a 2 ± y2 b 2 = 1 vyjádříme-li y 2 : Označme p = 2b2 a, pak y 2 = 2b2 a x b2 a 2 x2 y 2 = p x p 2a x2 Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 8 / 19
Názvy kuželoseček Přikládání ploch elipsa y 2 = p x p 2a x2 minus úloha přiložit k zadané úsečce délky p úsečku délky x takovou, aby výsledný obdélník obsahoval menší obdélník (plnou čarou) se stranou x, který by měl stejný obsah, jako předepsaný čtverec y 2, a zároveň byl menší o čárkovaný obdélník podobný zadanému obdélníku se stranami 2a, p Velkému obdélníku tedy chybí (řecky elleipó) čárkovaný obdélník Odtud má elipsa svůj název (elleipsis) Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 9 / 19
Názvy kuželoseček Přikládání ploch hyperbola y 2 = p x p 2a x2 plus obdélník o obsahu y 2 přesahuje (řecky hyperballó) obdélník se stranami p, x Odtud má hyperbola svůj název (hyperbolé) Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 10 / 19
Kuželosečky a sluneční hodiny Kuželosečky a sluneční hodiny Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 14 / 19
Kuželosečky a sluneční hodiny Kuželosečky a sluneční hodiny starší typy slunečních hodin gnómón (svislý obelisk): délka stínu velmi nepřesné (délka stínu se v průběhu roku mění) Egypt + Mezopotámie Řecko skafé: horizontální duté polokulové sluneční hodiny Řecko 7 stol př Kr zemská rotace náročná výroba rovinné sluneční hodiny snadná výroba problém: datové čáry Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 15 / 19
Kuželosečky a sluneční hodiny Rovinné sluneční hodiny datové čáry První rovinné sluneční hodiny Egypt, 4 stol př Kr (vytvářeny experimentálně) Problém datové čáry : po jaké křivce se pohybuje konec stínu ukazatele v průběhu daného dne v roce? Slunce se v průběhu dne zdánlivě pohybuje po kružnici špička ukazatele bod spojením vznikne kuželová plocha jejím průnikem s rovinou číselníku je tedy nutně kuželosečka V našich zeměpisných šířkách vesměs hyperboly Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 16 / 19
Kuželosečky a sluneční hodiny Rovinné sluneční hodiny datové čáry Výška Slunce se na obloze v průběhu roku mění je možno postupně pozorovat soustavu hyperbol (výjimka: rovnodennosti přímky) Hyperboly: umožňují odečítat datum usnadňují přesné narýsování hodinových čar Rovinné sluneční hodiny s datovými čarami se v antice objevily poté, co se rozšířila základní znalost kuželoseček Skafé vzhledem k náročné výrobě ustoupilo Zdeněk Halas (KDM MFF UK) Motivační příklady 25 září 2014 17 / 19