Úvod do lineární algebry Tomáš Matoušek Tělesa, vektorové prostory Definice. Tělesem nazveme množinu M, na které jsou definována zobrazení, : M M M(binární operace) splňující následující axiomy: (1) ( x, y M) x y= y x. (komutativita) (2) ( x, y,z M) x (y z)=(x y) z. (asociativita) (3) ( o M)( x M) x o=o x=x. (neutrálníprvek) (4) ( x M)( x M) x x= x x=o. (opačnýprvek) (5) ( x, y M) x y= y x. (komutativita) (6) ( x, y,z M) x (y z)=(x y) z. (asociativita) (7) ( i M)( x M) x i=i x=x. (neutrálníprvek) (8) ( x M, x o)( x 1 M) x x 1 = x 1 x=i. (inverzníprvek) (9) ( x, y,z M) x (y z)=(x y) (x z). (distributivita) (10) i o. Prozjednodušenísemísto x ȳpíše x y, x y 1 = x y, x= x, x y=xy. Z axiomů pak lze odvodit základní vlastnosti těles: všechny existenční kvantifikátory vaxiomechsedajínahraditjednoznačnouexistencí,dálenapř.( x M) ox=o, ( a, x,y M, a o) ax=ay x=y,( a,x, y M) a x=a y x=y, ( i)x= x= x,... Některátělesa jistěznáte.např.(r,+, )nebo(q,+, ).Můžetesiověřit,že skutečně splňují všech 10 axiomů, přičemž operace odpovídá násobení a sčítání, neutrálníprvekvzhledemknásobeníje i=1avzhledemkesčítání o=0.rozmyslete sinaopak,proč(n,+, ),(N 0,+, )ani(z,+, )nejsoutělesa. Pronašeúčelybudouvhodnátělesa(Z p,+, ),kde Z p= {0,1,..., p 1}, pje prvočíslo. Operace sčítání a násobení budou odpovídat standardním operacím modulo p. Definice. Vektorovým prostorem nad tělesem(t, +, ) nazveme množinu V, na které jsou definovány binární operace sčítání : V V V a násobení skalárem(tj. prvkemtělesa T) : T V Vsplňujícíaxiomy: (1) ( x,y V)x y=y x. (komutativita) (2) ( x,y,z V)x (y z)=(x y) z. (asociativita) (3) ( o V)( x V)x o=o x=x. (neutrálníprvek) (4) ( x V)( x V)x x= x x=o. (opačnýprvek) (5) ( a, b T,x V)(ab) x=a (b x). 14
Tomáš Matoušek: Úvod do lineární algebry (6) ( x V) i x=x. (7) ( a T, x,y V) a (x y)=(a x) (a y). (8) ( a, b T, x V)(a+b) x=(a x) (b x). Prvky Vnazývámevektory.Zkrácenízápisu:x ȳ=x y, x= x, a x=ax. Uvažujmenynímnožinu Vvšech n-ticprvkůtělesa T.Každýprvekxmůžeme napsatjakox=(x 1, x 2,..., x n),kde x 1, x 2,..., x n T.Definujmesčítánídvou n-tic x,yjakosčítáníposložkách,tj. a násobení skalárem a takto: (x 1,..., x n)+(y 1,..., y n)=(x 1 + y 1,..., x n+ y n) a(x 1,..., x n)=(ax 1,..., ax n). Nulovýmvektorembude n-tice(0,0,...,0).paklzeověřit,žemnožina Vspolustěmito operacemi je vektorovým prostorem nad T. Pronázornostdáleuvažujmejentělesa RaZ p. Definice. Buď Vvektorovýprostornad T,x 1,x 2,...x n Vsouborvektorů.Řekneme,žetentosouborjelineárněnezávislý,pokudprolibovolné a 1,..., a n T n a i x i =o a 1 = a 2 = =a n=0. i=1 Matice Definice. Maticetypu m nsprvkyztělesa Tje m-tice n-ticčíselztělesa T.Bude-li m=nnazvemetakovoumaticimaticíčtvercovou.např.matici Atypu2 3můžeme zapsat takto: ( ) a11 a A= 12 a 13 a 21 a 22 a 23 kde a ij T, i {1,..., m}, j {1,..., n}. Když bude zřejmé o jaký typ maticesejedná,budemepoužívatjenzápisu A=(a ij ).Dálebudemei-týmřádkem matice (a ij ) myslet n-tici (a i1, a i2,..., a in ) a j-tým sloupcem této matice m-tici (a 1j, a 2j,..., a mj ). Definice. Buď A=(a ij ).Pak Ajenulová,je-li( i, j) a ij =0,značímepak A=O. Je-linavíc Atypu n n,je A { 0 i j (1) jednotková,je-li( i, j) a ij = δ ij,kde δ ij =,značíme A=In. 1 i=j 15
Chrastice 01 (2) diagonální,je-li( i j) a ij =0, A O. (3) dolnítrojúhelníková,je-li( i < j) a ij =0, A O. (4) hornítrojúhelníková,je-li( i > j) a ij =0, A O. Abychom s maticemi mohli něco dělat, definujeme si několik operací. Buď A=(a ij ), B=(b ij )maticetypu m n.pak C= A+Bjematicetypu m n taková, že ( i, j) c ij = a ij + b ij. Buď A=(a ij )maticetypu m n, c T.Pak C= cajematicetypu m ntaková, že ( i, j) c ij = ca ij. Buď A=(a ij )maticetypu m n, B=(b ij )maticetypu n l.pak C= A B= AB jematicetypu m ltaková,že n ( i, j) c ij = a ik b kj k=1 Jelikož sčítání matic je vlastně jen sčítáním jejich odpovídajících prvků, snadno nahlédneme, že je komutativní, asociativní, existuje neutrální prvek vzhledem ke sčítání(tj.nulovámatice)akekaždématicinajdemeimaticiopačnou.napřednášcesi ukážeme, že násobení matic je asociativní, ale není komutativní(tj. násobení zprava je obecně něco jiného, než násobení zleva), existuje neutrální prvek vzhledem k násobení zpravaizlevaanekekaždématiciexistujezlevačizpravainverznímatice. Tvrzení. Množina všech matic typu m n s prvními dvěma výše uvedenými operacemi tvoří vektorový prostor nad T. Soustavy lineárních rovnic Nyní uvidíme, že definováním matic si velmi zjednodušíme práci se soustavami lineárních rovnic. Budeme pracovat s obecnými soustavami, které mají m rovnic o n neznámých. Definice. Buď a ij, b j T, i {1,..., n}, j {1,..., n}abuď a 11 x 1 + a 12 x 2 + +a 1n x n= b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + +a 2n x n= b 2 a m1 x 1 + a m2 x 2 + +a mnx n= b m. 16
Tomáš Matoušek: Úvod do lineární algebry soustavalineárníchrovnicproneznámé x i, i {1,..., n}.pakmatici(a ij )typu m n nazvemematicísoustavyamatici(a ij b i )typu m (n+1)(tj.maticesoustavy,kníž je přidán sloupec pravých stran pro přehlednost graficky oddělený svislou čárou) nazveme rozšířenou maticí soustavy. Gaussova-Jordanova eliminace Definice. Nechť(x 1,...,x n)je n-ticevektorů.elementárníúpravounazvemeprovedení jedné z následujících úprav: (1) prohozenívektorůx i,x j (i j). (2) vynásobenívektorux i skalárem k T, k 0. (3) nahrazenívektorux i vektoremx i + kx j, i j, k T, k 0. Definice.(Gaussova-Jordanovaeliminace) Buď A =(a ij )maticesoustavytypu m nab=(a ij b i )rozšířenámaticesoustavy.nechť Jjemnožinavšechnenulových sloupců a I množina všech nenulových řádků matice. (1) Zmnožiny Jvyjmemenějakýsloupec,nechťjeto j-týsloupecmatice A. (2) Ztohotosloupcevyberemenenulovýprvek a ij takový,že i I,azmnožiny I odebereme řádek i. Pokud žádný takový prvek neexistuje, zopakujeme(1). (3) Kekaždémuřádku k(k i)matice Bpřičteme a 1 ij a kjnásobekřádku i. (4) Opakujemebody(1)až(3)dokudjemnožina Jneprázdná. Pozorování. Po provedení GJE(Gaussovy-Jordanovy eliminace) bude v matici A v každém sloupci nejvýše jeden nenulový prvek. Výsledná rozšířená matice soustavy, reprezentuje soustavu rovnic ekvivalentní s původní soustavou. Věta. Nechť n-ticivektorů(y 1,...,y n)dostanemez(x 1,...,x n)elementárníúpravou.pak(y 1,...,y n)jelineárněnezávisláprávětehdy,když(x 1,...,x n)jelineárně nezávislá. Důsledek. Pomocí GJE můžeme zjistit, zda jsou vektory lineárně nezávislé. Definice. Sloupcová hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých sloupců matice. Řádková hodnost matice je maximální počet lineárně nezávislých řádků matice. Věta. GJE zachovává řádkovou hodnost matice. Důsledek. Pomocí GJE můžeme zjistit řádkovou hodnost matice. Věta. Sloupcová a řádková hodnost každé matice se rovnají. 17
Chrastice 01 Věta.(Frobeniovapodmínkařešitelnostisoustavy) Buď A=(a ij )maticesoustavy a B=(a ij b i )rozšířenámaticetéžesoustavy.soustavarovnicmářešeníprávětehdy, když sloupcová hodnost matice A je rovna sloupcové hodnosti matice B. 18